5.6. Teorema de extensión de Caratheodory

5.6. TEOREMA DE EXTENSIÓN DE CARATHEODORY
5.6.
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Teorema de extensión de Caratheodory
En el contexto de los números reales, la noción de medibilidad de un conjunto, corresponde
al hecho que el ı́nfimo de la medida de los abiertos que lo contienen coincide con el supremo de
la medida de los cerrados que contiene. Es decir, queremos que de alguna forma, la definición
intuitiva de medida que la define como una aproximación por las medidas de abiertos, sea
consistente en el sentido de que no dependa de si se usa el conjunto o su complemento.
Definición 5.52. Sea X un conjunto. Decimos que una función µ ? : P(X) → [0, ∞] es una
medida externa si
(i) µ? (∅) = 0.
(ii) µ? (A) ≤ µ? (B) si A ⊂ B.
(iii) Si A ⊂ ∪∞
n=1 An , luego
µ? (A) ≤
∞
X
µ? (An ).
n=1
Adenás, diremos que un conjunto E ⊂ X es µ ? -medible si para todo A ∈ P(X),
µ? (A) = µ? (A ∩ E) + µ? (A ∩ E c ).
A la colección de los conjuntos µ? -medibles la denotaremos Mµ? .
Teorema 5.53. La colección Mµ? es una σ-álgebra. Además, la restricción µ de µ ? a esta
colección, es una medida positiva y M µ∗ es completa respecto a ella.
Demostración. Primero probaremos que los conjuntos µ ? -medibles forman una σ-álgebra.
Sea E ∈ Mµ? . Luego para cada A ∈ P(X)
µ? (A) = µ? (A ∩ E) + µ? (A ∩ E c ) = µ? (A ∩ E c ) + µ? (A ∩ (E c )c ).
Por lo tanto E c ∈ Mµ? . Sean E1 , E2 ∈ Mµ? . Entonces es inmediato que
µ? (A) ≤ µ? (A ∩ (E1 ∪ E2 )) + µ? (A ∩ (E1 ∪ E2 )c ).
Por otro lado
µ? (A) = µ? (A ∩ E1 ) + µ? (A ∩ E1c )
= µ? (A ∩ E1 ) + µ? (A ∩ E1c ∩ E2 ) + µ? (A ∩ (E1 ∩ E2 )c ).
Pero (A ∩ E1 ) ∪ (A ∩ E1c ∩ E2 ) = A ∩ (E1 ∪ E2 ). Luego
µ? (A) ≥ µ? (A ∩ (E1 ∪ E2 )) + µ? (A ∩ (E1 ∩ E2 )c ).
?
La sub-aditividad
`∞ implica ahora que E 1 ∩ E2 ∈ Mµ .n
?
Sea E = n=1 En , En ∈ Mµ . Definimos Gn = ∪k=1 Ek . Luego
µ? (A) = µ? (A ∩ Gn ) + µ? (A ∩ Gcn )
≥ µ? (A ∩ Gn ) + µ? (A ∩ E c ).
106
CAPÍTULO 5. MEDIDA E INTEGRACIÓN
Entonces
µ? (A ∩ Gn ) = µ? (A ∩ Gn ∩ En ) + µ? (A ∩ Gn ∩ Enc )
= µ? (A ∩ En ) + µ? (A ∩ Gn−1 ).
Por inducción en n ≥ 1
µ? (A ∩ Gn ) =
n
X
µ? (A ∩ Ek ).
k=1
Luego
?
lı́m µ (A ∩ Gn ) =
n→∞
∞
X
µ? (A ∩ En ) ≥ µ? (A ∩ E).
k=1
Concluı́mos que E ∈ Mµ? .
