Los números naturales son los números que usamos para contar
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PROGRAMA ACADEMICO
PREPARATORIO
MATEMATICA PARA INGENIERIA
1
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE
GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
MATEMÁTICA PREPARATORIA PARA INGENIERÍA
GUÍAS DE ESTUDIO
“La gota abre la piedra, no por su fuerza sino por su constancia” Anónimo
INTRODUCCIÓN
Quienes estamos involucrados en la enseñanza superior y como profesores de Matemática
Preparatoria para Ingeniería, hemos tenido la necesidad de escribir guías de estudio que sirvan de
apoyo al estudiante que quiere ingresar a la Facultad de Ingeniería.
Estas guías han sido escritas con el objeto de facilitar al estudiante el aprendizaje de esta ciencia. Sin
embargo hay algunos factores importantes que se deben tomar en cuenta: el conocimiento del curso,
la paciencia, el interés de parte del estudiante, habilidad del profesor para enseñar, entre otros.
Es por eso, que estas guías están escritas con sencillez, con un estilo de escritura directo, ya que si
vale la pena expresar algo, debe decirse en la forma más clara posible.
En cuanto a la necesidad de estudiar las guías, se debe al beneficio obtenido, fuera de los
conocimientos generales, de despertar el ingenio y habilidad especial de cada cual, ofreciéndole los
instrumentos, que le sirvan para desarrollar su inteligencia individual.
El objetivo principal de este trabajo, es que el estudiante adquiera una habilidad tangible para
resolver problemas, por medio de un método sistemático, mejor que la simple memorización, ya que
al comprender sólidamente los temas, el estudiante podrá formarse un concepto y un vocabulario
básico de matemática con el fin de que adquiera seguridad en su propia capacidad, y la confianza
necesaria para dominar el material técnico.
Nosotros no nos atribuimos la creación de una sola de las teorías expresadas en estas guías sino, tan
solo el mérito de haberlas recopilado y presentado en forma comprensible y útil.
El trabajo por parte del estudiante es muy duro y muchas veces cansado, pero sólo con disciplina y
dedicación puede ser alcanzado el conocimiento necesario para alcanzar el éxito en el estudio.
Para finalizar esta introducción, queremos recomendar al estudiante, leer cada guía y resolver los
ejercicios por completo, pues no es aconsejable tratar de adquirir un conocimiento si antes no nos
hemos apropiado de los elementos necesarios para que el nuevo conocimiento tenga un significado.
Docentes PAP Ingeniería, 2010
2
GUIA PRACTICA
CONCEPTOS BASICOS Y EJERCICIOS RESUELTOS
MATEMATICA
GUIA PRACTICA
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
PRIMERA EDICION
ROBERTO ROTTMAN
INGRID FLORES
KARINA PERALTA
NORMA FUENTES
NERY MEJIA
3
PREFACIO:
Estas “GUÍAS DE ESTUDIO” se han elaborado cuidadosamente, siguiendo secuencialmente, el
contenido programático del curso de “Matemática para Ingeniería” y llevan como objetivo
fundamental, contribuir a la preparación del estudiante, para facilitarles en forma resumida, práctica
y didáctica, una obra de consulta rápida de las 8 unidades.
Las guías incluyen conceptos básicos, propiedades, procedimientos, algoritmos, para complementar
los conocimientos que poseen los alumnos recién graduados de diversificado, muchas veces
deficientes, confusos, incompletos, etc.
También incluyen ejercicios y problemas ilustrativos, resueltos como modelos o guías y problemas
y ejercicios de aplicación con respuestas proporcionadas, para motivar a catedráticos y a alumnos a
resolver muchos de ellos, verificando su respuesta y a continuar en el maravilloso mundo de la
matemática, adquiriendo habilidad, entendimiento, destreza, desarrollo de la inteligencia, aplicación
del ingenio y la imaginación, la creatividad, el sentido común, la iniciativa, el talento, chispa o
viveza de ingenio, organización del tiempo y mejorar sus resultados académicos, como fruto del
aprendizaje.
Finalmente el objetivo del curso aludido, con la contribución pedagógica de estas “guías de
estudio”, es ayudar al alumno, a su preparación y adaptación a los cursos de los primeros ciclos de la
Facultad de Ingeniería y evitar tanto fracaso, como lo demuestran las estadísticas negativas de los
últimos años.
4
INDICE
UNIDAD 1
Fundamentos de aritmética
1.1. Matemática y Número
1.2. Conjunto de números naturales. Concepto de sucesor y antecesor.
1.3. Números pares e impares.
1.4. Números primos y compuestos.
1.5. Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad. Teorema fundamental de la Aritmética.
1.6. Conjunto de números enteros. Orden y valor absoluto.
1.7. Operaciones elementales con números enteros y sus propiedades.
1.8. Jerarquía de las operaciones con números enteros.
1.9. Resolución de problemas.
1.10 Reconocimiento de patrones en sucesiones numéricas.
UNIDAD 2
Números racionales: propiedades, operaciones y aplicaciones
2.1 Mínimo común múltiplo y Máximo común denominador.
2.2 Fracciones equivalentes. Ampliación y simplificación de fracciones.
2.3 Comparación de fracciones.
2.4 Operaciones elementales con números racionales y sus propiedades.
2.5 Jerarquía de las operaciones con números racionales.
2.6 Fracciones decimales.
2.7 Representación decimal de los números racionales.
2.8 Resolución de problemas.
UNIDAD 3
Exponentes y radicales
3.1 Potencias y raíces con números enteros y racionales.
3.2 Leyes de los exponentes y de los radicales.
3.3 Operaciones con potencias y radicales.
3.4 Representación geométrica de algunas potencias y raíces.
3.5 Operaciones con números reales.
3.6 Resolución de problemas.
UNIDAD 4
Fundamentos de álgebra de los números reales
4.1 Transición del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico.
4.2 Expresiones algebraicas. Simplificación de términos semejantes.
4.3 Operaciones con polinomios.
4.4 Productos notables y sus aplicaciones.
4.5 Factorización de polinomios.
4.6 Operaciones con fracciones algebraicas.
4.7 Resolución de problemas.
5
UNIDAD 5
Proporcionalidad
5.1 Razones y proporciones.
5.2 Proporcionalidad directa y su aplicación en la resolución de problemas.
5.3 Proporcionalidad inversa y su aplicación en la resolución de problemas.
5.4 Reparto proporcional directo e inverso.
5.5 Proporcionalidad compuesta y su aplicación en la resolución de problemas.
UNIDAD 6
Ecuaciones lineales y cuadráticas
6.1 Propiedades de la igualdad: reflexividad, simetría y transitividad.
6.2 Concepto de ecuación y principio para su solución.
6.3 Ecuaciones lineales. Ecuaciones equivalentes.
6.4 Solución de ecuaciones lineales con una y dos incógnitas.
6.5 Ecuaciones cuadráticas: Concepto y forma general.
6.6. Solución de ecuaciones cuadráticas con raíces reales: factorización, por completación y por
formula general.
UNIDAD 7
Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
7.1 Estrategias para la modelación y solución de problema mediante ecuaciones.
7.2 problemas que plantean condiciones aritméticas, problemas que se refieren a números.
7.3 problemas de movimiento.
7.4 problemas de mezcla.
7.5 problemas de inversión.
7.6 Otras aplicaciones.
UNIDAD 8
Introducción a la geometría
8.1 Elementos fundamentales, punto, recta y plano.
8.2 Ángulos: concepto, sistemas de medición, clasificación y propiedades.
8.3 Triángulos: Definición, clasificación, líneas notables, perímetro y área.
8.4 Teorema de Pitágoras y sus aplicaciones.
8.5 cuadriláteros: clasificación, cálculo de perímetros y áreas.
8.7 Cuerpos geométricos: área superficial y volumen.
8.8 Problemas de aplicación que vinculen el álgebra y la geometría.
6
VII. REFLEXIÓN PERSONAL EN RELACIÓN A LAS PRUEBAS MATEMÁTICAS QUE
SE EFECTÚEN, PARA DETECTAR FALLAS DE LOS ALUMNOS:
1. Asistencia.
2. Puntualidad.
3. Tareas mínimas.
4. Tareas extra.
5. Consultas oportunas de dudas.
6. Grupo de estudio.
7. ¿Estudié lo necesario?
10. ¿Estoy satisfecho del esfuerzo invertido en el curso?
11. ¿Puedo mejorar?
12. ¿Qué estoy dispuesto a sacrificar para mejorar?
13. Mi participación en clase ha sido: activa… positiva… negativa… pasiva…
14. ¿Respeté silencio y orden?
15. ¿Qué distractores eliminaré?
16. ¿Estoy dedicado al estudio?
17. Otros elementos a considerar…
IX. ALGUNOS ENTRETENIMIENTOS MATEMÁTICOS:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¿Cuánto de tierra hay en un agujero 2.00 • 2.00 • 2.00 metros?
VII = I cambiar de ubicación 1 palillo y convertir en igualdad matemática
5 + 5 + 5 = 550 trazando 1 línea recta, convertir la expresión, en igualdad matemática.
Con 16 palillos formar 8 triángulos equiláteros iguales. Eliminar 4 palillos y dejar 4
triángulos, pero que cada uno toque a otro, en cualquier punto.
Seccionar la Luna en “cuarto menguante” en 6 áreas, con el trazo de 2 rectas.
Trazar un cuadrado con 3 rectas.
Trazar un cuadrado con 3 rectas, pero en el centro del papel o el pizarrón.
El cuadro con operadores matemáticos, iguales a 6, usando los, signos de agrupación que
sean necesarios.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
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2
3
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5
6
7
8
9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
10. ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?
11. Dividir un pastel cilíndrico, en 8 porciones, con sólo 3 cortes.
12. Si un ladrillo pesa 4 libras + ½ ladrillo, ¿cuántas libras pesarán ladrillo y medio?
13. Plantar 4 árboles, de manera que haya la misma distancia entre todos ellos.
7
14. 6 hombres beben cerveza en un bar, un total de 21 vasos. Cada uno ha bebido diferente
cantidad que los demás. ¿ Cuánto ha bebido cada uno?.
15. ¿Qué área tiene un triángulo cuyos lados miden 94, 177 y 82 cms?
16. Expresar cien, usando obligadamente los 10 dígitos sin repetir.
17. Plantar 10 árboles que formen 5 filas de tres árboles en cada fila.
18. Con 6 palillos formar 4 triángulos equiláteros iguales.
19. Escribir un número de 10 dígitos (0 a 9), de tal forma que al multiplicarlo por 2, dé otro de
10 dígitos sin repetir.
X. TIPS PARA EL ESTUDIO-APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS:
1.
2.
3.
4.
Actitud mental positiva. Puedes, si crees que puedes.
Asiduidad y puntualidad.
Participación en clase, con atención y concentración.
Pre-lectura de los temas: permite tener una idea global del punto o puntos a tratar; facilitar
identificar las ideas fuerza de la próxima exposición, con un avance del tema.
5. Tomar notas ordenadas y claras.
6. Integrar un equipo de estudio: entre 2 y 4 participantes, para que responsablemente
contribuyan, con ayuda y motivación a los compañeros, en el que todos “jalen parejo”, y
faciliten el éxito del aprendizaje.
7. Horario de estudio: elaborarlo, escribirlo en forma atractiva, colocarlo en un lugar visible de
cada interesado y respetarlo.
8. Lugar de estudio: elegirlo, lo más apartado posible de ruidos, personas, t.v., radio y otros
distractores que dificultan la concentración. Debe tener buena iluminación y ventilación,
estar limpio, ordenado y con todo el material y útiles necesarios para un estudio sin mayores
interrupciones.
9. Ejercicios matemáticos: efectuar muchos, para dominar cada tema, adquirir habilidad,
relacionar un tema con otros y aplicarlos, a fin de facilitar la resolución de problemas.
10. Dudas: tratar de resolverlas oportunamente y no permitir su acumulación antes del desarrollo
del siguiente tema o capítulo.
11. Perseverancia: constancia, superación y sacrificio, para invertir más tiempo, en calidad y
cantidad, en el estudio del curso.
12. Estudio oportuno: significa aprendizaje eficiente. Después de cada clase, aproveche el
siguiente período libre, para repasar y reforzar lo explicado, estudiando las reglas y resolviendo
los problemas o ejercicios del capítulo. Al posponer el estudio inmediato de la clase recibida,
más detalles olvidarán del mismo y perderá más tiempo en “agarrar el hilo” y concentrarse en el
tema.
13. Consultar otros libros: también Internet, bibliotecas y otras fuentes de información de
matemática, para aumentar el hábito de estudio y de investigación.
14. Leer no es estudiar: estudiar es comprender, pensar con detenimiento y profundidad acerca
de cada tema, motivo del curso o del estudio. Al estudiar, acumulamos conocimientos, cultura y
ejercitamos al máximo nuestra inteligencia. Estar conscientes que se estudia para aprender y no
para ganar un examen o para quedar bien con alguien.
15. Mejorar los hábitos de estudio: permite aprovechar mejor el tiempo, aprender con más
rapidez y grabar profundamente las ideas, conceptos, reglas y procedimientos, para su aplicación
en los diferentes capítulos del curso.
8
16. No debemos decir: “es difícil… no tengo memoria… no me puedo concentrar…no tengo
tiempo… lo haré otro día…” Digamos: puedo, quiero y lo haré.
17. Cómo actuar frente a un problema matemático: para resolverlo, primero léalo bien; entérese
de qué se trata, cuáles son todos los datos, cuáles son las incógnitas. Si puede, haga un dibujo
para visualizarlo, tratando de usar símbolos, diagramas, flechas, etc., con colores agradables a la
vista. Piense cuáles son los posibles métodos o procedimientos… y hasta este preciso momento,
empiece a escribir, planteando el problema con lenguaje matemático o algebraico, según sea el
caso. Es muy importante trabajar con orden y limpieza. Esto facilitará cualquier revisión
posterior. Recuerde que, hasta donde le sea posible, debe efectuar la comprobación del resultado,
para verificar que fue planteado y operado satisfactoriamente.
18. Haga la mayor cantidad de ejercicios y problemas, hasta dominar el tema. En ejercicios
“modelo”, copie únicamente los datos y efectúe el ejercicio completo, sin consultar el
procedimiento del libro, y finalmente compare el resultado. Si no llegó a la solución esperada,
repita el proceso y las operaciones y si es necesario consulte cómo se resuelve, para no quedarse
con
dudas
de
ese
ejercicio
o
problema.
Repita por escrito, los ejercicios que considere con mayor grado de dificultad y compare
resultados.
Reflexiones.
- Todo lo que vale la pena hacerse, vale la pena hacerlo bien.
- Todas las cosas, tienen muchas maneras de hacerse, pero solamente una inteligencia entrenada,
sabe cómo buscar todos sus ángulos, hasta dar con aquél que proporcione la solución exacta y
práctica.
- Un viaje de 100 kilómetros, comienza con un sencillo paso.
XI. ALGUNOS OBJETIVOS DE LA GUIA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Reforzar conceptos.
Ordenar ideas.
Recordar procesos y procedimientos.
Profundizar técnicas de estudio-aprendizaje.
Aumentar su inteligencia.
Incrementar los niveles de atención y creatividad e imaginación.
Desarrollar la agilidad mental.
Actualizar estrategias de razonamiento lógico-matemático, para poner en práctica sus
conocimientos sobre principios y propiedades de números y operaciones, para resolver a
satisfacción, problemas de lógica y de matemática.
Adquirir destrezas para entender y visualizar los problemas que se le planteen y resolverlos
satisfactoriamente.
Profundizar en la utilización de la lógica y el razonamiento, en la resolución de problemas
matemáticos.
9
XII. Elementos fundamentales que han desarrollado muchos profesionales guatemaltecos
exitosos, entrevistados por reporteros de Prensa Libre en el año 2009:
-
Dedicación.
Esfuerzo continuo.
Deseos de triunfar.
Creatividad.
Confianza en sí mismo.
Gusto, agrado, pasión por lo que se hace.
Disposición por aprender.
Voluntad férrea.
Orden y disciplina.
XIII. 10 reglas que cumplen la mayor parte de los habitantes de países que tienen éxito y
prestigio internacional, en economía, producción, industria, exportaciones, paz social,
publicación de libros…
1. Lo ético como principio básico.
2. Orden y limpieza.
3. Integridad.
4. Puntualidad.
5. Responsabilidad.
6. Deseo de superación.
7. Respeto a sí mismo y las leyes y reglamentos.
8. Respeto al derecho de los demás.
9. Amor al trabajo.
10. Cumplimiento de las responsabilidades y su esfuerzo por la economía, el emprendimiento y
la acción.
No se debe a la raza, ni a la inteligencia, ni al nivel económico, ni a la extensión territorial, ni a sus
recursos naturales… sino a actitud positiva de la población, a su comportamiento, a su conducta,
a su predisposición en sus acciones.
XIV. ASPECTOS QUE FACILITAN EL APENDIZAJE DE MATEMÁTICA:
Para entender y aprender matemática con mayor facilidad y profundidad, se requiere cumplir, entre
otros, con los aspectos siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
Interés por aprender.
Dedicación.
Esfuerzo continuo.
Autoconfianza.
Responsabilidad.
10
6. Creatividad.
7. Curiosidad.
8. Investigación.
9. Deseo de triunfar.
10. Orden y limpieza.
11. Efectiva planificación del tiempo.
12. Actitud mental positiva.
13. Sentido común.
14. Trabajo en equipo.
15. Pre-lectura.
16. Efectiva participación en clase.
17. Estrategias eficaces de estudio oportuno.
18. Mentalidad crítica y analítica
19. Valoración del conocimiento matemático.
20. Ejecución, a conciencia, de todas las tareas.
21. Cumplir con los “requisitos” del curso.
22. Deseo de superación personal y colectiva, para sentirse útil y capacitado a favor de una
Guatemala mejor.
XV. EL MUNDO DE LOS TRIUNFADORES Y DE LOS PERDEDORES:
-
El triunfador busca hacer las cosas. El perdedor busca demostrar que no se puede.
El triunfador ve siempre una oportunidad, cerca de cada obstáculo. El perdedor sólo ve
obstáculos cerca de cada oportunidad.
El triunfador siempre se orienta hacia la solución. El perdedor siempre está desorientado en
el problema.
El triunfador dice: quizás sea difícil, pero es muy posible. El perdedor dice: puede que sea
posible, pero es muy difícil.
El triunfador es parte de la respuesta. El perdedor es parte del problema.
El triunfador siempre tiene un plan. El perdedor siempre tiene una excusa.
El triunfador dice: lo conseguí. El perdedor dice: casi lo consigo, si no fuera por…
XVIII. PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA:
1. DESCRIPCIÓN
El curso permite realizar una revisión de los tópicos de aritmética elemental, como vía para
introducirse fácilmente en el campo del álgebra. Se incluyen además temas fundamentales de
geometría y su vinculación con el tratamiento algebraico. Se enfatizará la construcción de un
sistema conceptual cuya articulación coherente proporcione el sustento para el aprendizaje de
algoritmos de cálculo y procedimientos de solución analítica en el campo del álgebra. La base
conceptual construida y las habilidades procedimentales desarrolladas se combinan con el
aprendizaje de distintas estrategias para la modelación y resolución de diversas situaciones
problema.
El enfoque metodológico propuesto para el desarrollo del curso, se sustenta en una visión formativa
en la que se pretende complementar la adquisición de conocimientos matemáticos con el desarrollo
11
de habilidades básicas de pensamiento matemático que potencialicen el desempeño académico y con
el desarrollo de competencias que posibiliten el aprendizaje autónomo, tanto individual como en
equipo.
2. OBJETIVOS
2.1 Generales
2.1.1. Fortalecer la formación matemática de los estudiantes en cuanto a los conceptos
fundamentales,
articulación
coherente
de
procedimientos
analíticos
y la
aplicación de los mismos en la resolución de problemas.
2.1.2. Desarrollar habilidades de pensamiento matemático tales como: observación,
reflexión, reconocimiento de patrones, abstracción, generalización, deducción, entre otras.
2.1.3. Fomentar actitudes que favorezcan el desempeño matemático tales como: formación
de hábito de estudio, esfuerzo continuado, compromiso personal por aprender, curiosidad,
entre otras.
2.1.4. Fomentar el desarrollo de competencias básicas que posibiliten el aprendizaje
autónomo, tales como capacidad para trabajar en equipo, resolver problemas abiertos,
investigar, juicio crítico, liderazgo académico, entre otras.
2.22 Específico
Que el estudiante:
2.2.1. Desarrolle habilidad para la comprensión de los conceptos, propiedades y reglas que
se utilizan en las operaciones aritméticas y algebraicas.
2.2.2.
Desarrolle habilidad en la representación de las operaciones y conceptos
matemáticos, integrando conocimientos de los tres campos en estudio: aritmético, algebraico
y geométrico.
2.2.3. Desarrolle habilidad en la aplicación de conocimientos y procedimientos analíticos en
solución de problemas.
2.2.4. Desarrolle actitudes y competencias que potencialicen su capacidad para el aprendizaje
autónomo.
1.
BIBLIOGRAFÍA:
1. MATEMÁTICA 5. Ernest R. Duncan (Houghton Mifflin Company, Boston, Massachusetts,
USA 1985)
2. MATEMÁTICAS SIN LÍMITES. PRÁCTICA. (Fennell.Reys.Reys.webb) Holt, Rinehart
and Winston, Inc. 1988.
3. MATEMÁTICAS 7. (Clara Luz Solares de Sánchez, Vilma López, Claudia Juárez).
Editorial Santillana, 2005, Guatemala.
4. MATEMÁTICAS 9. (Clara Luz Solares de Sánchez, Iris Palencia Gramajo, Vilma López).
Editorial Santillana, 2004, Guatemala.
5. LÓGICA MATEMÁTICA. (Pedro Gutierrez). Mc Graw-Hill de México S.A. de C.V.
6. PRINCIPIOS DE LÓGICA MATEMÁTICA. (Mario S. Fernández), TEXDIGUA,
GUATEMALA, EDICION 2005.
12
7. ESTRATEGIAS DE RAZONAMIENTO (Ings. Jorge Estuardo Sánchez y Ovalle
Rodríguez).
8. MATEMÁTICA, CUARTO BACHILLERATO (César René Mejía).
9. MANUAL DE MATEMÁTICA (Otto René Rojas). GUATEMALA 2006. Manual basado en
el contenido del nivel medio para exámenes de ingreso a la USAC.
10. INTRODUCCION AL ÁLGEBRA, A TRAVÉS DE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA. (Ing.
Mario René de León García – USAC. Editorial Estudiantil Fénix 2007. GUATEMALA,
COPESA.
11. GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO (Aurelio Baldor).
12. MATEMÁTICAS DÉCIMO GRADO (NIVEL 5), Mc Graw-Hill, 1998. Universidad
Nacional de Colombia (Christian R. Hirsch, Harold Schoen, Roland Larson, Robert
Hostetler).
13. ÁLGEBRA (Dr. Aurelio Baldor) (Fundador, Director y Jefe de Cátedra de Matemáticas del
Colegio Baldor, Habana Cuba. Jefe de Cátedra de Matemáticas Stevens Academy, Hoboker,
New-Jersey. USA.
14. ÁLGEBRA. (Elena de Oteyza, Carlos Hernandez, Emma Lam Osnaya de la Universidad
Nacional Autónoma de México).
15. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, Swokowski-Cole,
International Thomson Editores, S.A., México.
16. ARITMÉTICA (Dr. Aurelio Baldor) (Fundador, Director y Jefe de Cátedra de Matemáticas
del Colegio Baldor, Habana Cuba. Jefe de Cátedra de Matemáticas Stevens Academy,
Hoboker, New-Jersey. USA.
17. EL HOMBRE QUE CALCULABA (Malba Tahan).
18. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (Sullivan) Pearson, Prentice Hall.
19. ÁLGEBRA ELEMENTAL (Allen R. Ángel) Pearson, Prentice Hall.
20. PRECÁLCULO (Steward James), Quinta edición, Thomson editores, México.
21. GEOMETRIA DE PRECALCULO, (Garrido Carlos).
22. GUIA TEORICA-PRÁCTICA, Matemáticas Básicas, Universidad Central de Venezuela,
Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas, Caracas, Venezuela, Julio, 2009.
23. ÁLGEBRA ELEMENTAL, (Alfonse Gobran), Grupo Editorial Iberoamérica, Impreso en
México, 1990.
24. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRIA, (Dennis Zill), Tercera Edición, Mc Graw-Hill, Impreso
en México, 1993.
25. ÁLGEBRA ELEMENTAL, (Jerome Rosenberg), Serie Schaum, Sexta Edición, Mc GrawHill, Impreso en México, 1980.
26. http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
27. MATEMÁTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN Y GERENCIA, (Dr. Leonel Morales
Aldana), Primera Edición, Editorial Súper Aprendizaje, Impreso en Guatemala, 1999.
28. GUÍA PRÁCTICA PARA EXAMEN DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD, CONAMAT,
Editorial Pearson, Primera Edición, México, 2009.
29. MATEMATICA 1, MODULO INTRODUCTORIO, (Prof. Patricia A. Casarosa),
Universidad Nacional de la Patagonia, San Juan Bosco.
13
30. MATEMÁTICA 1, (Patricia Ibañez) Segunda Edición, Impreso en México, 2006.
2. RECOMENDACIONES PARA SU USO:
Las guías de estudio constituyen una valiosa herramienta de estudio y consulta para el estudiante. El
papel del catedrático debe aprovecharse en la formación- instrucción de los alumnos, porque serán
los UNIVERSITARIOS y los profesionales del futuro y Guatemala será mucho mejor que hoy, al
tener como fruto de los estudios superiores, profesionales honestos, estudiosos, responsables, justos,
preocupados por el bien común. Debe, a la par de la instrucción o enseñanza del curso, fomentar
actitudes positivas a favor de Guatemala, de la sociedad y de la USAC, que incluyen el respeto a los
demás, el respeto y cumplimiento de las leyes y reglamentos, así como el aprovechamiento de los
recursos que la Facultad de Ingeniería pone a su servicio, como locales iluminados y ventilados,
mobiliario, servicios sanitarios, auditórium, jardines, catedráticos preparados, etc.
Las guías de este documento son una ayuda, pero el catedrático debe preparar sus clases con
antelación, para que el período de cada clase sea aprovechado eficazmente para motivar, recordar
conceptos, enseñar otros conceptos y propiedades, algoritmos, etc., y debe explicar el contenido de
la guía a tratar. También efectuar o resolver problemas o ejercicios modelo o ilustrativos y dejar
tareas de cada guía, para que el alumno vaya dominando todos los temas del curso, adquiera
habilidades, desarrolle la lógica matemática, destrezas, razonamiento y aumente sus hábitos
ordenados de estudio-aprendizaje y logre muchos frutos en todos los aspectos mencionados.
Recordemos que EDUCAR: es enseñar a pensar…
es conducir, no amenazar…
es convencer, no regañar…
y como dijo Mark Van Doren: “El arte de enseñar, es el arte de ayudar en el descubrimiento”.
3. AGRADECIMIENTO:
Haber llegado a feliz término de este documento y su publicación, se debe gracias al esfuerzo del
grupo de ingenieros e ingenieras que formaron el equipo de catedráticos que impartió durante el
curso de MATEMATICA PARA INGENIERIA, en la EFPEM, por medio del Programa
Académico Preparatorio (PAP), cuyos catedráticos fueron coordinados por el Ing. Nery Mejía.
Así mismo, se agradece el apoyo y estímulos que manifestaron la Doctora Mayra Castillo, el Ing.
Mario René de León García y el Sr. Decano de la Facultad de Ingeniería, Ing. Murphy Paíz.
Finalmente se agradece a los Ingenieros Karina Peralta y Roberto Rottmann, quienes efectuaron la
revisión final, correcciones, ordenamiento y levantado de texto, en la forma que hoy llega a sus
manos.
Facultad de Ingeniería de la USAC
Guatemala, febrero de 2010.
14
UNIDAD 1
“Pregúntese cuál es el secreto de sus éxitos. Escuche con cuidado su respuesta y
póngala en práctica todos los días”
R. Bach
MATEMÁTICA
Objetivo de la unidad: Que el estudiante conozca el contenido de los números reales y su ubicación en la recta
numérica y desarrolle la habilidad en la comprensión de conceptos, propiedades y reglas que se utilizan en las
operaciones aritméticas.
Guía de estudio No. 1.1
Tema:
DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA, NÚMERO Y TIPOS DE NÚMEROS
Historia de la Matemática:
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la
capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada.
Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad
del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las
relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos.
Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las
matemáticas la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.
Además de saber contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo contar
cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.). Asimismo empezaron a dominar
la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división).
La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo
μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone
a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica
y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo
pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el
término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y
reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.).
La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en
griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos,
"todas las cosas matemáticas".
15
Los siguientes avances requirieron la escritura o algún otro sistema para
registrar los números, tales como tallies o las cuerdas anudadas, denominadas
quipu, que eran utilizadas por los Incas para almacenar datos numéricos. Los
sistemas de numeración han sido muchos y diversos. Los primeros escritos
conocidos que contienen números fueron creados por los egipcios en el Imperio
Medio, entre ellos se encuentra el Papiro de Ahmes. La cultura del valle del
Indo desarrolló el moderno sistema decimal, junto con el concepto de cero.
Los antiguos babilonios utilizaban el sistema sexagesimal, escala matemática que tiene por base el
número sesenta. De este sistema, la humanidad heredó la división actual del tiempo: el día en
veinticuatro horas, o en períodos de doce horas cada uno, la hora sesenta minutos y el minuto en
sesenta segundos.
Los árabes proporcionaron a la cultura europea su sistema de numeración, que reemplazó a la
numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en Europa antes de que el
matemático Leonardo Fibonacci lo introdujera en 1202 en su obra Liber abbaci (Libro del ábaco).
En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la Edad Media habían
aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la ciencia.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un
sistema de numeración de base 20 (vigesimal). También los mayas
preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor
del año 36 a. C. Este es el primer uso documentado del cero en América,
aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.
Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta
cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder
representarlas.
Los números mayas del 0 al 19.
Conceptos:
Definición de Matemática: Conjunto de habilidades, que involucra operaciones con números,
que ayudan a resolver problemas.
Definición de Número: Es una idea o pensamiento, asociado a un conjunto de objetos, o que
representan una magnitud ó una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o
cifra. Los números se usan en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de
carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc.
TIPOS DE NÚMEROS:
Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:
Números naturales : Son todos los números enteros positivos, incluyendo el cero.
N = { 0, 1, 2, 3…….}
Números primos : Son los números naturales que sólo tiene dos factores que son el número
mismo y el uno.
Ej: 2, 3, 5, 7, 11.
16
Números compuestos: Son aquellos números que son divisibles por otros números
diferentes a uno y por él mismo. Ej: 4, 6, 8, 9, 10.
Números enteros : Son los que no tienen parte decimal, incluyendo los negativos.
Z = { ……-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…….}
Números pares: Se originan al multiplicar los números naturales por dos. Se representa de
la forma:
2n.
Ej: n = 3; 2n = 2x3 = 6.
Números impares: Son los números naturales que no son pares, y por tanto no son múltiplos
de 2. Se representan de la forma:
2n + 1. Ej: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
Números racionales: Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción.
Q = { a/b, tal que b ≠ 0….}
Números irracionales: Son los números que poseen infinitas cifras decimales.
Ej: √2 = 1.41421356…., √5 = 2.23606797, π = 3,141592354...., ε = 2,7182818....
Números reales: Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la recta
numérica y cualquier punto de ésta es un número real.
Números complejos: También llamados números imaginarios, es un número cuyo
cuadrado es negativo. √−1 el nombre de i (por imaginario) Cada número imaginario puede
ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad:
𝑖 2 = −1
Actividad 1
Responda las siguientes preguntas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Qué es matemática?
¿Qué es un número?
¿Qué es una fracción?
¿Qué es un número irracional?
¿Qué diferencia hay entre un número real y un número imaginario?
¿Es irracional la raíz cuadrada de seis?
¿Es irracional, el doble de un número irracional?
Actividad 2
Resuelva los siguientes ejercicios:
1) Si n es par, ¿Cuál de los siguientes números podría ser impar?
a) n + 3
b) 3n
c) n2-1
2) De los siguientes números, indique ¿Cuál de ellos es un número irracional?
a) √3
b)√7
c) 2π
17
3) ¿Cuál de los siguientes números es un racional?
a) 3.333
b) 5 1/3
c) π
4) El número 3/5, ¿a qué tipo de número pertenece?
a) Irracional
b) Racional c) Imaginario
5) ¿Cuál de los siguientes números es Real?
a) √3
b) 2π
c) 5 1/3
6) Clasifique los números:
π/2,
3,
2.25111…,
−5,
75
−5
7) Utilizando las iniciales de cada tipo de número, indique a qué tipo pertenece cada número de
la tabla siguiente:
3
N
Z
Q
I
C
64
4/7
8
√−4
-9/5
0.032
√8
-6.4
3√2
Respuestas de la actividad 1: 1) Conjunto de habilidades, que involucra operaciones con números,
que ayudan a resolver problemas. 2) Es una idea o pensamiento, asociado a un conjunto de objetos,
o que representan una magnitud ó una cantidad. 3) Es un número racional, formado por el
numerador y el denominador. 4) Son los números que poseen infinitas cifras decimales. 5) Los
números imaginarios, son números cuyo cuadrado es negativo. √−1 el nombre de i (por imaginario)
Cada número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad
imaginaria, con la propiedad: 𝑖 2 = 1 6) Si es irracional. 7) Si es irracional.
Respuestas de la actividad 2: 1) a ; 2) Todos; 3) a; 4) b; 5) Todos; 6) Irracional,
irracional,racional, complejo, racional; 7) N, Q,N,C,Q, Q, I, Q, I.
“El éxito no se logra haciendo algo correcto una vez, sino haciendo las cosas bien con
regularidad. Los hábitos son la clave de todos los éxitos” H. Urban
18
Guía de estudio No. 1.2
“Piensa en grande, actúa en grande, sé grande” N. V. Peale
Tema:
CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES.
CONCEPTO DE SUCESOR Y ANTECESOR
La noción de número surge en el ser humano como respuesta a su
necesidad de contar objetos. Posiblemente, el conjunto de los números
naturales recibe este nombre porque fueron los primeros que se usaron
para realizar procesos de conteo. Dicho conjunto lo denotaremos por N.
Para representar la idea de cantidad, se han utilizado diferentes símbolos a
los que se conoce como numerales, los cuales han variado en las
diferentes culturas.
Actualmente utilizamos los símbolos indo-arábigos, de manera que:
N = { 0, 1, 2, 3…….}
Aunque el número cero en la antigüedad sólo fue usado en la cultura
hindú Sistemas de numeración antiguos
y en la maya, es conveniente estudiarlo como el primer elemento del conjunto
de números naturales. Si observa el conjunto de los números naturales, notará que estos pueden ser
ordenados de tal manera que al elegir uno cualquiera, es posible establecer cuál es el siguiente,
sumándole una unidad; dicho número se conoce como sucesor. Por ejemplo: el sucesor de 25 es 26
ya que 25 + 1 = 26, o bien, el sucesor de 1001 es 1002. Además, para un número natural diferente
de cero, puede identificarse su antecesor, restándole una unidad, por ejemplo: el antecesor de 925 es
924 ya que 925 – 1 = 924. Lo anterior permite afirmar que los números naturales consecutivos
difieren en una unidad. Esto puede representarse como:
n −1
antecesor
n
número natural
n +1
sucesor
Algunos conceptos:
Antecesor: preceder, que va antes.
Sucesor: que sucede a uno o sobreviene en su lugar, como continuador de él.
Sucesivamente: sucediendo o siguiendo una persona o cosa a otra.
Consecutivamente: inmediatamente después, luego, por su orden, uno después de otro.
Consecutivo: dícese de las cosas que se siguen o suceden sin interrupción.
Actividad 1
a) Visite la página de Internet http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00100.html y
redacte en su cuaderno 15 líneas de los aspectos que le parezcan más importantes acerca de
la historia de los números naturales.
b) Busque información en la bibliografía sugerida, otros libros o Internet, acerca de las
propiedades de las operaciones con números naturales.
19
Actividad 2
Resuelva los problemas que se presentan a continuación:
a) Empleando cuatro veces el número 3 (ni más, ni menos) y las operaciones habituales: (+, −,
×, ÷) y signos de agrupación que necesite, expresar todos los números del 1 al 10.
b) Empleando cuatro veces el número 5 (ni más, ni menos) y las operaciones habituales: (+, −,
×, ÷, factorial) y los signos de agrupación que necesite, expresar todos los números del 1 al
10.
c) Coloque los números naturales del 1 al 9 formando un triángulo equilátero y sume las
columnas. El número resultante de la suma, ha de ser capicúa o palíndromo. Una posible
solución es:
8
964
17532
----------------27972
Encuentre otras soluciones.
d) En el cuadrado mostrado, se han colocado los números del 1 al 9.
1
9
2
3
8
4
5
7
6
- El número de la segunda fila (384) es el doble que el de la primera (192).
- El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192).
Encuentre otras maneras de colocar los números del 1 al 9 que satisfagan las
mismas condiciones.
e) Elija cifras, de modo que no sean las tres iguales; por ejemplo 637. Luego forme un número,
ordenando las cifras y resulta 763. Enseguida forme otro, ordenándolas de menor a mayor y
resulta 367. A continuación restamos los números formados: 763 − 367 = 396. Este último
número lo invierte (obteniendo 693) y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1.089.
Repetimos el proceso con 475 ----> 754 - 457 = 297, 297 + 792 = 1.089. ¿Será cierto que
partiendo de cualquier número de 3 cifras resulta siempre 1.089? Explique.
f) En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario, pues solamente tienen
monedas de 7 centavos y de 10 centavos. ¿Cuál es la mayor cantidad de centavos que no se
puede abonar exactamente utilizando tales monedas, (sin dar vuelto)?
g) Determine tres números naturales pares consecutivos, cuya suma sea 180.
h) Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:
a)
b)
c)
d)
3, 6, 8, están en la fila superior.
5, 7, 9, están en la fila inferior.
1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la columna izquierda.
1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la columna derecha.
20
i) La diferencia entre el cuadrado del sucesor de un número cualquiera y el doble de dicho
número es: a) x2 + 1
b) x2 + 1 – 2x
c) (x+1)2 – 2x
Respuestas a los problemas de actividad 2.
a)
(3 + 3) + 3 = 7 ;
(3 × 3) − 3 = 8 ;
3
3
b)
55
= 1;
55
5+
c)
3+3+3
=3;
3
3 3
+ =2 ;
3 3
33
= 1;
33
5 5
+ = 2;
5 5
5+5
=7;
5
3× 3 + 3
= 4;
3
(3 × 3) ÷ 3 = 9
5×5 − 5
= 4;
5
5 factorial ÷ (5 + 5 + 5) = 8 ;
3
214
58976
61416
3× 3 +
3
5+5+5
= 3;
5
5+5−
6
742
85319
93339
3+3
+3=5 ;
3
3
3
= 10
3
5−5
5+
=5
5
5
= 9;
5
(3 + 3) 3 = 6 ;
5×5 + 5
= 6;
5
(5 + 5) ÷ 5 = 10
5
8
946
13 572
238 3 2
d) Proponga otra solución
2
1
9
4
3
8
6
5
7
e) Serie de operaciones con cualquier número de 3 dígitos diferentes que siempre dan el mismo
resultado de 1089.
Escriba un número de 3 dígitos diferentes, invierta el orden de las cifras o dígitos y reste el
menor del mayor. Al resultado o diferencia, súmele el número que obtenga al invertir otra vez,
el orden de sus cifras. El total de las operaciones en todos los casos es 1089.
Comprobación matemática del porqué: siga cuidadosamente los 5 pasos siguientes
Primer paso: supongamos que los dígitos o cifras o números naturales son a, b y c y a > c. Como
el número es de tres dígitos llamados centenas, de derecha a izquierda ocupan los espacios de
unidades, decenas y centenas: a b c
Segundo paso: el desarrollo del número inicial los escribimos como 10 2 a + 10b + c o sea
100a + 10b + c ; al invertir el orden de las cifras, la expresión del trinomio que se forma es
21
100c + 10b + a
al
restar
la
última
expresión
de
la
anterior,
tenemos:
100a + 10b + c − (100c + 10b + a ) = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 100a + 100c + c − a
Tercer paso: Para poder operar y facturar la expresión, restándole a la expresión última una
cantidad y sumando la misma cantidad, el valor de la expresión no se altera, por lo que si
elegimos por ejemplo restarle, 100
y sumarle (90 + 10) tenemos:
100a − 100c − 100 + 90 + 10 + c − a
Cuarto paso: factorizando o sacando factor común de los tres primeros términos y agrupando los
tres últimos términos tenemos: 100(a − c − 1) + 90 + (10 + c − a ) , al invertir nuevamente las
cifras de esta expresión resulta. 100(10 + c − a ) + 90 + (a − c − 1)
Quinto paso: al sumar ahora los 2 últimos números
100(a − c − 1) + 90 + (10 + c − a ) + 100(10 + c − a ) + 90 + ( a − c − 1 )=
o
expresiones
tenemos:
100a − 100c − 100 + 90 + 10 + c − a + 1000 + 100c − 100a + 90 + a − c − 1 =
1000 + 90 − 1 = 1,089
Comprobación con 5 ejemplos numéricos.
791
482
150
917
813
- 197
-284
- 051
- 719
- 318
594
198
099
198
495
+495
+891
+990
+891
+594
1089
1089
1089
1089
1089
f) Por tanteos, iniciándose con 100 centavos (10 monedas de 10 ¢ ) se va disminuyendo de 1¢ en 1¢
hasta obtener la respuesta que es de 53¢
g) 58, 60 y 62.
h) Por tanteos (y/o con papelitos recortados con el valor de cada/digíto) se va satisfaciendo cada
requisito proporcionado.
8
3
6
4
1
2
5
9
7
i) c
22
“No enseñar a un hombre que está dispuesto a aprender, es desaprovechar a un hombre. Enseñar
a quien no está dispuesto a aprender, es malgastar las palabras” Confucio
Guía de estudio No. 1.3
“Estúdiate a ti mismo y guíate por un propósito inquebrantable” Selecciones R.D.
