la teoría de juegos en las próximas elecciones presidenciales

LA TEORÍA DE JUEGOS EN LAS PRÓXIMAS
ELECCIONES PRESIDENCIALES
ANA ELENA NARRO RAMÍREZ*
INTRODUCCIÓN
La mayoría de los modelos matemáticos suponen un solo decisor y
le apoyan para seleccionar la mejor alternativa , sin embargo, lo que
sucede en la realidad es que, en general , en todas las situaciones hay
diversas opiniones y algunas de ellas son opuestas , de manera que
es difícil modelarlas suponiendo un solo decisor o todos los implicados en perfecto acuerdo. En cada evento en el que intervienen varias
personas hay posturas encontradas o intereses diversos y esta situación puede representarse a partir de un juego , la teoría de juegos
proporciona los modelos útiles para estos casos . Otra de las características importante de los modelos de juegos y que se da en la realidad es la repercusión de cada decisión en todos los participantes.
Así, cuando se conduce un auto se inicia un juego con los demás
choferes . En el momento en el que se asiste a una subasta y se
hacen ofertas , se está jugando con los demás postores . Al establecer el precio de un producto se inicia un juego con los clientes y los
competidores . El abogado defensor y el fiscal practican un juego
cuando deciden los argumentos que presentarán ante el jurado.
Los políticos que compiten por ganar los votos de los ciudadanos
para ocupar un puesto están desarrollando un juego.
* Profesora-investigadora del Departamento de Política y Cultura, uAM-Xochimilco.
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Si todas estas situaciones son juegos, entonces evidentemente
la teoría de juegos es algo importante. Incluso hay quién' opina
que las Ciencias Sociales son subdisciplinas de la teoría de juegos.
Sin embargo, no puede afirmarse que los especialistas en Teoría de
Juegos tengan la solución para todos los problemas, además de las
razones obvias, otra razón importante por la que esto no puede
suceder es la hipótesis fundamental que hasta ahora se ha manejado en los juegos, que se refiere a la racionalidad de los jugadores.
Aunque todos procuramos actuar razonablemente, esta hipótesis
no siempre corresponde a la realidad.
ELEMENTOS DE LOS MODELOS DE JUEGOS
Para caracterizar un juego se requiere conocer:
El número de jugadores.
Sus estrategias.
Los pagos a cada uno de los jugadores por cada combinación de estrategias.
Los juegos se clasifican, según el número de jugadores que
intervienen en ellos en juegos de dos participantes o juegos de más
de dos jugadores.
Los juegos de dos contrincantes generalmente se describen a partir de un arreglo matricial de pagos, en el que las entradas de los renglones corresponden a las estrategias de uno de los jugadores y las
entradas de las columnas son las estrategias del otro participante.
Estos juegos pueden ser:
Juegos de suma cero, cuando lo que uno gana el otro lo pierde.
Juegos de suma constante, cuando lo que ambos ganan siempre suma
lo mismo.
Juegos de suma no constante.
1 Binmore Ken, en su libro: "Teoría de Juegos", McGraw-Hill, España, 1994.
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Ana Elena Narro Ramírez
JUEGOS DE DOS JUGADORES Y SUMA CERO
En este modelo de juego el cuerpo de la matriz de recompensas está
formado por los pagos para el jugador de renglones que corresponden
a la intersección de cada una de sus estrategias con cada una de las
estrategias del otro jugador, los pagos del jugador de columnas no se
anotan, son los simétricos de los que aparecen en la matriz.
La solución en este modelo es el punto de equilibrio que es
aquel en el que a ninguno de los jugadores le conviene hacer un
cambio unilateral de estrategia en términos de mejoramiento de
pago y es el punto en el que se alcanza el "maximin"2 para cada
jugador, si estos valores para ambos jugadores coinciden, de otra
manera se dice que no existe solución con estrategia pura3 y se
busca una con una combinación de estrategias que se llama "estrategia mixta" usando un programa lineal.
