Fundamentos de Probabilidad - OCW

M. Iniesta
Universidad de Murcia
PROBABILIDAD
Relación de problemas 1:
Fundamentos de Probabilidad
1. Una urna contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Calcular la probabilidad de que
al sacar dos bolas la suma de los números sea impar
a)
si la extracción de las dos bolas se hace con reemplazamiento
b)
si la extracción de las dos bolas se hace sin reemplazamiento.
2. Se lanzan dos dados equilibrados simultáneamente. Sean los sucesos:
A: La suma de los números es exactamente 8
B : Los números obtenidos son iguales
Expresar los sucesos A, B , A ∩ B y A ∪ B como subconjuntos del espacio muestral
Ω y asociar una probabilidad a cada uno de ellos
3. Sean A y B dos sucesos de los que se conocen P (A ∪ B) y P (A ∩ B). Hallar una
fórmula para la probabilidad de que ocurra exactamente uno de esos sucesos.
Indicación: Representa mediante diagramas de Venn los sucesos implicados
4. Se tienen dos sucesos A y B con
P (A) = 0.4, P (B) = 0.2
P (A ∪ B) = 0.5.
y
¾Son los
sucesos A y B incompatibles?.
5. Dados dos sucesos
A
y
B,
con
P (A) = 0.5
y
P (A ∪ B) = 0.7:
a ) Calcular
P (B)
suponiendo que
A
y
B
son independientes.
b ) Calcular
P (B)
suponiendo que
A
y
B
son mutuamente excluyentes.
c ) Calcular
P (B)
sabiendo que
P (A | B) = 0.5.
6. En la fabricación de un cierto artículo se presenta un tipo de defecto con una probabilidad
de
0.1
y defectos de un segundo tipo con probabilidad
0.05.
Sabiendo que ambos tipos
de defectos son independientes, calcular la probabilidad de que:
a ) un artículo no tenga ambas clases de defectos.
b ) un artículo sea defectuoso.
c ) suponiendo que un artículo sea defectuoso, tenga solo un tipo de defecto.
7. Las probabilidades de los sucesos
A
y
B
son
P (A) = 0.4
y
P (B) = 0.5.
P (A ∩ B) y P (A ∪ B) en cada una de las siguientes situaciones: (i) P (A ∩
B) = 0.1, (ii) A ⊂ B , (iii) A y B son independientes, y (iv) A y B son incompatibles.
a ) Calcular
b ) Determina todos los posibles valores que puede tomar
P (A ∩ B) indicando bajo qué
condiciones se alcanza el valor mínimo y el máximo.
c ) Probar que si
A
y
B
son independientes, también lo son
A
y
B.
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8. Dos jugadores de ajedrez
A
y
B
se enfrentan en un torneo de tres partidas. Se han
establecido a priori las probabilidades para los distintos resultados en una sola partida
i, i = 1, 2, 3,
siendo estos
P (Ai ) = 1/2, P (Bi ) = 1/3 y P (Ti ) = 1/6; donde Ai indica el
A la partida i, Bi indica el suceso de que gane el jugador
suceso de que gane el jugador
B,
y
Ti
indica el suceso de que resulte tablas.
a ) Utilizando la notación simbólica de operaciones entre sucesos expresar los que se
describen a continuación: (i) El jugador
A
gane las tres partidas. (ii) Resulte tablas
en dos partidas. (iii) Los jugadores ganen de forma alternada. (iv) El jugador
B
gane al menos una partida.
b ) Calcular las probabilidades de los sucesos anteriores.
9. Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos
A,B
a)
P (A | B) + P A | B = 1,
b)
P (A ∪ B | C) = P (A | C) + P (B | C) − P (A ∩ B | C),
10. Sean
B.
A
y
B
con
C,
y
se verica:
P (B) > 0.
con
P (C) > 0.
dos sucesos independientes. Comprobar que también lo son los sucesos
Igual para los sucesos
A
y
B,
y los sucesos
A
11. Supongamos que la corriente pasa por el punto
y
A
B.
i = {1, 2, 3, 4}
si el interruptor que hay
en dicho punto está abierto y que éste está abierto con probabilidad
p.
a ) Si todos los interruptores funcionan independientemente, expresa en función de
la probabilidad de que pase corriente de los puntos
b ) Expresa, en función de
p,
y
L
a
R
p
en el siguiente esquema.
la probabilidad de que pase corriente por uno solo de los
dos subsistemas.
12. Un conjunto electrónico S consta de dos subsistemas C y D conectados en serie, con
componentes que funcionan de forma independiente y ordenados como se aprecia en la
siguiente gura. En ella también aparecen las respectivas probabilidades de fallo, en las
primeras 100 horas de operación.
Calcular las probabilidades de fallo de los subsistemas C y D, antes de las 100 horas
de operación.
Calcular la probabilidad de que el sistema S funcione después de 100 horas de
operación.
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13. El siguiente circuito trabaja si, y sólo si existe un camino de dispositivos en funcionamiento de izquierda a derecha. Supongamos que los dispositivos fallan de manera independiente y es
p
la probabilidad de fallo de cada uno de ellos. Calcular la probabilidad
de que el circuito de la siguiente gura falle.
14. Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas,
determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y a continuación, una bola roja:
a ) Cuando habiendo extraído la primera bola ésta es devuelta a la urna para realizar
la segunda extracción (con reemplazamiento).
b ) Cuando habiendo extraído la primera bola ésta no es devuelta a la urna para realizar
la segunda extracción (sin reemplazamiento).
15. Una urna contiene 5 bolas blancas 3 verdes y 2 rojas. Se extraen 3 bolas al azar. Se
consideran los siguientes sucesos:
A: Las 3 bolas seleccionadas son del mismo color.
