Simulación de procesos científicos y sociales con ecuaciones

Simulación de procesos científicos y sociales
con ecuaciones diferenciales
mediante diagramas de Forrester
La descripción matemática de los procesos de la vida real es una exigencia necesaria cuando queremos
buscar explicaciones y consecuencias de los fenómenos que nos rodean. En ello, las ecuaciones
diferenciales con condiciones iniciales adecuadas juegan un papel fundamental. Sin embargo, los
alumnos de 2 ESO únicamente trabajan primer y segundo grado o sistemas lineales de dos ecuaciones
con dos incógnitas. El concepto de derivada de una función respecto a un punto, se ve tres años
después y por primera vez en 1 de Bachillerato. Por ello, hemos hablado de la velocidad de cambio de
una magnitud con el tiempo y la hemos representado por un depósito que recibe agua a través de un
grifo o la pierde a través de un sumidero. El agua que pierde el depósito puede ir a otro depósito (otra
magnitud con la que está relacionada) a través de tuberías con unos grifos que controlan el flujo de
caudal. Estos diagramas reciben el nombre de diagramas de Forrester:
Con estos diagramas se pueden hacer modelos matemáticos realmente complejos sobre la evolución de
burbujas inmobiliarias, competición entre especies, evolución de enfermedades,... Los depósitos son
realmente ecuaciones diferenciales, pero con este modelo de depósitos y flujos de agua y usando las
herramientas informáticas adecuadas, su uso se simplifica de forma extraordinaria.
El espectro de programas que trabajan con este tipo de modelos es muy reducido entre el software
libre. Hemos encontrado el programa comercial Vensim [1], cuyo manejo se nos antoja de cierta
complejidad para alumnos de Secundaria, tanto por el lenguaje matemático que utiliza, como por lo
poco intuitivo que lo encontramos en aspectos básicos, como eliminar gráficas de simulaciones
anteriores. Tampoco establece límites con facilidad para parámetros trabajados, motivos por los cuales
hemos programado, y liberado como software libre, nuestro propio simulador Forrester[2] como un
fichero html de interfaz muy sencilla y manejo intuitivo. Con él, nuestros alumnos han realizado
diagramas y simulaciones Forrester de diversas situaciones interesantes a nivel científico y social: la
burbuja inmobiliaria, la población de ballenas, el nivel de azúcar en sangre para diabéticos y no
diabéticos, evolución del aprendizaje por llenado de la memoria a corto y largo plazo, evolución de las
ventas de una marca blanca en un almacén, votantes de un partido, factores desencadenantes de una
guerra, cambios de estado o el movimiento de las moléculas de un cristal líquido frente a formas de
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 1
onda de tensión determinada.
Los resultados de estas simulaciones son curvas de evolución, que los alumnos han aprendido a
interpretar dentro del tema de funciones. También han escrito las ecuaciones diferenciales asociadas
hablando de velocidades de cambio y ritmos de vaciado para dar forma algebraica a sus modelos. Los
resultados y predicciones de estos trabajos se presentarán a través de artículos y presentaciones en
LibreOffice, así como un de cómic matemático [3], donde han creado sus propios avatares para
explicar y mostrar de forma lúdica las partes fundamentales de este estudio.
Finalmente, hemos querido condecorar este proyecto para 2 ESO con el diseño y construcción de unas
estructuras típicas de las moléculas de carbono en los fullerenos: las bóvedas geodésicas. El desarrollo
de media bóveda de orden 2 procedente del icosaedro ha permitido el estudio detallado de dos tipos de
triángulos: isósceles y escaleno, junto al tratamiento de sólidos en 3 dimensiones con el programa de
software libre Sketch-up, que se ha utilizado para construir una bóveda completa de este tipo. Todo ello
fue contrastado con los resultados de un proyecto matemático sobre la razón áurea, realizado en
Bachillerato.
[1] https://vensim.com/
[2] http://mathsforexplorers.blogspot.com.es/p/blog-page_22.html
[3] http://www.toondoo.com/
[4] “Dinámica de sistemas” Au.: Javier Aracil y Francisco Gordillo Ed.: Alianza Editorial
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 2
Índice
Manejo del programa Forrester para las simulaciones..............................................................................4
FUNCIONES QUE VAMOS A TRABAJAR............................................................................................9
Proyecto 1: “Ciclo de la ballena Azul”....................................................................................................13
Introducción........................................................................................................................................13
Población de ballenas..........................................................................................................................14
Gráficos y explicaciones.....................................................................................................................15
Población de ballenas.....................................................................................................................15
Crías...............................................................................................................................................16
Alimento.........................................................................................................................................17
Cómic: “El ciclo de las ballenas Azules”............................................................................................19
Código de la simulación en Forrester: “Ballena Azul”.......................................................................22
Proyecto 2: “Cambio de estado del agua”...............................................................................................24
Cómic: “Evaporación del agua”.........................................................................................................29
Código de la simulación en Forrester: “Evaporación del agua”.........................................................33
Proyecto 3: “Evolución del aprendizaje”.................................................................................................34
Valor de los grifos...............................................................................................................................34
Influencia de una enfermedad sobre el aprendizaje............................................................................37
Curiosidades sobre la memoria...........................................................................................................38
La curva del olvido nos dice:.........................................................................................................38
Curiosidades:..................................................................................................................................38
Causas del olvido:..........................................................................................................................38
Cómic: “Evolución del aprendizaje”..................................................................................................39
Código de la simulación en Forrester: “Evolución del aprendizaje”..................................................44
Código de la simulación en Forrester: “Efectos de una enfermedad sobre el aprendizaje”...............46
Proyecto 4: “Metabolismo de la glucosa”...............................................................................................48
Cómic: “Metabolismo del azúcar”......................................................................................................51
Código de la simulación en Forrester: “Metabolismo del azúcar”.....................................................53
Proyecto 5: “La tortuga Laúd”.................................................................................................................55
Características generales.....................................................................................................................55
Simulación en Forrester......................................................................................................................56
Cómic: “La tortuga Laúd”..................................................................................................................60
Código de la simulación en Forrester: Evolución del aprendizaje.....................................................64
Proyecto 6: “El ciclo del Carbono”.........................................................................................................66
Simulacion del ciclo con un diagrama de Forrester............................................................................66
Cómic: “El ciclo del Carbono”...........................................................................................................70
Código de la simulación en Forrester: “El ciclo del Carbono”...........................................................73
Proyecto 7: “El ciclo menstrual de la mujer”..........................................................................................75
Cómic: “El ciclo menstrual de la mujer”............................................................................................79
Código de la simulación en Forrester: “El ciclo menstrual de la mujer”...........................................81
Dificultades encontradas..........................................................................................................................83
Cómic regalo: “Conmutación de un cristal líquido Antiferroeléctrico”.............................................85
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 3
Manejo del programa Forrester para las simulaciones
Forrester es un programa de interfaz sencilla e intuitiva para el modelado rápido de situaciones reales a
través de cajas que constituyen depósitos. Estos depósitos pueden llenarse y vaciarse a un ritmo que
depende de la variable a la que representen. Por ello, antes de iniciar su manejo es imprescindible tener
claras dos cosas:
1. Qué vamos a simular
2. Qué cosas (parámetros) influyen en el proceso.
3. Hacer un diagrama de cajas con estos parámetros y flechas que indiquen la relación entre ellos.
4. Descarga los 3 ficheros del programa, guárdalos en una misma carpeta y ejecuta el .html:
http://mathsforexplorers.blogspot.com.es/p/blog-page_22.html
Cada uno de estos parámetros será una caja o depósito que se dibuja haciendo clic en el botón Variable
de la ventana del programa, cuya interfaz es la siguiente:
Al pinchar en un punto de la pantalla, aparece una caja con el nombre por defecto Variable, que se
puede cambiar si se hace doble clic sobre esta caja. Con ello aparece una ventana donde se pueden
escribir el nuevo nombre, así como los valores máximo y mínimo de la variable, según sea ésta. Así
por ejemplo, si lo que pretendemos es representar el nivel de azúcar en sangre (Glucemia), el valor
máximo está entre 180 y 210, y el mínimo 60-70 mg/ml de sangre. Para conocer estos valores hemos
debido informarnos previamente a través de nuestro conocimiento de clase, o Internet, utilizando
buscadores como Google. Por ello, sabemos que una glucemia superior puede ocasionar problemas
circulatorios, neurológicos o cardiacos graves, mientras que valores inferiores a 70, dan lugar a
mareos, fatigas y en última instancia, la muerte. Es la razón de que coloquemos 70, como valor inicial
al comenzar a simular un día de 24 horas, suponiendo que comienza para una persona en ayunas, cuyo
nivel inicial oscilará entre 70 y 80 mg/ml.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 4
Estos números y nombre se colocan en los cuadros de diálogo de la ventana que aparece con las
Propiedades del depósito, al hacer, como ya hemos dicho, doble clic sobre él:
Como puede verse, al colocar estos valores, hemos desactivado las casillas de Sin límite, que hay a la
derecha.