Ahora probemos que µ es una medida positiva sobre M µ? . Probaremos que µ es numerablemente aditiva y que existe A ∈ Mµ? tal que µ(A) < ∞. Por definición de medida externa
tenemos que µ(∅) = µ? (∅) = 0. Ahora, sean E1 , E2 ∈ Mµ? . Luego si E1 , E2 son disjuntos
µ(E1 ∪ E2 ) = µ? ((E1 ∪ E2 ) ∩ E2 ) + µ? ((E1 ∪ E2 ) ∩ E2c )
= µ? (E2 ) + µ? (E1 ) = µ(E1 ) + µ(E2 ).
Además si E =
`∞
n=1
En , En ∈ Mµ? tenemos que
?
µ(E) = µ (E) ≥ µ
?
(∪nk=1 Ek )
=
µ(qnk=1 Ek )
=
n
X
k=1
µ(Ek ) =
n
X
µ? (Ek ).
k=1
Tomando el lı́mite cuando n tiende a infinito vemos que
µ? (E) = µ(E) ≥
∞
X
µ(Ek ) =
k=1
∞
X
µ? (Ek ) ≥ µ? (E).
k=1
P
?
Luego µ(E) = ∞
k=1 (Ek ). Por lo tanto, la restricción µ de la medida externa µ a los conjuntos
medibles Mµ? , es una medida positiva.
Definición 5.54. Sea C una colección de subconjuntos de un conjunto X. Diremos que una
función τ : C → [0, ∞] es una premedida si
(i) ∅ ∈ C,
(ii) τ (∅) = 0.
Teorema 5.55. Sea τ es una premedida definida en una colección C de subconjuntos de X.
Para cada E ⊂ X, definimos
∞
X
µ? (E) := inf
τ (Ci ).
{Ci }⊂C
E⊂∪i Ci
i=1
Si no hay subcolección de C cuya unión contenga a E, entonces µ ? (E) = ∞. Luego µ? es una
medida externa.
5.6. TEOREMA DE EXTENSIÓN DE CARATHEODORY
107
Demostración. Por definición de premedida, ∅ ∈ C y τ (∅) = 0, luego µ ? (∅) = 0. Por otra
parte, si A ⊂ B ⊂ X, toda colección de conjuntos que cubre a B necesariamente cubre a A.
Entonces µ? (A) ≤ µ? (B). Además, si E ⊂ ∪∞
n=1 En y ε > 0, para cada natural n existe una
colección Anm tal que
∞
X
ε
τ (Anm ) ≤ µ? (En ) + n , ε > 0.
2
m=1
Entonces
?
µ (E) ≤
X
τ (Anm ) ≤
n,m
∞
X
µ? (En ) + ε.
n=1
La subaditividad es ahora una consecuencia del hecho que ε > 0 es arbitrario.
Estamos ahora preparados para la siguiente definición.
Definición 5.56. (medida de Lebesgue). Consideremos el conjunto R de los números reales.
Sean T los conjuntos abiertos en la topologı́a Euclidiana de R. Sea A ∈ T con A = q ∞
n=1 In y
{In = (an , bn )} intervalos abiertos. Definimos la premedida τ en los abiertos por
τ (A) :=
∞
X
|In |,
n=1
donde |In | = bn −an y τ (φ) = 0. Sea m∗ la medida externa inducida por τ . Definimos la medida
de Lebesgue m̄ o sı́mplemente m, como la restricción de m ∗ a los conjuntos m∗ -medibles de
R que llamaremos Mm .
Finalizaremos esta sección con el teorema de extensión de Caratheodory. Necesitamos
primero definir la siguiente noción.
Definición 5.57. Consideremos un álgebra A que contiene el vacı́o en un conjunto X. Decimos
que una función µ : A → [0, ∞] es una medida positiva en el álgebra A si
P
∞
(i) µ(A) = ∞
n=1 µ(An ) para A = qn=1 An , con A, An ∈ A.
(ii) µ(∅) = 0.
Cuando existe una sucesión de conjuntos A n en el álgebra A tales que X = ∪An y µ(An ) < ∞,
decimos que la medida µ en el álgebra A es σ-finita.