B: De las 3 bolas seleccionadas, 2 de ellas son rojas.
C: Alguna de las 3 bolas seleccionadas es verde.
Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores en los supuestos siguientes:
a ) Las bolas se eligen una a una con reemplazamiento.
b ) las bolas se eligen sin reemplazamiento.
16. Dados dos sucesos A y B se sabe que:
3
P (B) = ;
4
Calcula
P (A) = P (A|B) =
1
3
P (A ∪ B).
17. En un examen la materia se divide en dos partes con 10 temas teóricos y 20 prácticos.
Un estudiante piensa que la probabilidad de que se pregunte un tema teórico es de 1/2
por lo que decide estudiarse 7 temas teóricos y sólo 8 prácticos. ¾Qué probabilidad tiene
de saberse el tema elegido para el examen, suponiendo que lo que piensa es cierto y
suponiendo que en cualquier caso sólo estudia 15 temas ?. ¾Podría haber planicado
mejor para que con 15 temas estudiados aumentar la probabilidad de saber el tema?
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18. Un persona debe introducir nueve bolas blancas y una negra en dos urnas. Ninguna urna
quedará vacía. Posteriormente se elegirá una de estas urnas al azar extrayéndose una bola
de la urna elegida. Si la bola resulta blanca recibirá un premio. ¾Cómo debe distribuirlas?
19. Un taller adquiere dos cajas de piezas de repuestos de un suministrador que le asegura
n piezas defectuosas y m buenas, mientras que la segunda
p piezas defectuosas y q buenas. Un empleado necesita utilizar una pieza, en
que en la primera caja hay
caja contiene
primer lugar saca una pieza cualquiera de la primera caja y la deposita en la segunda, y
posteriormente utiliza una pieza cualquiera de la segunda caja. Calcular la probabilidad
de que la pieza que utiliza sea defectuosa.
20. Se disponen dos urnas, con 3 bolas blancas y 2 negras la primera y con 2 bolas blancas y
3 negras la segunda. Se lanza un dado, extrayéndose una bola de la primera urna si sale
1, 2 ó 3; extrayéndose de la segunda si sale 4 ó 5 y volviéndose a tirar si sale un 6.
a ) Calcular la probabilidad de obtener bola negra.
b ) Calcular la probabilidad de que la bola provenga de la primera urna sabiendo que
la bola resultó ser negra.
c ) ¾Son independientes los sucesos sacar bola negra y la bola se extrae de la primera
urna?
21. Un PC tiene integrados dos discos duros. El 10 % de los cheros del disco A son defectuosos, mientras que sólo son defectuosos el 5 % de los cheros del disco B. También
conocemos que el disco A tiene guardados el doble de cheros que el disco B. Si un chero
es defectuoso ¾cuál es la probabilidad de que estuviera guardado en el disco A?.
22. A dice la verdad 9 de cada 10 veces y B dice la verdad 7 de cada 9. Se extrajo una bola
al azar de una urna que contenía 5 bolas blancas y 20 negras. Tanto A como B dijeron
que la bola extraída era blanca. ¾Cual es la probabilidad de que la bola extraída fuera
blanca?.
23. En un taller de reparación de ordenadores trabajan Luis, Juan y Antonio; atendiendo al
20 %, 35 % y 45 % de los clientes, respectivamente. Luis es el más eciente reparando el
80 % de las averías, mientras que Juan solo soluciona el 60 % y Antonio el 50 %.
a ) ¾Cuál es la probabilidad de que un cliente quede satisfecho?.
b ) ¾Cual es la probabilidad de que una reparación haya sido hecha por Luis?.
24. Una urna contiene dos bolas blancas y una negra y una segunda urna contiene dos negras
y una blanca. Se lanza una moneda y si sale cara se extrae una bola de la primera urna,
mientras que si sale cruz se extrae de la segunda. Calcular las siguientes probabilidades:
a ) La bola extraída sea blanca
b ) La bola extraída provenga de la segunda urna, sabiendo que fue blanca
c ) La bola extraída no se devuelve y se extrae una segunda bola. Si se sabe que
la primera fue blanca, ¾cuál es la probabilidad de que esta segunda sea también
blanca?. ¾Y si no se sabe el color de la primera bola?
25. Tres dados equilibrados se lanzan simultáneamente. Si no hay dos de entre ellos que
muestren la misma cara, ¾cuál es la probabilidad de que uno de ellos y sólo uno muestre
la cara 6?.
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26. Se considera un dado imperfecto en el que la probabilidad de que salga la cara
lanzamiento cualquiera es
i
21 , para
i
en un
i = 1, 2, ..., 6.
a ) ¾La asignación de probabilidades a las distintas caras es una función de probabili-
dad?
b ) Si la respuesta es armativa, ¾son independientes los sucesos
A = {par} y B ={ menor
o igual que cuatro}?.
c ) Responder a la misma cuestión si el dado fuese equilibrado.
27. Se sabe que la prevalencia de la diabetes en una población es del 2 %, pero también que
sólo la mitad de los afectados son conscientes de ello. Se pide.
a ) Si escogemos un individuo al azar y al preguntarle arma no ser diabético, ¾Cual
es la probabilidad de que en realidad sí lo sea?.
b ) Si escogemos 10 individuos de la población al azar y al ser preguntados todos arman
no ser diabéticos, ¾cuál es la probabilidad de que alguno de ellos sí lo sea?.
28. (*) Supongamos el siguiente concurso: hay tres puertas cerradas y detrás de una de
ellas hay un coche. El concursante elige una de las tres pero el presentador después le
muestra una puerta vacía y le da la oportunidad de cambiar de puerta. ¾Cuáles son
las probabilidades de ganar el coche ahora, si se queda con la primera elección o si se
cambia?. ¾Qué debe de hacer, por tanto, el concursante?.
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