una propuesta didáctica sobre la media aritmética, la

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA SOBRE LA MEDIA
ARITMÉTICA, LA MEDIANA Y SU
REPRESENTATIVIDAD
Elaborado por:
Carlos Mariel Chan Ramayo
Asesor:
M. en C. Landy Elena Sosa Moguel
Examen profesional para obtener el grado de:
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Modalidad: Tesis individual
Mérida, Yucatán, México
Junio de 2009
En memoria de mi padre Julio Cesar Chan Tun que en paz descanse
A mi madre Mayra Margarita, siempre estaré a tu lado
A mi novia Lourdes Jacqueline, quien está a mi lado
i
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer a la Universidad Autónoma de Yucatán y al Departamento de Investigación
y Posgrado de la misma universidad, por haberme concebido como becario y depositar en mí
la confianza para la realización de este trabajo de investigación y poder llegar al grado de ser
un Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas mediante la modalidad de tesis.
La Facultad de Matemáticas ha sido mi segundo hogar durante cuatro años, años que fueron
muy productivos y de los cuales no me arrepiento. Me brindó un espacio de enseñanzaaprendizaje, sus instalaciones, una comodidad, me ayudó a salir adelante dándome la
oportunidad de representarlo nacional e internacionalmente. Agradezco al Dr. Luis Rodríguez
y a la M. en C. Lucy Torres, por ser directores de la facultad.
El Departamento de Matemática Educativa se esfuerza en realizar día a día la formación de los
futuros docentes de matemáticas, llevan consigo una preocupación y entrega para lograr que la
educación en nuestro estado sea de mejor calidad, Maestro Eddy, Maestra Landy, Martha y
Lupita, que sus enseñanzas perduren por siempre y que no se queden en un simple recuerdo.
Agradezco a la M. en C. Landy Sosa, por haberme brindado la oportunidad de ser mi
directora de tesis, su conocimiento y amistad. Gracias a ti estoy aquí, presentando mi tesis
como producto de mis cuatro años de carrera profesional.
A mis compañeros de clase: Astrid, Rubén, Azucena, Luis, Lilia, Erik, Marisol, Jafet, Diana y
Cecilia. Lo logramos y no nos queda más que seguir adelante.
Agradezco a todas aquellas personas que contribuyeron directa o indirectamente con sus
consejos, pláticas, buenos momentos y razonamientos lógicos que simplemente me hicieron
pensar.
ii
AGRADECIMIENTOS
A mis padres, por haberme traído
al mundo y concederme la
oportunidad de vivir…
A Dios por no haberme
arrebatado a mi padre en el
momento más importante de mi
vida personal y profesional…
A mis primos Emmanuel, Ricardo y
Fernando, que solo fregar gente
saben hacer…
Y a ti Jacquie, quien formas una
parte muy importante de mi vida,
por tu amor, cariño, tiempo
paciencia, apoyos y consejos, te
amo…
¡GRACIAS!
iii
ÍNIDICE
PÁGINA
1
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO I
5
DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA
1.1. LAS
INVESTIGACIONES
SOBRE
DIDÁCTICA DE
LA
5
ESTADÍSTICA EN EUROPA Y AMÉRICA, SUS INICIOS Y
AVANCES
1.1.1. INVESTIGACIONES SOBRE DIDÁCTICA DE
LA
7
1.1.1.1. Investigaciones acerca de la didáctica de la
7
ESTADÍSTICA EN EUROPA
probabilidad
1.1.1.2. Investigaciones acerca de la didáctica de la
14
estadística
1.1.2. INVESTIGACIONES SOBRE DIDÁCTICA DE
LA
17
ESTADÍSTICA EN AMÉRICA
1.1.3. LA EDUCACIÓN ESTADÍSTICA EN MÉXICO
21
1.1.3.1. La educación estadística en el nivel básico
21
1.1.3.2. La educación estadística en el nivel medio
25
CAPÍTULO II
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
31
2.1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
32
2.2. OBJETIVO DE TRABAJO
38
2.3. JUSTIFICACIÓN
39
iii
CAPÍTULO III
SITUACIONES DIDÁCTICAS Y LA INGENIERÍA DIDÁCTICA
43
3.1. SITUACIONES DIDÁCTICAS Y A-DIDÁCTICAS
44
3.2. METODOLOGÍA
DE
INVESTIGACIÓN:
INGENIERÍA
49
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS SOBRE LA
54
DIDÁCTICA
CAPÍTULO IV
MEDIA ARITMÉTICA Y LA MEDIANA
4.1. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO
4.1.1. Acerca de la media aritmética y el tratamiento de la
54
55
información en la antigüedad
4.2. ANÁLISIS COGNITIVO
4.2.1. Dificultades y errores en el estudio de la media aritmética y
57
58
mediana
4.3. ANÁLISIS DIDÁCTICO
4.3.1. Tratamiento de la media aritmética y mediana en los libros
64
64
de texto
4.3.1.1.
Libros con contenidos estadísticos del nivel
64
básico: Secundaria
4.3.1.2.
Libros de estadística del nivel medio
73
iv
CAPÍTULO V
UNA
SITUACIÓN
DIDÁCTICA
SOBRE
LA
MEDIA
93
ARITMÉTICA, LA MEDIANA Y SU REPRESENTATIVIDAD
5.1. ANÁLISIS DE LAS SITUACIÓNES DIDÁCTICAS
94
5.1.1. Actividad 1
96
5.1.2. Actividad 2
105
5.1.3. Actividad 3
111
5.1.4. Actividad 4
115
5.1.5. Actividad 5
116
5.1.6. Actividad 6
119
CAPITULO VI
REFLEXIONES Y CONSIDERACIONES
124
6.1. REFLEXIÓN SOBRE LA SITUACIÓN ESCOLAR DE LA
124
ESTADÍSTICA
6.2. CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS PARA EL TRATAMIENTO
125
DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS
BIBLIOGRAFÍA
127
v
LISTA DE FIGURAS
CAPÍTULO
PÁGINA
I
9
IV
55
IV
57
IV
66
Figura 5. Registro del crecimiento de las estalactitas por año
IV
67
Figura 6. Perfil de crecimiento de las estalactitas
IV
67
Figura 7. Diagrama de caja y brazos del tiempo que tarda un
IV
68
Figura 8. Distribución de puntajes de un examen por grupos
IV
68
Figura 9. Precipitación pluvial media entre dos entidades
IV
69
Figura 10. Gráfica de la distancia de salto alcanzada por dos
IV
70
IV
71
IV
72
Figura 13. Gráfica del número de televidentes por edad
IV
77
Figura 14. Histogramas de frecuencia y frecuencia relativa
IV
80
Figura 1. El experimento de la bandeja
Figura 2. Registro del movimiento de los astros realizada
por los astrónomos babilonios
Figura 3. Gráfico del promedio de vida de una persona de
cierta edad
Figura 4. Gráfica del costo de servicio telefónico de dos
compañías
medicamento en hacer efecto
grupos de estudiantes
Figura 11. Gráfica de la compra de discos compactos por
grupos de edad
Figura 12. Gráficas de los promedios de precipitación y
temperatura en Monterrey por mes
de calificaciones finales de matemáticas de un grupo de
quinto grado de primaria
vi
Figura 15. Polígono de frecuencias relativas porcentuales de
IV
80
Figura 16. Polígono de frecuencias acumuladas de la tabla 2
IV
82
Figura 17. Gráfica del porcentaje de aprobación de materias
IV
83
IV
86
Gráfica 1. Cantidad de días soleados por mes en el año 2008
V
101
Gráfico 2. Cantidad de días nublados o lluviosos por mes en
V
102
V
104
V
108
V
108
V
109
V
113
V
114
V
121
las calificaciones finales de un grupo de quinto grado de
primaria
de un grupo de alumnos de preparatoria
Figura 18. Gráfica del tiempo en minutos empleados por un
alumno para contestar diferentes pruebas psicométricas
el año 2008
Figura 19. Datos del clima de la ciudad de Mérida en el
2008
Figura 20. Comparación de la cantidad original de días con
la cantidad promedio
Gráfica 3. Dispersión entre los datos y su valor
representativo
Gráfica 4. Dispersión entre los datos y su valor
representativo
Gráfica 5. Dispersión entre los datos y el primer valor
representativo obtenido
Figura 21. Datos
de la cantidad de días nublados y
lluviosos, con menor dispersión que los originales
Gráfica 6. Cantidad de días soleados
vii
Gráfica 7. Cantidad de días nublados o lluviosos
V
121
Figura 22. Tablas y gráficas del período 2001-2009
V
123
V
123
incompleto
Figura 23. Tablas y gráficas del período 2001-2009
completo
viii
LISTAS DE TABLAS
CAPÍTULO
PÁGINA
IV
79
IV
81
Tabla 3. Número de hijos de las 250 familias encuestadas
IV
83
Tabla 4. Frecuencia de calificaciones de un grupo de quinto
IV
88
IV
88
IV
89
IV
90
Tabla 8. Número de hijos de las 250 familias encuestadas
IV
91
Tabla 9. Resumen del salario percibido por los empleados
IV
91
Tabla 10. Cantidad de días soleados por mes en el año 2008
V
100
Tabla 11. Cantidad de días nublados o lluviosos por mes en
V
101
Tabla 12. Cantidad media de días soleados por mes
V
103
Tabla 13. Cantidad media de días nublados o lluviosos por
V
103
Tabla 1. Frecuencia y frecuencia relativa de calificaciones
finales de matemáticas de un grupo de quinto grado de
primaria
Tabla 2. Frecuencia acumulada de las calificaciones finales
de matemáticas de un grupo de quinto grado de primaria
grado de primaria
Tabla 5. Frecuencia acumulada de calificaciones de un
grupo de quinto grado de primaria
Tabla 6. Frecuencia de calificaciones de un grupo de quinto
grado de primaria
Tabla 7. Frecuencia acumulada de calificaciones de un
grupo de quinto grado de primaria
de un centro comercial
el año 2008
mes
ix
Tabla 14. Dispersión entre la cantidad de días soleados y su
V
107
V
108
Tabla 16. Nueva cantidad de días nublados o lluviosos
V
113
Tabla 17. Valores representativos de la cantidad de días
V
118
V
119
V
122
valor representativo
Tabla 15. Dispersión entre la cantidad de días soleados y su
valor representativo
soleados y nublados y lluviosos período 2000-2008
Tabla 18. Valores representativos de la cantidad de días
soleados y nublados o lluviosos período 2000-2009
Tabla 19. Valores representativos hipotéticos de la cantidad
de días soleados o nublados o lluviosos en el periodo 20012010
x
INTRODUCCIÓN
La estadística proporciona métodos y técnicas de análisis de una o más colecciones de datos
de fenómenos, con la característica de ser aleatorios, para ofrecer información de carácter
predictivo o informativo. Una manera común de presentar un conjunto de datos de manera
condensada es mediante el uso de gráficos, los cuales pueden ser de diversos tipos, algunos
más complejos que otros, siempre con un mismo fin: presentar y enviar información a todas
las sociedades particulares o generales, las cuales deben de interpretarla para predecir o
tomar decisiones ante situaciones de incertidumbre.
Existe una relación muy fuerte entre lo que es el desarrollo de un país y el grado en que su
sistema de registro y manejo de información produce estadísticas completas y fiables, ya que
esta información es necesaria para la toma de decisiones de tipo económico, social y político.
Esto conlleva a que la educación estadística no sólo sea de especialistas o técnicos en ésta
área, sino también de los profesionales y ciudadanos que requieren interpretar tablas y análisis
estadísticos, sobre información acerca de la población, las finanzas, educación, producción,
etc. de un país. Lo anterior, demanda una sólida formación escolar en estadística.
La estadística se ha ido incorporando a los programas de estudio, de manera generalizada
dentro de los currículos escolares de primaria, secundaria, preparatoria, carreras universitarias
y de posgrado en México, así como en otros países, pero la asimilación y comprensión de las
nociones y métodos estadísticos, es una problemática aún por resolver en los sistemas de
educación.
Se espera en el nivel medio educativo, formar al alumno en el manejo de datos y del cálculo
de las probabilidades, para comprender los fenómenos que existen en diversos ámbitos
profesionales como la economía, la administración, etc., así como permitir la continuidad
hacia una formación profesional o ingreso al campo laboral; en ambos casos con habilidades
en el manejo de información. Entre los propósitos de la educación matemática de bachillerato
1
se especifica que el estudiante no puede limitarse a un aprendizaje enciclopédico por lo que
debe desarrollar habilidades de pensamiento, de comunicación, una metodología, tener
calidad, valores, una educación ambiental y la democracia y derechos humanos, es decir,
competencias logrando crear así estructuras de pensamiento y acción, esenciales para la
formación integral del estudiante (Dirección General de Bachillerato, 2006).
Décadas atrás, pocos investigadores del ámbito educativo, se interesaban en los problemas de
enseñanza y aprendizaje de la estadística, pero en la actualidad se puede apreciar un aumento
notable de publicaciones, diseños curriculares e investigaciones relacionados con este tema,
enfocándose ya no solo en la metodología de enseñanza, sino en qué estudiar en estadística y
en intentar dar explicaciones sobre la construcción de las nociones y procedimientos
estadísticos en situación escolar.
Es así como se han detectado y reportado algunas dificultades y errores que presentan los
estudiantes de secundaria y bachillerato, durante el tratamiento de conceptos estadísticos como
la media aritmética, la mediana y sobre su propiedad de representatividad.
Se sabe, que los estudiantes de bachillerato presentan dificultades durante el aprendizaje de los
conceptos estadísticos, en particular aquellos ligados a la media aritmética y mediana, tales
como: aplicar inversamente el algoritmo para calcular la media y mediana en un conjunto de
datos, dar un resumen cuando los datos son proporcionados mediante gráficos, elegir la
medida de tendencia central más adecuada en una situación determinada generar argumentos
para la toma de decisiones, entre otras. Por tanto, la realización de propuestas didácticas
acerca de las medidas de posición central, en particular, y de los conceptos y procesos
estadísticos, en general, será un paso para coadyuvar el fortalecimiento de la educación
estadística.
El objetivo de la investigación es elaborar una propuesta didáctica sobre la media aritmética y
la mediana, mediante el uso de gráficas, para generar entendimiento con respecto a su
propiedad de representatividad.
A fin de dar un panorama de la investigación en didáctica de la estadística, que proporcione
referentes teóricos para el desarrollo de este trabajo y posteriores, en el capítulo uno se
exponen algunos resultados sobre la didáctica de la probabilidad y de la estadística en el
2
continente europeo, seguido de los reportados por especialistas en el continente americano.
Este capítulo concluye, con los fines de la educación estadística en los niveles distintos niveles
educativos en México, con la intención de identificar los objetivos del estudio de la estadística
en el currículo matemático de nivel medio.
En el capítulo dos, se presenta el problema de investigación de este trabajo, que centra la
atención en la propiedad de representatividad de los conceptos estadísticos: media aritmética y
mediana.
En el capítulo tres, se presentan los aspectos sobre el marco teórico para la elaboración de del
trabajo, enmarcado en la Teoría de las Situaciones Didácticas. De modo que, la propuesta
didáctica se encuentra conformada de situaciones de acción, formulación, validación que el
estudiante debe de resolver, así como de institucionalización.
Así mismo, presentamos la metodología que se siguió en el diseño de la propuesta, la cual se
basa en la Ingeniería Didáctica. Dicha metodología, conlleva realizar un análisis preliminar de
los conceptos a investigar, la elaboración de la secuencia didáctica, su implementación y, por
último, la validación de los resultados obtenidos después de su aplicación.
En el capítulo cuatro, se describe la primera fase seguida en el diseño de la propuesta
didáctica, la cual consiste en una serie de análisis de carácter epistemológico, didáctico y
cognitivo de los conceptos media aritmética y mediana. Los análisis se enfocaron en
identificar aquellas prácticas que formaron parte de la génesis, evolución e institucionalización
de dichos conceptos; la forma en que son introducidos y presentados en el currículo escolar,
los libros de texto y el profesor; y por último, los efectos que las metodologías de enseñanza
tienen sobre el aprendizaje los estudiantes. Esto, nos permitió definir las variables y factores
inmersos en la propuesta didáctica.
En el capítulo cinco, se presenta el análisis a priori, el propósito y la descripción de cada una
las actividades didácticas que conforman la propuesta, en las que se considera el uso de
gráficas y un software para el manejo de información.
3
En el capítulo seis, finalizamos con algunas reflexiones sobre la educación estadística, así
como consideraciones y sugerencias para la enseñanza y aprendizaje de conceptos estadísticos,
particularmente, sobre la media aritmética y la mediana.
4
CAPÍTULO I. DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA
1.1. LAS INVESTIGACIONES SOBRE DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA EN
EUROPA Y AMÉRICA, SUS INICIOS Y AVANCES
Introducción
Presentamos en este capítulo los inicios de la investigación en didáctica de la estadística en el
continente europeo bajo la influencia de la psicología cognitiva, así como los trabajos
realizados por investigadores del área de América, los cuales proporcionan un referente
teórico sobre estudios ligados la construcción del conocimiento estadístico por parte del
estudiante. Se presentan en tres periodos: investigaciones de Fischbein y Piaget en los años
cincuentas, de Kahneman y Tversky en los setentas y, en la actualidad, las desarrolladas por
Batanero, Godino, Garfield, entre otros.
Siempre que se sugiere introducir un nuevo tema en el currículo, es conveniente considerar el
desarrollo cognitivo de los alumnos, para mirar la viabilidad de que sean capaces de
aprehender ciertos saberes. Se sabe que los niños son como “esponjas”, es decir, absorben
todos los resultados de sus experiencias con el mundo real, es por ello que no solamente
aprenden en la escuela, sino también fuera de ella, en la sociedad, con la familia, amigos, etc.,
interactuando con todo a su alrededor.
Para entender cómo aprenden las personas conceptos de la Probabilidad y de la Estadística, es
importante realizar un análisis del razonamiento de los niños, puesto que desde un principio se
comienza a trabajar con ideas muy abstractas, las cuales no siempre se van a poder ligar con la
5
experiencia de objetos concretos de la realidad, como suele suceder si se trabaja con conceptos
geométricos o numéricos.
Sucede que los niños desde temprana edad aprenden a estimar, discriminar y diferenciar entre
formas, distancias y cantidades, creadas por experiencias dadas dentro y fuera de la escuela.
También, las operaciones básicas pueden llegar a ser concretizadas en objetos físicos como
juntar, quitar, separar, junto con su propiedad de ser reversibles (Batanero, 2001), es decir, al
deshacer las operaciones ellos pueden obtener el objeto primario.
Con lo aleatorio no sucede lo mismo, porque no pueden ser controlados los fenómenos para
obtener un caso específico y mucho menos revertirlo, por ejemplo, una moneda cuya cara de
arriba es sol y al lanzarla cae águila, nada me garantiza que al realizar otro lanzamiento para
revertir el fenómeno, ocurra que caiga sol. Esta falta de reversibilidad de los experimentos
aleatorios, sin duda, influyen en el desarrollo más tardío de las nociones de probabilidad
(Batanero, 2001).
Con respecto a la Estadística, Batanero (2001) afirma que son prácticamente inexistentes los
estudios sobre el desarrollo evolutivo de los conceptos y, los pocos existentes, se centran en la
instrucción. De hecho, no solamente en Europa sucede esto, sino también en los demás
continentes del mundo, pero con el pasar de los años las investigaciones en didáctica de la
estadística han ido creciendo y abarcando una gran variedad de tópicos que proporcionan
directrices para su enseñanza en la escuela, así como resultados sobre las dificultades y errores
que los alumnos manifiestan en su aprendizaje.
A continuación daremos una breve presentación de las investigaciones desarrolladas sobre
estocástica (término europeo que refiere a la probabilidad y estadística1), teniendo como punto
de partida las realizadas en probabilidad, proporcionando un panorama general de la evolución
que ha tenido y del estado en el que actualmente se encuentra.
1
Tomado del libro Investigación en probabilidad y estadística. Reflexiones y orientaciones. Traducido por
Sánchez, E.
6
1.1.1. Investigaciones sobre didáctica de la estadística en Europa
1.1.1.1. Investigaciones acerca de la didáctica de la probabilidad
Las primeras investigaciones de estocástica que se realizaron en Europa fueron de carácter
psicológico sobre Probabilidad y se centraron en el desarrollo cognitivo de los niños (Piaget e
Inhelder, 1975; Fischbein, 1975, citados por Batanero 2001).
Piaget se enfocó en dar criterios para determinar en qué nivel de desarrollo intelectual se
encuentra el niño en diversas edades y analiza la comprensión formal de los conceptos.
Postula que la experiencia, la actividad y el conocimiento previo son las bases que determinan
el aprendizaje, es por ello que el conocimiento es construido activamente por el sujeto y no
recibido pasivamente del entorno, dándose así la adaptación del niño al mundo que lo rodea.
Entonces, cuando una idea nueva se le presenta, se crea un “conflicto cognitivo” o
“desequilibrio”, como una especie de “lucha” que se crea en la mente entre los conocimientos
ya existentes y entre los nuevos que está adquiriendo.
Pero, ¿cómo reaccionar ante este desequilibrio? Para esto se requiere un proceso de
“equilibración” que consiste en los procesos de asimilación y acomodación, donde la
asimilación es la incorporación o aceptación por parte del sujeto de los datos nuevos y la
acomodación es el cambio o reestructuración de los ya existentes, es decir, el aprendizaje se
concibe como un proceso que progresa lentamente con puntos conflictivos que el alumno debe
superar mediante el proceso descrito. Conocer es un proceso de adaptación que organiza el
propio mundo de la experiencia.
Fischbein, por su parte, se preocupó por demostrar que los niños tienen ideas correctas,
parcialmente formadas, sobre los conceptos probabilísticos y analizó el efecto de la
instrucción para la mejora de estas intuiciones, concibiendo con gran importancia a la
intuición como componente de la inteligencia.
Para Fischbein las intuiciones son procesos cognitivos que intervienen directamente en las
acciones prácticas o mentales, y tienen las siguientes características: inmediatez, por surgir de
forma espontánea y no darse mediante la reflexión; globalidad, por ser un todo y no estar
descompuesto en partes; capacidad extrapolatoria, al ir más allá de un caso particular, pues en
7
cierto modo tienen un carácter teórico y por eso sirven para extrapolar o hacer predicciones;
estructurabilidad, al tener varias intuiciones relacionadas entre sí pueden crear estructuras de
razonamiento; y auto-evidencia, pues para el propio ser son autoevidentes que no llega a
necesitar de demostración alguna. A la vez diferencia entre dos tipos de intuiciones: primarias
y secundarias.
•
Las intuiciones primarias, son aquellas que son adquiridas directamente de la
experiencia sin necesidad de instrucción alguna. Ejemplo: el cálculo de distancias y
localización de objetos.
•
Las intuiciones secundarias, están formadas mediante la instrucción o educación.
Un ejemplo muy claro son las que se dan en la escuela.
Sin embargo, una intuición secundaria no se reduce simplemente a una fórmula aceptada o
utilizada automáticamente, si no se vuelve parte de uno al transformarla en una convicción,
creencia, en un sentimiento de evidencia. Ésta no se va a formar a partir de la información
recibida, más bien, de las experiencias que se generen de su utilización en las acciones y
predicciones durante gran parte de su desarrollo intelectual.
En su investigación sobre la intuición del azar, recomienda como primer paso, antes de
enseñar probabilidad, hacer que los niños sean capaces de diferenciar entre las situaciones
aleatorias y deterministas, apreciando algunas características básicas de sus propiedades.
Para esta investigación, Piaget e Inhelder (1951), citados por Batanero (2001), defienden que
la comprensión del azar por parte del niño es complementaria a la de la relación causa-efecto,
es decir, que éste lo va a concebir como el resultado de la interferencia y combinación de una
serie de causas, que actuando independientemente van a producir un efecto. Como
consecuencia de ello, el niño no podrá tener un marco de referencia sobre la aleatoriedad si
antes no ha comprendido la idea de causa-efecto.
En el clásico experimento piagetiano, se utiliza una bandeja (figura 1), cuyo centro no tiene
caminos específicos, donde se colocan cuatro bolas blancas (círculos con una X en medio) y
cuatro negras (símbolo de vacio). Antes de balancear la bandeja de un lado a otro para que las
8
bolas que en un principio se encuentran ordenadas se mezclen progresivamente, Piaget pide a
los niños que hagan una predicción sobre la colocación final de las bolas.
Figura 1. El experimento de la bandeja 2
En el período preoperacional los niños piensan que, después de mover varias veces la
bandeja, las bolas vuelven nuevamente a su lugar de origen, o bien, que el conjunto completo
de bolas blancas acabarán ocupando el lugar de las bolas rojas, y viceversa.
Piaget interpreta esta reacción típica de los niños, antes de los 7 años, indicando que el niño no
comprende la naturaleza irreversible de la mezcla aleatoria por tener un pensamiento
reversible, es decir, los niños creen que todo puede regresar a su estado original.
Esta opinión de Piaget es rechazada por Fischbein, para quien la intuición primaria del azar,
como la distinción entre lo aleatorio y determinista, aparece antes de los siete años. Él se basa
en que los niños son capaces de elegir las situaciones de mayor probabilidad durante juegos
sencillos.
En el período de las operaciones concretas, al adquirir esquemas operacionales espaciotemporales y lógicos-matemáticos, el niño logra alcanzar la capacidad de distinguir entre el
azar y lo deducible, aunque esta comprensión no es completa, puesto que el pensamiento está
todavía muy ligado al nivel concreto, debido a que no llega a construir la idea de azar por
2
Tomado de Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Publicación del Departamento de Didáctica de la
Estadística de la Universidad de Granada.
9
comprender la interferencia de las causas, sin reconocer su independencia, o su independencia
y no la interferencia.
Ya en el período de operaciones formales, Piaget sostiene que la idea de azar no puede ser
totalmente adquirida hasta que no ha desarrollado el razonamiento combinatorio.
Mientras tanto, Fischbein sostiene que la distinción entre el azar y lo deducible no se realiza
de manera espontánea y completamente al nivel de las operaciones formales. En experimentos
realizados con adolescentes en la que se requiere calcular probabilidades, busca dependencias
causales que reduzcan lo incierto, incluso donde no existan esas dependencias, donde la
influencia se da por las tradiciones culturales y educativas de la sociedad moderna, que
orientan el pensamiento hacia las explicaciones deterministas.
