Problemas Propuestos

Tema 5
Muestreo
Problemas Propuestos
PROBLEMA 5.1
Sea x(t ) una señal cuya respuesta en frecuencia cumple:
X (ω ) = 0
,
ω >
ω0
2
Teniendo en cuenta las características de esta señal, indicar la pulsación mínima
de muestreo para las siguientes señales:
a.- y (t ) = x 2 (t ) ⋅
d x(t )
dt
3

b.- y (t ) = x(t ) ⋅ cos ω 0 t 
4

t
c.- y (t ) = x  ⋅ x(t − 4 )
 2
Resultado
a.-
ω s = 3ω 0
b.-
ω s = ω0
c.-
5
2
3
ω s = ω0
2
261
Señales y Sistemas. Ejercicios
Problemas Propuestos
PROBLEMA 5.2
Una técnica utilizada para disminuir la frecuencia de muestreo de señales reales
paso banda, se basa en la representación de estas mediante funciones paso bajo
que contienen la misma información.
a.- Obtener el espectro de la señal si se muestrea con un tren de pulsos
cuadrados de anchura τ = 121 y amplitud unidad.
x(t ) = uc (t ) ⋅ cos(ω c t ) − u s (t ) ⋅ sen(ω c t )
{
x(t ) = ℜe [ uc (t ) + j u s (t ) ]⋅ e jω ct
x(t ) = a (t ) ⋅ cos( ω c t + θ (t ) )
(1)
}
(2)
a (t ) = u 2 (t ) + u 2 (t )
c
s

con 
 u s (t ) 

θ (t ) = arctg 

 uc (t ) 
(3)
A partir del diagrama de bloques de la figura 1 (con ω c >> 2ω1 ) y de la señal
x(t ) cuyo espectro se representa en la figura 2, se pide:
b.- Dibuje los espectros de amplitud y de fase de las señales uc (t ) y u s (t )
(denominadas componentes en fase y cuadratura).
c.- Calcule en la figura 1 el máximo valor de T para muestrear las señales
uc (t ) y u s (t ) y seguir manteniendo toda la información de x(t ) . Comparar
este valor con el que establece el teorema de Nyquist para el muestreo de
x(t ) .
H(ω)
x (t)
cos(ωc t)
u (t)
2
c
−2ω1
−ω 1
c
ω1 2ω1
ω
∞
x(t)
∑ δ(t − nT
Oscilador
n = −∞
-sen(ω c t)
H(ω)
x (t)
2
s
−2ω1
−ω 1
Figura 1
262
u (t)
s
ω1 2ω1
ω
Tema 5
Muestreo
X(ω)
1
−ω c -ω1
−ω c
−ωc +ω1
ω c -ω1
ωc
ω c +ω 1
ω
Figura 2
Resultado
a.- Desarrollando las ecuaciones 1 y 2 y calculando el fasor suma en ambos
casos, se obtiene la ecuación número 3.
b.U C ( ω)
US ( ω)
ϕU ( ω)
ϕU ( ω)
S
C
π
2
− π2
c.-
ω s min = 2ω1
→ Tmax =
ω 's min = 2(ω c + ω1 ) → T 'max =
2π
ωs
=
π
π
ω1
ω c + ω1
para uc (t ) y u s (t )
para x(t )
Tmax >>T 'max
263
Señales y Sistemas. Ejercicios
Problemas Propuestos
PROBLEMA 5.3
En el esquema de la figura, se sabe que:
x(t ) = cos(0.5 ⋅ t ) + 0.1⋅ cos(0.8 ⋅ t )
s (t ) =
H (S ) =
∞
∑ δ (t − nπ )
n = −∞
1
s2 + 2 ⋅ s +1
1 , ω < 2
H L (ω ) = 
0 , ω > 2
Se pide:
a.- Espectro de xs (t ) .
b.- Módulo del espectro de y (t ) .
Resultado
a.X s (ω ) =
264
∞
∑ [δ (ω − 0.5 − k 2) + δ (ω + 0.5 − k 2)
k = −∞
+ 0.1 ⋅ δ (ω − 0.8 − k 2 ) + 0.1 ⋅ δ (ω + 0.8 − k 2 )]
Tema 5
Muestreo
b.Y (ω ) = 0.97 ⋅ δ (ω − 0.5) + 0.97 ⋅ δ (ω + 0.5) + 0.084 ⋅ δ (ω − 0.8) + 0.084 ⋅ δ (ω + 0.8)
+ 0.057 ⋅ δ (ω − 1.2 ) + 0.057 ⋅ δ (ω + 1.2) + 0.4 ⋅ δ (ω − 1.5) + 0.4 ⋅ δ (ω + 1.5)
Y (ω )
S
0.94
0.94
0.4
0.4
0.084
0.084
0.057
0.057
-1.5 -1.2
-0.8
-0.5
0.5 0.8
1.2
ω
1.5
PROBLEMA 5.4
Para transmitir la señal x(t ) , de ancho de banda 10 KHz , se utiliza el sistema de
la figura 1.
Como señal de muestreo se utiliza la señal s (t ) de la figura 2, donde f s se
corresponde con la frecuencia de Nyquist.
Diseñar el sistema que permita recuperar x(t ) a partir de las muestras obtenidas.
x (t)
a
x(t)
x (t)
Muestreador
s
s(t)
f1 =40 kHz
Figura 1
s(t)
1
-T /2
T /2
s
-T
s
s
−τ/2 τ/2
t
T
s
-1
Figura 2
265
Señales y Sistemas. Ejercicios
Problemas Propuestos
Resultado
Filtro paso bajo
x (t)
f =10 kHz
s
x(t)
c
f=40 kHz
PROBLEMA 5.5
A la entrada del sistema de la figura se tiene la señal x(t ) = 2 ⋅ cos(ω1t ) .
Determine la señal de salida del sistema y (t ) y obtenga la representación de su
espectro.
-
∞

