Microsoft PowerPoint - RYPR

Campos Radiados por una Antena
• Potenciales retardados.
• Radiación de un elemento de corriente.
• Concepto de onda y longitud de onda.
• Radiación de fuentes reales.
• Campos de Radiación de una Antena: Propiedades
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 1
Potenciales Retardados
• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se
resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados
de las
Ecuaciones de Maxwell
!
– A (potencial vector magnético)
!
!
!
∇⋅B = 0 ⇒ B = ∇×A
–
ya que
Φ (potencial escalar)
!
!
∇ × E = − jω B
!
!
∇ × E = − jω ∇ × A
!
!
!
!
∇ × E + jωA = 0 ⇒ E + jωA = −∇Φ
(
)
(
)
!
∇⋅ ∇×A ≡ 0
ya que
∇ × (∇Φ ) ≡ 0
!
!
E = −∇Φ − jωA
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 2
Ecuaciones de los Potenciales Retardados
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos
potenciales:
! !
!
!
!
!
!
∇ × H = J + jωε 0 E ∇ × µ 0 H = µ 0 J + jωµ 0 ε 0 E
!
!
!
∇ × ∇ × A = µ 0 J + jωµ 0 ε 0 − ∇Φ − jωA
!
!
!
∇ × ∇ × A ≡ ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
!
!
!
!
⇒ ∆A + ω2µ 0 ε 0 A = −µ 0 J + ∇ ∇ ⋅ A + jωµ 0 ε 0 Φ
!
A
∇
⋅
+ jωµ 0 ε 0 Φ = 0
• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅A)
!
!
!
• Ecuación de Helmholtz para A
∆A + ω2µ 0 ε 0 A = −µJ
!
!
!
∇ ⋅ D = ρ ∇ ⋅ ε0E = ρ
∇ ⋅ A + jωµ 0 ε 0∇Φ = 0
!
∇ ⋅ ε 0 (− ∇Φ − jωA ) = ρ
⇓
!
ρ
ρ
∆Φ + jω∇ ⋅ A = −
∆Φ + ω2µ 0 ε 0 Φ = −
ε0
ε0
!
!
!
!
!
! ∇ ∇⋅A
!

E = −∇Φ − jωA
Fuera de E = 1 ∇ × H
⇒
=
−
ω
+
E
j
A
!

jωε 0
las Fuentes
jωµ 0 ε 0
∇ ⋅ A + jωµ 0 ε 0 Φ = 0
(
(
"
#
)
) (
(
)
)
(
(
)
)
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 3
Radiación de un Elemento de Corriente
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en el
seno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.
!
z
r
! !
! !
!!
∆A(r ) + k 02 A(r ) = −µ 0 J (r ′)

k 02 = ω2µ 0 ε 0

(∆ + k )A
2
0
z
J z = I dS
dV = dl ⋅ dS
= −µ 0 J z
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
µ0 , ε0
Idl
y
x
• Como en la Ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema
presenta simetría esférica y queda:
1 d  2 dA z 
2
r
 + k 0 A z = −µ 0 J z
[1]
2
r dr 
dr 
• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
e − jk 0 r
Propagación hacia el ∞
A z1 (r ) = C1
r
e jk 0 r
A z 2 (r ) = C 2
Propagación hacia el origen
r
Integrando la Ecuación Completa [1]
sobre una esfera de r → 0
GR-SSR-UPM
La solución física de
nuestro problema
C1 =
µ0
µ
J z dV = 0 Idl
4π
4π
RDPR-2- 4
Concepto de Onda y Longitud de Onda
• Para visualizar la onda radiada conviene comparar las expresiones instantáneas de
la fuente de corriente y el potencial generado:
I(t) = Re[I exp( jωt)] = I cos(ωt)
! !
!

  r 
e − jk 0 r jωt 
C
C
A(r , t ) = Re Ae jωt = Re ẑC1
e  = ẑ 1 cos(ωt − k 0 r ) = ẑ 1 cos ω t − 
r
r
r
  c 


– r/c=tiempo de propagación o retardo que tarda la onda en viajar desde el foco emisor
al punto de observación.
– A gran distancia, en un intervalo ∆r<<r, la onda esférica se comporta como plana de
longitud de onda (distancia entre dos puntos equifásicos consecutivos)
[
]
λ = cT = c f =
2π 1
2π
=
ω µ 0ε0 k 0
constante de propagacion = k 0 = 2π λ
Longitud de onda en cm : λ(cm ) = 30 f (GHz )
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 5
Campos Radiados por un Elemento de Corriente
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
!
!
1
H = ∇×A
µ0
!
!
1
E=
∇×H
jωε 0
Sustituyendo
ẑ
! µ e − jk 0 r %""$""#
A= 0
Idl r̂ cos θ − θˆ sen θ
4π r
(
)
Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los
términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
!
∂
Idl sen θ 
1  − jk r
∂

