Resolución Gráfica, Método Simplex y Análisis de Sensibilidad

Fundamentos de Investigación de Operaciones
S2/2004
Método Gráfico, Método Simplex y Análisis de Sensibilidad
1.
2.
Resuelva los siguientes problemas por medio del método Gráfico y el Método Simplex. Compare las
soluciones encontradas. Además, comente la solución con respecto a: existencia y unicidad. En el Método
Gráfico, determine si las áreas son o no acotadas y de qué manera influye esto sobre el resultado.
MAX
S.A.
Z = 6X1 - 2X2
2X1 - X2 <= 2
X1 <= 4
Xi >= 0
MAX
S.A.
Z = -4X1 - 5X2
-X1 - 4X2 <= -5
-3X1 - 2X2 <= -7
Xi >= 0
MAX
S.A.
Z = -X1 + 3X2
4X1 + 9X2 >= 36
4X1 + 3X2 <= 6
Xi >= 0
MAX
S.A.
Z = 6X1 - 3X2
-X1 + 6X2 >= 3
3X1 - 4X2 <= 12
X1 + X2 >= 4
Xi >= 0
MAX
S.A.
Z = 4X1 + 14X2
2X1 + 7X2 <= 21
7X1 + 2X2 <= 21
Xi >= 0
MAX
S.A.
Z = 5X1 + 10X2
X1 + 2X2 <= 16
X1 + X2 >= 10
X1 + 6X2 >= 24
Xi >= 0
Una fábrica de ladrillos produce cuatro tipos de ladrillo de cemento. El proceso de fabricación está
compuesto de tres etapas: mezclado, vibrado e inspección. Dentro del próximo mes se dispone de 800 horas
de máquina para mezclado, 1000 horas de máquina para vibrado y 340 horas-hombre para inspección. La
fábrica desea maximizar las utilidades dentro de este período, y para ello ha formulado el modelo de
programación lineal siguiente:
Tableau Final
MAX
s.a.
Z=8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4
X1+ 2X2 + 10X3 + 16X4 ≤ 800
1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 ≤ 1000
0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 ≤ 340
XI ≥ 0
VB
Cj
X2
14
X1
8
S3
0
Zj
Cj-Zj
X1
8
0
1
0
8
0
X2
14
1
0
0
14
0
X3
30
11
-12
0.4
58
-28
X4
50
19
-22
1.6
90
-40
S1
0
1.5
-2
0.1
5
-5
S2
0
-1
2
-0.4
2
-2
S3
0
0
0
1
0
0
bj
200
400
20
6000
Donde X1 representa la cantidad de ladrillo del tipo i. El resto de los parámetros se explican por sí solo.
Introduciendo las variables de holgura S1, S2 y S3 y resolviendo, mediante el método Simplex, se obtiene el
tableau final mostrado.
a)
b)
c)
¿Cuál es la solución óptima?
¿Es única la solución óptima?
¿Cuánto debería aumentar como mínimo la utilidad del producto 3 para que fuera conveniente
producirlo?
d) ¿Hasta cuánto podría disminuir la utilidad del producto 2 sin que cambiara la base óptima?
e) ¿Dentro de que rango podría variar la cantidad de horas de máquina para mezclado sin que cambie la
base óptima?
f) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una hora-hombre de inspección adicional?
g) Un competidor le ofrece arrendarle capacidad adicional para mezclado a 4 unidades monetarias por
hora. ¿Aceptaría la oferta?
h) ¿A qué precio estaría dispuesto a arrendar a su competidor una hora de vibrado adicional? ¿Hasta
cuántas horas (sin que cambie la solución óptima)?
i) ¿Cuánto puede disminuir el tiempo de inspección sin que cambie la solución óptima?
1
j)
k)
3.
¿Cuál es la nueva solución y el nuevo valor de la función objetivo si las horas de vibrado aumentan a
1020?
¿Aceptaría la producción de un ladrillo del tipo 5, si requiere 2 horas de cada actividad y su utilidad es
de 30?
Dado el tableau final asociado al problema de programación lineal responda:
MAX Z=10X1 + 9X2
s.a.
(7/10)X1+ 2X2 ≤ 630 (tiempo de corte)
0.5X1 + (5/6)X2 ≤ 600 (tiempo de secado)
X1 + (2/3)X2 ≤ 708 (tiempo remates)
(1/10)X1 + 0.25X2 ≤ 135 (tiempo inspección)
XI ≥ 0
1.