Seguidamente se colocan los grifos, que son las líneas de conexión entre depósitos. Pinchando en
Grifo, se coloca la flecha desde el primer depósito al segundo. Esta flecha siempre indica en dónde
vacía el primer depósito en el que hacemos clic. Por ejemplo, el depósito Glucemia (concentración de
azúcar en sangre), vacía en el de Actividad cotidiana, que representa la energía consumida con la
actividad normal diaria. También vacía en el de Deporte, que constituye un consumo extra. Y
finalmente vacía en la acumulación en forma de Glucógeno en el hígado y los músculos o como
Grasa.
Para determinar el ritmo de vaciado, hay que hacer doble clic en la bola asociada a cada grifo e
introducir una función adecuada. Así por ejemplo, en el caso anterior, el grifo del glucógeno vaciará su
contenido convirtiéndose en azúcar en sangre, cuando la glucemia sea menor de 80 mg/ml. Esto se
consigue con una función escalón:
f (x )= 1 si Glucemia< 80
0 si Glucemia >80
Hay que tener en cuenta que las funciones se escriben de forma especial para que las entienda el
{
}
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 5
programa. Ésta por ejemplo se indicaría escribiendo en el recuadro Ecuación:
(Glucemia<80?1:0)
Una vez terminado el diseño, hay que guardar, seleccionando Cargar/Guardar. Ello abre una ventana
con los comandos principales en javascript que definen todo lo realizado. Hay que copiar todo y
pegarlo en un fichero de texto de LibreOffice y guardarlo con el nombre del modelo, pues cuando
cerremos el Firefox, no se guardará automáticamente nada de lo diseñado.
Para comprobar los resultados de un modelo, hay que hacer clic en el botón Simular. En Tiempo total,
escribir la duración del proceso. En nuestro caso será un día completo (1440 minutos evaluados de 1
en 1 como Paso temporal) de la vida de una persona que sale a correr durante media hora, e ingiere
1250 g de azúcar repartido en intervalos de 4 horas.
La simulación genera varias columnas de datos como en la imagen:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 6
Para representarlos hay que copiarlos todos y pegarlos en una hoja de cálculo de LibreOffice,
indicando que lo lea en Unicode e Inglés, para que traduzca los puntos por comas:
Ello permite hacer un diagrama XY de solo líneas, sobre el que retocaremos ejes, título, tamaño de
letra y todo lo que haga falta para conseguir una representación gráfica como la de la figura que viene a
continuación:
El manejo de LibreOffice lo aprenderás sobre la marcha, preguntando todas las dudas a tu profesora.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 7
El uso parejo de una hoja de cálculo para revisar cualquier pequeño cambio se tornaba muy tedioso,
motivo por el cual modificamos el programa de simulación Forrester para que pudiera ofrecer una
representación gráfica del proceso simulado y comprobar con rapidez si los cambios en las funciones
de los grifos, o los valores iniciales y los límites establecidos eran adecuados. De esta forma solo
utilizamos LibreOffice Calc con el diagrama de cajas que reproducía la realidad de modo más
fidedigno.
Al hacer clic en “Gráficos” se ofrece la posibilidad de representar una o más variables a la vez.
También fue muy útil introducir un cronómetro que mostrara en qué paso de la simulación se
encontraba el programa. Cuando la simulación acaba, una ventana emergente indica “Simulación
finalizada”. Así se evita que el proceso se quede literalmente colgado si supera el tiempo de espera del
navegador.
Finalmente, los alumnos constataron que el programa también funciona con Google Chrome, además
de con Firefox, pero no con Explorer.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 8
FUNCIONES QUE VAMOS A TRABAJAR
En esta tabla encontrarás un resumen de las funciones principales que puedes introducir en los grifos
para simular el vaciado de un depósito en otro. Debes aprender su nombre, expresión analítica, su
representación gráfica y el tipo de vaciado que provocan. ¡No confundas estas dos últimas cosas!
Función
Expresión analítica
Representación gráfica
Ritmo de vaciado
al que da lugar
CONSTANTE
y=K
K= número
LINEAL
y=m· x
m=número
x=nombre de la variable
del depósito que se
vacía=Cubo
“Cuanto más lleno está el Cubo, más
abierto está el grifo y viceversa”
“Se dice que el vaciado es exponencial”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester”
IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 9
Función
Expresión analítica
Representación gráfica
Ritmo de vaciado
al que da lugar
Función ESCALÓN
y= 1 si x >0
0 si x⩽0
{
}
x=nombre de la variable
del depósito que se
vacía=Cubo
{
y= 1 si Cubo>0
0 si Cubo⩽0
}
“Cuando el depósito se vacía, el grifo
se cierra”
Se usa cuando no queremos que el
depósito tome valores negativos:
Que al llegar a 0, pare de vaciar (no Cuando el depósito ha vaciado los 8 litros
que tenía, deja de vaciar.
hay más)
Función PASO
y= 1 si x⩾7 y x⩽8
0 si x <7 y x >8
x=nombre de la variable
{
}
del depósito que se
vacía=Cubo
“El grifo solo vacía cuando el nivel
está entre 7 y 8”
En este caso, como el nivel inicial es 8
y vacía 1 litro el primer segundo,
cuando sea un poco menor que 7,
dejará de vaciar.
Ej: Escribir analíticamente y en Forrester, una función matemática que vacíe 1 litro cuando el nivel del
cubo esté entre 7 y 8 o entre 14 y 15:
y= 1 si x⩾7 y x⩽8 y x⩾14 y x⩽15
0 si x <7 y x >8 x <14 y x >15
En Forrester:
1.0*((Cubo>=7&&Cubo<=8)?1.0:0.0)+1.0*((Cubo>=14&&Cubo<=15)?1.0:0.0)
{
}
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 10
Función
Expresión analítica
Representación gráfica
SENO
Es una función para describir fenómenos
periódicos, es decir, que repiten algo cada
cierto intervalo de tiempo, al que se llama
periodo.
y=sin( x)
x=nombre de la variable del depósito que
se vacía=Cubo
Elevar el seno a una potencia par, hace
que la curva sea positiva y que el periodo
disminuya a la mitad.
Se observa que:
Mayor potencia par ⇒
Máximos más estrechos.
42
y=sin ( x)
Para que los máximos sean más altos:
Multiplicar la función por una constante
mayor que 1.
y=2 · sin42 ( x)
Para desplazar todo el conjunto:
Sumar una constante.
Para y=sin 42( x) :
En Forrester escribiríamos: 1.0*pow(sin(Cubo),42)
y=2+ 2 ·sin 42 (x )
Ritmo de vaciado al que da lugar la función
42
y=sin ( x)
Gráfica izquierda: 1.0*pow(sin(Cubo),42) El depósito vacía con el primer pico del seno elevado a 42 y se cierra cuando
la función se anula, por lo que deja de vaciar.
Gráfica derecha: 1.0*pow(sin(Tiempo),42) El depósito vacía en función del tiempo, no del nivel del cubo. Por ello, sigue
vaciando hasta que se acaba el agua del depósito (8 litros) a los 65 segundos.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 11
Función
Expresión analítica
Representación gráfica
Ritmo de vaciado
al que da lugar
RACIONALES
1
y=
x
“Hipérbola equilátera”
x=nombre de la variable
del depósito que se
vacía=Cubo
“Cuando el depósito se vacía, el grifo
se cierra”
Se usa cuando no queremos que el
depósito tome valores negativos:
Que al llegar a 0, pare de vaciar (no Cuando el depósito ha vaciado los 8 litros
que tenía, deja de vaciar.
hay más)
Función PASO
y= 1 si x⩾7 y x⩽8
0 si x <7 y x >8
x=nombre de la variable
{
}
del depósito que se
vacía=Cubo
“El grifo solo vacía cuando el nivel
está entre 7 y 8”
En este caso, como el nivel inicial es 8
y vacía 1 litro el primer segundo,
cuando sea un poco menor que 7,
dejará de vaciar.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 12
Proyecto 1: “Ciclo de la ballena Azul”
Introducción
En este trabajo hablaremos de las ballenas y, aunque nos centraremos sobre todo en las simulaciones
que hicimos en Forrester, también daremos información sobre su alimentación, gastos de energía,
población...
Antes de empezar, nos gustaría nombrar a los rorcuales, que también cobrarán protagonismo en este
proyecto, ya que estos coinciden con las ballenas en ser cetáceos misticetos, siendo más abundantes los
rorcuales.
La familia de rorcuales (Balaenopteridae) está compuesta por 2 géneros y 9 especies:
Género
Balaenoptera
Especie
Nombres populares
Balaenoptera physalus
Rorcual común
Balaenoptera borealis
Rorcual sei o boreal
Balaenoptera brydei
Rorcual de Bryde
Balaenoptera edeni
Rorcual tropical
Balaenoptera musculus
Gran rorcual, azul o ballena azul
Imagen
Balaenoptera acutorostrata Rorcual aliblanco
Megaptera
Balaenoptera bonaerensis
Rorcual austral
Balaenoptera omurai
Rorcual de Omura
Megaptera novaeangliae
Yubarta o ballena jorobada
La familia de ballenas (Balaenidae) está formada por 2 géneros y 4 especies:
Género
Especie
Nombres populares
Balaena
Balaena mysticetus
Ballena de Groenlandia
Eubalaena australis
Ballena franca austral
Eubalaena Eubalaena glacialis
Ballena franca glacial
Imagen
Eubalaena japonica Ballena franca del Pacífico
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 13
Población de ballenas
Ahora les hablaremos sobre algunos de los tipos de rorcuales y ballenas anteriormente nombrados:
Rorcuales comunes:
La población de rorcuales comunes ha disminuido por la caza intensiva del hemisferio sur,de casi
75.000 ejemplares .Esto ha disminuido la población de esta zona a menos de 3.000 especímenes. Otros
países como Islandia, Noruega y Japón siguen con la práctica de esta caza.