Tema:
NÚMEROS PARES E IMPARES.
Los números pares se originan al multiplicar los números naturales por dos, como se muestra a
continuación:
0 1 2 3 . . .
↓ ↓ ↓ ↓. . .
0 2 4 6 . . .
Si n representa un número natural, 2n representa un número par.
Observe que dos números pares consecutivos difieren en dos unidades,
por ejemplo 12 y 14. Dos números pares consecutivos pueden
representarse por: 2n y 2n + 2
Los números naturales que no son pares, se conocen como impares. Puede observar que el sucesor
de un número par, es impar; así, los números impares se pueden representar de la forma: 2n + 1,
siendo n un número natural.
Al haber definido en la guía de estudio 1.1, los conceptos de consecutivo, sucesor y otros términos
se deduce que los números naturales que no son pares, se conocen como impares. Puede observarse
que el sucesor de un número par es impar, así los números impares se pueden representar de la
forma: 2n + 1, 2n + 3 2n + 5 … siendo n un número natural.
Por otra parte si el significado de la palabra “múltiplo” se resume como el número o cantidad que
contiene a otro u otra, varias veces exactamente, también podemos representar a números múltiplos
consecutivos, así por ejemplo 2 números múltiplos de 3 consecutivos: 3n y 3n + 3 ; 3 números
múltiplos de 5 consecutivos: 5n, 5n + 5 , 5n + 10 ; 2 números múltiplos de 7 consecutivos: 7n,
7n + 7 y así sucesivamente.
Ejercicios de aplicación:
1) Determine dos números naturales, pares consecutivos, cuya suma sea 194.
Solución:
Número menor = 2 n ;
Número mayor = 2n + 2
Planteamiento que resume los datos: 2n + (2n + 2) = 194
n = 48
4 n = 194 – 2 ;
Número menor:
2(48)= 96
Número mayor : 2(48)+2=98
Comprobación: 96 + 98 = 194
R. 96 y 98
23
2) La suma de dos números naturales impares es 124. Hallar los números:
Solución:
n1 =𝟐𝒏 + 𝟏,
n2 = 𝟐𝒏 + 𝟑
Ya que la suma de los dos números impares consecutivos es 124, tenemos:
𝟐𝒏 + 𝟏 + 𝟐𝒏 + 𝟑 = 𝟏𝟐𝟒
Despejamos n:
𝒏 = 𝟑𝟎
𝟐𝒏 + 𝟏 = 𝟐(𝟑𝟎) + 𝟏 = 𝟔𝟏
𝟐𝒏 + 𝟑 = 𝟐(𝟑𝟎) + 𝟑 = 𝟔𝟑
R. 61 y 63
Comprobación: 𝟔𝟏 + 𝟔𝟑 = 𝟏𝟐𝟒
Actividad 1. Resuelva los siguientes problemas y ejercicios:
1. La suma de 2 números pares naturales, consecutivos es 66 ¿cuáles son?
R.32 y 34.
2. La suma de los lados de un triángulo miden 3 números naturales consecutivos. Si el perímetro es
de 24 cms. ¿cuánto mide cada lado?
R. 7, 8 y 9 cms
3. Un tercio de la suma de tres números enteros múltiplos de 5, consecutivos, es 90 encuéntrelos.
R. 85, 90 y 95
4. El mayor de 3 números enteros, consecutivos, impares, menos dos veces el menor, es igual a 13
menos dos veces el de en medio. Encuéntrelos.
R. 5, 7 y 9
5. La suma de dos números naturales pares es 1250 y su diferencia es 750. Hallar los números.
R. 1000 y 250
6. La suma de dos números naturales impares es 45678 y su diferencia es 9856. Hallar los números.
R.27767y 17911
7. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones.
- Ninguna cifra es impar.
- La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera.
- La segunda es la menor de todas.
- La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta.
R. 204,862
8. Complete las siguientes tablas con los números naturales pares e impares, según las indicaciones
que se señalan en cada una:
a)
b)
c)
PAR
ANTECESOR
14
25
36
12
29
d)
IMPAR SUCESOR
99
25
18
47
19
PAR INTERMEDIO
24
28
32
36
21
23
29
31
64
68
e)
PAR ANTECESOR
IMPAR SUCESOR
17
46
82
35
40
PAR SUCESOR
19
35
26
17
14
f)
IMPAR ANTECESOR
9
27
30
19
28
24
Respuestas: a) 12, 24, 34, 10, 28; b) 26, 34, 22, 30, 66; c) 20, 36, 28, 18, 16
d) 101, 27, 19, 49, 21; e) 16-19, 44-47, 80-83, 34-37, 38-41; f) 7, 25, 29, 17, 27
“El camino a la excelencia no tiene límite de velocidad” D. Johnson
Guía de estudio No. 1.4
“La matemática: el inconmovible fundamento de todas las ciencias y
la generosa fuente de beneficios para los asuntos humanos.”
Tema:
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
¿Quién fue Eratóstenes?
Eratóstenes nació en Cyrene (Libia)
en el año 276 a. C. Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y
matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C, fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Trabajó
con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y números primos. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y
a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la tierra. Eratóstenes en sus estudios de los papiros de la biblioteca de Alejandría,
encontró un informe de observaciones en Siena, unos 800 Km. al sureste de Alejandría, en el que se decía que los rayos solares al caer
sobre una vara el mediodía del solsticio de verano (el actual 21 de junio) no producía sombra, lo que le ayudó a encontrar el tamaño
de la tierra, para ello inventó y empleó un método trigonométrico además de las nociones de latitud y longitud. Creó uno de los
calendarios más avanzados para su época y una historia cronológica del mundo desde la guerra de Troya. Realizó investigaciones en
geografía dibujando mapas del mundo conocido, grandes extensiones del río Nilo y describió la región de Eudaimon (actual Yemen)
en Arabia. Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en 194 a. C., en
Alejandría. Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños
conocido como "CRIBA DE ERATÓSTENES".
Número primo: Es un número natural que sólo tiene dos factores que son el número mismo y el
uno. Un número compuesto tiene otros factores, además de sí mismo y el uno.
Número compuesto: Es el número, que tiene más de una forma de descomposición en factores, de
factorización, cuando los factores no son necesariamente primos, o bien, son aquellos números que
son divisibles por otros números diferentes a uno y por él mismo.
Los números 0 y 1, no son ni primos ni compuestos.
Todos los números pares son divisibles por dos, por lo tanto, todos los números pares
mayores que dos, son números compuestos.
Todos los números que terminan en cinco o en cero son divisibles entre cinco, por lo tanto,
todos los números que terminan en cinco o en cero y son mayores que cinco, son números
compuestos.
Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos
divisores: el mismo número y el 1, que es divisor de todo número.
Los números primos entre dos y 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Cuando un número primo se divide por sí mismo, el resultado es 1.
Cuando un número primo se divide por 1, el resultado es el mismo número primo.
25
El dos, sólo es divisible por 1 y por el
2:
2/1 = 2
2/2 = 1
El 3 es primo porque al igual que al 2, sólo lo divide el propio número y la unidad.
3/1 = 3 ;
3/3 = 1
Primos gemelos:
Los primos consecutivos que tienen una diferencia de dos unidades, como 3 y 5 se llaman primos
gemelos.
Primos inversos:
Son pares de primos en los cuales sus dígitos están colocados en forma inversa, en relación a la
posición de las unidades y decenas. (Ejemplos: 31 y 13; 17 y 71; 37 y 73)
Primos entre sí:
Si, por definición, no tienen ningún divisor común, más que 1 y -1, entre sí. Ejemplo: 8 y 15, cuyos
divisores son: 1, 2, 4, 8 y 1, 3, 5, 15, respectivamente.
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores
que un número natural dado.
Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.
Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.
Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista
sus múltiplos, y así sucesivamente.
El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el
número final de la lista.
Los números que permanecen en la lista son los primos.
Ejemplo: Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40.
1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
2. Eliminamos los múltiplos de 2.
2 3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
29
31
33
35
37
39
3. El siguiente número es 3, como 32 < 40, eliminamos los múltiplos de 3.
2 3
5
7
11
13
17
19
23
23
25
25
27
29
31
35
37
26
4. El siguiente número es 5, como 52 < 40, eliminamos los múltiplos de 5.
2 3
5
7
11
13
17
23
29
31
19
37
5. El siguiente número es 7, como 72 > 40, el algoritmo termina y los números que nos quedan son
primos.
2 3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
Actividad 1
a) De l os s i gui ent es núm ero s : 179, 311, 848, 743, 998. Indi car cu ál es s o n
p ri m os y cu ál es com pues t os .
R . P ri m os : 179, 311,743. C om pues t os : 848, 998 .
b ) C al cul ar, m edi ant e una t abl a, t odos l os núm eros pri m os com pren d i d o s
en t re 400 y 450.
R . 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449.
Actividad 2
Determine si cada número de los siguientes, es primo o compuesto:
1)
2)
3)
4)
5)
17
28
49
42
31
R. Primo
R. Compuesto
R. Compuesto
R. Compuesto
R. Primo
6)
7)
8)
9)
10)
36
47
55
80
97
R. Compuesto
R. Primo
R. Compuesto
R. Compuesto
R. Primo
“El éxito en la vida consiste en seguir siempre adelante” S. Johnson
27
Guía de estudio No. 1.5
“Nunca te rindas, nunca, nunca, nunca” W. Churchill
Tema:
MÚLTIPLOS, FACTORES Y DIVISORES
Algunos conceptos
Múltiplo de un número: es el número que contiene a éste, un número exacto de veces.
Factor: Es el número que está contenido en otro, un número exacto de veces, también se
define como un sinónimo de multiplicando.
Divisor: Es el número que al ser dividido por otro, no produce ningún residuo.
Patrones de divisibilidad:
a) Se dice que 15 es divisible entre 5 porque 15 dividido entre 5 no produce ningún residuo.
b) Se dice que 15 es múltiplo de 5 porque 15 es divisible entre 5.
c) Se dice que 5 es un factor de 15 porque 15 es divisible entre 5.
Algunas reglas de divisibilidad: Estas reglas indican si un número es divisible exactamente entre
otro número.
•
•
•
•
•
Un número es divisible entre 2, cuando el dígito de sus unidades es 2, 4, 6,8 ó 0, es decir
cuadno termina en cifra par o en cero.
Un número es divisible entre 3, cuando la suma de sus dígitos de un número es divisible
entre 3.
Un número es divisible entre 5, cuando el número termina en 5 ó 0.
Un número es divisible entre 9, cuando la suma de sus dígitos es divisible entre 9.
Un número es divisible entre 10, cuando su último dígito es 0.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL: Es el resultado de escribir un número como un producto de
números primos. Ejemplo:
24 = 2∙2∙2∙3∙= 23∙3
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA:
“La descomposición factorial de cualquier número natural, en término de números primos, es
única, si no se toma en cuenta el orden de factores, o dicho con otras palabras: todo número natural
puede escribirse como el producto de sus números primos esencialmente en forma única”.
(Esencialmente significa que existen variaciones, pero en el orden de escribir los factores).
28
Actividad 1
Preguntas
1) ¿Cuántos divisores tiene un número primo?
2) ¿Cuántos múltiplos tiene un número?
3) ¿Cuál es el menor múltiplo de un número?
4) Formar cuatro múltiplos de cada uno de los números 5 y 6.
5) Hallar todos los múltiplos menores que 100 de los números 14 y 23.
6) Si un número es múltiplo de otro, ¿qué es éste del primero?
7) ¿Cuál es el residuo de dividir un número entre uno de sus divisores?
8) ¿Cuál es el mayor divisor de 784? ¿Y el menor?
Respuestas: 1) 2,
2) ∞, si el número es › 0, 3)Cero,
4) 5, 10, 15, 20; 6, 12, 18, 24;
5) 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98; y 23, 46, 69, 92;
6) Divisor y también uno de susfactores
7) Cero
8) 784 y 1
Actividad 2
Ejercicios
Determine si los siguientes números son divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ó 10 y realice la
descomposición factorial.
a)45
c) 79
e) 102
g) 636
i) 8004
R. 3, 5, 9
R. Primo (1, 79)
R. 2, 3, 6
R. 2, 3, 4, 6
R. 2, 3, 4, 6
b) 63
d) 86
f) 261
h) 5354
j) 4672
R. 3, 7, 9
R. 2
R. 3, 9
R. 2
R. 2, 4, 8
Respuestas actividad 2
a) 2 × 32
b) 32 × 7
c)79
d)2 × 43 e) 2 × 3 ×17
2
2
f) 3 × 29
g) 2 × 3 × 53 h)2×2677 i) 22 × 32 × 23 × 29
j) 26 × 73
Actividad 3
Problemas sobre Divisibilidad y Descomposición factorial:
1. Resuelva la siguiente adivinanza: “Soy un número mayor que 500 y menor de 550. Soy un
número impar, múltiplo de 9 y mi dígito de las unidades es 1. ¿Qué número soy? R. 531
2. Diga cuál es la menor cifra que debe añadirse al número 124 para que resulte un número de 4
cifras múltiplo de 3.
R. 2
3. Diga qué tres cifras distintas pueden añadirse al número 562 para formar un múltiplo de 3,
de 4 cifras.
R. 2, 5 y 8
4. Diga qué cifra debe suprimirse en 857 para que resulte un número de dos cifras múltiplo de
3.
R. 8 o 5
29
5. Para hallar el mayor múltiplo de 3 contenido en 7345, ¿en cuánto se debe disminuir este
número?
R. 1
Actividad 4
Ejercicios
1) Haga una lista de los divisores de cada número e identifique los factores primos:
a) 70
b) 88
c) 96
d) 100
e) 138
2) Exprese los siguientes números como producto de números primos, de acuerdo al “Teorema
Fundamental de la Aritmética”:
a) 54
g) 375
b) 80
h) 480
c) 128
i) 505
d) 156
j) 1238
e) 220
k) 157
f) 333
l) 20011
Respuestas actividad 4
1a) Los divisores de 70 son: 1, 2, 5,7,10,14,35 y 70.
Sus facatores primos son 2, 5 y7
1b) los divisores de 88 son: 1, 2, 4, 8, 22, 44, y 88.
Sus factores primos son 2 y 11
1c) los divisores de 96 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.Sus factores primos 2 y 3
1d) los divisores de 100 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.
Sus factores primos 2 y 5
1e) los divisores de 138 son: 1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138.
Sus factores primos 2, 3 y 23
“Las cosas que vale la pena hacer, vale la pena hacerlas bien” K.B.
30
Guía de estudio No. 1.6
"Compromiso: Es hacer lo que debo hacer tenga ganas o no
de hacerlo" Alexis A. Rodríguez
Tema:
CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS. ORDEN Y VALOR ABSOLUTO
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye además
del cero, números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor). El hecho
de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal.
Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de
profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.
En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que
consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números
incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o - . De esta
manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero
permiten expresar valores positivos y también valores negativos.
En la expresión escrita de un número entero, consideramos dos partes: el signo y el valor absoluto.
El conjunto de los números enteros lo identificamos con la letra Z
Z={... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}
El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en sentido de los
positivos.
Los números naturales están incluidos en los números enteros, porque son los enteros positivos.
Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para escribir un número
entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma de número natural.
ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS ENTEROS:
En la representación de los enteros, en la recta numérica, se observa el orden que existe en su
conjunto, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero.
Si a < b, entonces –a > -b y -b < -a , b Є N
La recta numérica
Inventada por John Wallis, es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros
son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. La recta incluye
todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada dirección.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. Del lado izquierdo del
origen, los números son negativos, y del lado derecho son positivos.
31
Podemos determinar si un numeral es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en
la recta numérica. Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en
la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha
de otro y está más alejado del cero.
Propiedad:
Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente en la recta
numérica, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado a su izquierda.
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0
3. De dos enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 > −10 |−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7
|10| > |7|
Ejemplo: Ordene los siguientes números enteros en forma ascendente:
-3, -16, 2, -7, 9, 0.
R. -16, -7, -3, 0, 2, 9
VALOR ABSOLUTO:
Es la distancia de un punto en la recta numérica al origen, es decir al cero sin importar su signo.
Para cualquier número real a, el valor absoluto de a denotado por |a| es
|a| = a, si a ≥ 0
|a| = − a, si a < 0
PROPIEDAD DE TRICOTOMÍA:
“Si se comparan dos números reales a y b, cualesquiera, estos deben cumplir con una y sólo una de
las condiciones siguientes:
a>b ↔
a–b>0
Se lee a – b es positivo
a<b ↔
a–b<0
Se lee a – b es negativo
a=b ↔
a–b=0
Se lee a – b es cero”.
Ejemplo: De acuerdo a la propiedad de tricotomía, coloque el signo de comparación que
corresponde:
a) │−100│> 0
b)
2 = √4
Actividad 1
Ejercicio: Encuentre el valor absoluto de:
1) |3|
R. 3
2) | 2 |
R. 2
3) | -5|
R. 5
4) | 2 -3 |
R. 3- 2
5) |-7|
R. 7
6) |-22/7|
R. 22/7
7) |π-4|
R. 4- π
8) |3- 5 |
R. 3- 5
9) |-6|-|-2|
R. 4
10) |6.28 - 2π|
R. 2π- 6.28
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
│2│
│19 - 15│
│8 - 8│
│-13 - 9│
│-20 - 20│
│-3 -1│
│2 -11│
│10 -30│
│19 -19│
│-1│
R. 2
R. 4
R. 0
R. 22
R. 40
R. 4
R. 9
R. 20
R.0
R. 1
32
11) |2|-|6|
12) |- 5 |
13) ││2-5│-│4│-7│
14) ││-2│-│-6││
15) │-│5││
16) -││-3│-│-4││
R. -4
R. 5
R. 8
R. 4
R. 5
R. -1
27)
28)
29)
30)
31)
32)
│8 -18│
│3 + 6│
│-│- 20││
││-11│- │- 4││
│-│5 - 18││
│- │ 2 -3││
R. 10
R. 9
R. 20
R. 7
R. 13
R. 3-√2
Actividad 2
1) Localice en la recta numérica la posición de los puntos que representan los siguientes
números reales:
a) √3
b) -3/4
c) -√2
d) 3.6
e) π
f) -7
g) 2
h) 22/5
i) -2π
2) Se busca un número real x, que cumpla al mismo tiempo con las siguientes condiciones:
x > - 7 y 3 > x, ¿Cuál de los siguientes podría ser un valor para x?
a) -8
b) -3
c) 5
R. b
3) ¿Cuál de las siguientes fracciones son mayores que -7/10?
a) -11/15
b) -3/5
c) -26/35
R. b
4) Si a < b < c < 0 ¿Cuál de las expresiones siguientes ordena correctamente las fracciones
1/a, 1/b, 1/c?
a) 1/c < 1/b < 1/a b) 1/a < 1/b < 1/c
c) 1/a < 1/c < 1/b
R. a
5) ¿Cuál de las siguientes fracciones son mayores que 1/2?
a) 2/5
b) 4/7
c) 4/9
R. b
6) Con la ayuda de la recta numérica diga: ¿Cuál de los siguientes números es mayor?
a) -20
b) √81
c) 25/20
R. b
7) El resultado de efectuar la siguiente operación es: - (│-7│+│7│-│-7│)
a) -21
b) 7
c) -7
R. c
8) Ordene en forma ascendente los siguientes números reales:
-2.5, 8/3, -1/2, √2, 2√3, -1, π/3
R. -2.5< −1 < − 1�2 < 𝜋3 < √2 < 8�3 < 2√3
9) Ordene en forma descendente los siguientes números reales:
3
4/7, -9/5, 0.032, -6.4, √64, π, 1.33
R. 3√64 > 𝜋 > 1.33 > 4�7 > 0.032 > − 9�5 > −6.4
Actividad 3
De acuerdo a la propiedad de tricotomía, coloque el signo de comparación que corresponde:
2
a) 1 3 _________1.5
b) -10 _________-2
c) -│-3/2│_____3/2
d) 3.6_________-3.9
e) -3__________3
f) 5__________-7
g) 8__________√64
h) │-5│______ │5│
R. a) >, 𝑏) <, 𝑐) <, 𝑑) >, 𝑒) <, 𝑓) >, 𝑔) =, ℎ) =
33
“Para ser exitoso no tienes que hacer cosas extraordinarias. Haz cosas ordinarias
extraordinariamente bien”
Anónimo
Guía de estudio No. 1.7
“Para empezar un gran proyecto, hace falta valentía. Para terminarlo, hace
falta perseverancia”. Anónimo
Tema:
OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS ENTEROS
Y SUS PROPIEDADES
Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición o directas y operaciones de
descomposición o inversas. La suma y la multiplicación son operaciones directas; la resta y la
división son operaciones inversas; se llaman inversas, porque conociendo el resultado de la
operación directa correspondiente y uno de sus datos, se halla el otro dato.
Conceptos:
Suma: Operación aritmética que sugiere la idea de agregar objetos a otros de la misma especie.
Multiplicación: Es una simplificación o abreviación de la suma.
Sustracción: En matemática se dice que esta operación es la suma de dos números y uno de ellos es
negativo.
División: Se dice que en matemática esta operación no existe, es en realidad un caso de la
multiplicación, que consiste en multiplicar un número “a” por otro número que tiene la forma 1/b al
cual se le llama recíproco de b, siendo b diferente de cero.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Terminología
Caso general
Significado
1. La suma cumple con la
CERRADURA
Al sumar dos números, el
propiedad de Cerradura
resultado es un número de la
misma naturaleza. Ej: Se suman
dos números naturales, el
resultado, es otro número
natural.
2. La adición es Conmutativa
El orden es intrascendente
𝑎+b=b+𝑎
cuando se suman dos números.
3. La adición es Asociativa
La agrupación es intrascendente
𝑎 + (b + c) = (𝑎 + b) + c
cuando se suman tres o más
cifras.
4. 0 es el Elemento neutro de
Sumar cero a cualquier cantidad
𝑎+0=𝑎
produce la misma cantidad.
la suma
5. -a es el Simétrico o inverso
Sumar un número y su
𝑎 + (-𝑎) = 0
aditivo de a. De igual manera:
simétrico da como resultado el
a es el Simétrico o inverso
cero ¾ + (- ¾) = 0
34
aditivo de –a
6. La multiplicación
Conmutativa
7. La multiplicación
Asociativa
𝑎b = b𝑎
es
𝑎(bc) = (𝑎b)c
es
𝑎 •1 = 𝑎
8. 1 es el Elemento neutro de la
multiplicación
9. Si a ≠ 0, 1/a es el Recíproco
o inverso multiplicativo de a.
De igual manera b/a es el
recíproco
o
inverso
multiplicativo de a/b
10. La multiplicación es
Distributiva sobre la adición
1) Ejemplo de suma:
El orden no tiene importancia al
multiplicar dos números.
La agrupación carece de
importancia al multiplicar tres
números.
Multiplicar cualquier número
por 1, da como resultado el
mismo número.
Multiplicar un número diferente
de cero, por su recíproco, da
uno.
a•(1/a) = 1
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
Multiplicar un número y la
suma de dos cifras equivale a
multiplicar cada cifra por el
número y luego sumar los
productos.
3 manzanas + 2 manzanas = 5 manzanas
Muestra la “propiedad de cerradura”, se está sumando objetos de la misma naturaleza.
Conmutatividad de la suma:
3 + 2 +5 = 5 + 3 + 2 = 10, el orden es intrascendente cuando se suman 2 ó más números
2) Ejemplo de multiplicación:
2 × 5 = 10
y
2+2+2+2+2 = 10
2
6x =6∙x
se lee seis por x elevada al cuadrado
2
2
2
2
x + x + x + x + x 2 + x 2 =6 x 2
2
Conmutatividad de la multiplicación:
3∗ 2∗5 = 5∗3∗2 =30 el orden de los factores no es
números.
3) Ejemplo de resta:
una persona sube a una montaña de 800 metros de altura,
luego desciende 300 metros.
Asciende
+ 800
¿A qué altura descendió?
4) Ejemplo de la división:
importante al multiplicar dos más
Desciende
- 300
= 500 de diferencia
R. a 500 m
15
= 15/3 = 15÷3 = 5
3
Ley de signos en el producto:
El producto o el cociente de dos números con igual signo, da siempre un resultado positivo
35
(+ ) × (+ ) = +
(− ) × (− ) = +
(+ ) ÷ (+ ) = +
(− ) ÷ (− ) = +
5) Ejemplo de la distributividad de la multiplicación sobre la división:
3(5+2) = 3x5 + 3x2 = 15+6= 21
Formas indeterminadas de la división: Las siguientes divisiones no tienen un número real
asociado como cociente:
0/0 = No existe
c/0 = No existe
Actividad 1
Efectué los siguientes ejercicios de aplicación y responda las preguntas:
1. ¿Cuál es el inverso aditivo o simétrico de -13/17?.
R. 13/17
2. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de -13/17?.
R. -17/13
3. Aplicando la propiedad distributiva, calcule: 12(9+11).
R. 240
𝑥
R. 𝑥�𝑦
4. ¿Cuál es el simétrico de − �𝑦?
5. ¿Cuál es el recíproco de 𝑎?
R. 1/𝑎
6. ¿Cuánto queda al elevar un número 𝑥 al elemento neutro de la suma?
R. 1
7. ¿Cuánto queda al elevar un número 𝑥 al elemento neutro de la multiplicación? R. 𝑥
8. La mitad del recíproco de un número es 1/8. ¿Cuál es el número?
R. 4
9. Por cuál fracción debo multiplicar x/y para obtener el recíproco?
R.y2/𝑥2
10. ¿Cuándo la suma de dos sumandos es igual a uno de ellos? R. Cuando uno de ellos es 0.
11. ¿Cuándo la suma es igual al número de sumandos? R. Cuando todos los sumandos son 1.
12. Si P, es la suma de P sumandos, ¿Cuáles son los sumandos?
R. Todos son 1.
13. Siendo m+n+p=q podemos escribir que (m + n) + p = q por la ley:
R. Asociativa
14. ¿Qué alteración sufre una suma si un sumando aumenta 6 unidades y otro aumenta 8?
R.. Aumenta 14 unidades
15. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10 ¿Cuál sería la suma si 𝑎 aumenta 3, 𝑏 aumenta 5 y 𝑐 aumenta 10? R. 28
16. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 104 ¿Cuál será la suma (𝑎+5) + ( 𝑏 − 8 ) + (𝑐 + 9) ?
R. 110
17. Un sumando aumenta 56 unidades y hay tres sumandos que disminuyen 6 unidades cada uno.
¿Qué le sucede a la suma?
R. Aumenta 38 unidades
Actividad 2
Complete la siguiente tabla:
Número
3
-5
1/2
-1/7
3/5
-3/4
a) Recíproco
b) Simétrico
Respuestas 1/3 y -3, -1/5 y 5, 2 y -1/2 -7 y 1/7, 5/3 y -3/5, -4/3 y 3/4.
36
Actividad 3
Nombre la propiedad ilustrada para cada uno de las siguientes igualdades:
a) π + √2 = √2 + π
b) ( 7 + 3 ) + 5 = 7 + ( 3 + 5 )
c) 3√2 + (-3√2) = 0
d) 3𝑎 ∙ (1/3𝑎) = 1
e) – (a - b) + (a – b) = 0
f) 12 ( 9 + 11) = 12∙9 + 12∙11
g) (a ∙ 3) ∙ 5 = a ∙ (3 ∙ 5)
h) 3√2 ∙ (1/ 3√2) = 1
i) π + 0 = π
Respuestas
a) La adición es conmutativa b) La adición es asociativa
c) simétrico
d)recíproco o inverso multiplicativo e)simétrico o inverso aditivo f) la multiplicación es
distributiva sobre la adición. g) la multiplicación es asociativa h) recíproco o inverso
multiplicativo i) elemento neutro de la suma.
Actividad 4
Responda: ¿Cuáles de los siguientes enunciados son falsos y por qué?
a) (a + c) / b = a/b + c/b ;
b≠0
b) b/ (a + c)= b/a + b/c ; a ≠ 0, c ≠ 0, a+ c ≠ 0
c) 1/ (1/a) = a
e)1/b = b-1
Respuestas: Actividad 4: a)Verdadero b) falso, b es el dividendo, a+c es el divisor, no se puede
separar en dos el divisor y al sustituir los valores de la ecuación, da cantidades diferentes por lo que
no es una igualdad, c)verdadero, d)verdadero.
“Cuando pierdas, no te fijes en lo que has perdido, sino en lo que te queda por ganar”
Anónimo
37
Guía de Estudio No. 1.8
“El éxito en la vida consiste en seguir siempre adelante”
Tema:
S. Johnson
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Los números naturales se consideran números enteros positivos y van precedidos del signo positivo
(+), aunque no es obligatorio utilizarlo y no suele escribirse. A cada entero positivo le corresponde
un número entero negativo, precedido obligatoriamente por el signo negativo (-).
Las operaciones, como muchas cosas en la vida, tienen un orden para efectuarse. Del idioma español
podemos tomar como ejemplo la frase: “Se venden zapatos para señoras de piel de cocodrilo”, ¿qué
es de piel de cocodrilo?, ¿las señoras o los zapatos?. O si alguien pregunta: ¿Cuánto es la mitad de
dos más dos?, si contesta rápidamente puede decir2, pero si lo piensa un momento podría decir 3.
¿Porqué?, puede ser ½(2+2)/2 ó ½(2)+2.
Aunque es notación matemática son suficientemente claras las dos expresiones anteriores, en idioma
español necesitan signos de puntuación y en notación matemática necesito signos de agrupación o
sea paréntesis.
ORDEN DE OPERACIONES:
1. Primero, resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. (Si hay paréntesis
anidados, las operaciones se efectúan de adentro hacia afuera).
2. Operar las expresiones exponenciales.
3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.
4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.
• Las operaciones que hay dentro del paréntesis, se hacen según los criterios anteriores.
• Los signos de agrupación pueden ser paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.
Ejemplo 1:
1) (3 – 5)2
indica que después de restar se eleva al cuadrado.
2) [2(4 + 1)]2
indica que primero suma 4 con 1, luego multiplica por dos y por último eleva
al cuadrado.
3) 2{3 – 4 [2- (4 + 7)3]} indica que la suma de 4 con 7 se eleva al cubo, este resultado se resta
de 2 y luego se multiplica por 4. Este producto se resta de tres y el resultado se multiplica
por 2.
Ejemplo 2:
3 × 8 − �√144 + 23 � − 14 ÷ 2 + 15 + 2 + [14 − (3 × 3 + 2 × 3) + 4 × 8] =
24 − (12 + 8) − 7 + 15 + 2 + [14 − (9 + 6) + 32]
24 − (20) − 7 + 15 + 2 + [14 − (15) + 32]
38
24 − 20 − 7 + 15 + 2 + [31]
(24 + 15 + 2 + 31) − (20 + 7)
72 − 27
45
Actividad 1
Resuelva los siguientes problemas:
1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta
15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
R.66 segundos
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació en el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado
hasta el año 2007 d.C.?
R. 2,589 años.
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2º C cada 200m. de ascenso. ¿A
qué altura habrá qué ascender para alcanzar -15º C, si en el punto de partida, la temperatura
es de 5º C y este está a una altitud de 300m?
R. 2,300 m.
Actividad 2
Opere y simplifique utilizando la jerarquía de las operaciones:
1. (8-3(6-4(3-1)))=
2. –((-2)2-(-3)3)=
3. 5 x + (− x − y ) − [− y + 4 x ] + {x − 6} =
4. 3a + {− 5 x − [− a + (9 x − (a + x))]} =
5. − [− 3a − {b + [− a + (2a − b) − (−a + b)] + 3b} + 4a ] =
6. {2 [(2 + 3 – 5)² + √25 + (2 ∙ 2 / 1) – (5 ∙ 8 / 2) (9 + 5)]} (2² + 1)=
7. {√25 [(7+5∙2)³ +3 (3∙3) – (20/5)]} (9-2) =
8. {8 [(9 - 4+6)² + √36+ (9∙2/2) – (60∙2/4) (9+1)]} (4² - 2) =
9. {(√4 ∙3) [(10+15) (5∙12)² + √16 – (16-4∙3)]} / 6 =
10. (1 5 – 4 ) + 3 – (1 2 – 10) + (5 + 4 ) – 5 + (10 – 8 )=
1 1 . 1 4 −{7 + 4· 3- [ ( (-2) 2 ·2 – 6)] }+(2 2 + 6 – 5 · 3) + 3 – (5 – 2 3 ÷ 2)
1 2 . [ 1 5 - (2 3 - 10 ÷ 2 )] · [ 5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) =
13. 1 4 −{7 +4 ·3 - [ (-2 ) 2 ·2 -6)] } + (2 2 + 6 - 5·3) +3 - (5 - 2 3 ÷ 2) =
R. 14
R. -31
R. x-6
R. 5a − 13 x
R. a + 2b
R. -2710
R. 172,760.
R. -18368.
R. 90000
R. 18
R .-6
R .8 3
R .-6
39
Actividad 3
Resuelva cada cálculo y conocerá el dato que falta para completar la oración:
1. El tiempo de gestación de un conejo es de …...........días y el de un caballo de casi…........meses.
a) (62 − 4 − 12 ÷ 2) + √144 − (23 + 1) + (8 − 4)
R. 33
b)(12 + 12 − 17) − 2 ∗ 3 − (20 + 6) + (4 ∗ 8 − 17 + 7 ∗ 3)
R. 11
2. Una ballena puede llegar a vivir hasta ….....años y un canario….años.
a)8 ∗ 9 − 16 ÷ 4 − 12 ∗ 5 + 12 − 1000 ÷ 200 + 25 ÷ 5 + 34 ÷ 2 + (4 ∗ 5 + 13)
b)200÷ 20 − (202 + 7) + 41 ∗ 5 ∗ 2 − (49 ÷ 7) ÷ 7 − (156 − 26 ∗ 6) ÷ 6
R. 70
R. 12
3.
El lago más profundo del mundo tiene …......metros y se encuentra en Asia, llamado Baikal.
a)103 + 3 ∗ 9 + 50 ÷ 10 + (88 ÷ 44) ∗ 10 ∗ 25 + (80 ÷ 4) ∗ 2 + (5 ∗ 2 + 9 ∗ 2)
R. 1600
4. Los jugadores de tenis pierden alrededor de ….....kg. durante un partido.
a)(7 + 5 − 7) ∗ (6 ÷ 2) − 23 ∗ 10 − 22 + (150 + 2 ∗ 3) − (100 + 1 + 1) + [(7 ∗ 3) −
(10 + 7)] ∗ (84 ÷ 2)
R. 3
5. El peso de una pelota de fútbol es de…......gramos y el peso de una pelota de golf es
de…....gramos.
3
a) 230 + 102 − √64 + (2 + 5)3 − 320 − (52 )1
R. 414
0
3
0
4
3
b)3 + 3 − 33 + [3 ∗ (3 + 4)] − 2 ÷ 2
R. 46
“Un fracaso es sólo el condimento que dará sabor al éxito”
Truman Capote
40
Guía de estudio No. 1.9
“Las batallas de la vida, raramente son ganadas por el hombre más fuerte o por el que corre más
aprisa; por lo regular el que gana es quien cree que puede ganar” Anónimo
Tema:
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una de las actividades más distintivas del ser humano es la resolución de problemas. Estos pueden ser de diferente naturaleza:
problemas científicos, económicos, políticos, sociales, morales, psíquicos, etc., cualquiera que sea, siempre necesita un aprendizaje
para su resolución.
Después de la segunda guerra mundial, los principales investigadores de las ciencias de la computación, iniciaron un trabajo en torno
a crear un programa que fuera capaz de resolver cualquier problema. Con este aporte nace lo que hoy es el área de la inteligencia
artificial, dentro de las ciencias de la computación.
Hoy en día la inteligencia artificial reúne mucho más que la resolución de problemas. Crean un programa llamado GPS, del inglés
General Problem Solving, este programa es capaz de resolver cualquier problema de Geometría Analítica, pero el estudio de la lógica
demostró que no es posible crear un algoritmo para resolver cualquier tipo de problema y de esa forma ese gran proyecto fracasó.
En la vida diaria resolvemos muchos problemas y por lo general se recurre a los conocimientos de
matemática para encontrar una solución rápida. Sin importar el tipo del problema, es importante
tener una estrategia para solucionarlo:
GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS:
1.COMPRENDA el problema.
¿Qué datos tengo?
¿Cuál es la pregunta?
¿Qué necesito para hallar la respuesta?
2.Desarrolle un PROCEDIMIENTO.
Piense en si se ha resuelto un problema similar.
¿Qué estrategias o conocimientos puede aplicar?
De una respuesta aproximada.
3.RESUELVA el problema.
Vea si se necesita aplicar otra estrategia.
¿Cuál es la solución?
4.REVISE
Verificar si la respuesta es correcta.
Verificar si tiene sentido la respuesta.
Ejemplo: Pablo, Lucky y Alfredo, tienen un perro, un gato y un perico por mascotas. Lucky es
alérgica a las plumas de las aves. El dueño del perro es amigo de Pablo, pero también es compañero
de Lucky. ¿Quién es el dueño de cada mascota?
Solución:
Pistas (datos)
5. Lucky es alérgica a las plumas de
Perro Gato Perico
Pablo
Lucky
Alfredo
aves.
No
6. El dueño del perro es amigo de Pablo y compañero de Lucky
Pablo
Lucky
Alfredo
Perro Gato Perico
Sí
No
Sí
No
Sí
41
Actividad 1
Investigar un problema aplicado al campo o área de estudio de cada estudiante y resolverlo.
Actividad 2
Resuelva los siguientes problemas:
1) Calcule el número que sumado con su antecesor y con su sucesor dé 114.
R. 38
2) Calcule el número que se triplica al sumarle 28.
R. 14
3) ¿Qué edad tiene Rosa, sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?
R. 14
4) Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la edad de
Rodrigo si Andrea tiene 24 años?
R. 16
5) En un rectángulo, la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son
las dimensiones del rectángulo?
R. 10 y 28 cm.
6) En un control de conocimiento, hay que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien
contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que
ha obtenido 30 puntos y que contestó a todas?
R. 14 preg.
7) Las dos cifras de un número suman siete y si se invierten de orden se obtiene otro número 9
unidades mayor. ¿De qué número se trata?
R. 34
8) La mitad de un número multiplicado por su quinta parte es igual a 160. ¿Cuál es ese número?
R. 40
9) Cada vez que un jugador gana una partida recibe Q.70 , y cada vez que pierde paga Q.30 . Al
cabo de 15 partidas ha ganado Q.50 . Calcular las partidas ganadas.
R. 5 partidas
10) Un hombre que nació en 1911, se casó a los 25 años, 3 años después nació su primer hijo y
murió cuando el hijo tenía 27 años. ¿En qué año murió?
R. 1966
11) El duplo de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente 36. Hallar los
números.
R. 45 y 5
12) Cuando Rosa nació, María tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de
Elsa, que tiene 50 años. ¿Qué edad tiene Matilde, que nació cuando Rosa tenía 11 años? R. 13 años
13) ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 45?
R. 15
14) Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, ¿habla Ángela más alto o
más bajo que Celia?
R. más bajo
15) De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha
llegado en medio de A y C. ¿Podría Vd. Calcular el orden de llegada?
R. BCDA
16) Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja
de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica
cada una?
R. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; es la nadadora. La
gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.
42
Guía de estudio No. 1.10
“La disposición para vencer obstáculos, es parte del desayuno de los campeones.” Anónimo
Tema:
RECONOCIMIENTO DE PATRONES EN SUCESIONES NUMÉRICAS
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano,
famoso por haber difundido en Europa, el sistema de numeración actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base
10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del
crecimiento de las poblaciones de conejos) la cual tiene tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y
teoría de juegos.
Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo,
regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de
los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión
de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. Antes de que Fibonacci escribiera su
trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de 1135) y
Hemachandra (1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El
número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos), que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
El primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores:
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:
“Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos
son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes,
y en el segundo mes ”.
Conceptos
Sucesiones:
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
¿Finita o infinita?
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no, es una sucesión finita
Ejemplos:
{1, 2, 3, 4 ,…} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, …} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7…} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás es una sucesión finita.
{1, 2, 4, 8, 16, 32, …} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético y es sucesión finita
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre “alfredo” y es sucesión finita.
En orden
Cuando se dice que los términos están “en orden”, se debe determinar qué orden, podría ser
adelante, atrás… o alternando.
43
La regla
Una sucesión sigue una regla que determina, cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, …} empieza por 3 y salta 2 unidades :
Tipos de sucesiones:
Sucesiones aritméticas o Progresiones Aritméticas:
Definición: Se le llama sucesión a un conjunto de números dados de tal manera, que se puedan
ordenar. Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra
y un subíndice. El subíndice del elemento, indica el lugar que ocupa en una sucesión. El ejemplo
anterior, {3,5,7,9,…}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia
entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplo 1: 1,4,7,10,13,16,19,22,25…
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2
Ejemplo 2: 3,8,13,18,23,28,33,38,…
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es xn = 5n-2
Término general de una sucesión Se le llama término general de una sucesión, “a”, y se simboliza
con an, la expresión que representa cualquier término de ésta. El término general a n de una
progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya diferencia es d se obtiene razonando así:
Para pasar de a1 a an damos n-1 pasos de amplitud d. Por lo tanto: an = a1 + (n – 1) ∗ d
Suma de los términos de una progresión aritmética La suma Sn = a1 + a2 + a3… + an – 1 de los n
primeros términos de una progresión aritmética es:
Sn = ((a1 + an) * n) / 2
Sucesiones geométricas:
Definición Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente
multiplicando por un número fijo, r, llamado razón.