Con la suposición de que el niño es capaz de diferenciar los fenómenos aleatorios y
deterministas, surge el segundo paso, que pueda estimar en una serie de experimentos, cuáles
son los sucesos que aparecen con mayor o menor frecuencia, es decir, que sea capaz de
estimar la frecuencia relativa.
Los resultados obtenidos de experimentos desarrollados por varios psicólogos apoyan
fuertemente la conclusión de que, en el periodo preoperacional, el niño adapta sus
predicciones a las probabilidades de los sucesos que se le presentan como un estímulo, como
por ejemplo, cuando un niño recibe una recompensa por cada vez que haga algo bien o un
castigo por hacer algo mal.
La estimación de la frecuencia relativa de sucesos mejora en el período de operaciones
concretas, como resultado de experiencias acumuladas desarrollándose de modo natural
cuando el niño se enfrenta con situaciones que implican sucesos aleatorios. Por ejemplo, hacer
una predicción sobre si va a llover o no, dependiendo de qué tan nublado sea el día o el tiempo
que transcurre entre un camión y otro, en la parada del autobús.
En el periodo de operaciones formales se comienzan a crear estrategias óptimas ante
situaciones en condiciones aleatorias para la toma de decisiones.
Ante la estimación de posibilidades a favor y en contra, Piaget e Inhelder aseguran que los
niños no pueden realizarla por no poseer los recursos necesarios como: la habilidad de
10
distinguir entre el azar y lo deducible, el concepto de proporción y los procedimientos
combinatorios.
En contraparte, Fischbein piensa que, a pesar de no tener dichos recursos, el niño puede hacer
juicios probabilísticos, en situaciones sencillas. Por ejemplo, que elija entre dos urnas con un
número diferente de bolas blancas y negras, aquella que ofrezca mayor posibilidades de
obtener una bola blanca.
Durante el periodo de operaciones concretas, los niños pueden resolver problemas que
implican la comparación de probabilidades de un suceso A en dos experimentos, siempre y
cuando los casos favorables o no favorables a A sean iguales en ambos.
Más adelante, en los años setentas, las investigaciones psicológicas se comienzan a centrar
sobre el razonamiento estocástico de sujetos adultos en lo que respecta a las heurísticas y
sesgos, realizadas por Daniel Kahneman y Amos Tversky, proporcionando a los educadores
un marco teórico para la investigación sobre el aprendizaje de la probabilidad y la estadística.
Su tesis original era que las personas con poco o ningún conocimiento de estadística, estiman
la probabilidad de un evento por medio de ciertos juicios heurísticos, como la
representatividad y la disponibilidad (Kahneman y Tversky, 1972, 1973a, 1973b; Kahneman y
Tversky, 1974, citados por Shaughnessy, 1992).
De acuerdo con la heurística de la representatividad, las personas estiman las probabilidades
de los eventos con base en lo bien que representa cierto aspecto de su población original
(Kahneman y Tversky, 1972, citado por Shaughnessy, 1992). Las personas creen que una
muestra debe de reflejar la distribución de la población original o que esa muestra debe de
reflejar el proceso según el cual se generan los ejemplos aleatorios. Por ejemplo, muchas
personas creen que en una familia con seis hijos, es más probable que ocurra la secuencia
HMMHMH, donde H = hombre y M = mujer, que las secuencias HHHHMH o HHHMMM
(Kahneman y Tversky, 1972; Shaughnessy, 1977, citado por Shaughnessy, 1992). En el
primer caso, la secuencia HMMHMH llega hacer más representativa por ser cercana al 50-50
de niños y niñas, es decir, las personas tienden a creer que si primero nace un hombre, por
consiguiente va a nacer una mujer, y viceversa.
11
Algo similar ocurre con la “falacia del jugador”, cuando muchos sujetos tienden a pensar que,
al lanzar repetidas veces una moneda, después de una serie de soles la probabilidad de que
caiga águila en el siguiente tiro es mayor.
Ahora, cuando las personas estiman la probabilidad de eventos a partir de la facilidad que
tienen para recordar ciertas instancias particulares del evento, se encuentran utilizando la
heurística de la disponibilidad. Por ejemplo, si usted se encuentra manejando en cierta
localidad y sufre un accidente por alguna otra persona que se paso el alto, es más probable que
usted de una estimación más alta de la frecuencia de accidentes en esa localidad, que alguien
que lleva años viviendo en ella sin sufrir un solo accidente.
Otras personas, aún teniendo estudios avanzados sobre estocástica, se encuentran propensas a
calificar ciertos tipos de eventos conjuntivos, como con mayor probabilidad que sus eventos
originales, dándose a conocer esto como la falacia de la conjunción.
Al respecto, Kahneman y Tversky (1983), citado por Shaughnessy (1992), reportaron que
sujetos universitarios con poco conocimiento del área, calificaron el porcentaje de personas de
55 años y que tuvieron un ataque cardíaco, como mayor que el porcentaje de personas que
sólo sufrieron del ataque cardíaco, ya que las ideas de ataque cardíaco y 55 años pueden estar
íntimamente ligadas en la mente el alumno, viéndolo como una consecuencia, debido a la
experiencia que ha tenido. Es por ello, que les fue más fácil pensar que es más probable que
una persona de 55 años sufra de un ataque cardíaco, en vez de preguntarse si la persona que
tuvo el paro cardíaco necesariamente debe tener 55 años.
En la actualidad, gran parte de las investigaciones en Didáctica de la Matemática o
Matemática Educativa, se interesan por estudiar y explicar los diversos fenómenos didácticos
cuando los saberes matemáticos son llevados al aula y presentados al alumno.
En los casos en los que no se trata de una simple distracción u olvido, se dice que tal tarea
resulta demasiado difícil para el alumno en cuestión. Pero, las dificultades de aprendizaje no se
presentan de forma aleatoria o imprevisiblemente. Con frecuencia encontramos errores que se
repiten, o que se producen regularidades, y asociaciones con variables propias de las tareas
propuestas, de los sujetos o de las circunstancias presentes o pasadas. Es por ello, que la
12
investigación en didáctica trata de identificar y explicar estos errores, que con frecuencia son
debidos a las creencias de los profesores.
En investigaciones que se centran en el significado y comprensión de los conceptos, se han
reportado los distintos elementos que conforman al significado y la influencia que tienen las
dimensiones institucional y personal del conocimiento.
Entre los significados atribuidos a conceptos estadísticos, se encuentra la del significado
subjetivo de la aleatoriedad, en donde se ha logrado mostrar que los sujetos tienden a
encontrar patrones deterministas en las situaciones aleatorias, es decir, tratan de encontrar
asociaciones inexistentes, con objeto de reducir la incertidumbre. También, se tiende a inferir
aleatoriedad en situaciones en la que no está presente, como por ejemplo, al hacer rachas
cortas de dos o de tres símbolos adyacentes en algún sentido, ya sea empleando números
consecutivos o letras sucesivas del alfabeto.
En la generación de resultados aleatorios, Green (1991), citado por Batanero (2001), pide a
niños de 7 a 11 años escribir una sucesión que represente el lanzamiento de una moneda al
lanzarla 50 veces. De las sucesiones que se generaron, identifica tres aspectos básicos: la
frecuencia relativa de cada uno de los sucesos, la independencia de los elementos de la
secuencia y la consistencia entre las dos mitades de la secuencia generada. Es decir, los niños
piensan que, después de una racha de soles, seguirá una cara o viceversa; otros, que no
depende de cuál haya sido el número de veces seguidas que sea solo cara, son independientes;
y que son muy exactos al reflejar la equiprobabilidad, en este caso, la igualdad o cercanía, del
mismo número de veces que aparece sol y cara en la secuencia.
Del mismo modo, se ha investigado el reconocimiento de resultados aleatorios, hechas por
Green (1983) y Toohey (1995), en donde se descubrió que la mayor parte de los niños eligen
precisamente la secuencia aleatoria y que no mejora la apreciación de la aleatoriedad con la
edad.
Por su parte, Lecoutre (1992), citado por Batanero (2001), describe la creencia de los sujetos
en la equiprobabilidad de todos los sucesos asociados a cualquier experimento aleatorio.
Como ejemplo, usan un problema en el que se pregunta si al lanzar dos dados hay la misma
probabilidad de obtener un 5 y un 6, que la de obtener dos veces un 5. Sin importar el contexto
13
y el formato de la pregunta, los resultados siempre coinciden y demuestran la estabilidad de la
creencia en que los dos resultados son equiprobables. Lecoutre y sus colaboradores defienden
que ello no es debido a la falta de razonamiento combinatorio, sino a que los modelos
combinatorios no se asocian fácilmente con las situaciones en que interviene el azar.
Por último, otro concepto implicado en la comprensión de la aleatoriedad es la independencia.
Algunos puntos conflictivos sobre la independencia y la probabilidad condicional son los
siguientes: apreciar la independencia en ensayos sucesivos de un mismo experimento;
comprender que la probabilidad de un suceso pueda condicionarse por otro que ocurra después
de él; confundir las probabilidades P(B/A) y P(A/B); confundir los sucesos independientes con
sucesos mutuamente excluyentes y no identificar correctamente cuál es el suceso que hay que
poner como condición en una probabilidad condicional.
1.1.1.2. Investigaciones acerca de la didáctica de la estadística
Por otra parte, las investigaciones en didáctica de la estadística se han centrado en lo que
respecta a la asociación estadística, la cual tiene una gran relevancia en la educación
matemática, porque extiende la dependencia funcional y es fundamental para muchos métodos
estadísticos, permitiendo modelizar numerosos fenómenos en diversas áreas. El fin principal
de algunas de las aplicaciones que se realizan, es encontrar explicaciones causales que nos
ayuden a comprender nuestro entorno. Sin embargo, la asociación no implica necesariamente
relación causal, como muchas personas tienden a concebir.
Aparte de la dificultad epistemológica presentada arriba, las investigaciones psicológicas han
mostrada que la habilidad para emitir juicios de asociación no se desarrolla intuitivamente. Las
personas adultas, a veces basan sus juicios en creencias previas sobre el tipo de asociación que
debería existir entre las variables, en lugar de las contingencias empíricas presentadas. No
obstante, con respecto a este tema, son muy pocas las investigaciones que se han llevado a
cabo, enfocándose la mayoría en tablas de contingencias de 2 x 2.
La tabla de contingencia sólo es un caso particular del campo de problemas del que emerge la
asociación estadística. Es por ello, que para la resolución de este problema es preciso realizar
y establecer relaciones con las diferentes frecuencias que aparecen o pueden calcularse en la
tabla. Otro problema diferente es valorar la correlación existente entre dos variables
14
cuantitativas. Un tercer tipo de problema consiste en tratar de averiguar si una variable
numérica tiene la misma distribución en dos muestras diferentes.
Con estos tres problemas, en Granada se llevó a cabo un estudio sobre el aprendizaje de la
asociación, comenzando con el estudio del significado personal que los estudiantes daban al
concepto de asociación antes de haber estudiado el tema.
Durante la investigación, se aplicaron ítems sobre tablas de contingencia y asociación entre
variables, y se controlaron las siguientes variables: el signo e intensidad de la asociación,
relación entre las creencias previas de los alumnos sobre el contexto del problema y el tipo de
asociación presentada.
En cada ítem se analizó el tipo de asociación percibido por los estudiantes, lo cual permitió
clasificar las estrategias de resolución utilizadas por ellos desde un punto de vista matemático,
para poder identificar las estrategias intuitivas correctas que sugieren concepciones correctas o
parcialmente correctas sobre la asociación estadística. Como ejemplo se tienen las siguientes:
1. Utilizar la tendencia constante, creciente o decreciente de los puntos en los diagramas de
dispersión para justificar el tipo de asociación (nula, positiva o negativa).
2. Utilizar las medias o los totales para comparar la distribución de una variable en dos
muestras diferentes.
3. Comparar las frecuencias a favor y en contra de la asociación en cada valor de la variable
independiente, o la razón de estas frecuencias en tablas de contingencia de 2xr, donde r
represente el número de columnas.
Así como se obtuvieron respuestas correctas, se presentaron estrategias inadecuadas para la
resolución del problema, las cuales les proporcionaban juicios incorrectos de asociación, entre
ellas están las siguientes:
1. Concepción determinista de la asociación: algunos estudiantes no admiten más que un
valor de la variable independiente, por cada valor de la variable dependiente, es decir, la
relación funcional, desde el punto de vista matemático, sólo puede tener un valor y sólo
uno.
15
2. Concepción unidireccional de la asociación: sí se percibe la dependencia sólo cuando es
positiva (asociación directa), considerando la asociación inversa como independencia.
3. Concepción local de la asociación: utilizar solamente parte de los datos proporcionados
por el problema para emitir juicios de asociación, es decir, si en una parte de los datos
encuentra un tipo de asociación, ese adoptan en sus respuestas.
4. Concepción causal de la asociación: algunos de los estudiantes solamente consideran la
existencia de asociación entre variables si se puede atribuir una relación causal entre ellas.
Por otra parte, la Estadística y la Inferencia Estadística son estudiadas en los niveles superiores
de educación, ya sea en las áreas de ciencias exactas, sociales, humanas, biológicas, etc., en
los que también se han reportados diversos errores y dificultades al trabajar con algunos
conceptos como los siguientes: medidas de tendencia central, variación de los datos, lectura e
interpretación de gráficos, etc.
La idea central de la inferencia estadística es que una muestra proporciona “alguna”
información sobre la población y, de este modo, aumenta nuestro conocimiento sobre la
misma, pero comprender este concepto implica el equilibrio adecuado entre dos ideas
aparentemente antagónicas: la representatividad muestral y la variabilidad de la muestra. La
primera de estas ideas nos sugiere que la muestra tendrá a menudo características similares a
la de la población, si ha sido elegida con las precauciones adecuadas. La segunda, refiere al
hecho de que no todas las muestras son iguales entre sí. Tener un punto adecuado entre los
extremos de información total e información nula respecto a la población, depende de tres
factores: variabilidad de la población (las muestras dependen de las características que se
vayan analizar), tamaño de la muestra (debido a que la varianza de la muestra cambia con
respecto al tamaño) y el coeficiente de confianza.
En algunos países, el tema de contraste de hipótesis es presentado en los últimos años de la
enseñanza secundaria (nivel educativo medio en México); Batanero (2001) afirma que
probablemente es uno de los conceptos menos comprendido, más confundido y de los que más
se ha abusado en toda la estadística.
En particular los estudiantes tienen dificultades en los siguientes aspectos:
16
1. La determinación de la hipótesis nula H 0 y la hipótesis alternativa H 1 ;
2. La distinción entre los errores Tipo I y Tipo II;
3. La comprensión del propósito y uso de las curvas características operativas o curvas de
potencia; y
4. La comprensión de la terminología empleada al establecer la decisión.
1.1.2. INVESTIGACIONES SOBRE DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA EN
AMÉRICA
Hasta el momento hemos presentado de manera breve resultados de estudios llevados a cabo
en el continente europeo. Dichas investigaciones que comenzaron desde el desarrollo
cognitivo de las intuiciones en el área de probabilidad hasta el concepto de muestra o nivel de
significancia en inferencia estadística, ha influenciado en otros continentes, como el
americano.
Por ejemplo, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional del Cuyo, de Argentina,
se hizo un rediseño del método de evaluación al estudiante, para dar un marco de evaluación al
curso de Estadística en carreras de Ingeniería, basados en la evaluación continua y una
permanente interacción teórica-práctica, además de la incorporación de los proyectos de
análisis de datos como técnica didáctica. Con este marco se aspira a que la educación se
vuelque sobre el contexto, creando un escenario para la puesta en obra del aprendizaje de la
estadística a partir de un variado menú de actividades, abriendo puertas para enriquecer el
aprendizaje a través de la búsqueda de información, la observación, las entrevistas, la
interacción, la experimentación, la utilización de recursos tecnológicos e informáticos, la
producción oral y escrita, y el trabajo en equipo (Fernández y Guitart, 2005).
17
Algunas de las conclusiones que se obtuvieron fueron que: las pruebas objetivas no solamente
se emplearon como un instrumento de autoevaluación, sino como un útil instrumento de
evaluación continua; las pruebas de resolución de problemas tienen el carácter de
evaluaciones integradoras, complementarias al de las pruebas de objetivos, permitiendo
también la observación de aspectos procedimentales y actitudinales.
Un punto muy importante, desde nuestra perspectiva, fue la identificación de errores y
dificultades que con mayor frecuencia presentan los alumnos durante la enseñanza y
aprendizaje de la Estadística y la Probabilidad, para progresar en el mejoramiento continuo del
proceso.
Otra investigación en el mismo país, en la Universidad Nacional Superior del Profesorado
“Joaquín V. González”, fue sobre el análisis de una propuesta de aplicación del Teorema de
Bayes a partir del planteamiento de situaciones en las que el decisor puede contemplar la
posibilidad de comparar información adicional que le ayude a delinear, dentro de su visión
subjetiva, el comportamiento de una o más variables inciertas estimadas relevantes en su
problema. Con los procedimientos que se analizaron en los distintos casos a considerar, el
decisor tuvo que calcular el valor esperado de la alternativa óptima en cada matriz de decisión
que podría suscitarse ante la posibilidad de cada mensaje. Luego, y sobre la base de la
probabilidad de cada mensaje, obtener un valor esperado resultante de la distinta combinación
de alternativas óptimas según el que acontezca. Ese será el valor esperado calculado, si
decidiera comparar información (Blanco, 2006).
Una vez llevada a cabo la puesta en escena de la propuesta, se reportaron como resultados que:
•
La modelización es un proceso clave muy poco trabajado en el aula y permite a los
alumnos comprender la utilidad de los conceptos matemáticos para la resolución de
situaciones problemáticas de la realidad, y
•
La reflexión sobre el trabajo debería ser una tarea cotidiana. Este aprovechamiento de
los conceptos estadísticos es fundamental para la comprensión del valor de la
información adicional y medición de su cantidad, entre otros.
18
Con respecto a la probabilidad, Urrea (2005) identifica y analiza algunas de las estrategias y
desviaciones presentes en el razonamiento probabilístico de un grupo de estudiantes
universitarios, al abordar cierto tipo de situaciones en las que se requiere usar ideas básicas
relacionadas con el concepto de la probabilidad. Específicamente, en su estudio se
consideraron los siguientes tres aspectos: el curricular, el psicológico cognitivo y el
relacionado con el desarrollo de las nociones de probabilidad y aleatoriedad desde la
perspectiva de la disciplina.
Algunos de los resultados que salieron a la luz, fue que durante la revisión de los programas de
asignatura de los cursos que contemplan probabilidad, se pudo ver que la estructura que
tienen, está orientada a priorizar el desarrollo de la estructura lógico secuencial de la
disciplina, más que el desarrollo de las concepciones e intuiciones que el estudiante debe
lograr al terminar dichos cursos; produciendo en cambio, sesgos de equiprobabilidad, del
enfoque del resultado aislado, insensibilidad al tamaño de la muestra y concepciones erróneas
en las secuencias aleatorias.
En un estudio (Grande y Velázquez, 2007) se pretendió reconocer la práctica o la estrategia de
simulación, que realizan los estudiantes al momento de resolver problemas de probabilidad.
Como avances, sólo se pudo hacer ver que los alumnos se acercaron a la solución de los
problemas planteados mediante el uso de los diagramas de árbol, monedas de diferente
denominación y papelitos. Los autores afirman que la práctica de la simulación enriquece el
conocimiento matemático del ser humano y, en particular, el de la probabilidad.
En lo que respecta a la didáctica de la estadística, en la actualidad la formación estadística en
el nivel universitario demanda cimientos desde la educación básica, tal como hacen referencia
Maldonado y Ojeda (2007), cuyo trabajo de investigación tuvo por objetivo caracterizar la
comprensión de ideas fundamentales de la estadística: muestra y variable estocástica en
educación primaria, y diseñar actividades para la enseñanza de estos contenidos en ese nivel
educativo. En su primera etapa, examina la propuesta institucional “tratamiento de la
información” en el plan y programas de estudio de educación básica, así como las respectivas
lecciones en los libros de texto, como referente para investigar su enseñanza en este nivel
educativo.
19
Se obtuvo que la enseñanza de conceptos estadísticos, en particular las ideas de muestra y
variable estocástica, han sido muy limitadas. Esta situación emerge de una formación escasa
en ésta área, lo cual sugiere la necesidad de introducir su enseñanza desde el nivel básico
(preescolar y primaria). En general, no se hace énfasis en la idea de muestra, necesaria para
identificar la previsión de unos datos respecto a otros. Con relación a la idea de variable
estocástica, ésta se utiliza para asignar números a los resultados de un espacio de muestra.
Por otro lado, ¿qué referentes se tienen respecto al uso de tecnología para la enseñanza de la
Probabilidad y Estadística? Torres y Gibert (2007) presentan un proyecto del uso de
programas de aplicación en matemáticas, con miras a que sea utilizado para la compresión de
la Probabilidad y Estadística como una prioridad para las Escuelas desde los niveles Medio y
Superior. Al impulsar la implantación del uso de esas herramientas, el alumno pondrá en
práctica los métodos y conocimientos adquiridos en el aula, visualizando los resultados e
interpretando los mismos de una manera amigable, poniendo en práctica sus conocimientos
adquiridos en cursos de computación y en el uso de paquetes como Statgraphics, Excel,
Statistica, Minitab, MAPLE, entre otros. Las computadoras pueden cambiar la relación entre
estudiantes y profesores, al permitir al estudiante ser cognitivamente más activo y favorecer la
reorganización de sus esquemas conceptuales.
En síntesis, la investigación en Didáctica de la Estadística cada vez se va fortaleciendo,
estableciendo condiciones para el desarrollo de prácticas educativas centradas en la
construcción del conocimiento, orientadas a culturizar a los alumnos estadísticamente para
poder tomar decisiones, interpretar gráficos, hacer inferencias, entras otras cosas, que no
necesariamente tienen que ser de carácter laboral, pues en la actualidad, la información en
forma de gráficos, tablas, listados y concentrados de datos, los encontramos en cualquier
medio de información.
20
1.1.3. LA EDUCACIÓN ESTADÍSTICA EN MÉXICO
1.1.3.1. La educación estadística en el nivel básico
La educación estadística en México comienza a impartir de los niveles básicos,
particularmente en la primaria se realizan acercamientos sobre conjuntos de datos, gráficos, las
medidas de posición central, todos ligados al tratamiento de la información. Durante la
formación de los alumnos en el nivel básico (primaria) la educación estadística se divide en
dos temas, Tratamiento de la información y Predicción y al azar.
Algunos de los fines educativos de nivel primaria sobre el Tratamiento de la información son
los siguientes:
•
Realizar interpretación de información contenida en ilustraciones, registros y
pictogramas (lectura de gráficos).
•
Resolución de problemas a partir de la información de los gráficos.
•
Recolección de datos de forma periódica y a través de la observación para la resolución
de problemas.
•
Representación de información en tablas de frecuencia y gráficas de barras
(representación de información mediante estadísticos; construcción de gráficos).
•
Análisis de las tendencias en gráficas de barras: promedios, valor más frecuente, la
mediana (propiedad de representatividad).
•
Elaborar gráficas de variación proporcional y no proporcional para resolver problemas
(análisis de la variación de los datos).
•
Uso de la frecuencia relativa (predicción).
•
Lectura de diversas fuentes para la obtención de datos (investigación).
Con respecto a la Predicción y al azar se tienen los siguientes:
•
Predicción de hechos y sucesos donde no interviene el azar (predicción).
•
Uso de las expresiones más probable y menos probable en la predicción de resultados.
21
•
Análisis e interpretación de gráficas para hacer predicciones (lectura, interpretación y
predicción).
Para el logro de todo lo anterior, se tiene que la construcción de los conocimientos estadísticos
en los niños se puede dar mediante experiencias concretas. El diálogo, la interacción y la
confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje, favoreciendo la construcción de
conocimientos; y tal proceso es reforzado por la interacción con los compañeros y con el
profesor. Además, para llegar al éxito en el aprendizaje en la disciplina de las matemáticas
depende, en cierta forma, del diseño de actividades que promuevan la construcción de
conceptos a partir de experiencias concretas, en la interacción con otras personas y la
socialización de ideas. En esas actividades, las matemáticas deberán ser para el niño
herramientas funcionales y flexibles que le permitan resolver las situaciones o problemas que
se le planteen.
Las matemáticas permiten resolver problemas en diversos ámbitos, como el científico, el
técnico, el artístico y la vida cotidiana. Si bien todas las personas construyen conocimientos
fuera de la escuela que les permiten enfrentar dichos problemas, esos conocimientos no bastan
para actuar eficazmente en la práctica diaria. Los procedimientos generados en la vida
cotidiana para resolver situaciones problemáticas muchas veces son largos, complicados y
poco eficientes, si se les compara con los procedimientos convencionales que permiten
resolver las mismas situaciones con más facilidad y rapidez.
Se requieren contar con habilidades cognitivas, conocimientos estadísticos y formas de
expresión para poder comunicar y comprender la información matemática presentada a través
de medios de distinta índole. Se considera como una de las funciones de la escuela, brindar
situaciones en las que los estudiantes utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver
ciertos problemas y que, a partir de sus soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus
formas de
solución para
hacerlos evolucionar
conceptualizaciones propias de las matemáticas.
hacia
los procedimientos
y las
Por tanto, vemos que la creación de
situaciones didácticas (Brousseau, 1986) tiene presencia en el quehacer de la educación
primaria y que deben de ser creados con un fin en particular, la construcción de objetos
matemáticos, dejando que sea el alumno quien interactúe con el medio y obtenga sus propios
resultados.
22
Continuando con la educación básica, en la secundaria se hace presente nuevamente el estudio
de las medidas de posición central y el tratamiento de la información, pero ahora con
conceptos cada vez más sólidos y trabajos más complejos. De la misma manera que en la
primaria, la educación estadística en secundaria se divide en dos ejes temáticos, estos son:
Manejo de la información y Representación de la información (Reforma de Secundaria,
2006). Entre los fines del primero se encuentran:
•
Resolver situaciones en donde se halle un valor faltante en diversos contextos,
mediante diversos métodos: los flexibles, operadores fraccionarios y decimales, y
procedimientos expertos.
