Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales PARTE I: Arte y Matemáticas Progresión Aritmética y Geométrica. Laura Hidalgo Solı́s Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa 8 de septiembre de 2011 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Arte y Matemáticas 1 Sucesiones, series y medias Construcciones geométricas Platón y las razones musicales 2 Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Objetivos En la presente sesión, introduciremos los conceptos que se necesitarán posteriormente para presentar una serie de relaciones que hay entre el arte y la matemática. Iniciaremos con el concepto de número, posteriormente discutiremos la relación entre razones y proporciones, ası́ como la aplicación que estas han tenido en el arte, concretamente, la pintura, la escultura, la arquitectura y la música. Finalmente, estudiaremos los conceptos de sucesiones y series. Concretamente estudiaremos las progresiones aritméticas, geométricas y armónicas, ası́ como su relación con la música. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Sucesiones, series y medias Una sucesión es un conjunto de términos arreglados en un orden, por ejemplo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . matemáticamente hablando Definición Una sucesión en un conjunto X es una función s : N → X , donde N = {1, 2, 3, . . .} denota el conjunto de los números naturales. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Definición Una serie es una expresión dada por la suma (algebraica) de los términos de una sucesión. Por ejemplo 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + ... Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Definición Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, posterior al primero, es igual a la suma del término anterior y una constante, denominada la diferencia común. Esto es, si c es una constante dada y sn es el n−ésimo término de la sucesión entonces: sn+1 = sn + c para cada n ≥ 1. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Ejemplos La progresión aritmética más sencilla es 1, 2, 3, 4, . . ., con diferencia común igual a 1. Si consideramos ahora la suma de los primeros n términos de esta sucesión obtenemos la sucesión {tn } donde tn denota el n−ésimo número triangular n(n + 1) 2 Por otra parte, si consideramos la progresión aritmética 1, 3, 5, 7, 9, . . ., con diferencia común igual a 2 al considerar la suma de los primeros n términos obtenemos la sucesión de los números cuadrados, el n−ésimo número cuadrado tn = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n = cn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = n2 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Haciendo la diferencia común igual a tres, tenemos la progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 . . . y tomando las sumas del mismo modo se obtiene la sucesión {pn } = {1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, . . .} que describe los números pentagonales: n(3n − 1) pn = 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = 2 Figura: Números pentagonales Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales De forma similar se descubren los números hexagonales, heptagonales, octogonales, eneagonales, etcétera. A continuación presentamos la tabla de todas las fórmulas generales de estos números figurados o poligonales. diferencia común progresión aritmética nombre del número Pn número poligonal Pn valor del número Pn 1 1,2,3,. . . triangular 1+2+3+. . . +n n(n+1) 2 2 1,3,5,. . . cuadrado 1+3+5+. . . + (2n-1) n2 3 1,4,7,. . . pentagonales 1+4+7+. . . +(3n-2) n(3n−1) 2 4 1,5,9,. . . hexagonales 1+5+9+. . . + (4n-3) 2n(2n−1) 2 5 1,6,11,. . . heptagonales 1+6+11+. . . + (5n-4) n(5n−3) 2 m-2 1,m-1, 2m-3,. . . m-gonales 1+(m-1)+(2m-3)+. . . +[n(m-2)+1] (m−2)n2 −(m−4)n 2 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Definición La media aritmética entre dos números es lo que normalmente conocemos como el promedio, esto es, la suma de dos números divididos por dos. La media aritmética de a y c es b= a+c . 2 Por ejemplo, la media aritmética de 5 y 9 es 5+9 14 = = 7. 2 2 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Definición Una progresión geométrica es una sucesión en la cual cada término, después del primero, es igual al término previo veces una constante, denominada razón común. Si r es la razón comun y sn denota el n−ésimo término de la sucesión, entonces sn+1 = rsn Para encontrar la razón común, dividimos cualquier término por el precedente. Por ejemplo, la progresión geométrica 5, 20, 80, 320, . . . tiene razón común 20 = 4. 5 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Definición Una sucesión se denomina progresión armónica si los recı́procos de sus términos forman una progresión aritmética. El nombre de armónica se debe a los Pitagóricos. La sucesión 1 1 1 1 1 1, , , , , , . . . 3 5 7 9 11 es una progresión armónica ya que los recı́procos de sus términos 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . forma una progresión aritmética. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Definición La media armónica b entre dos números a y c es igual al doble producto de a y c, dividido por su suma, esto es: media armónica b = 2ac . a+c Por ejemplo, 8 es la media armónica de 6 y 12 ya que: 144 2(6)(12) = = 8. 6 + 12 18 Los números 6, 8 y 12 ahora forman una progresión armónica; sus recı́rpocos forman una progresión aritmética. b= Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Paladio en su libro 1, Capı́tulo XXIII de los Cuatro Libros de Arquitectura da la construcción de las medias artimética, geométrica y armónica. Para encontrar la media aritmética entre dos longitudes, AB y BC simplemente se suman dichas longitudes y se bisecta el segmento, denotemos por M dicho punto. La longitud AM es la media aritmética de AB y BC . Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Figura: media aritmética Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Para encontrar la media geométrica o media proporcional, se usa el método descrito por Euclides en el libro VI, Proposición 13. El método para encontrar la media geométrica entre AB y BC se muestra en la siguiente ilustración. Dibujemos AB y a continuación BC , sobre la misma recta. Dibujemos un semicı́rculo AC , y tracemos una perpendicular a AC por B, el segmento BD es la media proporcional entre AB y BC Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Figura: media geométrica Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales La construcción de la media armónica entre AB y BC se proporciona en la siguiente figura, primero se construye un rectángulo plano ABCD. A continuación, se prolonga el segmento AB hasta un punto G tal que BC = BG , y se obtiene la media aritmética AM = MG de AB y BC . A continuación se prolonga el segmento AB hasta un punto E tal que BE = AM. Se dibuja la recta EC y se prolonga hasta cortar en F a la recta AD. La longitud DF es la media armónica entre AB y BC . Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Figura: media armonica Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón y las razones musicales En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo: [http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13] ...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto resultante en tantas partes como era conveniente, cada una mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́: primero, extrajo una parte de todo; (1 unidad) a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades) posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y media la segunda y tres veces la primera; (3 unidades) y la cuarta, el doble de la segunda, (4 unidades) y la quinta, el triple de la tercera, (9 unidades) y la sexta, ocho veces la primera, (8 unidades) y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera. (27 unidades) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Entonces tenemos los siguientes enteros {1, 2, 3, 4, 8, 9, 27} que contiene el origen de la Monada, los primeros pares e impares, y sus cuadrados y cubos. Platón utilizó estos enteros para describir la creación del mundo por medio de las razones musicales que suelen areglarse en dos series denominadas la λ−serie de Platón 1 2 4 8 Laura Hidalgo Solı́s 3 9 27 TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Además de la monada, el lado izquierdo contiene el primer número par, su cuadrado y su cubo; el lado derecho contiene el primer impar, su cuadrado y su cubo. Los siete números contienen todas las consonancias musicales. La λ−serie de Platón aparece en la alegorı́a de la aritmética que se muestra a un lado. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Si se marcan los siete números de Platón en un pentagrama musical, a partir, por ejemplo en C menor, se obtienen cuatro octavas y un poco más como se muestra en la siguiente figura. Es el comienzo de una escala musical, pero ésta tiene muchas lagunas. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Platón ocupará cada intervalo con una media aritmética y una media armónica, las medias entre 1 y 2 son: media aritmética = 1+2 3 = , 2 2 media armónica = 2(1)(2) 4 = . 1+2 3 Ası́ los números en la primera octava son: 4 3 1, , , 3 2 Laura Hidalgo Solı́s y 2. TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales La razón ente 1 y 4/3 es 3 : 4, la cuarta. Obtenemos la misma razón ente el tercer y cuarto número, a saber, 3/2 y 2. La razón ente el primer y el tercer número, 1 y 3/2 es de 2 : 3, la quinta. Obtenemos la misma razón ente el segundo y el cuarto número 4/3 y 2. Estos son los mismos intervalos que encontraron los Pitagóricos, pero Platón lo logró usando sólo cálculos aritméticos. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Si ahora agregamos estas medias aritmética y armónica de nuestra escala original de siete notas, y de manera similar insertamos las medias aritméticas entre las octavas más altas, obtenemos la siguiente escala: Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Sin embargo, todavı́a hay lagunas. Platón tomó el intervalo geométrico entre la cuarta y la quinta como un tono completo. Logró esto dividiendo 3/2 por 4/3. 