H = φˆ  (rA θ ) − A r  = φˆ
 jk 0 + e 0
4πr 
r
∂θ 
 ∂r
2
! jηIdl 
sen θ  k 0 jk 0 1  − jk 0 r
 jk 0 1 
 − + 2 + 3  e
E=
r̂ cos θ 2 + 3  + θˆ
2πk 0 
r 
2  r
r
r 
 r
!
e − jk 0 r ˆ
H = jk 0 Idl sen θ
φ
4πr
!
e − jk 0 r ˆ
E = jηk 0 Idl sen θ
θ
4πr
Campos de radiación:
E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida
radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):
2
2
!
! !
1
2
2 k η sen (θ)
< S >= Re E × H * = r& I (dl)
2
32 π 2 r 2
[
GR-SSR-UPM
]
RDPR-2- 6
Campos de Radiación de una Antena
z
• Una distribución real de corriente
se supone formada por infinitos elementos
dV de corriente J situados en r’.
dV j
!!
J ( r′)
! !
r − r′
!!
rr′'
P
!
r
! !
! ! µ e − jk 0 r − r′ ! !
dA (r ) = 0 ! ! J (r′)dV
4π r − r′
x
y
• El potencial total radiado será la superposición.
! ! − jk 0 !r − !r′
! ! µ
J (r′)e
0
A(r ) =
dV ′
! !
4π ∫V′
r − r′
Volumen
! ! − jk 0 !r − !r′
! ! µ
J s (r ′)e
0
A (r ) =
dS′
! !
4π ∫S′
r − r′
Superficie
! − jk !r − !r′ !
! ! µ
I(r′)e 0
0
A (r ) =
d l′
! !
4π ∫L′
r − r′
Línea
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 7
Campos de Radiación de una Antena: Regiones
• El espacio que envuelve una antena se subdivide en tres regiones:
– Región de Campo Próximo Reactivo (r<λ):
Aquella región junto a la antena donde el campo reactivo predomina.
– Región de Campo Próximo Radiante (Incluye la Zona de Fresnel):
Región intermedia entre la de Campo Reactivo y la de Campo Lejano. Predominan las
campos de radiación pero su distribución angular es función de la distancia a la
antena.
– Región de Campo Lejano (Zona de Radiación, Zona de Fraunhofer):
La distribución angular del campo es independiente de la distancia r a la antena.
La condición de campo lejano es:
2 D2
r≥
y r >> λ
λ
D: Dimensión máxima de la Antena
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 8
Campos de Radiación de una Antena
Aproximaciones de Campo Lejano
• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
! !
!
! ! µ 0 J s (!r′)e − jk 0 r − r′
A (r ) =
dS′
! !
4π ∫S
r − r′
! 1 2
2

1
2
&
! !
!
!
r
2
r
r′
⋅
′


R = r − r ′ = r 2 + r ′ 2 − 2 r ⋅ r ′ = r 1 +   −

r 
  r 
[
]
!
!
r >> rmax
′
! ! µ e − jk 0 r
A (r ) = 0
4π r
!
!
 1  2 r& ⋅ r ′  
R ≈ r 1 − 
  = r − r& ⋅ r ′
 2  r 
! ! jk r̂⋅!r′
∫∫ Js (r′)e 0 dS′
S
z
• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:
!
!
jω
H=−
r& × A
η
!
!
E = − jω &r × A × &r
(
((
)
) )
!
! r& × E
H=
η
!
!
E = η H × &r
(
)
! !
E ⊥H
!
E⊥&r
!
H⊥r&
!!
J ( r′)
j
! !
r − r′
!!
rr′'
!
r
x
y
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 9
Interpretación Geométrica de la Aproximación
• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da
en la figura
– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se
considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:
! !
!
R = r − r ′ ≈ r − r& ⋅ r ′
P
!
Js
!
r′
! !
R = r − r′
!
r
!
r& ⋅ r ′
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 10
P
Condición de Campo Lejano
• El máximo error de fase cometido
permite definir una condición de
distancia mínima. Dandole un valor de
π/8 (=22,5º), que introduce poco error
en los cálculos.
!
R aprox = r − r̂ ⋅ r′ = r
D
!
r′
R = r2 +
P
D2
4


  1 D2
 
D2
D2 π


'
r
k
ε fase = k  r 2 +
− r  = k  r 1 +
+
−
≈
=
2
 


4
2
4
r
8
r
8






rMinima ≈
2 D2
λ
dB
• Este criterio de rmin=2D2/λ es necesario
aplicarlo a la hora de realizar medidas
de antenas, si bien a veces es
insuficiente para medir lóbulos
secundarios muy bajos.
GR-SSR-UPM
RDPR-2- 11
Campos de Radiación de una Antena
Propiedades
• Los campos de radiación de cualquier antena cumplen:
– La dependencia de E y H con r es la de una onda esférica e-jk0r/r.
– Los campos E y H dependen de θ y φ puesto que la onda
esférica es no homogénea.
– La onda esférica radiada se comporta localmente como plana:
!
!
E⊥r& !
E = ηH
H⊥r&
– Los campos E y H no poseen componente radiales:
! !
A( r ) = A r r& + A θ θ& + A φ φ& 
!
!

E = − jω &r × A × &r 

((
) )
Er = 0
Hr = 0
E θ = − jωA θ
E φ = − jωA φ
Eθ H φ = η
− Eφ Hθ = η
z
θ
φ&
r&
φ
θ&
x
y
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ < 2π
– La densidad de potencia que transporta la onda decrece como 1/r2. Si el medio no tiene
pérdidas toma el valor:
!
! !
2
1
1
2
E θ (r, θ, φ) + E φ (r, θ, φ) r̂
< S >= Re E × H * =
2
2η
[
GR-SSR-UPM
]
[
]
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