Lema 5.58. Sea A un álgebra y µ una medida positiva definida en A. Consideremos la medida
externa µ∗ inducida por µ. Luego todo E ∈ A es µ? -medible.
Demostración. Si A ∈ P(X) es tal que µ? (A) = ∞ es trivial constatar que µ∗ (A) = µ∗ (A ∩
E) + µ∗ (A ∩ E c ). Supongamos entonces que µ? (A) < ∞. Luego para cada ε > 0 existen A i ∈ A
tales que
∞
X
µ(Ai ) ≤ µ? (A) + ε.
i=1
Pero por la aditividad de µ en A, para cada natural i tenemos que
µ(Ai ) = µ(Ai ∩ E) + µ(Ai ∩ E c ).
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CAPÍTULO 5. MEDIDA E INTEGRACIÓN
Luego
µ? (A) + ε ≥
∞
X
µ(Ai ) ≥
∞
X
µ(Ai ∩ E) +
µ(Ai ∩ E c )
i=1
i=1
∗
i=1
∞
X
≥ µ (A ∩ E) + µ (A ∩ E c ).
∗
Como ε es arbitrario concluı́mos que E es µ ∗ -medible.
Podemos ahora resumir lo que hemos demostrado en esta sección y en la anterior.
Teorema 5.59 (Extensión de Carathéodory). Sea A un álgebra que contiene el vacı́o y
µ una medida en A. Sea µ? la medida externa inducida por µ. Luego la restrición µ de µ ? a
los conjuntos µ? -medibles es una medida positiva que es una extensión de µ y los conjuntos
medibles Mµ∗ forman una σ-álgebra completa respecto a µ̄. Además σ(A) ⊂ M µ? y si µ es
σ-finita luego µ es fuértemente σ-finita y es la única extensión de µ en A a σ(A).
Ejercicio. Consideremos X = R. Definimos la colección A como los conjuntes A ⊂ X tales
que
n
a
A=
[ak , bk ), |ak | < ∞, −∞ < bk ≤ ∞
k=1
o
A = (−∞, b0 )
[
n
a
[ak , bk )
k=1
!
Pruebe que A es un álgebra. Además, si definimos µ sobre A tal que si A ∈ A
µ(A) =
n
X
(bk − ak ).
k=1
Por el teorema de extensión de Caratheodory esta medida en el álgebra µ tiene una extensión
única a una medida definida en los conjuntos Lebesgue medibles que es una σ-álgebra que
contiene a los borelianos. Esta es una construcción alternativa de la medida de Lebesgue cuyos
detalles veremos más adelante.
Para algunas construcciones de medidas positivas, es más fácil comenzar por clases de
conjuntos más sencillas que un álgebra.
Definición 5.60. Una colección C de conjuntos es una semi-álgebra si se satisfacen las
siguientes propiedades.
(i) Para todo par de conjuntos A, B ∈ C tenemos que A ∩ B ∈ C.
(ii) Para todo conjunto A ∈ C existen conjuntos disjuntos A i ∈ C, 1 ≤ i ≤ n tales que
Ac = qni=1 Ai .
Lema 5.61. Sea C una semi-álgebra. Luego la colección de conjuntos formados por el vacı́o y
las uniones finitas disjuntas en C, es un álgebra.
Llamamos al álgebra del lema anterior, el álgebra A(C) generada por la semi-álgebra
C.
109
5.6. TEOREMA DE EXTENSIÓN DE CARATHEODORY
Demostración. Supongamos que A ∈ A(C). Si A = φ, tenemos que probar que X ∈ A(C).
Pero si tomamos cualquier conjunto B ∈ C, por definición su complemento está en A(C). Por
lo tanto X ∈ A(C). Ahora, si A 6= φ, sabemos que se puede expresar como una unión finita de
elementos disjuntos de C
A = q i Ai .