•
Elaboración y empleo de procedimientos para resolver problemas de reparto
proporcional (repartición equitativa).
•
Interpretación del efecto causado por la aplicación de factores constantes de
proporcionalidad.
•
Representación de gráficas cuya relación de proporcionalidad se dé en el plano
cartesiano.
•
Interpretación, elaboración y empleo de gráficas de un conjunto de datos para analizar
su distribución a partir de la mediana o media de dos o más poblaciones.
Respecto al segundo se tienen:
•
Resolución de problemas mediante el empleo de tablas y diagramas de árbol (uso de
los gráficos).
•
Interpretación y comunicación de información mediante la lectura, descripción y
construcción de tablas de frecuencia (lectura de gráficos).
•
Interpretación de información representada en gráficas de barras, circulares, de
frecuencias, provenientes de distintos medios de información y la comunicación de
estos a través de otras formas de representación (Lectura de gráficos y tránsito entre
distintos tipos de representación).
•
Comparación de comportamientos de dos o más conjuntos de datos referidos a una
misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de posición central (análisis de la
variación de los datos).
23
•
Anticipación de resultados en problemas de conteo (predicción).
•
Interpretación y cálculo de las medidas de posición central de un conjunto de datos
agrupados; consideración especial de las propiedades de la media aritmética (propiedad
de representatividad).
•
Interpretación y empleo de dos o más gráficas de línea que representan una situación o
fenómeno para tener mayor información y, en su caso, tomar decisiones (toma de
decisiones).
•
Construcción, interpretación y utilización de gráficos.
Con base en lo antes expuesto, podemos sintetizar los principales fines de la educación
estadística en la educación básica, al observar la relación entre el tratamiento de los conceptos
estadísticos y el tratamiento de la información en la primaria y secundaria. De modo que, se
esperaría que al llegar al nivel medio los estudiantes sean capaces de:
•
Recolectar datos.
•
Leer gráficos para comunicar información proveniente de diversas fuentes.
•
Construir y manejar gráficos.
•
Calcular las medidas de posición central.
•
Transitar entre distintos gráficos.
•
Analizar la variación de los datos.
•
Tomar decisiones ante situaciones o fenómenos en donde la incertidumbre se hace
presente.
Se aprecia claramente que existe una evolución y preservación de los fines de la educación
estadística, perseguidos en la educación primaría y secundaria.
Con respecto al enfoque didáctico para la consecución de estos fines, debe basarse en la
metodología didáctica en la que se sustentan los programas de educación secundaria, la cual
consiste en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y
los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver problemas y a formular
argumentos que validen los resultados, enmarcada en la teoría de situaciones didácticas
(Brousseau, 1986). Bajo esta perspectiva, el medio y el problema serán importantes para
“enganchar” a los estudiantes, teniendo que afrontar el profesor problemas tales como: la
24
resistencia que los alumnos presentan ante el aprendizaje de las matemáticas, la dificultad
para leer y por lo tanto para comprender los problemas, el desinterés para trabajar en
equipo, la falta de tiempo para concluir las actividades y los espacios suficientes para
compartir experiencias. Entre las competencias que se desean alcanzar durante la evaluación
de la situación están: el planteamiento y la resolución de problemas, la argumentación, la
comunicación y el manejo de técnicas.
1.1.3.2. La educación estadística en el nivel medio
Podemos ver cómo es que, desde cursos previos al bachillerato, la educación estadística se
hace presente y se encuentra ligada al tratamiento de la información. No obstante, puede
observarse en la realidad educativa un gran trecho entre la educación estadística del nivel
básico y el medio. Ahora, ¿los fines de la educación básica se encuentran ligados con los de
la educación media? De ser así, se deben de preservar algunos y otros deben de evolucionar,
por lo que para responder a dicha pregunta, presentaremos los fines propuestos en el nivel
medio (tomados de la Dirección de Bachillerato General, 2006).
Para comenzar, en la introducción de este capítulo expresamos que en la educación estadística
del nivel medio se extiende el número de horas de la materia Probabilidad y Estadística,
dividiéndose en dos partes, en virtud de su importancia por la necesidad, casi instintiva del ser
humano, de tomar en cuenta datos de diversos hechos que resultan esenciales en su vida; por
otra parte, la necesidad de convivencia y organización entre los individuos nos lleva a
considerar que es difícil imaginar un organismo social sin datos con propósitos estadísticos.
La asignatura Probabilidad y Estadística I, introduce al alumno hacia el conocimiento y
necesidad de interpretar datos, y al cálculo de posibilidades de la ocurrencia de un evento,
centrándose en la:
•
Recolección de datos, teniendo como finalidad la obtención de un conjunto de datos,
tras conocer su clasificación y utilidad, mediante el manejo conceptual y práctico de
los términos básicos de la estadística y los tipos muestreo;
•
al análisis de situaciones de su vida cotidiana o escolar;
25
•
la Representación tabular y gráfica, donde construirá una representación tabular y
gráfica de un conjunto de datos, tras conocer el tipo de datos, aplicando los
procedimientos propuestos, mostrando una actitud reflexiva y crítica;
•
las Medidas de tendencia central y variabilidad, donde calculará la media, mediana,
moda, desviación estándar y varianza de un conjunto de datos, tras conocer su
comportamiento en datos agrupados y no agrupados, aplicando los procedimientos
propuestos, mostrando una actitud crítica y propositiva.
Se tiene entonces que los alumnos deben de poder realizar:
•
Recolección de datos.
•
Construcciones tabulares y gráficas.
•
Calcular medidas de posición central y de variación de los datos.
Al parecer la educación estadística en educación media gira en torno a estos tres ejes, empero
de acuerdo con los propósitos de la reforma curricular, la formación de los estudiantes no
puede limitarse simplemente a la adquisición de conocimientos, de manera memorística o
“enciclopédica”, por lo que se han establecido Siete Líneas de Orientación Curricular con la
finalidad de desarrollar las capacidades básicas que fortalezcan las estructuras de pensamiento
y acción, esenciales para la formación integral del estudiante, lográndose a través de la
selección de actividades didácticas. Las líneas de orientación curricular son:
•
Habilidades de pensamiento: se presentan al establecer conceptos con palabras
propias, presentar ejemplos y argumentar su selección, relacionándolo con lo
aprendido; comparar conceptos, jerarquizar u ordenar información; razonamiento
lógico y analógico al plantear situaciones de su propio interés para aplicar los
conocimientos y presentar resultados y conclusiones.
•
Habilidades de comunicación: el estudiante debe de exponer, explicar, comentar y
discutir los resultados obtenidos, así como argumentar sus conclusiones, en trabajos
individuales y en grupo; de esta forma también el alumno comunica el tema que ha
seleccionado no solamente en forma oral o escrita, sino también a través del uso del
lenguaje gráfico.
26
•
Metodología: sobre la presentación de los trabajos, aquí el profesor orienta sobre la
forma en que se aplica el conocimiento de los diferentes temas y el alumno, con base
en esta experiencia, lo traslada al trabajo escolar requerido, a través de ejercicios
referentes a la aplicación de distintas técnicas para obtener, recolectar, organizar, medir
y representar datos y resultados, utilizando métodos de muestro, encuestas, censos;
distribución de frecuencias para datos agrupados y sin agrupar; la representación
tabular y gráfica, con simbología y diagramas; las técnicas de conteo; la aplicación de
medidas de tendencia central y variabilidad en el análisis descriptivo e inferencial de
los datos.
•
Calidad: entendida como el creciente perfeccionamiento en el proceso educativo, al
fomentar en el alumno una tendencia permanente para el fortalecimiento de actitudes.
•
Educación ambiental: aquellas actividades que buscan que el alumno adopte una
actitud ante el medio ambiente fomentándole una conciencia de corresponsabilidad
entre las acciones que contribuyen a la conservación del equilibrio ecológico y el uso
de los recursos naturales.
•
Democracia y derechos humanos: se promueve el respeto, la tolerancia, la capacidad
de solidarizarse frente a las necesidades de los otros por medio del trabajo grupal en
exposiciones, y la libertad de tratar los temas que se consideren de interés.
Con estas Siete Líneas de Orientación también se buscan contrarrestar algunas de las
dificultades que se presentan en la educación secundaria, las cuales pueden ser transportadas a
las aulas del nivel medio si no son corregidas con anterioridad.
Ahora trataremos sobre los contenidos que se trabajan en la materia. Con respecto a la
Recolección de datos se realiza la presentación de los términos que serán empleados durante el
curso y con sus respectivas definiciones, como lo son: población, muestra, variable, parámetro
estadístico, etc., y los distintos tipos de muestro.
Las estrategias de enseñanza para esta unidad radican en la presentación de ejemplos de
situaciones reales donde se haga uso de la estadística, como lo son encuestas realizadas por
periódicos, revistas, empresas, etc., en las que se lleva a cabo un pequeño análisis o lectura de
ellos mediante ciertas preguntas, tales como: ¿Qué se pretende al presentar estadísticas?
¿Cómo se obtuvieron los datos? ¿Cuál es la importancia de los datos?, y otras,
27
relacionándolas con definiciones y con situaciones de interés para los estudiantes. Es una
estrategia sugerida también, la formación de grupos de trabajo para que los alumnos
seleccionen una situación de interés y obtengan la muestra representativa acorde a las
necesidades de estudio.
En la unidad Representación tabular y gráfica se realiza el tratamiento de distribuciones de
frecuencias, relativas, absolutas y acumuladas, su construcción para datos agrupados y sin
agrupar, en forma ascendente o descendente, y su representación gráfica.
Las estrategias de aprendizaje se llevan a cabo mediante el planteamiento de situaciones reales
o ficticias, donde sea posible obtener datos de los alumnos, mostrar la forma en que se
construye una distribución de frecuencias y su interpretación, tanto con datos agrupados como
sin agrupar. También situaciones sobre histogramas, polígonos de frecuencias, ojiva, gráficas
de barras o de pastel, provenientes de periódicos, revistas, televisión y otros medios de
comunicación. En las actividades, los estudiantes deberán comentar la forma en que se
construyen cada una de ellas e interpretarlas. La tecnología aparece hasta en este nivel, en
donde programas como Word, Excel y Power Point serán usados para la explicación y
construcción de gráficos.
Por último, haremos referencia a la unidad de Medidas de tendencia central y variabilidad, en
donde se calcularán las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y de
variabilidad (rango, varianza y desviación estándar) para un conjunto de datos agrupados y no
agrupados mediante los algoritmos presentados en el aula.
Las estrategias de aprendizaje para dicha unidad consisten en presentar artículos de periódicos
o de revistas, que ejemplifiquen el uso de las medidas de posición central, mostrar el
procedimiento para calcularlas, relacionarlas con alguna gráfica y la graficación de las
medidas de posición central. El mismo argumento es empleado para las medidas de variación,
solicitando al estudiante la elaboración de la gráfica correspondiente, indicar la ubicación de
las medidas y determinar la cantidad de datos que se encuentran, por ejemplo, entre la media ±
3 desviaciones estándar. El programa Excel es empleado para la obtención de dichas medidas,
es decir, como una herramienta de cálculo de valores.
28
Resaltamos que durante la materia de Probabilidad y Estadística I, no se realizan la
construcción de los algoritmos de las medidas de tendencia central, simplemente son
presentadas por el profesor y, por lo tanto, queda en lo memorístico. Se habla de medidas de
tendencia central más nunca de sus características, propiedades, cuándo emplearlas, en qué
contextos, bajo qué condiciones, por lo que la propiedad de representatividad no se hace
presente; se realizan las gráficas de dichas medidas sin hacer referencia a su obtención
mediante el empleo de gráficos, es decir, no existe una relación entre las medidas de tendencia
central y la lectura de gráficos; se debe de excluir lo de situaciones ficticias y tratar de que los
datos sean los más reales posibles; no se realizan predicciones; es necesario que se propicie la
toma de decisiones por parte del estudiante; la tecnología es empleada como una herramienta,
al igual que una calculadora científica, para calcular valores o para graficar, más no para
realizar un análisis de la variación de los datos.
La estrategia de enseñanza en la asignatura de Probabilidad y Estadística II recae en el
tratamiento de las variables cualitativas y cuantitativas con respecto a su obtención,
concentración en tablas, elaboración de diagramas, su interpretación, la correlación existente
entre dos variables, todo esto mediante la proposición de ejercicios hacia los alumnos los
cuales serán trabajados en equipos. Se llega a tener de nueva cuenta el proceso de:
definiciones, ejemplos, ejercicios.
Finalizamos expresando que uno de los puntos importantes que se aprecian en cada uno de los
programas de estudios de probabilidad y estadística del Colegio de Bachilleres de Yucatán, es
que en la primera se trabaja sobre las medidas de tendencia central en general; mientras que en
la segunda, se hace una particularización del tratamiento de la media aritmética en las
distribuciones, ya sean discretas o continuas, junto con su empleo en los modelos de regresión
lineal. De manera que, si en un principio, el estudiante no ha comprendido las medidas de
tendencia central, le será difícil relacionarlas con los conceptos subsecuentes, al no saber por
qué ese valor y no otro.
En ambas asignaturas, se tiene también que es el profesor quien presenta la gran mayoría de la
información, comenzando por las definiciones, el tratamiento de los ejemplos, la explicación
de la manera de obtener ciertos resultados, los algoritmos, etc., seguido de los ejercicios
correspondientes, individualmente o en equipo. Se deja a un lado, la parte en donde es el
29
alumno quien construye su conocimiento, enfocándose en los procedimientos para la
resolución de ejercicios más no de problemas. Al final, se logra apreciar cómo es que poco a
poco la estadística y la probabilidad llegan a parecer un “recetario” de fórmulas y técnicas.
Por otra parte, la bibliografía propuesta no se hace explícita, se remite a una página de internet
en la cual se encontrará un listado de libros. En cuanto a los libros de textos, la introducción y
tratamiento de los conceptos, los tipos de ejemplos y ejercicios empleados en algunos tipos de
bachillerato, se analizarán con mayor detalle en el apartado de análisis didáctico en el capítulo
IV, el cual reservamos para ello.
Finalmente, los objetivos de la educación estadística en el nivel medio se centran en: fomentar
la cultura estadística en las personas (para que adopten la cultura de tomar decisiones),
predecir valores, hechos o fenómenos, interpretar y construir gráficos estadísticos, elegir un
valor representativo de un conjunto de datos el cual lo describa lo mejor posible, y utilizar la
estadística, no como un simple formulario para calcular valores, sino más bien para poder
explicar y justificar hechos y situaciones de la vida real de carácter aleatorio.
30
CAPÍTULO II. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Introducción
Con el paso del tiempo, la estadística se ha ido incorporando a los currículos escolares
propiciándose su tratamiento, desde los niveles básicos hasta los más avanzados de la
educación, así como su aplicación a diversas ciencias fuera de la matemática pura como lo
son: las ciencias humanas, sociales, ingenierías y demás.
El estudio de la estadística va más allá de simplemente realizar cálculos matemáticos o
aritméticos, mediante la sustitución de valores en fórmulas ya dadas; es realizar un análisis de
la variación del conjunto de datos, su comportamiento tendencial, los patrones que producen,
la interpretación de resultados ante distintas situaciones para la toma de decisiones, etc.
En México, la educación estadística comienza desde la primaria con nociones y acercamientos
a situaciones de la vida real en el que el estudiante está sumergido. Conforme avanza su
formación académica, el conocimiento estadístico cada vez se hace más rígido, las
aplicaciones en situaciones reales son más frecuentes con la llegada al nivel universitario en
donde la estadística es empleada para realizar investigaciones de campo, con el fin de reportar
hechos, sucesos y tomar decisiones.
En situación escolar, los conceptos de medidas de posición central, son concebidos como
fórmulas para calcular valores o promedios, dejando a un lado el análisis de la variación de los
datos, y sobre todo, la falta de entendimiento de su propiedad de representatividad. En este
capítulo damos pie a lo que es nuestro problema, objetivo y justificación de la investigación.
31
2.1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Diversas investigaciones en didáctica de la estadística (Batanero, 2001;
Mayén, Cobo,
Batanero y Balderas, 2007) alrededor de las medidas de posición central, reportan su
incomprensión por parte de los alumnos, tanto de secundaria como de bachillerato. Se
observan también dificultades, tales como: aplicar inversamente el algoritmo para calcular la
media y mediana en un conjunto de datos, dar un resumen cuando los datos son
proporcionados mediante gráficos, reconocer su propiedad de representatividad, identificar las
posiciones relativas de media y mediana en distribuciones asimétricas y en la elección de la
medida de tendencia central más adecuada en una situación determinada y el uso de los
promedios en la comparación de distribuciones, entre otras. De modo que, se hace evidente la
carencia de significado de estos conceptos, así como su nula interpretación para la toma de
decisiones.
Algunas causas de lo anterior, refieren a las prácticas docentes en el aula para la enseñanza de
la estadística, enfocadas en secuencias de definiciones, ejemplos, ejercicios, basadas en
aplicaciones de fórmulas y tablas de datos. Dichas prácticas ocasionan grandes lagunas en los
alumnos sobre los conceptos ya antes mencionados, al priorizarse la mecanización y
memorización de algoritmos y sustitución de valores de los datos en fórmulas, generando una
comprensión instrumental de éstos, más no conceptual. Se deja de lado el uso de gráficos para
el tratamiento de la media aritmética y mediana, por lo que un análisis de la variación de los
datos, para notar los efectos que tienen las valores del conjunto de datos sobre las medidas de
posición central, no se lleva a cabo. Por lo tanto, no se centra la atención en la propiedad de
representatividad inherente a estos dos conceptos estadísticos, suscitando la falta de
herramientas o fallas en la toma de decisión de cuál es el valor más representativo de un
conjunto de datos.
Por otra parte, en México, se realizó una investigación con el fin de poder comprobar si las
dificultades detectadas, sobre las medidas de posición central, en el contexto español son
32
específicas o bien, compartidas por estudiantes de edades próximas, pero en un contexto
educativo diferente; ya que este sería un primer paso para plantear propuestas didácticas, las
cuales permitan superar las dificultades detectadas, en estudiantes de bachillerato entre 17 y 18
años. Como resultados se obtuvieron que las dificultades presentadas por los estudiantes
españoles también son compartidas por los mexicanos y, en el caso de los segundos, se
mantienen con la edad.
Algunas de las dificultades presentes fueron: estimar la mediana a partir de un gráfico; el
cálculo de la media ponderada, dado que los alumnos no tienen en cuenta la ponderación de
los datos; la falta de ordenamiento al momento de calcular la mediana y no resolver la
indeterminación que surge cuando se tienen dos valores centrales; así como, no reconocer el
efecto que tienen los valores atípicos sobre los valores representativos de un conjunto de
datos.
No obstante, se tienen resultados satisfactorios cuando no aparece la ponderación de los datos,
pues los alumnos reconocen intuitivamente algunos campos de problemas y propiedades de la
media, y son capaces de realizar correctamente el algoritmo. Aún así, aparecen todavía errores
y dificultades, algunos muy frecuentes.
Un factor de tales dificultades, es la falta de conocimiento de los profesores de la génesis,
prácticas humanas e ideas ligadas al desarrollo y aplicación de los conceptos estadísticos. Esto
es, que los profesores lleven a cabo una vigilancia epistemológica de los conceptos para
diseñar actividades didácticas que favorezcan la construcción de los mismos, en situaciones
propicias para entender el sentido y el significado de los conceptos y métodos estadísticos.
Con respecto a la evolución de las medidas de tendencia central, como concepto y como
método para determinar un valor representativo de un conjunto de datos, se sabe que, desde la
antigüedad, ha estado ligado al tratamiento de la información y al uso de gráficos. Por
ejemplo, los egipcios realizaban censos de la población y de sus tierras para una nueva
repartición de las mismas, debido al nivel de cauce del rio Nilo que subía cada año. Por su
parte, los Babilonios asentaron en tablillas de arcilla, registros sobre los movimientos de los
astros y planetas, resolviendo un problema de estimación mediante el cálculo de la suma total
33
de las observaciones y dividiéndolo por el número de datos para determinar la posición de los
planetas (Plackett, 1970).
En siglo XV, cuando las tormentas causaban en las embarcaciones la pérdida de bienes, estos
tenían que ser pagados mediante un acuerdo de todos los que llevaban mercancía en el mismo
buque. El daño causado por el mar al cargamento se conocía como “havaria”, y la palabra
llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenía que pagar como
compensación. De esta palabra latina se deriva la palabra avarage (promedio), que en nuestros
días es empleada como sinónimo de media aritmética, mediana o moda, pero más como la
primera, (Newman, 1968).
En 1669, Huygens, extraído de Michael y Denis (2007), realizó el primer gráfico de una
función continua y la demostración de cómo determinar el promedio de vida restante de una
persona de cierta edad.
Por otro lado, la construcción de gráficas, es parte esencial de los cursos de estadística en
bachillerato. No obstante, muchas veces el uso de las gráficas en el aula se restringe a
considerarla como una forma alternativa de representación y manejo de datos, en ocasiones
solo se miran como figuras carentes de significado. Es decir, en el contexto escolar no se
propicia un análisis puntual y global de las gráficas y su interpretación en el tratamiento de
información para hacer inferencias y tomar decisiones. Los profesores suponen, a veces, que la
elaboración de tablas y gráficos es muy sencilla y dedican poco tiempo a su tratamiento en el
aula de clase. Sin embargo, elaborar una tabla de frecuencias o un gráfico supone una primera
reducción estadística, pues se pierde la originalidad de cada uno de los datos individuales, al
momento de pasarse a la distribución de frecuencias (Batanero 2001).
Cuando las gráficas son usadas en clase, ya sea proporcionadas por el profesor o elaboradas
por el estudiante, no se tienen en cuenta que cada una de ellas posee diferentes componentes:
ejes, escalas y elementos específicos que son cruciales en su interpretación, tales como el
título o las indicaciones que hacen referencia a las variables representadas en cada uno de los
ejes. Esto trae como consecuencia dificultades para su análisis e interpretación.
34
En el caso más sencillo, los gráficos tienen un eje de coordenadas cartesianas en dos o tres
dimensiones, aunque cada eje puede representar valores de las variables, frecuencias,
promedios u otros resúmenes estadísticos que requieren de los títulos relativos a cada variable,
dependiendo del gráfico, y en algunos casos los ejes están implícitos, como en el gráfico del
tallo y hojas o están basados en coordenadas polares como el gráfico de sectores.
La destreza de la lectura crítica de datos, es una componente de la alfabetización cuantitativa y
una necesidad en nuestra sociedad tecnológica, pues encontramos tablas y gráficos en la
prensa, el comercio, la profesión, así como en distintas asignaturas del currículo matemático.
Además, las nuevas tecnologías posibilitan realizar gráficos estadísticos de modo rápido y
eficaz.
Por su parte Curcio (1989), citado por Batanero (2001), ha exhibido cuatro niveles distintos
para la lectura de tablas y gráficos estadísticos que pueden aplicarse en el aula:
1. “Leer los datos”: este nivel de comprensión requiere de una lectura literal del gráfico;
no se realiza interpretación de la información contenida en el mismo, es realizarlo de
manera general.
2. “Leer dentro de los datos”: incluye la interpretación e integración de los datos en el
gráfico; requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y
destrezas matemáticas, como por ejemplo la variación de los datos.
3. “Leer más allá de los datos”: requiere que el lector realice predicciones e inferencias
a partir de los datos sobre informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico.
4. “Leer detrás de los datos”: supone valorar la fiabilidad y completitud de los datos.
Con base en lo anterior, tampoco se lleva a cabo la teoría de Wainer (1992), citado por
Batanero (2001), quien clasifica el tipo de preguntas que se pueden plantear a partir de una
gráfica en tres niveles:
•
Nivel elemental. Las preguntas se encuentran relacionadas únicamente con la
extracción de datos directamente del gráfico.
35
•
Nivel intermedio. Las preguntas se relacionan con la evaluación de tendencias
basándose en una parte de los datos.
•
Nivel superior. Las preguntas son acerca de la estructura profunda de los datos
presentados en su totalidad, usualmente comparando tendencias y notando
agrupaciones.
Sin esto, los estudiantes no son capaces de cuando menos estar dentro de las tres primeras
categorías que Gerber y cols (1995), citado por Batanero (2001), distinguen sobre los niveles
de habilidades que los estudiantes presentan para la interpretación y compresión de las
gráficas. Siendo éstas las siguientes:
Categoría I. En esta categoría los estudiantes no se centran en los datos, sino más bien en las
características idiosincrásicas de los mismos, que relacionan con su comprensión limitada del
mundo de forma bastante imprecisa. No sólo tienen dificultades en interpretar el contenido de
los gráficos, sino que son incapaces de procesar la información contenida en ellos de forma
coherente.
Categoría 2.Se centran en los datos representados pero de forma incompleta; se centran en
aspectos parciales de los datos y no aprecian el propósito de cada gráfico.
Categoría 3.Aquí ya se centran en todo el conjunto de datos y aprecian el propósito de cada
gráfico pero no comprenden los aspectos específicos que son clave para entender la
representación. Los estudiantes describen proporciones discretas de los datos, más que
patrones y regularidades. No llegan a realizar una interpretación global del gráfico.
Ligada a la construcción y análisis de gráficos se encuentra la variación de los datos. Loosen y
cols., citados por Batanero (2001), realizaron un experimento con 154 alumnos de psicología,
que no recibieron curso alguno sobre dispersión, a quienes se les presentó dos conjuntos
diferentes de bloques A y B. Las longitudes de los bloques A fueron 10, 20, 30, 40, 50, y 60
cm. y las del conjunto B fueron 10, 10, 10, 60, 60 y 60 cm. Al preguntar cuál de los dos
conjuntos presentaban mayor variabilidad se obtuvieron las siguientes respuestas: el 50%
pensó que el conjunto A era más variable, el 36% que el B, y el 14% restante que ambos eran
igual de variables. Los autores interpretaron éstos resultados como prueba de que el concepto
36
intuitivo de variabilidad se iguala al de “no semejanza”, es decir, se preguntan cuánto varían
las observaciones entre ellas, en vez de cuánto varían con respecto a un punto fijo. El uso de
gráficas, haría más sencillo observar la variación de los datos, pues se apreciaría mejor qué
varia, cómo varía y cuánto varía.