Ejemplo 1: 2,4,8,16,32,64,128,256,…
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
Ejemplo 2: 3,9,27,81,243,729,2187,…
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
Ejemplo 3: 4,2,1,0.5,0.25,…
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
Obtención del término general. El término general a n de una progresión geométrica cuyo primer
término es a1 y cuya razón es r se obtiene razonando de esta manera: Para pasar de a 1 a a n
tenemos que dar n-1 pasos. Cada paso consiste en multiplicar por r. Por lo tanto: an = a1 * rn – 1
44
Suma de los términos de una progresión geométrica La suma Sn = a1 + a2 + a3… + an de los n
primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:
sn = (an ∙ r – a) / r – 1 = (a1 ∙ rn – a) / r – 1, pues an = a1 ∙ rn – 1
Suma de los términos de una progresión geométrica con r<1 La suma de “todos” los términos de
una progresión geométrica en la que su razón verifica 0<r<1 se expresa como sinfinito y se obtiene
así: Sinfinito = a1 / 1 – r .
Carácter de una sucesión:
1. Una sucesión es convergente si tiene límite finito.
2. Una sucesión es divergente si tiende al infinito.
Importante:
Series: “Sucesiones” y “series” pueden parecer la misma cosa… pero en realidad una serie es la
suma de una sucesión. Sucesión: {1,2,3,4}, Serie: 1+2+3+4 = 10.
Actividad 1
Escriba el número que sigue en la siguiente sucesión numérica:
1) 1,4,9,16,25,…
R. 36
2) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,…
R. 29
3) 1,3,5,7,9,11,…
R. 13
4) 4,8,6,12,10,20,…
R. 18
5) a,b,d,g,k,…
R. O
6) 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001,…
R. 2.00001
7) 1,1,2,3,5,8,13,…
R. 21
8) 100,90,81,73,66,60,…
R. 55
9) -2,4,-8,16,-32,…
R. 64
10) 4,1,16,2,36,3,…
R. 64
11) 6,13,24,___,58
R. 39
12) 5,6,8,11,15,20,…
R. 26
13) 1,2,9,4,25,6,…
R. 49
14) 1,4,3,16,5,36,…
R. 7
15) 1,3,2,5,3,7,4,…
R. 9
16) 10,1,9,2,8,3,7,…
R. 4
“Cuando te comprometes profundamente con lo que estás haciendo, cuando tus acciones son gratas
para ti y al mismo tiempo útiles para otros, cuando no te cansas de buscar la dulce satisfacción de
tu vida y de tu trabajo, estas haciendo aquello para lo que naciste” Gary Zukav
45
PROGRAMACIÓN DE TAREAS: UNIDAD 1
MATEMÁTICA PREPARATORIA PARA INGENIERÍA
TAREA No. 1:
FECHA DE ENTREGA:
DESCRIPCIÓN:
GLOSARIO
Encuentre el significado o concepto de las siguientes palabras:
Antecede, adición, algoritmo, álgebra, actitud, aplicación, ascendente, argumento, absoluto, agilidad,
ángulo, aritmética, área, abscisa, agudo, acutángulo, binomio, cilindro, consecutivo, coordenadas,
complementario, constancia, cognoscitivo, circunferencia, círculo, cono, cuadrilátero, concepto, coloquial,
circular, consciente, cuadrilongo, cubo, cálculo, calidad, cantidad, dígito, destreza, dedicación, disciplina,
dirección, descender, docto, divisibilidad, decimal, diferencia, denominador, divisor, discernimiento,
discriminante, ecuación, indeterminada, eficaz, experiencia, equidistante, exponente, éxito, escalar, exactitud,
estrategia, ecología, ecologismo, escaque, ética, efectivo, equivalente, equilibrio, esfera, equiángulo,
equilátero, fórmula, fracción, factorizar, globalización, geometría, glosario, hiato, inversamente, ingenio,
intuición, ipso jure, ipso facto, impar, jerarquía, lógica, logística, lingüística, media aritmética, media
geométrica, media ponderada, media proporcional, moda, mediana, matemática, magnitud, múltiplo,
mediatriz, mitigar, media cuadrática, minuendo, numerador, orden, operación, ordenada, obtuso, polígono,
paradigma, propedeútico, propiedad, porcentaje, paralelo, paralelogramo, paralelepípedo, poliedro, potencia,
producción, prisma, polinomio, prioridad, postulado, premisa, razón, regla, residuo, racionalizar, raciocinar,
rombo, radical, radio, secuencia, serie, sucesión, sofisma, suplementario, trapecio.
46
TAREA No. 2
FECHA DE ENTREGA:
DESCRIPCIÓN:
INVESTIGACIÓN
08/03/2010
Visite la página de internet :
http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00100.html y redacte 20
líneas de los aspectos que le parezcan más importantes acerca de la historia
de los números.
TAREA No. 3
FECHA DE ENTREGA:
DESCRIPCIÓN:
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Guía de estudio No. 1.1:
Guía de estudio No. 1.2:
Guía de estudio No. 1.3:
Guía de estudio No. 1.4:
Guía de estudio No. 1.5:
Guía de estudio No. 1.6:
Guía de estudio No. 1.7:
Guía de estudio No. 1.8:
Guía de estudio No. 1.9:
Guía de estudio No. 1.10:
Opere los ejercicios y resuelva los problemas de las siguientes guías de
estudio:
Página No. 24, Actividad 1.
Página No. 26, Actividad 1.
Página No. 31, Actividad 1, impares.
Página No. 34, Actividad 1.
Página No. 36, Actividad 3.
Página No. 39, Actividad 2.
Página No. 43, Actividad 3.
Página No. 46, Actividad 1.
Página No. 49, Actividad 1, Actividad 2, impares.
Página No. 52, Actividad 1, impares.
IDENTIFICACIÓN DE CADA TAREA:
CURSO:
MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
SECCIÓN: ___________ HORARIO:______________________CATEDRÁTICO_____________
TAREA No.:__________TEMA:___________FECHA:________FECHA DE ENTREGA_______
N.O.V.:______________APELLIDOS Y NOMBRES:______________________
GRUPO DE ESTUDIO No.______________________________
47
UNIDAD 2
“Si amas la vida, aprovecha tu tiempo, porque de tiempo se compone la vida” B. Franklin.
NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS
PROPIEDADES, OPERACIONES Y APLICACIONES
Objetivo de la unidad: Que el estudiante comprenda las propiedades, operaciones y aplicaciones de los números
racionales a través de conceptos, procedimientos y ejercicios de aplicación.
Guía de estudio No. 2.1
Tema:
MAXIMO COMÚN DENOMINADOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
En el siglo IV (a.C.), Euclides un genial griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época.
Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX, X de sus “Elementos”. Entre los curiosos
datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece los métodos de resolución del Máximo Común
Divisor y del Mínimo Común Múltiplo.
Máximo Común Divisor o (Máximo Común Denominador): De dos o más números es el mayor
número que los divide a todos exactamente. Se designa por las iniciales: M.C.D.
Cuando los números son pequeños puede hallarse muy fácilmente el M.C.D. o el m.c.m. por
simple inspección.
Ejemplo 1: Hallar por simple inspección el M.C.D. de 15 y 30:
¿Hay algún número mayor que 15 que divida a 15 y a 30? No. Entonces 15 es el M.C.D. de
15 y 30.
R. 15
Cuando los números no son pequeños puede hallarse el M.C.D. o el m.c.m. por
descomposición de factores primos.
Ejemplo 2: Hallar el M.C.D. de 420 y 108:
420 – 108 2
210 − 54 2
105 − 27 3 ×
35 − 9 12
R. 12
Se dejan de simplificar los números, cuando ya no tienen divisores en común.
Actividad 1
a) Hallar el M.C.D. de los siguientes grupos de números:
1) 20 y 80
R. 20
2) 8 y 12
R. 4
3) 24 y 32
R. 8
4) 20 y 16
R. 4
5) 16, 24 y 40
R. 8
6) 30, 42 y 54
R. 6
7) 32, 48, 64 y 80
R. 16
48
8) 137 y 2603
9) 76 y 1710
10) 111 y 518
11) 303 y 1313
12) 212 y 1431
R. 137
R. 38
R. 37
R. 101
R. 53
Actividad 2
Resuelva los siguientes problemas aplicando el M.C.D.:
1) Un padre da a su hijo 80 ₡, a otro 75 ₡ y a otro 60 ₡, para repartir entre los pobres, de modo
que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a
cada pobre y cuántos los pobres socorridos?
R. 5 ₡ y 43 pobres
2) Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en partes iguales y de la
mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada parte?
R. 12 metros
3) Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de jabón
respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor
posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja?
R. 16 lb; en la 1ª. hay 100 lb; en la 2ª. hay 125 y en la 3ª. 212.
4) Un hombre tiene tres paquetes de billetes de banco. En uno tiene Q4,500, en otro Q5,240 y
en el tercero Q6,500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible,
¿cuánto vale cada billete y cuántos billetes hay en cada paquete?
R. 20; en el 1º. 225, en el 2º. 262 y el 3º. 325.
5) Se quieren empacar 161 kilos, 253 kilos y 207 kilos de plomo, en tres cajas, de modo que los
bloques de plomo de cada caja, tengan el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada
bloque de plomo y cuántos caben en cada caja?
R. 23 kilos; en la 1ª. 7, en la 2ª. 11, en la 3ª. 9.
6) Una persona camina un número exacto de pasos andando 650 cm, 800 cm y 100 cm. ¿Cuál
es la mayor longitud posible en cada paso?
R. 50 cm
7) ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente el largo y
ancho de una sala que tiene 850 cm de largo y 595 cm de ancho? R. 85 cm
8) Compré cierto número de trajes por Q2,050. Vendí una parte por Q15,000, cobrando por
cada traje lo mismo que me había costado. Hallar el mayor valor posible de cada traje y en
ese supuesto, ¿cuántos trajes me quedan?
R. Q50 me quedan 11.
9) Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie
respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada
parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible?
R. 175 m2
10) Si quiero dividir cuatro varillas de 38, 46, 57 y 66 cm, de longitud, en partes de 9 cm de
longitud, ¿cuántos cm habría que desperdiciar en cada varilla y cuántas partes obtendríamos
en cada una?
R. varilla de 38; 4 partes y se desperdicia 4cm, varilla de 46; 5 partes y se desperdicia 1cm,
varilla de 57; 6 partes y se desperdicia 3 cm, varilla de 66; 7 partes y se desperdicia 3cm.
Mínimo Común Múltiplo: De dos o más números es el menor número que contiene un número
exacto de veces a cada uno de ellos. Se designa por las iniciales m.c.m.
49
Ejemplo 1: Hallar el m.c.m. por simple inspección de 5 y 15:
Como el mayor es 15 y contiene a 5 exactamente, el m.c.m. es 15
R. 15
Ejemplo 2: Hallar el m.c.m. de 14 y 21 por descomposición de factores:
14 - 21
7
2 - 3
2
1 - 3
3×
1 - 1
42
Cuando ya se ha terminado de simplificar los números dados, se multiplican los factores
primos para encontrar el m.c.m.
Actividad 3
Hallar el m.c.m. de los siguientes grupos de números:
1) 9 y 18
2) 30, 15 y 60
3) 12 y 15
4) 3, 5 y 6
5) 16 y 24
6) 21 y 28
7) 101 y 102
8) 12 y 44
9) 96 y 108
10) 104 y 200
11) 3, 5, 15, 21 y 42
12) 16, 84 y 114
R. 18
R. 60
R. 60
R. 30
R. 48
R. 84
R. 10302
R. 132
R. 864
R. 2600
R. 210
R. 6384
Actividad 4
Resuelva los siguientes problemas utilizando el m.c.m.
1) Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2, de 5 o de 8
pies de largo.
R. 40 p
2) ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de trajes
de a Q30, Q45 o Q50 cada uno, si quiero que en cada caso me sobren Q25?
R. Q475
3) ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de
minutos por cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ª. 2 litros por minuto, la 2ª. 18 litros por
minuto y la 3ª. 20 litros por minuto?
R. 180 litros
4) ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en partes de 8 cm, 9 cm, o
15 cm de longitud, sin que sobre ni falte nada y cuántas partes de cada longitud se podrán
sacar de esa varilla?
R. 360 cm; 45 de 8, 40 de 9 y 24 de 15.
5) Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tres clases de 20 alumnos,
25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones
y cuántos bombones recibirá cada alumno de la 1ª., de la 2ª. o de la 3ª. clase.
R. 300 bombones; de la 1ª. 15, de la 2ª. 12, de la 3ª. 10.
50
6) Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10
segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero 12 segundos, ¿al
cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado
cada uno en ese tiempo?
R. 660 seg u 11 min; el 1º. 66, el 2º. 60, el 3º. 55.
Guía de estudio No. 2.2
“Cuando se nos otorga la enseñanza, se debe percibir como un valioso regalo y no como una pura
tarea. Aquí está la diferencia de lo trascendente”. A. Einstein.
Tema:
FRACCIONES EQUIVALENTES. AMPLIACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
La medición de las cantidades continuas y las divisiones inexactas han hecho que se amplíe el
campo de los números con la introducción de los números fraccionarios.
Otra necesidad del empleo de los números fraccionarios la tenemos en las divisiones inexactas. La
división exacta no siempre es posible, porque muchas veces no existe ningún número que
multiplicado por el divisor dé el dividendo. Así la división 3 entre 5, no es exacta porque no hay
ningún número entero que multiplicado por 5 dé 3.
Una fracción consta de dos términos, llamador numerador y denominador. El denominador indica
cuántas partes iguales se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se
toman:
a
numerador
dividendo
=
=
b
divisor
deno min ador
Identificación: El conjunto de las fracciones o números racionales se identifica con la letra Q, y
contiene a todos los números que pueden ser expresados como fracción, cociente o razón de dos
números enteros de la forma a/b, siempre que b sea diferente de cero. El conjunto se define como:
Q = {a/b tal que “a” es un entero y “b” es un entero ≠ 0}
Las fracciones pueden ser mayores o menores que la unidad. (El caso cuando el numerador y el
denominador son iguales entre sí, se explicará más adelante).
Clases de fracciones
Fracciones propias: Son aquellas cuando el numerador es menor que el denominador y por
consiguiente, estas fracciones son menores que 1. Por ejemplo: 3/5, que indica que una parte entera
(o la unidad), se ha dividido en 5 porciones de igual tamaño, de las cuales se han tomado o
señalizado 3 porciones, que en notación decimal es 0.6 y equivalente al 60%.
Fracciones impropias: Son aquellas cuando el numerador es mayor que el denominador y por
consiguiente, estas fracciones son mayores que 1. Pueden escribirse de la forma de un número
mixto, es decir: un número entero y una fracción, así como en notación decimal. Ejemplos:
51
8 3 3 2
= + + = 2 + 2 = 2 2 = 2.666…
3
3
3 3 3 3
5
= 4 + 1 = 1 + 1 = 1 1 = 1.25
4
4
4
4
4
Número mixto: Es el que consta de un entero y un quebrado. Ejemplo: 2 2 y 1 1
3
4
Números racionales notables: Número entero: Todo número entero, “n”, puede ser escrito de la
forma n .
1
Ejemplo:
-4,
1
−3
1
,
−2
1
,
−1
1
, 0/1, 1/1, 2/1,…
El número cero: Toda fracción de la forma 0/n, tiene un valor de cero, siempre que “n” sea entero
y diferente de cero. Ejemplos: …0/-2, 0/-1, 0/1, 0/2,…
Fracciones igual a la unidad: Las fracciones donde el numerador y el denominador, son el mismo
número entero, constituyen el número racional uno, es decir n /n = 1, siempre que “n” sea diferente
de cero. Ejemplos: …-3/-3, -2/-2, -1/-1, 1/1, 2/2, 3/3,…
Nota: El campo de los números racionales también considera a los números naturales y enteros,
puesto que estos pueden ser escritos mediante una forma racional o fraccionaria.
10
5
Ejemplos: 4/(-2) = -2;
9/(-3) = -3; 5 = ; 5 =
2
1
FRACCIONES
FRACCIONES:
EQUIVALENTES.
4/8
AMPLIACION
8/16
Y
SIMPLIFICACION
DE
2/4
Las fracciones anteriores representan la misma región sombreada. A ellas, se les llama Fracciones
Equivalentes.
52
Si los dos términos de una fracción los multiplicamos por 2, su valor no varía. Ejemplo: 3/4
3×2
=
= 6/8.
4×2
De la misma forma podemos decir que al dividir los dos términos de una fracción por un
número su valor no se altera.
Ejemplo: 6/8 =
6÷2
8÷2
= 3/4.
Ejemplo de comprobación: 4/8 = 8/16 son fracciones equivalentes porque 4x16 = 8x8 ⇔ 64 = 64
Cuando es necesario sumar (o restar) fracciones de diferente tamaño (y forma), es decir, de
diferente denominador, por ejemplo 1/2+1/4, no es factible efectuarlo en forma directa, con
base en la “propiedad de cerradura de suma”, que establece que para sumar dos o más
cantidades, puede hacerse siempre que sean de la misma naturaleza.
Obsérvese para el ejemplo anterior, su representación gráfica y la necesidad de utilizar fracciones
equivalentes.
+
1/2
¼
Al no poderse sumar directamente, por ser de diferente tamaño, sustituimos la fracción izquierda por
otra del mismo valor o equivalente, pero con porciones del mismo tamaño (o naturaleza) que la
segunda fracción. Para ello aplicamos la propiedad que indica que la unidad es el elemento neutro
de la multiplicación, así (para la primera fracción):
1/2 (1) = 1/2 (2/2); utilizamos esta fracción <>1, para igualar denominador con la fracción derecha:
1/2 (2/2) = 2/4
1/2
+
1/4
2/4
+
1/4
=
3/4
Ejemplo ilustrativo 1:
Se necesita sumar 1/12, 3/50 y 2/45, utilizando el m.c.m. (mínimo común de los denominadores)
12
6
3
1
2
2
3
50 2
25 5
5 5
1
45 3
15 3
5 5
1
m.c.m. = 22 ∗ 32 ∗ 52 = 900
Para convertir cada fracción en fracción
equivalente de tal forma que las tres
fracciones tengan el mismo denominador,
53
éste será el m.c.m. de los denominadores
2 x3
2x5
3 x5
(que se llama m.c.d.). Se divide el m.c.d. entre
el denominador y se multiplica por cada
numerador y se le pone de denominador el
m.c.d. (mínimo común múltiplo de los
denominadores ó mínimo común denominador)
Las tres fracciones quedan así: 75/900 + 54/900 + 40/900; al operar resulta: 169/900.
Nota: Las 3 fracciones fueron ampliadas por otras equivalentes (sin alterar su valor) del mismo
denominador o tamaño, para poderse operar, con el resultado indicado).
2
2
2
Ejercicio de aplicación 2:
Efectuar las sumas y restas de las fracciones que se indican a continuación, utilizando el método del
m.c.m. de los denominadores (m.c.d.):
1/30 + 3/70 – 3/50 – 1/230 =
R. 286/24150
Operar Números Mixtos: Los dos métodos más comunes son:
a) Convertir las fracciones mixtas en impropias y operar conforme lo indicado para fracciones
equivalentes.
b) Sumar los enteros de las fracciones y por separado sumar las fracciones de cada sumando y
operar:
Ejercicio:
2
1
3
Sumar 7 + 8 − 5 =
3
2
5
R.
323
23
= 10
30
30
Ampliación de fracciones:
Una fracción amplificada se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador por el mismo
número, distinto de cero, ( de acuerdo con la propiedad de la multiplicación que indica que “uno” es
el elemento neutro).
Ejemplo: Ampliar 3/7 y obtener otra fracción que posea 28 en el denominador, equivalente a la
primera fracción.
Solución: 28÷7 = 4; la fracción dada de 3/7, la multiplicamos por la fracción 4/4 y obtenemos:
3/7∗ (4/4) = 12/28
que es otra fracción equivalente ampliada.
Amplificación por 2, 3, 4,...
54
Simplificación de fracciones:
Es convertirla en otra fracción equivalente cuyos componentes o elementos sean menores.
Regla: Para simplificar una fracción se dividen sus dos términos sucesivamente por los factores
comunes que tengan.
Para esto es necesario el desarrollo del siguiente proceso:
a) Aplicar operaciones aritméticas (y/o algebraicas) y sus propiedades.
b) Lograr que la expresión quede reducida y las literales o incógnitas con su menor exponente.
c) Efectuar las operaciones necesarias para que los exponentes de las incógnitas o literales no
sean negativos.
d) No dejar radicales en los denominadores.
e) Suprimir signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves), efectuar las operaciones que
se indiquen, respetando la jerarquía de operaciones, así como la ley de signos.
Simplificación por 2,3, 7,...
9÷ 3 3 1
= =
18 ÷ 3 6 2
Fracción irreductible:
En general, una fracción a/b se llama irreductible cuando sus términos no tienen ningún divisor
común excepto el 1. Ejemplo: 2/3, 5/7.
55
Actividad 1
Encuentre 5 fracciones equivalentes a:
2
7
12
=
2)
3)
=
1) =
9
8
17
Actividad 2
Simplificar las fracciones:
54
6
2)
1)
18
81
3)
40
320
Actividad 3
Amplifique las siguientes fracciones
1) 3/7
2) 4/9
4) 5/23
7) 98/5
8) 4/125
9) 55/78
4)
9
=
7
5)
5
=
6
4)
180
640
5)
25
500
5) 14/33
10) 106/117
6) 15/23
11) 23/555
Actividad 4:
Responda las siguientes preguntas:
1/3 es equivalente a...
2/5 es equivalente a...
4/7 es equivalente a...
2/4 es equivalente a...
1/6, 2/6, 3/6
4/10, 2/10, 7/10
8/7, 4/14, 8/14
2/8, ½, 1/6
¿Cuál es la fracción amplificada de 3/4 ?
¿De 1/7 ?
¿De 2/5 ?
¿De 5/8 ?
6/8, 3/8, 6/4
1/21, 7/21, 3/21
4/5, 4/10, 2/10
10/16, 5/16, 10/8
¿Cuál es la fracción simplificada de 4/8 ?
¿De 6/9 ?
¿De 10/18 ?
¿De 6/15 ?
2/8, 2/4 = ½, 8/4
3/9, 2/9, 2/3
5/9, 5/6, 2/9
3/8, 2/5, 3/5
“El arte de vencer, se aprende en las derrotas” S. Bolivar
56
Guía de estudio No. 2.3
“Necesitas decidirte entre las cosas a las que te has acostumbrado y
las que te gustaría tener”. El Alquimista, Paulo Coelho.
Tema:
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Introducción
Los números racionales o fracciones, tuvieron un desarrollo histórico
mucho más lento que los números naturales, probablemente por la facilidad
de redondear las cantidades. Pero en los cálculos astronómicos fueron muy
útiles. Dentro de los pueblos que los utilizaron muy frecuentemente, fueron
los Mayas. Por ejemplo para referirse al mes lunar indicaban: “149 meses
lunares equivalen a 4400 días”, al hacer la división resulta 29.530201.
Actualmente el mes lunar tiene una duración de 29.53059. Aún en los días
actuales, si va a un mercado en la República de Guatemala, encontrará
artículos a la venta a 3 por 5, o a 4 por 25 o a 3 por un quetzal; todo esto da
una idea clara del uso de las razones y fracciones por los pueblos Mayas.
En las lenguas Mayas-Quichés, existen términos para la fracción 1/2, y para
1/4 que se dice la mitad de ½.
Comparar fracciones:
Para valorar cuál es mayor y su proporción, debemos hallar fracciones equivalentes que tengan el
mismo denominador.
Fracciones con el mismo denominador: Para comparar fracciones que tienen el mismo
denominador, sólo hay que comparar los numeradores para comprobar cuál es mayor:
Resulta mayor, la fracción que tiene mayor numerador.
Ejemplo: Comparar las fracciones
9
3
y
:
8
8
R. La primera fracción es mayor, ya que 9 > 3.
Fracciones con distinto denominador: Para comparar fracciones con diferente
denominador:
a) Cuando tienen el mismo numerador, la fracción mayor, es la que tiene el denominador
menor
b) Se buscan fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador
c) También se pueden convertir en decimales, dividiendo el numerador entre el denominador,
cada fracción, y luego comparar los valores resultantes.
d) También se comparan los productos cruzados de numerador de la fracción por el
denominador de la segunda y el producto del denominador de la primera fracción por el
numerador de la segunda. El producto mayor indica la mayor fracción.
57
Ejemplo: Comparemos las fracciones
3
3
y
:
4
5
En este caso, cuando tienen el mismo numerador, la fracción mayor, es la que tiene el denominador
3
3
menor. Así pues:
>
4
5
Fracciones con distinto numerador y denominador:
a) Se buscan fracciones equivalentes hallando el m.c.m.
Ejemplo: Comparar las fracciones con diferente numerador y diferente denominador:
Hallamos el mínimo común denominador = 35, resultando:
Como 25 < 28, la fracción menor es
4
5
y
7
5
25
28
y
35
35
5
5
4
, por tanto:
<
7
7
5
Ejercicio: Compare las fracciones 7/12 y 8/14
El mínimo común denominador: 84
49 48
y
84 48
R. El mayor es 49/84 = 7/12
Otros ejercicios de comparar fracciones:
1. Escriba el signo >, < ó = (según el Principio de Tricotomía consiste en comparar 2 números)
donde corresponda:
Respuestas:
2. Compare las siguientes fracciones, con base en el Principio de Tricotomía:
Respuestas:
58
3. Ordene de menor a mayor las siguientes fracciones convirtiendo las fracciones a equivalentes,
con el mismo denominador:
Solución:
Respuesta:
4. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572km. El automóvil A lleva recorrido los
5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. a)¿Cuál de los dos va primero?
b)¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?
Solución:
Hallamos el mínimo común denominador = 143
5
11
⇒
65
143
6
13
⇒
66
143
a) Respuesta: Ya que 6/13, es mayor y corresponde al segundo automóvil, éste va primero.
(Primer auto)
(Segundo auto)
b) Respuesta: El primer auto ha recorrido 260 km y el segundo 264 km.
Actividad 1
Resuelva los siguientes problemas y subraye la respuesta correcta:
1) Si simplificamos una fracción, obtenemos 1/3. Si la suma de los términos es 28, calcular la
diferencia.
a) 25 b) 28 c) 30 d) 35 e) 14
2) Al transformar una fracción en irreducible queda convertida en 2/5. Si la diferencia de sus
términos es 12, encontrar la suma de ellos.
a) 25 b) 28 c) 30 d) 35 e) 40
59
3) Una fracción es equivalente a 3/5. Encontrar el denominador si se sabe que el MCD de los
términos es 15.
a) 25 b) 30 c) 35 d) 55 e) 75
4) ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?
a) 5/7 b) 3/7 c) 10/7 d) 11/7 e) 1/7
5) Señalar la fracción mayor que 2/5.
a) ¼ b) 4/7 c) 1/7 d) 3/11 e) 7/19
6) ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor que 3/7?
a) 5/8 b) 6/11 c) 2/3 d) 2/15 e) 3/5
7) Calcular el número cuyos dos tercios es 34.
a) 26 b) 51 c) 56 d) 62 e) 63
8) Una computadora pesa 8 Kg más un tercio de su peso total. ¿Cuánto pesa la computadora?
a) 6Kg b) 8Kg c) 10Kg d) 12Kg e) 14Kg
9) ¿Cual es el número cuyo 5/7 es 85?
a) 117 b) 119 c) 129 d) 139 e) 149
10) ¿De qué numero es 78 sus ¾?
a) 93 b) 99 c) 102 d) 104 e) 106
Actividad 2
Comparar las siguientes fracciones y escribir para cada caso, el símbolo respectivo de acuerdo con el
“Principio de Tricotomía”:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3/14 y 5/36
1/1000 y 2/707
9/14 y 5/7
75/187 y 378/945
30/45 y 49/75
31/105 y 71/231
11/25 y 7/20
3/20 y 5/42
4/5 y 23/30
56/245 y 40/175
Respuestas:
Actividad 1: 1-3, 2-b, 3-e, 4-d, 5-b, 6-d, 7-b, 8-d, 9-b, 10-d.
Actividad 2: 1:>, 2: <, 3: < , 4:> ; 5: > , 6: <, 7: >, 8:>, 9: >, 10: = .
“El éxito, no es un destino, es un viaje” Anónimo
60
Guía de estudio No. 2.4
"Compromiso: Es hacer lo que debo hacer tenga ganas o no de hacerlo”
Tema:
OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS RACIONALES
Y SUS PROPIEDADES
Suma y resta de fracciones:
1. Cuando tienen el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador. Después si podemos, se simplifica.
Tres cuartos más un cuarto
2. Cuando tienen distinto denominador: Hay que reducir a común denominador:
a) Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores primos los
denominadores y cogemos los factores comunes y los no comunes, con su mayor exponente.
b) Dividimos el m.c.m. obtenido, entre cada uno de los denominadores y el cociente lo
multiplicamos por el numerador. Colocamos como denominadores el m.c.m.
c) Ya que tengamos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los
numeradores y dejamos el mismo denominador.
4.- Si podemos, simplificamos.
61
Ejemplos ilustrativos:
Suma y resta de fracciones:
2
2
+ =
3
5
2
1)
b) Con distinto denominador
1) 5 + 7 = 𝑚. 𝑐. 𝑚. (5,7) = 35
2)
7
20
13
1
3
5
2
+ 15 − 5 = 𝑚. 𝑐. 𝑚. (20, 15, 5) = 60
5
21
60
3
2) − = =
a) Con el mismo denominador
5
9
52
12
9
61
+ 60 − 60 = 60
9
21
35
1
3
10
31
+ 35 = 35
Multiplicación de fracciones:
1.- Se multiplican entre sí los numeradores; este producto es el nuevo numerador.
2.- Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.
3.- Después se simplifica.
Algunos Conceptos
Fracción de un número: El número tiene como denominador uno.
Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.
Fracción inversa: Se invierte la fracción, es decir que se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el
nuevo denominador y el denominador es el nuevo numerador. Una fracción por su inversa, da la
unidad.
División de fracciones:
1er procedimiento:
1.- Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, el
producto es el nuevo numerador.
2.- Multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, el
producto es el nuevo denominador.
3.- Después si podemos, simplificamos.
62
2do procedimiento:
La división la convertimos en una multiplicación del numerador por el recíproco del denominador.
Ejemplo:
¼
1/2
¼
2 8
÷
=
5 25
¼
1/2
¼
2 25
⋅
=
Simplificamos las fracciones sacando mitad y quinta,
5 8
1 5 5
⋅ =
1 4 4
Y se multiplica normalmente quedando de respuesta 5/4.
Se multiplica cruzado:
Se multiplica por su recíproco:
1
2
1
2
1
4
÷4=2=2
4
ó
4
×1=2=2
Propiedades de los números racionales
1) De varias fracciones que tengan igual denominador, es mayor la fracción que tenga mayor
numerador.
2) De varios quebrados que tengan igual numerador, es mayor el que tenga menor denominador.
3) Si a los dos términos de una fracción se suma un mismo número, el quebrado que resulta es
mayor que el primero.
4) Si a los dos términos de una fracción propia se resta un mismo numerador, la fracción resultante
es menor que el primero.
5) Si a los dos términos de una fracción impropia se suma un mismo número, la fracción que resulta
es menor que la primera.
6) Si a los dos términos de una fracción impropia se resta un mismo número, la fracción que resulta
es mayor que la primera.
7) Si los dos términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no
varía.
“La motivación es lo que te ayuda a empezar. El hábito te mantiene firme en tu camino” J. Ryun
63
Guía de estudio No. 2.5
“El éxito debe medirse no por la posición a que una persona ha llegado, sino
por su esfuerzo por triunfar” B.T. Washington
Tema:
JERARQUIA DE LAS OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES
Y FRACCIONES COMPLEJAS
Pasos a seguir:
1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
3. Ejecutar las potencias y raíces.
4. Efectuar los productos y cocientes.
5. Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas:
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
a) Combinación de sumas y restas.
Ejemplo: 1/4 - 1/5 + 1/6 – 1/8 = 11/120
1ª. Opción: Comenzando por la izquierda, se efectúan las operaciones según
aparecen.
2ª. Opción: Se agrupan las fracciones y por separado las negativas. Luego se calcula
la diferencia y se le pone el signo de la mayor.
b) Combinación de sumas, restas y productos.
3/5 · 2/3 – 5/2 + 4/3 · 3/4 – 8/3 + 5/2 · 2/7 = -641/210
Se operan primero los productos por tener mayor prioridad, luego las sumas y restas.
c) Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10/9 : 2/5 + 5/8 · 3/5 + 4/5 – 16/3 : 4/5 = -977/360
Se operan los productos y cocientes en el orden en el que se encuentran porque las
dos operaciones tienen la misma prioridad.
d) Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.
(2/3)3 + 10/3
2/3 + 3/4 + (2/5)2 = 16757/2700
Se operan en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad, luego cocientes y
por último las sumas y las restas.
7. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes.
2
4
3 5 3 6 1 1
6
2 − 1 + − − ∗ ∗ 7 ÷ 5 − =
5
5 8 4 5 3 2
Se operan primero los paréntesis y potencias, luego multiplicaciones y divisiones y por último
sumas y restas.
R. -2153/760
64
Actividad 1
Opere aplicando jerarquía de operaciones:
1) (1/2 – 1/3)
6=
R. 1
3) (7/8 + 2/9)
(36 x 1/79) =
9
5) (10 ÷ 5/6) ÷ 10
=
32
3 3 5
7) −2 − − − + 1 =
5 4 3
1
2
3
4
1
3
9) − 1 − 3 − + − − 6
R. 1/2
55
R. 1
329
R. -41/60
R. 35/12
1
3
2) 4 + 2
=
66
5
4) 3/5 ÷ (2/3 + 5/6) =
1
6) (6+3/5+1/10) ÷ 5 =
2
2 1 3
8) − × − 1 + 2
3 6 5
R. 1/10
R. 2/5
R. 67/55
R. 9/5
10) (2 6/5) ÷(2+3/8) =
R. 1
1
95
Actividad 2
Opere y simplifique las siguientes fracciones complejas:
1) (½ + 1/3) / (½ - 1/3 ) =
5
3
3
4 =
2)
1
1
6
R. 5
2
3
1
3)
5)
4 =
61
2
1
6
R. 68/117
1 2 1
+ +
3 5 30 =
23
30
R. 4/3
9) (1/4)2 + ¼ + 1 / ((1/4 + 1)2 – (1/4)2)
11)
5
2− 1
3+ 6
8
3
=
1
1
5÷
×
÷1
8
5
10
(
)(
)
1 1
+
4 3 =
1
8×
5
R. 35/96
1 +1
+1
6) 10 100 1000 =
10
R.1
1
3 1 7
7) + − × 3
=
5 8 24 13
4)
R. 2/3
8)
R.7/8
R. 7/1152
R.109/10000
2
4
+
3
6
5
7 =
1
1
−
1
1
5
3
10) 5 +
12)
R. 4
2
1
1+
3+ 1
3
5
1 −1
5
6+ 3
3
= R. 85/13
=
R. 225/272
65
TAREA No. 4
UNIDAD 2
EJERCICIOS DE M.C.D Y m.c.m.
IMPORTANTE: Algunos ejercicios vienen con soluciones, pero es importante que los hagas sin
mirarlas y usarlas sólo para corregirlos y evaluar sus conocimientos.
- 1: Calcular M.C.D de 55 y 280
- 2: Calcular m.c.m de 105 y 350
- 3: Dados dos números naturales a y b, ¿es cierto que M.C.D(a,b) = M.C.D(b,a)?
- 4: Indicar si es cierta la siguiente expresión (M.C.D(6,12,10))·(m.c.m(6,12,10))=6·12·10
Respuestas:
1- 5
2- 1050
3- Si
4- No
PROBLEMAS DE MCD y mcm:
1) Un automóvil necesita que le cambien el aceite cada 9,000 Km, el filtro del aire cada 15,000 Km
y las bujías cada 30,000 Km. ¿A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los
cambios a la vez?
R. 90,000 Km
2) Un comerciante desea poner en cajas 12,028 manzanas y 12,772 naranjas de modo que cada caja
contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas.
Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja.
R.124 unidades de naranjas o de
manzanas
3) La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en
equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen
los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo?
R. Se formarán equipos de 4 personas. 8 equipos en la clase 1ºA y 9 en la clase 1º B.
4) Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18 días. ¿Cada
cuántos días saldrán los tres aviones a la vez? R. Cada 36 días
5) Queremos cubrir el suelo de una habitación rectangular de 82 dm de largo por 44 dm de anchura
con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el lado de cada baldosa y su
superficie. R. Lado de 2 dm. y 4 dm2 de superficie.
6) Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete de la mañana desde el mismo punto
de partida. Si la línea A tiene un servicio cada 24 minutos y la línea B lo hace cada 36 minutos, ¿a
qué hora, después de las siete, vuelven a coincidir las salidas?
R. Los autobuses coinciden cada 72 minutos. Volverán a coincidir a las 8 horas y 12 minutos de la
mañana.
7) Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y
sin desperdiciar ningún cabo. ¿Cuánto medirá cada trozo? R. Han de partirse en trozos de 10 metros
cada una.
8) En la modalidad deportiva de ciclismo de persecución en pista, uno de los corredores da una
vuelta al circuito cada 54 segundos y el otro cada 72 segundos. Parten juntos de la línea de salida. a)
¿Cuánto tiempo tardarán en volverse a encontrar por primera vez en la línea de salida? b) ¿Cuántas
vueltas habrá dado cada ciclista en ese tiempo?
R. a) Volverán a encontrarse al cabo de 216 segundos, es decir, después de 3 minutos y 36
segundos. b) El primer ciclista habrá dado 216 ÷ 54 = 4 vueltas. El segundo, 216 ÷ 72 = 3 vueltas.
66
9) ¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se ha utilizado para pavimentar el suelo
de un garaje de 123 dm de largo por 90 dm de ancho? (Las baldosas han venido justas, sin necesidad
de cortar ninguna). R. 3dm
10)Un panadero necesita envases para colocar 250 magdalenas y 75 mantecados en cajas, lo más
grandes que sea posible, pero sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuántas unidades irán
en cada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta?
R. En cada caja deberán ir 25 unidades.
Completará 10 cajas de magdalenas y 3 cajas de mantecados.
11) Un alumno quiere cambiar con otro cuaderno de Q.3.60 por rotuladores de Q.4.80. ¿Cuál es el
menor número de cada clase que pueden cambiar sin que ninguno de los dos pierda? ¿Cuál es el
valor de lo que aporta cada uno?
R. Pueden intercambiar 4 cuadernos por 3 rotuladores, por un valor, cada paquete, de Q.14.40.
12) El mayor de los tres hijos de una familia visita a sus padres cada 15 días, el mediano cada 10, y
la menor cada 12. El día de Navidad se reúne toda la familia. ¿Cuando volverán a encontrarse los
tres juntos? ¿Y el mayor con el mediano?
R. 60 dias después volverán a encontrarse los 3 juntos, es decir 23 de febrero; El mayor y el
mediano se encontrarán transcurridos 30 días, El 24 de enero.
13) Rosa tiene el triple de discos que Manuel. Si cada uno comprase un disco, Rosa tendría el doble.
¿Cuántos discos tienen cada uno? Federico tenía la cuarta parte de dinero que Amelia. Por hacer un
recado reciben Q.2.00 cada uno. Ahora Amelia tiene el triple que Federico. ¿Cuánto tiene ahora
cada uno?
R. El dinero que tenían al principio entre los dos es múltiplo de 5.
“Fija los ojos hacia delante en lo que puedes hacer, no hacia atrás en
lo que no puedes cambiar” T. Clancy
67
Guía de estudio No. 2.6
“La gota abre la piedra, no por su fuerza sino por su constancia” Ovidio
FRACCIONES DECIMALES
Conceptos:
Fracción decimal, es toda fracción, cuyo denominador es la unidad seguida de ceros.
Un número decimal, es un número escrito en un sistema de base 10 en que cada dígito, según su
posición, señala la cantidad de unidades, decenas, centenas, miles, décimas, centésimas, milésimas,
etc., que contiene. Con una coma o punto se separa la parte entera de la parte no entera o decimal del
número. (Se recomienda usar punto en lugar de coma, para evitar confusión con miles).
Por ejemplo:
1
1
1
+ 1⋅
45.831 = 4 ⋅ 10 + 5 ⋅ 10 0 + 8 ⋅ + 3 ⋅
10
100
1000
= 4 decenas + 5 unidades + 8 décimos + 3 centésimos + un milésimos
Representación decimal de un número racional: Se llama fracción decimal a una fracción cuyo
denominador es una potencia entera de 10.
Ejemplos:
4
6 12421
,
,
son fracciones decimales.
1.
10 1000 100
2. Todo número entero puede ser representado como fracción decimal, por ejemplo:
5
5
5= = 0
1 10
1125
9
3. El número racional se puede representar por la fracción decimal
ya que:
8
1000
9
1000
= 1.125 ∗
8
1000
4. El número racional
3
6
puede ser representado por la fracción decimal
, ya que:
5
10
3 3⋅ 2 6
=
=
5 5 ⋅ 2 10
Un número decimal finito, es un número racional, que puede ser representado por una fracción
decimal.
Escritura decimal de un número decimal finito
división
2
= 0.2
10
Al
efectuar la operación
de
2
, observamos que ésta no contiene enteros por lo cual el lugar de la unidad está ocupado
10
por cero.
68
Ejemplos:
2
= 0.02
1)
100
2)
21
= 2.1
10
3)
211
= 21.1
10
2
, observamos que ésta no contiene enteros por lo cual el
10
lugar de la unidad está ocupado por cero.
Al efectuar la operación de división
decena
unidad
10
1
décimo
1
10
centésimo milésimo
1
1
100
1000
Regla para escribir un decimal: Se escribe la parte entera si la hay, y si no la hay, un cero y en
seguida el punto decimal, después se describen las cifras decimales teniendo cuidado de que cada
una ocupe el lugar que le corresponde.
75
Ejemplo 1: Escribir setenta y cinco milésimas:
R.
1000
817
6
Ejemplo 2: Escribir 6 unidades 817 diezmilésimas:
R. 10000
Actividad 1
Escribir en notación decimal
1) 8 centésimas
2) 19 milésimas
3) 9 cienmilésimas
4) 11 décimas
5) 218 décimas
6) 7546 centésimas
7) 6 unidades 8 centésimas
8) 7 unidades 19 milésimas
R. 8/100
R. 19/1000
R. 9/100,000
R. 11/10
R. 218/10
R. 7546/100
R. 68/100
R.