Rorcuales azules:
La población de rorcuales azules antes de el comienzo de la caza furtiva y comercial era de unos
239.000 ejemplares, actualmente esta cifra es mucho más baja, es de entre 5.000 y 12.000 en todo el
mundo, lo que refleja las causas de la caza.
Ballenas jorobadas:
A causa de la caza excesiva su población se redujo un 90% , su población se ha ido reponiendo. Unos
años después, es de por lo menos 80.000 ejemplares.
Ballenas francas glaciales:
Se sospecha de la existencia de una población de 400 ejemplares en el océano Atlántico Norte y de la
extinción en el resto del planeta.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 14
Gráficos y explicaciones
Población de ballenas
Durante más de la mitad del año, las ballenas se encuentran en los trópicos para el proceso de
gestación, allí es donde nacen las crías y donde menos se alimentan, pues el objetivo principal es que
los ballenatos estén a gusto. Cuando ya crecen un poco, en los últimos meses del año, ya se pueden
volver al Ártico donde comen krill hasta engordar tanto como han perdido en su periodo de gestación,
allí las crías se hacen grandes y fuertes para seguir el ejemplo de sus padres y hacer lo mismo que
ellos. Todo esto lo hemos representado así:
Con esta gráfica hemos querido representar la población de ballenas en los trópicos (color azul) y la
población en el Ártico (color naranja). Con la primera se puede apreciar que en los primeros meses, la
población aumenta, luego pasan otro par de meses y empiezan a nacer las crías, por lo tanto la
población llega a sus máximos. Cuando terminan con este proceso se vuelven al Ártico por lo tanto la
línea naranja aumenta después de haber estado bajo la azul durante mucho tiempo. Este proceso se
produce anualmente.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 15
Para hacer todo esto hemos conectado ambas variables así:
También hemos puesto estas funciones en los grifos:
•
Desde la población ballenas trópicos hasta población ballenas Ártico hemos escrito:
(Tiempo>241&&Tiempo<=301?Poblacion_ballenas_tropicos/20:0.0). Ya que tardan 60 días en
el trayecto del lugar a otro lo que es igual a 2 meses. Eso lo hemos averiguado al saber que el
día 241 del año parten de los trópicos y el día 301 llega al Ártico.
•
Desde la población ballenas Ártico hasta población ballenas trópico hemos colocado:
(Tiempo>1&&Tiempo<=60?Poblacion_ballenas_artico/20:0.0). En este caso hemos puesto lo
mismo que en el anterior pero a la inversa.
Crías
Las crías nacen en el Trópico. Su depósito vacía en el de la población de ballenas del Trópico, porque
cuando alcanzan 130 toneladas de peso se les considera adultas. Pueden tener un máximo de dos crías
por año dentro de su periodo de madurez.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 16
Hemos metido una función escalón entre el depósito de crías y el de población de ballenas de los
trópicos, ya que solo tienen crías en un periodo del año.
Alimento
Las ballenas se alimentan básicamente de krill, este se alimenta de plancton (es una cadena trófica) ,
por lo que debe de haber mucha cantidad de ambos seres ya que son de un tamaño diminuto en
comparación con el enorme tamaño de las ballenas. Las ballenas comen una media de 3 toneladas de
krill al día.
Las ballenas comen una media de tres toneladas de krill al día por lo que en la variable krill hemos
puesto una cantidad de 25000 kilogramos, el krill se alimenta de una cantidad en total de 50000
kilogramos de plancton.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 17
Contando con que solo una pequeña parte de las tres toneladas de comida, con la expulsión de
excrementos y el gasto de energía el peso de las ballenas oscila entre las 100 toneladas con su menor
peso en adulto y las 190 toneladas en su valor máximo.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 18
Cómic: “El ciclo de las ballenas Azules”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 19
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 20
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 21
Código de la simulación en Forrester: “Ballena Azul”
d=Deposito(svg, "deposito1394951715819",710.5166625976562,312.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Poblacion_ballenas_tropicos");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394952521259",441.51666259765625,509.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Poblacion_ballenas_artico");
d._valor_inicial=5000;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394954251967",783.5166625976562,153.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Crias");
d._valor_inicial=20000;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=false;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394954771997",263.51666259765625,149.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Krill");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=false;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394954797035",216.51666259765625,51.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Plancton");
d._valor_inicial=50000;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394955010519",415.51666259765625,159.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Peso_ballena");
d._valor_inicial=100;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 22
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=100;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394961802989",432.51666259765625,78.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Heces_y_gasto_energia");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394954309100","deposito1394954251967","deposito1394951715819");
d._ecuacion="((Tiempo>=118&&Tiempo<=241)?32.0:0.0)*escalon(Crias)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394955066313","deposito1394954797035","deposito1394954771997");
d._ecuacion="(Poblacion_ballenas_artico>0?3.0:0.0)*escalon(Plancton)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394955072201","deposito1394954771997","deposito1394955010519");
d._ecuacion="(Tiempo>=242&&Tiempo<=301?0.5:0.0)*escalon(Krill)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394955094122","deposito1394951715819","deposito1394952521259");
d._ecuacion="(Tiempo>241&&Tiempo<=301?Poblacion_ballenas_tropicos/20:0.0)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394955829263","deposito1394952521259","deposito1394951715819");
d._ecuacion="(Tiempo>1&&Tiempo<=60?Poblacion_ballenas_artico/20:0.0)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394961841191","deposito1394954771997","deposito1394961802989");
d._ecuacion="(Tiempo<=240?2.5:0.0)*escalon(Krill)";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=365;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=1;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 23
Proyecto 2: “Cambio de estado del agua”
En esta simulación matemática se ha utilizado un diagrama de Forrester en el que intervienen varias
variables conectadas entre sí mediante grifos en los que se introducen una función que relaciona las
variables dos a dos. En nuestro caso las variables utilizadas son: calor (Q), trabajo (W), distancia entre
moléculas (d) y variación de energía interna (ΔU). El diagrama de Forrester utilizado para la
simulación del cambio de estado ha sido:
Las funciones utilizadas en cada uno de los grifos son:
- Grifo 1 (Q y ΔU): función constante de vaciado de Q en ΔU.
- Grifo 2 (ΔU y W): función escalón.
y=
y=1
1 si x⩾2112
0 si x< 2112
- Grifo 3 (ΔU y d): función escalón.
y=
1 si x⩾2112
0 si x< 2112
Cuando tenemos un sistema de partículas, podemos definir la ENERGÍA INTERNA del sistema como
la suma de todas las formas de energía que tiene el sistema, es decir, la suma de energías potencial y
cinética que poseen las moléculas.
La energía cinética engloba la energía debida al movimiento de todas las moléculas del sistema y la
energía potencial es la debida a las fuerzas de atracción que existen entre ellas.
Siempre que el sistema intercambie calor con el entorno se va a producir una variación en su valor de
energía interna. Con esto queremos decir que si se produce un intercambio de calor con el entorno que
ceda energía al sistema se producirá un aumento de la energía interna en él.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 24
Pero además tenemos que tener en cuenta otro factor. Si un sistema tiene energía es capaz de realizar
un trabajo. Y si el sistema realiza un trabajo, o se realiza un trabajo sobre él, también se producirá una
variación en su valor de energía interna. Si el sistema realiza un trabajo perderá parte de su energía
interna en realizar esta tarea.
La formulación de
TERMODINÁMICA:
este
principio
es
el
denominado
PRIMER
PRINCIPIO
DE
LA
Δ U =Q+ W
La energía se mide en Julios (J).
Vamos a suponer que tenemos una muestra de 1 kilogramo de agua líquida y le aportamos energía en
forma de calor. Le aportaremos calor hasta un valor de 2400 kJ, según se ha realizado en la simulación.
En un diagrama de Forrester este hecho se tiene en cuenta haciendo que el depósito de la variable
Calor vacíe en el de Energía interna. Ello da lugar a una recta de pendiente negativa para el calor:
Este aporte de energía provocará un aumento de la energía interna mientras no se produzca el cambio
de estado, es decir, cada vez tendremos moléculas de agua líquida con mayor valor de energía interna,
y moviéndose más rápido. Nosotros podemos observar el aumento de temperatura que se produce en el
sistema.