El tratamiento de la información, surge ante la necesidad de recopilar, organizar y transmitir
información, tarea que se hace más sencilla mediante el uso de gráficas, empero se precisa
saberlas construir, interpretar y comunicar. Este es un aspecto que falta concretizar en las aulas
desde la educación básica.
Es por ello, que una de las principales dificultades que se han reportado en el estudio de la
estadística, es que los estudiantes no llegan a entender la propiedad de representatividad de la
media aritmética y mediana, por no llevarse a cabo un análisis de la variación de los datos y el
manejo de gráficas.
La idea de representante de un conjunto de datos es importante en las aplicaciones prácticas,
por ejemplo, al comparar dos conjuntos de datos respecto a una misma variable de interés.
Como indican Mokros y Russell, citados por Batanero (2001), hasta que los estudiantes no
conciben el conjunto de datos como un todo, y no como un agregado de valores, no podrán
comprender las ideas de resumen de los datos o representante de los datos, que se refiere al
conjunto global y no a ninguno de sus valores aislados. Si la media aritmética es un parámetro
estadístico utilizado para resumir información de un conjunto de datos, entender este concepto
implica reconocer el papel de representante del conjunto de datos. La idea de
representatividad no es inmediata, antes de llegar a ella los alumnos deben captar la idea del
conjunto de datos como una unidad.
Como se sabe, la media es un valor "típico" o "representativo" de los datos. Campbell, citado
por Batanero (2001) observa que, debido a ello, se tiende a situar la media en el centro del
recorrido de la distribución, propiedad que es cierta para distribuciones simétricas. No
obstante, cuando la distribución es muy asimétrica, la media se desplaza hacia uno de los
extremos y la moda o la mediana serían un valor más representativo del conjunto de datos.
Esto no es siempre comprendido por algunos alumnos, quienes invariablemente eligen la
37
media como mejor representante de los datos, sin tener en cuenta la simetría de la distribución
o la existencia de valores atípicos, como hemos observado en nuestra propia experiencia.
Respecto a la comprensión de la mediana Barr, citado por Batanero (2001), indica que los
alumnos entienden que la mediana es el centro de "algo", pero no siempre comprenden a que
se refiere ese "algo", porque no comprenden realmente que una tabla de frecuencia es sólo un
resumen de los datos y no son capaces de pasar de la tabla a la lista de valores que es una
representación alternativa de los datos. Incluso, si se les da los datos en forma de lista, no
entienden por qué hay que ordenarlos para calcular la mediana, porque no es claro para ellos
que la mediana es un estadístico que se refiere al conjunto ordenado de datos.
Tomando en cuenta el uso e interpretación de gráficos en el tratamiento de la información, las
dificultades que los estudiantes presenta durante el tratamiento de las medidas de posición
central, en particular la media aritmética y mediana, y la contextualización, es que
presentamos los aspectos a considerar en la elaboración de una propuesta didáctica para el
estudio de la media aritmética y la mediana.
2.2.
OBJETIVO DEL TRABAJO
El objetivo de la investigación es elaborar una propuesta didáctica sobre la media aritmética y
la mediana, mediante el uso de gráficas para generar entendimiento con respecto a su
propiedad de representatividad.
Atendiendo a las prácticas que normaron la evolución y constitución de estos conceptos de la
estadística, consideramos la práctica de la repartición equitativa y el uso de los gráficos para
que los estudiantes puedan predecir, tomar decisiones y atribuir un significado a la propiedad
de representatividad de las medidas de posición central. La tarea entonces consiste, en crear
38
las condiciones para los estudiantes construyan nociones e ideas sobre la media aritmética y
mediana, sus algoritmos, así como que generen significados sobre estos conceptos, al transitar
entre los registros gráficos, algebraicos y verbales (en algún contexto).
Con ello, se espera que los alumnos sean capaces de conjeturar, argumentar, interpretar y
tomar decisiones ante situaciones de la vida real las cuales serán cruciales tanto en su vida
profesional como en la diaria.
2.3. JUSTIFICACIÓN
El comprender la media aritmética y la mediana como representantes de un conjunto de datos
y la asignación de significados, ayudaría al alumno a entender mejor otros conceptos
estadísticos como lo son: el valor esperado de X o esperanza de X, la desviación estándar, la
frecuencia relativa, la frecuencia absoluta, la interpretación de gráficos de frecuencias, entre
otros, útiles para el manejo de información y toma de decisiones.
Su extrapolación hacia las carreras de Matemáticas, Actuaría, Veterinaria, Medicina,
Psicología, entre otros, propicia un nuevo uso e interpretación de su significado. Por ejemplo,
durante el tratamiento de distribuciones de probabilidad, en donde la presentación de la media
aritmética, en particular, y la desviación estándar son de la siguiente forma:
X~N(µ, σ2)
lo cual significa que una muestra de tamaño n se distribuye normalmente con media µ y
varianza σ2. Para este caso, en el estudiante podrían suscitarse dos cosas: que simplemente
acepte la información presentada, o bien, preguntarse qué significa que la media sea µ y su
varianza σ2, con valores específicos. En un caso particular, sería así:
X~N (5,36)
39
Vemos como la media es 5 y la varianza 36 de una muestra X que se distribuye normalmente,
entonces si su media es 5 significa que ese valor es aquel que mejor representa al conjunto de
datos que forman la muestra, pero ¿cómo se modificaría la distribución de las probabilidades,
si la media fuera 3 en lugar de 5? Es como en este tipo de situaciones, en lo que resulta
importante saber qué es la media aritmética y qué representa.
En la educación media superior, es importante la enseñanza de la estadística, debido al
manejo frecuente de datos en la vida cotidiana, por su relación con otras asignaturas que el
alumno debe de cursar, así como por sus aplicaciones en diversas disciplinas científicas
durante investigaciones de campo. Sin embargo, el tratamiento que en el nivel básico y medio
se da a los conceptos estadísticos de media aritmética y mediana, es siguiendo la secuencia:
definición, ejemplos y ejercicios, la cual poco favorece su comprensión.
En las prácticas en el aula, las definiciones son presentadas con su respectiva fórmula y los
ejemplos en relación al concepto ya visto. El tratamiento de la información, permanece ajeno
al análisis e interpretación de representaciones gráficas, inhibiendo en el estudiante el análisis
de la variación de los datos.
Se ha reportado, que en los currícula escolares y los libros de texto (referentes inmediatos de
la práctica docente), se concibe la matemática como algo acabado, despersonalizada y
desincretizando los saberes matemáticos. Este aspecto promueve que los docentes, se centran
en la presentación y realización de ejercicios, más que en problemas que puedan provocar la
reorganización de los esquemas cognitivos de los estudiantes y la construcción de su
conocimiento.
Cabe aclarar que entre ejercicios y problemas existe una gran diferencia. La primera, consiste
en que los ejercicios son para automatizar la ejecución de fórmulas, despejes, sustituciones,
etc., mientras que los problemas son más que una simple ejecución, precisa de estrategias,
habilidades y puesta en juego de conocimientos, que le permitan formular un modelo
matemático relacionado a la situación, ejecutarlo e interpretar los resultados.
La segunda diferencia refiere a que los ejercicios son de carácter memorístico y mecanicista,
no conlleva al análisis, al planteamiento de preguntas, la extrapolación de resultados, métodos
40
y secuencias; los problemas sí, proponen un análisis de la situación que da pie a una lectura
más precisa y objetiva, a plantear e implementar un método de resolución, y una interpretación
de los resultados para predecir acontecimientos y tomar decisiones.
Las prácticas educativas referidas anteriormente, no van acordes con una de las metas de la
educación estadística que, en general, consiste en la culturización estadística de las personas
para que sean capaces de realizar análisis de los conjuntos de datos, representarlos
gráficamente, identificar patrones de comportamiento, interpretar y extrapolar resultados,
tomar decisiones, predecir y comunicar información.
Es por ello que la construcción de propuestas didácticas, como segundo paso a las
investigaciones que reportan las dificultades y errores que los estudiantes presentan durante el
tratamiento de las medidas de posición central, en particular para la media aritmética, mediana
y su propiedad de representatividad, consideramos ayudarán a culturizar estadísticamente a los
estudiantes como futuras personas que encabezarán a la sociedad, para entender la
información que aparece en los medios de comunicación y desempeñarse adecuadamente en lo
laboral. Acciones como interpretar, comunicar, validar, predecir y tomar decisiones ante
situaciones de incertidumbre, empleando estadísticos, analizando gráficos, tablas, la variación
de los datos, etc., serán requisitos necesarios para enfrentar tanto la vida profesional como lo
que respecta a lo social.
De este modo, se llevaría a cabo la participación activa de los estudiantes, creando condiciones
favorables para la argumentación de métodos, resultados, elecciones y acciones, que los
estudiantes vayan generando hacia la construcción de conocimiento estadístico. Así, en las
instituciones se transformaría la manera de enseñar los conceptos de media aritmética y
mediana, al considerar incluso el uso de software, como Excel, por las facilidades de poder
manipular los datos y de generar gráficos.
Con la presente propuesta, se pretende que los estudiantes sean capaces de construir el
algoritmo de la media aritmética y mediana, analizar la variación de los datos para elegir el
valor que mejor represente a un conjunto, predecir futuros acontecimientos y tomar decisiones.
Esto, conlleva un beneficio para el estudiante al dotarlo de ciertas herramientas que le
permitan el uso de la estadística, tanto en contextos cotidianos como profesionales.
41
Con este trabajo, intentamos exhibir un nuevo panorama de la educación estadística, haciendo
énfasis en la construcción de los saberes matemáticos por parte del estudiante.
Aunado a lo anterior, tomamos como punto importante el uso, interpretación y utilidad de los
gráficos en el tratamiento de la información la cual es una actividad inmersa en el desarrollo
de la estadística, así como en diversos ámbitos profesionales y la generación de nuevo
conocimiento en diversas áreas. Así mismo, posibilita que los estudiantes sean capaces de
conjeturar y dar argumentaciones para justificar sus resultados y métodos, hacer inferencias y
tomar decisiones.
El mundo que nos rodea está plagado de información en constante cambio. Los medios de
comunicación cada vez emplean más y más a las representaciones gráficas por su capacidad de
condensar la información. Su análisis debe de ser minucioso para comprender, entender,
predecir y tomar decisiones a futuro para la vida, por lo que la propuesta didáctica pretende
comenzar a culturizar a los estudiantes en la estadística más que en construir un algoritmo para
ser empleado en cualquier momento.
42
CAPÍTULO III. SITUACIONES DIDÁCTICAS Y LA INGENIERÍA DIDÁCTICA
Introducción
Este trabajo se desarrolló en el marco de la teoría de las situaciones didácticas (Brousseau,
1986), centrándonos en el análisis del proceso de construcción de los conocimientos
estadísticos, con el fin de poder llevar a cabo la elaboración de una propuesta didáctica sobre
la media aritmética y mediana y, por ende, su construcción por parte de los estudiantes a través
de sus argumentaciones, verbales y no verbales, producidas por ellos mismos durante el
proceso de comunicación y validación de sus resultados.
Dicha teoría tuvo su origen en Francia desarrollada por Guy Brousseau; se ha desarrollado e
implementado en diversos sitios del mundo y ha alcanzado hasta el momento resultados
sumamente interesantes. Aunque esta teoría fue concebida para el campo particular de la
didáctica de la matemática, hoy en día se busca su extensión a otros dominios del
conocimiento y en diferentes niveles de escolaridad. Con dicha teoría, se estudian y modelan
fenómenos didácticos que ocurren cuando un profesor se propone enseñar una noción, un
teorema o un procedimiento a sus estudiantes, es por ello que esta se refiere a la interrelación
entre tres agentes que forman el triángulo didáctico: profesor, alumno y saber. En este intento,
las palabras: enseñar, aprender, pensar, entender, saber y conocer, adquieren diversos
significados, pues dependiendo del concepto, materia y fines de la investigación serán los
significados atribuidos y los resultados esperados (Cantoral, et al, 2003).
Surge a partir de la teoría de Piaget, el cual considera al alumno como un ser que aprende
cuando éste es sometido en un medio donde se crean conflictos cognitivos, creando en su
mente choques entre los conocimientos que ya tiene y que considera válidos, contra los que
surgen de un problema. Así, el alumno tiene que similar los nuevos conocimientos para luego
acomodarlos en el esquema que antes tenía construido, es decir, crear al final una
reorganización del conocimiento nuevo y el previo.
43
Así pues, esta teoría de situaciones permite diseñar y explorar un conjunto de secuencias de
clases concebidas por el profesor (o investigador) con el fin de disponer de un medio para
desarrollar un proyecto de aprendizaje.
3.1. SITUACIONES DIDÁCTICAS Y A-DIDÁCTICAS
Actualmente, se considera al profesor como un profesional reflexivo, quien decide, diseña,
implementa y experimenta estrategias de acción para lograr el aprendizaje de los alumnos. De
manera que, aprender matemáticas no se reduce a recordar fórmulas matemáticas y teoremas,
o definiciones para resolver problemas, mediante la imitación de las explicaciones del profesor
en clase o con apego a los métodos ilustrados en los textos escolares. La teoría de las
situaciones didácticas propone el estudio de las condiciones en las cuales se constituyen los
conocimientos matemáticos; y se considera que el control de esas condiciones permitirá
reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar del conocimiento.
Se parte de la base que, el conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza de las
matemáticas no es resultado de la simple fusión de conocimientos provenientes de dominios
independientes, como lo son las matemáticas, la psicología y la pedagogía, sino que requiere
investigaciones específicas.
Por otra parte, la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas
tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los procesos que tienen lugar
cotidianamente en las aulas, puesto que su objetivo es la determinación de las condiciones en
las que se produce la apropiación del saber por los alumnos. Para esto, necesita ejercer cierto
grado de control sobre ellas, lo que implica su participación en la producción (o diseño) de las
situaciones didácticas que analiza, ya que con esta interacción (investigador-alumno,
situación) los resultados podrán ser mejor estudiados e interpretados. La presencia de un
44
contexto escolar no es esencial en la definición de una situación didáctica; lo que sí es esencial
es su carácter intencional, el haber sido construido con el propósito explícito de que alguien
aprenda algo; en nuestro caso, el propósito reside en construir un concepto estadístico y sus
propiedades, asignándole significado.
Uno de los objetivos de la didáctica de la matemática, es averiguar cómo funcionan las
situaciones didácticas, es decir, cuáles de las características de cada situación resultan
determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de
sus conocimientos. Esto no significa que sólo le interese analizar las situaciones didácticas
exitosas. Incluso si una situación didáctica fracasa en su propósito de enseñar, su análisis
puede constituir un aporte a la didáctica, si permite identificar los aspectos de la situación que
resultaron determinantes de su fracaso.
Para analizar las situaciones didácticas, en la teoría se modelan utilizando elementos de la
teoría de juegos y de la teoría de la información. Para una situación didáctica determinada se
identifica el estado inicial y el conjunto de los diversos estados posibles, entre los que se
encuentra el estado final que corresponde a la solución del problema involucrado en la
situación. Se hacen explícitas las reglas que permiten pasar de un estado a otro. La situación se
describe, entonces, en términos de las decisiones que los alumnos pueden tomar en cada
momento y de las diferentes estrategias que pueden adoptar para llegar al estado final (análisis
a priori de la situación).
Dentro de las situaciones didácticas existe otra llamada a-didáctica la cual se da mediante la
interrelación entre los elementos del triángulo didáctico y el proceso en el que el docente le
plantea al alumno un problema que se parezca a una situación de la vida real que podrá
abordar a través de sus conocimientos previos, y que le permitirán generar hipótesis y
conjeturas que asemejen el trabajo que se realice en una comunidad científica. En otras
palabras, el alumno se verá en una micro-comunidad científica resolviendo situaciones sin la
intervención directa del docente, con el propósito posterior de institucionalizar el saber
adquirido (Chavarría, 2006). A diferencia de la situación didáctica, la situación a-didáctica
carece de intencionalidad, ya que no ha sido creada con la finalidad de que el alumno aprenda
o construya un saber.
45
Las situaciones a-didácticas se clasifican, entre las situaciones que se producen para su estudio
experimental, cuatro tipos cuya secuencia en los procesos didácticos que organiza es la
siguiente:
1. Las situaciones de acción, en la que se genera una interacción entre los alumnos y el
medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar
su actividad de resolución del problema planteado.
2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación en informaciones
entre los alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente,
precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar.
3. Las situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o varios
interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos
deben elaborar pruebas para demostrar que lo que dicen es cierto; hay que explicar que
necesariamente tiene que ser así, es decir, justificar lo que se hizo para llegar al
resultado.
4. Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones sociales.
En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la
significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en las
situaciones pasadas.
Originalmente, la teoría de situaciones considera a las primeras tres como parte de ella, pues
se encuentran enfocadas en el alumno, ya que es él quien las desarrolla durante la
experimentación y, la última, se da por parte del profesor, pues regula todas las situaciones y
es quien consensua, junto con los estudiantes, los resultados.
Ahora, una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la
identificación de las variables didácticas y el estudio tanto teórico como experimental de sus
efectos. Lo que interesa son los intervalos de valores de estas variables que son determinantes
para la aparición del conocimiento, que la situación didáctica pretende enseñar. Se trata de
precisar las condiciones de las que depende que sea ese el conocimiento que interviene y no
otro. Entre las variables que intervienen en una situación se tienen las denominadas variables
de comando, que pueden ser manipuladas por el maestro para evolucionar los
comportamientos de los alumnos. Su identificación resulta particularmente importante.
46
El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación con otras situaciones didácticas,
obtenidas mediante transformaciones de la primera. Por ejemplo, el esfuerzo de modelación
de una situación didáctica está subordinado al propósito de identificar los elementos que
podrían variarse para lograr efectos didácticos diferentes de los que se obtendrían con la
situación original. Se constituye así toda una familia de situaciones didácticas relativas a un
conocimiento específico, con la hipótesis de que cada una de ellas hará funcionar dicho
conocimiento bajo una modalidad diferente. Se postula que entre estas situaciones existe una,
a la que se designa como situación fundamental, que es capaz de engendrar a todas las demás,
a través de la asignación de diversos rangos de variación o valores particulares a las variables
que las caracteriza. Una situación es fundamental con respecto del conocimiento que interesa
enseñar, cuando es posible, mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla
coincidir con cualquier situación en la cual intervenga ese conocimiento.
De este modo el empleo de las situaciones didácticas no plantea, de ninguna manera,
promover a priori un cierto tipo de pedagogía, por razones ideológicas sin el respaldo de los
resultados experimentales correspondientes. Sin embargo, las situaciones diseñadas y
sometidas a experimentación obedecen a ciertas características, en función de los presupuestos
epistemológicos subyacentes a su producción.
En efecto, se considera que todo conocimiento es una respuesta, una adaptación que la
humanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante problemas que se ha
planteado. Los conocimientos que han surgido en contextos funcionales como instrumentos
para la adaptación, son transformados posteriormente con el propósito de relacionarlos con
otros conocimientos, de conservarlos y transmitirlos, adoptando la modalidad de objetos
culturales. Un saber cultural que se encuentra desligado de su génesis constituye un producto
descontextualizado y despersonalizado. Es a partir de esta modalidad que los conocimientos
ingresan a los programas escolares y es allí donde se contextualizan, los personaliza el
profesor para que sea adquirido por el alumno, para luego éste descontextualizarlo y
despersonalizarlo, Chevallard (1997).
La forma como los sistemas educativos organizan la enseñanza de los temas incluidos en los
programas escolares implica una determinada concepción de los procesos de adquisición de
los conocimientos. Hasta la fecha, ha predominado una concepción según la cual, basta con
47
descomponer un saber en su modalidad cultural, en pequeños trozos aislados y luego organizar
su ingestión por los alumnos en períodos breves y bien delimitados, según secuencias
determinadas sobre la base del análisis del propio saber. Esta manera de organizar la
enseñanza no atribuye importancia al contexto específico, a la situación específica, donde los
conocimientos se adquieren, tampoco a su significación y valor funcional, durante su
adquisición.
Este planteamiento se apoya en la tesis de que, la persona que aprende necesita construir por sí
mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar al que realizaron los
productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar. Se trata, entonces, de
producir una génesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos aprendan haciendo
funcionar el saber, o más bien, de que el saber aparezca para el alumno como el medio de
seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolución del
problema planteado por la situación didáctica.
Las situaciones a-didácticas nos ayudarán en la investigación para lograr que el estudiante
interactúe con el medio responsabilizándose del problema, pues se espera la participación
activo por parte de éste, llevando a cabo una interacción profesor-alumno, alumno-alumno,
durante la explicación de sus procedimientos, la argumentación de sus decisiones y elecciones
así como la institucionalización de los saberes matemáticos de media aritmética y mediana.
Otro punto muy importante para la construcción de los conceptos de media aritmética y
mediana es que, durante las fases de comunicación y validación los alumnos tendrán que
exponer los resultados a los que llegaron y los caminos que tomaron, así como los distintos
significados atribuidos a las medidas de posición central y la generalización que logren crear.
Se espera desarrollar en el estudiante, para la justificación en la elección de la media
aritmética y mediana como mejores representantes de un conjunto de datos, argumentos sobre
la variación de los datos al precisar quién cambia, como cambia y porqué cambia; sobre el
comportamiento que las mismas variaciones presentan, ya sea mediante una descripción
escrita acompañada de sus representaciones gráficas, explicadas con movimientos de las
manos en donde simulen el comportamiento que describen las gráficas; y la toma de
decisiones para la predicción de ciertos sucesos a partir de sus justificaciones.
48
Al final, en la fase de institucionalización, se llegarán a los consensos finales de cada uno de
los conceptos matemáticos construidos, así como los significados considerados como válidos
sobre las medidas de posición central, su propiedad de representatividad y las generalizaciones
finales, pues durante las tres primeras fases han quedado justificados cada uno de los pasos
que fueron empleados en la construcción de los de los algoritmos de la media aritmética y
mediana, durante la interacción con la situación y su validación.
3.2. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN: INGENIERÍA DIDACTICA
La noción de Ingeniería Didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas a principios de los
años ochentas. Se denominó con este término a una forma de trabajo didáctico equiparable con
el trabajo del ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado, se basa en los
conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin
embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos
que los depurados de la ciencia, pues son distintos y pueden reaccionar de distinta manera a
las esperadas, y se tiene que abordar prácticamente con todos los medios disponibles,
problemas de los que las ciencias no quieren o no puede hacerse cargo.
La atención de la ingeniería didáctica se centra en definir el problema de la acción y de los
medios de la acción, sobre el sistema de enseñanza, debemos de centrarnos en cuáles son los
problemas y los medios que son empleados durante el proceso de enseñanza y aprendizaje que
se dan en el aula con respecto a las matemáticas; lo esencial es enlazar dos momentos del
proceso científico-técnico (la investigación y acción) para reducir el significado de cada uno,
así, uno se deshará de las restricciones que se encuentra en todo proceso de investigación, al
responder que la acción prima. La acción “implementada” se presentará como “investigación”
la cual escapará al juicio de valor al que sometemos a la más trivial de nuestras acciones.
49
La noción de ingeniería didáctica trazó su camino en el edificio de la didáctica con la doble
función de desprenderse de las relaciones entre investigación y acción, pensadas en términos
de innovación, para afirmar la posibilidad de una acción racional sobre el sistema y de resaltar
la importancia de la “realización didáctica” en clase como práctica investigativa, tanto por
razones vinculadas al estadio de la juventud de la investigación didáctica, como para
responder a necesidades permanentes de poner en práctica las construcciones teóricas
elaboradas, por lo que llega a significar tanto unas producciones para la enseñanza, basadas en
resultados de investigaciones que han utilizado otras metodologías como una metodología de
investigación específica.
Como metodología de investigación, la ingeniería didáctica se caracteriza en primer lugar por
un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase, es decir, sobre la
concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.
La metodología de la ingeniería didáctica se caracteriza también, en comparación con otros
tipos de investigación basados en la experimentación en clase, por el registro en el cual se
ubica por las formas de validación a las que está asociada. De hecho, las investigaciones que
recurren a la experimentación en clase se sitúan por lo general dentro de un enfoque
comparativo con validación externa, basada en la comparación estadística del rendimiento de
grupos experimentales y grupos de control. Este es el caso de la ingeniería didáctica que se
ubican por el contrario, en el registro de los estudios de caso y cuya validación es en esencia
interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori.
Los objetivos de una investigación de ingeniería didáctica pueden ser diversos, por ejemplo, se
encuentran las investigaciones que abordan el estudio de los procesos de aprendizaje de un
concepto determinando y en particular la elaboración de génesis artificiales para un concepto
determinado, de aquellas que no se ciñen a los contenidos, así su sustento sea la enseñanza de
un dominio preciso, como por ejemplo, sobre el aprendizaje de métodos y el trabajo en grupo
(Marilier, Robert, Tenaud, 1987, citados por Artigue, 1995), otros apuntan al dominio
paramatemático (Chevallard, 1997) es decir, aquel que las nociones que, como aquellas de
parámetro, ecuación, demostración, guardan un estatus de herramienta en la enseñanza, al
menos en un nivel determinado, o incluso trabajos que abordan el estudio y la aplicación de
50
estrategias didácticas globales como por ejemplo “el problema abierto” o “el debate
científico”.
Por lo tanto, la ingeniería didáctica es singular no por los objetivos de las investigaciones que
entran en sus límites, sino por las características de su funcionamiento metodológico.
Dicha metodología se encuentra delimitada por un proceso de cuatro fases:
•
Análisis preliminar
•
Concepción y análisis a priori
•
Experimentación
•
Análisis a posteriori y evaluación
En una investigación de ingeniería didáctica, la fase de análisis preliminar se basa no sólo en
un cuadro teórico general y en los conocimientos didácticos previamente adquiridos en el
campo de estudio, sino también en un determinado número de análisis preliminares. Entre los
más frecuentes se encuentran:
•
El análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza
•
El análisis de la enseñanza tradiciones y sus efectos
•
El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que
determinan su evolución
•
El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica
efectiva
•
Y, por supuesto, todo lo anterior se realiza teniendo en cuenta los objetivos específicos
de la investigación
Para los fines de nuestra investigación, solamente nos centraremos en los tres primeros análisis
mejor conocidos como epistemológico, cognitivo y didáctico.