9) 42 unidades 42 millonésimas
R.
10) 978 décimas
R. 978/10
Actividad 2
Escribir en número decimal
7
35
315
1)
10
2) 100
3) 100000
8
4) 1000
5) 6
19
1000
18
6) 100
9
69
Respuestas:
Actividad 2: 1. Siete décimos
3.trescientos quince cien milésimas
5. seis enteros, diecinueve milésimas
Actividad 3
Escribir en números racionales
1) 0.8
2) 0.0015
4) 0.000003
5) 0.003
7) 2.000016
8) 15.000186
Respuestas:
Actividad 3: 1) 8/10
5) 3/1000
9) 9/100
2. Treinta y cinco centésimos
4. Ocho milésimas
6. Nueve enteros dieciocho centésimas
3) 0.15
6) 8.00723
9) 0.09
2) 15/10000
723
6) 8 100000
3) 15/100
16
7) 2 1000000
4) 3/1000000
186
8) 15 1000000
Propiedades generales de las fracciones decimales:
1) Un decimal no se altera porque se añadan o supriman ceros a su derecha.
Ejemplo: 0.34 = 0.340 = 0.3400
2) Si un número decimal se corre el punto decimal a la derecha uno o más lugares, el decimal
queda multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se haya corrido el
punto a la derecha. Ejemplo:
0.876 ∗ 10 = 8.76
0.876 ∗ 100 = 87.6
0.876 ∗ 1000 = 876
3) Si en un número decimal se corre el punto decimal a la izquierda uno o más lugares, el
decimal queda dividido por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se haya corrido el
punto a la izquierda.
Ejemplo:
4.5 ÷ 10 = 0.45
4.5 ÷ 100 = 0.045
4.5 ÷ 1000 = 0.0045
Actividad 4
Efectuar:
1) 0.4 ∗ 10
R. 4
2) 7.8 ∗ 10
R.78
3) 0.324 ∗ 10
R. 3.24
4) 0.455 ∗ 1000 R.455
5) 0.724 ∗ 1000000
R. 724000
6) 45.78 ∗ 10000 R. 457800
7) 0.5 ÷ 10
R. 0.05
8) 0.86 ÷ 10
R.0.086
9) 2.5 ÷ 1000
R. 0.0025
10) 0.7 ÷ 100000
R. 0.000007
11) 16.134 ÷ 100 R. 0.16134 12) 2.3 ÷ 100 R. 0.0.023
Actividad 5
Simplificación de fracciones con decimales:
1)
(0.03 + 0.456 + 8) ∗ 6
25.458
1
1
1
+
+
∗ 0.3
3) 0.1 0.01 0.001
R. 2
0.5 ∗ 3 + 0.6 ÷ 0.03 + 0.5
2) 0.08 ÷ 8 + 0.1 ÷ 0.1 − 0.01
R. 22
R. 333
0.03
0.006
3+
6
4+
4) 4 0.4 3 0.03 6 0.006
R. 0.010101
0.4
70
Guía de estudio No. 2.7
“La buena suerte se da, cuando coincide la oportunidad con la preparación”
Tema:
REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Algunos Conceptos
Todo número racional es el cociente de la división indicada de su numerador, entre su denominador;
por lo tanto, para convertir una fracción a número decimal, se sigue el siguiente proceso:
“Se divide el numerador entre el denominador, aproximando la división hasta que dé cociente exacto
o hasta que se repita en el cociente, indefinidamente, una cifra o un grupo de cifras”
Ejemplo: Convertir 3/5 a decimal:
3÷5= 0.6
R. 0.6
Existen diferentes clases de decimales, originados por diferentes fracciones:
•
Exactas
•
Inexactas
•
Periódicas
periódicas puras
periódicas mixtas
Fracción decimal exacta, es la que tiene un número limitado de cifras decimales.
Ejemplo: 0.6 y 0.35
Fracción decimal inexacta periódica es aquella en la cual hay una cifra o un grupo de cifras que se
repiten indefinidamente y en el mismo orden.
Ejemplo: 0.333… y 0.1212…
Período, es la cifra o grupo de cifras que se repiten indefinidamente y en el mismo orden.
Ejemplo: 0.333… el período es 3 ;
0.1212… el período es 12
Fracción decimal periódica pura, es aquella en la cual el período empieza en las décimas.
Ejemplo. 0. (3)33…,
0. (12)1212…, 0. (786)786…
Fracción decimal periódica mixta es aquella en la cual el período no empieza en las décimas.
Ejemplo: 0.08(3)33…, 0.2(35)35…, 0.00(171)171…
71
Notación: El período de un número decimal infinito se denota, escribiendo una vez el período con
una raya sobre él.
Ejemplos:
0.166 = 0.16
y
71.3912845684568456 = 71.39128456 .
Actividad 1
Convertir las siguientes fracciones a números decimales y clasificarlos según al tipo de decimal al
que pertenece.
1) ½
2) 1/3
3) ¼
4) 1/6
5) 1/7
6) 1/8
7) 1/9
8) 2/5
9) 3/5
10) 2/3
11) 4/5
12) 5/12
13) 7/11
14) 1/333
15) 6/111.
Respuestas:
Actividad 1
1) 0.5, Exacta
2) 0.333…, Periódica Pura
3) 0.25 , Exacta
4) 0.166…, Periódica Mixta 5) 0.142857, Exacta
6) 0.125, Exacta
7) 0.111…, Periódica Pura
9) 0.6, Periódica Pura
8) 0.4, Exacta
10) 0.666…, Periódica Pura 11) 0.8 , Periódica Pura
13) 0.6363…, Periódica Pura 14) 0.003003…, Periódica Pura
12) 0.41666…, Periódica Mixta
15) 0.054054…, Periódica Pura
“Ser excelente es comprender que con una férrea disciplina, es factible forjar un carácter de
triunfador” Anónimo
72
Guía de estudio No. 2.8
“La perseverancia es el ingrediente más importante para el éxito
“Anónimo
Tema:
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON FRACCIONES
Hay varios autores de libros de matemática, que difieren en la cantidad de pasos sugeridos, entre 3 y
7, cuyo resumen está en los siguientes 4 pasos sugeridos.
PASOS PARA PLANTEAR UN PROBLEMA:
1- Comprender el problema. Parece, a veces, innecesaria, pero es de gran importancia, entender
cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes.
-
Se debe leer el enunciado, despacio.
¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos).
¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos).
Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y la incógnita.
Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo o resumen de la situación.
2- Trazar un plan para resolverlo. Hay que plantearla de una manera flexible, alejado del
mecanicismo.
- ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
- ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
- Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
- Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de
llegada con la de partida?
- ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3- Poner en práctica el plan. También hay que plantearlo de una manera flexible.
-
Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo
que se hace y para qué se hace.
- Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe
volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
4- Comprobar los resultados.
- ¿Se puede comprobar la solución?
- ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
Ejemplo: Un hortelano, planta 1/4 de su huerta de tomates, 2/5 de cebollas y el resto, que son 280
2
m , de papas. ¿ Qué fracción ha plantado de papas?. ¿Cuál es la superficie de total de la huerta.?.
73
Paso 1: Se debe averiguar la fracción de papas y el tamaño total de la huerta.
Paso 2: Se debe restar lo que se ha plantado en la huerta tomando ésta como la unidad.
Paso 3: La huerta le asignamos la unidad porque corresponde a una sola huerta.
1- 1/4 - 2/5 =
20- 5 – 8 = 7/20 es la fracción que corresponde a las patatas.
20
Si
R.1 = 7/20
7/20------ 280 m2
13/20-------- x
7/20.x = 280. 13/20
Entonces la superficie total de la huerta es
7x
2
520 + 280 = 800 m
Paso 4:
= 3640
x
= 520
R.2 = 800m2
1
2
∗ 800 + ∗ 800 + 280 = 800
4
5
Ejercicios de aplicación:
1) Tenía ahorrados Q18. Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero. ¿Cuánto me ha
costado el juguete?
En este caso se trata de calcular la fracción de un número. Necesito los 4 / 9 de los Q18 que tengo
para el juguete.
4 / 9 de 18 = Q8 me ha costado el juguete.
Otra forma: Calcular lo que corresponde a 1 / 9 y multiplicar por 4.
1º
1 / 9 de 18 = 2
2º
2x4=8
2) ¿Entre qué número se divide 80 cuando se convierte en 3/5?
80 es el dividendo y 3/5 el cociente. Para hallar el divisor no hay más que dividir el dividendo
entre el cociente:
1
80 5
× = 133
80 ÷ 3/5 =
1 3
3
3) Tenía Q90.00, perdí los 3/5 y presté 5/6 del resto. ¿Cuánto me queda?
3
× 90 = 54
5
Me quedan: 90 - (54 + 30) = 6
Perdí 3/5 de 90:
Presté 5/6 del resto:
5
× 36 = 30
6
R. Q.6.00
Actividad 1: Resuelva los siguientes problemas:
74
7
1) El paso de cierta persona equivale a 8 de metro. a) ¿Qué distancia recorre con 1,000 pasos?. b)
¿Cuántos pasos debe dar para recorrer una distancia de 1.400 m.? R. a) 875 m y b) 1600 pasos.
3
2) En un frasco de jarabe caben 8 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y
medio de jarabe.
R. 12 frascos.
3
3) Un laboratorio comercializa perfume en frascos que tienen un capacidad de 20 de litro. ¿Cuántos
litros de perfume se han de fabricar para llenar 1.000 frascos?.
R. 150 litros.
3
4) Un camión cubre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera hora recorre, 8 del
2
trayecto, en la segunda los 3 de lo que le queda y en la tercera los 80 km. restantes. ¿Cuál es la
distancia total recorrida?.
R. 384 km.
5) He gastado las tres cuartas partes de mi dinero y me quedan Q.900.00. ¿Cuánto tenía? R. 3600.
2
6) De un depósito de agua se saca un tercio del contenido y, después 5 de lo que quedaba. Si aún
quedan 600 litros. ¿Cuánta agua había al principio?
R. 1500 lt.
3
7) ¿Cuántas botellas de 4 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?. R. 40 botellas.
3
8) Un vendedor despacha por la mañana las 4 partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende
4
5 de las que le quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg. de naranjas. ¿Cuántos kg.
tenía?. R. 2000 kg.
3
9) Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de 4 de litro. ¿Cuántos litros de
agua había en el bidón?.
R. 30 litros.
1
10) Un frasco de perfume tiene una capacidad de 20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se
3
pueden llenar con el contenido de una botella de 4 de litro?.
R. 15 frascos.
2
11) Jacinto come los 7 de una tarta y Gabriela los tres quintos del resto. a) ¿Qué fracción de tarta
ha comido Gabriela?. b) ¿Qué fracción queda?. R. a) 3/7 comido y b) 2/7 le queda.
1
12) De un depósito que contenía 1,000 litros de agua se han sacado, primero 5 del total y, después,
3
4 del total ¿Cuántos litros quedan?
R. 50 litros.
75
UNIDAD 3
“La gente crea su propio éxito, aprendiendo lo que necesita aprender y
practicándolo hasta que se vuelve experta”. B. Tracy
EXPONENTES Y RADICALES.
Objetivo de la unidad: Preparar al estudiante para que sea capaz de resolver las operaciones y los problemas de
exponentes y radicales, aplicando las leyes de los mismos.
Guía de estudio No. 3.1
Tema:
POTENCIAS Y RAÍCES CON NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES
Algunos Conceptos
POTENCIACIÓN: Es una operación que permite abreviar la multiplicación de un número “a” por
sí mismo, “n” veces.
an = a x a x a… hasta n veces;
“a” es llamada base
“n” es llamado exponente e indica las veces que la base se toma como factor de sí misma.
Ejemplos:
Potencia:
a0 = 1;
a1 = a;
53 = 5 x 5 x 5 = 125;
a2 = a x a;
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
a3 = a x a x a;
a4 = a x a x a x a;
Elementos de la potencia
En la potencia 53 distinguimos la base, que es el 5 y el exponente, que es el 3.
En este caso 53 = 5 x 5 x 5. La base (5) es el número que se repite en la multiplicación.
El exponente (3) es el número de veces que se multiplica.
RADICACIÓN: La operación contraria de la potenciación, es la radicación; utilizando el ejemplo
anterior podemos construir el siguiente cuadro
Ejemplo
125
3
5
Radicación
Radicando
Índice
Raíz
Potenciación
resultado
exponente
base
76
La ventaja de expresar las potencias en las formas escritas anteriormente, para factores repetidos,
consiste en que cumplen propiedades que facilitan las operaciones o manejo de los números. Estas
propiedades de la potenciación son llamadas “LEYES DE LOS EXPONENTES”, que se explicarán
en el desarrollo de estas GUÍAS DE ESTUDIO.
Expresión Radical o Radical es toda raíz indicada de un número o de una expresión algebraica. Si
la raíz indicada es exacta, le expresión es racional; si no es exacta, es irracional.
Definición de radicación: Radicación, es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la
correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
𝑎
1�
𝑞=
NÚMEROS Y RAÍCES CÚBICAS: Un número cúbico, se asocia al volumen de un paralelepípedo
de lados o aristas iguales, llamado Cubo.
Este volumen se obtiene multiplicando el área de una de sus caras: b2, por la longitud o fondo de una
de las aristas perpendiculares a la misma. Como en un cubo todas las aristas son iguales, el volumen:
V = b 2 b = b3
Número cúbico “V” es el producto de un número natural “b” que se multiplica por sí mismo dos
veces, por lo que aparece tres veces como factor. Así un cubo con aristas iguales a 5 unidades,
tendrá un volumen igual a: V = 53 = 5 × 5 × 5 = 125 unidades cúbicas, por lo tanto 125 es un número
cúbico.
Cuando se conoce el volumen de un cubo, es decir, el número cúbico, la operación que permite
conocer la longitud de una de sus aristas, se llama “extracción de raíz cúbica” y se denota por el
símbolo u operador: 3 . El índice 3 del radical se utiliza para diferenciarlo de la raíz cuadrada o de
otro radical diferente.
3
125 = 5, porque 53 = 125
En general 3 V = b, si y sólo si V = b3
RADICACIÓN o RAÍZ n-ésima: n
En términos generales, a “n” se le llama índice del radical
y normalmente es un número natural mayor que uno, el cual se omite en el único caso de la raíz
cuadrada.
77
Al símbolo n se le llama radical; el número real al que se le extrae la raíz, se le denomina
radicando o cantidad subradical y al número real que resulta de extraer la raíz, se le llama raíz
n-ésima del radicando:
n
a=b
Donde:
n = índice del radical
a = radicando
b = raíz n-ésima del radicando
Signos de las raíces:
a) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad.
b) Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: + y -.
LOS NEGATIVOS EN LA RAÍCES CUADRADAS Y CÚBICAS: La raíz cuadrada (o de índice
par) de un número negativo no existe o no está definido en el campo de los números reales, porque
el producto de 2 números de igual signo siempre dan resultado positivo.
− A = No existe en el campo de los números reales porque ( ± b2 ) ≠ -A
Esta propiedad se cumple para todas las raíces n-ésimas de índice par del radical.
La raíz cúbica (o índice impar) de un número negativo, siempre da como resultado, un número
negativo. Ejemplo: 3 − 64 = -4, porque (-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64
RAÍCES CUADRADAS (o DE ÍNDICE PAR) DE NÚMEROS POSITIVOS:
Las raíces de índice par de números positivos, tienen 2 o número par de soluciones, una positiva y
una negativa. Ejemplo: 25 = +5, porque (+5)2 = 25
25 = -5, porque (-5)2 = 25
Actividad 1
1. Responda las siguientes preguntas para calcular 84:
a) ¿Cuál número es la base?
b) ¿Cuál número es el exponente?
c) ¿Cuántas veces se utiliza el 8 como factor?
d) ¿Cuál es el resultado?
2. ¿Cuál es la notación exponencial de: − 2 ∗ −2 ∗ −2 ∗ −2 ?
3. Cada vez que la tierra gira sobre su eje, una persona en el Ecuador avanza 23 ∗ 3 ∗ 5 2 ∗ 83
millas alrededor del planeta, pero una persona en el Ártico avanza 2 2 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 29 millas.
¿Cuáles son estas distancias expresadas en forma usual?
4. Una superficie cuadrangular tiene un área de 121 pies cuadrados. ¿Cuál es la longitud de uno
de sus lados?
78
5. Cada persona tiene 2 padres, cada padre tiene 2 padres. Cada abuelo tiene 2 padres. ¿Cuántos
bisabuelos tiene cada persona?
6. Halle los números que faltan:
2
3
a) ? = 64
b) ? = -27
?
2
c) 4 = 64
d) 16 = ? ó ?
4
7) ¿Qué número es mayor: 26 ó 62?
Respuestas: 1.a) 8
1.b) 4
1.c) 4
3) 49,800 millas y 9860 millas
6.a)
8
2
6.b)
−3
2
6.c) 4
3
1.d) 4096
2) (-2)4
4) 11 p
5) 8
6.d)
±4 , ±2
2
4
7) 26
“Su aprendizaje depende de su esfuerzo y entusiasmo por aprender”
79
Guía de estudio No. 3.2
“La vida es una oportunidad, benefíciate de ella; la vida es belleza, admírala; la vida
es un sueño, alcánzalo; la vida es un desafió, enfréntalo; la vida es un juego,
juégalo” Madre Teresa
Tema:
LEYES DE LOS EXPONENTES Y DE LOS RADICALES
La ventaja de expresar las potencias en las formas indicadas anteriormente, para factores repetidos,
consiste en que cumplen propiedades que facilitan las operaciones o manejo de los números. Estas
propiedades de la potenciación son las siguientes, llamadas también LEYES DE LOS
EXPONENTES. Es importante tomar en cuenta que estas propiedades o leyes funcionan en doble
vía, es decir, se pueden operar del miembro izquierdo hacia el derecho de la igualdad y viceversa.
PROPIEDAD 1: PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se eleva a la suma de los exponentes:
𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Ejemplo:
3x33x32 =31+3+2 = 36 = 729;
PROPIEDAD 2: POTENCIA ELEVADA A OTRO EXPONENTE
Para cualquier número real “a”, diferente de cero y de uno; y los exponente “n” y “m” son números
enteros: el resultado de elevar una potencia a otro exponente, es la misma base elevada al producto
de los exponentes:
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛𝑚
Ejemplo:
(43)2 = 43X2 = 46 = 4096
PROPIEDAD 3:
PRODUCTO DE DOS POTENCIAS CON
DIFERENTE BASE, PERO CON IGUAL EXPONENTE
El producto de dos potencias con diferente base, pero con igual exponente, es igual a elevar al
mismo exponente, el producto de las bases:
𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛𝑛
Ejemplos: 33•23 = (3•2)3 = 63 = 6•6•6 = 216
PROPIEDAD 4:
COCIENTE DE DOS POTENCIAS CON
DIFERENTE BASE PERO CON IGUAL EXPONENTE
El cociente de dos potencias con diferente base pero con igual exponente, es igual a elevar al mismo
exponente, el cociente de las bases. Ambas bases deben ser diferentes de cero y uno y el exponente,
un número entero:
80
an
bn
(5)2
(10)2
Ejemplo:
a
=
b
n
2
2
1
5
1
= = = (0.5)2 = 0.25 =
4
10
2
PROPIEDAD 5: COCIENTE DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE
Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se eleva a la resta de los exponentes:
Ejemplo:
𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
75 ÷ 73 = 75-3 = 72 = 49
Aclaraciones de la propiedad 5:
a) Esta propiedad es aplicable para una base de un número real, diferente de cero y de uno. Así
mismo los exponentes son números enteros.
b) Para que el exponente resultante sea un número positivo, la resta de los exponentes se hace
en el lado de la fracción con exponente mayor. Si la potencia con mayor exponente se
encuentra en el denominador, se copia la base en el denominador y a su exponente se le resta
el exponente de la potencia del numerador.
c) Esta propiedad, al aplicarla al COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Y DE
IGUAL EXPONENTE, demuestra que toda cantidad (a excepción de cero) elevada a cero, es
igual a la unidad.
d) Esta propiedad, también puede utilizarse para demostrar a qué es igual el valor de una
potencia con exponente negativo;
Ejemplos:
PROPIEDAD 6:
𝑎𝑚
𝑎𝑛
1
= 𝑎𝑚−𝑛 = 𝑎𝑛−𝑚
1)
54
1
1
1
= 7−4 = 3 =
;
7
125
5
5
5
2)
a4
1
1
= 6− 4 = 2 = a-2
6
a
a
a
POTENCIAS CON EXPONENTE NEGATIVO
Para números reales “a y b” diferentes de cero y de uno y además el exponente “n” es un número
entero, se indica que una potencia con exponente negativo es igual al recíproco de la base pero con
el exponente positivo.
Esta propiedad permite indicar que recíproco también se define como el resultado de dividir la
unidad entre el número (o fracción), así mismo, para convertir una potencia con exponente negativo,
81
se forma una fracción con la unidad de numerador y como denominador la potencia con el
exponente positivo.
Finalmente, esta propiedad permite encontrar otra definición de recíproco de un número “a” que es
igual a a-1:
a-n =
1
;
an
−3
Ejemplos:
3
2) 5-3 =
n
33
27
= −
;
3
8
2
2
3
1) − = − =
3
2
1
1
=
;
3
125
5
1
3) (-3) -5 =
PROPIEDAD 7:
−n
1
a
b
=
=
n
b
a
a
b
1
= an ;
−n
a
(− 3)
5
= −
1
243
LEY DE EXPONENTE FRACCIONARIO
Toda raíz n-ésima puede ser expresada como una potencia con exponente fraccionario que tenga
como numerador el exponente del radicando y como denominador, el índice del radical.
n
Ejemplo:
am = a
m
n
n
a =a
1
n
1)
4
2)
38 = 3
8
4
= 32 = 9
64 = 8 2 = 8 2 2 = 81 = 8
3)
Equivalencia: puede haber equivalencia en dos expresiones una potencia con exponente
fraccionario y un radical. ejemplo
a
m
n
( )
= n am = am
1
n
= a
1
m
n
=
( a)
n
m
Todo número real puede expresarse como una potencia elevada a un exponente fraccionario de
forma neutra. Esta propiedad es muy utilizada para simplificar expresiones con radicales, o bien
en la solución de ecuaciones o expresiones para eliminar o sustituir radicales.
82
Ejemplos:
4 = 22 = 2
1)
2)
3
2
= 21 = 2
2
729 = 3 36 = 3
6
3
= 32 = 9
2
(
3
3
3) (3 − 343 ) 2 = 3 (− 7 ) = (− 7 ) 3
4)
3
15625 = 3
5)
m n
a = mn a
( )
5 6 = 5 6
1
2
1
3
) = (− 7)
2
( )
= 56
11
⋅
23
6
= (−7) 2 = 49
3
1
= 5 6 = 51 = 5
6
LEYES DE RADICALES:
1)
n
a n b = n ab
n
a
n
2)
n m
3)
b
=n a
b
a = nm a
Actividad 1
Opere y simplifique:
1) 10 10 =
3
2)
3)
4)
5)
3
3
(
n
4
54
2
=
64 =
an b
)
n
=
(81a b )
8 12 5
Respuestas:
=
1) 10
2) 3
3) 2
4) ab
5) 35 a10 b15
“Su aprendizaje depende de su esfuerzo y entusiasmo por aprender”
83
Ejercicios propuestos
1.
-
+
2.
-2
+
3.
+2
4.(3
)(
)
5.(
)
(
6.(3
+2
+2
Respuesta = 2
-
-3
Respuesta = 2
-
+2
-5
Respuesta =
Respuesta = 12
)
-
Respuesta =
)
Respuesta = 6 + 3
-
84
Guía de estudio No. 3.3
“El único hombre que no se equivoca es el que nunca hace nada”.
Johann Wolfgang
Tema:
OPERACIONES CON POTENCIAS Y RAÍCES
OPERACIONES CON POTENCIAS: En la guía de estudio 3.2, se expusieron propiedades o
leyes de los exponentes. En esta guía incluiremos aplicaciones de esas leyes en varias operaciones y
simplificación de fracciones.
a) Calcular el valor de la expresión exponencial: 42.5 :
2
b) Operar y simplificar
2
c) Efectuar 7
2
d) Efectuar 9
∗7
5
−
1
2
1
10
∗7
1
↔
2
1−
f) Efectuar
(8 )
3
10
2
↔
75
↔
3
1
2
3
÷2
3
= 3 22 = 3 4
1
1 3
+
10 10
8
1
=
9
2
4
= 7 10 = 7 5 = 5 7 4 = 5 2401
=
1
3
15 = 1
3
↔
2 ÷2
−1
2
3 3 3
g) Simplificar 4 − ⋅
2 2 2
3
h)
+
1
↔
0 5
= 22
4 5 = 1024 = 32
3
9
e) Operar
1
3
42.5 = 45/2 =
8
−1 3
2
1 − (− 3) + ↔
9
2 2
−2
1
3
=2
1−
1
3
2
3
=2 =3 4
2
9
2 2
8
235
↔ 4 ⋅ − ⋅ = 9 −
=
4 3 3
27
27
1
(9) + − 1 3 = 3 − 3 = 45 = 2 13
9
16 16
16
8 2
Sumas y restas de radicales: Se simplifican los radicales dados, se reducen los radicales
semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.
Ejemplo: Simplificar a) 2 450 + 9 12 − 7 48 − 3 98 :
2∗5∗3 2 + 9∗ 2 3 − 7 ∗ 4 3 − 3∗7 2 =
85
Actividad 1
Efectuar y simplificar
1) 1
63 − 1
6
9
180 =
45 − 27 − 20 =
2)
3)
80 − 1
4
80 − 2 252 + 3 405 − 3 500 =
4) 7 450 − 4 320 + 3 80 − 5 800 =
5)
1
1
3
1
12 − 18 +
48 +
72 =
2
3
4
6
6)
3
2
1
1
176 −
45 +
320 +
275 =
4
3
8
5
7) 175 + 243 + 63 − 2 75 =
R.
-
R.
5 −3 3
R. √5 − 12√7
R. 5√2 − 20√5
R. 4 3
R. 4 11 − 5
R. 8 7 − 3
Multiplicación de Radicales: Si los radicales son de igual índice, se multiplican los coeficientes
entre sí y las cantidades sub-radicales o radicandos entre sí, colocando este último producto bajo el
signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
2 15 por 3 10 = 6 15 10 = 6 150 = 30 6
Actividad 2
3 por 6 =
R. 3 2
2) 5 21 por 2 3 =
R. 30 7
1)
3) 1
4)
2
12
5) 5
6
14 por 2
7
21 =
9=
15 por12 50 =
R.
6
R. 6 3
R. 50 30
División de Radicales del mismo índice: Si los radicales son de igual índice, se dividen los
coeficientes entre sí y las cantidades sub-radicales o radicales entre sí, colocando este último
cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
86
Puede sustituir la división, por una multiplicación del numerador por el recíproco del denominador.
a m ÷b x = a m
b
x
Actividad 3
1) 4 6 ÷ 2 3 =
R. 2 2
2) 2 3a ÷ 10 a =
R.
3)
1
2
3 xy ÷ 3
4
1
3
5
2
3y
R.
3
x=
Simplificación de radicales: Significa expresar un número irracional en su forma más reducida o
simple, de tal manera que ningún factor del radicando posea raíz n-ésima exacta. Para explicar
mejor, consideremos como ejemplo el número 3 54 ; éste es un número irracional, puesto que 54 no
es un número cúbico, es decir, no tiene raíz cúbica exacta; sin embargo, es susceptible de factorizar,
de acuerdo al Teorema Fundamental de la Aritmética; así mismo, el valor factorizado se le puede
aplicar propiedades y leyes ya estudiadas. Ejemplo ilustrativo:
3
54 =
3
33 ∗ 2 = 3 33 ∗ 3 2 = 3
3
3
∗ 3 2 = 3∗ 3 2
Reglas o pasos para simplificar radicales:
1. Se factoriza el radicando, aplicando el Teorema Fundamental de la Aritmética.
2. Se agrupan los factores de forma que un grupo tenga las potencias con exponentes múltiplos
del índice del radical. En el otro grupo se tendrán los factores cuyos exponentes sean
menores al índice del radical.
3. Se aplican las leyes de radicales para simplificar. Usualmente, la expresión simplificada
contiene un número racional multiplicado por un número irracional.
Racionalización de Radicales: Consiste en sustituir (eliminar visualmente) los radicales del
denominador de una expresión racional. En problemas de matemática avanzada, algunas veces es
necesario racionalizar el numerador, pero en este caso hay necesidad de especificar esta situación.
En el proceso de racionalizar, la fracción dada se multiplica por una fracción neutra (n/n), de tal
forma que al realizar el producto, el exponente (fraccionario) de la expresión a racionalizar, se
convierta en un exponente natural.
Ejemplos:
4
4
6
4 6
4 6 2
a)
=
∗
=
=
=
6
2
6
3
6
6
6
6
( )
b)
8⋅5 3
5
8
=
8⋅5 3
5
23
=
8⋅5 3
5
23
∗
5
22
5
22
=
8 ⋅ 5 3 ⋅ 22
5
23 ⋅ 2 2
=
8 ⋅ 5 12
2
5
5
=
8 ⋅ 5 12
= 4 ⋅ 5 12
2
87
10
c)
d)
5+ 3
75 ⋅ 3 2
3− 2
=
=
10
5+ 3
75 ⋅ 3 2
3− 2
∗
∗
(3
(3
2
(
(
) = 10( 5 − 3 ) = 10( 5 − 3 ) = 10(
5−3
3) ( 5) − ( 3)
5− 3
5−
2
+ 3 ⋅ 3 2 + 3 22
2
) (
5− 3
=5 5− 3
2
) = 75 ⋅ 2 (9 + 3 ⋅ 2 + 4 ) = 3 ⋅ 2 (9 + 3 ⋅
)
(3) − ( 2 )
3
3
3
3
3
3
2 +3 4
)
)
+ 3⋅ 2 + 2
Para el desarrollo de este ejercicio ver tema de Productos Notables caso diferencia de cubos :
3
3
2
3
3
2
3
3
(a-b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Otras operaciones con radicales y expresiones algebraicas:
Opere y simplifique:
− 3 xy 2 ⋅ 3 2 x 2
1)
2)
3
(
(
)
8 x 5 y 3 − 40 x 3 y 4 = 3 8 x 3 y 3 x 2 − 5 y = 2 xy ⋅ 3 x 2 − 5 y
(
)(
)(
)
3) 5 125 x 7 y 4 ⋅ 5 25 x −12 y 6 = 5 5 35 2 x 7 x −12 y 4 y 6 =
3
4)
− 243 x 5 y 7
3
9x8 y
=3
)
5y2
x
− 35 x 5 y 7
3y 2
=
−
x
32 x 8 y
“Cuando el peligro parece ligero, deja de ser ligero” Francis Bacon.
TAREA ESPECIAL
fecha de entrega:________________________
EXPONENTES Y RADICALES
Instrucciones: Lea cada pregunta, resuelva en otra hoja en blanco y subraye la respuesta correcta con
bolígrafo.
1. El valor exacto de
2. Simplifique:
3. El resultado de operar
4. Racionalice y simplifique:
es:
a.
a.
b. 14
b. es:
c.
c.
a. 0.000111
c. 0.0111
d. 2/7
d.Noessimplificable
b.-9,999.989
d. 0.0000111
a.
b.
c.
d.
88
5. Racionalice y simplifique:
a.
6. Al sustituir x=-2 y
en la expresión algebraica
a. 18
b. 17
7. El resultado de simplificar
a.
, se obtiene:
c.
d. Una expresión indefinida
es:
b. 2
c. 1
d.
es:
8. El valor exacto de:
a.
b. -58
c. -15
9. Resuelva:
a. 1/3
b. 28/279
10. Resuelva:
a.
12. Racionalizar:
a.
13. Opere y simplifique:
14. Opere y simplifique: 42.5
16. Al valuar x=
a.
c. 3
d. 5/93
c.
d.
a.
b.
c.
d.
b.
a.
b.
a. 32
b. 4
15. ¿Cuál de las expresiones de abajo es equivalente a
b.
d. 6
b.
11. Opere y simplifique:
a.
5
d.𝑦 2 √16𝑥
c. 4 y 5 x
b.
c.
d.
c.
d.
c. 30
d. 1/32
?
c.
d. Ninguna
en las siguientes expresiones, ¿en qué caso, el resultado es un número real?
b.
c.
d.
89
17. Un número entero positivo es igual al cuadrado de otro número entero positivo. Si la diferencia
de los números es 12, ¿cuál es el mayor de estos números?
a. 15
b. 3
c. 9
d. 16
18. Seis hermanos van a comprar un terreno en partes iguales. A última hora dos de ellos desisten y
esto hace que cada uno de los otros tenga que aportar Q500 más. ¿Cuál es el valor del terreno?
a. Q4000
b. Q6000
c. Q4500
d. Q5000
19. En una oficina de ventas, hay 2 supervisores. Cada supervisor tiene a su cargo T telefonistas y 9
practicantes. Cada telefonista usa 5 teléfonos y cada practicante 1 teléfono. ¿Cuántos teléfonos usan
las telefonistas y los practicantes?
a. 5(T+9)+2
b. 5+T+9+2
c. 2(5T+9)
d. NAC
20. El tiempo en minutos que debes emplear para hacer una tarea se descompone del siguiente
modo: 1/10 del tiempo total de minutos en leerla, 2/5 en escribirla, 4/10 en imprimirla y 2
minutos en verificarla. La ecuación que define el tiempo empleado en hacer la tarea es:
a. 1/10 + 2/5 + 4/10 +2 = t
b. (1/10 +2/5 + 4/10 +2)t = t
c.
d.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
1
R =
2a
R. =
2)
3)4x⁻²÷9x²) ÷ (8x³÷27y³)⁻⅓
a
R.
2
4
1
m
6
8
3
27 x y
90
Guía de estudio No. 3.4
“Lograr mis metas no es un secreto, sino una opción, lo tomo o lo dejo”
“De las carreras sólo queda el cansancio, las metas se logran con
perseverancia y constancia, no a saltos.
Los babilonios utilizaban la elevación a potencias como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial
predilección por los cuadrados y cubos. Diofanto, (en el siglo 3 d. C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación
de las potencias así. x, xx, xxx, xxxx, para expresar la primera, segunda, tercera potencia etc. de x, Descartes introdujo
la notación x, x² , x³ etc.
Tema:
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE ALGUNAS POTENCIAS Y
RAÍCES
La aritmética griega se distinguió por tomar como base la GEOMETRÍA. Un número elevado al
cuadrado, es el producto de un número natural que se multiplica por sí mismo y da como resultado
otro número natural. Un número o”cuadrado”, se deriva de representar el área de una figura plana
cuadrada.
Al conocer el valor de un número cuadrado se puede calcular la longitud de los lados de la figura
plana cuadrada que representa, mediante la operación aritmética llamada “extracción de raíz
cuadrada”, la que se representa por
;lleva un número llamado índice, que indica el grado del
radical; por convención, el índice 2 se suprime.
La raíz cuadrada representa la longitud de cada lado de un cuadrado, cuyo valor se encuentra
buscando un número que multiplicado por sí mismo, dé el número cuadrado.
91
Cuadrados perfectos
Las potencias con exponente 2 se llaman cuadrados o cuadrados perfectos.
En el dibujo vemos que el cuadrado de 2, ( 22 ), es 4; el cuadrado de 3, ( 32 ), es 9; y el cuadrado
de 4, (42), es 16. Puede comprobarlo contando los cuadros pequeños.
Cuando aprendimos las tablas de multiplicar, aprendimos que 7 x 7 = 49. Ahora lo podemos
expresar en forma de potencia: 72.
Ejemplo 1: Si el área de un cuadrado es 100, ¿cuál es la longitud de sus lados?
Sea:
Entonces:
b = longitud de un cuadrado de área 100
= 100 ; b = 100 = 10
porque 102 = 100
Cuadrados y cubos: " Potencias con signo positivo.
En el dibujo de la izquierda vemos un cuadrado de 2cm de largo y 2cm de ancho. En total hay 4
cuadros pequeños de 1cm de lado; 2cm x 2cm = 4 cm2
El dibujo de la derecha representa un cubo que mide 2cm de largo, 2cm de ancho y 2cm de alto.
En total, ¿cuántos cubitos pequeños hay? Cuéntelos y comprobará que hay 8 cubitos. 2 x 2 x 2 = 23
= 8.
92
Ejemplo 2: El volumen de un cubo es 343, ¿cuál es la longitud de sus aristas?
Si,
V = 343
Entonces:
sea,
= 343 ; b=
3
b = longitud de una de las aristas
343 = 7
porque 73 = 343
Actividad 1
1) Complete el siguiente cuadro. En el último caso, use las propiedades de las potencias para
justificar su valor numérico
Potencia
Desarrollo de la
potencia expresado
Valor numérico
de la potencia
22
2·2
4
2-2
32
3-2
42
4-2
2) Representar gráficamente los valores resultantes de elevar al cubo los siguientes números 1,2,3,9
Actividad 2
Resuelva los siguientes problemas:
1) Un cuadrado tiene 225 dm2 de superficie. Hallar sus dimensiones.
R. 15 dm de lado
2) Un cubo tiene 3375 m3. Hallar sus dimensiones.
R. 15 m
3) ¿Cuál será la arista de un cubo cuyo volumen es ¾ del volumen de una pirámide de 288000 m3?
R. 60 m
93
4) La altura de un paralelepipedo es el triplo de su longitud y de su ancho. Si el volumen del cubo
es de 24000 cm3, ¿cuáles son las dimensiones del cubo?
R. 20 cm de largo y 60 de
altura
5) ¿Cuáles serán las dimensiones de un cubo cuya capacidad es igual al de un paralelepipedo de 45
m de largo, 24 m de ancho y 25 m de alto?
R. 30 m de arista
6) Si a = 4 cm, b = 2 cm, c = 2.5 determinar el volumen del cubo:
a
c
R. 20 cm3
b
Actividad 3
1) Ingresar a la página www.aplicaciones.info/decimales/potencia.htm
y ejercitarse.
“Si no te gusta lo que te sucede, cámbialo, tú no eres un árbol”
J.Rohn
94
Guía de estudio No. 3.5
“La visión de tu vida es tu futuro y debe ser de éxito”.
Esta ciudad te pertenece, edifica en ella tu presente para que las generaciones futuras puedan colmar
su vida de sabiduría.Que tu vida académica sea sagrada, fecunda y hermosa. No entres a esta ciudad
del espíritu, sin bien probado amor a la verdad y a la libertad.
Carlos Martínez Duran.
Ex rector, USAC
Radicalización: complemento
, que representa la raíz principal de índice q de a, se llama radical, y la a que
La expresión
aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical. Al índice de la raíz, q, se le llama
también orden del radical
Entonces por definición establecemos:
1
𝑞
𝑞
𝑎 = √𝑎
lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias, de donde, las operaciones
con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes. Ver página 8 donde se
presentan las leyes de los radicales, los cuales los estudiante debe de memorizar para su aplicación.
Estas leyes las utilizaremos para simplificar radicales y para efectuar con ellas las diversas
operaciones algebraicas.
Simplificación:
Se dice que el radical simple
está simplificado cuando satisface las siguientes operaciones:
a) El radical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice q del radical.
b) El radical no contiene fracciones.
c) El índice del radical es el menor posible.
Ejemplo; simplicar:
a)
b)√45𝑎5 𝑥 3
Solución:
=
a = 5𝑎
√3𝑎
2
95
Pero debemos eliminar la
en el denominador, conocida la aplicación como racionalización del
denominador, entonces multiplicamos x
la expresión de arriba y obtenemos una nueva
expresión:
5a
= 5a
, de donde el denominador al ser multiplicado por
tenemos un cuadrado de
(√2), quedando únicamente 2.
Solución ejemplo b:
=
=3
x
Actividad 1
1)
R
2)
R 2mn 2mn
3)
R
4)
R √2𝑎
4
Adición y sustracción
Se dice que dos radicales son semejantes si después de que han sido simplificados constan del
mismo subradical y el mismo índice.
Ejemplo,
La suma de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes, o sea se multiplica la
suma de sus coeficientes por el radical común.
Ejemplo
Calcular la suma indicada:
=
=
Actividad 2
1)
2)
-2
+
+
+2
-
R
R
96
3)
4)
5)
+2
+
-
-3
-
-
+2
-2
R
R2
R
+
-3
Multiplicación y división.
Para multiplicar dos radicales primero se reducen al mismo índice, en caso de que sea necesario, y
luego se aplican las leyes de los radicales.
Ejemplo
Multiplicar
por
Como vemos los índices de los radicales son diferentes, entonces buscamos el mcm de los índices 3
y 2 = 6. Luego convertimos cada radical al índice 6, resultando la operación:
=
=
=
= = =
Luego operando
6
= √4 × 27=
Para dividir un radical entre otro se reducen, si es necesario, al mismo índice y luego aplicamos las
leyes de los radicales.
Ejemplo
=
=
Racionalización del denominador
En general, racionalizar el denominador de una fracción dada significa transformar esa fracción en
otra equivalente cuyo denominador sea entero. Analizaremos un caso en el que el denominador de la
fracción es una expresión de dos o más términos con radicales. A esta expresión la denominamos
factor de racionalización de otra expresión.
Ejemplo
Dividir
entre
Solución: operamos y luego racionalizaremos el denominador
=
=
97
Ejemplo 2
Racionalizar el denominador de
Solución
=
Entonces obtenemos
=
Actividad 3
2) 3
3)
4)
5) 3
6)
7)4
8) 3
+
R
R 24a
R
R 54
R 12
R6+3
R2
R
–
-
9)
R 23 3 / 2
10) 3
–3
11) 2
12) 213) 3 14)
15)
+
2
16)
+
R �−3 − √3�/2
R6+2
R 22 -9
R 4 2 −5
R( 19-7
)
R( 2a –x +
)/(4a-x)
R x+4+2
a
2
2
−b
R
a
b
17)
3
+
-
–
18)
+ +
+
-
19) 220)
+
-
+
√6+3+√15
2√6
1−2√5+√15
R.
R.
-
R.