Cuando llegamos al valor de temperatura de ebullición del agua (100°C a presión atmosférica) se
produce el cambio de estado y observamos que la temperatura del sistema permanece constante. Esto
quiere decir que la energía interna del sistema también lo es, como se observa en una de las gráficas
obtenidas:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 25
Pero no hemos dejado de aportar calor, ¿en qué se invierte entonces? Tendremos que tener en cuenta
otro factor:
Cuando una sustancia cambia de estado líquido a estado gaseoso, sus moléculas se separan, debido a la
ruptura de las fuerzas de atracción que existían entre ellas para mantenerlas unidas en estado líquido.
Es este aumento de distancia el que debe indicar la gráfica de la variable Distancia_entre_moleculas
del diagrama de Forrester.
Para percibir esto no hay más que darse cuenta de lo que ocurre cuando una olla con agua empieza a
hervir y se acumula el gas bajo la tapa: la tapa empieza a saltar.
El trabajo de expansión realizado por un kilogramo de agua líquida al pasar a estado gaseoso es de
unos 172 kJ y esto quiere decir que en el intervalo de tiempo en el que se produce el cambio de estado
el calor aportado se utiliza en realizar este trabajo de expansión, sin que haya aumento de la energía
interna en este período.
Los 172 kJ se calculan del siguiente modo:
La densidad del agua líquida tiene un valor de 0,973 g/cm 3. Entonces 1000 g de agua líquida tendrán
un volumen de 1027,8 cm3 o 1,03 litros.
Por otro lado, cuando el agua pasa a estado de gas podemos considerar que se trata de un gas ideal y
por tanto aplicar la ecuación de los gases ideales para calcular el volumen que tendrá 1 kg de agua en
estado gaseoso:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 26
V=
En esta fórmula:
nRT
P
n es el número de moles de agua, en nuestro caso 55,5 5̂ moles
R la constante de los gases, con valor 0,082
atm⋅l
mol⋅K
T la temperatura de ebullición 100ºC = 373 K
P la presión atmosférica 1 atm = 101300 Pa
Sustituyendo los valores obtenemos un valor de volumen, para 1000 g de agua en estado vapor, de
1699,2 litros o 1,70 m3.
W =P⋅Δ V , donde ΔV es
Para calcular el trabajo de expansión debemos sustituir en la fórmula:
la variación de volumen experimentado por el agua al cambiar de estado, en nuestro caso 1698,2 litros
o 1,698 m3.
Así el trabajo de expansión resulta ser: W = 101300 Pa · 1,698 m3 = 172007 J = 172 kJ
En 1 kilogramo de agua líquida el valor de energía interna que deben tener las moléculas para
producirse el cambio a estado gaseoso es de 2112 kJ. Como nosotros hemos aportado un calor de 2400
kJ, y es un valor mayor, podremos observar como a partir de ese valor el calor aportado se emplea en
realizar el trabajo de expansión.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 27
La distancia aproximada entre las moléculas de agua cuando se encuentran en estado líquido es de 2,8
Å, esto es 2,8· 10-10 m. Cuando se produce el cambio de estado a gas, esta distancia va aumentando, al
igual que el trabajo de expansión, hasta valores de 18 Å o superiores para los que se considera que las
moléculas están totalmente desligadas unas de otras.
Cuando la energía interna alcanza el valor de 2112 kJ, en ese mismo instante, la distancia entre
moléculas empieza a aumentar, con lo que el volumen también aumenta y empieza a realizarse un
trabajo de expansión. A partir de este punto la energía interna permanece constante y tanto la distancia
entre moléculas como el trabajo pasan de tener un valor constante a producirse un aumento lineal en
ambos. Esta situación se mantendrá hasta que se produzca el cambio de estado en todas las moléculas
que forman el sistema.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 28
Cómic: “Evaporación del agua”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 29
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 30
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 31
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 32
Código de la simulación en Forrester: “Evaporación del agua”
d=Deposito(svg, "deposito1394986098266",270,348);
Deposito_setTexto(d, "Calor");
d._valor_inicial=2500;
d._valor_maximo=2500;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=false;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394986192262",495,346);
Deposito_setTexto(d, "Trabajo");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=1;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=false;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394986316895",379,212);
Deposito_setTexto(d, "Energia_interna");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=2111;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=false;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394986513714",661,208);
Deposito_setTexto(d, "Distancia_entre_moleculas");
d._valor_inicial=28;
d._valor_maximo=1000;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394986562697","deposito1394986316895","deposito1394986513714");
d._ecuacion="Energia_interna>=2111?1.0:0.0";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394986652618","deposito1394986316895","deposito1394986192262");
d._ecuacion="Energia_interna>=2111?1.0:0.0";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394986697538","deposito1394986098266","deposito1394986316895");
d._ecuacion="1.0";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=2500;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=10;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 33
Proyecto 3: “Evolución del aprendizaje”
En nuestro trabajo de matemáticas hemos intentado simular los cambios que producen las distintas
memorias con el paso del tiempo y el tiempo de estudio realizado. Hemos metido diferentes funciones
de escalón en todos los grifos (en las que cuando el depósito se vacía el grifo se cierra) y nos ha dado
un buen resultado ya que hemos podido realizar con éxito las simulaciones.
Los factores más importantes que han influido en este trabajo han sido:
•
El olvido; es la única gráfica creciente, si nos fijamos bien podemos observar que tiene tres
pendientes: la primera pendiente corresponde al vaciado de la memoria a corto plazo que es un
proceso más rápido, la segunda corresponde al vaciado de la memoria a medio plazo más lento
que la anterior y la tercera y última pendiente corresponde a un vaciado lento de la memoria a
largo plazo. Estas subidas de la pendiente quieren decir que si dejas toda la materia que tengas
que estudiar para el último día ,al final, vas a acabar olvidándolo más rápido ,pero en cambio, si
estudias una, dos o tres semanas antes del examen o incluso llevas un estudio constante, todo lo
que has estado estudiando va a perdurar mucho más tiempo.
•
El estudio; es una gráficas decreciente en la que al dejar de estudiar provoca el descenso de la
memoria a largo plazo y el aumento de el olvido.
•
La memoria a corto plazo (MCP); su pendiente es decreciente después de un día de estudio y
provoca una subida considerable del olvido.
•
La memoria a medio plazo (MMP); su pendiente es al igual que la MCP decreciente
provocando la subida de la pendiente del olvido.
•
La memoria a largo plazo (MLP); consta de dos pendientes: la primera es una pendiente
creciente positiva, que disminuye tras la caída de la MMP y luego decrece con una pendiente
negativa, provocando una subida del olvido.
Valor de los grifos
Las variables que simulan nuestros parámetros de control se conectan entre sí como indica la figura del
diagrama de Forrester. En las funciones que introdujimos en los grifos, hemos procurado que se
cumpla:
Memoria corto plazo: un 70% de la memoria a corto plazo vacía en el olvido, y el 30% restante vacía
en la memoria medio plazo.
Memoria medio plazo: un 20% de la memoria vacía en el olvido y el 80% restante vacía en la memoria
a largo plazo.
Estudio: un 80% del estudio desemboca en la memoria medio plazo y el 20% restante desemboca en la
memoria a largo plazo (desemboca menos cantidad del estudio en la MLP debido a que en ésta se
realiza un estudio diario o continuo).
Memoria largo plazo: un 10% desemboca en el olvido, y el 90% restante se mantiene en si misma,
simulando los conocimientos realmente asimilados.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 34
Si en la variable estudio introducimos un 2, estamos simulando a un alumno que estudia solo 2 días. Si
el tiempo total de evaluación del aprendizaje es de 10 días, se obtienen las siguientes gráficas para los
tres tipos de memorias junto con el olvido y el estudio:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 35
Estas gráficas son funciones compuestas por tramos de rectas donde:
La azul (memoria a corto plazo) cae a cero tras el primer día junto con parte de la memoria a medio
plazo, motivo por el que la pendiente del olvido es especialmente alta justo al principio.
El segundo día termina de vaciarse la memoria a medio plazo, lo que determina una pendiente positiva
pero menor para el incremento del olvido.
A partir del segundo día, el alumno deja de estudiar (la variable estudio cae a cero), y justo a partir de
ese momento comienza el vaciado de la memoria a largo plazo. Ello explica el pico que tiene el
segundo día, pues hasta ahí había sido creciente. Por esta razón la pendiente del olvido aumenta y
seguirá haciéndolo hasta que el estudiante descargue por completo todos los contenidos acumulados a
largo plazo. Nos pareció curioso determinar cuánto tiempo tarda en olvidarlo todo, por lo que
repetimos esta simulación aumentando el tiempo hasta 25 días. Los resultados, que presentamos en la
gráfica que viene a continuación indican que 18 días después de haber dejado de estudiar, ya no se
recuerda nada.
Cuando se ha olvidado todo por falta de estudio, termina el vaciado, por lo que la gráfica del olvido se
hace constante. Ya no crece, pues no hay nada que olvidar.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 36
Influencia de una enfermedad sobre el aprendizaje
Hemos querido comprobar como se modifican estas gráficas si simulamos a una persona que enferma
de algún modo relacionado con la forma en la que recordamos los conocimientos. Podría ser el caso de
alguien que recibe un golpe en la cabeza debido a un accidente, sufre un derrame cerebral, Alzheimer,
algunos casos de demencia senil o cualquier otra situación similar.