Por ejemplo, si dos aspirantes a la senaduría están compitiendo y
desean planear sus dos últimos días de campaña. Pueden elegir visitar una o dos de las ciudades más importantes, pero ninguno puede
conocer los planes del otro. Las estrategias disponibles para cada uno
son: permanecer en la ciudad A los dos días, permanecer en la ciudad
B ambos días o pasar un día en A y otro en B. El analista político del
aspirante, que llamaremos i, ha estimado los siguientes pagos en
miles de votos ganados (arrebatados al contrincante) o perdidos:
Cantidad de votos ganados por el político 1
(miles de votos)
Político I
Estrategias
2 días en A
2 días en B
1enAy1enB
2 días en A
10
10
0
Político II
2 días en B
20
0
10
1 en A y 1 en B
40
50
-10
2 El más grande de los peores pagos para cada estrategia.
3 Estrategias puras son las que aparecen como entradas en las columnas y
los renglones de la matriz de pagos en contraste con las estrategias mixtas que
son combinaciones de las primeras.
141
Reflexiones Finiseculares : las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Para encontrar el punto de equilibrio se procede de la siguiente manera:
Mínimos
11
Estrategias
i
1
2
3
Máximos
1
2
3
-30
20
50
-20
0
-20
60
20
-40
50
0
60
-30
0
-40
Como el mayor de los mínimos y el menor de los máximos coinciden en o, este es el valor del juego y se alcanza con la estrategia 2
del político i, permanecer los dos días en la ciudad B y la estrategia
2 para el político ii, también permanecer los dos días en la ciudad
B. Esto significa que ninguno de los políticos ganará con las estrategias seleccionadas.
JUEGO CON DOS CONTRINCANTES
Y SUMA CONSTANTE
Es aquel en el que para cualquier selección de estrategias de
ambos jugadores, la suma de las recompensas del jugador de renglones y del de columnas es constante, como cuando dos competidores tienen que compartir una población determinada.
La solución y la forma de encontrarla es igual que en el juego
de suma cero.
Este caso corresponde a aquel en el que los políticos del ejemplo
anterior se repartieran a los votantes de ambas ciudades, si se supone que el número de votantes es de 60 000, y la matriz de pagos es:
II
Estrategias
1
2
3
Máximos
142
Mínimos I
1
2
3
(40,20)
(20,40)
(50,10)
t39_301
0,60)
(20,40)
(60,0)
(20,40)
(40,20)
50
3-0
60
30
0
20
Ana Elena Narro Ramírez
En la matriz de pagos cada entrada se indica mediante un vector formado por dos componentes, pago para I y pago para II, aunque puede también representarse con sólo el pago para i tomando
en cuenta que el pago para II es el complemento correspondiente a
los 60 miles de votantes:
Estrategias
1
2
3
1
Máximos
1
40
20
50
50
II
2
30
0
20
30
Mínimos I
3
60
20
40
60
30
0
20
El equilibrio se alcanza con las estrategias 1 para el político i y
la estrategia 2 para el político u con un valor del juego de 30 000
votos para cada contrincante.
JUEGO ENTRE DOS PARTICIPANTES
CON SUMA NO CONSTANTE
La mayor parte de los modelos teóricos de juegos son de suma no
constante porque es raro que los competidores estén en conflicto
total entre sí.
Estos juegos se representan con una matriz de pagos, igual que
los modelos anteriores, cada entrada es un vector de dimensión dos
(pago jugador renglones, pago jugador columnas).
El punto de equilibrio es, como antes, aquel en el que ningún
jugador puede sacar provecho de un cambio unilateral de estrategia,
y se obtiene como el punto que es más conveniente para ambos. Se
fija la estrategia de uno de los jugadores y se marca la que más conviene al otro, por su pago, recorriendo todas las estrategias disponibles, la misma operación se repite para el otro jugador. El punto o
puntos de equilibrio son los que fueron marcados como los preferibles
para ambos jugadores.
Por ejemplo, uno de los juegos clásicos es el de la batalla de los
sexos que consiste en que un par de recién casados tratan de reunirse
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
un fin de semana sin acordar el lugar, él gusta del futbol y ella del
teatro, las estrategias son para ambos ir al estadio o al teatro y los
pagos son:
Ella
Él
Estrategias
Futbol
Teatro
Teatro
(0,0)
(4,1)
Futbol
(4,1)
(0,0)
Si a él le interesa tanto el partido que prefiere asistir y afrontar
después la situación incómoda con ella, pero ella, pensando en lo
importante que es el juego para él y queriendo darle gusto lo alcanza
en el estadio, él estará encantado y ella, aunque perdió su obra de teatro disfruta de la compañía, por eso es el pago 4 para él y 1 para ella, lo
mismo sucede cuando él la acompaña al teatro, pago (1, 4), pero si cada
uno decide ser indiferente a su pareja o ambos deciden dar gusto a su
compañero(a) y no se encuentran, ninguno gana nada.