4.
5.
Zj
Cj-Zj
X1
10
0
0
1
0
10
0
X2
9
1
0
0
0
9
0
X3
0
30/16
-15/16
-20/16
-11/32
35/8
-35/8
X4
0
0
1
0
0
0
0
X5
0
-21/16
5/32
30/16
9/64
111/16
-111/16
X6
0
0
0
0
1
0
0
bj
252
120
540
18
7668
Suponga el tableau correspondiente a la SEGUNDA iteración, asociado a un problema de programación
lineal:
VB
S1
S2
S3
S4
A1
A2
A3
X1
a)
b)
c)
5.
Cj
9
0
10
0
¿ En qué valores se podría modificar el coeficiente de X2 tal que la solución no cambie y en cuánto
podría variar el valor de la función objetivo?
¿Cuál es el costo de oportunidad del tiempo destinado a secado?
Si se estableció que a remates se van a agregar 7 horas adicionales, ¿cuál es el valor para la función
objetivo?
¿Qué significa que X6=18?
Si se dispone de dinero para aumentar 10 horas-hombre, ¿en cuál tipo de tiempo invertiría usted y cuál
sería el efecto en la función objetivo, considerando este tableau?
2.
3.
4.
VB
X2
X4
X1
X6
Cj
0
0
0
0
-M
-M
-M
-186
X1
X2
X3
X4
-186 -202 -219 -243
0
0
15
-12
0
12
0
15
0
0
1
-1
0
1
-1
2
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-1
1
0
0
1
S1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
S2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
S3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
S4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
S5
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
S6
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
A1
-M
0
0
0
0
1
0
0
0
A2
-M
0
0
0
0
0
1
0
0
A3
-M
0
0
0
0
0
0
1
0
A4
-M
-12
0
-1
1
-1
-1
-1
1
bj
4800
9400
200
2200
300
100
300
600
¿Cuánto vale la función objetivo en el próximo tableau, si se decide que X2 ingrese a la base con valor 3?
Si se decide arbitrariamente que X3 ingrese a la base, ¿qué variable debería reemplazar y por qué?
Encuentre el valor óptimo de Z y los valores correspondientes a las variables.
Considere el tableau simplex inicial.
VB
Cj
X1
1
0
0
1
1
1
X2
1/10
1
1
0.5
0.1
-0.15
X3
0
-1
0
0
0
0
X4
0
0
1
0
0
0
X5
0
0
0
-1
0
0
X6
0
0
0
0
1
0
X7
0
0
0
0
0
-1
X8
-M
1
0
0
0
0
X9
-M
0
0
1
0
0
X10
-M
0
0
0
0
1
bj
10
20
5
10
5
Zj
Cj – Zj
¿ Cuál es la solución óptima?
2
6.
Una fábrica de ropa produce tres líneas de trajes: jeans, franela y amasado. La ropa es vendida en lotes de
100 trajes. Cada lote pasa a través de tres procesos: corte, cosido y empaque. La planta dispone de 16
cortadores, 41 máquinas de coser y 20 empacadores. Los requerimientos para producir un lote de 100 trajes
de cada línea y las utilidades asociadas se presenta a continuación:
Requerimientos de producción y utilidad
Cortadores [personas/lote]
Máquinas de coser [máquinas/lote]
Empacadores [personas/lote]
Utilidad [US$/lote]
Jeans
4
1
1
400
Franelas
2
2
1
200
Amasados
1
2
1
300
Definiendo las variables de decisión X1, X2 y X3, que representan la cantidad de lotes de jeans, de franela y
amasados a fabricar, respectivamente, se ha formulado el siguiente modelo de programación lineal:
MAX
s.a.
Z=400X1 + 200X2 + 300X3
4X1+ 2X2 + X3 ≤ 16
X1 + 2X2 + 2X3 ≤ 41
X1 + X2 + X3 ≤ 20
X1, X2, X3 ≥ 0
Tableau final
VB
Cj
Zj
Cj-Zj
X1
10
4
-7
-3
1200
-800
X2
9
2
-2
-1
600
-400
X3
0
1
0
0
300
0
S1
0
1
-2
-1
300
-300
S2
0
0
1
0
0
0
S3
0
0
0
1
0
0
bj
16
9
4
4800
a)
Complete el tableau final para obtenerla solución óptima e interprete el valor de cada una de las
variables que ahí aparece.