Si suponemos que esta dolencia actúa como una variable que suponga un vaciado adicional de la
memoria a largo plazo, nuestro diagrama de cajas en Forrester y las gráficas se alteran así:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 37
Los factores más destacados en esta gráfica son los siguiente:
La memoria a largo plazo se llena menos que en ausencia de la enfermedad y decae como parte de la
rama de una hipérbola equilátera a partir del séptimo día. Es entonces cuando la pendiente del olvido
decrece hasta anularse porque ya no hay nada que olvidar.
En los casos de este tipo de evolución se suele hablar de:
Amnesia:es la ausencia de recuerdos de un período determinado de la vida.
Hipomnesia: es la disminución de la capacidad de la memoria debido a una dificultad tanto en la
adherencia del recuerdo como el recuerdo en sí. Se observa en personas psiquiátricamente sanas con
preocupaciones que acaparan la atención.
Hipermnesia: es la hiperactividad de la memoria, frecuente en pacientes maníacos y en sujetos con un
entrenamiento especial de la memoria.
Curiosidades sobre la memoria
La curva del olvido nos dice:
Todo material aprendido corre el riesgo de ser olvidado, tarde o temprano. El investigador de la
memoria Hermann Ebbinghaus presentó en 1885 los resultados de un experimento que demostraba
que, apenas dos días después, el educando no podía reproducir las dos terceras partes de los
contenidos.
Lo que significa que en las primeras horas después de haber estudiado se olvida más deprisa que en las
posteriores.
Curiosidades:
Efecto Google: Se denomina así a la tendencia a olvidar información que se puede encontrar
fácilmente en Internet utilizando motores de búsqueda como Google, en vez de esforzarse en
recordarlo.
Causas del olvido:
•Caducidad: los datos almacenados pueden ir olvidándose con el tiempo. Y esto tiene un sentido en los
plazos corto y medio, ya que es la manera de que no lleguen a olvidarse por completo. Pero no
podemos explicar el hecho de que se olviden cosas que estaban almacenadas en la memoria a largo
plazo, ya que su capacidad es prácticamente ilimitada.
•Problemas de acceso: a veces no podemos acceder al contenido de la memoria por el estrés. Esto se
puede remediar realizando ejercicios diarios de memoria.
•Eliminación: Aparece en el caso de informaciones dolorosas, frustrantes y molestas y cuando se han
vivido situaciones extremas o traumáticas. Por suerte no son cosas que suceden con frecuencia. De
todos modos, algunas experiencias y recuerdos desagradables pueden emplearse para mejorar la
memoria.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 38
Cómic: “Evolución del aprendizaje”
Nuestra historia trata sobre un superhéroe que intenta que un supervillano llamado Dr. Olvido no
domine el mundo mediante la “ignorancia” de la gente.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 39
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 40
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 41
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 42
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 43
Código de la simulación en Forrester: “Evolución del aprendizaje”
d=Deposito(svg, "deposito1393954271833",276.5,80.5);
Deposito_setTexto(d, "memoria_corto_plazo");
d._valor_inicial=1;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954351017",274.5,204.5);
Deposito_setTexto(d, "memoria_medio_plazo");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=5;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954432326",275.5,322.5);
Deposito_setTexto(d, "memoria_largo_plazo");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=7300;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954552693",703.5166625976562,201.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "olvido");
d._valor_inicial=1.1;
d._valor_maximo=100;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954764836",78.51666259765625,250.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "estudio");
d._valor_inicial=7;
d._valor_maximo=100;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954641858","deposito1393954271833","deposito1393954351017");
d._ecuacion="0.3*escalon(memoria_corto_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954659069","deposito1393954351017","deposito1393954432326");
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 44
d._ecuacion="0.8*escalon(memoria_medio_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954803766","deposito1393954271833","deposito1393954552693");
d._ecuacion="0.7*escalon(memoria_corto_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954832342","deposito1393954351017","deposito1393954552693");
d._ecuacion="0.2*escalon(memoria_medio_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954837135","deposito1393954432326","deposito1393954552693");
d._ecuacion="0.1*escalon(memoria_largo_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954850168","deposito1393954764836","deposito1393954351017");
d._ecuacion="0.8*escalon(estudio)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954855044","deposito1393954764836","deposito1393954432326");
d._ecuacion="0.2*escalon(estudio)";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=10;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=0.1;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 45
Código de la simulación en Forrester: “Efectos de una enfermedad sobre el
aprendizaje”
d=Deposito(svg, "deposito1393954271833",276.5,80.5);
Deposito_setTexto(d, "memoria_corto_plazo");
d._valor_inicial=1;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954351017",274.5,204.5);
Deposito_setTexto(d, "memoria_medio_plazo");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=5;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954432326",275.5,322.5);
Deposito_setTexto(d, "memoria_largo_plazo");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=7300;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954552693",703.5166625976562,201.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "olvido");
d._valor_inicial=1.1;
d._valor_maximo=100;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1393954764836",78.51666259765625,250.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "estudio");
d._valor_inicial=7;
d._valor_maximo=100;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395480560742",603.5166625976562,412.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Enfermedad");
d._valor_inicial=0;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 46
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954641858","deposito1393954271833","deposito1393954351017");
d._ecuacion="0.3*escalon(memoria_corto_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954659069","deposito1393954351017","deposito1393954432326");
d._ecuacion="0.8*escalon(memoria_medio_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954803766","deposito1393954271833","deposito1393954552693");
d._ecuacion="0.7*escalon(memoria_corto_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954832342","deposito1393954351017","deposito1393954552693");
d._ecuacion="0.2*escalon(memoria_medio_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954837135","deposito1393954432326","deposito1393954552693");
d._ecuacion="0.1*escalon(memoria_largo_plazo)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954850168","deposito1393954764836","deposito1393954351017");
d._ecuacion="0.8*escalon(estudio)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1393954855044","deposito1393954764836","deposito1393954432326");
d._ecuacion="0.2*escalon(estudio)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395480592950","deposito1393954432326","deposito1395480560742");
d._ecuacion="0.9*memoria_largo_plazo*escalon(memoria_largo_plazo)";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=10;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=0.1;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 47
Proyecto 4: “Metabolismo de la glucosa”
En este trabajo hemos simulado la evolución del azúcar en sangre a lo largo de un día cuando una
persona ingiere 7000 calorías simuladas a través de 1750 g de azúcar (4 cal/g) a lo largo de 4 comidas:
1ª) Desayuno (media hora).
2ª) Comida (1 hora).
3ª) Merienda (1 hora).
4ª) Cena (1 hora).
Para distribuir estas 7000 cal de forma equitativa entre las cuatro comidas, dividimos: 7000/210, que es
el tiempo total en minutos que duran todas las comidas.
En el diagrama de Forrester hemos incluido las siguientes variables:
a) Consumición de hidratos de carbono (para dar de comer al individuo que estamos simulando).
b) Glucemia: nivel de glucosa en sangre.
c) Actividad cotidiana (energía consumida a lo largo del día debido a las funciones vitales y la
realización de una jornada laboral normal).
d) Deporte (energía consumida en éste).
e) Glucógeno: polisacárido de reserva energética para almacenar el exceso de azúcar en el hígado y los
músculos. En la simulación funciona por tanto, como un sumidero de azúcar, al igual que la actividad
cotidiana y el deporte.
f) Grasa: modo en el que el cuerpo acumula el exceso de azúcar cuando las reservas de glucógeno ya
están completas.
g)Tiempo: variable incluida implícitamente en todas las simulaciones. Simularemos un día en pasos de
1 minuto (1440 min en total).
Estas variables están representadas en cajas que vacían unas en otras teniendo en cuenta el modo en el
que el cuerpo regula el nivel de azúcar en sangre. Así por ejemplo la glucemia en un metabolismo
normal (no diabéticos) no puede descender de 85 mg/dl. Si por alguna razón (actividad cotidiana o
ejercicio excesivo) ocurre esto, las reservas del glucógeno vacían en la glucemia y al contrario; si la
glucemia supera los 185 mg/dl vacía en el glucógeno, que es un polisacárido de reserva energética
acumulado en el hígado y los músculos. Si el glucógeno sobrepasa los 300 gramos, su depósito vacía
en el de la grasa. Toda esta actividad viene regulada por dos hormonas producidas en el páncreas: la
insulina y el glucagón. El vaciado de cada uno de los grifos depende de la funciones que hemos usado:
Consumición de carbohidratos----Glucemia: función Paso. La variable consumición de
carbohidratos vacía en la otra si el tiempo está entre una unidad y otra. Desayuno(8-9h; 210-240min),
comida(14-15h; 840-900min), merienda(18-19h; 1080-1140min) y cena (21-22h; 1260-1320min).
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 48
Glucemia---Actividad cotidiana: función Constante. Se vacían a lo largo del día 2000 calorías.
Glucemia---Deporte: función Paso.
determinado(11-11:30h;660-690min).