En la fase de concepción y análisis a priori, el investigador toma la decisión de actuar sobre un
determinado número de variables del sistema no fijadas por las restricciones. Estas son las
variables de comando que él percibe como pertinentes con relación al problema estudiado.
Dichas variables se encuentran ligadas a las de la teoría de las situaciones didácticas por lo que
al nombrar a las del sistema, las de comando ya se encuentran definidas.
51
Existen dos tipos de variables de comando:
•
Las variables macro-didácticas o globales, concernientes a la organización de la
ingeniería
•
Y las variables micro-didácticas o locales, concernientes a la organización local de la
ingeniería, es decir, la organización de una secuencia o de una fase
Tanto unas como otras pueden ser en sí variables generales o dependientes del contenido
didáctico en el que se enfoca la enseñanza. Sin embargo, en el nivel micro-didáctico esta
segunda distinción es clásica, ya que se diferencian las variables asociadas con el problema de
las variables asociadas con la organización y la gestión del “medio”. Y entre estas, las
variables didácticas son aquellas cuyo efecto didáctico se ha corroborado.
Ligado a la teoría de situaciones didácticas, se tiene que el objetivo del análisis a priori es
determinar en qué selecciones hechas permiten controlar los comportamientos de los
estudiantes y su significado, es por ello que este análisis se basa en un conjunto de hipótesis de
trabajo. La validación de estas hipótesis está, en principio, indirectamente en juego en la
confrontación que se lleva a cabo en la cuarta fase, entre el análisis a priori y el análisis a
posteriori.
Su parte descriptiva y predictiva se centran en las características de situación a-didáctica que
se ha querido diseñar y que se va a tratar de llevar a los alumnos:
•
Se describen las selecciones del nivel local (relacionándolas eventualmente con las
selecciones globales) y las características de la situación didáctica que de ellas se
desprenden
•
Se analiza qué podrá ser lo que está en juego en esta situación para un estudiante en
función de las posibilidades de acción, de selección, de decisión, de control y de
validación de las que él dispone, una vez puesta en práctica en un funcionamiento casi
aislado del profesor
•
Se prevén los campos de comportamientos posibles y se trata de demostrar cómo el
análisis realizado permite controlar su significado y asegurar, en particular, que los
comportamientos esperados, si intervienen, sean resultado de la puesta en práctica del
conocimiento contemplado por el aprendizaje
52
En la fase de experimentación, tres, se lleva a cabo la puesta en escena de las situaciones
didácticas en donde el investigador podría tomar el papel de sólo observador o de participante,
pero en la segunda existe el riesgo de que sus perspectiva se vea afectada por su subjetividad
al igual que la participación de la muestra pues estos pueden llegar a sentirse cohibidos.
En la fase de análisis a posterior, se basa en el conjunto de datos recogidos a lo largo de la
experimentación, a saber, las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual
que las producciones de los estudiantes en clase o fuera de ella. Estos datos se completan con
frecuencia
con otros obtenidos de la utilización de metodologías externas, como
cuestionarios, entrevistas individuales o en pequeños grupos, aplicadas en distintos momentos
de la enseñanza o durante su transcurso y es en la confrontación de los dos análisis, el a priori
y a posterior, donde se fundamentan en esencia la validación de las hipótesis formuladas
durante la investigación.
En el siguiente apartado presentamos el análisis preliminar de los conceptos estadísticos media
aritmética y mediana, comenzando por el epistemológico, seguido del cognitivo y por último
del didáctico, para más adelante poder realizar el análisis a priori y la creación de las hipótesis
de trabajo.
53
CAPÍTULO IV. DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS SOBRE LA MEDIA
ARITMÉTICA Y LA MEDIANA
Introducción
En este capítulo exponemos la primera fase de la Ingeniería Didáctica, la cual consiste en el
análisis preliminar de la investigación en donde se realizan tres tipos de análisis:
•
El epistemológico
•
El cognitivo
•
El didáctico
De estos análisis obtendremos las prácticas que generaron el desarrollo de los conceptos de
media aritmética y mediana, los errores y dificultades que presentan los estudiantes durante su
tratamiento en el aula y los procesos didácticos que son empleados por el profesor, los libros
de textos y que son plasmados en los currículos escolares.
4.1. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO
En este análisis, se pretendió identificar cuáles fueron las prácticas y necesidades que le dieron
origen a la media aritmética, así como los distintos cambios que sufrió con el pasó el tiempo.
El reconocimiento de tales prácticas, fue un referente en el diseño de las actividades de la
propuesta, siendo el andamio para la construcción del concepto y la asignación de un
significado.
54
4.1.1. Acerca de la media aritmética y el tratamiento de la información en la antigüedad
En la antigüedad, los astrónomos Babilonios asentaron en tablillas de arcilla (figura 2),
registros sobre los movimientos de los astros y planetas, resolviendo un problema de
estimación mediante el cálculo de la suma total de las observaciones y dividiéndolo por el
número de datos (Plackett, 1970).
Figura 2. Registro del movimiento de los astros realizada por los astrónomos babilonios 3
Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones
lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, datos relativos a la población y la riqueza
del país. De acuerdo al historiador griego Heródoto, dicho registro de riqueza y población se
hizo con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto, Ramsés
II hizo un censo de las tierras con el objeto de verificar un nuevo reparto, esto debido a que el
nivel del río Nilo subieron y grandes extensiones de tierra que se encontraban a su alrededor se
fueron perdiendo.
Los griegos también efectuaron censos, pero de manera periódica, estos con fines tributarios,
sociales (división de tierras) y militares (cálculo de recursos y hombres disponibles). Una
investigación histórica ha revelado que se realizaron 69 censos para calcular impuestos,
determinar los derechos de voto y ponderar la potencia de guerra.
3
Figura recuperada de la página web: http://www.astroyciencia.com/2007/06/19/tablillas-babilonicas/
55
En esta misma época, los pitagóricos realizaron una teoría aritmética, la cual consiste en
calcular valores medios o promedios de una serie de números, distinguiendo tres casos: la
media aritmética, la media geométrica y la media armónica. Se dice que, tomándola prestada
de los babilonios, introdujeron en Grecia la proporción más perfecta
Donde
1979).
𝑎𝑎+𝑏𝑏
2
𝑎𝑎
2𝑎𝑎
=
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
2
𝑏𝑏
es la media aritmética de a y b, y
2𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎+𝑏𝑏
es la media armónica de a y b, (Collette,
También, en épocas pasadas, cuando las tormentas en el mar causaban en las embarcaciones la
pérdida de bienes, estos tenían que ser pagados mediante un acuerdo de todos los que tenían
mercancía en el mismo buque. El daño causado por estas tormentas al cargamento se le
conocía como “havaria” y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada
individuo tenía que pagar como compensación. De esta palabra latina se deriva la palabra
avarage (promedio), (Newman, 1968). La idea de promedio tiene sus raíces, por lo tanto, en
una clase primitiva de seguros, de modo que se compartía el riesgo, no sólo entre los que
arriesgaban sus bienes en un viaje particular, sino entre grupos mayores de comerciantes. La
distribución de este riesgo se desarrollo, más tarde, eventualmente en una profesión aparte,
lucrativa y experimentada.
El algoritmo de la media aritmética consiste en sumar todos los datos y dividirlo entre el
número total de estos, lo que conlleva a realizar una repartición equitativa, tal y como hicieron
los babilonios para estimar o predecir la posición de los astros y estrellas, los pitagóricos al
crear su teoría aritmética o las civilizaciones que se dedicaban a la transportación marítima de
cargamentos, por lo que fueron los primeros en realizar la construcción del algoritmo.
En 1669, Huygens, extraído de Michael y Denis (2007), realizó el primer gráfico (figura 2) de
una función continua y la demostración de cómo calcular el promedio de vida restante de una
persona de cierta edad.
56
Figura 3. Gráfico del promedio de vida de una persona de cierta edad 4
La práctica que comúnmente se empleo en la antigüedad y que en nuestros días aún se hace
presente, ya sea al calcular el promedio de calificación en la escuela, la cantidad de platillos
para los niños que asistirán a una fiesta, etc., es la repartición equitativa, la cual emplearemos
para lograr la construcción de una noción y del algoritmo de la media aritmética. Se espera
que, mediante el tratamiento de información, se analice variación de los datos de un conjunto
con respecto a los valores de medidas de posición central, a fin de poder construir la propiedad
de representatividad de la media aritmética.
4.2. ANÁLISIS COGNITIVO
Respecto a la cognición del estudiante, se analizaron cuáles son aquellas dificultades, errores y
concepciones que los alumnos tienen y adquieren en el tratamiento escolar de los conceptos
estadísticos, en particular, sobre la media aritmética y mediana.
4
Figura recuperada de la página web: http://euclid.psych.yorku.ca/SCS/Gallery/images/huygens-graph.gif
57
4.2.1. Dificultades y errores en el estudio de la media aritmética y mediana
Sobre la comprensión de las medidas de posición central, Batanero (2001) hace una
recopilación de diversas investigaciones, con la finalidad de presentar los distintos errores y
dificultades que los alumnos exhiben después del proceso de enseñanza y aprendizaje. En
estas investigaciones se reportan errores sobre la propiedad de representatividad de las
medidas de posición central, el tratamiento de la información y el uso de gráficos, teniendo
como factor influyente la metodología adoptada por el profesor para su enseñanza de los
cuales, consideramos aquellas relacionadas con los conceptos media aritmética y mediana para
la realización de la propuesta didáctica.
Investigaciones desarrolladas en torno al concepto de media, muestran que no es un concepto
tan simple como aparenta. Pollatsek, Lima y Well (1981), citados por Batanero (2001),
reportaron que estudiantes universitarios no ponderan adecuadamente un conjunto de valores
y, en ocasiones, emplean la media simple en vez de la media ponderada, dado que no fueron
capaces de distinguir en qué situaciones deben calcular una u otra media. Al respecto, Li y
Shen (1992), citados por Batanero (2001), indican que cuando los datos se agrupan en
intervalos, los estudiantes olvidan con frecuencia que cada uno de estos grupos, deberían de
ponderarse de modo distinto al calcular la media.
Cai (1995), citado por Batanero (2001), muestra que, muchos estudiantes de 12-13 años
aplican mecánica y correctamente el algoritmo de la media pero, al momento de tener que
determinar un valor desconocido de un conjunto de datos con una media dada, sólo lo podían
realizar unos cuantos. Una forma de poder calcular dicho valor, podría ser mediante el ensayo
y error de forma indefinida, hasta encontrar aquel que satisfaga el valor de la media dada.
Otros errores sobre las medidas de posición central, son descritos por Carvalho (1998), citado
por Batanero (2001), al analizar las producciones escritas por un grupo de alumnos:
•
Moda: tomar la mayor frecuencia absoluta
•
Mediana: no ordenar los datos, calcular el dato central de las frecuencias absolutas
ordenadas de forma creciente, calcular la moda en vez de la mediana y equivocarse al
calcular el dato central
58
•
Media: hallar la media de los valores de las frecuencias y no tener en cuenta la
frecuencia absoluta de cada valor en el cálculo de la media
Para el caso de la mediana, el algoritmo es distinto al de la media aritmética, pudiendo resultar
complejo para el alumno, pues depende si el número total de los datos es par o impar (Cobo y
Batanero, 2000).
Por su parte, Gatusso y Mary (1998), citados por Batanero (2001), han estudiado la
comprensión del algoritmo del cálculo de la media ponderada, y detectaron como variables
que afectan la dificultad en la resolución de tareas: el formato (tabla, gráfica, serie de
números), si los valores de las variables son o no mucho mayores que los de las frecuencias (lo
que influye en que el alumno discrimine los dos conceptos) y si una suma de las frecuencias es
mucho mayor que en las otras (de modo que se fuerza al estudiante a tener en cuenta las
frecuencias).
Para Gattuso y Mary (1996), citados por Batanero (2001), la comprensión conceptual no va
paralela al número de años de instrucción en la materia en cuestión. Analizando las respuestas
de estudiantes de secundaria y universitarios, con o sin instrucción previa sobre la media, los
autores observaron que las estrategias preferidas por los estudiantes de mayor edad eran más
algebraicas y además obtenían mejores resultados cuando calculaban medias de conjuntos de
datos agrupados, mientras que los estudiantes más jóvenes preferían usar el conjunto de datos
sin agrupar, aunque mostraron un nivel de éxito superior en los problemas de cálculo
"inversos", es decir, aquéllos en los que se conoce la media y se deben averiguar algunos de
los datos iniciales.
Con respecto a las concepciones de los profesores, diversas investigaciones han arrojado que
presentan dificultades en el tratamiento de los ceros y valores atípicos en el cálculo de
promedios, posiciones relativas de media, mediana y moda en distribuciones asimétricas,
elección de la medida de posición central más adecuada en una determinada situación y el uso
de los promedios en la comparación de distribuciones (Batanero y cols., 1997, citados por
Batanero (2001)). La conclusión que nos aporta, es que la enseñanza de los conceptos basada
en la definición algorítmica y el cálculo, en colecciones de datos descontextualizados, no
permite que el alumno llegue a una comprensión integral del concepto promedio.
59
De modo que, proponer el algoritmo de cálculo prematuramente, puede influir negativamente
en la comprensión de los conceptos estadísticos, al no propiciar que sea el estudiante, quien
construya su conocimiento por sí mismo, ocasionando que no le atribuya significado alguno.
De esto Mevarech (1983), citado por Batanero (2001), dando una explicación posible a los
errores descritos por Pollatsek (1981), citado por Batanero (2001), de que los estudiantes
suelen creer que un conjunto de números, junto con la operación media aritmética constituye
un grupo algebraico, satisfaciendo los cuatro axiomas: de clausura, asociatividad, elemento
neutro y elemento inverso; incluso a observado que estudiantes universitarios piensan que la
media tiene propiedad asociativa. Como profesores sabemos que los estudiantes, al estudiar
por primera vez la media o media aritmética, mediana y moda, ya conocen ciertas operaciones
aritméticas como la suma y multiplicación, por lo que ellos, inconscientemente, extrapolan las
propiedades de dichas operaciones algebraicas a los conceptos de media aritmética y mediana.
Por ello Strauss y Bichler (1988), citado por Batanero (2001), investigaron el desarrollo
evolutivo de la comprensión de la noción de media, en alumnos de 8 a 12 años, distinguiendo
las siguientes propiedades:
a) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución
b) La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es cero, lo que hace que
sea un estimador insesgado.
c) El valor medio está influenciado por lo valores de cada uno de los datos. Por ello la
media no tiene valor cero.
d) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos.
e) El valor obtenido de la media puede ser una fracción.
f) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media.
g) La media es un “representante” de los datos a partir de los que ha sido calculada
No se encontraron efectos significativos respecto al tipo de datos o medio de presentación
empleado, sugieren una mejora de la comprensión con la edad, y diferencias sobre las
60
dificultades en la comprensión de las propiedades, siendo más fáciles las a, c y d, que las b, e,
f y g; aunque algunos estudiantes no tenían en cuenta el cero para calcular la media, o bien
suponían que la media podría estar fuera del rango de variación de la variable, o que debería
coincidir con uno de los valores de los datos.
León y Zawojewsky (1991), citados por Batanero (2001), al realizar entrevistas a niños entre 8
y 14 años y analizando el efecto de la edad sobre la comprensión de estas propiedades,
encontraron una importante influencia de la edad sobre la comprensión de la media, y que la
contextualización de las tareas facilita mucho su resolución, pero propiedades tales como que
la suma de desviaciones respecto a la media es cero, que la media es un calor representativo de
los valores promedios o que hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la
media, continuaron siendo demasiado abstractas para una proporción importante de alumnos
de 14 años.
La idea de representante de un conjunto de datos, es importante en las aplicaciones prácticas.
Como indican Mokros y Rusell (1995), citados por Batanero (2001), hasta que los niños no
conciben el conjunto de datos como un todo, y no como un agregado de valores, no podrán
comprender las ideas de resumen de los datos o representante de ellos, que refiere al conjunto
global y no a ninguno de los valores aislados. La idea de representatividad no es inmediata,
antes de llegar a ella los alumnos deben de captar la idea del conjunto de datos como una
unidad.
En cuanto a la representatividad, se sabe que la media es un valor “típico” o “representativo de
los datos” y debido a ello, según Campbell (1974), citado por Batanero (2001), se tiende a
situar la media en el centro del recorrido de la distribución, propiedad que es cierta para
distribuciones simétricas. Esto no siempre es comprendido por algunos alumnos, quienes
invariablemente eligen la media como mejor representante de los datos, sin cuestionarse si
realmente será el mejor representante, al no tener en cuenta la simetría de la distribución o la
existencia de valores atípicos.
Respecto a la comprensión de la mediana, Barr (1980), citado por Batanero (2001), indica que
los alumnos entienden que ésta es el centro de algo, pero no siempre comprenden a qué se
refiere ese algo, porque no comprenden realmente que una tabla de frecuencias es un resumen
61
de los datos y no son capaces de pasar de la tabla a la lista de valores, que es una
representación alternativa de ellos. Incluso, si se les dan los datos en forma de lista, no
entienden por qué hay que ordenarlos para calcular la mediana, es decir, no lo consideran
como un estadístico que se refiere al conjunto ordenados de los datos.
Pollatsek y cols. (1981), citado por Batanero (2001), al aplicar un problema a estudiantes
universitarios en donde se les pide determinar el dato faltante, reportaron que fueron pocos
quienes dieron una respuesta correcta, y que, generalmente se busca un valor de la puntación
del quinto dato tal que, sumada a las cuatro anteriores, dé un promedio dado. Observaron que
los estudiantes esperan que la media de la muestra sea idéntica a la de la población, es decir,
no aprecian la variabilidad aleatoria de la misma.
Russell y Mokros (1991), citado por Batanero (2001), estudiaron las concepciones que los
alumnos de cuarto a octavo de primaria (equivalentes en México de cuarto a sexto grado de
primaria, el primer y segundo año de secundaria) que tienen sobre los valores de tendencia
central aplicándoles tareas sobre, dado un conjunto de datos, comprender la necesidad de
emplear un valor central, construir un conjunto de datos que tenga un promedio dado y
comprender el efecto que, sobre los promedios, tiene un cambio en todos los datos o parte de
ellos, resultando para los estudiantes más difícil la segunda.
Los errores y dificultades que se han reportados con anterioridad muestran que no se está
llevando a cabo una culturización estadística hacia la sociedad, porque, uno de los objetivos
que persigue la educación estadística, es la capacidad de argumentación por parte de los
estudiantes. Es por ello que tomar decisiones, hacer inferencias, argumentar, dificultades
presentes en los alumnos ante situaciones de incertidumbre. La causa de esto podría ser el
miedo, la inseguridad, la falta de conocimiento y preparación, los cuales se deben de combatir
en el aula de clases mediante la participación activa del estudiante y su exposición con
situaciones reales el cual le lleve a tener que recolectar, analizar, interpretar y dar a conocer y
validar el trabajo que se encuentra realizando.
Si los conocimientos que los alumnos “aprendieron”, carecen de significados propios o se
quedaron como una simple interpretación del poco entendimiento que lograron hacer, la
argumentación de los resultados que obtenga no tendrán sentido alguno o serán incorrectos.
62
Entre las investigaciones sobre el significado de los conceptos, están las de Russell y Mokros
(1991), citados por Batanero (2001), quienes clasificaron en cuatro categorías los significados
incorrectos atribuidos por los estudiantes a la palabra “media”: valor más frecuente (confusión
con la moda), valor razonable (significado coloquial del término), punto medio (confusión con
la mediana) y algoritmo (significado restringido donde a la media se ve sólo como el
algoritmo de cálculo). Cada uno de estos aspectos puede ser cierto en un caso dado, pero falso
en otro. Es por ello que señalan la necesidad de usar diferentes contextos y representaciones en
la enseñanza de un concepto matemático. También influye la forma en que se es redactado un
problema, ya que uno podría confundirse con la terminología entre las palabras “media”,
“mediana” y “moda”.
Reading y Pegg (1996), citados por Batanero (2001), estudiando la forma en que los niños de
grados 7 a 12 reducen los conjuntos de datos, observaron que algunos que eran capaces de dar
un resumen de los datos presentados en forma numérica, fracasaron en la tarea cuando los
datos se presentaban por medio de un gráfico estadístico. También observaron que los niños
mostraban dificultades a la hora de dar un argumento o justificar su respuesta de por qué
elegía un cierto promedio.
Para finalizar, Estapa y Batanero (1999), citado por Batanero (2001), concluyen que algunos
alumnos del curso preuniversitario, basan sus argumentos en teorías previas en lugar de
hacerlo en los datos, es decir, tienen mayor influencia las situaciones, experiencias vividas o
información antes obtenida, que a la vez podría ser parte del conjunto de datos, en vez de
realizar un análisis objetivo de los datos.
Después de la realización de un análisis de carácter cognitivo, consideramos tres dificultades a
tratar en la situación didáctica propuesta, que son de las más comunes durante el tratamiento
de las medidas de posición central, a saber: el efecto que sufren los valores centrales cuando
contienen algún valor atípico o cero, la inversión del algoritmo de la media aritmética y sobre
la propiedad de representatividad. Tales dificultades, imposibilitan que el alumno comprenda
qué es la media aritmética y la mediana y, como medida, cuál va a ser un mejor representante
del conjunto de datos.
63
4.3. ANÁLISIS DIDÁCTICO
El análisis didáctico se encuentra asociado a las características del funcionamiento del sistema
de enseñanza. En este trabajo, nos centramos en analizar, el tratamiento de los conceptos
media aritmética y mediana, llevado a cabo en los libros de texto del nivel básico y medio,
con la intención de contrastarlo con su organización en el currículo, donde nos percatamos
que la secuencia del tratamiento de los conceptos estadísticos es: definición, ejemplos y
ejercicios.
4.3.1. Tratamiento de la media aritmética y mediana en los libros de texto
4.3.1.1. Libros con contenidos estadísticos del nivel básico: Secundaria
La estadística es trabajada en el aula desde los niveles básicos hasta el profesional y se
encuentra ligada al tratamiento de la información. Resulta que la estadística es primordial en la
vida diaria, ya que los gráficos son empleados a cada momento para la información de
resultados, propuestas, etc., en los cuales se necesita realizar una lectura de ellos, así como de
su construcción, para poder inferir, predecir y tomar decisiones.
Empezaremos con el análisis didáctico hecho al programa de secundaria 2006 propuesta en la
reforma educativa presentando algunos de los ejercicios propuestos para los alumnos junto con
sugerencias que el profesor podría emplear para la superación de ciertas “dificultades” durante
su resolución:
Si una vela de 25 cm de altura dura encendida 50 horas:
¿Cuánto tiempo duraría encendida otra vela del mismo grosor, de 12 cm de altura?
Si los alumnos tienen dificultades para resolver este problema, el maestro puede ayudarles
planteando las siguientes preguntas:
64
•
¿Cuánto duraría una vela de 1 cm?
•
¿Cuánto duraría una vela de 10 cm?
•
¿Y una de 11 cm?
•
Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotería. ¿Cómo deben repartírselo
según lo que gastó cada uno si uno de ellos puso $12.00, el otro $8.00 y el tercero
$15.00?
Una variante del problema anterior, donde deben hacerse algunos cálculos para obtener la
información necesaria, sería ésta:
•
Supongan ahora que el premio es de $1 500.00; si uno de ellos aportó una séptima
parte del costo del billete y los otros dos amigos, el resto en partes iguales, ¿qué
cantidad le corresponden a cada uno, si reparten el premio proporcionalmente?
Se sugiere buscar ejemplos que consideren diversos contextos culturales.
•
Los lados de un triángulo miden respectivamente 5, 8 y 11 cm. Si en un triángulo
hecho a escala de éste, el lado correspondiente a 5 cm mide 8 cm, ¿cuánto deben
medir los otros dos lados?
En caso de que en el grupo no surja el uso del factor de proporcionalidad, que en este caso es
8/5, por el cual se puede multiplicar las medidas originales para obtener las nuevas medidas, el
profesor puede sugerir este procedimiento y solicitar a los alumnos que lo prueben con otros
problemas similares.
Con estos ejemplos se busca que el alumno halle un valor faltante de manera directa y que
emplee procedimientos de repartición equitativa para la resolución de problemas, procesos
que serán esenciales para entender el concepto de media aritmética.
La razón de cambio de un fenómeno o situación representada en una línea recta es siempre la
misma y está relacionada con la inclinación de dicha recta.
•
La gráfica muestra el costo del servicio telefónico en dos compañías.
65
Figura 4. Gráfica del costo de servicio telefónico de dos compañías
¿Son distintos los incrementos en el costo por llamada telefónica en una y otra compañía?
¿Por qué el costo por 100 llamadas telefónicas es el mismo en las dos compañías telefónicas?
¿Cuál es el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la compañía A? ¿Y en la B? ¿Cuál
es el incremento por cada llamada telefónica en cada compañía? En la compañía A, ¿el
incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51 a 100 llamadas?
Estos y otros contextos permiten dar sentido a la noción de razón de cambio y sientan las
bases para que los estudiantes puedan abordar, en grados posteriores, el estudio de procesos de
cambio más complejos, que se modelan con funciones no lineales.
El propósito del ejercicios anterior es construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones
lineales asociadas a diversos fenómenos, anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la
forma y = mx + b.
•
En el año de 1990 la población mundial de la Tierra era de 5 292 millones de
habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 18% y
ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años 2000, 2010, 2020...?
Una vez que los alumnos encuentren los resultados, puede sugerirles que los organicen en un
cuadro para que observen el carácter recursivo y que los representen gráficamente para
observar la forma de la curva y la posibilidad de anticipar otros valores.
66
•
¿Qué son y cómo crecen las estalactitas y las estalagmitas? Las siguientes tablas
muestran cómo han crecido una estalactita y su correspondiente estalagmita durante
los últimos 6 años.