Además Aci = qj Ai,j . Luego Ac = ∩i qj Ai,j = qj ∩i Ai,j ∈ A(C). Finalmente notemos que si
A, B ∈ A(C), por un argumento análogo tenemos que la intersección A∩B está en el álgebra.
Ejercicio. ¿Es posible quitar la condición “ con el vacı́o” en el Lema anterior, para probar que
A es un álgebra?
Proposición 5.62. Sea C una semi-álgebra y µ : C → [0, ∞] una función tal que µ(φ) = 0 si
φ ∈ C. Supongamos que las siguientes condiciones se satisfacen.
(i) Si C ∈ C es un conjunto que se puede expresar como una unión disjunta finita q ni=1 Ci ,
con Ci ∈ C, entonces
n
X
µ(C) =
µ(Ci ).
i=1
(ii) Si C ∈ C se puede expresar como una unión numerable disjunta de miembros de C,
C = q∞
i=1 Ci , entonces
∞
X
µ(Ci ).
µ(C) ≤
i=1
Luego µ tiene una extensión única al álgebra A(C).
Demostración. Sea A = qni=1 Ai con Ai ∈ C. Definamos
µ(A) :=
n
X
µ(Ai )
(5.6)
i=1
Probemos que (5.6) está bien definida. Si A = q m
k=1 Bk con Bk ∈ C, entonces como consecuencia
de (i) tendremos que
µ(A) =
n
X
i=1
µ(Ai ) =
m
n X
X
i=1 k=1
µ(Ai ∩ Bk ) =
n
m X
X
µ(Bk ∩ Ai ) =
k=1 i=1
n
X
µ(Bi ) = µ(A)
i=1
de donde concluimos que la definición de (5.6) es consistente. Ahora, consideremos conjuntos
disjuntos A y B en el álgebra A. Claramente µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) y por un argumento
inductivo vemos que µ es finitamente aditiva. Además, si consideramos elementos C, D en A
tales que C ⊂ D, entonces D = C ∪ (D ∩ C c ) y µ(C) ≤ µ(D). Finalmente, supongamos que
A ∈ A es una unión numerable y disjunta de conjuntos A k ∈ A. Por definición A = qnj=1 Cj
pk
con Cj ∈ C. Por lo tanto Cj = q∞
k=1 (Ak ∩ Cj ). Además, para cada natural k, A k = qi=1 Ck,i
con Ck,i ∈ C. Luego,
pk
Cj = q ∞
k=1 qi=1 Ck,i ∩ Cj .
Por la propiedad (ii) vemos que
110
CAPÍTULO 5. MEDIDA E INTEGRACIÓN
µ(Cj ) ≤
pk
∞ X
X
µ(Ck,i ∩ Cj ).
k=1 i=1
Luego
µ(A) ≤
Por otra parte
P ∞ P pk P n
k=1
i=1
j=1 µ(Ck,i
N
X
∩ Cj ) =
P ∞ P pk
k=1
i=1
µ(Ck,i ∩ A) =
P∞
k=1 µ(Ak ).
µ(Ak ) = µ(∪N
k=1 Ak ) ≤ µ(A).
k=1
Ejercicio. Pruebe la unicidad de µ definida en la Proposición anterior.
Ejemplo. La colección de intervalos semiabiertos de la forma [a, b) o (a, ∞) en los reales es
una semi-álgebra.
5.7.
La integral de Lebesgue-Stieltjes
Veremos como se pueden aplicar los teoremas de extensión de la sección anterior para definir
la integral de Lebesgue-Stieltjes, que generaliza la integral de Riemann-Stieltjes.
Definición 5.63. Decimos que una medida µ definida en los Borelianos de R es una medida
de Baire si es finita para conjuntos acotados. A cada medida de Baire finita le asociamos la
función F definida por
F (x) = µ(−∞, x],
llamada la función de distribución cumulativa de µ.