2+4√3
−3−5√2+2√5
2√10−3
98
Tema: Números Complejos
Hasta el momento sólo hemos analizado los números reales. Sin embargo, observamos la necesidad
de realizar un estudio preliminar de los números complejos. De hecho en este primer estudio de los
números complejos debía ser considerado como el general del álgebra. El propósito de este tema es
hacer un estudio de inducción a los números complejos y sus propiedades.
Definiciones y Propiedades
Resolver la ecuación cuadrática x² + 1 = 0, es buscar un número que satisfaga la condición de que x²
= -1, que es un número negativo. Pero según regla de los signos de la multiplicación de números
reales, sabemos que todo número real tiene la propiedad de que su cuadrado es un número real no
negativo, de donde el número x que es solución de x² +1 = 0 no puede ser un número real. Para que
sea posible la resolución de la ecuación, introducimos un nuevo número dado por la definición
siguiente:
Definición. La cantidad
se llama unidad imaginaria. Se le representa con el símbolo i y tiene la
propiedad de que i² = -1. Entonces para representar la raíz cuadrada de un número negativo distinto
de -1 introducimos una nueva clase de números definidos así:
Definición. Un número de la forma bi, en donde b es cualquier número real e i es la unidad
imaginaria, recibe el nombre de número imaginario puro.
Definición. Un número de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es la unidad
imaginaria, se llama un número complejo. Si a = 0 pero b ≠ 0, el número complejo a + bi toma la
forma bi lo que significa que los números imaginarios puros son un caso particular de los números
complejos.
Si b = 0, el número complejo a + bi toma la forma a, que es un número real. Podemos recordar que a
este respecto, ya dijimos que un número complejo; en consecuencia, el conjunto de todos los
números reales es un subconjunto del conjunto de los números complejos.
Definición. Se dice que dos números complejos a + bi y c + di son iguales, si y sólo si a = c y b = d.
Como una consecuencia inmediata de esta definición, se tiene que a + bi = 0, solamente si a = 0 y
b = 0.
Ejemplo: hallar los valores reales de x y y que cumplen con la siguiente igualdad:
x² + 2y² + xi + yi = xy + 7 + 3i
solución:
Primero ordenamos los términos de modo que cada número sea un número complejo en la forma:
a + bi.
(x² + 2y²) + (x + y)i = (xy + 7) + 3i
99
Por definición de igualdad de dos números complejos, igualando las partes reales e imaginarias entre
sí, tenemos:
x² + 2y² = xy + 7
x+y=3
Entonces se calcula inmediatamente que las soluciones de este sistema son x = 1, y = 2 y x = 11/4
y = ¼, que corresponden a los valores buscados
Definición. El negativo del número complejo a + bi es –a – bi.
Ejemplo -5i es el negativo de 5i y 4 – 3i es el negativo de -4 + 3i
Definición. Dos números complejos que sólo difieren en el signo de sus partes imaginarias se
llaman números complejos conjugados. Así a + bi y a – bi son números complejos conjugados.
Operaciones Fundamentales
Las 4 operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división son las operaciones
fundamentales. Estas operaciones también obedecen a las leyes del algebra. La excepción será que
i² = -1 que es una propiedad que no poseen los números reales.
La otra excepción es la siguiente ley de los números reales:
Para a > 0 y b > 0,
=
Esta ley no es válida para los números imaginarios.
Para a > 0 y b > 0,
El resultado correcto se obtiene como sigue:
)
=
=-
Definiciones de las cuatro operaciones fundamentales para dos números complejos cualesquiera
a + bi y c + di cuyo resultado estará expresado en la forma canóníca de los números complejos.
Adición para sumar dos o más números complejos, se suman separadamente las partes reales e
imaginarias del mismo modo como se reducen los términos semejantes en la adición de expresiones
algebraicas ordinarias.
Así tenemos:
(a + bi) + (c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i
Sustracción: para restar un número complejo de otro, se restan las partes reales e imaginarias
separadamente.
Así tenemos
(a + bi) – (c + di) = a – c + bi – di = (a – c) + (b – d)i
100
Multiplicación: El producto de dos números complejos se obtiene multiplicándolos como binomios
ordinales y luego reemplazando por -1.
Así tenemos:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i
División: Para expresar el cociente de dos números complejos como un solo número complejo,
utilizamos un proceso análogo a la racionalización de un denominador con radicales en una fracción.
En este caso utilizamos el conjugado del denominador en lugar del factor de racionalización.
Así tenemos:
a + bi/c + di = a + bi/c + di·c – di/c – di = ac – adi + bci - bdi²/c² - d²i² =
(ac + bd) + (bc – ad)i/c² + d² = ac + bd/c² + d² + bc – adi/c² + d², c + di ≠ 0
Ejemplo 1. Efectuar la operación indicada en cada una de las siguientes expresiones y dar el
resultado en la forma canoníca.
a) 3 + 2
–2
Solución
3+2
3+2
1 + (2
–2
–2
–2
-1) + 2i -4
-1) + 2i -4 = 3 + 2
–2
+2 + 2i -4= (3 + 2 – 4) + (2
+ 2)i
-1) + 2i -4
–2
+ 2)i
b) (2 + 3i)(2 – 3i)(1 + 2i)
Solución·
Los primeros dos términos forman un producto notable y podemos escribir
(2 + 3i)(2 – 3i)(1 + 2i) = (4 – 9i )(1 + 2i) = (4 – 9(-1))(1 + 2i)
13(1 + 2i) = 13 + 26i
(
-i =(
+ 6(
(-i) + 15(
(-i + 20(
i + (-i =
- 6·
+ 15·
- 20·3
+ 15·3 - 6
45 - 6
-1= (27 -135 +45 -1) + (-54
+ 60
- 6 )i = -64
+ 15(
(-i + 6(
)(+ = 27 - 54
- 135 +60
+
Nota:
= ·I = i
= · = = -1
- i es la raiz sexta de -64
Ejemplo 3
101
Expresar
–
en la forma canónica de los números complejos
Solución: operamos separadamente con cada una de las fracciones. Y aplicando la definición del
cociente de dos números complejos, multiplicaremos el numerador y el denominador por el
conjugado del denominador.
=
=
=
=i-
=
=
=i
=
=
=
Ejercicios
1) x + yi = 2 – 3i
2)
= 3 – 4i
3) (1 – i
4)
respuesta = x = 2, y = -3
respuesta = (2, -1) , (-2, 1)
respuesta = 8i - 4
respuesta = 1-2i
Bibliografía:
1) Aritmética, Aurelio Baldor, Séptima Reimpresión, Publicaciones Cultural, México, 1992.
2) Matemática para la Administración y Gerencia, Dr. Leonel Morales Aldana, Primera
Edición, Editorial Súper Aprendizaje, Impreso en Guatemala, 1999.
3) Álgebra Elemental, (Alfonse Gobran), Grupo Editorial Iberoamérica, Impreso en México,
1990.
4) Algebra, Charles H Lehmann, Editoria Limusa México, Impreso en México 1983
“Nunca olvides, que hay mucho espacio en la cima, pero no
suficiente para sentarse”
102
Guía de estudio No. 3.6
“La disciplina es el fundamento sobre el cual se construye el éxito”
Tema:
RESOLUCION DE PROBLEMAS CON RADICALES
Introducción
Se puede resolver una gran cantidad y variedad de problemas de radicales. Aquí trataremos algunos
de ellos, que nos darán la idea de cómo resolver otros.
Antes de resolverlos, es importante que el estudiante escriba en forma simbólica frases matemáticas
y las pueda interpretar con exactitud, recordando que con una variable se representa la cantidad
desconocida.
Ejemplo 1: La suma de los cuadrados de dos números es 613 y el número mayor es 18. Hallar el
número menor.
Solución:
613 contiene el cuadrado de 18 y el cuadrado del número buscado, luego, si a 613 le
restamos el cuadrado de 18, obtendremos el cuadrado del número buscado:
613 − 18 2 = 613 − 324 = 289
289 es el cuadrado del número que se busca; luego, el número que se busca será:
289 = 17.
Ejemplo 2: Un terreno cuadrado de 1369 m2, de superficie se quiere cercar con una cerca que vale
$0.60 el m. ¿Cuánto cuesta la obra?
Solución:
será:
la superficie 1369 m2 es el cuadrado del lado del terreno; luego el lado del terreno
√1369 = 37𝑚
Si un lado mide 37m, el perímetro del terreno será 37 x 4 = 148 m. Sabiendo que
cada metro de cerca importa $0.60, los 148m costaran:
148 x $0.60 = $88.80
Ejemplo 3: El volumen de una caja de forma cúbica es 216000 cm3. Si se corta la mitad superior,
¿cuáles serán las dimensiones de la nueva caja?
Solución:
216000 = 60 , luego, esta caja tiene 60 cm de largo, 60 cm de ancho y 60 cm de
altura. Cortando la mitad superior resulta una caja de: 60 cm largo, 60 cm de ancho y
30 cm de altura.
3
Actividad 1
Problemas tipo sobre aplicaciones (radicación)
a) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el metro lineal de
valla cuesta Q380 ?
R: Q27,360
103
b) Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32m de largo por 8m de ancho, y quiere
permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cuál debe de ser el lado del terreno
cuadrado?
R: 16m
c) Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2 ¿Cuánto mide su lado? R: 29 dm
d) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04m2 ¿Cuál es la longitud que tiene la valla que
lo rodea?
R: 100.8m
e) Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones por Q256. Sabiendo que el número de
pantalones coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones compró?
R: 16 pantalones
f) ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 867m2 si su longitud es triple que su
ancho?
R: 51m de largo y 17m de ancho
g) Se compra cierto número de bolígrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de un bolígrafo
coincide con el número de bolígrafos comprados, ¿cuál es el precio de un bolígrafo?
R:14
h) Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125,000 cm3. Si se corta la mitad superior,
¿cuáles serán las dimensiones del recipiente resultante? R: 50cm de largo, 50cm de ancho y
25cm de largo.
i) Un depósito en forma cúbica tiene una capacidad de 1,728m3. Si el agua contenida en el
depósito ocupa un volumen de 1,296m3, ¿qué altura alcanza el agua en el depósito?
R: 9 m
j) Un terreno tiene 500metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ¿cuáles serían
las dimensiones de este cuadrado?
R: 150m de lado
k) El cuadrado de la suma de dos números es 5625 y el cuadrado de su diferencia 625. Hallar los
números:
R. 50 y 25
l) El quinto de un número multiplicado por el cuadrado del mismo número da por resultado 200.
Hallar el número
R. 10
m) Se quieren colocar 144 soldados de una compañía, en el perímetro de un terreno cuadrado.
¿Cuántos hombres habrá en cada lado del cuadrado?
R. 36
n) El volumen de una caja de forma cúbica es 216000 cm3. Si se corta la mitad superior, ¿cuáles
serán las dimensiones de la nueva caja?
R. 60 cm de largo, 60 cm de ancho y 30 cm de altura
ñ) Un terreno cuadrado de 1369 m2 de superficie se quiere cercar con una cerca que vale Q.50.00 el
metro lineal. ¿Cuánto cuesta la obra?
R. Q.7,400
104
UNIDAD 4
“Para lograr mis metas debo tomar decisiones y actuar, debo ser el primero en creer
que puedo lograrlas, y mis acciones deben ser consistentes con mis propósitos” Anónimo
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA, DE LOS NÚMEROS REALES
Objetivos de la unidad:
1) Desarrollar en el estudiante habilidades y destrezas en la comprensión y aplicación del lenguaje algebraico
en operaciones con expresiones y fracciones algebraicas, en la resolución de problemas.
2) Fomentar en el estudiante el ejercicio de visualizar e identificar casos de factorización (y productos
notables), para aplicar conceptos y resolver los ejercicios satisfactoriamente.
Guía de estudio No. 4.1
Tema:
TRANSICIÓN DEL LENGUAJE COLOQUIAL AL LENGUAJE ALGEBRAICO
Introducción
Un ingeniero es una persona que resuelve problemas, en el desempeño de sus actividades. La
información para resolver un problema, no está siempre en forma matemática. Los datos para
resolver un problema provienen de la observación, el análisis o investigación de un proceso.
¿Cómo resuelvo un problema que está escrito en lenguaje cotidiano? Una ventaja práctica del
Álgebra es su utilidad para resolver problemas cotidianos que requieren de las matemáticas.
Para que el Álgebra funcione para dar solución a los problemas, primero debemos ser capaces de
convertir los problemas de aplicación a lenguaje matemático o algebraico, para ello tomemos en
cuenta los siguientes 7 pasos sugeridos:
1. Leer detenidamente y con cuidado el problema.
2. Realizar un bosquejo que ayude a resolver el problema “si es posible”.
3. Determinar qué cantidad se debe encontrar, asignándole una variable, si existe más de
una variable, pueden escribirse todas en función de alguna de ellas.
4. Escribir el problema en forma de una ecuación matemática.
5. Resolver la ecuación.
6. Contestar la pregunta original.
7. Verificar la solución.
Por consiguiente, para solucionar un problema, primero se debe ser capaz de convertir los problemas
en lenguaje matemático y plantear la ecuación que lo resuelve, lo que constituye la parte medular del
proceso.
Para realizar este paso, se debe entender el significado de ciertos enunciados y la forma de
expresarlos matemáticamente.
Los siguientes, son algunos ejemplos de enunciados en lenguaje coloquial, los cuales han sido
representados como expresiones algebraicas.
105
Enunciado
5 más que un número
Un número aumentado en tres
7 menos que un número
Un número disminuido en doce
El doble de un número
El producto de 6 y un número
El octavo de un número
Expresión algebraica
Un número dividido en 3
4 más el doble de un número
5 unidades menor que un número
5 unidades menor que 3 veces un número
2 veces la suma de un número y 8
2 veces la diferencia de un número y 4
Juan gana dos veces más que Pedro
Un tercio de la diferencia de 2 números
La suma de los cuadrados de 2 números pares
consecutivos
Las 2 terceras partes del cuadrado de la
diferencia de un número y el triple de otro
El triple de un número más el cubo de la suma
del mismo y el doble de otro elevado al cubo
El mayor de 2 números es 8 veces el resultado
de la diferencia del menor y el cuadrado de la
mitad del mayor
La edad del padre es el triplo de la de su hijo. La
edad que tenía el padre hace 5 años era el duplo
de la edad que tendrá su hijo, dentro de 10 años
)
Con frecuencia una expresión algebraica puede escribirse como resultado de una información en
lenguajes coloquial, proporcionada de diferentes maneras por ejemplo:
a) Tres unidades más que el doble de un número.
b) La suma del doble de un número y 3.
c) El doble de un número aumentado en 3.
d) Tres sumado al doble de un número.
Escritura de expresiones con porcentaje:
a) El costo aumentó 6%:
b) 6% de descuento:
106
Expresión de relaciones entre dos cantidades:
Enunciado
Primer número
Un número es 3 unidades
mayor que otro
Un número es 12% menor que
otro
Dos números difieren tres
unidades
Segundo número
Escritura de expresiones que implican una multiplicación:
El número de calorías en x papas fritas, si cada
una tiene 2 calorías
Una comisión del 5% sobre x dólares en venta
Conversión de problemas de aplicación, a ecuaciones:
Generalmente la palabra equivalente quiere decir “igual a”
Enunciado
6 unidades más que dos veces un número
equivale a 4
La suma de dos pares enteros, consecutivos
equivale a 24
Ecuación
Ejemplo 1: 2 restado de 4 veces un número es 10. Determine el número.
Solución:
Ecuación:
Comprobación:
Ejemplo 2: 6 veces un número disminuido en 15 es –18. Halle el número.
Solución:
Ecuación:
Actividad 1 Transformar en enunciados coloquiales las siguientes expresiones algebraicas:
a+b
1. )
: _________________________________________________
2
2. )
a−b
2
: _________________________________________________
107
3. )
ab
2
: _________________________________________________
4. )
a
;b ≠ 0
b
: _________________________________________________
5. )
2n + 1
: _________________________________________________
6. )
2a 2
=
7 7
: _________________________________________________
10. )
(n + 5)(n − 5)
(n + 10)2
(n − 1)3
4(n + 8)
11. )
5n 2 + n + 6
: _________________________________________________
12. )
(3n + 2)2 + 5
: _________________________________________________
13. )
x2 +1
−1
x3
: _________________________________________________
14. )
2n − 1
, n ≠ −3
n+3
: _________________________________________________
15. )
5x − 1 = 9
: _________________________________________________
16. )
x + 5 = 12
: _________________________________________________
17. )
x
+2=6
5
: _________________________________________________
7. )
8. )
9. )
: _________________________________________________
: _________________________________________________
: _________________________________________________
: _________________________________________________
: _________________________________________________
20. )
(a + b )(a − b )
x + (x + 2 ) + (x + 4 ) = 1202
3 x − (2 x + 5) = x + 4
21. )
x 2 + 7 x + 12 = 0
: _________________________________________________
22. )
3n 2 + n + 2
: _________________________________________________
23. )
x −8
= 2x 2 + x − 3
5
: _________________________________________________
18. )
19. )
: _________________________________________________
: _________________________________________________
Actividad 2
a) Traduzca usando símbolo o lenguaje algebraico:
1. La suma de dos números
2. 10 más que n
3. Un número aumentado en 3
____________________
____________________
____________________
108
4. Un número disminuido en 2
____________________
5. El producto de p y q
____________________
6. Uno restado de un número
____________________
7. 3 veces la diferencia de dos números
____________________
8. 10 más que 3 veces un número
____________________
9. La diferencia de dos números
____________________
10. El triple de un número, más el cubo de la suma del mismo
número y su triple.
____________________
b). Escriba usando símbolos y simplifica el resultado:
1. La suma de 24 y 19, restada de x
____________________
2. 19 más que 33 veces un número
____________________
3. Dos veces la diferencia de 9 y 4
____________________
4. El producto de 6 y 16, dividido entre el cuadrado de x____________________
5. 3 veces la diferencia de 27 y 21
____________________
6. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado
____________________
7. El cociente de 3 al cubo y 9
____________________
8. 12 al cuadrado dividido entre el producto de 8 y 12 ____________________
Respuestas de la actividad 2:
a) 1.
2.
3.
4.
5.
·Q
6.
7.
8.
9.
10. 3x + (x + 3x)3
b)1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
33
9
=
27
9
=3
109
“Recordar: Los objetivos se pueden lograr, para ello se debe: a) Querer lograrlos. b) Esforzarse
y trabajar constantemente por ellos. c) La probabilidad de lograr las metas por obra de la
casualidad, es prácticamente nula en lenguaje matemático (=0)”
Guía de estudio No. 4.2
“Olvidando ciertamente lo que queda atrás y extendiéndome
a lo que está delante, prosigo hacia la meta”
San Pablo
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Introducción
Aurelio Ángel Baldor nació en 1906 siendo el educador más importante de Cuba durante los años 1940 y 1950.
Fundó y dirigió el Colegio Baldor, una institución que tenía 3.500 alumnos. Pasaba el día ideando acertijos
matemáticos y juegos con números, viviendo en el mismo barrio que el "Che" Guevara. El 2 de enero de 1959, los
hombres de barba que luchaban contra Fulgencio Batista, tomaron La Habana. No pasaron muchas semanas antes
que Fidel Castro lo visitara personalmente y le ofreciera la revolución, sin embargo envió a un piquete de
revolucionarios con la orden de detenerlo. Viajó a México y luego a New Orleans, donde no soportó el trato
discriminatorio en contra de su nana de color y decidió llevarse a la familia hasta Nueva York, donde llegó a
dictar una cátedra en Saint Peters College. Murió el 2 de abril de 1978.
Conceptos:
Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones
algebraicas.
Ejemplos:
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no
separados entre sí por el signo + ó . Así:
son términos.
Los elementos de un término son cuatro: El signo, el coeficiente, la parte literal y el grado o
exponente.
El signo + puede omitirse delante de los primeros términos de una expresión, no así dentro de una
expresión de varios términos. Por tanto cuando un solo término o varios términos no van procedidos
de ningún signo, son positivos.
La parte literal la constituyen las letras que haya en el término.
Clasificación de expresiones algebraicas:
1. Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término como:
2. Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término, como:
110
a) Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos, como:
b) Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos, como:
Términos semejantes: Dos o más términos son semejantes, cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
Ejemplos:
1.
3.
2.
4.
Reducción de términos semejantes: Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo
término, dos o más términos semejantes.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
Actividad 1
Reducir términos semejantes:
a)
c)
e)
g)
i)
k) 9
m)
o)
q)
b)
d)
f) 2𝑎𝑏 + 6𝑎2 𝑏 − 7𝑎𝑏 + 3𝑎2 𝑏
h)
j)
l)
n)
p)
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
g)
h)
f) 3𝑎2 − 9𝑎2 𝑏 − 5𝑎𝑏
i)
j)
k)
l)
m)
n)
111
o)
p)
q)
Actividad 2 Opere según la operación indicada
a)
R.
b)
R.
c)
R.
d)
R.
e)
R.
Actividad 3 Identifique el coeficiente y la parte literal en los siguientes términos y luego escriba en
el cuadro:
TÉRMINO
ALGEBRAICO
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
0,0075
ab 2c 4
− 3x 5 y 3 z
−7
xy 3 z 7
11
P( x ) = ax 5 y 2
Actividad 4 En el siguiente cuadro marque con una x, y ó z, los términos que sean semejantes:
6 3
x
5
0,6ab2
3y2
-x3
33 y2
3,5 pq5
1
− ab2
2
1,8y2
3 5
pq
4
-3 x3
-15x3
18p5q
2 y2
-14ab2
6 5
pq
5
3,5ab2
3 2
y
4
2 pq5
3,3 p5q
-1,5p5q
−
112
“El propósito de la vida, es una vida con propósito” R. Byrne
Guía de estudio 4.3
“Para entender el corazón y la mente de una persona, no te fijes en lo que
ha hecho, no te fijes en lo que ha logrado, sino en lo que aspira a hacer”.
Tema:
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma o adición: Es una operación que tiene como objetivo, reunir a dos o más expresiones
algebraicas sumandos, en una sola expresión algebraica.
En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es más general, pues
puede significar aumento o disminución, cuando algún término puede ser negativo.
Ejemplo:
y
Sumar
Resta o sustracción: Es una operación que tiene por objeto, dada una cantidad o suma de dos o
más sumandos que constituyen el minuendo y otra cantidad sustraendo. Se escribe el minuendo con
sus propios signos y a continuación el sustraendo, con los signos cambiados y se reducen los
términos semejantes si los hay.
Ejemplo: (1er Procedimiento) De
(2do Procedimiento)
(minuendo) restar
(sustraendo)
Minuendo – (Sustraendo) = Diferencia
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios:
(Primer método)
De
Entonces:
_____________________________
113
(2do.Método)
Multiplicación: Es una operación que tiene por objeto, dada dos cantidades llamadas multiplicando
y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, donde el multiplicando y
multiplicador son llamados factores del producto.
Existen 3 casos de la multiplicación:
1) Multiplicación de monomios.
2) Multiplicación de un polinomio por un monomio.
3) Multiplicación de polinomios.
Multiplicación de monomios: Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se
escribe, las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la
suma de los exponentes que tengan los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los
signos.
Ejemplo:
Multiplicar
entonces
(2a2 )(3a2 ) = 6a4
Multiplicación de polinomios por monomios: Se ordena el polinomio en forma descendente y se
procede a multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta
en cada paso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Ejemplo:
Multiplicar
Multiplicación de polinomios por polinomios: Después de ordenar ambos polinomios, se
multiplican todos los términos del multiplicando, por cada uno de los términos del otro factor o
multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo:
Multiplicar
División: Tiene por objeto distribuir o repartir la cantidad llamada dividendo, entre la cantidad o
expresión calificada como divisor. El resultado se llama cociente y cuando la división es inexacta,
el sobrante es llamado residuo. Existen dos casos de división:
1) División de monomios
2) División de polinomios entre monomios
3) División de polinomio entre otro polinomio.
114
División de monomios: Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a
continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndoles a cada letra un exponente igual a
la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que tiene el divisor.
Ejemplo:
Dividir
Entonces
División de polinomios entre monomios: Se divide cada uno de los términos del polinomio ya
ordenado, entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Ejemplo:
Dividir
Entonces
= 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 3𝑏 2
(3a2 -6a2 b + 9ab2 )/3𝑎
División de un polinomio entre otro polinomio: Se ordenan el dividendo y el divisor con relación
a una misma letra. Se divide: el primer término del dividendo entre el primero del divisor y
tendremos el primer término del cociente.
Éste primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta el dividendo,
para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante.
Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo
término del cociente. El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto
se resta del dividendo, cambiando los signos, y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero, o un
número menor que el divisor.
Ejemplo:
Dividir
+4𝑥 + 8
Actividad 1
a) Hallar la suma
1)
2)
3)
4)
5)
b) Hallar la resta
1)
2)
R.
R. 5𝑎 + 5𝑏
R. −𝑐
R.0
R. 𝑎 + 9𝑏 + 4𝑐
R.𝑎𝑚 − 4𝑚𝑛 − 5
R.2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧
R. 𝑎2 − 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑏 + 𝑏 2
115
R.2𝑏 − 2𝑎𝑏
3)
R. −3𝑥 4 + 5𝑥 2 − 1
4)
R.3𝑥 7 − 7𝑥 6 + 𝑥 5 − 𝑥 4 + 2𝑥 2 − 8𝑥 − 14
5)
c) Multiplicar:
1)
R. 𝑥 3 − 𝑥𝑦 2
R. 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
2)
R. 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
3)
R. 3𝑎3 − 3𝑥 3 − 9𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 + 3
4)
R. −3𝑎2 + 𝑎
5)
d) Dividir:
1)
R. −2𝑎2 𝑏
1
3)
R. − 3 𝑥 𝑚+1 𝑦 𝑛+2 𝑧 𝑎+3
4)
R.−
2)
R. 𝑎 − 𝑏
5)
𝑥3
5
)
R. −2𝑎2𝑥+6 𝑏 2𝑚−5 + 3
+ 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
𝑥 𝑥+3 𝑏 2𝑚−6
𝑎𝑥+2
− 4𝑎2𝑥+4 𝑏 2𝑚−7
Actividad 2
Realizar las operaciones indicadas y simplificar
1)
R.
2)
R.
3)
4)
R. 1 − 2𝑦 + 2𝑥 6 𝑦
5)
R.
6)
R.
1
R.
116
7)
R.
8)
R.
9)
R.
10)
R.
11)
R.
Guía de estudio No. 4.4
“El éxito en la vida consiste en seguir siempre adelante” S. Johnson
Tema:
PRODUCTOS NOTABLES Y SUS APLICACIONES
Algunos conceptos
Productos Notables: Son aquellas multiplicaciones de expresiones algebraicas, cuyo resultado o
producto puede ser escrito, por simple inspección, sin efectuar la operación, por tratarse de
expresiones conocidas, que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica la resolución de
muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a un caso o fórmula de factorización:
1) Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio:
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados
de cada término, con el doble del producto de ellos. Es decir:
117
un trinomio de la forma:
se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos, el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo :
Simplificando:
2) Binomio al cubo o cubo de un binomio:
a) Suma: Es el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo
término:
Ejemplo:
agrupando términos:
b) Resta: Es el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo
término:
3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades:
Son aquellos que sólo se diferencian en el signo de la operación. Para multiplicar binomios
conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de
cuadrados:
118
Ejemplo:
agrupando términos:
4) Producto de dos binomios con un término común:
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término
común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el
producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
agrupando términos:
luego:
5) Producto de dos binomios con cuatro diferentes términos
(ax +b) ( cx +d) = (ac)x2+(a∙d+b∙c)x+b∙d
6) Binomio a la n-ésima potencia
( a + b) n
Utilizando Triangulo de Pascal
Actividad 1
Resuelva los siguientes productos notables:
1)
R.
2)
R.
119
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
)
R.
R. x 2a+2 + 2x a+1 y b-2 + 2y b-4
R.64 − 16𝑎 + 𝑎2
R.
R.
R.
R.
R.
R. a2 + b2 + c 2 +2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
R.
Actividad 2 En los siguientes productos notables corregir el error o los errores:
1) (x – 6)2 = x2 +12x +36
2) (x +8 )2 = x2 + 8x + 16
3) (x – 11)2 = x3 + 22x -121
4) (x + 16)2 = x2 – 32x +526
5) (x+3)3 = x3 +9x -27x +27
6) (x – 4)3 = x3 -48x 2 -12x + 64
7) (x - 7) (x + 15) = x2 – 8x -105
8) (x-13)(x+13) = x2 + 169
Actividad 3 Completar el término que falta en los siguientes productos notables:
1) (x +3)2 = x2 +_____+9
2) (x- 5)2 = _____-10x + 25
3) (x – 7)2 = ___- _____+49
4) (x + 9)2 = x2 ______+____
5) ( __ - 8)2 = x2 -_____+____
6) (x - ___)2 = ____-14x +___
7) ( x + 12) (x- 12) = x2 -_____
8) (x -___) (x +13) = x2 - _____
9) ( x +___) (x - ___) = ____-225
10) ( x – 25) (x + 25)= x2 - _____
11) (x+7) (x-4) = x2 +____-28
12) (x -5) (x – 8) = ___-13x +___
13) ( x +5)( x + 12) = ___+_____+ 60
14) ( x – 9)( x -7) = x2 _____+___
15) ( x +6 )3 = x3 +_____+_____+216
16) ( x – 1)3 = ____-3x2 +____- 1
Actividad 4 Resuelva los siguientes productos notables:
1) (7a + b)2
R. 49a2 + 14ab + b2
2) (4ab2 + 6xy3)2
R. 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6
3) (xa+1 + yb-2)2
R. x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4
120
4) (3x4 -5y2)2
R. 9x8 - 30x4y2 + 25y4
5) (xa+1 - 4xa-2)2
R. x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4
6) (5a + 10b)(5a - 10b)
R. 25a2 - 100b2
7) (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)
R. 49x4 - 144y6
8) (x + 4)3
R. x3 + 12x2 + 48x + 64
9) (a+b+c)2
R. a2 + b2 + c2 +2ab +2ac + 2bc
10) (a3 +b3) (a3 –b3)
R. a6 – b6
Guía de estudio 4.5
“La motivación es lo que te ayuda a empezar, el hábito te
mantiene firme en tu camino” J. Ryun
Tema:
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Algunos conceptos
Polinomio: Es la base para la solución de las n raíces que posee una función f(x) de cualquier grado
que nos sirve para no sólo graficarla, sino para tener parámetros importantes que nos lleven a decir
con exactitud si puede analizarse como un modelo o ecuación, en que se pueda interpretar su
estructura en que está conformado.
Factorización de polinomios: Factorizar o factorar una expresión algebraica es convertirla en el
producto indicado de sus factores. Para factorizar polinomios hay varios casos, en esta guía
analizaremos algunos de ellos.
Primer Caso: Factor común monomio: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la suma. Así, la propiedad distributiva dice:
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión ax+ay, al observar que “a” es factor común, basta
aplicar la propiedad distributiva y decir que:
121
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factor común,
se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.
Ejemplo: Si nos piden factorizar la expresión
,
será:
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación
indicada aplicando la propiedad distributiva del miembro derecho de la igualdad, y nos tiene que dar
el mismo valor del miembro izquierdo.
Ejemplo: Factorizar
:
Atención cuando sacamos factor común, un sumando
completo, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto
y quisiera comprobar si está bien, multiplico y me da:
como me tendría que haber dado.
Pero si efectúo:
Ejemplo: Factorizar 3x 2 -6x + 9x 3
Ordenando y aplicando “factor común”
3
2
2
9𝑥 + 3𝑥 − 6𝑥 = 3𝑥(3𝑥 + 𝑥 − 2)𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 3𝑥(𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)
Segundo Caso: Factor común por agrupación de términos
Ejemplo: Factorizar ax + bx + aw + bw
Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)
Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Factor común polinomio: (a + b)
Entonces: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑤 + 𝑏𝑤 = (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑤)
Ejemplo: Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y
Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )
Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Factor común polinomio: (x - 2y)
Entonces: (𝑥 − 2𝑦)(2𝑥 + 4)
Ejemplo: Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )
Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )
Factor común polinomio: ( 2n + 8m )
Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)
Tercer Caso: Diferencia de Cuadrados: Es igual a suma por diferencia de las raíces cuadradas.
Se basa en la siguiente fórmula:
Pero
aplicando
al
revés,
o
sea
que
si
me
dicen
que
factorice
Ejemplos: Factorice:
122
Cuarto Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio se basa en las
siguientes fórmulas:
Si nos piden que factoricemos:
basta aplicar la formula anterior.
Ejemplos: Factorice
Primero ordenar:
Luego sacar raíces cuadradas de sus extremos y verificamos que el término central del trinomio sea
igual al doble de las raíces cuadradas encontradas, copiando el segundo signo del trinomio, entre
paréntesis elevando al cuadrado: Ejemplos:
a)
b)
c)
Quinto Caso: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Ejemplo: Factorizar x4 + 3x2 + 4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2 )(2) = 4x2
El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
= x4 + 3x2 + 4
+ x2
- x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------
=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto
=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de
cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada factor.
R. x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)
Sexto caso: de la Forma
Este se descompone en dos factores binomios, cuyo primer
término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio, luego en el primer factor binomio se
123
copia el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor binomio se escribe el signo
resultante del producto de los dos signos del segundo y tercer término del trinomio.
Luego se buscan dos números que multiplicados den el tercer término del trinomio y que sumados o
restados den el segundo término del trinomio. Copiando en el primer factor binomio el número
mayor de estos y en el segundo el número menor.
Ejemplos: Factorizar:
a)
De éste esquema de la fórmula general, se buscan los dos números ya descritos, que son
Entonces
b)
c) �x 4 -5x 2 -50 = �x 2 -10�(x 2 + 5�
: La diferencia con el trinomio anterior, es
Septimo Caso: Trinomio de la Forma
que este caso posee coeficiente diferente de uno en el primer término, por lo que multiplicaremos el
trinomio por el coeficiente, dejando indicado el producto y al final dividiremos el trinomio por el
mismo valor, para no alterar el trinomio, simplificando lo que sea posible.
Ejemplo: Factorizar:
Octavo Caso: Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de
Ruffini: Decir que un polinomio tiene raíces enteras es encontrar valores de x, o números enteros,
que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado:
enteras,
se factoriza así:
tiene cuatro raíces
¿Cómo se obtienen las raíces? Por la regla de Ruffini
Ejemplo: Factorizar:
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de
O sea que se prueba con:
.
124
Probemos con uno.
Se copian los coeficientes del polinomio:
1
4
16
1
Y se escribe en una segunda línea el número uno:
1
4
1
1
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea:
1
4
1
1
1
12
16
12
16
12
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso
también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente,
o sea del 4.
1
16
4
1
12
1
1
1
Se suma 4 + 1 = 3:
1
16
4
1
12
1
1
1
3
Se multiplica 3 por 1 = 3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, 1:
1
1
1
Se suma 3 1 = 4 y así sucesivamente:
1
1
1
4
1
3
1
3
16
12
4
1
3
1
3
4
16
4
12
12
12
0
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que
nos sirve para factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12. Los
coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de
dividir el polinomio entre
y la última suma es el resto de dicha división.
Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que:
125
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar
seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.
Aplicando sucesivas veces esta regla queda:
1
1
1
2
1
2
1
4
1
3
2
1
2
3
1
3
4
2
6
6
0
Como las raíces son: 1, 2 y –2 y el último cociente es
16
4
12
12
0
12
12
0
La factorización final es:
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se
puede factorizar dentro de los números reales.
Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos
que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos
sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno
de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.
Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios:
1)
Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común
El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se
puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Aplicando el tercero queda:
2)
Primero sacamos factor común:
Al paréntesis le podemos aplicar diferencia de cuadrados:
Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:
El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si
aprobamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda:
que no tiene solución real.
3)
126
Solo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini:
1
12
1
1
1
11
5
5
1
6
41
11
30
30
0
30
30
0
Finalmente obtenemos la solución:
4)
Primero sacamos factor común
y luego tenemos:
Noveno caso: Suma o Resta de cubos:
a) Desarrolle
Otros ejemplos:
, utilizando la fórmula del cuadrado de la suma de un binomio:
Solución:
b) Efectúe
, utilizando la fórmula del producto de la suma por la diferencia de dos
cantidades iguales:
Solución:
c) Efectúe el siguiente producto notable:
Solución:
Décimo caso: Suma o diferencia de potencias iguales impares
Ejemplo: Factorar m5+ n5
Dividiendo entre m + n, los signos del cociente son alternativamente + y -:
5
m + n5
m + n = m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4
Luego: R. m5+ n5= (m + n)( m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4).
Ejemplo: Factorar x5 +32.
Esta expresión puede escribirse x 5+ 25. Dividiendo por x + 2, tenemos:
x 5 + 32
x + 2 = x4 - x3 (2)+ x2 (2)2-x(2)3 +24
127
x 5 + 32
O sea x + 2 = x4 - 2x3 + 4x2 -8x +16
Luego : R. x 5+ 25= (x +2)(x4 - 2x3 + 4x2 -8x +16).
Actividad 1 Factorizar y simplificar
1)
R.
2)
R.
3)
R.
4)
R.
5)
R.
6)
R.
7)
R.
8)
R.
9)
R.
10)
R.
11)
R.
12)
R.
²
13)
14)
²
R.
R.
15)
R.
16)
R.
17)
R.
18)
R.
19) m + 2mx +𝑥 2
2
4
20) 1 - 𝑎8
9
21) c4- 4d4
22) 𝑎2- (b + c)2
23) 4 𝑎6 - 1
24) x3- 64
25) ax +a – x - 1
R. (𝑚 + 𝑥)(𝑚 + 𝑥)
2
2
2
R.�1 − �3 𝑎2 � �1 + �3 𝑎2 � �1 + 3 𝑎4 �
R.(𝑐 − 2𝑑)(𝑐 + 2𝑑)(𝑐 2 + 2𝑑2 )
R.(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
R. �√2𝑎 − 1��2𝑎2 + √2𝑎 + 1�(2𝑎3 + 1)
R. (𝑥 − 4)(𝑥 2 + 4𝑥 + 16)
R.(𝑥 + 1)(𝑎 − 1)
128
Actividad 2 Resolver las operaciones indicadas
1) (7a + b)2
R. 49a2 + 14ab + b2
2) (4ab2 + 6xy3)2
R. 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6
3) (xa+1 + yb-2)2
R. x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4
4) (3x4 -5y2)2
R. 9x8 - 30x4y2 + 25y4
5) (xa+1 - 4xa-2)2
R. x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4
6) (5a + 10b)(5a - 10b)
R. 25a2 - 100b2
7) (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)
R. 49x4 - 144y6
8) (x + 4)3
R. x3 + 12x2 + 48x + 64
9) (a+b+c)2
R. a2 + b2 + c2 +2ab +2ac + 2bc
10) (a3 +b3) (a3 –b3)
R. a6 – b6
“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, que la electricidad y que la
energía atómica. Esa fuerza es la voluntad.” Albert Einstein
Guía de estudio No. 4.6
“Aquello que habita en el pasado y aquello que habita en el futuro, es sólo una
pequeña cosa, comparado con aquello que habita dentro de nosotros." R W Emerson
Tema:
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS.
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son
expresiones algebraicas.
Suma y resta de fracciones algebraicas
Las reglas de la aritmética para sumar y restar fracciones, son aplicables a las fracciones algebraicas.
Las fracciones que se combinan para la adición o sustracción, deben tener el mismo denominador.
Los numeradores se combinan entonces de acuerdo las operaciones indicadas y el resultado se
coloca sobre el denominador. Por ejemplo, en la expresión:
El segundo denominador será el mismo que el primero, si se cambia su signo. El valor de la fracción
permanecerá igual si el signo del numerador se cambia también, entonces tenemos esta
simplificación:
129
Ejemplo:
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones que contienen polinomios, es similar a la multiplicación de
fracciones que contienen sólo números aritméticos.
Ejemplo:
División de fracciones
Las reglas de la aritmética se aplican a la división de fracciones algebraicas; igual que en
aritmética, simplemente se invierte el divisor y se multiplica, así:
Ejemplo:
Actividad 1
Resolver las operaciones indicadas
1)
R.
2)
R.
3)
R.
4)
R.
5)
R.
6)
R.
7)
R.
5𝑎−9
𝑎(1−𝑎2 )
130
8)
R.
9)
R.
10)
R.
Actividad 2
Resolver los siguientes ejercicios de suma y resta de fracciones algebráicas:
1.
R.
2.
R.
3.
R. 5/6
4.
5.
3𝑥−𝑥 2
(𝑥+2)(𝑥+1)
6𝑥+9
(𝑥−3)(𝑥+3)
R.
𝑥 2 +3𝑥−8
2(𝑥−3)(𝑥+1)
4𝑦 3 +13𝑦 2 +𝑦−8
R. (2𝑦+3)(4𝑦+1)(𝑦−1)
6.
R.
7.
R.
8.
−2𝑥−1
(𝑥−3)(𝑥+2)
5𝑥−6
𝑥(𝑥−1)
𝑎+3
R.(𝑎−3)(𝑎−2)(1−𝑎)
9.
R.
5𝑡−6
10.
R.
6𝑥+2
𝑡−3
𝑥
131
Actividad 3
Realizar los ejercicios de multiplicación y división.
1.
R.
2.
R.
3.
R.
4.
R.
15𝑎2 𝑏
𝑎+𝑏
𝑥 2 −𝑦2
𝑥 2 (𝑥−1)
(𝑥−2)2
𝑥+2
25𝑏𝑥
8𝑎2
5.
R.
𝑥 3 +1
(𝑥 2 +𝑥+1)(𝑥 2 −9)
6.
R.
𝑧 2 +2𝑧−3
7.
R.
3𝑎2 +3𝑎−6
8.
R. (𝑥3+2)(𝑥−1)
𝑧 2 −49
2𝑎(𝑎+1)
𝑥 4 +𝑥+1
�𝑎2 +2𝑎+4��𝑎2 −2𝑎+4�
9.
R.
10.