Ella
$1
Estrategias
Futbol
Teatro
Futbol
(4,1)
Teatro
(0,0)
(0,0)
(4,1)
Para encontrar los puntos de equilibrio en este tipo de juegos se
fija la estrategia para uno de los jugadores y se elige la de mayor
pago para el otro, marcándola, cuando ambos elementos de un par
están marcados como los mejores, ese punto es un equilibrio.
Si él elige Futbol lo que a ella le conviene es elegir futbol con
pago 1, si él prefiere teatro, a ella le favorece seleccionar teatro con
pago 4, análogamente para él, si ella escoge futbol, el debe elegir
Futbol y si ella prefiere teatro, él seleccionará teatro. Entonces
este juego tiene dos puntos de equilibrio.
144
Ana Elena Narro Ramírez
JUEGO CON " N"JUGADORES
En muchos casos de competencia hay más de dos contrincantes.
Un juego con n participantes se describe a partir de lo que se conoce como función característica.
La función característica de un juego es la que asigna a cada
subconjunto de jugadores el pago que los miembros del subconjunto están seguros de recibir si actúan juntos como coalición.
Un concepto de solución para juegos de n-personas es el "Valor
de Shapley" que permite calcular el pago que recibiría cada jugador, o lo que le correspondería si el premio disponible se repartiera
entre todos los jugadores. Este valor se calcula mediante:
x. _ z p„(S)[v(S u {i}- v(s))]
vsItffs
en donde p,, (8)
= JSj! (n - ¡ SI - 1)
n!
es la probabilidad de encontrar ISI jugadores
cuando llega el jugador i y S es el número de jugadores en S
Por ejemplo si se consideran 3 países, el país 1 tiene pozos
petroleros y cada barril de petróleo le proporciona una ganancia de
$16.00, el segundo país necesita comprar petróleo que usa en su
industria manufacturera, obteniendo de cada barril $23.00, el país
3, requiere el petróleo para su industria alimentaria y transforma
cada barril en una ganancia de $30.00. La función característica
correspondiente a este juego de tres participantes es:
v(cD) = 0
v(2) = v(3) = v(2,3)= 0
v(1) = 16 v(1,2) = 23 v(1,3) = v(1,2,3) = 30
y sus valores de Shapley son:
145
Reflexiones Finiseculares : las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Primero las probabilidades que se requieren:
1 1 1
Po31Pl 6P2=3
x, =
3 6
3(0)
(0)
3
(16 ) +
(23) 1 (30) +
+ 6(23-16)
x3 =
+
(30-16)
6
1 (30) I = 165
+6(0)+
+ 6 (0)
3(0)=
7
1x2=
(30 -23)
+
3
2
6
De lo que se concluye que el jugador más fuerte es el 1, el país
petrolero, al él le corresponde el so.55% del poder o la ganancia
total (145/6), el siguiente en importancia es, por la plusvalía de
cada barril, el país 3, con el 15.55% (28/6) y el menos importante es el
jugador 2, con el 3.9%, (7/6).
A continuación se aplican los conceptos mencionados a la situación de la próxima elección presidencial y se obtienen los interesantes resultados.
EL JUEGO DE LA ELECCIÓN PRESIDENCIAL
Con base en las encuestas anteriores y actuales se estiman los
resultados de una encuesta similar en enero del año 2000 con una
confiabilidad del 95%, en la que los votos de los ciudadanos quedan
repartidos de la siguiente manera:
PRI 33%
PAN 32%
PRD 31%
Otros 4%
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Ana Elena Narro Ramírez
Los votos para el PRI se han mantenido sin cambio, mientras
que los del PAN y el PRD si han variando. Las estrategias que se proponen están en términos de la distribución del presupuesto para la
campaña entre los sectores de la población que se consideran más
importantes, a los que debe dirigirse esta promoción, para lograr
elevar los votos a favor, lo más posible, en los últimos seis meses,
que se consideran decisivos.
