INECUACIONES.- DEFINICION.- Una inecuación es una

INECUACIONES.DEFINICION.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades
desconocidas (incógnita) y que solo se verifica para determinados valores de la
incógnita o incógnitas.
Ejemplo.- La desigualdad: 2𝑥 + 1 > 𝑥 + 5, es una inecuación por que tiene una
incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.
INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para
expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente
en la recta numérica real.
Nota.- 1
𝑆𝑖 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ↔ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Ejemplo.- Demostrar que: 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [2,4] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2𝑥 + 3 ∈ [7,11]
Solucion
𝑥 ∈ [2,4] → 2 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 2
4 ≤ 2𝑥 ≤ 8, 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 3
7 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 11
𝑆𝑖 7 ≤ 3𝑥 + 3 ≤ 11 → 2𝑥 + 3 ∈ [7,11]
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [2,4] → 2𝑥 + 3 ∈ [7,11]
2
𝑆𝑖 𝑥 ∈< 𝑎, 𝑏 > ↔ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Demostrar que: 𝑆𝑖 𝑥 < 𝑎, 𝑏 >↔ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Solución
2𝑥 − 6 ∈< −4,4 >→ −4 < 2𝑥 − 6 < 4, 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 6
2 < 2𝑥 < 10 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2
1 < 𝑥 < 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ∈< 1,5 >
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑖 2𝑥 − 6 ∈< −4,4 >→ 𝑥 ∈< 1,5 >
CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION
Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la
verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido
prefijado.
RESOLUCION DE UNA INECUACION.El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución: es decir, encontrar
el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la
inecuación.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ó 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0, 𝑎 ≠ 0
Para resolver estas inecuaciones se debe considerar 𝑎 > 0, es decir, si 𝑎 > 0,
entonces:
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
3𝑥 − 4 < 𝑥 + 6
Solución
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la
inecuación en la forma:
En un solo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3(𝑥 − 4) + 4𝑥 < 7𝑥 + 2
Solución
Poniendo en un sólo miembro la incognita y el otro miembro los números:
Esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solucion de la inecuación dada, es el
conjunto de todos los números reales
5𝑥 − 4(𝑥 + 5) < 𝑥 − 24
Solución
En forma análoga a los ejemplos anteriores en un solo miembro ponemos las
incógnitas y en el otro miembro los números: 5𝑥 − 4𝑥 − 𝑥 < −24 + 20 simplificando
0 < −4
Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que
verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacio.
INECUACION DE SEGUNDO GRADO EN UNA INCOGNITA
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 ó 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎
Donde a,b,c pertenecen a los reales, siendo a diferente de cero, la solución de estas
inecuaciones se obtiene mediante las propiedades de los números reales o también por
medio de la naturaleza de las raíces del trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 .
a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.
Consideremos el trinomio de segundo grado
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 , 𝒄𝒐𝒏 𝒂 > 𝟎 ……. (1)
Al analizar el valor numero de la ecuación (1) dando valores reales a x se
presentan tres casos:
1 er caso.- Si ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎, entonces hay dos valores reales diferentes 𝒓𝟏 <
𝒓𝟐 que anula al trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 .
Es decir: 𝒂(𝒙 − 𝒓𝟏 )(𝒙 − 𝒓𝟐 ) = 𝟎, si se hace variar x a lo largo de la recta real
resulta:
I)
II)
III)
Cuando x toma valores menores que 𝒓𝟏 , los factores (𝒙 −
𝒓𝟏 )𝒚 (𝒙 − 𝒓𝟐 ) son negativos, luego el trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, tiene
el mismo signo del coeficiente de “a”.
Cuando x toma valores intermedio entre 𝒓𝟏 𝒚 𝒓𝟐 : entonces el
factor (𝒙 − 𝒓𝟏 ) es positivo y el factor (𝒙 − 𝒓𝟐 ) es negativo, luego el
trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , tiene signo opuesto del coeficiente de
“a”.