Consume
400
calorías
dentro
de
un
tiempo
Glucemia---Glucógeno: condición If y función Escalón. La condición para que cuando llegue a un
valor vacíe en el glucógeno(si la Glucemia llega a 180 vacía y si no llega a 180 no vacía) El escalón
para que no vacíe en números negativos.
Glucógeno---Glucemia: condición If y función Escalón. La condición para que cuando llegue a un
valor la glucemia relativamente bajo vacíe en esta.
Glucógeno---Grasa: función Escalón. Cuando sobrepasa un límite vacía en la grasa y hace que no
vacíe más de lo debido.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 49
Las gráficas obtenidas muestran que cuando hay subidas de glucemia es debido a las comidas,por la
ingesta de carbohidratos. También se ve un pequeño mínimo que aparece por la realización de deporte.
Sin embargo, todos estos excesos (máximos en pico) o bajadas (mínimo), vuelven a estabilizarse en un
valor constante (tramos horizontales) de unos 90 mg/ml en sangre.
En la segunda podemos ver que a la curva del glucógeno llega al máximo de 300 g, situación a partir
de la cual comienza el almacenamiento del exceso de azúcar en grasa. Ello corresponde con lo que
sabemos que ocurre en la realidad: cuando ingerimos más azúcar de la que gastamos, se engorda.
También vemos que cuando la glucemia baja, el glucógeno también lo hace para estabilizar a ésta.
Así hemos usado las matemáticas para simular una situación de la vida real en un organismo normal,
no diabético.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 50
Cómic: “Metabolismo del azúcar”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 51
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 52
Código de la simulación en Forrester: “Metabolismo del azúcar”
d=Deposito(svg, "deposito0",180.5,251.5);
Deposito_setTexto(d, "Consumicion_carbohidratos");
d._valor_inicial=7000;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1",555,248);
Deposito_setTexto(d, "Glucemia");
d._valor_inicial=70;
d._valor_maximo=180;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=85;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito2",654.5,396.5);
Deposito_setTexto(d, "Glucogeno");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=300;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito3",845.5,250.5);
Deposito_setTexto(d, "Deporte");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito4",767.5,73.5);
Deposito_setTexto(d, "Actividad_diaria");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=2000;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito5",907.5,401.5);
Deposito_setTexto(d, "Grasa");
d._valor_inicial=0;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 53
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo0","deposito0","deposito1");
d._ecuacion="7000.0/4/210*((Tiempo>=480&&Tiempo<=510)?
1.0:0.0)+7000.0/4/210*((Tiempo>=840&&Tiempo<=900)?
1.0:0.0)+7000.0/4/210*((Tiempo>=1080&&Tiempo<=1140)?
1.0:0.0)+7000.0/4/210*((Tiempo>=1260&&Tiempo<=1320)?1.0:0.0)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1","deposito1","deposito4");
d._ecuacion="2000.0/4/1440";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo2","deposito1","deposito3");
d._ecuacion="400.0/4/30*((Tiempo>=660&&Tiempo<=720)?1.0:0.0)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo3","deposito1","deposito2");
d._ecuacion="(Glucemia>180?4.0:0.0)*escalon(Glucemia)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo4","deposito2","deposito5");
d._ecuacion="escalon(Glucemia>160)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo5","deposito2","deposito1");
d._ecuacion="(Glucemia<80?1.0:0.0)*escalon(Glucogeno)";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=1440;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=0.5;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 54
Proyecto 5: “La tortuga Laúd”
Características generales
Su nombre científico es Dermochelys coriácea y también se la conoce como Tortuga Baula.
La tortuga laúd es la única tortuga marina sin caparazón duro, éste es flexible y está cubierto por piel y
carne grasa. Esta tortuga es de color oscuro con manchas blancas y rosadas y las hembras se pueden
diferenciar de los machos por ser más grandes.
Cuentan con el diseño más hidrodinámico de todas las tortugas marinas gracias a su gran caparazón en
forma de lágrima.
Su tiempo de vida exacto se desconoce, puesto que los machos nunca regresan a tierra, pasando toda su
vida en el mar, aunque se cree que pueden llegar a vivir hasta los 80 años.
Es la tortuga más grande del mundo con una longitud media de 1,6 metros y su peso oscila entre los
300 y los 600 kilos. La cabeza es muy grande y suele suponer hasta un 20 % de la longitud total del
caparazón y sus aletas delanteras son muy poderosas pudiendo llegar a medir 2 metros, aunque carecen
de uñas.
La tortuga laúd es la especie que puede bucear a mayor profundidad y que está presente en más lugares
del mundo de entre todas las tortugas marinas. Una inmersión normal puede durar alrededor de 15
minutos y aunque no suele descender a más de 200 metros de profundidad se han registrado
inmersiones de más de 1000 metros.
Se encuentran a través de todos los mares del mundo,
principalmente en las aguas pelágicas de los océanos templados y tropicales así como en las aguas frías
subárticas.
Tienen una característica curiosa, ya que al carecer de dientes, la estructura de la mandíbula que tiene
forma de “W”, ejerce la función de estos y, además, se aprovecha de unas púas invertidas en la zona
del esófago que impiden que sus presas escapen de su boca. Estas son dos características que le
marcan una dieta especializada en animales de cuerpos suaves, como son las medusas. Es importante
destacar que no les afectan las toxinas venenosas presentes en estos animales, como por ejemplo la
“fragata portuguesa”.
Las hembras realizan un promedio de 5 a 9 nidadas por año, en intervalos de unos 10 días. Estas
nidadas ocurren cada 2 o 3 años. Las anidaciones ocurren durante la noche y las hembras prefieren
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 55
playas con plataforma continental reducida, con acceso fácil, libres de rocas pero con corrientes
fuertes y oleaje alto. En cada nido, una hembra deposita una media de 80 huevos que tardarán
aproximadamente 65 días en eclosionar. Al igual que en otras especies de tortugas marinas, la
incubación a temperaturas más altas favorece la producción de hembras.
Como todas las tortugas marinas, las laúd pasan más del 90% de su vida en el agua. Es habitual por
tanto que realicen largas migraciones. Por eso para garantizar su protección es necesario saber más
sobre sus rutas migratorias.
Las amenazas principales que acechan a las tortugas laúd son la pesca en general, el robo de sus
nidadas y la captura directa de tortugas, así como la destrucción y la alteración de su hábitat de
anidación.
Simulación en Forrester
Con este trabajo queremos representar la variación de la población de tortugas laúd. En Forrester el
principal elemento es una variable llamada “población de tortugas”. Esta es modificada por la
influencia de otras variables que hacen que el número de ejemplares varíe. Entre ellas se encuentran la
caza furtiva, los depredadores, el número de crías y el alimento. Todas ellas influyen en la población
mediante una serie de funciones guardadas en grifos que indican el momento y la cantidad de
ejemplares que mueren a causa de estas. La vista general sería la siguiente:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 56
La función del grifo que conecta la caza furtiva y la población nos indica que el mayor número de
muertes por caza furtiva se produce durante los meses de desove. En la función aparece el numero de
ejemplares supervivientes, siendo uno de cada mil; y el de huevos, siendo de 1/5 del total. Y después
dividimos entre 240, que corresponde al número de días que hay en los 4 meses de puesta. El resultado
sería así: (Tiempo>=181&&Tiempo<=421)?1000/5000/240:0.0
En el grifo entre los depredadores y la población quiere decir que un 70% de la población muere a
causa de los ataques de zorros, mapaches, cangrejos que se comen los huevos enterrados y tiburones
que se alimentan, entre otras cosas, de las tortugas que han llegado al mar. Este sería el resultado:
(Tiempo>=181&&Tiempo<=421)?0.7*poblacion_de_tortugas_marinas/240:0.0
En el de las crías, se representa el número de crías que se suman a la población de tortugas siendo la
función:
(Tiempo>=150&&Tiempo<=180)?2*0.3*poblacion_de_tortugas_marinas/30
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 57
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 58
Y por último nos quedaría el grifo que conecta con el alimento, en este caso las medusas. En este caso,
la función sería constante ya que si aumenta el número de medusas, aumenta en la misma proporción el
de tortugas. La función sería:
1.0*(poblacion_de_tortugas_marinas)
En esta variable vacía otra llamada plancton. La función del grifo es igual que la de antes (constante):
1.0*(medusas)
En el gráfico se verá el resultado final de la población de tortugas laúd durante el periodo de tiempo de
un año, con un paso temporal de un día.