3 3 9 3 4 ÷ = × = 2 3 2 4 8 Platón llenó la escala con intervalos de 9/8, como se muestra en la siguiente figura: Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Iniciando con una C media, multiplicando por 9/8 obtenemos D, y multiplicando D por 9/8 obtenemos E . Multiplicando E por 9/8 obtenemos F . Platón paró en F . Esto deja un intervalo de 4 64 256 4 81 ÷ = × = 3 64 3 81 243 entre E y F . Esta razón es aproximadamente igual a la mitad de un tono completo, y se llama semitono. Dos semitonos es aproximadamente igual a un tono: Dos semitonos: 256 256 ∼ × = 1.110 243 243 9 = 1.125 8 Para ascender de F a B, procedemos nuevamente por factores de 9/8. El intervalo de B a C es el semitono 256/243. Un tono completo: Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Mientras las cuartas y las quintas se encontraron usando medias aritméticas y armónicas, los intervalos de tonos completos se encuentran por medias geométricas. Los intervalos C a D a E y F a G a A a B forman dos series geométricas. Estas escalas construidas matemáticamente son cercanas a la escala moderna, pero hay diferencias, las cuales pueden apresiarse en la siguiente tabla que muestra la escala mayor diatónica, iniciando con C . La tabla también muestra la frecuencia de cada nota, en hertz (Hz), ciclos por segundo, según los acuerdos internacionales. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales La escala mayor diatónica Nota Do C Frecuencia, HZ Diatónica, “C´´ 264 Re D 297 Intervalos entre notas Intervalo de C 1:1 unisón Frecuencia, Hz Escala temperada 261.6 9/8 9:8 segunda mayor 293.7 5:4 tercera mayor 329.6 4:3 cuarta perfecta 349.2 3:2 quinta perfecta 392.0 5:3 sexta mayor 440.0 15:8 séptima mayor 493.9 2:1 octava perfecta 523.3 10/9 Mi E 330 Fa F 352 Sol G 396 16/15 9/8 10/9 La A 440 Si B 495 9/8 16/15 Do C 528 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales El nombre de las notas musicales se lo debemos a Guido d’Arezzo (995-1050), monje benedictino considerado el padre de la música, quien utilizó un himno a San Juan llamado Ut queant laxis para este fin. Guido d’Arezzo le asignó como nombre a cada una de estas notas la sı́laba que le correspondı́a en el himno: Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Las frases de este himno, en latı́n, son ası́: Ut queant laxis Resonare fibris Mira gestorum Famuli tuorum Solve polluti Labii reatum Sancte Ioannes En castellano, significa para que tus siervos puedan exaltar a plenos pulmones las maravillas de tus milagros, disuelve los pecados de labios impuros, San Juan: Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales Recordamos que, en el caso de la escala mayor de do, las notas son las siguientes: Do re mi fa sol la si C D E F G A B C D E F G A H Laura Hidalgo Solı́s según el sistema de notación musical latino según el sistema de notación musical inglés (denominación literal) según el sistema de notación musical alemán. La H (B) equivale al si bemol. TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Construcciones geométricas Platón y las razones musicales para leer más sobre la historia de la evolución de las escalas musicales puede consultarse la sección quadrivium de la página: http://sonusantiqva.foroactivo.com/t1352-guillaume-dufay-motetsvol-1-quadrivium-cantica-symphonia Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento De acuerdo con Rudolph Wittkower ”La convicción de que... cada parte de un edificio... tiene que estar integrada en uno y el mismo sistema de relaciones matemáticas que puede llamarse el axioma básico de los arquitectos del Renacimiento... el arquitecto no es libre de aplicar... un sistema de relaciones de su elección... y las proporciones en arquitectura tienen que abrazar y expresar el orden cósmico. ¿Pero... cuáles son las relaciones matemáticas que determinan la armonı́a en el macrocosmos y el microcosmos? Ésta relación ya habı́a sido revelada por Pitágoras y Platón...” Squaring the circle Geometry in Art and Architecture Paul A. Calter Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Los arquitectos del Renacimiento estaban convencidos que la visión pitagórica de la estructura armónica del universo, al aplicarse a un edificio adquiria la fuerza vital que hay detras de toda la materia, uniéndose a si al universo. Como se vio anteriormente, la inserción de las medias aritmética y armónica en una progresión geométrica permitió a Platón la construcción matemática de una escala musical, estas medias también fueron utilizadas en la arquitectura del Renacimiento en proporciones de números enteros. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Tómese una serie de números en progresión geométrica, como 1, 2, 4, 8... Entre cada par de números, inserte una media aritmética y una media geométrica. Para evitar cantidades fraccionarias, se multiplica por seis la progresión anterior obtenı́endose: 6, 12, 24, 48... Al insertar la media aritmética y armónica entre cada par de números obtenemos: 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48... Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento 1 La progresión geométrica {6, 12, 24, . . .} determina cada octava [1 : 2]. 2 La media armónica en cada octava, digamos 6 : 8, determina la cuarta [3 : 4]. 3 La media aritmética entre cada octava, digamos 6 : 9, determina la quinta [2 : 3]. 4 Las medias armónica y aritmética entre cada octava determinan el tono [8 : 9]. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento En el libro IX, capı́tulo VI de sus Diez Libros de Arquitectura, Alberti define las medias aritmética, geométrica y armónica; en ese mismo capı́tulo recomienda que las proporciones para los planos deben basarse en las razones musicales. Alberti distingue entre superficies pequeñas, medianas y largas. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Para superficies pequeñas, recomienda el cuadrado (1 : 1), la sesquitercia (6 : 8) y la sesquialtera (6 : 9). Para superficies medianas: El doble cuadrado, la octava (1 : 2); La sesquialtera doble, es decir, la razón 6 : 9 aplicada dos veces; Este método se denomina generación de razones Para superficies largas, sugiere La porción triple, dos octavas; La proción cuatruple, tres octavas; Una razón de 3 a 8. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Superfices cortas y medianas A continuación mostramos un diagrama donde se muestran dichas relaciones: Super f i c i esCor t as Cuadr ado Super f i c i esmedi anas Dobl e( Di apas ón1/ 2) Ses qui l át er a ( Di apent e2/ 3) Ses qui l at er adobl e( Dobl edi apent e4/ 6/ 9) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Super f i c i esc or t as Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Super f i c i esmedi anas Ses qui t er c i a ( Di at es ar ón3/ 4) Ses qui t er c i adobl e( Dobl edi at es ar ón9/ 12/ 16) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento En el caso de superficies largas se sigue el procedimiento: Se une una doble 1/2 con una sesquilátera 2/3 convirtiéndose ası́ en triple 1/3; También una sesquitercia 3/4 a una doble 1/2, y los números que marcan la proporción son el tres y el ocho, o se llevan a cabo de forma que una dimensión sea cuatro veces la otra. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Super f i c i esl ar gas Di apas óndi apent e1/ 3( 3/ 6/ 9) Di apas óndi at es ar ón3/ 8( 3/ 6/ 8) Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento La Bası́lica de Santa Maria Novella, Florencia Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento La Bası́lica de Santa Marı́a Novella es una de las iglesias más importantes de la ciudad italiana de Florencia. La iglesia presenta una planta de cruz latina (La cruz latina corresponde al diseño utilizado en las iglesias en las que el brazo mayor, que se alinea con el pórtico principal, el atrio, el altar mayor y el ábside, tiene mayor longitud que el brazo menor o transepto;) , con caracterı́sticas tı́picas de la arquitectura gótica cisterciense, dividida en tres naves. Contiene numerosas obras de arte, destacando el fresco de La Trinidad, obra de Masaccio, obra experimental en el uso de la perspectiva. Es de reseñar ası́ mismo la Capilla Tornabuoni, que contiene los frescos de Ghirlandaio (entre ellos, su Natividad de Marı́a), y la capilla Gondi, que alberga la única obra en madera de Brunelleschi, el famoso Crucifijo. Giorgio Vasari fue el arquitecto que llevó a cabo la reforma entre 1565 y 1571, renovó el recinto del coro y reconstruyó los altares laterales, lo que propició la construcción de la ventana gótica. De nuevo se reformó entre 1858 y 1960. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Laura Hidalgo Solı́s Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento La Bası́lica de Santa Marı́a Novella, Florencia Santa Maria Novella fue edificada por los dominicos entre 1279 y 1357. Leon Battista Alberti incorporó en 1456-1470 proporciones clásicas a la parte inferior románica de la fachada... Para Alberti, las formas geométricas, impulsan a meditar sobre las verdades de la fe (anticipo de las corrientes estéticas neoplatónicas que domina la cultura florentina); las formas visibles son portadores de significaciones ideológicas precisas y la incrustación geométrica realiza el ideal de la reducción de la forma al puro “diseño”. La fachada se inscribe perfectamente en un cuadrado cuyo lado coincide con la lı́nea de base de la iglesia. Dividiendo en cuatro, dicho cuadrado, se obtienen cuatro cuadrados menores equivalentes a las partes fundamentales de la fachada: dos de ellos comprenden la zona inferior; mientras uno comprende la parte superior. http://espiralcromatica.wordpress.com/2010/03/21/florencia/ Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Fachada de Santa Marı́a Novella Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Esta obra arquitectonica pertenece al renamiento italiano, en su fachada podemos observar las caracteristicas mas importantes del renacimiento. La intención del renacimiento es dar proporción y armonı́a a sus obras. El interior se caracteriza por un estilo gótico . Vuelven a la Antigüedad, por ejemplo podemos observar su frontón clásico. Las volutas dan una gran armonı́a a la obra, aunque produjo una gran repercusión en la arquitectura religiosa del siglo XVI. Utiliza mucho las figuras geométricas, ya que para Alberti estas figuras representan la verdadera fe, porque demuestran significados ideológicos. La fachada tiene un arco de medio punto caracterı́stico de la arquitectura clásica, también se puede observar una escena religiosa. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Laura Hidalgo Solı́s Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Tiene algunos rasgos de la edad medieval florentina como los materiales usados y la combinación de rectángulos. Lo intención principal de Alberti fue resaltar el portón. Las pilastras que le dan estética y proporción. El arco de medio punto que le da armonı́a, estabilidad y belleza. Contrasta el color marrón con el arco de de medio punto y las pilastras. Contiene arcos apuntados adornados con mármol blanco y rojo. Esto hace la obra más proporcionada. Y en lo alto hay una cruz latina hecha de hierro y recubierta de oro. http://lidia-keyla-alexandra.blogspot.com/2008/12/pinturarenacentista.html Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Figura: Figura: La Trinitá, Masaccio, http://es.wikipedia.org/wiki/Iglesia 1425-1428 de Santa Marı́a Novella Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento La arquitectura es una ciencia matemática y, por tanto, capaz de visualizar el orden cósmico, pero este valor simbólico, sin embargo, no se conseguirá con la desmaterialización y espiritualización del espacio, sino mediante la racionalización y perfección del mismo: serenidad, homogeneidad y claridad de comprensión son los frutos de un orden métrico armonioso, logrado por la proporción y perspectiva. Las obras de este estilo se caracterizan por una ((mı́stica del número)), nacida de la fusión del humanismo y cristianismo: Pitágoras, Vitruvio, la Biblia y S. Agustı́n fueron las fuentes de inspiración de las ((rationes)) (medidas reguladas), gran obsesión de los arquitectos de este momento y hay que esperar a momentos posteriores para que tengan carácter laico. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Por estas razones el edificio es una totalidad unificada y significativa, donde nada sobra ni falta. A través de un nuevo lenguaje arquitectónico que rescata las técnicas constructivas y repertorio ornamental del mundo clásico en una libre interpretación, expresa la imagen existencial del Renacimiento, a la vez que potencia la libertad creativa y eleva la técnica a nivel ale reflexión intelectual. http://www.iesmarquesdesantillana.com/sanlorenzo.htm Para información general de esta fachada puede consultarse la página: http://www.youtube.com/watch?v=eqiPKcpOibg Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Los artistas del renacimento tomaron al pie de la letra el texto de Alberti, basándose preferentemente en los números que éste proponı́a. Las superficies medianas resultaban particularmente útiles a los pintores que estaban especialmente interesados en las relaciones 4/6/9 y 9/12/16. Un ejemplo claro del Albertismo en la pintura es: Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento El nacimiento de Venus (Sandro Boticceli), 1444-1510. Galerı́a Uffizi, Florencia. Témpera sobre lienzo, 172.5x278.5cm. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento El Nacimiento de Venus es una de las obras más famosas de Botticelli. El momento que nos presenta el artista es la llegada de la diosa, tras su nacimiento, a la isla de Citera, empujada por el viento, como describe Homero quien sirvió de fuente literaria para la obra de Botticelli. Venus ha surgido del mar en una concha, que es dirigida por los dioses del viento hacia la costa entre una lluvia de rosas. Cuando está a punto de dar un paso en tierra, una de las Ninfas, la recibe con una capa púrpura. La Venus de Botticelli es tan hermosa que no advertimos la longuitud antinatural del cuello, la caı́da escarpada de los hombros y la manera rara en que el brazo izquierdo es desprendido del cuerpo. Debemos decir que estas libertades que Botticelli tomó con la naturaleza para la belleza y armonı́a del diseño, por que ellos aumentan la impresión de un ser infinitamente delicado que llegó por aire a nuestras costas como un obsequio del Cielo. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Lado superior izquierdo: El Céfiro del Viento de Oeste y Chloris con miembros entrelazados como una entidad de doble: el Céfiro sopla vigorosamente; mientras que Chloris suspira suavemente para entibiar el viento que dirige a tierra a Venus. Por todas partes caen rosas cada una con un corazón dorado que, según la leyenda, aparecieron durante el nacimiento de Venus. Lado derecho superior: La Costa Arbolada corresponde al jardı́n sagrado del Hespérides en el mito griego y cada flor blanca pequeña se vuelca con oro. El oro se usa a través de la pintura, la posición divina de Venus. Cada hoja verde obscura se tiene una espina dorsal y el resumen oros, y en los troncos de árbol se ponen los toques de luz con lı́neas diagonales. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento El lado derecho: La Ninfa es una de las tres diosas griegas de las temporadas, que eran asistentes de Venus. Su vestido lujosamente decorado y en la bata magnifica con que reviste a Venus se bordan margaritas rojas y blancas, con primaveras amarillas, y con flores color azul, todo florece apropiado al tema del nacimiento. Ella lleva una guirnalda de mitro, el árbol de Venus y una banda de la rosa. El centro: Botticelli representa a Venus con una compleja y armoniosa serie de torsiones y vueltas, cuando ella está a punto de dar un paso lejos de su gigante concha dorada. Venus es la diosa del amor y su nacimiento se debe a los genitales del dios Urano, cortados por su hijo Cronos y arrojados al mar. Sus largos cabellos rubios cubren sus partes ı́ntimas mientras que con su brazo derecho trata de taparse el pecho, repitiendo una postura tı́pica en las estatuas romanas de las Venus Púdicas. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Técnicamente, Botticelli ha conseguido una figura magnı́fica aunque el modelado es algo duro, reforzando los contornos con una lı́nea oscura, como si se tratara de una estatua clásica. De esta manera, el artista toma como referencia la antigüedad a la hora de realizar sus trabajos. Los ropajes se pegan a los cuerpos de los personajes, destacando todos y cada uno de los pliegues y los detalles para demostrar su formación como orfebre en su juventud. El resultado es sensacional pero las pinturas de Botticelli parecen algo frı́as e incluso primitivas. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Análisis de la obra Esta obra utiliza el doble diatesarón 9/12/16. Venus sigue la lı́nea oblicua de las cesuras 9 tomadas: arriba de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Las lı́neas que sirven de apoyo a los vientos y la Ninfa forman los lados de un triángulo cuya altura es oblicua de Venus. La posición desequilibrada de este triángulo acentúa el movimiento de traslación Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento La Ninfa queda dentro de un triángulo principal, que a su vez es dividido por la lı́nea en la cual se apoya el brazo izquierdo y su pierna derecha, y otras dos que marcan el centro del cuerpo, haciendo que converjan en el antebrazo las lı́neas principales. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento La Santa Cena de Leonardo Da Vinci (1453-1519). Museo de Santa Marı́a delle Grazie, fresco de 480x880 cm A Leonardo le llevo siete años completar esta obra. La escena se centra en el momento en que Cristo denuncia la traición de uno de los disı́pulos, obtenı́endose reacciones diferentes. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento En este fresco se sigue la figura del diapasón, el doble cuadrado o propoción 1 : 2 Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Leonardo coloca un cuadrado junto a dos medios cuadrados, luego traza las diagonales del cuadrado central. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Traza las diagonales del rectángulo mayor y divide en seis partes iguales el cuadrado central mediante lı́neas verticales partiendo de la lı́nea central. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Al intersectar las diagonales con las verticales anteriores, se inscriben dos cuadrados, el más pequeño rodea la figura de Cristo, el otro limita el muro del fondo. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Se trazan los triángulos correspondientes para definir personajes centrales y secundarios. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Trazando lı́neas paralelas a las diagonales del rectángulo mayor, se obtienen las figuras de los apostoles dispuestas en grupos de tres. Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Obteniéndose ası́ el análisis completo Laura Hidalgo Solı́s TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I Sucesiones, series y medias Otras aplicaciones de las razones musicales Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento Las razones musicales en la pintura del Renacimiento Leon Battista Alberti, De la pintura, Colección MATHEMA, primera edición en español, UNAM, México, DF, 1996. Carmen Bonell, La Divina Proporción. Las formas geométricas. 2a edición, Alfaomega grupo editor, S.A. de C.V., México, 2000. Charles Bouleau, Tramas. La geometrı́a secreta de los pintores, primera edición, Akal, España, Madrid, 1996. Paul A. Calter, Squaring the Circle. Geometry in Art and Architecture, John Wiley & Sons, 2008. 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