b) ¿ Es posible despedir cortadores o empacadores manteniendo el nivel de producción? ¿Cuántos?
c) La utilidad por lote de jeans puede ser aumentada a US$500 o en US$850, ¿cuál debe ser la actitud de
la empresa? ¿Cómo cambia la solución óptima?
d) La empresa puede contratar cortadores adicionales a un precio de US$280 cada uno. ¿Cuánta mano de
obra a este precio estaría dispuesto a contratar la empresa? ¿Cómo cambia la solución óptima?
e) Suponga que un cambio en la tecnología de fabricación requiere agregar un proceso de lavado. Los
requerimientos de lavado para producir lotes de 100 unidades de cada tipo de traje y la disponibilidad
máxima de lavado se detallan a continuación.
Requerimientos de lavado
Lavadores [personas/lote]
Jeans
3
Franelas
3
Amasados
2
Disp. máxima
40 personas
A partir del programa óptimo obtenido, ¿cuál es la nueva solución óptima?
Observación: todas las preguntas deben ser respondidas con respecto al problema original. Justifique
cada una de sus respuestas.
7.
Una empresa de productos electrónicos fabrica teléfonos celulares. Su último producto tiene un dispositivo
que evita ser interceptado mientras se está conversando. Existen tres estamentos del mercado que adquirirá
preferentemente este tipo de aparato. Debido al canal de distribución y costos de promoción, la ganancia por
el producto varía según el estamento. Además, la empresa estima que el costo por publicidad y tiempo de
venta por unidad variará también según estamento. La tabla siguiente presenta las ganancias, los costos de
publicidad y el tiempo de venta por unidad y estamento.
Estamento
A
B
C
Ganancia
90
70
84
Costo de publicidad
10
18
8
Tiempo de venta
2.5
3
1.5
La empresa ha determinado que no gastará más de $5.000 en publicidad y estableció un máximo de 1.200
horas de venta. Además, la capacidad máxima de producción es de 600 unidades. El objetivo es determinar
cuántas unidades del producto se debe vender por sector para maximizar la utilidad total (diferencia entre
ganancia total y costo total) de la empresa. El modelo de programación lineal es el siguiente:
3
Tableau final
MAX
S.A.
Z = 80XA + 52XB + 76XC
10XA + 18XB + 8XC ≤ 5.000
2.5XA + 3XB + 1.5XC ≤ 1.200
XA + XB + XC ≤ 600
Xi ≥ 0
VB
CJ
Zj
Cj - Zj
XA
80
0
1
0
80
0
XB
52
-4
5
-3.5
96
-44
XC
76
1
0
0
76
0
S1
0
-0.5
0.5
-0.5
2
-2
S2
0
0
0
1
0
0
S3
0
5
-4
2.5
60
-60
bj
500
100
200
46000
Responda en forma clara y ordenada las siguientes preguntas. Todas las preguntas son independientes, es decir,
si en una modificó el tableau, para la próxima no considere ese cambio.
a) ¿ Es necesario que la variable que tenga un mayor (Cj – Zj) debe entrar a la base?
¿ En qué caso no ocurre eso? Explique.¿ Por qué debe salir la variable de menor (bj/aij)? ¿ Qué representa?
b) ¿ Cuánto vale en general la función objetivo en una próxima iteración?
c) Complete el tableau e indique cuál es la solución óptima y el valor de la función objetivo.
d) Determine si existe solución alternativa. De ser positiva su respuesta indique cuál es, de lo contrario
explique por qué no existe.
e) La empresa no sabe decidir entre aumentar a 100 o aumentar en 45 la ganancia por unidad en el sector B.
Aconseje usted y determine el nuevo valor de la función objetivo.
f) De la misma forma, no sabe si gastar $500 más en publicidad o aumentar la capacidad de producción en 20
unidades a un costo de $50 cada una. La empresa no quiere variar la base óptima. Aconseje usted y
determine el nuevo valor de la función objetivo.
g) Si la empresa decidiera contratar más personal para aumentar la disponibilidad en el tiempo de venta ¿
Sería un buen negocio? ¿ Por qué?
h) La empresa sabe que el sector A está reclamando por el valor del celular, pero no quiere perderlos como
clientes. ¿ Hasta qué precio estaría dispuesto a rebajar el valor del celular?
i) Si la empresa quiere disminuir los gastos de publicidad sin variar la base óptima.
¿ Cuánto es lo máximo que podría ahorrar? ¿Cuánto valdría la función objetivo?
4