El primer análisis corresponde al posible enfrentamiento entre
la alianza PAN-PRD y el PRI. Este análisis se realiza como juego de
dos participantes y suma cero, en el que los pagos corresponden al
porcentaje de votos ganados o perdidos sobre la última encuesta
mencionada. Esta matriz fue construida a partir de la opinión de
un experimentado analista político.
Se consideran tres estrategias para ambos jugadores, construidas tomando en cuenta que la fortaleza del PRI se ubica en los
pobres y los burócratas, la del PAN en la clase media y el pequeño
empresario y la del PRD en los universitarios y comerciantes informales, referentes a la manera de distribuir el presupuesto para su
campaña entre los sectores:
Medios de comunicación.
Universitarios.
Empresarios.
Zonas rurales.
Las estrategias propuestas son las siguientes:
Jugador 1 = PAN /PRD
Estrategia 1: 50%,20%,10%,20%.
Estrategia 2:50%,15%,10%,25%.
Estrategia 3:60%,15%,10%,15%.
Jugador 2 = PRI
Estrategia 1: 50%, 10%, 20%, 20%.
Estrategia 2:40%,10%,20%,30%.
Estrategia 3: 40%, 5%, 15%, 40%.
147
Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Con la matriz de pagos:
jugador 2
jugadorl
1
2
3
0
-5
5
15
10
5
5
5
-5
El pago mínimo para la la estrategia del jugador i (Ti) es -5, el
pago mínimo para su segunda estrategia (12) es 5 y el pago mínimo
para la tercera (13) es -5, así la estrategia más conveniente es la
segunda, que tiene el mejor de los peores pagos, 5. Análogamente,
la estrategia que debe elegir el jugador II es la estrategia 3 (o la 2)
que corresponde al menos peor de los pagos -5.
Así, esta matriz tiene un punto de equilibrio o punto de silla en
12 II 3, (y otro en 1211 2), lo que significa que el valor del juego es de
5% de votos para la alianza con estrategia: 50% dedicado a los
medios de comunicación, 15% invertido en los universitarios, 10%
dirigido a los empresarios y 25% para el medio rural. Por otra parte, con esta estrategia de parte de la alianza y, ya sea 40% a los
medios de comunicación, 10% a los universitarios, 20% a los empresarios y 30% al medio rural o 40% a los medios de comunicación, 5%
a los universitarios, 15% a los empresarios y 40% al medio rural, el
PRI pierde lo menos posible, 5% de los votos.
Es necesario hacer notar que la encuesta se supone con una
confiabilidad del 95%, es decir se acepta un error del 5%, así el 5%
que gana la alianza puede ser que no lo pierda el PRI que posiblemente continúe invariable, sino que provengan de los otros partidos y el abstencionismo.
En el caso en el que no se cristalice la alianza y sean opositores
el PAN y el PRD, se considera un juego de suma no constante entre
estos partidos, con las siguientes estrategias:
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Ana Elena Narro Ramírez
Jugador l = PRD
Estrategia 1: 50%, 40%, 10%.
Estrategia 2: 40%, 30%, 30%.
Estrategia 3: 60%, 10%, 30%.
Jugador 2 = PAN
Estrategia 1:50%,30%,20%.
Estrategia 2: 40%, 30%, 30%.
Estrategia 3:60%,30%, 10%.
Dirigidas a los sectores:
Medios de comunicación.
Empresarios.
Estudiantes.