En este trabajo la pendiente de la recta del gráfico de la población de tortugas marinas es creciente
(pasa de 1.500 ejemplares a 2.000) pero más tarde será constante ya que al llegar a los 2.000
ejemplares, se mantiene a pesar de la caza furtiva.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 59
Cómic: “La tortuga Laúd”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 60
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 61
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 62
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 63
Código de la simulación en Forrester: Evolución del aprendizaje
d=Deposito(svg, "deposito1394035950981",381.51666259765625,275.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "poblacion_de_tortugas_marinas");
d._valor_inicial=1504;
d._valor_maximo=2000;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394035980662",85.51666259765625,177.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "crias");
d._valor_inicial=413600;
d._valor_maximo=41500;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394036030469",273.51666259765625,100.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "caza_furtiva");
d._valor_inicial=1082;
d._valor_maximo=1200;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394036033717",235.51666259765625,510.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "depredadores");
d._valor_inicial=270;
d._valor_maximo=300;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 64
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394036037485",589.5166625976562,397.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "medusas");
d._valor_inicial=800000;
d._valor_maximo=1000000;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1394036213270",793.5166625976562,357.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "plancton");
d._valor_inicial=20000000;
d._valor_maximo=50000000;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394036261550","deposito1394036037485","deposito1394035950981");
d._ecuacion="1.0*(medusas)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394036270877","deposito1394036213270","deposito1394036037485");
d._ecuacion="1.0*(medusas)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1394122267252","deposito1394035980662","deposito1394035950981");
d._ecuacion="(Tiempo>=181&&Tiempo<=421)?1000/5000/240:0.0";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395247762436","deposito1394035950981","deposito1394036033717");
d._ecuacion="(Tiempo>=181&&Tiempo<=421)?0.7*poblacion_de_tortugas_marinas/240:0.0";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395247766180","deposito1394035950981","deposito1394036030469");
d._ecuacion="0.05*poblacion_de_tortugas_marinas";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=365;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=1;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 65
Proyecto 6: “El ciclo del Carbono”
El ciclo del carbono son las transformaciones químicas de compuestos que contienen carbono
en los intercambios de la atmósfera entre biosfera, atmósfera, hidrosfera, y litosfera. Es un
ciclo de vital importancia para la vida de todos los seres vivos ya que de él depende la
producción de materia orgánica, que es el alimento base de todos los seres vivos.
El carbono es un componente esencial para los seres vivos de nuestro planeta, tanto en los
vegetales como en los animales.
La reserva fundamental de carbono se encuentra en la atmósfera y en la hidrosfera, en
moléculas de CO2 que los seres vivos pueden asimilar.
La vuelta de CO2 a la atmósfera se realiza con la respiración, cuando los seres vivos oxidan los
alimentos produciendo CO2. En el conjunto de la biosfera la mayor parte de la respiración la
hacen las raíces de las plantas y los organismos del suelo y no, como podría parecer, los
animales más visibles.
Los productos finales de la combustión son el CO 2 y el vapor de agua. La emisión de ambos en
exceso a la atmósfera, por parte de fábricas y automóviles ha alterado notablemente este ciclo,
introduciendo un exceso de dióxido de carbono en la atmósfera con consecuencias negativas
para el medioambiente, como el efecto invernadero y sus consecuencias: aumento de la
temperatura global del planeta, deshielo de los polos, etc. Este incremento hasta 395 ppm en la
atmósfera, ocurrido a lo largo de los últimos 200 años es el que hemos logrado reproducir en
nuestra simulación.
Simulación del ciclo con un diagrama de Forrester
En este trabajo hemos simulado el ciclo del carbono mediante ecuaciones.
Hemos hecho un diagrama de cajas en el programa Forrester, en el que explicamos las
emisiones de CO2 a la atmósfera, el papel de los seres vivos en este proceso diferenciando el
que juegan las plantas del resto de seres vivos y la influencia de los seres humanos en todo ello.
Los grifos que conectan las variables simulan el ciclo haciendo que los seres vivos vacíen en el
CO2 de la atmósfera (durante la respiración), en el suelo (como sustancias de desecho cuando
mueren).
En el grifo que conecta seres vivos con CO2 ha sido útil introducir una función periódica como
el seno. La elevamos al cuadrado para evitar valores negativos y hemos de decir que sin este
tipo de función, no conseguíamos el resultado esperado. Para que el ordenador la entienda, hay
que escribirla así:
1.0*pow(sin(co2_atmosfera),2)
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 66
Por otra parte, el CO2 de la atmósfera vacía en la fotosíntesis (las plantas lo necesitan para
hacerla), y la conexión entre la variable suelo y la fotosíntesis es de doble sentido (las plantas
toman sales minerales del suelo para alimentarse y vuelven a él cuando mueren). Este ciclo
constituye un equilibrio natural que se rompe por añadidura de la variable emisiones, que
representa al CO2 producido por efecto de la actividad humana: fábricas, combustión de
hidrocarburos en los automóviles, etc. Es por ello una variable extraña que vacía en el CO2 de
la atmósfera.
Al simular 200 años en pasos de 1 año, nuestra gráfica principal representa la de la cantidad de
CO2 en la atmósfera a lo largo del tiempo.
En ella podemos observar que la cantidad de CO 2 que hay en la atmósfera, ha ido aumentando
a lo largo de los años. Este aumento se debe a las emisiones de dióxido de carbono procedentes
de las fábricas, coches y otras fuentes de contaminación producidas por los seres humanos. Si
suponemos que el año 200 es el 2014, el 120, que es cuando comienza a subir la concentración
de CO2 equivale a 1934. Con la segunda revolución industrial ya bien implantada, el hombre
inicia una era de avance tecnológico de la que se derivan nuevas comodidades, que se han
incorporado progresivamente a nuestras vidas. Ello ha supuesto un precio medioambiental:
aumento de la concentración de CO2 , lluvia ácida, destrucción de la capa de ozono, etc, que
introduce una pregunta de reflexión en nuestras vidas:
¿Viviremos realmente más cómodos si destruimos el equilibrio natural que nos sustenta?. Para
avanzar hay que pensar que la energía, los móviles y el dinero no se pueden comer.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 67
Representándola cantidad de CO2 en la atmósfera, la fotosíntesis que realizan las plantas y la
emisiones de CO2 a la atmósfera por contaminación, se obtiene:
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 68
En ella podemos observar cómo al incrementarse la cantidad de CO 2 en la atmósfera, los seres
humanos han sido conscientes del peligro que ello suponía y han ido disminuyendo la cantidad
de CO2 emitido. En el gráfico, al final de estas dos lineas, los tramos están estabilizados en un
valor constante, lo que indica que las emisiones en la actualidad son constantes y eso provoca
que el nivel de CO2 en la atmósfera no siga aumentando.
En la cantidad de CO2 de la atmósfera, la pendiente es creciente desde el año 125 al 190,
porque el CO2 en la atmósfera aumenta durante esos 65 años. La pendiente, ya calculada, es 1.
CALCULOS:
A=(125,325)
m=
400−325 75
= =1.25≈1
185−125 60
B=(185,400)
En las emisiones a la atmósfera, la pendiente es decreciente, ya que desde el año 125 al
190 las emisiones han ido disminuyendo progresivamente. La pendiente es -1.
CALCULOS:
A=(125 ,80)
m=
185−125 60
=
=−1
10−80
−60
B=(185,10)
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 69
Cómic: “El ciclo del Carbono”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 70
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 71
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 72
Código de la simulación en Forrester: “El ciclo del Carbono”
d=Deposito(svg, "deposito1395161398497",338.5,130.5);
Deposito_setTexto(d, "co2_atmosfera");
d._valor_inicial=330;
d._valor_maximo=395;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395161443761",362.5,47.5);
Deposito_setTexto(d, "emisiones");
d._valor_inicial=80;
d._valor_maximo=100;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395161676376",145.5,213.5);
Deposito_setTexto(d, "seres_vivos");
d._valor_inicial=1000;
d._valor_maximo=1200;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395161847439",615.5,218.5);
Deposito_setTexto(d, "fotosintesis");
d._valor_inicial=700;
d._valor_maximo=800;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395162062444",499.51666259765625,488.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "suelo");
d._valor_inicial=100;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=true;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395161673432","deposito1395161443761","deposito1395161398497");
d._ecuacion="(Tiempo>=125&&Tiempo<=190)?1.0*escalon(emisiones):0.0";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395162055523","deposito1395161676376","deposito1395161398497");
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 73
d._ecuacion="1.0*pow(sin(co2_atmosfera),2)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395162060737","deposito1395161398497","deposito1395161847439");
d._ecuacion="0.4*escalon(fotosintesis)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395162254371","deposito1395161676376","deposito1395162062444");
d._ecuacion="0.5*seres_vivos*escalon(seres_vivos)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395162261234","deposito1395162062444","deposito1395161847439");
d._ecuacion="1.0";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395475415433","deposito1395161847439","deposito1395162062444");
d._ecuacion="1.4";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=200;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=1;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 74
Proyecto 7: “El ciclo menstrual de la mujer”
Para simular el nivel de estrógenos en sangre de una mujer hemos requerido la ayuda de un programa
llamado Forrester, que nos permite realizar un diagrama de cajas con sus distintos parámetros y
funciones. Hemos realizado una investigación sobre el tema para determinar sus parámetros y
asesorarnos de toda la información que vayamos a usar durante el trabajo.
Nuestro diagrama de cajas es:
El ciclo menstrual de una mujer dura una media de 28 días. Por ello hemos simulado un mes de 30, en
pasos de 1 día.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 75
Los parámetros que hemos utilizado hacen vaciar a los ovarios en la concentración de estrógenos en
sangre durante la segunda semana del mes. Ello se consigue con una función condición en el grifo que
conecta ambas variables:
1.0*((Tiempo>=7&&Tiempo<=14)?52.0:0.0)*escalon(Liberacion_ovarios)
La función escalón se utiliza para que no haya vaciado una vez que se agote el valor de la variable que
deposita en los estrógenos.