nπ 
s( t ) = ∑ δ t −

3ω1 
n=−∞ 
Resultado
y (t ) = 4 ⋅ cos(2 ω1 t ) − 2 ⋅ cos(ω1 t )
266
Tema 5
Muestreo
PROBLEMA 5.6
En el diagrama de bloques de la figura las señales x(t) e y(t) son paso bajo:
 X (ω ) = 0 ,

Y (ω ) = 0 ,
ω ≥ ωa
ω ≥ ωb
Se pide encontrar el valor máximo del periodo de muestreo para recueperar a la
salida de un filtro paso bajo la señal z(t).
Resultado
Tmax =
π
ωa + ωb
267
Señales y Sistemas. Ejercicios
Problemas Propuestos
PROBLEMA 5.7
La señal x(t ) , de ancho de banda 5 KHz, pasa a través del sistema de la figura 1.
x (t)
Filtro paso bajo
s
x(t)
y(t)
f =5 kHz
c
s(t)
Figura 1
Como señal de muestreo se utiliza la señal s (t ) representada en la figura 2:
s(t)
1
−τ
-T
τ
-T/2
T
t
T/2
-1
Figura 2
Determínese la señal y (t ) , a la salida del sistema.
Resultado
y (t ) = 0
PROBLEMA 5.8
Para muestrear la señal real x(t ) de ancho de banda 20 KHz , se utiliza una
frecuencia de muestreo f S = 50 KHz .
Se desea muestrear la señal y (t ) = x(t ) + cos(ω 0t ) , con la misma frecuencia de
muestreo f S . Se pide:
a.- Valor mínimo de ω 0 para que las muestras de y (t ) coincidan con las de
x(t ) .
b.- Posibles valores de la frecuencia de corte del filtro paso bajo de
reconstrucción, para poder recuperar x(t ) a partir de las muestras de y (t ) .
268
Tema 5
Muestreo
Resultado
a.-
ω 0 mínimo = 20π krad / seg
b.20 KHz < f c < 30 KHz
PROBLEMA 5.9
El sistema de la figura representa el muestreo de la señal x(t ) (figura 1)
mediante dos señales diferentes s1 (t ) (figura 2) y s2 (t ) (figura 3). Los filtros de
reconstrucción son filtros paso bajo ideales con la misma frecuencia de corte.
Calcule la relación de energías de las señales y1 (t ) e y2 (t ) .
X(ω)
Filtro de
reconstrucción
x(t)
y1 (t)
−ω 1
ω1
ω
T 2T
t
Figura 1
s1 (t)
s1 (t)
Filtro de
reconstrucción
-2T -T
y2 (t)
s2 (t)
Figura 2
s2 (t)
-T+t0 t0
T+t0
t
Figura 3
Resultado
E [ y1 (t ) ]
=1
E [ y2 (t ) ]
269
Señales y Sistemas. Ejercicios
Problemas Propuestos
PROBLEMA 5.10
El sistema de la figura 1, realiza el muestreo de la señal x(t ) , para lo cual se
utiliza la señal s (t ) de la figura 2. Estúdiese la influencia de la anchura de los
pulsos sobre la señal recuperada a partir de un filtro paso bajo.
Filtro
paso
bajo
x(t)
y(t)
s(t)
Figura 1
s(t)
-T
T1
T
Figura 2
Resultado
A la salida del filtro se obtiene la señal:
y (t ) =
270
2 ⋅ T1 − T
⋅ x(t )
T
t