Facultad de Ciencias Naturales y Museo
Cátedra de Matemática
Trabajo Práctico Nº 2
Vectores
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2
CONTENIDOS: Vectores en E2 y en E3. Operaciones. Aplicaciones.
r
r
r
Ejercicio Nº1: Sean los vectores en E2: a = 1, − 2 , b = 2i + 3 j , c = 0, 1 y
r
d = i − 4 j . Efectuar las siguientes operaciones, graficar e interpretar los
resultados.
r
4r
1r
3
b
c)
b)
c
−
a
a)
3
2 r
r
r
r r
r
r
d) a + b
e) a - b
f) a + 3b + 2c
r
r
r
v
r
r
g) − 3a − 4c
h) 2c + 2d
i) c − 2b
Ejercicio Nº 2: Dados los siguientes vectores, hallar su módulo, sus ángulos
directores y representar gráficamente
r
r
(
5( 5
a) a = − 1, 2
d) d = − i −
3j
2
2
r
( 4(
(
(
(
(
r
b) b = 3 i − j
e)
e
=
−
3
i
+
4
j
−
−
2
i
+
3
j
3
( (
r
c) c = 3, 2 + 4 i ,− j
Ejercicio Nº 3: a) Definir el producto escalar entre dos vectores
b) Interpretar gráficamente el producto escalar entre dos vectores
c) Calcular el producto
entre los vectores dados a continuación:
r
r escalar
( (
(
(
r
r
c1) a = 2, 5 y b = −3 i + 2 j
c2) a = 3, 4 y b = −2 i − j
r
r
( (
r
r
c3) a = 2 i + j y b = 4, − 1
c4) a = − 3, 2 y b = − 3, − 4
d) Hallar los ángulos formados por los vectores dados en c)
r
(
(
( (
r
Ejercicio Nº 4: Dibujar los vectores a = 2 i − 6 j y b = 3 i + j . Hallar el producto
escalar entre ellos y justificar la razón del resultado.
Ejercicio Nº 5: a) Definir e interpretar gráficamente el producto vectorial entre
dos vectores.
b) Hallar el producto vectorial entre los vectores dados en el ejercicio 3.
Ejercicio Nº 6: a) Qué condición debe cumplirse para que dos vectores
resulten paralelos.
b) Qué condición debe cumplirse
para que dos vectores resulten
perpendiculares.
Ejercicio Nº 7: Hallar el producto escalar de los siguientes vectores de E3 y el
ángulo formado por
r ellos:
r
(
(
(
r
r
a) a = 2,3, 1 y b = 4,3, − 1
b) a = − 3,2, − 1 y b = −4 i + 5 j + 8k
r
(
(
(
( (
(
r
c) a = −3 i − 2 j + 4k y b = − i − j − 2k
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Trabajo Práctico Nº 2
Vectores
Ejercicio Nº 8: Hallar el producto vectorial de los siguientes vectores:
r
r
(
(
(
(
( (
r
r
a) a = 2,0, 3 y b = 3 j
b) a = 3 j + 2k y b = 2 i − 2 j − k
r
(
( (
r ( ( (
c) a = i + j + k y b = − i − 2 j − k
Ejercicio Nº 9: ¿Qué representa geométricamente el módulo del producto
vectorial entre dos vectores?
Ejercicio Nº 10: Hallar e interpretar geométricamente el producto mixto de los
siguientes vectores:
r
r
r
a) a = 2,3, 4 , b = 1,1, 1 y c = 3,0, − 2
r
r
r
b) a = 1,−3, 4 , b = 1,0, 1 y c = − 3,2, 4
(
(
r
Ejercicio Nº 11: Hallar la proyección del vector a = 5 i − 6 j en la dirección del
r
( (
vector b = 7 i + j
Ejercicio Nº 12: Calcular la distancia entre los puntos P(0,2,-1) y Q(3,-1,4)
Ejercicio Nº 13: Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores
r
(
( (
r ( ( (
a = i + j + k y b = −i − 2j −k
−− >
− − −− >
Ejercicio Nº 14: Demostrar que si AB = A' B ' los puntos de ABB’A’constituyen
un paralelogramo.
A’
A
B’
B
Ejercicio Nº 15: Hallar el
paralelepípedo determinado por los
r volumen del
r
r
vectores a = 1,−3,− 4 , b = − 1,0, 1 y c = − 3,2, 2
Ejercicio Nº 16: Un barco se desplaza en la dirección norte-sur con una
velocidad de 6m/s hacia el norte. Si la velocidad del viento es de 1m/s hacia el
este, cuál es la velocidad del barco con respecto a la costa.
Ejercicio Nº 17: Un pasajero se desplaza hacia atrás por el pasillo de un tren en
marcha, con movimiento uniforme de velocidad de 1.2 m/s. El tren recorre un
tramo rectilíneo con velocidad de 6m/s. Calcular la velocidad del pasajero para
un observador situado al costado de la vía.
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