Con la matriz de pagos:
jugador 2
1 2 3
(5,2) (5,2) (4,3)
jugadorl
(4,2) (5,3) (3,3)
(6,2) (4,4) (7,2)
Si el jugador i elige la estrategia 1 al jugador II le conviene seleccionar la estrategia 3 con pago 3. Para 12, 11 puede elegir 2 o 3 con
pago 3, cuando I selecciona 3, 11 preferirá 2 con pago 4. Por otro lado,
para II1 , i preferirá 3 con pago 6, para 112 lo mejor es n o 12 con pago 5
y para 113 lo mejor es 13 con pago 7, de donde las estrategias que
resultan convenientes para ambos son 12 112 . Esto es, el punto de
equilibrio corresponde a las estrategias puras 12 112 con pagos 5 y 3
respectivamente , lo que equivale a que el PRD aumenta sus votos a
36% con la estrategia que consiste en dirigir el 40% de su presupuesto de campaña a los medios de comunicación, 30% al sector estudiantil y 30% al sector empresarial , mientras el PAN aumenta sus votos a
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
35% con las estrategias de invertir el 40% de su presupuesto de
campaña en los medios de comunicación, el 30% en el sector empresarial y el 30% en el sector estudiantil.
Si se desea incluir los resultados para el PRI de las combinaciones de las estrategias del PAN y el PRD, sin tomar en cuenta sus propias estrategias, esto se puede observar en la siguiente matriz:
Desde luego el punto de equilibrio es el mismo para los dos jugadores (PAN y PRD) y las estrategias correspondientes convertirían la
votación en:
jugador 2
1
2
3
(5,2,-2) (5,2,-1) (4,3,-1)
jugadorl
(4,2,0) (5,3,-1) (3,3,-2)
(6,2,-3) (5,4,-2) (7,2,0)
PRI 33%
PAN 35%
PRD 36%
Por otro lado, si el juego se analiza como un juego con cuatro
jugadores y se calculan los valores de Shapley para cada uno de
ellos se tiene:
n(,^E) = 0
n(PRI) = 33
n(PAN) = 32
n(PRD) = 31
n(Otros) = 4
n(PRI, PAN) = 50
n(PRI, PRD) = 38
n(PRI, Otros) = 38
n(PAN, PRD) = 40
n(PAN, Otros) = 35
n(PRD, Otros) = 35
n(PRI, PAN, PRD) = 65
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Ana Elena Narro Ramírez
n(PRI, PRD, Otros) = 60
n(PRI, PAN; Otros) = 80
n(PAN, PRD, Otros) = 56
n(PRI, PAN, PRD, Otros) = 100
Po=1=P3,PI =P2=12
Entonces los valores de Shapley quedan:
XPRI = 4.(33)+ 12[(50 - 32)+(38 - 31)+(38-4 )+(65-40 )+(80-35 )+( 60-35 )1+4 (100- 56)= 32.08
XPM, = 4 (32 )+ --[(50 - 33)+ (40 - 31)+ (35 - 4)+ (65- 40)+ (80- 38)+ (56-35 )]+ 4(100- 60) = 30.08
XPRO = 4 (31)+ 12 [(38- 33 )+ (40- 32 )+ ( 35- 4)+ (65 - 50)+ (56 - 35)+ (60 - 38)]+
4
(100 - 80) = 21.25
XOTROS = 16.59
CONCLUSIÓN
Si se cristalizara la alianza del PAN y el PRD, el PRI perdería, pero si
no se unen, el PRI es el partido más fuerte como lo indica su valor
de Shapley que es el mayor de todos, es decir, de acuerdo con este
juego y a partir de los pagos y estrategias sugeridas por el analista
consultado, el partido que ganará las siguientes elecciones será el
PRI, aunque está pendiente valorar si el número de votos que pueden ser captados por este partido dependen del candidato seleccionado. Es posible hacer el análisis correspondiente a cuál sería el
resultado de las elecciones con las distintas combinaciones de candidatos posibles para los diferentes partidos considerados como
más fuertes.
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Es importante señalar que la validez de estos modelos depende
de la calidad con la que se construyan, esto es, en buena parte se
basa en los expertos en las ciencias sociales que intervienen en la
definición de las estrategias y las calificaciones para las distintas
combinaciones, es un resultado del trabajo interdisciplinario.
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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
Binmore, Ken. "Teoría de Juegos". McGraw-Hill, España, 1992.
Rasmusen , Eric. "Juegos e Información ". Fondo de Cultura
Económica , México, 1996.
Shubik, Martin. "Economía Política: Un enfoque desde el punto
de vista de la Teoría de Juegos". Fondo de Cultura Económica,
México, 1992.
Thomas, L. C. "Games, Theory and Applications". Conolly
Chelsea College, University of London, 1994.
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