Cuando x toma valores mayores que 𝒓𝟐 , entonces los factores
(𝒙 − 𝒓𝟏 ), (𝒙 − 𝒓𝟐 ) son positivos, luego el trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄,
tiene el mismo signo del coeficiente de “a”.
2do caso.- Si∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎, entonces hay un solo valor real 𝒓𝟏 = 𝒓𝟐= 𝒓,
que anulan el trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, luego como (𝒙 − 𝒓)𝟐 es positivo, el
signo del trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 es el mismo del coeficiente de “a”.
3er caso.- Si ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎, entonces se tiene dos valores no reales
𝒓𝟏 = 𝜶 + 𝜷𝒊 𝒚 𝒓𝟐 = 𝜶 − 𝜷𝒊 que anulan el trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, y para
cualquier valor de x, el trinomio: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 tiene el mismo signo del
coeficiente de “a”:
b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.Para resolver una inecuación cuadrática de las formas 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 >
𝟎 ó 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎, donde a,b,c existen en R, a diferente de 0, por medio de
la naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, y
de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presenta tres casos:
1er Caso.- Si la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, tiene dos raíces reales
diferentes 𝒓𝟏 < 𝒓𝟐.
2do Caso.- Si la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, tiene una raíz real única 𝒓𝟏 =
𝒓𝟐= 𝒓.
3er Caso.- Si la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, tiene dos raíces no reales.
RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.2𝑥 2 + 𝑥 − 10 > 0
Solucion
Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales:
2𝑥 2 − 𝑥 − 10 > 0 → (𝑥 + 2)(2𝑥 − 5) > 0
(𝑥 + 2)(2𝑥 − 5) > 0 ↔ (𝑥 + 2 > 0⋀ 2𝑥 − 5 > 0)⋁(𝑥 + 2 < 0 ⋀2𝑥 − 5 < 0)
↔ (𝑥 > −2 ∧
5
5
) ∨ (𝑥 < −2 ∧ 𝑥 < )
2
2
Otra forma de resolver esta inecuación, es por la naturaleza de sus raíces de la
ecuación
5
2𝑥 2 + 𝑥 − 10 = 0, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟1 = −2, 𝑟2 = 2 , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑟1 < 𝑟2 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 2𝑥 2 + 𝑥 − 10 > 0,
de
2
𝑥 2 + 8𝑥 − 65 < 0
Solución
Usando propiedades de los números reales
Completando cuadrados en
𝑥 2 + 8𝑥 − 65 < 0
Se tiene:
𝑥 2 + 8𝑥 ∓ 16 < 65 + 16 → (𝑥 + 4)2 , aplicando la propiedad
(𝑥 + 4)2 < 81 ↔ −√81 < 𝑥 + 4 < √81
↔ −9 < 𝑥 + 4 < 9 ↔ −13 < 𝑥 < 5
La solución es
Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de
𝑥 2 + 8𝑥 − 65 = 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ∶ (𝑥 + 13)(𝑥 − 5) = 0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟1 = −13, 𝑟2 = 5
De acuerdo al cuadro es:
3.- 𝑥 2 + 20𝑥 + 100 > 0
Solucion
Mediante propiedad de los números reales se tiene:
Entonces:
, por lo tanto la solución es:
Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: .- 𝑥 2 + 20𝑥 + 100 = 0 → 𝑟 =
−10 en multiplicidad de 2, y como .- 𝑥 2 + 20𝑥 + 100 > 0, de acuerdo al cuadro la
solución es:
4.-
3
9
𝑥 2 + 5 𝑥 + 100 < 0
Solucion
Aplicando la propiedad de los números reales:
Luego
3
9
3 2
3 2
𝑥 2 + 5 𝑥 + 100 < 0 → (𝑥 + 10) < 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 (𝑥 + 10) ≥ 0, entonces no
existe ningún valor real para x que verifique a la inecuación es decir: ∅.
3
9
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación 𝑥 2 + 5 𝑥 + 100 =
3
3
9
0, de donde 𝑟 = − 10 de multiplicidad dos, pero se tiene que 𝑥 2 + 5 𝑥 + 100 < 0 y de
acuerdo al cuadro la solución es: ∅.