µ µ µ σ µ

Dócimas para la Media (Varianza Conocida)
Los siguientes datos representan los tiempos de armado para 20 unidades seleccionadas
aleatoriamente: 9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 10.9, 11.1, 9,6, 10.2, 10.3, 9.6, 9.9, 11,2, 10.6, 9.8, 10.5, 10.1,
10.5, 9.7. Supóngase que el tiempo necesario para armar una unidad es una variable aleatoria
normal con una desviación estándar de 0.6 minutos. Con base en esta muestra, ¿existe alguna
razón para creer, a un nivel 0.05, que el tiempo de armado promedio es mayor de 10 minutos?
Solución:
Sea:
X : tiempo (min.) necesario para armar una unidad.
(
)
Suponemos que X ~ N µ ;0.6 2 . Además X 1 , X 2 , K , X 20 m.a.(20 ) de X , donde:
X =
1 n
1 20
204
= 10.2[min .]
∑ Xi =
∑ Xi =
n i =1
20 i =1
20
Interesa Docimar:
H 0 : µ = 10
H 1 : µ > 10
Estadística de Prueba (bajo H 0 ):
Z =
=
X − µ0
σ
n
~ N (0,1)
10.2 − 10
0.6
20
= 1.4907
Regla de Decisión:
Rechazar H 0 si Z ≥ Z 1−α
Si α = 0.05 , entonces Z 1−α = Z 1−0.05 = Z 0.95 = 1.645 .
Conclusión:
Como el valor observado del estadístico de prueba (1.4907) no es mayor que el valor de tabla
(1.645), entonces no se rechaza H 0 . Es decir, no existe evidencia muestral suficiente, al 5%, para
afirmar que el tiempo de armado promedio es mayor de 10 minutos.
Valor p :
El valor p es la probabilidad, dado que H 0 es cierta, de que la estadística de prueba tome un
valor mayor o igual que el calculado con base en la muestra aleatoria.
En muestro ejemplo, p = P (Z ≥ 1.4907 ) = 0.0681 .
Profesor: Patricio Videla J.
Dócimas para la Media (Varianza Conocida)
En el contexto de este ejemplo, supóngase que se desea dar respuesta a la siguiente pregunta: Si el
verdadero tiempo promedio necesario para armar una unidad es de 10.3 minutos, ¿cuál es la
probabilidad de rechazar la hipótesis nula?
Se pide calcular P (Re chazar H 0 µ = 10.3) ; es decir, π (10.3) .
π (10.3) = P (Re chazar H 0 µ = 10.3)
= 1 − P (No Re chazar H 0 µ = 10.3) = 1 − β (10.3)
β (10.3) = P (No Re chazar H 0 µ = 10.3)
= P (Z < Z 1−α µ = 10.3)
 X − µ0

= P 
< Z 1−α µ = 10.3 
 σ n



σ
Z 1−α µ = 10.3 
= P  X < µ 0 +
n


(α
= 0.05 )


0.6
= P  X < 10 +
⋅ 1.645 µ = 10.3 
20


= P (X < 10.2207 µ = 10.3)

10.2207 − 10.3 
= P  Z <
 , con Z ~ N (0.1)
0
.
6
20


= P (Z < −0.5911) = 0.2772 .
Por lo tanto:
π (10.3) = 1 − β (10.3) = 1 − 0.2772 = 0.7228 .
β (µ )
π (µ )
10,0
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
0,9500
0,8158
0,5613
0,2772
0,0907
0,0187
0,0023
0,0002
0,0000
0,0500
0,1842
0,4387
0,7228
0,9093
0,9813
0,9977
0,9998
1,0000
FUNCION DE POTENCIA
Prob. de Rechaz ar
Ho
µ
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
10,0
10,2
10,4
10,6
10,8
MEDIA
Profesor: Patricio Videla J.