Lema 5.64. Sea µ una medida de Baire finita. Luego su función de distribución cumulativa
es real acotada, monótona creciente y continua por la derecha. Además, lı́m x→−∞ F (x) = 0 y
F es continua en x si y sólo si µ{x} = 0.
Demostración. Notemos que
µ(a, b] = F (b) − F (a).
Luego, como (a, b] = ∩n (a, b + 1/n], tenemos que µ(a, b] = lı́m n→∞ µ(a, b + 1/n] y luego F (b) =
lı́mn→∞ F (b + 1/n) y por lo tanto F es continua por la derecha. Por otra parte,
µ{b} = lı́m µ(b − 1/n, b] = F (b) − lı́m F (b − 1/n).
n→∞
n→∞
Esto demuestra que F es continua en b si y sólo si la masa de {b} es 0. Finalmente, como
φ = ∩(−∞, n], tenemos que lı́mn→∞ F (n) = 0. La monotonı́a de F implica que lı́m x→∞ F (x) =
0.
Podemos ahora considerar la contraparte del lema anterior.
111
5.8. MEDIDAS DE HAUSDORFF
Lema 5.65. Sea F una función monótona creciente continua por la derecha. Luego existe una
medida de Baire única µ tal que para todo par de reales a ≤ b se tiene
µ(a, b] = F (b) − F (a).
Además, si F es acotada y F (−∞) = 0, entonces es la función de distribución cumulativa de
una medida de Baire finita única.
Demostración. Primero probaremos que si (a, b] ⊂ ∪ ∞
i=1 (ai , bi ], entonces
F (b) − F (a) ≤
∞
X
F (bi ) − F (ai ).
(5.7)
i=1
Consideraremos el caso en el que (a, b] es un intervalo acotado. Sea > 0. Elegimos δ > 0
de modo que F (a + δ) < F (a) + y δi de modo que F (bi + δi ) < F (bi ) + 2−i . Notemos que
la colección de intervalos abiertos (a i , bi + δi ), 1 ≤ i < ∞, forma un cubrimiento abierto del
intervalo cerrado [a + δ, b]. Por lo tanto, existe una cantidad finita de tales intervalos que lo
cubre. Claramente tenemos
F (b) − F (a + δ) ≤
n
X
F (bij + δij ) − F (aij ) ≤ +
j=1
∞
X
F (bi ) − F (ai ).
i=1
Tomando el lı́mite cuando → 0 concluı́mos que la desigualdad (5.7) se satisface. El caso en el
que (a, b] no es acotado se deja al lector. Ahora, por la proposición 5.62, vemos que la función µ
definida en la semi-álgebra de intervalos de la forma (a, b] o (a, ∞) por µ(a, b] = b − a tiene una
extensión única al álgebra formada por las uniones finitas de intervalos de la forma anterior.
Por el teorema de extensión de Carathéodory, esta medida tiene una extensión al algebra de
conjuntos medibles que necesariamente contien a los Borelianos. Como X se puede expresar
como la unión de intervalos (n, n + 1] cada uno de medida finita, la medida µ es σ-finita y la
extensión es única.
Definición 5.66. Integral de Lebesgue-Stieltjes. Sea F una función monótona creciente
continua por la derecha. Para cada función no-negativa φ Borel medible definimos la integral
de Lebesgue-Stieltjes de φ respecto a F por
Z
Z
φdF := φdµ,
donde µ es la medida de Baire con función de distribución cumulativa F .
Concluı́mos con el siguiente lema.
Lema 5.67. La medida de Baire asociada a la función F (x) = x coincide con la medida de
Lebesgue.
5.8.
Medidas de Hausdorff
Hemos visto que existen conjuntos “grandes” en R, como el conjunto ternario de Cantor,
pero que tienen medida de Lebesgue 0. Queremos definir generalizaciones de la medida de
Lebesgue, pero que asignen una medida no trivial a este tipo de conjuntos. Demostraremos
primero varios resultados generales sobre medidas externas.