Figura 5. Registro del crecimiento de las estalactitas por año
La cueva tiene 2 m de alto. Cuando se midió por primera vez se observó un perfil como el
siguiente:
Figura 6. Perfil de crecimiento de las estalactitas
•
Transcurridos dos años desde la primera medición, ¿qué tan cerca estarán las dos
puntas? ¿Y en 6 años?
•
Hagan una predicción acerca del momento en que se unirán la estalactita y la
estalagmita. Justifiquen su respuesta.
Estas habilidades les servirán de base a los alumnos para desarrollar otras más complejas, por
ejemplo, la de producir o derivar información nueva a partir de otra ya conocida.
Se pretende que los alumnos sean capaces de interpretar y comparar las representaciones
gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.
67
Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o
estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.
•
La siguiente gráfica muestra los minutos que tarda en hacer efecto un medicamento en
una población, tomando como referente la mediana de los datos.
Figura 7. Diagrama de caja y brazos del tiempo que tarda un medicamento en hacer efecto
Se observa que hubo personas muy sensibles al medicamento, pues el efecto empezó a los 20
minutos (límite inferior), en tanto que otras tardaron hasta 120 minutos (límite superior) en
reaccionar. La gráfica muestra también que la mediana de los datos (Me) es 75 minutos,
aproximadamente; esto significa que la mitad de la población tardó entre 20 y 75 minutos en
sentir el efecto de la medicina, en tanto que la otra mitad tardó entre 75 y 120 minutos. Para
elaborar esta gráfica se ordenan los datos (tiempos) de menor a mayor y se dividen en cuatro
grupos, cada uno de los cuales representa 25% de la población estudiada. Así, en la gráfica
se observa que a los 40 minutos la medicina había hecho efecto a 25% de la población; a los
75 minutos, a 50%; a los 85 minutos, a 75%, y a los 120 minutos, a toda la población.
•
Las siguientes gráficas muestran:
a) La distribución de los puntajes obtenidos por un grupo en un examen.
b) La distribución de los puntajes entre los varones del grupo.
c) La distribución de los puntajes entre las mujeres.
Figura 8. Distribución de puntajes de un examen por grupos
68
¿Qué porcentaje de alumnos del grupo tiene menos de 4 puntos en el examen? ¿Qué
porcentaje de varones tiene menos de 4 puntos? ¿Y de mujeres? ¿Es mayor el promedio del
grupo que el de varones? ¿Y que el de mujeres?
La gráfica de caja-brazos constituye un primer acercamiento de los alumnos al análisis de la
distribución de los datos de una población considerando estadísticas descriptivas. Así, por
ejemplo, la longitud de la caja está relacionada con la dispersión de los datos: si es larga, los
datos son dispersos; si es corta, no lo son. En cuanto a los brazos, si el primero es más largo
que el segundo, significa que 25% de la población es más dispersa que el último y que, por
tanto, la caja está corrida a la derecha. Estos conocimientos y habilidades son un punto de
partida para que los alumnos interpreten de manera intuitiva la curva de una distribución
normal.
Con estos dos tipos de ejercicios se trabajan lo que son las medidas de tendencia central y
dispersión y tienen que llegar los alumnos a interpretar, elaborar y utilizar gráficas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la
media de dos o más poblaciones.
Los ejercicios anteriormente presentados son ejemplos de los propuestos en la reforma
curricular destinados a los profesores para que sean empleados en el aula en distintos bloques
de cada curso escolar. Se aprecia que el tratamiento de la información utiliza lo que son los
modelos matemáticos, su gráfica, relacionándolo principalmente con la variación de los datos,
la tendencia de ellos, la construcción de gráficas, la predicción y la toma de decisiones.
•
La precipitación pluvial media mensual en dos entidades se representa así:
Figura 9. Precipitación pluvial media entre dos entidades
69
Donde a partir de la gráfica anterior se pueden contestar diversas preguntas, como las
siguientes:
•
¿Cuál es el mes en que más llueve en ambos estados?
•
¿Cuál es el promedio de precipitación pluvial en cada estado?
•
¿En qué mes la precipitación pluvial fue igual en ambos estados?
•
¿Cuál de los dos estados es menos lluvioso?
El ejemplo anterior propone la lectura de gráficos para poder llevada hacia otras personas. Una
lectura por partes hacia una lectura general es uno de los métodos que emplearemos durante la
investigación para el tratamiento de la información ligado a la construcción de los conceptos
de media aritmética y mediana.
En otro tipo de ejemplos se busca que los ellos puedan interpretar y comunicar información
mediante polígonos de frecuencia, como el siguiente:
Figura 10. Gráfica de la distancia de salto alcanzada por dos grupos de estudiantes
Con base en la información que proporcionan las gráficas se pueden plantear preguntas como
las siguientes:
•
¿Cuál es la longitud de salto que más estudiantes lograron en el grupo A? ¿Y en el
grupo B? ¿En cuál de los dos grupos se logró el mayor salto?
De acuerdo con el tabulador de puestos de una compañía, los salarios que obtienen los
trabajadores son los que se muestran a continuación:
$16 400, $16 000, $12 000, $31 000, $14 600, $15 000, $13 000, $16 200, $12 500, $15 900
70
•
¿Cuál es el salario promedio? ¿Consideras que el salario promedio es representativo
de lo que gana un trabajador en esa compañía? Justifica tu respuesta.
Otro en donde el gráfico aparece como medio para describir dichas medidas es:
•
Se realizó un estudio para tener información sobre la edad de los compradores de
discos, los datos se presentan en la siguiente gráfica:
Figura 11. Gráfica de la compra de discos compactos por grupos de edad
•
¿Cuál es la edad promedio de los compradores de discos?
•
¿Qué dato estadístico (media, mediana, moda) representa el grupo de edad de 15-25
años en la gráfica?
En estos dos ejemplos debe tenerse en cuenta que los datos están agrupados en intervalos de
edades, lo cual implica que para calcular la media de las edades debe obtenerse la marca de
clase de cada intervalo (que es el punto medio del intervalo correspondiente) y la frecuencia
del intervalo (porcentaje de ventas).
Se hace presente la palabra promedio el cual podría tomarse, por parte de los alumnos, como
sinónimo de media aritmética.
La pregunte sobre que dato representa mejor al gráfico es muy buena, el cual podría
complementarse con el análisis de la variación de los datos con respecto a las medidas que el
alumno ya encontró para observar que tan alejados o cercanos se encuentran los datos a dichas
medidas.
71
Es así, que una de las finalidades perseguidas en los ejemplos es interpretar y calcular las
medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera
especial las propiedades de la media aritmética.
•
¿Cuál es el mes más adecuado para visitar Monterrey, considerando la lluvia y la
temperatura? ¿Por qué? ¿Es cierto que cuando en Monterrey hace más frío, llueve
menos? Justifiquen su respuesta.
Figura 12. Gráficas de los promedios de precipitación y temperatura en Monterrey por mes
Y mediante este tipo de ejemplo se pretende que interpreten y utilicen dos o más gráficas de
línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener
información más completa y en su caso tomar decisiones. Se hace más frecuente el empleo de
gráficos, y se da conforme los cursos se van haciendo más avanzados.
También se ve necesario advertir que, además de los fenómenos o situaciones que se pueden
modelar totalmente con una función lineal, existen otros fenómenos que admiten una
modelación local por medio de una función lineal; es decir, que la modelación se da mediante
funciones lineales por tramos o segmentos.
Además, se realizan lo que son los vínculos con otras materias al hablar de las matemáticas
contextualizadas, en materias como Español con el tema: Interpretar la información en tablas,
72
gráficas y diagramas, y Participar en eventos comunicativos formales para compartir
información; Geografía: Composición actual de la población en México y su comparación con
las tendencias demográficas de otros países del mundo; Historia: Diversidad cultural en
España y América; y Física: Movimiento rectilíneo.
Concluimos que desde el nivel básico de secundaria se espera que el alumno ya pueda realizar
la construcción de gráficos, en particulares, poligonales, circulares, de barras y realizar un
análisis de ellos para estimar comportamientos, predicciones, tomar decisiones y lo más
importante, repartir equitativamente, lo cual será la pauta para la construcción del algoritmo de
la media aritmética.
Una de las cosas que resaltamos es el empleo de los listados de datos para hallar las medidas
de posición central, y que proponen emplear gráficas para hallarlas, que es lo que nosotros
proponemos para el nivel medio. Con respecto a este último vemos las siguientes carencias:
•
La falta de precisión de los datos pues la marca es un punto y los alumnos pueden
tomar otros valores y obtenerse distintos resultados los cuales pueden perjudicar a los
alumnos.
•
El empleo de la palabra promedio de forma general, el cual puede atribuírsele muchos
significados por los alumnos.
•
Una gráfica estática, la cual no deja ver el comportamiento o tratamiento de esta.
En el siguiente apartado trataremos el análisis del los libros de texto en el nivel medio para ver
si los conceptos evolucionan y se encuentran relacionados con lo aprendido en el nivel básico,
además de observar si el tratamiento es distinto o se mantiene en definición, ejemplos y
ejercicios.
4.3.1.2. Libros de estadística del nivel medio
El discurso matemático empleado en el aula para el tratamiento a nivel medio sobre los
conceptos de media aritmética y mediana podría resumirse de la siguiente manera:
“Definición, ejemplos y ejercicios”
Podría considerarse una verdadera afirmación debido a que realmente sucede, es por ello que
muchas veces a la estadística es visto como un gran formulario o “recetario” que solamente
73
hay que aplicarse en diversos casos y situaciones en los que una vez encontrados los
resultados simplemente se presentan sin considerar el contexto así como los diversos factores
que podrían afectarlo.
Para la realización del análisis didáctico tomamos el libro “Introducción a la probabilidad y la
estadística” (Bargas y Camargo, 2004), el cual es empleado en las escuelas Preparatoria Uno
y Dos de la Universidad Autónoma de Yucatán y algunas otras escuelas como las incorporadas
a dicha universidad y los Colegios de Bachilleres de Yucatán, durante el quinto semestre.
La Preparatoria Uno de la Universidad Autónoma de Yucatán, imparte la materia de
Matemáticas V, la cual se refiere a la probabilidad y estadística. Dicha materia tiene como
objetivo, el cual se encuentra dentro del programa de estudios que puede ser consultado en la
página de internet de esta escuela, el siguiente:
Interpretar y manejar información estadística y resolver problemas sobre el cálculo de
probabilidades y distribuciones probabilísticas empleando los conceptos básicos de
estadística y probabilidad para comprender la utilidad y aplicación de estas disciplinas en la
vida diaria.
El contenido se encuentra dividido en tres partes:
I.
II.
III.
Estadística
Teoría de la Probabilidad
Distribuciones de la probabilidad
Tomamos solamente la primera unidad cuyo propósito es:
Recopilar información y representar un conjunto de datos mediante el empleo de tablas,
gráficas y el cálculo de las medidas de centralización y dispersión con la finalidad de
interpretar y comprender la información estadística que se le presente en la vida diaria.
Contenido de la unidad:
1. Introducción a la Estadística
2. Estadística Descriptiva
2.1 Datos ordenados
74
2.1.1. Organización de datos
2.1.2. Representaciones gráficas
2.1.3. Medidas de centralización
2.1.4. Medidas de dispersión
2.2 Datos agrupados
2.2.1. Organización de datos
2.2.2. Representaciones gráficas
2.2.3. Medidas de centralización
2.2.4. Medidas de dispersión
Cuya única estrategia específica hacía las medidas de centralización es:
A partir de ejemplos concretos y cotidianos resolver preguntas intercaladas relacionadas con
las medidas de centralización y dispersión.
Comenzamos expresando que, el título de un gráfico describe claramente gran parte de la
información que se desea transmitir; los nombres de los ejes indica contra quien se está
haciendo un comparación o un cambio; el estilo de gráfico tiene que ser el adecuado para tener
una presentación clara y precisa de la información; y por último la escala empleada tiene que
ser adecuada para no distorsionar al gráfico y su comportamiento y por ende no omitirla.
El profesor por su parte, concibe que los alumnos ya son capaces de construir gráficos y lo
hace a un lado, por lo que la lectura de ellos se hace escasa y no se llegan a lograr finalidades
como tomar decisiones, predecir comportamientos, tendencias, lo que se quiere representar
con, etc., y simplemente verlo como un instrumento condensador de datos.
Ya el libro, primeramente se realiza una breve introducción a la estadística mediante un poco
de historia explicando quienes fueron las primeras civilizaciones en emplear a la estadística,
de forma sencilla, de qué manera y con qué fin, así como su aplicación en otras ciencias
sociales y naturales como educación y la biología.
Seguido se realiza una introducción a la estadística con un caso práctico el cual consiste en:
75
El jefe de redacción de un periódico local desea conocer el nivel de satisfacción de sus
lectores respecto a la sección “social”, para esto, encuesta a 80 de sus lectores pidiéndoles
que indiquen su nivel de satisfacción como: muy satisfecho, satisfecho, poco satisfecho.
•
¿Cuál sería uno de los datos de esta encuesta?
•
¿Cuál sería la población?
•
¿Cuál sería la muestra?
Para ya luego definir de manera concisa lo que es Estadística, población, muestra, la
clasificación de la estadística, en descriptiva e inferencial, y de las variables en continua y
discreta.
Como siguiente tema se encuentra la organización de datos cuyo primer caso práctico es:
Una compañía de botanas desea participar como patrocinador de un conocido programa de
televisión; con la finalidad de los comerciales se adapten a su gusto de los televidentes, el
responsable ha solicitado un informe de la distribución de las edades de los televidentes del
programa. Los resultados de acuerdo al estudio realizado se presentan en la siguiente
gráfica.
Figura 13. Gráfica del número de televidentes por edad
•
¿Qué representa la altura de cada rectángulo?
•
¿Cuántos televidentes participaron en la encuesta?
•
¿Qué representa el ancho de cada rectángulo?
•
¿En qué rectángulo estaría una persona que cumple 28 en una semana?
76
Centrándose el tema al estudio de técnicas para organizar, ya sea ordenados o agrupados, y
presentar los datos estadísticos: la tabular, y la gráfica, incluyendo los conceptos de
frecuencia, relativa, acumulada y acumulada relativa, en los cuales se apoyan ambas maneras
de organización y presentación de los datos, así como también, la interpretación de las tablas y
gráficas, y la obtención de la información contenida en ellas.
Con respecto a la presentación de los datos, se realiza mediante dos formas: la tabular y la
gráfica, por lo que para los fines de la tesis nos centraremos en el tratamiento de la
información de manera gráfica, cuyo énfasis se da en las más comunes para ellos: el
histograma de frecuencias, el polígono de frecuencias y el polígono acumulativo.
Luego se lleva a cabo la presentación de la definición o más bien, de qué es y cómo se
construye un histograma y polígono de frecuencias, porcentual y acumulativo seguido de
ejemplos y ejercicios, los cuales presentamos a continuación:
Histograma de frecuencias: El histograma de frecuencias es un gráfico que consiste en una
serie de rectángulos que tienen sobre el eje horizontal sus bases de igual longitud y cuyos
centros son los datos; las alturas son las frecuencias correspondientes a los representados
sobre el eje vertical. Para construir un histograma de frecuencias se sitúan sobre el eje
horizontal los valores de los datos. Para tener una presentación más adecuada del
histograma, generalmente al construir la escala en el eje horizontal se empieza con un dato
anterior a primer dato y se termina con un dato posterior al último dato. En el eje vertical se
colocan las frecuencias utilizando la mayor frecuencia como referencia para presentar el
máximo valor sobre el eje vertical; seguidamente se decide la escala a utilizar que las
dimensiones entre los valores sea la misma.
Una vez construidos los ejes se procede a asignar a cada dato su respectiva frecuencia, de la
misma manera como se sitúa una pareja ordenada en eje coordenado.
Ya marcados los puntos se trazan los rectángulo, que como se mencionó con anterioridad, las
bases son segmentos iguale cuyos puntos medios son los datos y las alturas la frecuencia
correspondiente a cada dato.
77
Ejemplo:
La siguiente colección de datos muestra las calificaciones finales de matemáticas de 45
alumnos del 5º grado de una escuela primaria. La tabla de distribución de frecuencias es la
siguiente:
CALIFICACIONES
(X)
# DE ALUMNOS
% DE ALUMNOS
FRECUENCIA (f) FREC. RELATIVA % (f r )
5
2
4.0
6
3
7.0
7
12
27.0
8
13
29.0
9
11
24.0
10
4
9.0
� 𝑓𝑓 = 45
� 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 100.0
Tabla 1. Frecuencia y frecuencia relativa de calificaciones finales de matemáticas de un grupo
de quinto grado de primaria
Los histogramas de frecuencias correspondientes a los datos se presentan a continuación:
78
Figura 14. Histogramas de frecuencia y frecuencia relativa de calificaciones finales de
matemáticas de un grupo de quinto grado de primaria
Sobre polígonos tenemos el siguiente:
Polígono de frecuencias relativas porcentuales. De la misma manera como se construye el
polígono de frecuencias (haciendo referencia a una definición presentada párrafos arriba en el
libro), se construye el polígono de frecuencias relativas porcentuales, solamente que en vez de
representar las frecuencias en el eje vertical, se presenta la frecuencia relativa porcentual. La
gráfica resulta un polígono irregular de n lados que describe en su parte superior el
comportamiento de la frecuencia relativa de cada uno de los datos de un conjunto. Como se
mencionó anteriormente esta gráfica construida a partir de la frecuencia relativa carece de
objetividad.
Ejemplo: Tomado de la información presentada en el ejemplo anterior se tiene la siguiente
gráfica de polígono de frecuencias relativas porcentuales:
Figura 15. Polígono de frecuencias relativas porcentuales de las calificaciones finales de un
grupo de quinto grado de primaria
79
Por último tenemos lo que es el polígono acumulativo el cual se define de la siguiente manera:
Polígono acumulativo. El polígono acumulativo es un diagrama tipo escalera que se
construye señalando sobre cada dato representado en el eje horizontal, un punto de altura
correspondiente a su frecuencia acumulada representada en el eje vertical; a partir de cada
punto se dibujan segmentos de recta horizontales de longitud igual a la distancia entre dato y
dato. Finalmente partiendo del primer dato se unen los extremos de los segmentos
horizontales mediante segmentos verticales.
Cuando se desea construir un polígono acumulativo porcentual, se presentan en el eje vertical
las frecuencias acumuladas porcentuales en lugar de las frecuencias acumuladas.
Ejemplo. El polígono acumulativo correspondiente a los datos del ejemplo anterior son los
siguientes:
CALIFICACIONES # DE ALUMNOS
% DE ALUMNOS
FRECUENCIA
FRECUENCIA
FREC. RELATIVA %
ACUMULADA %
(f)
(f r )
5
2
4.0
4.0
6
3
7.0
11.0
7
12
27.0
38.0
8
13
29.0
67.0
9
11
24.0
91.0
10
4
9.0
100.0
� 𝑓𝑓 = 45
� 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 100.0
(X)
Tabla 2. Frecuencia acumulada de las calificaciones finales de matemáticas de un grupo de
quinto grado de primaria
80
Figura 16. Polígono de frecuencias acumuladas de la tabla 2
Una vez que se han presentado las diversas gráficas recomendadas para la organización de los
datos, se sigue con los ejercicios. Algunos de ellos son los siguientes:
1. La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra el número de hijos
manifestado por cada una de 250 familias encuestadas. Construir el histograma, el
polígono de frecuencias y el polígono acumulativo.
81
HIJOS # DE FAMILIAS FRECUENCIA ACUMULADA
(X)
FRECUENCIA (f)
0
23
1
46
2
75
3
34
4
30
5
23
6
19
� 𝑓𝑓 = 250
Tabla 3. Número de hijos de las 250 familias encuestadas
2. En el siguiente histograma se describe el resultado de una encuesta realizada a una
muestra de estudiantes del segundo año de una escuela preparatoria, sobre el número
de materias que reprobaron el semestres escolar inmediato anterior; obsérvese la
gráfica y respóndase las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos estudiantes en total fueron encuestados?
b) ¿Cuántos estudiantes no reprobaron las materias?
c) ¿Cuántos estudiantes reprobaron I materia?
d) ¿Qué porcentaje de estudiantes reprobaron 2 o más materias?
Figura 17. Gráfica del porcentaje de aprobación de materias de un grupo de alumnos de
preparatoria
82
Así como se presenta esta información para la organización de datos ordenados, de igual
forma sucede para cuando lo datos son agrupados, nada más que aquí se lleva a cabo un
tratamiento diferente al anterior debido a que se tienen que emplear lo que son los intervalos
en las frecuencias con el fin de facilitar la comprensión de los conceptos de frecuencia relativa
y acumulada, estos son los límites superiores e inferiores los cuales determinan el inicio y
final de un intervalo, y nunca coinciden con el límite superior de un intervalo y con el inferior
del siguiente; y los límites reales, que son los nuevos valores que se obtienen a partir de los
límites de los intervalos, promediando el límite superior de un intervalo con el inferior del
siguiente (coincidiendo ambos en un mismo punto).
En nuestro caso no realizaremos el análisis en esta sección, debido a que nos centramos en la
organización de los datos de manera ordenada y no agrupada.
Una vez que se concluye el tema sobre organización de los datos se da pie a las medidas de
centralización comenzando por un caso práctico el cual consiste en:
Un sindicato obrero y una empresa sostienen un debato respecto a los salarios de los
trabajadores. El sindicato reporta que un trabajador recibe en promedio un salario de $24
000 por año, mientras que el gerente de la empresa dice que el salario promedio es de $35
000. ¿A quién debe creerse?
El fin que se le puede asignar a este caso práctico es tomar decisiones ante situaciones de
incertidumbre, por lo que suponemos, es que se desea sembrar una cierta inquietud en los
alumnos sobre quien tendrá la razón, donde lo único que tienen para decir ello es un solo
valor, a partir de esto podrían conjeturar una respuesta o simplemente mencionar que no tienen
los argumentos suficientes, pues no conocen la muestra de la cual provinieron dichos valores.
Se resume que una manera de representar las características de un conjunto de datos es a
través de un valor llamado “promedio”, el cual intenta identificar de alguna manera, el dato
atípico o distintivo del conjunto.
Ahora, las medidas de centralización o de posición central, tienen como propósito establecer
valores que representen lo mejor posible las características de un conjunto de datos. Este
83
texto se enfoca al estudio de las tres medidas de centralización más comunes: la media
aritmética, la mediana y moda.
A) Media aritmética
Cuando un alumno desea conocer el promedio de sus calificaciones obtenidas en el semestre
inmediato anterior, de manera intuitiva suma todas las calificaciones y divide el resultado que
obtiene entre el número de ellas; así, si sus calificaciones fueron 80, 70, 91, 63, 78, 84 y 63, la
manera como calcula su promedio es:
𝑥𝑥̅ =
80 + 70 + 91 + 63 + 78 + 84 + 63 529
=
= 75.57
7
7
Este promedio se denomina media aritmética.
La media aritmética o promedio de una colección de datos se define como la suma de todos
los datos entre el total de ellos, se simboliza con x y su fórmula es:
𝑥𝑥̅ =
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛
= � 𝑥𝑥
𝑛𝑛
𝑛𝑛
Además, en un recuadro cerrado se tiene que: Media aritmética: Medida central o promedio
en la intervienen todos los datos de un conjunto.
Ejemplo: Los siguientes datos representan los tiempos en minutos empleados por un alumno
para contestar diferentes pruebas psicométricas. Hallar el tiempo promedio.
9, 12, 7, 11, 15, 6, 10, 17, 8.
Solución: Para obtener el promedio se utilizan la media aritmética:
𝑥𝑥 =
9 + 12 + 7 + 11 + 15 + 6 + 10 + 17 + 8 95
=
= 10.56
9
9
Con esto podemos ver como la palabra promedio es empleada como sinónima de media
aritmética en ejercicios prácticos desde un principio, sin hacer distinción alguna con otra
medida de centralización.
Seguido de realiza una analogía de la media aritmética con el punto de apoyo de una barra de
equilibrio en la que se encuentran colocados pesos. La figura que a continuación presentamos
representa la interpretación física de la media aritmética, tomado del libro el cual estamos
analizando al considerar los datos del ejemplo anterior:
84
Figura 18. Gráfica del tiempo en minutos empleados por un alumno para contestar diferentes
pruebas psicométricas
La explicación que dan con respecto a la interpretación física consiste en:
Despreciando el peso de la barra y considerando todos los cilindros con igual peso, se puede
observar que la barra está en equilibrio, a pesar de que el punto de apoyo (representado por
la media aritmética) no se encuentra en el centro de la barra; esto se debe a que aunque es
diferente el número de cilindros en los lados de la barra, la suma de los momentos (fuerza por
distancia) que generan dichos pesos a cada lado es igual.
Las propiedades que se tratan sobre la media aritmética es sobre del porqué es que es tan
ampliamente utilizado:
•
La media aritmética siempre se puede calcular para un conjunto de datos.
•
Existe una media aritmética única para un conjunto de datos.
•
En el cálculo de la media aritmética interviene cada uno de los valores del conjunto.
Una vez terminado dicho tema cuando los datos son presentados de manera agrupada, se tiene
una segunda medida de centralización, la mediana la cual se comienza su tratamiento con el
siguiente ejemplo para dar pie a su definición:
El alumno cuyas calificaciones fueron 80, 70, 91, 63, 78, 84, 63, puede tener además otro
promedio que represente sus calificaciones, la manera de obtenerlo es ordenando las
calificaciones de menor a mayor y localizando cuál de ellas ocupa la posición central, esto es:
85
63, 63, 70, 78, 80, 84, 90, de donde se obtiene que el valor central es 78, esta medida se
denomina mediana.
La mediana es la medida central de una serie de datos dispuestos en forma creciente o
decreciente. Cuando el número de datos es impar, la mediana es el valor del dato central, y
cuando es par, la mediana es la media aritmética de los datos centrales.
Seguido se tienen los siguientes dos ejemplos:
1. Calcular la mediana de los siguientes datos:
9, 12, 7, 11, 15, 6, 10, 17, 8.
Solución: Primeramente se ordenan los datos de menor a mayor quedando de la siguiente
manera:
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17
Se puede observar que el número de datos es impar (n=9), por lo que se localiza el dato
central (dato # 5), que resulta ser el 10, entonces la mediana es el 10.