R. 2𝑎(𝑥+2)
𝑥−3
𝑎
“El destino mezcla las cartas, y nosotros las jugamos". A Schopenhauer
132
Guía de Estudio No. 4.7:
“Reflexiona con lentitud, pero ejecuta rápidamente tus decisiones” Sócrates
Tema:
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Las fracciones constituyen una utilidad práctica en la vida ya que se necesita repartir o distribuir
como un todo . Se hace necesaria la habilidad numérica y la lógica en el pensar como enfrentar el
problema.
Ejemplos :
1) A tenía cierta suma de dinero . Gastó
en libros y los
de lo que le quedaba después
del gasto anterior, lo gastó en ropa. Si le quedan
¿cuánto tenía al principio?
Solución:
la cantidad de dinero que tenía al inicio
en libros;
Gastó
Le quedó:
Gastó en ropa:
Y todavía le queda:
Actividad 1
Realizar los siguientes ejercicios.
1) En tres días un hombre ganó
Si cada día ganó los
de lo que ganó el día anterior,
¿cuánto ganó en cada uno de los tres días.?
Primer día
segundo día
y
tercer día
2) La suma de la tercera y la cuarta partes de un número, equivale al duplo del número disminuido
en . Hallar el número.
3) Un hombre vende
de su finca, alquila
y lo restante lo cultiva. ¿Qué porción de la finca
cultiva?
4) Si tengo $
y hago compras por los
5) Una señora tenía en un recipiente
de esta cantidad, ¿cuánto debo?
tazas de leche. Utilizó
$
tazas para hacer un pastel y
tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche le quedaron?
“Los hombres grandes son aquellos que sienten que lo espiritual es más poderoso que cualquier
fuerza material, y que son las ideas las que rigen al mundo” Emerson
133
UNIDAD 5
“Cuando la determinación por triunfar es lo suficientemente fuerte,
el fracaso jamás te alcanzara”. Anonimo
PROPORCIONALIDAD
Objetivo de la unidad: Que el estudiante establezca la diferencia entre proporcionalidad directa e inversa según su
aplicación, en la resolución de problemas.
Guía de estudio No. 5.1
Tema:
RAZONES Y PROPORCIONES
Conceptos
Una Razón: Es el cociente entre dos números. También se define como la comparación de 2
números o dimensiones. Esta fracción se puede representar de varias formas:
,
,
,
, y se lee la razón de
.
.
En una razón o comparación, deben escribirse ambas cantidades en la misma unidad de medida.
Ejemplo No.1: Escribir la razón (para comparar) 45 minutos con 2 horas:
2 horas = 120 min.
45 15 3
=
= ; la razón es
120 40 8
, la razón es de 3 a 8.
Ejemplo No.2: ¿Cuál es la razón entre la altura de una casa de 10 metros y la altura de su maqueta
de 20 cm?
10m = 10•100 = 1000 cm;
1000cm 50
=
, la razón es de 50 a 1.
1
20cm
Una proporción: Es la comparación de dos razones equivalentes.
En una razón, a la cantidad “a” se le denomina “antecedente” y a la cantidad “b” se le llama
“consecuente”.
Una proporción se puede representar así:
= y también
y se lee “a” es a “b”, como
“c” es a “d”, y debe cumplirse que
y también se cumple que el producto de medios es
igual al producto de extremos, siempre que b ≠ 0; d ≠ 0.
Ejemplo 1: Una inversión de Q3324.00, produce Q277.00 en concepto de intereses en un año.
¿Cuánto producirán Q3780.00 a la misma tasa en el mismo tiempo?
1ª forma de efectuarlo:
2ª forma de efectuarlo:
3324 3780
=
277
x
x=
3780 • 277
3324
x = Q.315.00
x=
277 • 3780
3324
134
Ejemplo 2: Un vehículo recorrió 255 km. en 3 horas. ¿Cuánto recorrerá en 5 horas, a la misma
velocidad?
1ª forma de efectuarlo: x = distancia a recorrer en 5 horas (producto de medios = producto de
extremos)
2ª forma de efectuarlo:
3
5
=
255 x
x=
5 ∗ 255
3
Ejemplo 3: Un lápiz de 25 cms. de longitud, proyecta una sombra de 4cms. ¿Cuánto mide un árbol
(de alto) que a la misma hora (y en el mismo lugar) proyecta una sombra de 1.2 m?
;
NOTA: Por considerarlo de interés para los alumnos y oportuno, como complemento de “razones y
proporciones”, se incluye una breve explicación y ejemplos ilustrativos de “regla de tres simple o
directa”, “regla de tres inversa” y “regla de tres compuesta” así como porcentajes, considerándose
matemáticamente como “aplicaciones de la proporcionalidad”:
Regla de Tres: Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción,
cuando se conocen tres de ellos.
Es conveniente conocer la “regla de tres simple inversa”, así como la “regla de tres compuesta”,
pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos, de
manera efectiva.
Ejemplos resueltos con regla de tres simple:
1) Calcule el precio de un rollo rectangular de tela que mide 1.80m de ancho por 12.5m de largo, si
se vende a Q200.00 /m2.
Área del rollo de tela =1.8•12.5 = 22.5m2
Regla de 3 (se ubican las cantidades, haciendo coincidir los datos homogéneos o de la misma
familia, verticalmente, así)
𝑚2 𝑄
1
200
22.5 x
𝑥=
22.5 × 200
= 𝑄450.00
1
R. el rollo cuesta Q. 4500.00
135
2) ¿Cuánto costarán 250 camisas, si por Q512.00 me dieron 16 camisas?
Camisas
16
250
Costo “Q”
512
= 250•512 = Q 8000.00
16
R. El resultado de operar, da como respuesta el costo de Q 8,000.00
3) Si 28 mandarinas cuestan Q 42.00, ¿cuánto costarán 100 mandarinas?
Mandarinas
28
100
Costo “Q”
42
R. Q.150.00
Explicación de resolución de problemas, aplicando regla de tres inversa:
Esta regla se aplica, cuando se trata de rendimientos, trabajadores y tiempos, en donde al comparar
personas, para un mismo trabajo, menos personas que la base se tardarán más y la relación de
personas se coloca como factor en el numerador y más personas que la base, se tardarán menos, por
lo que la relación de personas, se coloca como factor en el denominador.
Ejemplos ilustrativos:
1) Si 6 albañiles hacen una obra en 75 días, ¿cuánto tiempo se tardarán 15 albañiles en hacer la
misma obra?
Albañiles Días
6
75
1
75•6
15
75•6/15 = 30 días
Se deduce o razona que un albañil, al compararlo con
los 6 albañiles, de base, se tardará 6 veces más, por lo
que se coloca como factor en el numerador.
15 albañiles, en relación a 1 solo albañil, se tardarán
15 veces menos, por lo que esta cantidad se coloca
como factor en el denominador. El resultado de las
operaciones es de 30 días.
R. 30 días
2) 20 costureras cosen un pedido de manteles en 18 días. ¿Cuántas costureras tendremos que
contratar para un pedido igual, si nos dan un plazo de 8 días para entregarlo?
Días
18
1
8
Costureras
20
20•18
20•18/8 = 45 costureras.
Al comparar 1 día de plazo con los dieciocho días de plazo
base, concluimos que se necesita contratar a 18 costureras
mas, por lo que esta cantidad se coloca como factor en el
numerador.
Al comparar el plazo de 8 días con el de 1 día para la
entrega, concluimos que se necesitan contratar 8 veces
menos costureras, por lo que esta cantidad la colocamos
136
cómo factor en el denominador. El resultado final es
que se necesita contratar a 45 costureras. R. 45 costureras
3) Para fabricar un pedido de pasteles, 6 panaderos se tardan 25 horas. ¿Cuántas horas se tardaran
para el mismo pedido únicamente 4 panaderos?
Panaderos
Tiempo en h.
6
25
1
25•6
4
25•6/4 =37.5 hrs.
Regla de tres compuesta:
En las “reglas de tres, directa e inversa,” se trabaja con tres valores conocidos y una incógnita y se
opera con 2 columnas verticales y la recomendación es “pasar” por la unidad.
Existen varios métodos que toman en cuenta en cada paso, la comparación de cada una de las
magnitudes con la incógnita correspondiente (suponiendo que las demás no varían o son fijas, en ese
paso), para evaluar si son directa o inversamente proporcionales con la incógnita.
Ejemplos de aplicación de problemas que se resuelven por regla de tres compuesta:
1) Si una gallina pone 2 huevos en 3 días, ¿cuántos días necesitarán 4 gallinas para poner 2 docenas?
Gallinas Huevos Días
1
2
3
4
24
?
4
2x4=8
3
4
8x3=24 3x3 =9
1
24
3*12=36
4
24
36/5=9
datos
incógnitas
dejamos fijo el tiempo
dejamos fija las gallinas
R. 4 gallinas ponen 24 huevos en 9 días
2) Un ejército de 1,600 hombres, tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias por cada
hombre. Si se refuerza con 400 hombres más, ¿cuántos días durarán los víveres si cada uno toma 2
raciones diarias?
Hombres Raciones/d Días
1600
3
10
2000
2
?
200
2000
2000
2000
3
3
1
2
80
8
24
12
datos conocidos
incógnitas
dejamos fijas las 3 raciones (si se reducen
los hombres aumentan los días, si aumentan los
hombres, disminuyen los días, si disminuyen las
raciones aumentan los días).
solución final 12 días
R. 12 días
3) Durante 5 días, 10 hombres trabajan 4 horas diarias para, cavar una zanja de 10m. de largo por
6m. de ancho y por 4m de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres trabajando 3 horas
diarias, para cavar otra zanja de 15m. de largo por 3m. de ancho y 8m. de profundidad, en un terreno
de doble dificultad?
1ª Zanja: 10•6•4 = 240m3 • dificultad1 = 240m3
Jornada: horas/día
137
2ª Zanja: 15•3•8 = 360m3• dificultad 2 = 720m3
Jornada rendimiento
Días
Hombres h/día m3 zanja
5
10
4
240
?
6
3
720
20
10
1
240
20
10
3 3•240=720
10•20=200
1
3
720
200/6=33 1/3
6
3
720
datos del problema
incógnitas
dejamos fijos los hombres y el volumen;
dejamos fijos los hombres y los días
dejamos fijos el volumen y la jornada
solución final:
R. se necesitan 33 1/3 días.
4) Tres albañiles trabajando 8 horas diarias construyen un muro de 30m. de largo en 10 días.
¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para construir 60m. de largo del
mismo tipo de muro?
Jornada longitud
Alb. h/día L. Muro Días
3
8
30
10
5
6
60
?
6
8
60
10
2
24
60
10
8
6
60
10
1
6
60 8•10=80
5
6
60 80/5=16
datos conocidos;
incógnitas;
dejamos fija la jornada y la duración
dejamos fija la longitud y la duración
dejamos fija la longitud y la duración
dejamos fija la jornada y la longitud del muro
solución final: se necesitan 16 días.
PORCENTAJES:
Si una cantidad se divide en 100 partes iguales, cada una es uno por ciento de dicha cantidad. El
símbolo % significa porcentaje, por ciento, por cada 100, centésimos, etc.
Un porcentaje puede expresarse como fracción o como decimal, así:
35% = 35/100 = 0.35
El cálculo de %, el cual siempre es directamente proporcional, generalmente se efectúa aplicando la
regla de tres simple y directa, o por multiplicación del decimal equivalente, o utilizando lo estudiado
de razones y proporciones.
Ejemplos ilustrativos:
1) En una elección escolar con 850 estudiantes, Juan obtuvo 289 votos, ¿qué % representa del
total?
Procedimiento
289 ∗ 100
= 34%
a) Por regla de tres simple: 850 est. ------100%
x=
850
289 ------ x
procedimiento
b) Por razones y proporciones: 850:100::289:x
100∙289=850∙x
x = 34%
138
850 289
=
100
x
x=
100 ∗ 289
= 34%
850
2) Calcular el % que representa 300, de 1000:
a) Por regla de tres simple, directa:
1000----100%
x=
300 ∗ 100
= 30%
1000
300---- x
b) Por razones y proporciones: 1000:100::300:x
x=
300 ∗ 100
= 30%
1000
3) Calcular el IVA de Q.150.00:
a) Por multiplicación directa:
150 x 0.12 = Q.18.00
b) Por regla de tres:
100-----12
x=
150 ∗ 12
= Q.18.00
100
150----- x
c) Por razones y proporciones:
100:12::150:x
x=
12 ∗ 150
= Q.18.00
100
Actividad 1
1) En el año 2011, la asistencia a una actividad ecológica anual fue de 420 personas y en el presente
año fue de 567. Calcular: a) el % en que aumentó la asistencia de enero. b) Con esa tendencia de
aumento, ¿qué cantidad de participantes esperamos el próximo año?
R. a) 35%, b)766 participantes
2) Un terreno de 160,000 m2 está sembrado de trigo, avena y sorgo. El 60% de trigo, el 25% de
avena y el resto de sorgo. ¿Cuántos m2 están sembrados de cada producto?
R. Trigo: 96,000 m2; Avena: 40,000 m2; Sorgo: 24,000 m2
3) El propietario de una granja, contrata a un comisionista para que le promocione la venta. El
indica que el precio unitario de la vara cuadrada es de Q 55.00 y que acepta una variación para
rebajar hasta un 4%, y de aumento hasta el 5%. Calcular el rango del precio unitario, autorizado al
comisionista.
R. Mínimo: Q52.8 y
Máximo: Q57.75
4) Un comerciante compra artículos de Q250.00 c/u. ¿En cuánto tiene que venderlos para obtener
una ganancia del 25%?
R. Q312.50
“Si una persona es perseverante, aunque sea dura de entendimiento, se hará inteligente
y aunque sea débil se transformará en fuerte” L. Da Vinci
139
Guía de estudio No. 5.2
“Yo conocí todo lo que se ve y lo que está oculto, porque la Sabiduría
lo hizo todo”
Sabiduría 7:21
Tema:
PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y SU APLICACIÓN EN LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al aumentar una, la otra aumenta
proporcionalmente; o al disminuir una, la otra disminuye proporcionalmente. Es decir que: “Dos
magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un
número, la otra queda respectivamente, multiplicada o dividida por el mismo número”.
Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales:
a)
La distancia recorrida por un auto y la gasolina empleada.
b)
El tiempo caminado y la distancia recorrida.
d)
El capital prestado y el interés que hay que pagar.
e)
La electricidad consumida y el precio a pagar.
f)
El peso del algodón o café cortado por un obrero y el salario que recibe.
Proporción directa:
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al variar una (doble, triple, mitad, etc.,)
a c
=
la otra varía igual (doble,triple, mitad, etc.,). Escritura de una proporción geométrica:
b d
Ejemplo: Si un litro de aceite cuesta Q.3.00 entonces 2 litros de aceite costarán Q.6.00, 3 litros
Q.9.00, 4 litros Q.12.00, y así sucesivamente. Es decir, si compramos el doble de litros, nos costará
el doble de dinero.
Ejemplo 1:
No. de ramos
No. de rosas
1
12
2
24
3
36
2
50
5
60
7
84
500
800
300
1,200
Ejercicios:
Completar las tablas siguientes:
a)
Longitud (m)
1
Precio (Q)
5
b)
Tiempo (h)
1
Longitud
(Km)
R. a) 10,250,100,160
2
120
4
b)60,240,5,20
140
Problemas de aplicación:
a) Juan emplea 75 gramos de arroz por persona para hacer una paella, expresar en una tabla de
proporcionalidad directa el arroz que haya que utilizar para dos personas, para tres, …hasta
10 personas.
No. De
personas
Gramos
arroz
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
75
R. 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, 750.
b) Inés ha comparado sus pasos con los de su padre, y ha comprobado que dos pasos de su
padre equivalen a tres de los suyos. Hacerlo con una tabla de proporcionalidad y razonar las
respuestas.
Pasos del
2
padre
Pasos de
3
Inés
R. 6, 9, 12, 18, 24, 30.
4
6
8
12
16
20
a c
=
b d
Relación entre dos razones:
Ejemplo :
a) Para celebrar el día de la Independencia en nuestra clase, Miguel trajo 3 pasteles iguales
y contó que utilizó 12 huevos para hacerlos.
Si nosotros quisiéramos hacer 5 pasteles iguales, ¿cuántos huevos necesitaríamos? Y si
tuviéramos 28 huevos ¿cuántos pasteles podríamos hacer?
𝑁𝑜. 𝑑𝑒 ℎ𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠
𝑁𝑜. 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠
=4
→
No. de pasteles x 4 = No. de huevos
R: 20,7
Leer cuidadosamente el problema y llenar la siguiente tabla
No. de
5
pasteles
No. de
28
huevos
Actividad 1
1)
Si 5 libras de azúcar cuestan Q.0.75. ¿cuánto costarán 13 libras?
R. 1.95
2)
8 hombres hacen una pared en 10 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer la misma pared 12
2
hombres?
R. 6 3
3)
El radio de la Luna es los 3/11 del radio terrestre y el diámetro del Sol es igual a 108
1
diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre los radios de la Luna y el Sol? R.396
141
4)
Si en una relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, al menor se le suma 17 y
al mayor se le resta 17, la relación primitiva se invierte. ¿Cuál es el menor de dichos
números?
R. 24
En una proporción geométrica la suma de los extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuáles
son los números?
R. 18y2
5)
Guía de estudio No. 5.3
“La vida sería difícil si todo se recordase. El secreto
está en elegir lo que debe olvidarse”.
Tema:
PROPORCIONALIDAD INVERSA Y SU APLICACIÓN EN LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar el valor de una variable la otra
disminuye y viceversa proporcionalmente. En las magnitudes inversamente proporcionales el
producto de las variables permanece constante.
Magnitudes inversamente proporcionales:
- El número de obreros empleado y el tiempo necesario para hacer una obra.
- Los días de trabajo y las horas diarias que se trabajan.
- La longitud con el ancho y la altura; y en general cualquier dimensión de un cuerpo.
- La velocidad de un móvil, con el tiempo empleado en recorrer un espacio.
Ejemplo de proporción inversa:
1ra.
3ra.
3 hombres hacen una obra en 8 días
6 hombres harán la misma obra en 4 días
2da.
4ta.
3 = 4
6
8
ó
6 = 8
3
4
Actividad 1
A continuación, se tiene un cuadro con el número de trabajadores realizando la misma obra, en
diferente número de días.
1. Completa el cuadro:
No. de trabajadores
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
No. de días
120
60
40
30
142
2. Responde las siguientes preguntas observando el cuadro anterior:
a) Cuando el número de trabajadores se duplica, ¿qué ocurre con el número de días?
R. se reduce a la mitad
b) Cuando el número de trabajadores se triplica, ¿qué ocurre con el número de días?
R. se reduce a la tercera parte
c) Cuando el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con el número de días?
R. se duplica
d) Para cada par de valores de trabajador vrs. día, encuentra el producto de ellos (anótalos al lado de
la tabla) ¿Es un valor constante ese producto?
R. sí, el producto = 120
e) Las variables trabajador vrs. día ¿son directamente o inversamente proporcionales? ¿Por qué?
R. inversamente proporcionales
Actividad 2
Efectuar los siguientes ejercicios de aplicación:
1) Para un viaje pedagógico, los 30 alumnos del 7mo. año arrendaron un bus y cada uno de ellos
deberá cancelar $ 2,500. Si deciden ir solamente 25 alumnos ¿cuánto deberá cancelar cada uno de
ellos por el bus?
R. Q300.00 c/u
2) Entre 4 personas pintan una casa en 3 días. ¿Cuántas personas se necesitan para realizar el mismo
trabajo en 2 días?
R. 6 personas
143
“La mejor manera de mejorar el nivel de vida consiste en la mejora de
los patrones de pensamiento” Anderson
Guía de estudio No. 5.4
“Si quieres triunfar, no te quedes mirando la escalera. Empieza a
subir, escalón por escalón, hasta que llegues arriba.” Anónimo.
Tema:
REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO E INVERSO
El
reparto proporcional es una operación que consiste en dividir un número en partes
proporcionales a otros números dados.
Se dice que unos números son proporcionales a otros, cuando los primeros forman con los segundos
una serie de razones iguales. Así, los números 12, 20 y 32 son proporcionales a 3, 5 y 8 porque se
tiene:
Propiedad fundamental de toda serie de razones. En toda serie de razones iguales, la suma de los
antecedentes, dividida entre la suma de los consecuentes, es igual a cada una de las razones
propuestas. De esta forma, y utilizando las razones anteriores:
Es decir,
Reparto proporcional directo. En el reparto proporcional directo, las partes que se buscan son
directamente proporcionales a los números dados.
Ejemplo Ilustrativo 1: Repartir entre Juan, Sergio y Andrés en foema directamente propaorcional,
la suma de Q 720.00 proporcionalmente a los meses que llevan laborando en la oficina. Cada uno de
ellos tiene 3, 6 y 9 meses, respectivamente.
Solución:
Los números 3, 6 y 9 representan las partes que corresponden a cada persona, cuando
se reparten $18, o sea, la suma de los números (3 + 6 + 9).
Si representamos por x, y y z las partes que se buscan, y aplicamos la propiedad
fundamental de las razones iguales, se tiene:
144
de donde:
Comprobación: 120 + 240 + 360 = 720.
Por lo tanto, para dividir una cantidad en partes directamente proporcionales a varios números, se le
divide entre la suma de esos números, y se multiplica el cociente por cada uno de los números
dados.
Algunas observaciones.
1. Siempre que sea posible, hay que simplificar los números que representan la
proporcionalidad, pues el resultado es el mismo y los cálculos son más fáciles. De esta
manera, en el ejemplo anterior, en lugar de tomar 3, 6 y 9, será más fácil hacer los cálculos
con 1, 2 y 3, que resultan de dividir aquellos, entre 3.
2. Si los números dados son fraccionarios, se reducen éstos al mismo denominador, y después
se hace el reparto proporcionalmente a los numeradores. Así, si los números fueran: 1/2, 2/3
y 3/4, se reducirían éstos al mismo denominador, o sea el 12 (pues es el mínimo común
múltiplo). Los resultados de la conversión, 6/12, 8/12 y 9/12 se reemplazan por los
numeradores 6, 8 y 9 que les son proporcionales.
Reparto proporcional inverso. En este reparto, las partes que se buscan son proporcionales a los
recíprocos de los números dados.
Ejemplo Ilustrativo: Repartir una herencia de $18,300 entre tres herederos de 10, 12 y15 años,
respectivamente, en partes inversamente proporcionales a sus edades.
Solución.
Los inversos de 10, 12 y 15 son:
145
Reducidos al mismo denominador, se tiene:
Tomando en cuenta la observación 2 anterior y el procedimiento del reparto
proporcional directo, se tiene:
Comprobación: 7 320 + 6 100 + 4 880 = 18 300
Clasificación de los repartos proporcionales (variación proporcional)
• En un reparto proporcional, tenemos una cantidad a repartir en proporción a
determinados elementos dados.
• Para repartir puede ser que se tome en cuenta sólo un elemento, en este caso el reparto
es simple.
• Si se toman más elementos, se dice que el reparto es compuesto.
• En ambos casos, los elementos pueden estar en proporción directa o inversa a la
cantidad que se va a repartir. Esta relación es muy importante para hacer los cálculos
relativos.
• Pueden existir repartos mixtos, esto quiere decir que tienen elementos directos o
inversos. .
Repartos directos
Se presenta este caso cuando los elementos están en forma directa en relación con la cantidad a
repartir.
Ejemplos: Repartir un premio en proporción a calificaciones obtenidas; repartir según el lugar en
que quedaste en una prueba deportiva: la depreciación proporcional al valor de los activos; una
gratificación en proporción a la venta de un producto.
Ejemplo 1:
Se desea repartir la cantidad de $12,000 de gratificación entre departamentos de una tienda, en
proporción a la productividad. El primer departamento (M) produjo $20,000, el segundo (N)
$40,000 y el tercero (O) $60,000.
Solución:
Sea:
M = gratificación al primer departamento
N = gratificación al segundo departamento
O = gratificación al tercer departamento
146
M + N +O =
12, 000
Como las gratificaciones son directamente proporcionales a la productividad,
tenemos
M = x(20, 000)
M
N
O
= = = constante
= x
N = x(40, 000)
20, 000 40, 000 60, 000
O = x(60, 000)
=
120, 000 x 12,
=
000;
x 101
20, 000 x + 40, 000 x + 60, 000 x =
12, 000
Se sustituye el valor de
x=
1
10
=
M x=
(20, 000) Q 2, 000.00
lo que nos
da N x=
=
(40, 000) Q 4, 000.00
=
O x=
(60000) Q6, 000.00
El valor de x es el factor de reparto que corresponde a cada elemento. Si salen decimales multiplica
los valores redondeados, para asegurarse de tener resultados más completos.
Repartos Inversos:
Los casos pueden tener uno o más elementos, pero en proporción inversa a la cantidad a repartir.
Ejemplo ilustrativo4:
Un despacho de contadores repartió Q35,500 a sus 3 secretarias, con la finalidad de incentivarlas,
otorgando un bono en proporción inversa a los días faltados en el año: Alicia faltó 5 días, Carmen
faltó 3 días y Nidia 7 días. ¿Cuánto recibió cada una de ellas?
Solución:
Sea:
A = gratificación a Alicia
C = gratificación a Carmen
N = gratificación a Nidia
A+C + N =
35,500
Como las gratificaciones son inversamente proporcionales a la productividad
A=
(5) C=
(3) N=
(7) constante
= x
+ 3x + 7x =
35,500
x = 52,500
x
5
71 x
105
= xx 55
A=
A
C=x 3
N
N=
= xx 77
= 35,500
x = 52,500
147
−4 x − 6 y =
−10
5x + 6 y =
4
x = −6
x
C = = Q17,500
3
x
N = = Q7,500
7
35,
Q
∑ 000.00
Repartos Mixtos:
En algunos casos, se presentan elementos inversos con elementos directos, en los cuales se nos
indicarán las condiciones del reparto y lo haremos por separado, para las partes directas y las partes
inversas.
Ejemplo ilustrativo5:
2
Se incendió una fábrica de 720 m ocasionando pérdidas por $1’000,000 en proporción directa a los
metros cuadrados ocupados por tres áreas departamentales y en proporción inversa a las mercancías
salvadas. El total de las pérdidas, se le aplica en un 35% a la superficie y a las mercancías en un
65%.
Departamento
M
N
O
Superficie en metros
240
180
320
Mercancía salvada
Q 40,000
Q 60,000
Q 50,000
Solución:
(35%)
Pérdidas por superficie: Q350,000
Superficie: proporción directa
M + N + O =
350, 000
240 x + 180 x + 320 x =
350, 000
740 x = 350, 000
=
x
= 472.972972
350,000
740
(65%)
Pérdidas por mercancía: Q 650,000
Mercancía recuperada: proporción
inversa
M + N + O =
650, 000
y
40,000
y
y
+ 60,000
+ 50,000
=
650, 000
37 y
600000
= 650, 000
y = 1.0540540540x1010
148
Departamento Superficie
M
240x = Q113,513.51
N
180x = Q 85,135.14
O
320x = Q151,351.35
Total de las
Q 350,000
pérdidas
Mercancía
y
40,000 = Q263,513.51
Total
Q377,027.02
y
60,000
= Q175,675.68
Q260,810.82
y
50,000
= Q210,810.81
Q362,162.16
Q$1’000,000.00
Q650,000
Actividad1:
1.
El Sr. Dueñas gerente de la empresa “Estaquitas SA” va a repartir un premio de Q40,000
entre sus empleados en proporción directa su productividad sobre la siguiente base:
EMPLEADO
Juan Pérez
Luis Sánchez
Carlos Flores
Paola Santos
Productividad
(lotes)
310
415
250
125
¿Cuánto
le
corresponde a
cada uno?
R. Juan Pérez Q11,272.73 Luis Sanchez Q15,090.91Carlos Flores Q9090.91 Paola Santos
Q4,545.45
2.
Una empresa establece un premio de $16,600 entre cinco empleados sobre la siguiente base:
El empleado que más faltas de asistencia tenga, le debe corresponder la menor parte del
premio.
EMPLEADO
Juan Pérez
Luis Sánchez
Carlos Flores
Josefina Ríos
Paola Santos
Faltas
asistencia
6
3
5
2
1
de
¿Cuánto
corresponde
cada uno?
R. J. P. Q1,257.58, L.S. Q2,515.15, C.F.Q1,509.09, J.R.Q3,772.73,
3.
le
a
P.S. Q7,545.45
Una constructora va a repartir un premio de $6000 en proporción inversa al trabajo
defectuoso que tenga cada uno de ellos durante un mes, con los datos que se presentan a
continuación:
149
OBRERO
Juan Pérez
Luis Sánchez
Carlos Flores
Trabajo
defectuoso
(piezas)
700
350
140
¿Cuánto
corresponde
cada uno?
le
a
R. J.P. Q750.00, L.S. Q1500.00 C.F. Q3,750.00
4.
La industria “Maquilas de Oriente” S. A. de C. y. va a repartir un bono $21 600.00 entre los
empleados para incentivar la puntualidad, por la distribución será en proporción a los
retardos que tengan durante los últimos 5 meses, bajo las siguientes bases:
a) Si algún empleado tiene más de cinco retardos no le toca bono.
b) En caso de que algún empleado tenga cero retardos, a éste le corresponde la mitad del
bono y la otra mitad se reparte en proporción inversa con los demás empleados.
c) Si hay más de un empleado con cero retardos, el bono se reparte en partes iguales entre
ellos y el resto de los empleados no recibe bono.
EMPLEADO
Juan Pérez
Luis Sánchez
Mary López
Albertina Díaz
Carlos Flores
Paola Santos
Retardos
4
6
3
8
7
1
¿Cuánto
le
corresponde a
cada uno?
a) Respuestas Juan Perez Q3,410.53 Mary Lòpez Q4,547.37 Paola santos Q13,642.11
Tomando como base el problema anterior, considera ahora que los retardos son los siguientes
EMPLEADO
Juan Pérez
Luis Sánchez
Mary López
Albertina Díaz
Carlos Flores
Paola Santos
Retardos
7
4
3
0
6
1
¿Cuánto
le
corresponde a
cada uno?
R. Albertina Díaz Q10,800.00
150
Guía de estudio No. 5.5
“Los grandes espíritus siempre han tenido que luchar contra la
oposición feroz de mentes mediocres“
(Einstein)
Tema:
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Y SU APLICACIÓN EN LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Algunos conceptos
Proporcionalidad compuesta
Diremos que un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes.
Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes
pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y
B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo.
Aplicaciones:
Ejercicio ilustrativo 1: Para calentar 2 litros de agua desde 0°C a 20°C se han necesitado 1000
calorías. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10°C a 60°C. ¿Cuántas calorías son necesarias?
Solución:
En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el salto térmico y la
cantidad de calorías. ¿Cuál es la relación entre las magnitudes?
Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación
directa). Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá que usar más calorías (relación
directa). Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es
decir, vamos a calcular cuántas calorías hacen falta para subir un grado, un litro de
agua.
Litros de agua
2
Salto térmico
20
Calorías
1000
1
20
1000/2 =500
1
1
500/20=25
3
50
25·3·50=3750
Para calentar un litro de agua
20ºC hacen falta 500 calorías
Para calentar un litro de agua
1 grado hacen falta 25 calorías
Luego para calentar 3 litros
50ºC harían falta 3750 calorías
Ejercicio 2:
En una mina, una cuadrilla de 4 mineros abren una galería de 110 metros de longitud en 12 días. Si
otra cuadrilla tiene 12 mineros, ¿cuántos metros de galería abrirán en 38 días?
R. 1045m.
Ejercicio 3: Tres motores iguales funcionando 6 horas necesitan 9000 litros de agua para refrigerarse.
151
¿Cuántos litros de agua necesitan 5 motores funcionando 8 horas?
R. 20,000litros
Ejercicio 4: En una campaña publicitaria 6 personas reparten 5000 folletos en 5 días. ¿Cuántos días
tardarán 2 personas en repartir 3000 folletos?
R. 9 días
Ejercicio 5: Con 12 kg de zanahoria, 9 conejos comen durante 6 días. ¿Cuántos días tardarán 4
conejos en comerse 8 kg de zanahoria?
R.9 días
Ejercicio 6: Tres obreros trabajando 8 horas diarias, tardan en hacer un trabajo 15 días. ¿Cuántos días
tardarán en hacer el trabajo 5 obreros trabajando 9 horas diarias?
R. 8 días
Ejercicio 7: 10 hombres se comprometieron a realizar en 24 días cierta obra. Trabajaron 6 días a
razón de 8 horas diarias. Entonces se les pidió que acabaran la obra 8 días antes del plazo que se les
dio al principio. Se le colocaron más obreros, trabajaron todos 12 horas diarias y terminaron la obra
en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros se aumentaron?
R. 2 obreros
Ejercicio 8: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por
valor de Q. 20.00. Averiguar el precio del volumen vertido por 15 grifos abiertos 12 horas, durante
los mismos días.
R. Q40.00
Miscelánea:
1) 400 soldados tienen víveres para 180 días, si consumen 900 gr. por soldado y por día. Si reciben
un refuerzo de 100 soldados pero no recibirán víveres antes de 240 días, ¿cual deberá ser la ración
de un hombre por día para que los víveres alcancen?
R.Q540.00 gr.
2) Nueve obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. Si después del cuarto día llegan 6
obreros más. ¿Cuántos días antes del plazo terminaron?
R.Q8 días
3) Un grupo de 50 hombres pueden terminar una obra en 4 semanas. Al cabo de 4 días de trabajo se
les junta un cierto número de obreros de otro grupo de modo que en 16 días terminaron lo que
faltaba de la obra ¿cuántos obreros conformaban el 2do grupo?
R.Q25 hombres
4) Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días, después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros,
152
¿con cuantos días de atraso se entregará la obra?
R. 9 días
5) Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días, en ese momento abandonan el
trabajo 5 obreros ¿cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? R.30días
6) La suma de 2 números enteros y positivos es 2920 y se encuentran a razón de 5 a 3 ¿Cuáles son?
R.1,825 y 1095
7) Si 20 libras de azúcar cuestan Q 50.00, ¿Cuántas libras me darán por Q80.00?
R.32 libras
8) La empresa “Papas Buenas del Norte” va efectuar la participación de utilidades de los
trabajadores. La Ley establece que el reparto consiste en el 10% de las utilidades gravable de la
empresa (antes de pagar impuesto) y que éste se integra como sigue:
• 50% tomando como base los días trabajados por cada trabajador (sólo aquellos que
hayan trabajado 60 o más días)
• 50% tomando como base los salarios devengados (salario nominal, sin considerar tiempo
extra, gratificaciones, etc.)
Empleado
Juan Pérez
Luis Sánchez
Karla Núñez
Gabriela Sánchez
Jorge Cantú
Felipe Tovar
María López
Albertina Díaz
Carlos Flores
Cesar Costa
Paola Santos
Días
trabajados
365
320
300
365
365
42
190
120
30
180
230
Salario
Q 12,000
Q 75,000
Q14,000
Q 16,000
Q 20,000
Q 2,300
Q 6,000
Q 16,000
Q 3,000
Q 7,000
Q 14,000
¿Cuánto le corresponde
a cada empleado, si las
utilidades de la empresa
fueron $3, 500,000.00?
9) El señor Mauricio Garcés dejó una herencia de $3, 000,000 a sus 5 hijos con las siguientes
condiciones:
a) El 25% de su fortuna se repartiría en proporción inversa a las edades de sus hijos.
R. C;Q110,221.38, E;Q137,776.73, B;Q148,374.94, L;Q160,739.52, M; Q192,887.42
b) El 50% se entregaría en proporción directa a las inversiones que tengan ellos al momento
del deceso.
R.C;Q252,100.00, E;Q441176.47, B;Q176,470.58, L,Q504,201.68, M;126,050.42
Del 25% restante se repartirá el 60% a las mujeres y el 40% a los hombres por partes
iguales.
R. C;Q100,000.00, E;Q100,000.00, B;Q100,000.00, L;225,000.00, M;Q225,000.00
En el momento de la muerte del Sr. Garcés la situación fue la siguiente:
c)
Hijos
Carlos
Ernesto
Braulio
Laura
Edades
35
28
26
24
Inversiones
Q 200,000
Q 350,000
Q 140,000
Q 400,000
¿Cuánto
corresponde
uno?
a
le
cada
153
Mariana
20
Q 100,000
10) Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos
días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
R.9 días
“No esperes por el momento preciso. Empieza ahora. Hazlo ahora. Si esperas por el
momento adecuado, nunca dejarás de esperar” J. Gillman
UNIDAD 6
“Diseña hoy un futuro extraordinario, porque ahí pasarás el resto de tu vida”
ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
Objetivo de la unidad: Preparar al estudiante para que sea capaz de resolver correctamente las ecuaciones lineales y
cuadráticas, por los diferentes métodos existentes.
Guía de estudio No. 6.1
Tema:
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD:
REFLEXIVIDAD, SIMETRIA Y TRANSITIVIDAD.
Introducción
En general, una ecuación iguala dos expresiones algebraicas que son equivalentes y que pueden
incluir una o más variables. Estas expresiones algebraicas pueden ser polinomios, expresiones
racionales, expresiones numéricas, radicales y otros. En el caso de ecuaciones que se reducen a
polinomios, el grado del mismo da nombre a la ecuación, es decir si la ecuación se reduce a un
polinomio de grado 1, se dice que se tiene una ecuación lineal. Si es de grado 2, se dice que es una
ecuación cuadrática, si es de grado 3, es una ecuación cúbica, etc.
Igualdad: Es la expresión en la que dos cantidades o expresiones algebraicas, separadas por el signo
igual, tienen el mismo valor.
Ejemplos:
Propiedades de la Igualdad: Cuando se habla de igualdad en matemáticas, se
establece una comparación de valores con el signo igual, que es el que separa al primer
miembro del segundo.
Primer miembro
=
Segundo miembro
En la igualdad se dan tres propiedades; a saber:
1. Propiedad reflexiva: establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.
154
Ejemplos:
;
;
;
2. Propiedad simétrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la
igualdad se altere. Ejemplos:
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si
Si
,
entonces
entonces
3. Propiedad transitiva: enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los
otros dos miembros también son iguales entre sí. Ejemplos:
Si 4 + 6 = 10
5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si
Si
entonces
, entonces
Ejemplo 1: Se sabe que: a 2 − 5b = 1 , calcule el valor numérico de la siguiente expresión
(
a 2 − 5b + 2 a 2 − 5b
)
Observe que la expresión a − 5b , aparece dentro del radical y también dentro de los paréntesis.
Como sabemos que la misma tiene un valor igual a 1, se sustituye y opera de la forma siguiente:
2
1 + 2(1) = 1 + 2 = 3
R. 3
Nota: en algunas ocasiones la sustitución no es tan evidente, por lo que es necesario realizar
arreglos algebraicos para poder encontrar el valor numérico.
Ejemplo 2: Se sabe que
calcule el valor numérico de la expresión
a 2 + 2ab + b 2 + 2a + 2b
Se agrupan los primeros tres términos y luego los últimos dos: (a 2 + 2ab + b 2 ) + (2a + 2b)
( a + b ) 2 + 2( a + b )
Sabiendo que el valor de a + b es igual a 1, se sustituye en la expresión anterior y se obtiene su
valor numérico
(5)2 + 2(5)
25 + 10 = 35 R. 35
Actividad 1
1) Halla el valor numérico del polinomio
para
R. 100
155
2) Calcula el valor numérico del polinomio
en los casos:
a)
b)
3) Valuar la expresión algebraica llamada f(x) = 3 x 2 − x + 1 , en x = -2
15
4) Valuar la siguiente expresión algebraica ab 2 − 3a 2 b + 5 , en a = 3 & b = 2
5) Sea 2x – y = 1, calcule el valor de las siguientes expresiones algebraicas
5
a) 2 2 x − y +
2x − y
(2 x − y )
10 x − 5 y
b)
+ 2x − y −
16
20
2
2
c) 4 x − 4 xy + y + 4
2
d) 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 7 y + 14 x
R. 4
R. 12
R. f(-2) =
R. -37
R. 7
19
16
R. 5
R.
R.8
6) Sea a 2 − 2b = 5 , calcule el valor de las siguientes expresiones algebraicas
a) 11 ⋅ 4 125(a 2 − 2b) − (a 2 − 2b)
R. 50
50
a 2 − 2b
−
+ 9a 2 − 18b
2
a − 2b
5
R. 54
(a
R. 120
b)
c)
2
)
3
− 2b − 5a 2 − 10b
9a 2 − 18b
d)
+ 10
3(a 2 − 2b)
R. 13
156
“Es preciso saber lo que se quiere, cuando se quiere, hay que tener el valor de
decirlo y cuando se dice, es menester tener el coraje de realizarlo”. G. Clemenceau
Guía de estudio No. 6.2
“El que conoce a los demás es un erudito; quien se conoce a sí mismo
es un sabio” Lao-tse
Tema:
CONCEPTO DE ECUACIÓN Y PRINCIPIOS PARA SU SOLUCIÓN
Concepto de ecuación
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno
o ambos miembros de la ecuación, debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las
ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos
valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:
La ecuación:
sólo se cumple para
, ya que si sustituimos dicho valor
en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que
ecuación dada. De hecho, es la única solución o raíz. Si usáramos, por ejemplo,
es la solución de la
, resultaría -2
= 10 (un absurdo)
Resolver una ecuación, es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas
variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la
ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.
Ecuación de primer grado: o ecuación lineal, es un planteamiento de igualdad, involucrando una o
más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una
ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el
sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es: y = mx + b
Procedimiento para resolver una ecuación lineal de una incógnita:
Un procedimiento general para resolver las ecuaciones, lineales de una incógnita es el siguiente:
1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado o miembro por el mínimo común
denominador.
2. Eliminar paréntesis.
3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad, para
lograr que la ecuación tenga la forma:
4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad.
5. Verifique el resultado con la ecuación original.
157
Principios para la solución de las ecuaciones
El axioma fundamental de las ecuaciones, es que una ecuación se transforma en otra equivalente
cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros, es decir.
•
•
•
•
•
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa,
la igualdad subsiste.
Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa,
la igualdad subsiste.
Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa,
la igualdad subsiste
Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante
tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso, se prescinde de
aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación; este es el caso de la solución de
una ecuación irracional, es decir aquella que contiene raíces o radicales y las posibles
soluciones se comprueban en la ecuación original y aquellas que no satisfacen a la otra, se
descartan y se aceptan únicamente la que satisfagan a la ecuación original…
Transponer términos: consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro.
Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6
Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos miembros y
resulta 3x-2 +2= x+6+2.
Es decir 3x = x+8
En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y, en ese caso, el
segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos
3x-2-6 = x+6-6
o sea 3x-8 = x
Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x, es decir, 2x-8 = 0
Ejemplo:
Pasando
Resolver la ecuación
para al primer miembro
al segundo, cambiándoles los signos,
tenemos:
Reduciendo términos semejantes:
158
Despejando
para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por 2, tenemos:
2x 8
=
;
2 2
y simplificando
Actividad 1
Con base en los principios de las ecuaciones, resolver las siguientes ecuaciones:
1)
R. y= -1/3
2)
R.
3)
R.
R.
4)
“Como aguas profundas es el consejo en el corazón del hombre; más el hombre entendido lo
alcanzará”
Guía de estudio No. 6.3
“Si el hombre no piensa en lo que está distante, hará pesaroso lo que está cerca”
Confucio
Tema:
ECUACIONES LINEALES Y ECUACIONES EQUIVALENTES
Ecuaciones lineales
Una ecuación es
una igualdad que contiene una o más incógnitas. En una ecuación existen
cantidades desconocidas (incógnitas), que en general, se designan por letras minúsculas de la parte
final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras
minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c.
En el caso de las ecuaciones con una incógnita, están catalogadas según el exponente más alto de la
incógnita:
2 x + 4 = 10
es una ecuación lineal o de primer grado;
2
es una ecuación cuadrática o de segundo grado;
2x + x + 5 = 9
3
2
3x + 5 x − 2 x + 1 = 0 es una ecuación de tercer grado o cúbica.
Ecuaciones equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son equivalente, si tienen las mismas
soluciones. En el caso de las ecuaciones lineales con dos incógnitas, las soluciones son los puntos
de su recta asociada, por lo tanto dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son equivalentes, si se
representan con la misma recta.
159
Determinación de ecuaciones equivalentes: Hay infinitas ecuaciones equivalentes a una dada; todas
ellas tienen sus coeficientes proporcionales :
Si algún coeficiente es cero, también será nulo el que le corresponde en todas sus ecuaciones
equivalentes.
Ejemplo:
Estas dos ecuaciones son equivalentes porque la solución en las dos, es x=3
Actividad 1
Determinar si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes. Justificar.
1) 3x – 5 = –2x
y
3x – 5 + x2 = –2x + x2
R. son equivalentes.
6
R. no son equivalentes.
2) 3x + 4 = 6
y
x+4= 3
2
2
3) x = 3x – 5x
y
x = 3x – 5
R. son equivalentes.
3
4) (–2x + 8) = 6x
y
–2x + 8 = 2 x
R. no son equivalentes.
5) –2 . (x + 9) = 8
y
x+9=8+2
R. no son equivalentes.
“El éxito es una actitud de sí puedo”
160
Guía de estudio No. 6.4
“La integridad no tiene necesidad de reglas”. Anónimo.
Tema:
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS INCÓGNITAS.
Introducción
Dentro los principales métodos de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita,
tenemos: método deductivo, por aproximaciones sucesivas, ecuaciones equivalentes.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita por ecuaciones equivalentes:
ecuación dada;
sumando (-3) ambos lados de la igualdad
multiplicar ambos lados de la igualdad por (1/2)
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Antes de iniciar el aprendizaje de algunos
métodos, es necesario que en el caso de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas, se tenga al final:
1) La solución de un sistema de ecuaciones, que es un grupo de valores de las incógnitas que
satisface todas las ecuaciones del sistema.
2) Un sistema de ecuaciones es posible o compatible, cuando tiene solución y es imposible o
incompatible cuando no tiene solución.
3) Un sistema compatible es determinado, cuando tiene una sola solución e indeterminado
cuando tiene infinitas soluciones.
1. Método de sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en la otra ecuación por su valor.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución el siguiente sistema de
ecuaciones:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita
obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
, en la otra ecuación, para así
161
Al resolver la ecuación, obtenemos el resultado x = 5 , y si ahora sustituimos esta incógnita por su
valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 , con lo que el sistema queda ya
resuelto.
2. Método de Igualación: El método de igualación se puede entender como un caso particular del
método de sustitución, en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten el mismo miembro izquierdo, por lo que
podemos afirmar que los miembros derechos también son iguales entre sí.
3(22 − 3 x) = 4 x + 1
x=5
Llegados a este punto, podemos obtener el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor de x, en
una de las ecuaciones originales, que además ya se encuentra despejada
y = 22-15
y=7
3. Método Reducción: El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,
consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera
que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo
coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la
reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por − 2 para poder cancelar la incógnita . Al
multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
−4 x − 6 y =
−10
5x + 6 y =
4
x = −6
162
Sumando la ecuación resultante a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación
donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la otra
x = −6
incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
, en cualquiera de las
17
=
3
ecuaciones donde aparecen ambas incógnitas, y obtener así que el valor de:
4. Método Gráfico: Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la
ecuación de la recta.
Sea el sistema.
tenemos
En
y
En
tenemos
y
La intersección es en el punto (4,2
) la solución
del sistema es
Actividad 1
Resolver por el método de igualación.
x + 6 y = 27
1.
7x − 3y = 9
R.
3 x − 2 y = −2
2.
5 x + 8 y = −60
R.
3x + 5 y = 7
3.
2 x − y = −4
R.
7x − 4 y = 5
4.
9 x + 8 y = 13
R.
Resolver por el método de sustitución.
x + 3 y = 6
1.
5 x − 2 y = 13
5 x + 7 y = −1
2.
− 3 x + 4 y = −24
4 y + 3 x = 8
3.
8 x − 9 y = −77
x − 5 y = 8
4.
− 7 x + 8 y = 25
163
R.
R.
R.
R.
Resolver por el método de reducción.
6 x − 5 y = −9
1.
4 x + 3 y = 13
R.
Sol
7 x − 15 y = 1
2.
− x − 6 y = 8
R.
3 x − 4 y = 41
3.
11x + 6 y = 47
R.
9 x + 11 y = −14
4.
6 x − 5 y = −34
R.
Problemas de aplicación:
1) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a Q 150 cada una- Vendió 400 de ellas obteniendo
una ganancia del 25% ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 reses, si la utilidad promedio
del lote completo ha de ser del 30%?.
R.
2) Un comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por Q1000.; los primeros los vende a
razón de Q10 el conjunto de 3 lapiceros y las segunda, a Q2 cada una. Sabiendo que vendió
solamente la mitad de los lapiceros y las 2 terceras partes de las gomas recaudando en total Q600,
hallar las unidades que vendió de cada uno de los artículos citados. R. 120 lapiceros b) 300 gomas
3) En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por ellos pagó 9.50 quetzales.
Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz?
R. 1.50 y 2.50 quetzales
4) La tía María repartió entre sus tres sobrinos 9 monedas que sumadas daban 60 quetzales. Ella
recuerda que estas monedas eran de 5 quetzales y de 10 quetzales, pero no sabe cuántas tenía de 5
quetzales y cuántas de 10 quetzales. ¿Podría usted ayudar a la tía María a saber cuántas tenía de cada
una?
R.
“Si quieres que los demás te respeten, lo mejor que puedes hacer es
respetarte a ti mismo”·. Anónimo
164
Guía de estudio No. 6.5
“A menudo, el modo en que se plantea un problema, importa más que su solución”
A. Eintein
Tema:
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO:
CONCEPTO Y FORMA GENERAL
Introducción
Una ecuación de 2º. grado, es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente
es 2. Existen ecuaciones completas e incompletas.
Ecuaciones completas: son de la forma:
en x y un término independiente de
.
Tiene un término en , un término
x 2 − 8 x = −15;
Ejemplos: 3 x 2 + 6 x − 15 = 0;
18 x + 20 = −3 x .
2
que carecen del término independiente.
Ecuaciones incompletas: son de la forma:
2
2
Ejemplos: x − 25 = 0; 3 x + 5 x = 0 . Dentro de las ecuaciones incompletas existen algunas que les
falta el término independiente tienen un término en
y un término en x y se les llama ecuaciones
incompletas mixtas. A las ecuaciones incompletas que les falta el término en , se les llama
incompletas puras.
Raíces de la ecuación de 2º. grado: Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.
Toda ecuación de 2º. grado tiene como máximo 2 raíces o soluciones. Resolver una ecuación de 2º.
grado, es encontrar las raíces o soluciones de la ecuación.
METODOS DE SOLUCIÓN:
a. POR FORMULA GENERAL: x =
reales, siempre que a ≠ 0.
b. METODO POR FACTORIZACIÓN.
− b ± b 2 − 4ac
donde a, b y c son números
2a
c. COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
d. METODO GRAFICO (No se incluye en este curso: las soluciones son los valores
donde la curva de la ecuación, que es una parábola, corta el eje x)
NOTA: Las ecuaciones se ordenan y se igualan a cero.
Resolución de ecuaciones incompletas de la forma
por lo tanto x2=-c/a por lo tanto
x= − c . Aclaración: si a y c tienen el mismo signo las raíces son imaginarias.
a
165
Este método de solución de ecuación incompleta, es llamado: por raíz cuadrada o ecuación
cuadrática pura.
7x2
7x2
x=± 9
= 3 −1 = 2 ;
+ 3; x 2 −
Ejemplo:
Resolver: x 2 + 1 =
9
9
Soluciones o raíces: x1 = 3; x2 = -3
Resolución de ecuaciones incompletas de la forma ax 2 + bx = 0
Se factoriza la
, si el producto es igual a 0, por lo menos uno de los 2 factores es
igual a
Ejemplo:
5x + 2
∴ ( x − 2 )(3 x − 1) = 5 x + 2 ;
x−2
3 x 2 − 7 x + 2 = 5 x + 2 ∴ 3 x 2 − 12 x = 0;
Factorizando: 3x (x – 4)= 0, si el producto es igual a 0, uno de los dos factores es 0.
Resolver: 3 x − 1 =
Si:
Si:
primera raíz.
segunda raíz.
IMPORTANTE: Ecuaciones con radicales con algunas soluciones inadmisibles:
Las
ecuaciones con radicales se resuelven normalmente, eliminando radicales, al elevar ambos
miembros, de la igualdad, a la potencia que indica el índice del radical. Cuando esto ocurre, es
necesario hacer la comprobación con ambas raíces, para estar seguros si ambas satisfacen la
ecuación dada, porque cuando los 2 miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia,
generalmente se introducen soluciones inadmisibles que deben ser rechazadas.
Ejemplo:
(4 x − 3)2
− 2 4x − 3 x − 2 +
( x − 2 )2
=
(3x − 5)2
Simplificamos factores cuyo exponente coincide con el índice del radical y
simplificamos: − 2 4 x 2 − 11x + 6 = −2 x (dividimos entre -2)
Elevamos al cuadrado ambos miembros: 4 x 2 − 11x + 6 = x 2 ∴ 3 x 2 − 11x + 6 = 0;
factorizando: (x − 3)(3 x − 2 ) = 0
sí (x – 3) = 0, x1 = 3; si (3x-2) = 0, x2 = 2/3.
Al efectuar la comprobación o verificación, se observa que solamente la raíz x = 3 sí
satisface la ecuación, por lo que la otra raíz se rechaza.
NOTA: El radicando de la fórmula cuadrática (b2 – 4ac), es conocido como DISCRIMINANTE, y
dependiendo de su valor, indica la cantidad de raíces o soluciones posibles de la ecuación, así:
a) Si D > 0 : dos soluciones posibles
b) Si D = 0 : una solución, x = -b/2ª
c) Si D < 0 : no tiene solución real.
166
Ejemplo: Determinar mediante el discriminante “D”, de la ecuación 9 x 2 + 16 − 24 x = 0 , cuántas
soluciones tiene.
Solución:
Como la ecuación cuadrática es de la forma
ecuación proporcionada y luego se calcula el discriminante,
, se ordena la
9 x 2 + 16 − 24 x = 9 x 2 − 24 x + 16 = 0
D = b2 – 4 = (-24)2 – 4(9)(16) = 0
R. La ecuación proporcionada tiene una solución.
Ejemplo: Encontrar la ecuación cuyas raíces son
Solución:
x 2 − (2 + 5) x + (2)(5) = 0;
R. x 2 − 7 x + 10 = 0
Actividad 1
Resuelva las siguientes ecuaciones incompletas
1) 3x 2 + 2 x = 0
R.
2) 5 x 2 − 3 = 0
R.
3) − x 2 + 4 = 0
R.
4) 3 x 2 − 5 = 0
2
2
5) 6 x + 3 x = 0
R.
R.
2 2
x =0
5
7) 2 x 2 + 10 x = 0
8) x 2 − 25 = 0
6)
R.
R.
R.
Actividad 2
Determinar mediante el discriminante “D” cuantas soluciones tienen las siguientes ecuaciones
cuadráticas:
1) x 2 − 4 x + 2 = 0
R. tiene 2 soluciones.
2
2) 2 x + x − 1 = 0
R. tiene 2 soluciones.
2
3) 4 x − 4 x + 1 = 0
R. tiene 1 soluciones.
2
4) − x + 6 x − 5 = 0
R. tiene 2 soluciones.
2− x
4
+
=1
5)
R. tiene dos soluciones.
2
2+ x
167
Actividad 3
Encontrar las ecuaciones que corresponden a las siguientes raíces:
1)
3)
4)
“Si amas la vida, aprovecha tu tiempo, porque de tiempo se compone la vida” B. Franklin
Guía de estudio No. 6.6
“La Sabiduría supera en movilidad a cualquier cosa que se mueva.
Todo lo atraviesa y lo penetra gracias a su pureza”
Sabiduría
7:24
Tema:
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS CON RAÍCES REALES:
FACTORIZACIÓN, POR COMPLETACIÓN Y FÓRMULA GENERAL.
1) Método de factorización: Este método se basa en que el producto de dos o más factores es cero,
si cualquiera de los factores es cero. Si una ecuación está en forma factorizada, con cero en un lado,
se pueden obtener soluciones igualando cada factor a cero. Por ejemplo, si p, q y r; son expresiones
en x y si (p)(q)(r) = 0, entonces p=0, q=0 ó r=0.
Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación cuadrática por medio del método de factorización:
x3 + 2x 2 − x − 2 = 0
Solución:
Factorizar por agrupación de términos:………….. x 3 + 2 x 2 − x − 2 = 0
Agrupamos términos:………………..
Factorizamos
:…………………………….
Factorizamos
:………………………….
;
; ó
Por el teorema del producto cero:……………..
Resolvemos para cada una de las incógnitas:
Ejercicios:
1)
R.
168
2)
R.
3)
R.
4)
R.
2) Método de completación de cuadrados: Cuando el trinomio de una ecuación de 2º. grado no
permite una factorización rápida con números racionales o presenta un grado de dificultad mayor
que lo normal, puede aplicarse este método para resolver la ecuación. El método consiste en ordenar
la ecuación y llevarla a la forma
; podemos escribir esta ecuación como
.
Si observamos el primer miembro, veremos que al binomio
le falta un término para ser un
trinomio cuadrado perfecto. Para obtener el trinomio cuadrado perfecto de miembro izquierdo, se
suma y se resta un número cuyo valor es la mitad del coeficiente numérico del 2º. término (o lineal),
elevado al cuadrado:
; o lo que es lo mismo
. Para que no se altere la ecuación le
agregamos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro.
Así obtendremos:…………………………….
En el primer miembro de ésta ecuación tenemos un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto:
=
Factoramos:…………………………………
Extraemos raíz cuadrada en ambos lados:…………………….……
=
Obtenemos:…………………………………………………………….
y como segunda solución:
Cuando el coeficiente de
es diferente de 1, el procedimiento es esencialmente el mismo, sólo que
como primer paso dividimos los tres términos de la ecuación entre “a”, coeficiente de .
; resuélvala por medio del método de completación
Ejemplo: Sea la ecuación
de cuadrados:
Trasladando
el
término
independiente
y
dividiendo
por
el
coeficiente
el
primer
término:
Agregando
en
ambos
lados,
el
cuadrado
de
la
mitad
de
………….
Factorando el primer miembro:………………………..
169
Extrayendo raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y simplificando obtenemos: x1 = 2; x2 =
2
Actividad1
1)
R.
2)
R. =
x1 2;=
x2
3)
R.
4)
R.
5)
R.
11
4
3) Método de fórmula general o de Vieta: Si a ≠ 0; las raíces de la ecuación geeneral
están dadas por:
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
Solución: Identificamos a = 4 ; b = 1; c = −3 ; Aplicamos la fórmula cuadrática:
Simplificando el discriminante:
Actividad 2
1)
=
;
R.
−2 ± 2
2 2± 5
x=
2
2
3±5
R. x =
4
R.
R. x =
2)
3)
4)
; Las soluciones son:
3x 2 − 2 x − 3 = 0
170
Actividad 3
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por cualquier método:
1) z 2 − z =
3
4
R.
2) x 2 + x + 1 = 0
3)
2x 2 − 4x − 2 = 0
4) − 40m + 16m 2 = −25
5) 2( x 2 + 1) = 3( x 2 +
x
3
R. x =
−1 ± 3i
2
R. x =
2 2± 5
2
R.
)
R.
6) 3t 3 − 24t = 0
R.
7) 1.0 y + 0,1 y + 2.4 = 0
R.
2
t
1
=
0; t 2 =
−2 2; t 3 =
2 2
2
1
8) 3 t − = 0
6
9) m 2 − 0.0144 = 0
R.=
t1
1
1
;t 2
=
6
6
R.
171
UNIDAD 7
“El miedo es natural en el prudente, y saberlo vencer es ser valiente”
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Objetivo de la unidad: Desarrollar en el estudiante habilidades y destrezas en la aplicación de conocimientos y
procedimientos analíticos en solución de problemas, a través de ecuaciones.
Guía de estudio No. 7.1
Tema:
ESTRATEGIAS PARA LA MODELACIÓN Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MEDIANTE ECUACIONES
Introducción
Muchos autores de libros sobre esta materia, han sugerido y recomendado métodos, estrategias,
algoritmos para actuar frente a un problema matemático, por lo que el procedimiento eficaz se
resume en las 3 siguientes etapas:
Etapa 1: Comprender el problema:
Lea cuidadosamente el problema, varias veces si es necesario, hasta que lo comprenda
perfectamente. Si no conoce del tema, investigue o pregunte, hasta conocerlo al detalle. Identifique
los datos que se le proporcionan y tenga bien claro qué le preguntan.
Etapa 2: Idear y llevar a cabo un plan:
Trace figuras o diagramas en los que se señalen los datos conocidos y los desconocidos. Busque
fórmulas o propiedades que relacionen las cantidades o magnitudes del problema. Asigne una
variable, con su significado y si hay más de una incógnita, si es posible, escríbalas todas en función
de una de ellas.
Formule una ecuación que relacione las cantidades desconocidas con las conocidas, tomando en
consideración las condiciones y naturaleza del problema. Recuerde que esta ecuación es la parte
medular del problema.
Etapa 3: Encontrar la respuesta y verificar:
Resuelva la ecuación y escriba las soluciones. Verifique todas las soluciones en el problema
original. Siempre responda de acuerdo a la pregunta que se haga, ya que no siempre la variable
concentrada, coincide con la respuesta.
Ejemplos ilustrativos:
1) A Albert Einstein se le atribuye la respuesta al número de sus discípulos: la mitad estudia
matemática, la cuarta parte física, una séptima parte guarda silencio y además hay tres mujeres.
¿Cuántos son?
Solución:
x = cantidad de discípulos
172
x x x
+ + +3= x
2 4 7
x = 28
Con los datos, se forma la siguiente ecuación:
Se resuelve la ecuación por cualquier método:
Comprobación:
28 28 28
+
+
+ 3 = 28
2
4
7
→
28 = 28 discípulos
2) Tres manzanas más una pera, pesan lo mismo que diez melocotones. Seis melocotones más una
manzana, pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones pesarán lo mismo que una pera?
b)
m
c)
d)
e)
f)
10M
g)
h) Las manzanas pesan igual que los melocotones
de ecuación 2
como M
p=t
Respuesta una pera pesa igual a 7 melocotones o 7 manzanas.
3) El área de un rectángulo es 150m2. Si se aumentan el largo y el ancho del rectángulo en 2m cada
uno, el área seria de 204m2. encuentre las dimensiones originales.
y
150 m2
x
x = largo del rectángulo
xy = 150m2
y = 150
y = ancho
x
si se aumentan las dimensiones :
(x+2)(y+2) = 204m2
xy+2y+2x+4 = 204
sustituyendo y:
x( 150 ) + 2( 150 ) + 2x + 4 = 204
x
x
x[150 + 300/x + 2x + 4 = 204] =
2x2+154x-204x+300 = 0
x1 = 25+5/2 = 15m,
Eliminando denominadores:
150x + 300 + 2x2 + 4x = 204x
2x2-50x+300 = 0 } simplifique
y1 = 150/x1 =
x2-25x+150 = 0
150/15 = 10m.
173
x2 = 25-5/2 = 10m,
y2 = 150/x2 =
150/10 = 15m.
Comprobación de x1, y1:
(15+2)(10+2) = 204
17*12 = 204
204 = 204
Comprobación de x2, y2:
(10+2)(15+2) = 204
12*17 = 204
204 = 204
4) Los catetos de un triangulo rectángulo miden x y (2x-10). La hipotenusa mide (2x-1). ¿Cuánto
mide cada cateto y la hipotenusa?
x
(2x-1)
Aplicando el teorema de Pitágoras
(2x-1)2 = x2 + (2x-10)2
4x2–4x+1 = x2+4x2-40x+100
(2x – 10)
x2 - 36x + 99 = 0
(x-33)(x-3) = 0
Por la propiedad de producto cero
Si x-33=0
x1= 33
& x-3 = 0
x2 = 3
Comprobación para x = 33:
(2(33)-1)2 = 332 + (2*33-10)2 = 332 + 562
652 = 1089 + 3136
4225 = 4225
Comprobación para x = 3
(2(3) – 1)2 = 32 + ( 2 (3) – 10 )2
25 = 25
Matemáticamente es válida, pero si x = 3 tendríamos Hipotenusa = 5, un cateto de 3, y el otro cateto
= -4, lo cual nos da una distancia negativa, lo cual no es posible. Por lo que la solución es:
Hipotenusa = 65, cateto 1 = 33, cateto 2 = 56
5) El salón de usos múltiples de una empresa, es rectangular de 18.0m * 12m y solo se cuenta con
dinero para comprar 135m2 de alfombra. Esto obliga a dejar una franja uniforme de ancho “x” a su
alrededor. ¿Cuánto debe medir el ancho de la franja?
Ix
12
alfombra
de 135 m2
(18 – 2x)
Definamos nuestra variable
x = ancho de la franja
A = área de la alfombra = 135 m2
A = (12-2x) (18-2x) = 135m2
= 216 – 36x – 24x + 4x2 – 135 = 0
= 4x2 -60x + 81 = 0
174
Resolviendo la ecuación cuadrática por factorización
( 2x -27 ) ( 2x – 23 ) = 0
Aplicando propiedad producto 0
X = 13 “ Que no es válida para el problema ya que es mayor al ancho de la alfombra ”
X = 1 ½ “ La cual es la solución al problema”
Actividad 1
1) Un hombre reparte cierta cantidad de dinero entre sus hijos y nietos, con estas variantes: Si
hubiera eliminado a sus 3 nietos en el reparto, cada uno de sus hijos habría recibido Q.50.00 más.
Por otro lado, si hubiera incluido en el reparto a su esposa, cada hijo y nietos habrían recibido
Q.10.00 menos. ¿Qué cantidad repartió y entre cuántas personas?
R.
repartió Q.900.00
entre 9 personas.
2) Un gavilán dijo a un grupo de palomas: “adiós mis cien palomas” y ellas contestaron: “No somos
100, porque el doble de las que somos, más la mitad de las que somos, más la cuarta parte de las que
somos, más usted señor gavilán, sí somos cien” ¿Cuántas palomas eran?
R. 36 palomas.
3) El largo de un rectángulo es 3 veces su ancho. El perímetro tiene 68 cm. más que el largo,
encuentre las dimensiones del rectángulo.
R. ancho: 13.6 cm.; largo: 40.8 cm.
4) Encontrar un número tal que si se le suma 18, es igual al triple de él mismo. R. 9.
5) Para el examen de Historia, Pancho estudió 2 horas más que Luís. Juntos estudiaron una hora
menos que 4 veces las horas que estudió Luis. ¿Cuántas horas estudió c/u?.
R. Luis, 1 ½ h; Pancho, 3 ½ h.
6)En el momento de escribir este problema, mi edad, más el triple de la edad que tenía hace 14 años,
es igual al triple de mi edad menos tres años. ¿Cuántos años tengo?
R. 39 años.
7)En un triángulo isósceles, c/u de los lados iguales mide 6 cm. más que la base. El perímetro del
triángulo mide 48 cms. Encuentre la longitud de cada lado y el área.
R. base: 12 cm.; lados: 18 cm. c/u; área: 101.82 cm2.
8) La suma de 3 números, enteros impares, consecutivos es 111. Encuéntrelos.
R. 35, 37 y 39.
9) Un número positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números. R. 36 y 60.
10) Encontrar un número entero que sumado a 5 veces su cuadrado es igual a 84.
R. 4.
11) Alejandra compro una caja con cierto número de marcadores por Q360. Si la caja hubiera
tenido 5 marcadores más, cada marcador le habría costado Q6.OO menos. Cuántos marcadores
compró y cuanto pagó por cada uno? Compró 15 marcadores a Q 24.00 c/u
12) Se desea saber cuál es el número que excede en ciento cuatro a la suma de su tercera parte, más
su cuarta parte y más su quinta parte. Respuesta 480
175
13) Buscar un número tal que la diferencia entre su cuádruplo y la tercera parte del número dado,
menos nueve, es triple de la suma de la mitad del número dado, más diez. R. 18
“Sé grande en acción, tal como lo has sido en pensamiento” Shakespeare.
Guía de estudio No. 7.2
“Una persona no puede directamente escoger sus circunstancias, pero sí puede escoger sus
pensamientos e indirectamente –y con seguridad- darle forma a las circunstancias” James Allen.
Tema:
PROBLEMAS QUE PLANTEAN CONDICIONES ARITMÉTICAS,
PROBLEMAS QUE SE REFIEREN A NÚMEROS
En algunas ocasiones, en el proceso de solución de problemas, es necesario traducir del lenguaje
cotidiano a un lenguaje algebraico, en donde a las cantidades no conocidas se le asigna un valor
variable. La mayor parte de libros de matemáticas utilizan las últimas letras del alfabeto en
minúsculas, es decir: u, v, w, x, y, z, para asignárselas a las variables del problema. Generalmente,
en este tipo de problemas se involucran operaciones matemáticas básicas.
Realmente no importa como se le llame a las variables, lo que si se debe hacer es escribir el
significado que le estamos dando a ellas.
En la siguiente tabla se muestran algunas expresiones usuales, empleadas para expresar operaciones
aritméticas básicas:
Suma (+)
Sumando con más
La suma de
Más que
Aumentado en
Agregar
Añadir
Ganar
Incrementar
Adicionar
Resta (-)
Restado de
Diferencia
Menor que
Menos
Disminuido en
Perder
Decrecer
Rebajar
Restado de
Multiplicación (x)
Multiplicado por
Producto
Por
Una cantidad n
veces
Un número de
veces
El doble
El triple, etc.
División (÷)
Dividido entre
Cociente
Relación
Mitad
Razón
Tercera parte
Cuarta parte
Quinta parte etc.
Ejemplos ilustrativos:
1) La tercera parte de un número, es 7 unidades menor que la mitad de él. Encuentre el número.
Solución: Identificamos qué datos nos proporcionan:
Frase
Se tiene un número desconocido
La tercera parte de un número
La mitad del mismo número
Traducción algebraica
X
x/3
x/2
Según la condición, la ecuación se puede plantear de dos formas:
176
1
1
x+7 = x
3
2
1
1
x = x−7
3
2
o
R.→
x = 42
Respuesta:
el número buscado es 42
Comprobación
1/3 (42) + 7 = 1/2 ( 42 )
21 = 21 que es una expresión matemática valida.
2) La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en
3 al segundo. Determine los números.
Solución:
Primer número
x
Segundo número
2x
Tercer número
2x + 3
La condición que permite balancear la ecuación, es que la suma de los números es 63:
x + 2x + (2x + 3) = 63
Respuesta:
R. → x = 12
12, 24 y 27
Actividad 1
1) La suma de un número y la mitad de ese número es 45. Hallar el número.
R. 30.
2) La suma de tres números pares, consecutivos, es 180. Hallar los números.
R. 58, 60, 62.
3) El resultado de sumar 28 a 4 veces cierto número, es el mismo que se obtiene al restar 5 de 7
veces el número. Hallar el número.
R. 11.
4) El triple de un número disminuido en 19 es 53. Hallar el número.
R. 24.
5) La suma de tres números es 94. El segundo es 2 unidades menor que el primero, y el tercero
supera en 6 al primero. Encuéntrelos.
R. 30, 28,
36.
6) Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor es igual a un quinto del
mayor.
R. 16 y 20.
7) Determine dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 195 unidades menos que el
cuadrado del número mayor.
R. 39 y 34.
8) Tres medios de un número supera en 4 unidades a cinco sextos del número. Obtenga el número.
R. 6.
9) La diferencia entre un tercio de un entero y un cuarto del mismo es 3. Hallar el número. R. 36.
177
10) Un número es cuatro quintos de otro número y la suma de los dos es 126. Hallar los números.
R. 70 y 56.
“El éxito no se logra sólo con cualidades especiales. Es sobre todo un trabajo de constancia,
de método y de organización”
J. P. Sergent
Guía de estudio No. 7.3
“La disciplina es el fundamento sobre el cual se construye el éxito”
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
Concepto
Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces la distancia d, que recorre en t unidades
de tiempo, está dada por.
d = vt
Comúnmente la parte más difícil de solucionar en un problema de distancia, es determinar qué
relación expresar como ecuación. Puede ser útil considerar las siguientes preguntas:
¿Hay dos distancias (o tiempos o velocidades) que sean iguales?
¿Es la suma de dos distancias (o tiempos o velocidades) una constante?
¿Es la diferencia de dos distancias (o tiempos o velocidades) una constante?
Ejemplo ilustrativo:
A un motociclista le toma 1 hora y media más en la noche que en el día, viajar entre dos ciudades.
En la noche recorre un promedio de 40 millas por hora, mientras que en el día puede recorrer un
promedio de 55 millas por hora. Encuentre las distancias entre las dos ciudades.
Solución:
noche
día
DISTANCIA
d
(millas)
d
VELOCIDAD
V
(millas/hora)
40
d
55
TIEMPO
d
t=
v
d
40
d
55
Puesto que le toma 1.5 horas más recorrer la distancia entre las dos ciudades en la noche, tenemos:
d
d
t1- t2 = 1.5
= 1.5
40 55
55d- 40d = 1.5x55x40
15d
= 3300
178
d = 220 millas
Respuesta: la distancia entre las dos ciudades es de 220 millas.
Comprobación: Su tiempo en la noche es de 220/40 = 5.5 horas, y durante el día es 220/55 = 4horas.
Puesto que 5.5 – 4 = 1.5, la respuesta corresponde a los datos del problema.
Ejercicios de aplicación:
1) Un auto viaja del punto A al punto B, a una velocidad promedio de 55 kmph y regresa a una
velocidad de 50 kmph. Si todo el viaje tomó 7 horas, encuentre la distancia entre A y B.
1
R. 183 millas
3
2) Una mujer puede ir caminando al trabajo a una velocidad de 3 kmph, o en bicicleta a una
velocidad de 12 kmph. Si le toma 60 minutos más caminando que yendo en bicicleta, encuentre el
tiempo que le toma caminar para ir al trabajo.
R. 4/3 de hora = 1 h 20 minutos
3) Un hombre recorrió 280 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50 Km. más. Si el tiempo total
del viaje del viaje fue de 12 horas y la velocidad en bicicleta fue ¼ de la velocidad en el auto,
encuentre cada velocidad.
R. 40 Km./h ; bicicleta 10 Km./h.
“Nuestra gloria más grande no consiste en no haber caído nunca, sino en
haberse levantado después de cada caída”.
179
Guía de estudio No. 7.4
“El fracaso tiene mil excusas, el éxito no requiere explicación”
Tema:
PROBLEMAS DE MEZCLAS
Algunos conceptos
Una mezcla es una combinación de dos o más líquidos, sólidos o ambos, con el objetivo de obtener
un producto resultante con diferente “concentración”, proporción o porcentaje, de sus componentes,
para mejor utilización, comercialización o producción, que al propietario o fabricante convengan.
Algunos posibles procedimientos para resolución de problemas de mezclas:
a) Enterarse bien de los datos, características y condiciones del caso, y crear una ecuación que
resuma y relacione los datos, para que al resolver la citada ecuación, obtengamos la solución
requerida.
b) Elaborar una tabla o cuadro con las líneas y columnas necesarias, para colocar ordenadamente
toda la información, de tal forma que en la última columna, aparezcan las operaciones necesarias a
efectuar, para obtener el resultado final que satisfaga la situación que se plantee.
c) Con base en las características del problema, analizar si el mismo puede resolverse con aplicación
de conceptos de proporcionalidad (razones y proporciones) o sus complementos de reglas de tres o
porcentajes.
d) Otros procedimientos matemáticos, (aritméticos o algebraicos) que se puedan adaptar a las
condiciones del problema a resolver y al criterio personal y conocimientos, de la persona que tiene
bajo su responsabilidad resolver la situación que se le plantee, recomendándose elaborar un
dibujo con los datos, para visualizar el problema.
Ejemplos ilustrativos:
1) Un comerciante necesita efectuar una distribución o mezcla de 30 libras de dulces, para vender a
distribuidores mayoristas, a $ 1.00 cada libra. Una clase de dulces lo vender a $ 0.95 cada libra y la
otra clase a $ 1.10 cada libra. ¿Cuántas libras de cada clase tendrá que poner en cada paquete de 30
libras?.
Observe que el dibujo propuesto
facilita la creación del plantea$ 0.95
$ 1.10
$ 1.00
miento o ecuación del problema:
+
x libras
0.95x + 1.1(30 - x) = 1(30)
0.95x + 33 – 1.1x = 30
33 – 30 = 1.1x – 0.95x = 0.15x
3 = 0.15x
=
(30 - x)
30 libras
x = 20 libras
180
R. 20 libras de los dulces de $0.95 cada libra.
Los dulces de $1.10 cada libra serán: 30 – x = 30 – 20 = 10 libras
Comprobación:
0.95x + 1.10(30 - x) = 1(30)
0.95(20) + 1.10(30 - 20) = 1(30)
19 + 11 = 30
30 = 30
2) Un recipiente está parcialmente lleno con 12 litros de leche que contiene 4% de crema. ¿Cuánto
de leche que contiene el 1% de crema (grasa) debe agregarse para obtener una mezcla que contenga
el 2% de grasa?.
Observe que el dibujo con el resumen
de los datos, facilita plantear la
ecuación que resuelve el problema.
4%
1%
+
12 lts.
2%
=
x lts.
(12 + x)
12(0.04) + x(0.01) = (12 + x)(0.02)
12 + 24 =36 lts.
0.48 + 0.01x = 0.24 + 0.02x
0.48 – 0.24 = 0.02x – 0.01x
0.24 = 0.01x
x = 0.24/.0.1 = 24 litros.
R. agregar 24 litros
Comprobación:
12 lts al 4% = 0.48 lts crema
24 lts al 1% = 0.24 lts crema
36 lts al 2% = 0.72 lts crema
0.72 = 0.72
3) ¿Cuánta agua debe agregarse a 20 onzas de una solución al 15% de alcohol, para diluirla, y
obtener una solución al 10%?.
15%
0%
+
20 onzas
agua
x
10%
20(0.15) + x(0) = (20 + x) (0.10)
3 + 0 = 2 + 0.1x
3 -2 = 0.1x
x = 1/0.1 = 10 onzas de agua
R. 10 onzas
=
(20 + x)
Tome en cuenta que el agua contiene el 0% de alcohol.
181
Actividad 1
1) Calcular cuántos litros de alcohol puro deben añadirse a 15 lts. de una solución que contiene 20%
1
de alcohol, para que la mezcla resultante esté al 30% de concentración.
R. 2 lts.
7
2) Un fabricante produce “refresco” de naranja que anuncia como de “sabor natural”, aunque sólo
contiene un 5% de jugo y el resto de agua azucarada. Una nueva reglamentación gubernamental,
estipula que para publicitar una bebida con “sabor natural”, deberá contener por lo menos el 10% de
jugo de la fruta. ¿Cuánto jugo de naranja debe agregar el fabricante a 900 galones de “refresco” para
cumplir con la nueva reglamentación?.
R. 50 galones.
3) El radiador de un auto contiene 10 lts. de una mezcla de agua y refrigerante al 20% de
concentración. ¿Qué cantidad de esta mezcla debe vaciarse y reemplazarse por refrigerante puro,
para obtener una mezcla del 50% en el radiador?.
R. 3.75 litros.
4) El radiador de un auto contiene 8 litros de una mezcla de agua con refrigerante al 25% de
concentración. ¿Qué cantidad de esta mezcla debe drenarse para reemplazarse por refrigerante de
solución al 75% de concentración, para obtener una mezcla del 35% en el radiador?. R. 1.6 litros.
5) Una bañera se llena en media hora con la llave de agua caliente y en 15 minutos con la llave de
agua fría. ¿Cuánto tardará en llenarse con ambas llaves abiertas?.
R. 10 minutos.
6) Una piscina se puede llenar con cualquiera de 3 surtidores. El 1ero. tarda 30 horas; el 2do. tarda
40 horas y el 3ero. tarda 120 horas- ¿Cuánto tardará en llenarse con los 3 surtidores trabajando
juntos?.
R. 15 horas.
7) Dos llaves pueden llenar una piscina para niños, en 6 y 12 horas respectivamente, y una bomba C
la puede vaciar en 9 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina, si están abiertas las llaves A y B
al mismo tiempo y también la bomba C funcionando?.
R. 7 horas, 12 minutos.
Según una reciente publicación de prensa, muchos profesionales
guatemaltecos entrevistados, han desarrollado sus actividades con éxito, y
han requerido entre otros, los siguientes elementos fundamentales:
Dedicación, esfuerzo continuo, deseos de triunfar, creatividad; gusto, agrado,
pasión por lo que se hace, confianza en sí mismo, disposición de aprender,
voluntad férrea, orden y disciplina”.
182
Guía de estudio No. 7.5
“Ser excelente es comprender que con una férrea disciplina es
factible forjar un carácter de triunfador”
Tema:
PROBLEMAS DE INVERSIÓN
El interés es la ganancia que se obtiene por invertir una cantidad de dinero, llamada Capital, luego
de un período. Por otra parte, también representa el pago que debe hacerse a una institución
financiera por el préstamo de una cantidad de dinero, al devolverlo al final del plazo convenido. El
interés representa una cantidad de dinero a cobrar o pagar, por eso su unidad de medida viene dada
por la moneda pactada en la transacción. Se calcula por la fórmula:
I=i∙C∙t
Donde I es el interés ganado o pagado sobre una suma de dinero o capital C, invertida o prestada a
una tasa de interés simple i, por un tiempo de t períodos de pago (usualmente años). La tasa de
interés por su parte, representa la fracción de dinero a cobrar o pagar sobre el monto inicial de
dinero; con fines comerciales se expresa usualmente en porcentaje anual.
Ejemplos ilustrativos:
1) Una mujer de empresa planea invertir un total de Q.24,000.00. Parte de ese dinero lo pondrá en
un certificado de ahorros que paga 9% de interés simple anual, y el resto en un fondo de inversiones
que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto debe invertir en cada uno, para obtener una ganancia
de 10% sobre su inversión total después de un año?
Solución:
Certificado
Fondo
Inversión total
Tiempo (t) años
1
1
1
Planteamiento de la ecuación
Despejando x:
Respuesta:
Tasa de interés (i)
0.09
0.12
0.10
Capital (C)
X
24,000-x
24,000(0.10)= 2400
0.09x + 0.12(24,000-x) = 2400
x = 16,000
Debe invertir Q.16,000.00 en el certificado de ahorros
Q. 8,000.00 en el fondo de inversiones.
2) María hereda Q.100,000.00 y los invierte en dos certificados de plazo fijo. Un certificado paga
6% y el otro 4.5% anual de interés simple. Si el interés total ganado es de Q.5,025.00 al año,
¿Cuánto dinero está invertido en cada certificado?
Solución: En este caso se trata de determinar cuánto dinero está invertido a cada tasa, por lo que se
define la variable para:
183
El resto está invertido al 4.5%:
x = cantidad invertida al 6%
100,000 – x
El hecho que el interés anual total es de Q.5,025.00, permite establecer:
0.06x + 0.045(100,000 – x) = 5025
x = 35,000
Respuesta:
María ha invertido Q.35,000.00 al 6% y Q.65,000.00 al 4.5%
Ejercicios de aplicación:
1) Patricio invirtió Q.12,000.00; una parte de esta cantidad a una tasa de interés simple de 4.5% por
año y el resto al 4%. Después de 1 año, el interés total ganado fue de Q.525.00 ¿Cuánto dinero
invirtió en cada una de las tasas?
R. Q.9,000.00 al 4.5% y
Q.3,000.00 al 4.0%.
2) Juan tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de Q3,965.00. Una de ellas fue de
Q.8,500.00 a una tasa de interés anual simple del 9%. La segunda inversión de Q.11,000.00 está a
una tasa de interés anual del 10%. ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe sobre la tercera
inversión de Q.15,000.00?
R. 14%.
3) Una pareja tiene Q.48,000.00 en ahorros. Si invierte Q.18,000.00 al 15% y Q.16,000.00 al 10%,
¿A qué tasa de interés debe invertir el resto para tener un ingreso de Q.5,000.00 proveniente de su
capital? R. 5%.