Al mismo tiempo, hay que conseguir que el endometrio aumente su grosor. Esta capa tapiza el interior
del útero con células y vasos sanguíneos, para prepararlo para un embarazo si éste se produjese.
En esta gráfica se obtiene el resultado esperado: el nivel de estrógenos en sangre depende del momento
del ciclo menstrual en el que se encuentre la mujer. Al principio una glándula del cerebro, la hipófisis,
ordena una liberación mayor, que inicia la maduración de un folículo en los ovarios. Como
consecuencia se libera un óvulo maduro en una de las trompas de Falopio. La concentración de
estrógenos permanece alta durante unos días, donde hay riesgo de embarazo y luego disminuye cuando
vuelve la regla. Todo ello dura cerca de 1 mes, motivo por el cual es el tiempo que hemos utilizado en
nuestra simulación.
Las pendientes y ecuaciones de los tramos rectos de esta gráfica son:.
El tramo A correspondido entre 0 y 6 del eje X tiene una concentración de estrógeno en sangre de un
26 siendo este periodo un periodo constante del eje Y.
Y= 26
El tramo B correspondido entre 6 y 13 del eje X tiene una concentración de estrógeno en sangre
progresiva desde 26 hasta 450 siendo este, una recta creciente (con pendiente positiva) del eje Y.
Y=60,5 * X -337
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 76
El tramo C correspondido entre 13 y 17 del eje X tiene una concentración de estrógeno en sangre de
un 450 siendo este periodo un periodo constante del eje Y.
Y=450
El tramo D correspondido entre 17 y 26 del eje X tiene una concentración de estrógeno en sangre
regresiva desde 450 hasta 60 siendo este, un periodo decreciente (con pendiente negativa) del eje Y.
Y=-35,5*X+1028,5
El tramo E correspondido entre 26 y 30 del eje X tiene una concentración de estrógeno en sangre de
un 60 siendo este periodo un periodo constante del eje Y.
Y=60
Es un cálculo que hemos hecho en clase, como un problema del tema de funciones.
En la siguiente gráfica vemos mas específicamente el grosor del endometrio femenino. El endometrio
es la capa mucosa que reviste internamente el útero, es una capa muy vascularizada y su principal
función es la de recibir y albergar el embrión Si el óvulo no es fecundado o no existe implantación del
embrión en el útero, la pared del útero (endometrio) se necrosa y se descama al final del ciclo
menstrual produciendo el sangrado que conocemos como regla o menstruación.
El endometrio va aumentando su grosor y se diferencia en 2 capas, una superficial y otra más profunda.
Al final de esta fase puede llegar a medir 6-10mm. La progesterona tiene la función de maduración, en
esta fase las glándulas endometriales aumentan de tamaño y comienzan a secretar moco y una
sustancia nutritiva rica en glicógeno que sirve para preparar el endometrio si hubiera implantación.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 77
Para que exista implantación el endometrio debe estar receptivo, esa fase de receptividad endometrial
dura alrededor de 4 días y se conoce como ventana de implantación .Al final de la fase secretora si no
ha habido fecundación o implantación, alrededor del los días 26-28 del ciclo se produce la
descamación del endometrio, produciendo la regla o menstruación.
En reproducción asistida es aconsejable dados los resultados que se obtienen no realizar transferencias
por debajo de los 7 mm, pues puede dar lugar a fallos de implantación. Sin embargo, es difícil de
evaluar cual sería el grosor adecuado, pero se considera que un grosor igual o por encima de 8 mm
sería apropiado para transferir.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 78
Cómic: “El ciclo menstrual de la mujer”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 79
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 80
Código de la simulación en Forrester: “El ciclo menstrual de la mujer”
d=Deposito(svg, "deposito1395120557600",345.51666259765625,437.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Estrogenos_sangre");
d._valor_inicial=30;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=30;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395120594663",161.51666259765625,280.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Liberacion_ovarios");
d._valor_inicial=1000;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395122026946",497.51666259765625,327.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Menstruacion");
d._valor_inicial=0;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
svg._depositos.push(d);
d=Deposito(svg, "deposito1395122247669",387.51666259765625,200.51666259765625);
Deposito_setTexto(d, "Espesor_endometrio");
d._valor_inicial=4;
d._valor_maximo=0;
d._valor_maximo_ok=false;
d._valor_minimo=0;
d._valor_minimo_ok=true;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 81
svg._depositos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395120705561","deposito1395120594663","deposito1395120557600");
d._ecuacion="1.0*((Tiempo>=7&&Tiempo<=14)?52.0:0.0)*escalon(Liberacion_ovarios)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395121381145","deposito1395120557600","deposito1395120594663");
d._ecuacion="1.0*((Tiempo>16&&Tiempo<=21)?40.0:0.0)*escalon(Estrogenos_sangre)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395122050395","deposito1395120557600","deposito1395122026946");
d._ecuacion="1.0*((Tiempo>=22&&Tiempo<28)?31.0:0.0)*escalon(Estrogenos_sangre)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395122352120","deposito1395120594663","deposito1395122247669");
d._ecuacion="1.0*((Tiempo>=6&&Tiempo<16)?1.0:0.0)*escalon(Liberacion_ovarios)";
svg._grifos.push(d);
d=Grifo(svg, "grifo1395122606067","deposito1395122247669","deposito1395122026946");
d._ecuacion="1.0*((Tiempo>16&&Tiempo<21)?1.5:0.0)*escalon(Espesor_endometrio)";
svg._grifos.push(d);
document.getElementById("ventana_simular_t_total").value=30;
document.getElementById("ventana_simular_t_paso").value=1;
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 82
Dificultades encontradas
Los inicios con el manejo del programa adaptado para los estudiantes fueron algo complejos.
1. Hay que hacer un estudio muy detallado del tema a simular. Al comenzar a trabajar los
estudiantes descubren enseguida que no se puede simular una situación de la que uno no sabe
nada. Y en algunos casos, a pesar de este conocimiento, los resultados se hacen “de rogar” o no
se consiguen del modo esperado. Éste fue el caso del proyecto “La burbuja inmobiliaria”.
Aunque el grupo encargado de este trabajo meditó el tema a fondo, nunca llegaron a casar el
aumento de precio (burbuja) con la caída (reventón) de los últimos años.
2. Los alumnos no solo tienen que descubrir las funciones adecuadas para simular un vaciado que
coincida con lo que ocurre realmente, han de ser capaces de escribirlas con el lenguaje
apropiado para que las entienda el ordenador. Las condiciones para simular un vaciado cuando
ciertos parámetros estuvieran dentro de un cierto intervalo fueron las que más les costaron.
3. Al realizar el cómic para contar su proyecto de un modo más ameno tienden a centrarse en la
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 83
historia olvidando mencionar la parte primordial de este trabajo, que ha sido la simulación con
un diagrama de Forrester. Además, encuentran problemas con el servidor de toondoo, que no
siempre funciona a la perfección: no siempre actualiza los personajes creados y las imágenes
subidas con la suficiente premura.
4. Los estudiantes están acostumbrados a trabajar con Microsoft Word y Excell. Quiero que se
acostumbren progresivamente a utilizar software libre, por lo que les indico cómo descargarse
el paquete ofimático LibreOffice y cómo utilizarlo. Al blog “Matemáticas para Exploradores”
se sube una plantilla de representación gráfica, para que todos hagan las gráficas de su proyecto
con el mismo formato. Unos vídeos explican las dudas que unos y otros me preguntan
continuamente en clase y por e-mail.
5. Las capturas de pantalla que me envían no siempre tienen suficiente resolución y muchas no se
distinguen con claridad en los cómics que van realizando al principio. Resuelto este tema,
decido contarles algún día cómo descargarse Ubuntu a través del ejecutable Wubi.exe para que
puedan contar con multitud de recursos que ofrece esta distribución de Linux y se acostumbren
a su entorno.
6. Algunas de las imágenes que aparecen en este trabajo han sido descargadas de:
www.openclipart.org
de la Wikipedia, o creadas por nosotros mismos.
7. El proyecto del movimiento de las moléculas dentro de un cristal líquido se nos queda en el aire
por falta de tiempo en relación con los plazos del concurso. El grupo que iba a encargarse del
mismo, está saturado con el tema de la glucosa. Por ello, decidimos sacar un proyecto por
grupo, que varios sin profundizar. Como profesora me da pena y ello me impulsa a hacer yo
misma la simulación y contársela a modo de regalo a mis alumnos a través del siguiente cómic.
8. De todas estas dificultades y trabajo, ha surgido un conocimiento detallado sobre cómo
interpretar una función o realizar un trabajo por ordenador utilizando software libre.
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 84
Cómic regalo: “Conmutación de un cristal líquido
Antiferroeléctrico”
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 85
Proyecto matemático: “Simulación dinámica de sistemas con diagramas de Forrester” IES Palas Atenea (Torrejón de Ardoz) 86