2. Calcular la mediana de los siguientes datos: 23, 28, 33, 21, 36, 20.
Solución: Se ordenan los datos de menor a mayor y se observa que el número de datos es par
(n=6), por lo tanto se calcula la media aritmética de los dos datos centrales (datos # 3 y 4)
para obtener la mediana,
20, 21, 23, 28, 33, 36
𝑥𝑥 =
23 + 28 51
=
= 25.5
2
2
Entonces el valor de la mediana es 25.5.
Luego se realiza una pequeña comparación entre lo que es la media aritmética y la mediana así
como la cualidad de la última expresados de la siguiente manera:
La mediana divide a un conjunto ordenados de datos en dos grupos iguales; la mitad de los
datos tendrán valores menores que la mediana, y la otra mitad mayores que ésta.
En algunos casos particulares la mediana resulta más representativa que la media, ya que la
mediana no está influenciada por los valores extremos del conjunto, como la media
aritmética.
86
Si los datos se encuentran organizados en una tabla de datos ordenados, en el cálculo de la
media se pueden presentar de dos formas:
1. Cuando la sumatoria de las frecuencias es impar, como se mencionó anteriormente, la
mediana es el valor del dato central, el cual se obtiene sumando 1 a la frecuencia total
y dividiendo la suma entre 2, el resultado de esta operación proporciona el lugar que
ocupa el dato central, que se debe localizar en la columna de frecuencias acumuladas
en la tabla de distribuciones.
Cuando n es impar el dato central es
𝒏𝒏+𝟏𝟏
𝟐𝟐
Ejemplo: La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra las calificaciones de los
alumnos de 5º grado. Calcular la mediana.
CALIFICACIONES # DE ALUMNOS
(X)
FRECUENCIA (f)
5
2
6
3
7
12
8
13
9
11
10
4
� 𝑓𝑓 = 45
Tabla 4. Frecuencia de calificaciones de un grupo de quinto grado de primaria
Solución: Se completa la tabla añadiendo la columna de la frecuencia acumulada.
CALIFICACIONES # DE ALUMNOS FRECUENCIA ACUMULADA
(X)
FRECUENCIA (f)
5
2
2
6
3
5
7
12
17
8
13
30
9
11
41
10
4
45
� 𝑓𝑓 = 45
Tabla 5. Frecuencia acumulada de calificaciones de un grupo de quinto grado de primaria
87
La tabla muestra, que la sumatoria de frecuencias es 45, como es número impar se suma 1 a
la frecuencia total y se divide entre 2 para encontrar el lugar que ocupa el dato central, esto
es:
𝟒𝟒𝟒𝟒+𝟏𝟏
𝟐𝟐
=
𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟐𝟐
= 𝟐𝟐𝟐𝟐, por lo tanto se debe localizar el dato que ocupa el lugar 23. De la tabla
de frecuencias en la columna de frecuencias acumuladas se observa que el dato que ocupa el
lugar 23 es la calificación 8 por lo tanto la mediana sería 8.
2. Si la suma de las frecuencias es par se sabe por definición que la mediana es la media
aritmética de los datos centrales. Para localizar estos dos valores centrales se divide
la suma de las frecuencias entre 2 y el resultado proporcionará el lugar que ocupa el
primer dato central, el cual se localiza en la columna de frecuencias acumuladas, el
segundo dato central es el inmediato posterior al primer dato central; una vez
localizados los datos centrales se calcula la media aritmética de ellos para obtener la
mediana.
Cuando n es par los datos centrales son:
𝒏𝒏
𝟐𝟐
𝒚𝒚
𝒏𝒏
𝟐𝟐
+ 𝟏𝟏
Ejemplo: La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra las calificaciones de los
alumnos de 5º grado. Calcular la mediana.
CALIFICACIONES
# DE ALUMNOS
(X)
FRECUENCIA (f)
5
2
6
5
7
9
8
12
9
7
10
5
� 𝑓𝑓 = 40
Tabla 6. Frecuencia de calificaciones de un grupo de quinto grado de primaria
88
Solución: Se completa la tabla añadiendo la columna de la frecuencia acumulada.
CALIFICACIONES
# DE ALUMNOS
FRECUENCIA ACUMULADA
(X)
FRECUENCIA (f)
5
2
2
6
5
7
7
9
16
8
12
28
9
7
35
10
5
40
� 𝑓𝑓 = 45
Tabla 7. Frecuencia acumulada de calificaciones de un grupo de quinto grado de primaria
Se tiene que la sumatoria de las frecuencias es 40, por ser número par se debe encontrar la
media aritmética de los dos datos centrales.
Se divide
40
2
= 20, por lo tanto se deben de localizar los dos datos centrales, que ocupan el
lugar 20 y 21 respectivamente. De la tabla de frecuencias en la columna frecuencias
acumuladas se observa que el dato que ocupa el lugar 20 y 21 es la calificación 8 por lo tanto
la mediana será:
𝟖𝟖+𝟖𝟖
𝟐𝟐
= 𝟖𝟖.
Ya una vez realizado el tratamiento anterior para un conjunto de datos ordenados, se prosigue
de la misma manera pero ahora con un conjunto de datos agrupados, el cual no analizaremos
en esta investigación.
Algunos de los ejercicios empleados para reforzar los conocimientos antes presentados se
encuentran estructurados de la siguiente manera:
1. La siguiente tabla de distribución de frecuencias, muestra el número de hijos por cada
una de 250 familias encuestadas:
89
HIJOS # DE FAMILIAS
(X)
FRECUENCIA (f)
0
23
1
46
2
75
3
34
4
30
5
23
6
19
� 𝑓𝑓 = 250
Tabla 8. Número de hijos de las 250 familias encuestadas
CALCULAR:
a) Media aritmética
b) Mediana
c) Moda
2. Para los siguientes puntajes: 205, 5, 5, 5, 2 y 1; obtener: a) la media aritmética, la
mediana y la moda; b) ¿Qué medida de tendencia central no sería apropiada para
describir el conjunto de puntajes? ¿Por qué?
3. Una sucursal de una cadena de minisupers tiene siete empleados, los cuales se quejan
a la gerencia asegurando que el salario promedio semanal en esa sucursal es de
$900.00. La gerencia responde que el salario promedio es de $1137.50. La siguiente
tabla resume los datos:
CARGO
SALARIO NÚMERO DE EMPLEADOS
Gerente
$2,500.00 1
Subgerente
$1,900.00 1
Cajero
$1,100.00 2
Abarrotero
$950.00
1
Auxiliar de venta $900.00
5
Mantenimiento
2
$800.00
Tabla 9. Resumen del salario percibido por los empleados de un centro comercial
90
4. Un grupo de 10 estudiantes presentaron una prueba diagnóstica e cierta facultad, la
prueba tuvo una puntuación máxima de 100 puntos y los resultados fueron: 35, 24, 39,
30, 42, 98.5, 37.5, 97, 33, y 56.
a) Calcular la media aritmética y mediana.
b) Comparar los resultados y determinar la diferencia entre ellos.
c) Si todas las puntuaciones se utilizan ¿Cuál sería el mejor promedio que describe el
conjunto de datos?
En resumen, se pretende que el alumno sea capaz de extrapolar los conocimientos estadísticos
a situaciones reales, según su objetivo, el cual no se plasma en el tratamiento llevado a cabo en
el libro. Cabe aclarar que el libro fue diseñado especialmente para hacer utilizado en dicha
escuela basándose del programa de estudios. Es por ello que se esperaría que los alumnos
logren llevar a situaciones reales los conceptos de media aritmética y mediana mediante
ejemplo, los cuales serán inventados dentro de la realidad propiciada por la institución y por la
sociedad.
De la bibliografía presentada, notamos que son libros antiguos, y que el más empleado en
clases fue el que empleamos para realizar este análisis, pues es propio de la Universidad ya
que son libros editados por ella.
Con respecto a la primera parte del tratamiento de la información, sólo se hace una
especificación de las principales gráficas y sobre su construcción ligada a las tablas de
recopilación de datos. Se centra más en la construcción de gráficos particulares, más no se
lleva a cabo un análisis de algunos otros que pueden ser de barras, circulares, columnas, etc.
Su lectura, predicción y toma de decisiones es muy escaso.
Después de ello se llega al tema de medidas de centralización comenzando con la media
aritmética, cuya explicación que se encuentra en el libro, no hace referencia de algún otro uso
o interpretación, no se explica que pasa si hay valores atípicos o cero en el comportamiento de
esta, no se hace referencia a la propiedad de representatividad de un conjunto de datos, sobre
su uso inverso y mucho menos, algún tratamiento mediante el empleo de gráficas y por último,
emplear otros contextos para extrapolar conocimientos, predecir y tomar decisiones.
91
El tratamiento de la mediana se lleva a cabo de igual forma como el de la media aritmética. Al
final, en los ejercicios se trata de que el alumno deduzca, compare y hasta pudimos notar que
reconozca ciertas particularidades como el exponer quién de las tres medidas representa mejor
al conjunto de datos, los efectos de tener valores atípicos y tomar decisiones, cuando con
anterioridad no han trabajado con ello o más bien, no han realizado el análisis de situaciones
problema para poder conjeturar. Los contextos presentados son muy ordinarios, pues no se
aprecia realmente la utilidad de las medidas de centralización.
Es por ello que al final los alumnos no realizan un análisis de la situación provocando
carencias, dificultades y errores tales como: no considerar el efecto de los valores atípicos a las
medidas de media aritmética y mediana, de saber por qué solo uno representa de mejor manera
al conjunto de datos, de predecir hechos o sucesos, tomar decisiones en momentos de
incertidumbre, tener un uso en la vida real de los conceptos, construir gráficos, leerlos y sobre
todo, obtener información y realizar un buen análisis a partir de ello; todo esto aunado a la
falta de conocimientos estadísticos de los profesores quienes imparten dicha materia, por lo
que esperamos que las situaciones realizadas para esta investigación disminuyan dichas
carencias y ayuden al tratamiento de la propiedad de representatividad de las medidas de
centralización en el aula.
92
CAPÍTULO V. UNA SITUACIÓN DIDÁCTICA SOBRE LA MEDIA ARITMÉTICA,
LA MEDIANA Y SU REPRESENTATIVIDAD
Introducción
En este capítulo se trata un análisis descriptivo y predictivo de la situación didáctica propuesta
sobre la media aritmética, mediana y su propiedad de representatividad. En dicho análisis se
presentan los siguientes aspectos:
•
Se describen las selecciones de las variables a nivel local (relacionándolas
eventualmente con las selecciones globales) y las características de cada situación
didáctica que de ellas se desprenden.
•
Se analiza qué podría ser lo que está en juego en cada situación para un estudiante en
función de las posibilidades de acción, selección de decisión, de control y de
validación de las que él dispone, una vez puesta en práctica en un funcionamiento casi
aislado del profesor.
•
Se prevén las posibles acciones esperadas de los estudiantes y se trata de exponer cómo
el análisis realizado permite controlar su significado y asegurar, en particular, que los
comportamientos esperados, si intervienen, sean resultado de la puesta en práctica del
conocimiento contemplado por el aprendizaje.
Para construir conocimiento sobre la media aritmética, la mediana y su representatividad, en el
diseño de la situación didáctica se consideraron los siguientes aspectos: la práctica de
repartición equitativa, la práctica de predicción y la toma de decisiones, el tratamiento de la
información y el uso de gráficas, las dificultades y errores presentes en los estudiantes;
tomando como referente el currículo y el tratamiento dado en los libros de texto. En esta
propuesta didáctica, el estudiante se verá inmiscuido en situaciones de acción, formulación,
validación e institucionalización.
93
El análisis a priori consistió en determinar las variables que permitan controlar los
comportamientos de los estudiantes y su significado. Por lo anterior, este análisis se basa en un
conjunto de hipótesis de trabajo, las cuales son:
•
La práctica de la repartición equitativa coadyuva a la construcción de los algoritmos de
la media aritmética y mediana.
•
El uso de gráficos favorece la constitución y comprensión de la propiedad de
representatividad de las medidas de posición central.
•
La práctica de la predicción está ligada a la construcción de conceptos matemáticos; en
este caso sobre la noción de media aritmética y para la inversión del algoritmo de la
media aritmética.
•
La contextualización es parte importante en el entendimiento y construcción de los
conceptos de media aritmética y mediana junto, con su propiedad de representatividad.
•
El análisis de la variación de los datos, explica los efectos que los valores atípicos o
ceros tienen sobre las medidas de posición central y en la elección del valor
representativo de un conjunto de datos.
5.1. ANÁLISIS DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA
Como elementos previos a la situación didáctica, para poder llevar a cabo las acciones
requeridas en cada una de las situaciones propuestas, los estudiantes deben ser capaces de:
•
Calcular las diferencias absolutas o distancias entre dos valores.
•
Construir algoritmos o fórmulas para ser empleadas en distintas situaciones o
problemas.
•
Llevar a cabo una lectura de gráficos mediante un enfoque local o global de este,
identificando tendencias o comportamientos.
94
Las variables consideradas en la situación didáctica propuesta son:
•
El tipo de valores en el conjunto datos. Dichos valores tienen efectos sobre las medidas
de centralización, pues en la media aritmética conlleva un desplazamiento hacia la
derecha o a la izquierda, produciéndose así sesgos o tendencias en los datos.
Sucede que al determinar las diferencias entre los valores del conjunto de datos y el
valor representativo, se obtendrán distancias muy grandes o muy pequeñas, por lo que
es posible una simetría o uniformidad en la representación gráfica de las distancias, o
bien, gráficas con sesgos o comportamientos tendenciales con valores atípicos o ceros.
Otra consideración es que los valores “cero” a veces no son considerados por el
individuo en el cálculo de la media aritmética o mediana, pues los consideran como
valores no existentes dentro del conjunto, al no hacerlo, se modifica al conjunto de dos
maneras: uno, hacia el valor de la media aritmética o mediana, y el segundo, sobre el
tamaño de la muestra.
•
Las argumentaciones gestuales o discursivas de los estudiantes con respecto a los
procedimientos, métodos, fórmulas, comportamientos, comparaciones, valores y
justificaciones en la toma de decisiones o predicciones que se susciten en la elección
del valor más representativo de un conjunto de datos.
•
El valor de la media aritmética. La media aritmética se encuentra relacionada con los
valores del conjunto y cuando uno de esos valores es modificado, el valor de la media
aritmética se modifica. De igual manera, cuando la media aritmética de un conjunto de
datos se modifica, el valor faltante o predictivo de ese mismo conjunto también se
modifica. Su consideración será cuando el estudiante vaya a llevar a cabo la
construcción del inverso algorítmico de la media aritmética.
•
La cantidad de valores en un conjunto de datos. La media aritmética también varía con
respecto a la cantidad de datos del conjunto, así como de la de valores atípicos o ceros.
•
El tratamiento de la información y su representación gráfica. La construcción de la
propiedad de representatividad de la media aritmética y mediana, se hará mediante el
uso de gráficos. La elección del valor más representativo de un conjunto, estará
influida por el análisis de la variación de los valores, la tendencia y el comportamiento
de sus gráficas.
95
5.1.1. ACTIVIDAD 1
Propósito:
Analizar la variación de los datos de un conjunto dado, de manera numérica o gráfica, para
determinar un valor que represente o describa ese conjunto de datos.
Un elemento importante a considerar para determinar el valor representativo de un conjunto de
datos es el análisis de la variación de éstos, es decir, analizar qué tan cercanos o lejanos se
encuentran los datos con respecto al valor representativo. Elegir un valor representativo
precisa que el estudiante lleve a cabo acciones tales como:
•
Realizar una repartición equitativa:
o Sumando todos los valores del conjunto de datos y dividirlos entre el número
total de estos.
o Distribuir todos los valores del conjunto de datos de tal manera que tengan el
mismo valor.
•
Realizar ajustes a la gráfica de datos, según el exceso o defecto de los valores.
•
Llevar a cabo un ordenamiento ascendente de los datos y elegir aquel que se encuentre
en el centro de todos los valores de los datos (si la cantidad de datos es impar) o el
promedio de los dos centrales (si la cantidad de datos es par).
•
Elegir aquel valor que tiene mayor frecuencia en el conjunto de datos.
A su vez, para elegir un valor representativo de un conjunto se precisa que el estudiante
analice la variación de los datos, mediante la lectura, comprensión y transformación de
gráficos, llevando a cabo acciones tales como:
•
La traducción de un gráfico a otro, de un gráfico a una tabla o viceversa; lo que
requiere de un cambio en la forma de comunicar la información, e interpretar el gráfico
a nivel descriptivo.
•
La interpretación del gráfico, que implica reorganizar el material y separar los factores
más y menos importantes, búsqueda de relaciones entre los elementos específicos del
gráfico o entre los elementos y las escalas en los ejes, para realizar un análisis de la
variación de los datos con respecto a: qué cambia, cuánto cambia y cómo cambia.
96
•
La interpolación/extrapolación implica la extensión de la interpretación, identificando
tendencias o convenios implícitos para poder predecir o describir comportamientos.
Entre las variables consideradas en esta actividad tenemos:
•
La inclusión de valores atípicos y ceros en uno de los dos conjuntos de datos, con la
intensión de más adelante crear un conflicto cognitivo en los estudiantes, por los
efectos producidos sobre los valores representativos determinados.
•
Las argumentaciones discursivas y visuales que los estudiantes empleen en la
justificación sobre el cálculo del valor representativo de cada conjunto.
Análisis a priori
De esta actividad se espera, en un primer momento, que el estudiante calcule un valor
representativo para cada uno de los dos conjuntos presentados de manera gráfica. El primer
conjunto de datos tendrá la característica de no contener valores atípicos o ceros, mientras que
el segundo sí los tendrá, lo cual servirá para causar un conflicto cognitivo posteriormente al
estudiar los efectos que tienen sobre los valores representativos.
El cálculo del valor representativo de los conjuntos será de manera heurística, es decir, se
dejará que el alumno determine alguna manera de hacerlo, entre los cuales están:
a) Sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de estos. En este caso el
alumno estará realizando una repartición equitativa, la cual es una práctica muy
antigua que por intuición podría llevar a cabo. Dicha forma se encuentra ligada al
algoritmo de la media aritmética, por lo que hacerlo de esta manera, favorecerá la
construcción del algoritmo posteriormente.
b) Distribuir todos los valores de tal manera que se realice una repartición equitativa. Otra
forma no tan directa como la anterior podría ser ésta, pues no tendría que sumar todos
los valores, sino más bien, tomar los excedentes de los valores más grandes y
sumárselos a los más pequeños; mediante ensayo y error estaría determinando el valor
representativo.
c) Realizar ajustes a la gráfica mediante el exceso o defecto de los valores. En este caso,
el alumno se fijaría no solamente en el valor numérico del dato, sino también de la
97
distancia (vertical) existente entre los valores, por lo que al realizar la distribución
para ajustar los datos, su objetivo sería que la altura de todas las columnas del gráfico
sean iguales. En este caso, vuelve hacerse presente el ensayo y error.
d) Elegir aquel valor que se encuentre en el centro de todos los datos (si la cantidad de
datos es impar) o el promedio de los dos centrales (si la cantidad de datos es par). De
hacerlo de esta forma, el alumno se tendría que centrar en el ordenamiento de los
datos, pero en un ordenamiento ascendente, pues por intuición se tiene que de
izquierda a derecha los números van creciendo o en aumento. Dicha forma se
encuentra ligada a la mediana, lo cual más adelante sería utilizado para la construcción
de su algoritmo.
El segundo momento se dará cuando el alumno tenga que justificar el por qué de ese valor
representativo, y no otro, a partir de la lógica y el esquema empleado por él para determinar
dicho valor. Comenzará a realizar una comunicación de lo construido hasta el momento, así
como una validación de ello, confrontando sus argumentos con los de sus compañeros.
La situación didáctica se desarrolla en el siguiente contexto.
INTERFERENCIA EN LA SEÑAL DE UN SATÉLITE
La NASA y el Instituto Politécnico Nacional pretenden evaluar un proyecto desarrollado hace
aproximadamente 12 años, el cual consistió en poner en órbita un satélite, que servirá única y
exclusivamente para la transmisión de información entre instituciones escolares o
independientes a nivel mundial.
La información es mandada mediante señales electromagnéticas que viajan por el aire junto
con el sonido, hasta llegar al satélite atravesando el cielo, a veces despejado o lluvioso,
perjudicando la calidad de la señal. Es decir, si está despejado la señal es mejor transmitida
que cuando está nublado y lloviendo, ya que el agua también afecta la transmisión. En esos
casos hay que modificar la magnitud de la potencia con la que se manda la información,
evitando en gran medida problemas de estática y comunicación.
98
Para determinar cuándo hay que realizar un cambio en la magnitud de potencia de salida se
hace necesario predecir en qué meses predominará el clima soleado o nublado.
Abre el archivo llamado “Clima de la ciudad de Mérida” de Excel, que contiene las siguientes
tablas y gráficas, donde se presentan la cantidad de días soleados y nublados o lluviosos de
dicha ciudad. Estos datos nos ayudarán a predecir el momento en el que se deberá hacer un
cambio en la magnitud de potencia.
Mes
Días soleados
Enero
24
Febrero
23
Marzo
24
Abril
25
Mayo
31
Junio
23
Julio
27
Agosto
19
Septiembre
24
Octubre
24
Noviembre
25
Diciembre
26
Total
265
Tabla 10. Cantidad de días soleados por mes en el año 2008
99
Días soleados
35
Cantidad de días
30
31
25
20
24
23
24
25
27
24
23
24
25
26
19
15
10
5
0
Mes
Gráfica 1. Cantidad de días soleados por mes en el año 2008
Mes
Días nublados o lluviosos
Enero
7
Febrero
6
Marzo
7
Abril
5
Mayo
0
Junio
7
Julio
4
Agosto
12
Septiembre
6
Octubre
7
Noviembre
5
Diciembre
5
Total
71
Tabla 11. Cantidad de días nublados o lluviosos por mes en el año 2008
100
Días nublados o lluviosos
14
cantidad de días
12
12
10
8
6
4
7
7
5
2
0
7
6
5
4
0
7
5
5
Mes
Gráfica 2. Cantidad de días nublados o lluviosos por mes en el año 2008
Actividad 1
1. Con base en la información anterior, determina un valor representativo 5 del número de
días al mes (en el año 2008), en los que es posible se tengan:
a) Días soleados
b) Días nublados o lluviosos
Describe el método que empleaste para determinar los valores representativos, en cada
caso.
2. Sin hacer variar el número total de días soleados y nublados o lluviosos al año,
completa las siguientes tablas, de tal manera que cada mes tenga la misma cantidad de:
a) Días soleados
b) Días nublados o lluviosos
5
Representativo: aquel valor que reúne y describe las características del conjunto de datos.
101
MES
Días
Nueva cantidad
soleados
Enero
24
Febrero
23
Marzo
24
Abril
25
Mayo
31
Junio
23
Julio
27
Agosto
19
Septiembre
24
Octubre
27
Noviembre
25
Diciembre
26
TOTAL:
295
Tabla 12. Cantidad media de días soleados por mes
MES
Días nublados o Nueva cantidad
lluviosos
Enero
7
Febrero
6
Marzo
7
Abril
5
Mayo
0
Junio
7
Julio
4
Agosto
12
Septiembre
6
Octubre
6
Noviembre
5
Diciembre
5
TOTAL:
71
Tabla 13. Cantidad media de días nublados o lluviosos por mes
3. ¿Consideras que esas dos nuevas cantidades, obtenidas en el ejercicio 2, representan el
número de días soleados y nublados o lluviosos que se tienen mensualmente en el año
2008? Justifica tu respuesta.
102
4. ¿Cuál de los valores obtenidos hasta el momento, consideras representa mejor la
cantidad de:
a) Días soleados
b) Días nublados o lluviosos
que se tienen mensualmente en el 2008? Justifica tu respuesta
Descripción de la actividad 1
En el apartado uno de la actividad se espera que los estudiantes, empleando las tablas del
archivo “Clima de la Ciudad de Mérida” (Figura 19) realicen una repartición equitativa, elijan
el valor más grande del conjunto de datos o tomen aquel que se repita más veces, para
determinar el valor que mejor represente cada uno de los dos conjuntos de datos.
Figura 19. Datos del clima de la ciudad de Mérida en el 2008
Cuando los estudiantes hayan determinado su propio valor representativo de días soleados y
nublados con lluvia, lo confrontarán con un nuevo valor proveniente del segundo ejercicio de
la actividad uno, donde el método para determinarlo es a través de la repartición equitativa. Al
momento de completar las tablas 3 y 4 de la actividad 1, se generarán de manera automática
las gráficas correspondientes a los nuevos valores obtenidos en el ejercicio 2, las cuales serán
103
de utilidad para hacer comparaciones entre los datos y analizar su dispersión, respecto a esos
valores representativos.
Figura 20. Comparación de la cantidad original de días con la cantidad promedio
Por último, deben de elegir el valor que mejor represente entre el que determinaron en un
principio y el que calcularon en el ejercicio 2, del conjunto de días soleados y al de días
nublados o lluviosos. Los argumentos pueden estar relacionados con la lejanía o cercanía que
tienen los valores representativos con los valores de los conjuntos de datos, o por el hecho de
que el método para determinarlos fue el mismo que los estudiantes emplearon en el ejercicio
uno de esta actividad.
5.1.2. ACTIVIDAD 2
Propósito:
Calcular la dispersión entre los valores del conjunto de datos y el valor representativo,
mediante su representación numérica y gráfica.
104
La variación de los datos se encuentra ligada a la dispersión que existe entre los valores del
conjunto de datos y su valor representativo, por lo que para llevar a cabo el cálculo de las
dispersiones se considera que el estudiante debe de realizar, alguna de las siguientes acciones
esperadas:
•
Calcular las diferencias absolutas o distancias entre los valores del conjunto de datos y
su valor representativo. Esto indicará que tan alejados o cercanos se encuentran los
valores originales de dicho valor que en teoría los representa.
•
Calcular los excesos y defectos entre los valores originales del conjunto y su valor
representativo. Se podrá apreciar con esto, cómo es el comportamiento que presenta
dichos efectos y defectos, y relacionarlos con algún patrón.