4) Blanca invirtió una parte de Q.12,000.00 en un certificado de ahorros al 9% de interés simple. El
resto lo invirtió en un título que producía 14%. Si recibió un total de Q.1,400.00 de interés por el
primer año. ¿Cuánto dinero invirtió en el título? R. Q.6,400.00.
5) Los Mendoza tienen Q.30,000.00 invertidos al 12% y otra suma invertida al 8.5%. Si el ingreso
anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentaje del 10% sobre ese total,
¿cuánto han invertido al 8.5%?
R Q.40,000.00.
“Todos los seres humanos hemos recibido la misma opción para realizarnos, la gran diferencia la
marcan aquellos que han decidido dedicarse a fondo para lograr lo que desean”.
184
Guía de estudio No. 7.6
“Recuerda hay mucho espacio en la cima, pero no suficiente para sentarse”
Tema: OTRAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Para facilitar el estudio sobre los problemas, existen diversas clasificaciones utilizando aplicaciones
variadas. Lo importante es considerar la diferencia entre un problema y otro, para que se relacione,
se propongan y se aborden desde diferentes puntos de vista, las situaciones o problemas
matemáticos, y así das una apertura a la reflexión.
a) Problemas donde se hace un trabajo:
Las características de estos problemas es que en ellos alguien debe realizar un trabajo. Este trabajo
puede ser por ejemplo, llenar una piscina con agua con dos o tres mangueras, cavar un túnel por un
grupo de hombres, etc. Las ideas básicas que se requieren para resolver un problema de estos, son
las siguientes:
Supongamos que un hombre puede realizar cierto trabajo en 6 días, esto quiere decir que el hombre
puede hacer 1/6 del trabajo cada día.
Si conocemos el rendimiento, podemos calcular la fracción del trabajo que puede realizar en
cualquier número de días, multiplicando por este rendimiento.
Ejemplo ilustrativo: Un trabajo de excavación puede hacerse por una excavadora mecánica en 12
días o por un equipo de obreros en 28 días. Después de ser usada cierto tiempo se estropeó la
excavadora, teniendo que ser sustituida por los obreros, que trabajaron dos días menos que el tiempo
que estuvo funcionando la excavadora. Hallar el tiempo que trabajó la excavadora:
Solución:
Se calculan los rendimientos por día, de la excavadora y de los obreros:
Excavadora: 1/12 de trabajo por día
Obreros: 1/28 de trabajo por día
Sea
t = el tiempo que trabajó la excavadora
t - 2 = tiempo que trabajaron los obreros
t(1/12) = fracción de trabajo realizado por la excavadora
(t - 2)(1/28) = fracción del trabajo realizada por el equipo de obreros.
Trabajo realizado por la excavadora + trabajo realizado por los obreros = trabajo total = 1
t(1/12) + (t - 2)(1/28) = 1;
t = 9;
Respuesta: La excavadora trabajó 9 días.
185
b) Problemas de edades:
Estos problemas son muy parecidos a los de números, de hecho, la edad de una persona en años
puede ser asociada a un número entero positivo. Las características más importantes de los
problemas de edades es que en ellos se enuncian oraciones en las cuales se hace referencia a la edad
que tuvieron las personas hace unos años, o bien a la edad que tendrán dentro de algunos años.
Ejemplo ilustrativo: Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, pero dentro de 15 años tendrá tan
sólo el doble de la edad de su hijo. ¿Cuántos años tiene ahora el hijo?.
Solución: x = edad actual del hijo
Edad actual del padre = 3x
Edad del hijo dentro de 15 años = x + 15
Edad del padre dentro de 15 años = 3x + 15
Edad del padre dentro de 15 años = doble de la edad del hijo dentro de 15 años
3x + 15 = 2(x + 15);
x = 15
Respuesta: La edad actual del hijo es 15 años.
c) Problemas de razones y proporciones:
Las proporciones constituyen una herramienta de las matemáticas, que se utilizan para resolver
diversidad de problemas.
Ejemplo ilustrativo: Una pista de patinaje ofrece a los estudiantes de una secundaria, la siguiente
promoción: 3 jóvenes pueden patinar comprando sólo 2 boletos. ¿Cuántos boletos deben adquirirse
para 24 estudiantes?.
Solución: Inicialmente como el número de boletos a comprar no se conoce, se le asigna un valor no
definido representando por una letra o símbolo. En este caso se le asigna la literal “x”. Para resolver
el problema se plantea una igualdad que representa la condición que se debe cumplir. Se sabe que
para que entren 24 estudiantes debe cumplirse con la promoción de la pista de patinaje, representada
por la razón de comprar 2 boletos/3 estudiantes (2 boletos por cada 3 estudiantes).
x boletos/ 24 estudiantes = 2 boletos/3 estudiantes;
x/24 = 2/3;
x= 16 boletos
Respuesta: Para que ingresen 24 estudiantes, es necesario comprar 16 boletos.
d) Problemas de porcentajes
Una razón es la comparación de dos cantidades, o medidas, cuando esta comparación se hace entre
dos magnitudes que tienen la misma dimensional de medida, entonces se puede expresar como
porcentaje.
Ejemplo ilustrativo: A un mercader le quedan dos naranjas de cincuenta que tenía a la venta, ¿Qué
porción de la venta le queda por vender?.
186
Solución: La situación se expresa mediante la siguiente razón: 2 naranjas/50 naranjas
El cociente de esta fracción se expresa en forma decimal: 2/50 = 0.04
La razón expresada en forma decimal se denomina razón relativa o razón decimal, pero en términos
comerciales y populares se utiliza el porcentaje (%):
0.04 ∙ 100/100 = 4/100 ó simplemente el 4%
R. le resta por vender el 4%
e) Problemas sobre rendimiento:
El rendimiento es una razón de la cantidad de trabajo realizado en cada unidad de tiempo; su
aplicación es común entre administradores, supervisores y los que requieren una evaluación del
desempeño de sus empleados, máquinas, procesos, etc.
Rendimiento = cantidad de trabajo realizado/ tiempo empleado = w/t = R
w = trabajo realizado o por realizar
Ejemplo ilustrativo: Un albañil logra excavar en una construcción 7.5 metro cúbicos en 2.5 horas,
¿cuál es su rendimiento de trabajo?.
Solución:
R= w/t
R = 7.5 m3/ 2.5 h =
R = 3 m3/h
Actividad 1
1) Una manguera puede llenar un tanque en 12 minutos, mientras que el mismo tanque puede
ser vaciado por otra manguera en un tiempo de 18 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en
llenarse el tanque si las dos mangueras se abren al mismo tiempo?
R. 36 minutos.
2) Esteban y Sofía tardan 40 minutos en limpiar su apartamento. Haciendo la limpieza sólo
Esteban, requiere el doble del tiempo en que lo hace Sofía. ¿Cuánto tiempo le toma a
Esteban limpiar el apartamento?.
R. 2 horas.
3) Un padre tiene 20 años más que su hijo, dentro de 5 años la edad del padre será el doble que
la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre?.
R. 30 años.
4) Si al doble de mi edad le agrego 24 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?. R. 38 años.
5) Durante las pasadas vacaciones tres amigas, Rosa, Paola y Blanca, hicieron collares para
vender. Rosa hizo 13, Paola 10 y Blanca 12. Al venderlos obtuvieron una ganancia de
Q.280.00, la que quieren repartir de manera proporcional al trabajo que cada una realizó.
¿Cuánto le toca a cada una?.
R. Q.104.00 a Rosa, Q.80.00 a Paola y Q.96.00 a Blanca.
6) Miguel debió viajar entre dos ciudades, una parte del viaje la realizó en vehículo doble
tracción y la otra la hizo en vehículo sedán. El primero tenía rendimiento de 20km/gl y el
segundo de 50km/gl. La distancia total recorrida fue de 700km y se necesitaron 23 galones
de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorrió con el vehículo doble tracción?, ¿Cuántos
kilómetros con el vehículo sedán?. R. En vehículo doble tracción recorrió 300 Km y en
sedán 400 Km.
187
UNIDAD No. 8
“El mundo está en manos de aquellos que tienen el coraje de soñar y
de correr el riesgo de vivir sus sueños”
Paulo Coelho
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
Objetivos de la unidad:
1) Desarrollar en el estudiante habilidades de pensamiento lógico-matemático, espacial y abstracto, para
comprender diferencias de áreas, perímetros y volúmenes, en figuras geométricas.
2) Capacitar al estudiante para resolver problemas de áreas y volúmenes en los cuales se vinculen el álgebra y la
geometría en similitudes de dimensiones, relaciones de tamaños, distancias, formas y posiciones de figuras
geométricas.
3) Desarrollar en el estudiante destrezas, estrategias y competencias a fin de prepararlos para ingresar a la
Facultad de Ingeniería de la USAC.
Guía de estudio No. 8.1
Tema:
ELEMENTOS FUNDAMENTALES: PUNTO, RECTA Y PLANO.
Algunos conceptos
El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y al plano. Son
considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros
elementos similares. Estos se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que
determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición
determinada en el espacio, en función de un sistema de coordenadas rectangulares.
El punto tiene únicamente posición en el espacio, pero no tiene extensión, ni espesor, por lo que no
es posible medirlo.
La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene
infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos
puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados
conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las
características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones, basándose en los
postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se
suelen denominar con una letra minúscula.
El plano, se genera a partir de una curva moviéndose constantemente en el espacio, sin límites que
permitan establecer un inicio y un final. Si en un plano se toman dos puntos cualesquiera del mismo
y a través de ellos se hace pasar una línea recta, todos los puntos de la misma están contenidos en el
plano.
Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros elementos geométricos similares.
188
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
•
Tres puntos no alineados.
•
Una recta y un punto exterior a ella.
•
Dos rectas paralelas.
•
Dos rectas que se cortan.
Aunque las superficies no tienen límites, suele representarse de la forma siguiente:
Figuras planas
Si una porción de un plano está limitado por segmentos de recta o por una o varias curvas, se le
denomina figura plana. Se caracteriza por tener extensión longitudinal. La medida de una figura
plana se llama área o superficie.
Círculo
Triángulo rectángulo
Cuadrado
Pentágono
Elipse
Hexágono
Rombo
Triángulo equilátero
Rectángulo
Semicírculo
Figuras sólidas
Se generan a partir de una figura plana moviéndose continuamente, pudiendo o no cambiar de
tamaño en forma continua. Una figura sólida se extiende en tres direcciones, conocidas
generalmente como largo, ancho y fondo (o espesor). La medida de un sólido es llamada volumen o
capacidad.
Cono
Cubo
Cilindro
Paralelepípedo
Esfera
189
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A
que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y
B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento
(recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a éste.
Ejercicios:
a) Describa cuál es la diferencia entre figura plana y figura sólida
b) ¿Cuál es la diferencia entre recta y punto?
c) ¿A qué se refiere la línea curva?
Respuestas:
a) Figura plana: es la que está limitada por segmentos de recta o por una o varias curvas; figura
sólida: figura plana moviéndose continuamente y se extiende en tres dimensiones perpendiculares
ente sí (largo, ancho y fondo o espesor). La medida de un sólido e llamada capacidad o volumen.
b) Punto es un elemento geométrico adimensional y tiene una posición en el espacio, pero sin
extensión. La recta es una sucesión continua e indefinida de puntos, de una sola dimensión. La recta
es la distancia más corta ente dos puntos.
c) La línea curva es una sucesión continua e indefinida de puntos en cualquier dirección que no sea
recta.
“Si le prestas atención a tu presente, tu futuro será mejor” Libro El
Alquimista de Pablo Coelho.
190
Guía de estudio No. 8.2
“Para el logro del triunfo, siempre ha sido indispensable pasar por la
senda de los sacrificios”
S. Bolívar
Tema:
ÁNGULOS: CONCEPTO, SISTEMAS DE MEDICIÓN,
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
Concepto: Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen
común.
Un ángulo está formado por:
• Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
• Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
• Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.
¿Cómo se miden los ángulos?
a) Los ángulos se miden en grados sexagesimales
1º = 60´;
1´= 60´´ ;
1º = 3,600´´
Para medirlos se utiliza el transportador de ángulos.
b) La otra unidad de medida de los ángulos es en radianes y la equivalencia con grados, es
que
2π radianes <> a 360°.
Operaciones con ángulos:
Los ángulos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir:
Suma de ángulos: para sumar ángulos se colocan sus medidas en tres columnas, los grados debajo
de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
En el resultado, los minutos y los segundos tienen que ser inferiores a 60; si el resultado es mayor
que 60, se convierten en unidades del orden inmediato superior.
Por ejemplo:
67´ se convierten en 7´ y se suma 1 a los grados, y el sobrante se uniría con los minutos repetitivos
85´´ se converten en 25´´ y se suma 1 y el sobrante se uniría a los minutos respectivos.
Resta de ángulos: para restar ángulos, las medidas se colocan igual que en la suma. Si en el
sustraendo el valor absoluto de los minutos y los segundos son mayores que en el minuendo,
tendremos que quitar una unidad al orden superior del minuendo y se le añade al inferior, ya
convertido como se indicó anteriormente
Producto de un ángulo por un número entero: se multiplican independientemente los grados,
minutos y segundos por ese número, empezando por la derecha, haciendo las conversiones ya
explicadas.
División de un ángulo por un número entero: se dividen primero los grados entre ese número, el
residuo se convierte en minutos que se suman a los minutos del dividendo; se divide por el número
entero el residuo se convierte en segundos que se suman a los segundos del dividendo.
A la semirrecta fija se le denomina lado inicial y a la que gira, lado terminal; el punto común O se
llama vértice del ángulo.
191
lado terminal
ángulo
Vértice o
lado inicial
Unidad de medida de los ángulos:
Si el lado terminal realiza un giro completo (en sentido opuesto como lo hacen las manecillas del
reloj) hasta volver a coincidir con el lado inicial, se conviene en que dicho ángulo ("ángulo giro")
mide 360°; y un ángulo de 1° es 1/360 parte de un ángulo giro completo, los grados se subdividen en
minutos y los minutos en segundos, de tal modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto
sesenta segundos. Los símbolos utilizados para representar los grados, los minutos y los segundos
son, respectivamente: °, ', ''. Por ejemplo, un ángulo cuya medida es 34 grados 11 minutos y 56
segundos se denota por 34° 11' 56''.
El instrumento que sirve para medir los ángulos se llama transportador.
Clases de ángulos:
Los ángulos que se clasifican de acuerdo con su medida, se conocen como:
1. Ángulo nulo o cero: se denomina ángulo cero al que mide 0°. El lado inicial y el terminal
coinciden. El lado terminal no ha realizado ningún giro.
2. Ángulo agudo: es aquel cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°.
192
3. Ángulo recto: un ángulo es recto, si y sólo si su medida es de 90°, ambas rectas, inicial y
terminal, son perpendiculares entre sí.
4. Ángulo obtuso: se llama ángulo obtuso aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°.
5. Ángulo llano: si un ángulo tiene una medida de 180°, se le denomina ángulo llano.
6. Ángulo giro: un ángulo giro es aquel cuya medida es de 360°. Se origina cuando el lado terminal
da un giro completo y vuelve a coincidir con el lado inicial
7. Ángulos complementarios: dos o más ángulos, para los que la suma de sus medidas es 90° se
llaman complementarios.
193
Nota: los ángulos agudos de todo triángulo rectángulo, son complementarios.
8. Ángulos suplementarios: si la suma de las medidas de doso más ángulos es 180°, dichos ángulos
se denominan suplementarios.
AOC + COB = 180°
Propiedades:
1.- Dos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 180°, son suplementarios.
2.- La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una
recta, es igual a 180°.
3.- La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo punto, hasta hacer
coincidir el lado terminal con el lado inicial, es igual a 360°.
4.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
5.- Las bisectrices de dos ángulos adyacentes OB y OD, forman un ángulo recto como lo indica el
dibujo.
6.- Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice OB y OF forman un ángulo llano.
194
Sistemas de medida angulares
a) Sistema sexagesimal: en este sistema, la unidad de medida es el grado sexagesimal, que se
abrevia: 1°; éste a su vez, se divide en 60 partes iguales y cada parte corresponde a un
minuto sexagesimal, que se abrevia 1´; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y cada
parte corresponde a un segundo sexagesimal, que se abrevia 1”.
b) Sistema en radianes: en este sistema, la unidad de medida es el radián y la equivalencia
entre ambos sistemas es 2π = 360°
c) Longitud de arco: Si ө es un ángulo central de una circunferencia de radio = r, entonces la
2π ⋅ r ⋅ θ
longitud del arco subtendido (s) , puede ser expresado así: S =
360°
d) Notación decimal: Un ángulo proporcionado en grados, minutos y segundos, puede
expresarse en forma decimal, en grados (enteros) y parte decimal, Separando la parte entera
(grados) del resto, convirtiendo los segundos a minutos, sumando el resultado a los minutos
y dividiendo este resultado dentro de 60, se obtienen los decimales de grado.
Ejemplo: Expresar en grados con decimales: 23° 14´ 04.2”
Solución:
´
04.2"
= 0.07´
60
23° + 0.2345° = 23.2345°
14´ + 0.07´;
14.07 ′
= 0.2345°
60
R. 23.2345°
Un ángulo proporcionado en grados con decimales de grado, puede expresarse en grados,
minutos y segundos, multiplicando la parte decimal por 60, para obtener minutos y la parte
decimal sobrante de los minutos, al multiplicarla por sesenta, da como resultado los
segundos.
Ejemplo: Expresar un ángulo de 23.2345° en grados, minutos y segundos:
Solución:
0.2345 x 60 = 14.07´;
0.07´ x 60 = 4.2˝
Entonces 23.2345° = 23°14´04.2”
Explicación: se parte de la base que una circunferencia completa tiene 2π radianes, y que una
circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:
195
Luego tenemos que:
Ejemplos ilustrativos: convertir 135º a radianes:
Ejemplo1.
Solución:
Se multiplica 135º por el factor
, y la fracción resultante se simplifica, entonces:
2do procedimiento; aplicar regla de tres simple.
Grados
radianes
180° ______
π
135°_______
=
=
Ejemplo 2: convertir
a grados:
Solución:
Se multiplica
por el factor
, es decir:
Ejemplo 3: convertir 210º a radianes:
Solución:
Se multiplica 210º por el factor
, y la fracción resultante se simplifica, entonces:
196
Ejercicios de aplicación:
Transformar el ángulo proporcionado, de grados a rad:
1) 15º
6) 90º
2) 35º
7) 60º
3) 80º
8) 45º
4) 150º
9) 30º
5) 200º
10) 405°
Respuestas:
Transformar el ángulo proporcionado de rad a grados:
1)
π
5
rad
2)
π
10
rad
3) 3π rad
4)
17π
rad
4
Respuestas. 1. 36°; 2. 18°; 3. 540° = 360°+ 180°; 4. 765°= 360°+360°+45°
“El miedo es natural en el prudente, y el saberlo vencer es ser valiente” A. Ercilla
197
Guía de estudio 8.3
“Reflexiona
Tema:
sobre tus bendiciones presentes, de las cuales posees muchas; no sobre
tus penas pasadas de las cuales, todos tienen algunas” C. Dickens
TRIÁNGULOS: DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN,
LÍNEAS NOTABLES, PERÍMETRO Y ÁREA.
Algunos conceptos:
Triángulo: figura cerrada de 3 lados y 3 ángulos:
Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
•
•
•
Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos
miden 60 grados ó π/3 radianes cada uno).
Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud y otro desigual. Los ángulos
que se oponen a estos lados iguales tienen la misma medida.
Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno
no hay ángulos con la misma medida.
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
•
•
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman
el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros
dos son agudos (menores de 90°) y son complementarios (ambos suman 90º).
198
•
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es
un caso particular de triángulo acutángulo.
NOTA: en todas los casos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, por lo
que los ángulos son suplementarios.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Además, los triángulos tienen otras denominaciones y características:
Los triángulos acutángulos pueden ser:
•
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro
distinto.
•
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos diferentes.
Los triángulos rectángulos pueden ser:
•
Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada
uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos,
y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto
hasta la hipotenusa.
•
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son
diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser:
•
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los
que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos, los ángulos agudos son
iguales entre sí.
•
Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados y ángulos son
diferentes.
ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
199
Bisectriz es la semirrecta que divide a un Mediatriz de un segmento es la recta
ángulo en dos partes iguales.
perpendicular a un lado en su punto medio.
Incentro es el punto de intersección de las Circuncentro es el punto de intersección de
tres bisectrices de un triángulo. Es el centro las tres mediatrices de un triángulo. Es el
de la circunferencia inscrita.
centro de la circunferencia circunscrita.
Altura es el segmento perpendicular
Mediana es el segmento comprendido entre
comprendido entre un vértice y el lado
un vértice y el punto medio del lado opuesto.
opuesto.
Baricentro es el punto de intersección de las
Ortocentro es el punto de intersección de las
tres medianas de un triángulo.
tres alturas de un triángulo.
Altura: Es la recta que saliendo por un vértice es perpendicular al lado opuesto. Las alturas se
cortan en el ortocentro
PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS TRIÁNGULOS.
Para cualquier figura plana, el perímetro se define como la longitud del contorno que limita la
figura. En el caso particular de un triángulo, es la suma de la longitud de sus tres lados.
200
Para encontrar el área se utilizan las siguientes tres fórmulas:
a)
A
b
c
donde a y b son la base y la altura.
B
C
a
Si el triángulo es rectángulo, a y b son los catetos y c, la hipotenusa.
b) Si lo que conocemos es la longitud de cada uno de sus 3 lados, aplicamos la fórmula de
Herón
Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados y
semiperímetro del triángulo.
s = ½ (a + b + c) es el
c) Si el triángulo es equilátero de lado a, su área está dada por
d) Si el triángulo es equilátero y está inscrito en una circunferencia de radio “r”, su área estará dada
3
por: 𝐴 = 4 𝑟 2 √3
Actividad 1
1. Dibuje dos triángulos cualesquiera, luego dibuje los tres alturas de cada uno de ellos
y localice su ortocentro.
2. Dibuje un triángulo equilátero; luego localice aproximadamente su ortocentro.
3. Un triángulo rectángulo tiene perímetro de 24 pies, área de 24 pies 2 e hipotenusa de
10 pies, determine su base y su altura.
R. a) base 8’, altura 6’; b) base 6’, altura 8’.
4. Dos ángulos de un triángulo escaleno miden 18 °23´14” y 100° y los tres lados
miden 4,6 y 8 cms, calcular el área y el otro ángulo.
R. área:
= 11.619 cm2; ángulo: 61°36´46”
“Los hombres se equivocan más a menudo por ser demasiado listos, que por ser demasiado
buenos”
201
Guía de estudio No. 8.4
“Para plantear y resolver problemas:
Se analítico, metódico y estructurado”.
Tema:
TEOREMA DE PITÁGORAS Y SUS APLICACIONES.
Pitágoras, fue un famoso matemático griego que vivió alrededor del año 540 antes de Cristo;
aunque el resultado del teorema de los triángulos rectángulos ya se conocía, se le dio el nombre de
“Teorema de Pitágoras” en su honor.
Un triángulo rectángulo es aquel triángulo que tiene un ángulo recto “ un
ángulo de 90º” el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos
lados se llaman catetos
cateto
a
c = hipotenusa
90º
cateto
b
cateto b
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa,
es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Haciendo referencia a la figura
202
a, b representan la medida de la longitud de los catetos y c la medida de la longitud de la
hipotenusa, El teorema lo podemos escribir así:
Actividad 1
Comprobación gráfica del teorema de Pitágoras
Dibuje un triángulo rectángulo a escala con catetos de longitudes 3 y 4, e hipotenusa de 5 unidades.
Dibujar un cuadrado en cada cateto y la hipotenusa, con medidas a, b y c respectivamente,
dibujando los cuadritos que se obtienen en cada caso.
Sumar el número de cuadros de los 2 catetos y compararlos con los de la hipotenusa.
Recuerde que el extraer raíz cuadrada en ambos lados de una igualdad, no necesariamente produce
una ecuación equivalente, pero en el teorema de Pitágoras, sí es matemáticamente válido hacerlo.
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
25 = 25
Actividad 2
Se tiene un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen implícita la variable
;
cateto
Resuelva el triángulo rectángulo, aplicando el Teorema de Pitágoras.
A
500 m
x
B
C
(700-x)
El estacionamiento de un parque de diversiones se encuentra en el punto A, de este punto a B hay un
corredor de “ ” metros de B a C hay otro corredor que forma 90º con el primero, en el punto C
venden los helados, si los niños corren 500 m de A a C sin pasar por B, si los 2 corredores suman
700 m, ¿Cuál es la medida de cada corredor?
Solución
se multiplicó por 1/2
se factorizó
propiedad de producto = 0
Respuestas:
Si 𝑥 = 400𝑚, 700 − 𝑥 = 300𝑚
Si 𝑥 = 300𝑚, 700 − 𝑥 = 400𝑚
Actividad 3
resolver los siguientes ejercicios de aplicación:
203
1. Una escalera de 20 pies se coloca contra el costado de una casa, de modo que la base está
separada 16 pies de la casa. Si se resbala hasta que la base esté a 18 pies de la casa, ¿cuánto resbala
hacia abajo la parte alta de la escalera? R. 3.28 pies.
1era posición: triángulo 1, 2, 3. El cateto vertical =
2da. Posición: triángulo 4, 2, 5. Cateto vertical =
La parte alta de la escalera resbala: 12 - 8.72 = 3.28 pies.
= 12 pies
=
= 8.74 pies.
2) Un jardín de rosas, tiene forma de un triángulo rectángulo isósceles, con una hipotenusa de 50
pies. ¿Cuántos pies de alambre se requiere para bordear 2 veces el jardín?. R. 241.44 pies
Actividad 4
Buscar en cualquier fuente y resolver 6 problemas donde se aplique el Teorema de Pitágoras.
“Nada hay que nos pueda impedir elevarnos y mejorar y nadie puede detener
nuestro progreso, más que nosotros mismos” Hamblin
Guía de estudio No. 8.5
“Para lograr grandes metas, el esfuerzo y la constancia deben ser grandes.
Creo que puedo lograr mis metas y me esfuerzo por ellas”. Anonimo
Tema:
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y SUS APLICACIONES.
Definición de triángulos semejantes:
Llamamos así a los triángulos que tienen la misma forma básica pero tamaño diferente.
Sus ángulos correspondientes son congruentes " son iguales, o sea que tienen la misma medida" y
sus lados correspondientes guardan una proporción.
D
E
α
204
A
B
C
Los triángulos ACD y BCE son semejantes.
Los dos poseen el ángulo C; el ángulo E es igual al el ángulo D; los ángulos A y B son iguales,
ambos son rectos.
La razón de sus lados correspondientes es constante.
Actividad 1
Comprobación de triángulos semejantes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Dibuje un triángulo rectángulo a escala, con catetos de longitudes 6 y 8 unidades.
Dibuje un triángulo rectángulo a escala, con catetos de longitudes 3 y 4 unidades.
Mida los ángulos correspondientes.
Calcule la medida de la hipotenusa.
Establezca la razón de los lados correspondientes, exprese sus conclusiones.
Sobreponga los dos triángulos, establezca sus conclusiones.
Actividad 2
Resuelva el siguiente ejercicio de aplicación:
Un faro se encuentra sobre una montaña, ilumina una torre de transmisión eléctrica generando una
sombra de 160 metros; si el ángulo de elevación es 20°, calcule la altura de la torre y la altura de la
montaña con respecto al nivel del mar, si la torre está a 1200 pies sobre el nivel del mar.
“El éxito es una actitud de sí puedo”
Guía de estudio No. 8.6
“ Aférrate a la instrucción y no la descuides; ponla en práctica, pues es vida para ti”.
Proverbios 4-13
Tema:
CUADRILÁTEROS: CLASIFICACIÓN, CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA
Algunos conceptos
Cuadrilátero, Es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener diferentes
formas, pero todos ellos tienen 4 vértices, 4 ángulos internos y 2 diagonales; otros nombres para
referirse a ellos son tetrágono y cuadrángulo.
Los elementos de un cuadrilátero son:
205
•
•
•
•
4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman el cuadrilátero;
4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;
2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;
4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;
En todos los cuadriláteros, la suma de los ángulos interiores es igual a 360º (90º x 4 en rectángulos y
cuadrados).
Clasificación de los cuadriláteros
Rectángulos
Cuadrados
Rectángulos
No
rectángulos
Rombos
Romboides
Paralelogramos
Cuadriláteros
No
paralelogramos
Trapecios
Trapecios
Trapezoides
Deltoides
Paralelogramo
rectángulo
trapecio
trapezoide
deltoide
Área y perímetro de cuadriláteros
206
Ejercicios de aplicación:
1) Calcule el área y el perímetro del siguiente triángulo rectángulo:
c = 10 m
h = 6m
R. 24 m2 y 24 m
b = 8m
2) Calcule el área del triángulo anterior utilizando la fórmula de Herón y compare los resultados.
R. 24 m
3) En medio de un jardín cuadrado de 11m por lado, se colocará una fuente que tiene un radio de 2.5
m, ¿qué área queda de césped?
R. 101.35 m2
“Todo el mundo realiza ocasionalmente ciertas cosas que hace la gente
exitosa. Sin embargo , la gente exitosa hace ciertas cosas todo el tiempo”
Guía de estudio No. 8.7
“El enfoque antecede al éxito”
207
Tema:
CUERPOS GEOMÉTRICOS: ÁREA SUPERFICIAL Y VOLUMEN
Se denominan cuerpos geométricos aquellos elementos que, ya sean reales o ideales (existen en la
realidad o pueden concebirse mentalmente), ocupan un volumen en el espacio, desarrollándose por
lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo o equivalentes y están compuestos por figuras
geométricas.
Las líneas que corresponden a los lados comunes, de los diversos planos que componen los cuerpos
geométricos, se denominan aristas.
Los cuerpos geométricos se pueden denominar poliedros o cuerpos planos y cuerpos redondos.
Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras
geométricas planas; como por ejemplo el cubo.
Hay 4 clases de poliedros:
•
•
•
•
Cubo
Pirámide
Prisma
Paralelepípedo
Los cuerpos redondos, son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras
geométricas curvas, como por ejemplo, el cilindro, la esfera y el cono.
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: a) Cuerpos poliedros: son
aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y
poliedros irregulares. b) Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
Nombre
Esquema
Área
Atotal = 2πr ( h + r )
Cilindro
-
Incluye las 2 tapaderas
Volumen
V = π r2 · h
208
Atotal = 4π r2
Esfera
Atotal = π r2 + π r g
-
Incluye Base
Cono
g = r 2 + h2
g = generatriz
A = 6 a2
Cubo
V = a3
a
A = (perím.base × h) + 2 · área
V = área base × h
base
Prisma
Pirámide
𝑉=
á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ ℎ
3
Poliedros regulares
Figura
Esquema
Tetraedro
a
Nº de caras
Área
4 caras, triángulos
equiláteros
.a =lado o arista
209
Octaedro
8 caras, triángulos
equiláteros
Dodecaedro
12 caras, pentágonos
regulares
Icosaedro
20 caras, triángulos
equiláteros
A = 30 · a · ap.
Ejercicios:
1. Calcule el ángulo x, de un triángulo, teniendo en cuenta que los ángulos otros miden 43º y 105º.
Seleccione una respuesta:
a)60º
b)32º
c)42º
R. b
2.¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una respuesta:
a)Rectángulo
b)Acutángulo
c)Obtusángulo
R. b
3.¿Qué es un paralelogramo? Seleccione una respuesta:
a)Polígono de cuatro lados iguales dos a dos
b)Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos
c)Polígono que tiene dos pares de lados consecutivos
R. b
4. ¿Qué es el diámetro? Seleccione una respuesta:
a)Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro
b)Segmento que une dos puntos de la circunferencia
c)Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia
R. a
5. Calcule el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es
22,6 cm. Seleccione una respuesta:
a)141,998 cm
b)140,753 cm
c)137,053 cm
R. a
6.Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Halla la longitud de la
hipotenusa. Seleccione una respuesta:
a)7
b)6
c)5
R. c
210
7. Calcule el perímetro de la circunferencia de un círculo de 8.74 cm de radio. Seleccione una
respuesta:
a) 60.3 cm
b)54.9 cm
c)44.8cm
R. b
8. Calcule el área del círculo del ejercicio anterior tomando como referencia la medida de su radio.
Seleccione una respuesta:
a) 300
b)205
c)240
R. c
9. Calcule el área de un rectángulo cuyos lados miden 3 y 7 cm. Seleccione una respuesta:
a) 32
b) 21
c)18
R. b
10. Calcule el área de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. Seleccione una respuesta:
a) 3
b) 6
c) 4
R. c
Respuestas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
b) 32º
b) Acutángulo
a) Polígono de cuatro lados iguales dos a dos
a) Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro
a) 141,998 cm
c) 5
b) 54,9
c) 240 cm cuadrados
b) 21
c) 4
“Tu actitud es la llave para abrir o cerrar el candado de la puerta del éxito”
211
Guía de estudio No. 8.8
“Si una persona es perseverante, aunque sea dura de entendimiento, se hará inteligente; y aunque
sea débil se transformará en fuerte” Leonardo Da Vinci
Tema:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN QUE VINCULEN
EL ÁLGEBRA Y LA GEOMETRÍA
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS:
I) El área de un triángulo equilátero en función de sus lados se calcula con la fórmula:
Demostración de la fórmula:
Calcular el área de un triángulo equilátero de 5 m de lado
II) Área de un triángulo equilatero inscrito en una circunferencia, en función del radio de la misma:
Ejemplo ilustrativo; calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia de 12 cms de radio
Se calcula aplicando la fórmula:
212
III) Una banqueta adoquinada de 3 pies de ancho, está alrededor de un jardín de forma cuadrada.
Calcular el ancho del jardín engramado, si el área de la banqueta es de 249 pies cuadrados.
Solución: En todos los casos, se recomienda elaborar un dibujo que contenga todos los datos del
problema, para facilitar la visualización del mismo y la aplicación de principios y fórmulas.
3’
3 pies
L
3’ 3 pies
3´ ___
x_____
= ancho o lado del jardín engramado.
L = longitud de la banqueta adoquinada de 3 pies de ancho.
Área de la banqueta = 3L = 249 pies2.
L = 4 + 12 pies.
249 = 3L = 3(4 + 12) = 12 + 36.
249 – 36 = 12
= 213/12 = 17.75 pies
R. el ancho del jardín = 17.75 pies.
IV) Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura. Nota: En todo triángulo rectángulo, la
altura correspondiente a la hipotenusa, es la media geométrica de los segmentos en los cuales dicha
altura (h), divide a la hipotenusa.
C
90°
h
A
B
Nota: media geométrica de dos números es la raíz cuadrada del producto de ambos números.
AB = hipotenusa; CD = altura h.
h2 = (BD)(DA)
h = 6.928’
A = base * altura/2 = 19 * 6.928/ 2 =
h = 3× 16
65.82 pies.
213
R. Área = 65.82 pies2
V) Un cuadrado y un triángulo equilátero forman un terreno conforma a la figura siguiente: calcular
el perímetro exterior, el área total, todos los lados y los 7 ángulos internos.
Única longitud conocida: AB = 15m
C
D
B
15 m
E
A
.
Solución: Al ser un cuadrado, los cuatro lados miden 15m. c/u. Al tener un triángulo equilátero en
un extremo colindando con el ancho total del cuadrado, cada lado del triángulo equilátero mide
también 15m c/u porque los 3 lados son iguales a la distancia BD ó lado del cuadrado, de 15m.
Los 4 ángulos del cuadrado son ángulos rectos, de 90º c/u.
Los 3 ángulos del triángulo miden 60º c/u, por ser equiángulo.
Para calcular el área del triángulo equilátero, un procedimiento es calcular la altura del triángulo,
aplicando el Teorema de Pitágoras.
h
15 m
7.5 m
152 = h2 + 7.52
h = 15 2 − 7.5 2
= 168.75 = 12.99m
A triángulo = base * altura/2 = 15 * 12.99/2 = 97.42 m2.
A cuadrado = l2 = 152 = 225m2
Área total = A triángulo + A cuadrado = 322.42 m2
Perímetro exterior = 15 * 5 = 75m.
VI) Calcular el perímetro exterior y el área de la figura compuesta por un triángulo rectángulo de
base= 4cms. y un semicírculo de radio = 4cms.
214
diámetro = 8cm (2 veces el radio); por lo que:
Área del triángulo = b*h/ 2 = 4*8/2 = 16cm2
A semicírculo =
=
= 25.12 cm2
A total = 16 + 25.12 = 41.12 cm2
Por teorema de Pitágoras calculo de hipotenusa AB = 8 2 + 4 2 = 80 = 8.94 cm
Long. Semicírculo =
= 3.14 * 4 = 12.56 cm
perímetro ext. = 8.94 + 4 + 12.56
perímetro exterior = 25.5 cm.
R. Área = 41.12 cm2 y perímetro ext.
VII) Calcular el área de una estrella de David, regular, de 6 puntas iguales, inscrita en una
circunferencia de 1 metro de radio.
Solución:
El área de la estrella = área del triángulo equilátero ACD + el área de 3 picos SPN.
Fórmulas a utilizar: Área de un triángulo equilátero inscrito en función del radio:
Área de un triángulo equilátero en función de un lado:
El área de la estrella = área del triángulo ACD + área de los 3 picos SPN.
= 1.299 m2
Desarrollo: Área del triángulo ACD =
lado del triángulo ACD
= 1.732 m
La longitud del lado de 1 pico = PN =
un pico, aplicando la fórmula A2;
De la fórmula A2, se despeja el
, con ésta longitud, se calcula el área de
= 0.144 m2
El área de la estrella = 1.299 + 3(0.144) = 1.73 m2
R. 1.73 m2
215
VIII) Calcular el área sombreada de la figura siguiente, si el lado del cuadrado mide 8m. y cada
cuarto de círculo trazado tiene 8m. de radio.
B
C
A
D
Solución: Observe que la mitad superior del área sombreada (segmento circular de la hojita) es la
diferencia entre el sector circular DACD (trazado con centro del compás en el vértice D) y el
triángulo rectángulo ACD. El área sombreada será el doble de esa diferencia.
* 90º/360 = π(8)2/4 = 50.27 m2
Cálculo del área del sector:
Área del triángulo ACD = 1/2 del área del cuadrado = 64/2 = 32m2
Área del segmento circular = 50.27 – 32 = 18.27m2
R. A sombreada = 2 * 18.27 = 36.54m2
IX) Calcular las áreas sombreadas de la figura, si la circunferencia tiene diámetro de 20 pies y los
triángulos son equiláteros.
Solución: Fórmulas a utilizar:
R = radio del círculo =
10´
A1 = Área del círculo: πr
A2 = Área del triángulo equilátero inscrito:
A3 = Área del triángulo central = 1/4 del área del triángulo inscrito.
Área total sombreada = A1 - A2 + A3
A1 = 3.14*102 = 314p2;
A2 = 0.75*102*1.7321 = 129.91p2
2
A3 = 0.25*129.91 = 32.48p
Atotal = 216.58p2
R. 216.58p2
2
X) La hipotenusa de la figura mide 13cm. y la base horizontal mide 12cm; calcular los 3 ángulos, el
perímetro y el área de la figura.
B
2x+15°
c = 13
216
a=5
x°
C
A
b = 12
A
Solución:
2x+15+x = 90º;
3x = 75;
B = 2x + 15 = (2*25) + 15 = 65º.
Perímetro = 13+12+5 = 30cms.
x = 25º = A
a=
13 2 − 12 2 = 25 =
Área = b*a/2 = 12*5/2 = 30cm2.
5cm.
XI) Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de un metro de radio. Calcular el
perímetro y el área del polígono.
Solución: Por ser hexágono, los 6 ángulos internos centrales miden 60º, los 3 lados son iguales al
radio y el triángulo es equilátero y equiángulo.
La apotema se calcula por aplicación del teorema de Pitágoras así:
1/2 lado = 0.5m
a = apotema =
12 − 0.5 2 = 0.75 = 0.86603m
Perímetro = 6l = 6*1 = 6m.
Área = perímetro*apotema/2
2
Área = 6*0.866/2 = 2.60m .
XII) Calcular el área de la zona sombreada, si se trata de un rectángulo y dos círculos, todos
tangentes entre sí. (10 significa 10 cm.)
Solución: El rectángulo tiene 40 cm. de base y 20 cm. de altura, por lo tanto su área es 800 cm2 .
Cada círculo tiene un área de p. 100π cm2, por lo tanto entre los dos tienen un área de 200π p cm2.
La diferencia entre ambas áreas será entonces de 200.(4 - π ) cm2 = 172 cm2
XIII) El perímetro del rectángulo interior ABCD es de 60 centímetros y su largo es el doble de su
ancho. El ancho de la moldura exterior mide 1.5 centímetros. Calcular el área sombreada.
a
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Solución: Si llamamos l y a a las medidas del rectángulo blanco será:
l + a = 30 cm. Luego, como el largo es el doble del ancho será 2a + a = 30 cm. De donde a = 10 cm.
y l = 20 cm. Entonces el rectángulo blanco tendrá 200 cm2 de área. El rectángulo exterior tiene 23
cm. de largo y 13 de ancho. Su área es entonces de 299 cm2. Repuesta del problema; La diferencia
entre ambos rectángulos es de 99 cm2, que representa el área sombreadapies.
Ejercicios de aplicación:
1) Los dos círculos de la figura, son iguales y su trazo toca el centro del otro. Calcular el área
sombreada, si la separación de los dos centros es de 20cms. R. 491.34 cm2.
2) Calcular el área sombreada de la figura, si el lado del cuadrado mide 6cm. y los arcos del
círculo miden 90º y tocan la intersección de las 2 diagonales. R. 7.72 cm2.
3) Calcular la razón entre el volumen de un cilindro y el volumen de un cono invertido, ambos
con 10 pies de diámetro y 10 pies de altura. R. 3.
4) Calcular la razón entre el volumen de un cubo con 10 cms. de arista y el volumen de una
esfera de 10 cms. de diámetro. R. 1.91:1
“Fracaso: es dejar de luchar por tu propósito, al momento de encontrarse con las adversidades y
pruebas que la vida te pondrá, para saber si estás listo para lograr el éxito que deseas”.
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