Pregunta 1 - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Eléctrica
EL7017 – Control Adaptativo
EJERCICIO 1
Nombre Alumno :
Sebastián Seria
Profesor
:
Manuel Duarte
Fecha
:
Lunes 29 de septiembre,
2014
Santiago, Chile.
Introducción
En este ejercicio se pretende llevar a cabo de manera práctica las distintas técnicas de
control e identificación adaptativa para sistemas tales que sus parámetros son
desconocidos. La primera parte consta de un control de planta desconocida que se
divide en cuatro partes; control directo, control indirecto algebraico, controlador
indirecto dinámico y controlador combinado.
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Pregunta 1
La planta desconocida es la siguiente:
𝒚𝒑̇ (𝒕) − 𝟐𝒚𝒑 (𝒕) = 𝟑𝒖(𝒕)
𝒚𝒑 (𝟎) = 𝟏
Modelo de referencia:
𝒚𝒎̇ (𝒕) − 𝟐𝒚𝒎 (𝒕) = 𝒓(𝒕)
𝒚𝒑 (𝟎) = 𝟎
Luego se pretende diseñar controladores adaptables tales que el error entre el modelo de
referencia y la planta converja a cero, donde hay que recordar que solamente se cuenta
con la información entregada por la salida de la planta real (yp) y la entrada (u).
a) Controlador directo:
El esquema de control construido es el siguiente:
Figura 1 Diagrama en simulink
En este esquema de control no importa calcular los parámetros de la planta, ya que
mediante las leyes de ajuste planteadas (vistas en clases) se puede obtener los
parámetros del controlador que convergen a los deseados.
Los resultados son los siguientes:
a1. Entrada escalón.
En la figura 2 se indica el valor de la salida para la planta de referencia cuando se aplica
una entrada escalón de valor final 4.
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Figura 2 Respuesta modelo de referencia a entrada escalón
El modelo de referencia presenta una estabilización sin sobrepasos ni oscilaciones
donde su característica es el tiempo de estabilización.
Mientras que la salida de la planta real se muestra en la figura 3:
Figura 3 Respuesta de la planta luego de implementar el control directo
Nótese que la planta evoluciona de manera que en principio crece siguiendo su propia
dinámica para luego decrecer tratando de seguir al modelo de referencia, pero en el
primer instante se aplica una entrada escalón lo cual desencadena el funcionamiento del
modelo para producir el controlador necesario tal que la planta se estabilice en el punto
deseado y así el error decaiga a cero. La respuesta presenta un sobrepaso tal que trata de
equilibrarse siguiendo al modelo de referencia.
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El error se puede apreciar en la figura 4.
Figura 4 Error para el modelo de controlador directo
En la figura 4 se puede apreciar que el error del controlador decae a cero como lo fue
previsto.
a2. Entrada rampa
Ahora se aplica una entrada rampa para conocer la respuesta global del sistema.
En la figura 5 se tiene la respuesta del modelo de referencia ante una entrada de tipo
rampa, de pendiente 0.5, condición inicial 0 y el tiempo de evaluación son 10 segundos.
Se aprecia la respuesta que puede ser aproximada por una línea recta.
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Figura 5 Respuesta de modelo de referencia ante una entrada rampa
En la figura 6 se tiene la respuesta de la planta real. Se aprecia que al igual que el caso
de entrada escalón se tiene una oscilación inicial, tomando en cuenta que parte en un
punto de operación diferente al del sistema de referencia, sin embargo estas oscilaciones
no son deseadas por la tardanza en conseguir la referencia y el posible sobreesfuerzo de
los actuadores.
Figura 6 Respuesta de la planta frente a una entrada rampa en la referencia.
El error nuevamente decae a cero gracias a lo asegurado por el modelo y sus leyes de
ajuste. Si no decayese a cero sería un problema de implementación ya que la
convergencia y estabilidad está dada por el criterio de lyapunov.