•
Calcular los excesos y defectos, y elevarlos al cuadrado. Esta acción convierte todos
los valores en positivos, pero con una característica en particular, que unos valores
crecerán mucho más rápidos que otros por lo que la variación será más visible.
•
La representación gráfica de alguna de las acciones anteriores. Plasmar los valores de
las diferencias o los cuadrados de éstas, mediante una gráfica, para el análisis y
descripción de su comportamiento tendencial, y reconocimiento de algún patrón en el
comportamiento de los datos.
•
Realizar un análisis del gráfico de las diferencias absolutas. Esto, mediante una
descripción del comportamiento que presentan y de las diferencias que identifiquen
entre los dos gráficos (variaciones de días soleados vs. variaciones de días nublados o
lluviosos).
El tipo de valores que conformen a los conjuntos de datos será la variable en juego. Los
valores atípicos o ceros considerados en un conjunto de datos, al calcular las distancias, harán
que surjan diferencias tanto numéricas como gráficas, cuando el comportamiento de los
gráficos de las variaciones no sea idéntico o presenten sesgos.
Se espera que en esta actividad el estudiante emplee la operación aritmética de diferencia
absoluta o el cálculo de diferencias al cuadrado, para cuantificar la distancia existente entre los
valores de cada conjunto y su respectivo valor representativo. Una vez calculadas dichas
diferencias o su cuadrado, representarlos gráficamente, para luego realizar un análisis del
comportamiento que describen.
105
Actividad 2
1. ¿Cuál de los dos valores que obtuviste en la actividad 1, inciso 2, está más cercano y
cuál más alejado de su conjunto de datos?
2. ¿En qué meses se debe modificar la potencia con la que es transmitida la información
hacia los satélites? Justifica tu respuesta.
3. Las siguientes tablas y gráficas, presentan la dispersión entre la cantidad de días
soleados y su valor representativo; así como, la dispersión entre la cantidad de días
nublados o lluviosos y su valor representativo. Analiza el comportamiento de la
variación que describen las dispersiones y responde las preguntas 4 y 5.
MES
Nueva cantidad de días soleados
Distancia
Enero
24.583
0.583
Febrero
24.583
1.583
Marzo
24.583
0.583
Abril
24.583
0.417
Mayo
24.583
6.417
Junio
24.583
1.583
Julio
24.583
2.417
Agosto
24.583
5.583
Septiembre
24.583
0.583
Octubre
24.583
0.583
Noviembre
24.583
0.417
Diciembre
24.583
1.417
Total
294.996
Tabla 14. Dispersión entre la cantidad de días soleados y su valor representativo
106
Dispersión entre los datos y su valor
representativo
7
6.417
5.583
6
DIferencias
5
4
3
2.417
1
1.583
1.583
2
0.583
1.417
0.583 0.583 0.417
0.583 0.417
0
Mes
Gráfica 3. Dispersión entre los datos y su valor representativo
MES
Nueva cantidad de días nublados
Distancia
Enero
5.916
1.084
Febrero
5.916
0.084
Marzo
5.916
1.084
Abril
5.916
0.916
Mayo
5.916
5.916
Junio
5.916
1.084
Julio
5.916
1.916
Agosto
5.916
6.084
Septiembre
5.916
0.084
Octubre
5.916
1.084
Noviembre
5.916
0.916
Diciembre
5.916
0.916
Total
70.992
Tabla 15. Dispersión entre la cantidad de días soleados y su valor representativo
107
Dispersión entre los datos y su valor
representativo
6.084
Diferencias
5.916
1.084
0.084
1.084 0.916
1.084
1.916
0.084
1.084 0.916 0.916
Mes
Gráfica 4. Dispersión entre los datos y su valor representativo
4. ¿Podrían ser las nuevas cantidades de días nublados o lluviosos obtenidos,
representativos del número de días Soleados que se tuvieron mensualmente en el 2008?
Justifica tu respuesta.
5.
¿Podrían ser las nuevas cantidades de días nublados o lluviosos obtenidos,
representativos del número de días Nublados o lluviosos que se tuvieron mensualmente
en el 2008? Justifica tu respuesta
Comentarios. Los nuevos valores representan la Medía aritmética del conjunto de datos.
La media aritmética tiene como características:
•
Surge a partir de realizar una repartición equitativa
•
Es un promedio del conjunto de datos, es decir, la suma de los valores observados
entre el total de datos obtenidos
•
Puede ubicarse al centro, a la izquierda o a la derecha de los datos
•
Es un valor representativo de los datos del conjunto, con este valor se puede
describir las características principales del conjunto
108
Descripción de la actividad
Para esta actividad, los estudiantes deben de analizar qué tan alejados o cercanos se
encuentran los valores representativos del conjunto de datos, es decir un análisis de la
variación de los mismos. La tabla se presentará en Excel de la siguiente manera:
Figura 20. Dispersión entre el conjunto de datos y su respectivo valor representativo
Es en esta actividad, donde los estudiantes comenzarán a ejecutar la toma de decisiones
respecto a la situación planteada, a fin de determinar si hay que modificar la potencia de la
señal de trasmisión y en qué mes(es) se debe realizar dicha modificación.
Posteriormente, dicho valor obtenido por la repartición equitativa será denominado como
Media Aritmética junto con su caracterización.
109
5.1.3. ACTIVIDAD 3
Propósito:
Generar argumentos discursivos y visuales, mediante el análisis de la variación de los datos,
para justificar cuál es el valor más representativo del conjunto.
En esta actividad, se considera que los estudiantes deben argumentar con respecto a las
diferencias o el cuadrado de éstas, determinadas entre los valores del conjunto de datos y su
valor representativo, analizando la variación de los datos y la descripción de las gráficas de
diferencias, centrándose en:
•
Las variaciones más grandes o más pequeñas provocadas por los valores atípicos o
ceros.
•
El comportamiento uniforme que las variaciones tienen provenientes del conjunto de
datos que no contiene valores atípicos o ceros.
•
La posición o lugar (en medio, a la derecha o a la izquierda) donde el gráfico de las
variaciones sufre un cambio de decreciente a creciente, o viceversa.
•
El patrón que presentan las variaciones positivas y negativos. El lugar en la gráfica
donde sucede un cambio de signo (en el centro, a la derecha o la izquierda).
Todo esto, para poder determinar los efectos que provocan los valores atípicos o ceros sobre el
valor representativo de cada conjunto de datos.
La variable a considerar en esta actividad son las argumentaciones gestuales y discursivas,
ambas consideradas en las justificaciones de los resultados y métodos empleados por el
estudiante, siendo de dos tipos: la primera, de carácter cuantitativo al momento de analizar los
valores de la dispersión entre los datos y su valor representativo; el segundo, de carácter
cualitativo, cuando el análisis se centre en el comportamiento de las gráficas generados por los
valores de la dispersión en la observación de ciertas particularidades que estas presentan, tales
como: el crecimiento de las diferencias positivas, el decrecimiento de las diferencias
negativas, la cantidad de diferencias positivas o negativas, su ubicación en la gráfica, etc. Se
espera que los estudiantes discutan y argumenten sobre los siguientes aspectos:
110
•
El comportamiento que describen las variaciones no son iguales en ambas gráficas, en
una hay un comportamiento más o menos uniforme mientras que en la otra no.
•
Los valores atípicos y ceros hacen que el comportamiento gráfico de las variaciones
sean diferentes, puesto que en una, la que no contiene los valores atípicos o ceros, el
valor representativo se encuentra en el centro o casi en el centro de los datos; mientras
que en la otra, que sí los contiene, se encuentra a la derecha o a la izquierda.
•
Las variaciones entre los valores de los conjuntos de datos, que no contienen valores
atípicos o ceros, son más o menos iguales, y las variaciones entre los valores del
conjunto de datos que sí contiene valores atípicos o ceros son muy grandes o muy
pequeñas; por lo que el comportamiento de ambos conjuntos de datos no es igual.
•
El comportamiento gráfico que presentan las variaciones de los datos, en particular,
respecto al lugar (en el centro, a la derecha o a la izquierda) donde se suscita un
cambio de creciente a decreciente en las gráficas, generados por las diferencias o
distancias entre el conjunto de datos y su respectivo valor representativo.
•
El gráfico del cuadrado de las diferencias o de las variaciones de ambos climas, se
diferencian en que el comportamiento de la gráfica es uniforme en la primera, mientras
que en la segunda se presentan valores demasiado grandes y pequeños, tanto que se
encuentran alejados unos de otros.
Con esto, se pretende que el estudiante tenga herramientas para poder dar el siguiente paso de
la actividad, la cual consiste en elegir aquel valor más representativo del conjunto de datos.
Las justificaciones se espera se produzcan a partir de los resultados numéricos que hayan
determinado y de los patrones o comportamientos de las gráficas, los cuales ayudarán para su
correcta elección.
Actividad 3
1. Completa la siguiente tabla, que muestra el número de días nublados o lluviosos del
2008, de manera que haya menor dispersión entre los datos y el valor representativo,
que la que se tenía originalmente.
Nota. Verifica que el número total de días (resultante) del año sea 366, dado que es
bisiesto.
111
MES
CANTIDAD DE DÍAS
ENERO
7
FEBRERO
6
MARZO
7
ABRIL
5
MAYO
JUNIO
7
JULIO
4
AGOSTO
SEPTIEMBRE
6
OCTUBRE
7
NOVIEMBRE
5
DICIEMBRE
5
TOTAL
71
Tabla 16. Nueva cantidad de días nublados o lluviosos
2. Si las cantidades de días nublados o lluviosos fueran las anteriores, determina el valor
de la media aritmética que los representa.
Dispersión entre los datos y su valor
representativo
6.084
Diferencias
5.916
1.084
0.084
1.084 0.916
1.084
1.916
0.084
1.084 0.916 0.916
Mes
Gráfica 5. Dispersión entre los datos y el primer valor representativo obtenido
112
3. ¿Cuál de los dos valores de las medias aritméticas, obtenidas hasta el momento,
representa mejor la cantidad de días nublados o lluviosos por mes? Justifica tu
respuesta.
Descripción de la actividad
En esta actividad, se espera que los estudiantes observen que una modificación en los datos del
conjunto, afecta su dispersión respecto al valor representativo y, por ende, este valor también
cambia.
La hoja de trabajo será como la siguiente:
Figura 21. Datos de la cantidad de días nublados y lluviosos, con menor dispersión que los
originales
113
5.1.4. ACTIVIDAD 4
Propósito:
Determinar otro valor representativo del conjunto de datos, a partir de los resultados obtenidos
del análisis de la variación de los mismos, a fin de elegir el más representativo entre dos
valores distintos.
Para la elección del valor que represente mejor a un conjunto de datos, se consideran las
argumentaciones empleadas en las justificaciones de los resultados obtenidos en las
actividades anteriores. Es decir, todas aquellas argumentaciones gestuales y discursivas,
partiendo del método que emplearon para calcularlo, hasta el análisis de la variación de los
datos.
Con respecto a la realización de otro algoritmo o forma de calcular el valor que represente a
un conjunto de datos, se considera el empleo del ordenamiento ascendente de los datos o de la
repartición equitativa. De modo que, si primeramente empleó la repartición equitativa, en el
conjunto que no le favoreció dicha forma tendrá que emplear la de enlistar a los valores de
mayor a menor y tomar el valor central, si es impar, o el promedio de los centrales, si es par, o
viceversa.
Las argumentaciones discursivas de los estudiantes serán variables, puesto servirán para poder
justificar:
•
La construcción de un nuevo método para determinar el valor representativo del
conjunto de datos
•
Los efectos que tienen los valores atípicos o ceros sobre los valores representativos.
Se espera que, los alumnos elijan la frecuencia esperada que mejor represente a cada uno de
los conjuntos de datos.
Se tendrá, que solamente uno de los dos valores representativos podrá ser elegido. Si el
estudiante usó la repartición para determinar un valor representativo, entonces éste solo será
representativo de aquel conjunto que no contenga datos atípicos o cero; si empleó el
114
ordenamiento ascendente, el valor determinado representará a ambos conjuntos, puesto que la
mediana coincide con la media aritmética cuando los datos se comportan de manera uniforme.
Si los alumnos emplean el ordenamiento ascendente de los valores de los datos, se les pedirá
la construcción de otro método, o intentar con la repartición equitativa de los valores,
aprovechando los resultados que otros estudiantes hayan tenido con este método. Esto
propiciará interacciones alumno-alumno, sobre las ideas que tuvieron del por qué usar
determinada forma de obtener el valor representativo y justificando para qué casos es válido
emplear la repartición equitativa y en cuáles el ordenamiento.
Actividad 4
1. En la actividad 1, inciso 2 obtuviste las medias aritméticas del clima soleado y clima
nublado y lluvioso.
Luego, realizaste un análisis de la variación de los datos y de los efectos que tienen
estos sobre la media aritmética, por lo que ¿cuál media representa mejor al clima de la
ciudad? ¿La media aritmética de los días soleados o la de los días nublados o
lluviosos? Justifica tu respuesta.
2. Determina el valor que mejor representará la cantidad de días de cielo nublado o
lluvioso del año 2008.
Descripción de la actividad
Para esta actividad, el estudiante deberá decidir cuál es el valor que mejor representa a su
respectivo conjunto de datos, justificando su respuesta con base en los resultados que
anteriormente ya obtuvo, mediante el análisis de la variación de los datos y de los efectos que
sobre la media tienen los valores del conjunto de datos.
5.1.5. ACTIVIDAD 5
Propósito:
Construir el algoritmo de la media aritmética y mediana, para calcular un valor representativo
de un conjunto de datos en cualquier contexto o situación.
115
Para la construcción del algoritmo de la media aritmética se considera la práctica de la
repartición equitativa; para la mediana, el ordenamiento ascendente de los valores.
Las argumentaciones discursivas del estudiante será una variable y se encontrará centrada
sobre la construcción de los algoritmos de la media aritmética y mediana, más aún, en la
descripción de los casos en donde es válido el empleo del primero y en cuáles el segundo.
Dichas argumentaciones se encuentran ligadas a los valores atípicos o ceros, que son también
variables, puesto que depende de su existencia en el conjunto de datos para decidir emplear el
algoritmo de la media aritmética o mediana
Se espera que el alumno distribuya los valores de los datos entre éstos, de tal forma que cada
dato tenga la misma frecuencia o, sumando todos los valores y dividiéndolo entre el número
total de datos, para tener un primer acercamiento al algoritmo de la media aritmética.
Una vez realizada la repartición equitativa, representar el método de manera general, para dar
pie a la construcción del algoritmo de la media aritmética.
Se espera que al momento de discutirse la situación, en la fase de validación, los estudiantes
tomen las ideas de los otros y las trabajen, es decir, que si uno realizó la distribución de los
valores, él tome las ideas de aquel que decidió emplear al ordenamiento, y viceversa.
Así mismo, se expresen las características de la media aritmética y mediana con respecto a los
valores de los conjuntos de datos, enfatizando su propiedad de representatividad.
Actividad 5:
1. Los investigadores analizan el clima de la ciudad de Mérida durante el período de 2000
al 2008 para pronosticar el del año 2009. En la siguiente tabla se presentan los climas
de días soleados y nublados o lluviosos que hubieron durante ese período. Propón un
método para determinar el valor que mejor represente el número de:
a) días soleados
b) días nublados o lluviosos
116
AÑO
DÍAS SOLEADOS
DÍAS NUBLADOS
2000
23.7
7.5
2001
22.9
8.5
2002
22.4
8.5
2003
23.3
7.5
2004
24.2
6.5
2005
23.1
7
2006
25.1
6.5
2007
10.1
7
2008
24.58
6
Tabla 17. Valores representativos de la cantidad de días soleados y nublados y lluviosos
período 2000-2008
2. ¿Se debería de mantener, disminuir o aumentar la potencia con la que se mandaría la
información al espacio en el año 2009? Justifica tu respuesta
Comentarios. Al valor que representa al número de días soleados se llama mediana y
consiste en un valor que se encuentra justamente a la mitad del conjunto de datos, puede
tomar o no el valor de algún dato y no se es tan modificado por los valores atípicos. El
valor que representa a los días nublados se llama media aritmética y es un valor que se
encuentra a la mitad de un conjunto de datos que no tiene valores atípicos, es decir, que
tienen un comportamiento uniforme.
3. Para el período, 2000-2009, los investigadores deciden estudiar el comportamiento de
los climas soleado o nublado y lluvioso, a fin de predecir el del 2010. Propón una
fórmula general para determinar la media aritmética y mediana de cierto clima, si se
tienen los siguientes datos:
117
AÑO
VALORES
2000
x1
2001
x2
2002
x3
2003
x4
2004
x5
2005
x6
2006
x7
2007
x8
2008
x9
2009
x 10
Tabla 18. Valores representativos de la cantidad de días soleados y nublados o lluviosos
período 2000-2009
Descripción de la actividad
Esta actividad, forma parte de la generalización de los métodos para determinar la media
aritmética y mediana, con la finalidad de construir los algoritmos para calcular esos valores
representativos. La práctica de la repartición equitativa proporcionará el modelo del algoritmo
de la media aritmética; cuando se tengan datos con valores muy grandes o muy pequeños, el
ordenamiento de los datos, será un aspecto a considerar en el cálculo de la mediana. La
predicción, de nueva cuenta, tomará el papel para ejercer la toma de decisiones de los
estudiantes.
5.1.6. ACTIVIDAD 6
Propósito:
Construir el algoritmo inverso de la media aritmética, para poder calcular el valor faltante de
un conjunto de datos, dada su media aritmética.
118
En la mayoría de los casos, los estudiantes tienden a resolver ejercicios o problemas mediante
el ensayo y error, por lo que es posible considerar ésta técnica para determinar el valor faltante
de un conjunto de datos (conocida la media aritmética), y así poder llevar a cabo la inversión
del algoritmo. El algoritmo inverso se construiría, algebraicamente, mediante el planteamiento
de una fórmula para el cálculo de la media aritmética y despejando el valor faltante. Se
pretende también que, a través de esta actividad, el estudiante descubra ciertos patrones o
características que tienen el conjunto de datos sobre la media aritmética o la media aritmética
sobre el conjunto de datos.
El valor de la media aritmética, la cantidad de datos y los valores atípicos o ceros dentro de un
conjunto de datos serán considerados como variables de esta actividad, debido a que:
•
El valor de la media aritmética y la cantidad de datos, hacen variar al valor faltante de
un conjunto de datos.
•
Los valores atípicos o ceros hacen variar a la media y al valor faltante, sobre todo los
valores cero, pues aunque no tenga un valor numérico, siempre es considerado como
un dato del conjunto.
Se espera que el alumno comience utilizando el ensayo y error, para calcular el valor faltante
del conjunto de datos, dada su media aritmética, de tal forma que sume todos los datos y
divida el resultado entre el número total de éstos. Esto le sería útil para observar que el dato
faltante, se encuentra ligado a los valores del conjunto y que, para calcularlo, es más sencillo
despejarlo a partir del algoritmo de la media aritmética.
También, se podría esperar que directamente despeje la fórmula, esto si su capacidad de
abstracción es elevada o es capaz de evidenciar tal tratamiento que se ha dado.
Actividad 6
1. Durante el período 2001-2009, se espera que en promedio por año haya 23.2 días
soleados y 7.5 días nublados o lluviosos. ¿Cómo será el clima en el año 2009, si del
2001 al 2008 se tuvieron las frecuencias indicadas en las gráfica 6 y 7?
119
Días soleados
30
Cantidad de días
25
25.6
20
15
19.9
21.2
22.5
24.8
21.1
22.6
23.9
10
5
0
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Año
Gráfica 6. Cantidad de días soleados
Días nublados o lluviosos
12
Cantidad de días
10
11.1
9.9
9.8
8
8.5
8.4
6
5.4
4
7.1
6.2
2
0
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Año
Gráfica 7. Cantidad de días nublados o lluviosos
2. Estima el número de días soleados que en promedio se esperaría tener en el año 2010,
para que la media aritmética anual, del 2001 al 2010 sea X. Considera para ello los
siguientes datos
120
Año
Valor representativo
2001
𝑥𝑥1
2002
2003
2004
2005
2006
2007
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
𝑥𝑥4
𝑥𝑥5
𝑥𝑥6
𝑥𝑥7
2009
𝑥𝑥8
2010
𝑥𝑥9
¿?
Media aritmética
X
2008
Tabla 19. Valores representativos hipotéticos de la cantidad de días soleados o nublados o
lluviosos en el periodo 2001-2010
3. Una persona decidió determinar el valor representativo del número de días soleados
por mes del año 2008, de la siguiente forma:
Primero, sumó los días soleados que hubo de enero a mayo y los dividió entre cinco.
24 + 23 + 24 + 25 + 31
= 25.4 𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
5
Luego, sumó la de los últimos siete meses, de junio a diciembre, y los dividió entre siete.
23 + 27 + 19 + 24 + 24 + 25 + 26
= 24 𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
7
Al final, sumó estos dos valores y los dividió entre dos, dando como resultado:
25.4 + 24
= 24.7 𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎ñ𝑜𝑜 2008
2
¿Es correcto el procedimiento empleado por esta persona para determinar la media aritmética
del número de días soleados? Justifica tu respuesta.
121
Descripción de la actividad
En esta actividad, los estudiantes pueden trabajar con las siguientes hojas de Excel:
Figura 22. Tablas y gráficas del período 2001-2009 incompleto
Figura 23. Tablas y gráficas del período 2001-2009 completo
En la última parte de la actividad, se realizará una confrontación entre el método que los
estudiantes construyeron previamente y este segundo método propuesto, para el cálculo de la
media aritmética, a fin de que los estudiantes discutan sobre los efectos que tiene obtener la
media aritmética mediante la aplicación de la propiedad asociativa. Se espera que generen
argumentos para justificar, por qué este segundo método no es correcto.
122
CAPÍTULO VI. REFLEXIONES Y CONSIDERACIONES
En las instituciones escolares es necesario enfatizar la construcción del conocimiento
matemático por parte del estudiante, mediante situaciones didácticas en donde la acción,
formulación, validación e institucionalización del conocimiento se lleve a cabo. En el caso de
la educación estadística, se propone hacerlo con situaciones o problemas, que generen en los
estudiantes la capacidad de: tomar decisiones ante situaciones de incertidumbre, leer gráficos
para comunicar información proveniente de diversos medios, construir y emplear gráficas,
utilizar las medidas de posición central y su propiedad de representatividad, analizar la
variación de los datos, realizar investigación de campo para la recolección de datos y predecir
hechos o acontecimientos.
6.1. REFLEXIÓN SOBRE LA SITUACIÓN ESCOLAR DE LA ESTADÍSTICA
La recopilación de investigaciones realizadas por Batanero (2001) y Shaugnessy (1992),
presenta a la comunidad de profesores de matemáticas y de estadística, los diversos fenómenos
didácticos que se suscitan en el aula cuando se realiza el tratamiento de conceptos estadísticos,
desde los estudiantes de nivel básico, hasta aquellos de nivel superior; incluso en el ámbito
profesional.
Algunos errores y dificultades sobre las medidas de posición central, varianza, desviación
estándar, distribuciones de probabilidad, pruebas de hipótesis, entre otros, se encuentran
relacionados con el tratamiento de las representaciones estadísticas de los conjuntos de datos,
en particular, cuando son en forma de gráficas (columnas, barras, circulares, etc.). .
Entre los factores que pueden ocasionar tales dificultades, se tienen las prácticas que los
docentes de matemáticas ejecutan durante el tratamiento de los conceptos estadísticos,
123
teniendo como secuencia: definición ejemplos y ejercicios, siguiendo la predeterminación de
los currículos escolares y los libros de texto.
Es por ello, que se espera que los docentes propicien en el aula de clases la participación
activa de los estudiantes, mediante el análisis de situaciones y problemas, en donde tenga lugar
la investigación de campo para la obtención de muestras, su representación gráfica, lectura y la
toma de decisiones. En particular, el cálculo de las medidas de posición central debe partir de
la recolección, análisis e interpretación de los datos, es decir, obtener muestras estadísticas,
analizar la variabilidad de éstos, identificar comportamientos tendenciales y patrones en su
representación gráfica, analizar los efectos de la variabilidad de las muestras sobre los valores
representativos de media aritmética y mediana, la predicción de hechos o sucesos y la toma de
decisiones.
Es importante, que los docentes presten atención a los resultados e interpretaciones que los
estudiantes produzcan y expongan, para poder identificar cuáles son las carencias, dificultades
y errores que ellos presentan.
También se sugiere, que los docentes propongan situaciones a resolver a través de tecnología,
pues el manejo de la información con un software conlleva a realizar una mejor construcción y
trabajo de los conceptos estadísticos, al centrar la atención en el análisis e interpretación de los
datos, y no en tediosos cálculos.
6.2.
CONSIDERACIONES
DIDÁCTICAS
PARA
EL
TRATAMIENTO
DE
CONCEPTOS ESTADÍSTICOS
El tratamiento de los conceptos estadísticos en el aula, se ve favorecido por situaciones en
contextos reales, donde la incertidumbre, la aleatoriedad, la toma de decisiones, se encuentren
presentes, como necesidad de predecir y comunicar hechos y sucesos.
124
Recolectar datos, analizar su variabilidad, construir una gráfica que los represente, identificar
sus comportamientos tendenciales, patrones y argumentaciones, son acciones que favorecen
que los estudiantes estén en contacto con los conceptos estadísticos y los puedan caracterizar.
En las situaciones didácticas escolares, se recomienda que los profesores tomen en cuenta las
siguientes consideraciones para la construcción del conocimiento estadístico:
•
Predicciones sobre fenómenos aleatorios
•
Contextualización de los problemas
•
Representación tabular y gráfica de un conjunto de datos
•
Análisis de la variación de datos
•
Construcción de algoritmos
•
Toma de decisiones
•
Investigación de campo
•
Dificultades y errores que los estudiantes presentan durante el tratamiento de los
conceptos estadísticos
De esta manera, se esperaría propiciar que los estudiantes generen argumentos para construir
su conocimiento estadístico y aplicarlo ante cualquier situación de la vida cotidiana.
En situación escolar, por tanto, se hace necesario culturizar estadísticamente a la población
estudiantil, empleando la estadística como una herramienta de la vida diaria para la lectura,
comunicación de información y toma de decisiones.
125
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