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Figura 7
b) Controlador indirecto algebraico
En esta ocasión se estiman los parámetros de la planta para luego generar un controlador
basado en una expresión algebraica de los parámetros calculados. La topología es la
expuesta en la figura 5:
Figura 8 Diagrama en simulink
Para no dividir por cero se implementa una condición que calcula el parámetro 𝑏̂, esto
se introduce en el bloque fcn de Matlab:
function y = fcn(i,u,e)
%#codegen
b=1;
if(i>b)
6
y=-e*u;
elseif(i==b && e*u<0)
y=-e*u;
elseif(i==b && e*u>=0)
y=0;
else
y=i;
end
De esta forma se obtiene una salida deseada según las leyes de ajuste. Se aplica una
entrada escalón de magnitud 2 desde el instante 0. Los resultados son los siguientes:
b.1 Entrada escalón
La respuesta del modelo de referencia se muestra en la figura 6. Nótese que el valor
final difiere del anterior simplemente porque se le ha aplicada un escalón de valor final
igual a la mitad del anterior.
Figura 9 Respuesta de modelo de referencia
La salida de la planta está dada en la figura 7. Se puede ver que tiene un sobrepaso
bastante considerable antes de estabilizarse en el valor final y obtener un error de
control igual a cero. Por esta razón es menos efectivo que el control directo, pero se
identifican los parámetros de la planta.
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Figura 10 Respuesta de la planta
El error entre las respuestas del modelo de referencia y la planta real se grafica en la
figura 8. Nuevamente converge a cero
Figura 11 Error de controlador indirecto algebraico
c) Controlador indirecto dinámico.
Este sistema es aún más complicado debido a las ecuaciones que se intentan reproducir
mediante bloques. En esta oportunidad se utilizan muchos errores paramétricos y de
control para calcular los parámetros del controlador en comparación a los casos
anteriores. En la figura 12 se observa la conexión.
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Figura 12 Diagrama en simulink
Entrada escalón en el segundo 1 de magnitud 4. Los resultados:
c.1 Entrada escalón
Como el modelo de referencia no está dado directamente como una función de
transferencia directa sino como una estimación de varios errores entrelazados, la
respuesta del modelo de referencia presenta oscilación hasta estabilizarse en el punto de
operación. Esto se aprecia en la figura 13
Figura 13 Respuesta del estado estimado por el modelo de referencia
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Salida de la planta:
Figura 14 Salida de la planta real ante una entrada escalón
Nótese que la planta consigue seguir la referencia, pero se tiene la misma oscilación
inicial. Por otra parte, se da a entender indirectamente que el valor final que se desea
para la planta debe ser calculado de forma tal que el modelo de referencia llegue a ese
punto de operación antes que otra cosa, ya que el criterio de convergencia asegura que
la planta va a operar en ese punto.
En la siguiente figura se puede apreciar la convergencia del error.
Figura 15 Error del controlador indirecto dinámico
c.2 Entrada rampa.
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El controlador indirecto dinámico presenta una gran ventaja en comparación a los casos
anteriores con respecto a una entrada rampa. Esto se puede apreciar en las siguientes
figuras, donde las oscilaciones disminuyen de manera considerable.
Figura 16 Respuesta del modelo de referencia
Figura 17 Respuesta de la planta
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Figura 18 Error de control
Si bien aún se tiene un tiempo de estabilización considerable, se aprecia una mayor
amortiguación de la respuesta, lo que es muy bueno en términos de seguridad.
d) Controlador combinado
Figura 19 Diagrama en simulink
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Salidas:
d.1 Entrada escalón
En este caso no se obtuvieron buenos resultados aunque se presume un error de
implementación debido a que la planta y la estimación se estabilizan en valores muy
cercanos a cero siendo que la entrada escalón es igual a los casos anteriores.
Figura 20 Respuesta ante entrada escalón del modelo del estado estimado
Figura 21 Respuesta de la planta ante entrada escalón
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Figura 22 Error entre la planta y la estimación
Se observa una oscilación de mayor importancia con respecto a los casos anteriores.
Característica que no es deseada por lo que este modelo es el que resultó peor
implementado.
d.2 Entrada rampa
El comportamiento del estado estimado es dudoso frente a lo que es la entrada ya que
decae exponencialmente luego de un peak.
Figura 23 Respuesta del estado estimado frente a entrada rampa
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Figura 24 Respuesta de la planta
Figura 25 Error entre la planta y el estado estimado
Con estas gráficas se estima que fue mal implementado el controlador combinado
debido a que debiese ser más robusto ya que considera muchos errores para
estabilizarse, lo cual lo hace un modelo muy global.
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