capitulo 1 - Diagramasde.com - Diagramas electronicos y

CAPÍTULO 8
FILTROS ACTIVOS
8.0. OBJETIVOS.
• Proyecto y análisis del funcionamiento de filtros paso alta, baja, banda y rechazo de banda.
8.1. CONCEPTO DE FILTRO, VENTAJAS DE LOS FILTROS
ACTIVOS.
Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la
señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro a la representación de las
amplitudes de los armónicos de una señal en función de la frecuencia. Experimentalmente se puede
obtener mediante un analizador de espectros. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento
que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador lo hace con relación a la frecuencia.
En el presente tema estudiaremos los filtros activos que están construidos con circuitos
electrónicos basados en los amplificadores operacionales.
Las ventajas que se pueden enumerar de los filtros activos sobre los pasivos serían:
• Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencias, son voluminosas, pesadas y caras.
• Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples.
• Proporcionan una amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es importante al trabajar con
señales de niveles muy bajos.
• Permiten mucha flexibilidad en los proyectos.
Por otro lado se podrían enumerar una serie de inconvenientes:
• Exigen una fuente de alimentación.
• Su respuesta de frecuencia está limitada por la capacidad de los A.O.’s utilizados.
• Es imposible su aplicación en sistemas de medida y alta potencia (por ejemplo, en los filtros que
emplean los convertidores e inversores construidos con tiristores que se utilizan en la industria).
8.2. CLASIFICACIÓN.
La clasificación de los filtros dependerá del aspecto diferenciador elegido, así, podemos considerar
aspectos como:
- frecuencias atenuadas
- tecnología empleada
- función matemática o aproximación utilizada para proyectar el filtro
Según las frecuencias atenuadas, nos encontramos con:
58 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
• Filtros paso bajo: sólo permite el paso de las frecuencias inferiores a una determinada fc (frecuencia
de corte). Las frecuencias superiores resultan atenuadas.
• Filtro paso alto: deja pasar las frecuencias inferiores a una determinada fc, atenuando las inferiores.
• Filtro pasabanda: permite el paso de las frecuencias situadas dentro de una banda delimitada por una
frecuencia de corte inferior y otra superior. Las frecuencias que están fuera de esta banda son
atenuadas.
• Filtro de rechazo de banda: permite el paso de las frecuencias que se encuentren fuera de la banda
delimitada por dos frecuencias de corte, atenuando las que se encuentren dentro de la banda.
Fig.8.1: Respuesta ideal de los diferentes filtros:
a) paso bajo, b) paso alto, c) paso banda, d) rechazo de banda.
Si consideramos la tecnología empleada, tenemos:
• Filtros pasivos: están construidos exclusivamente con elementos pasivos como resistencias,
condensadores y bobinas. Estos filtros son inviables en bajas frecuencias al exigir inductancias muy
grandes.
• Filtros activos: constan de elementos pasivos asociados a otros activos (A.O.).
• Filtros digitales: estos filtros llevan componentes digitales. La señal analógica es convertida en digital
mediante un sistema de conversión A/D. La señal binaria resultante se trata en el filtro digital y a
continuación se convierte en analógica en un conversor D/A. Estos filtros son útiles para procesar
simultáneamente muchos canales de transmisión. Se pueden definir como programas software.
En el caso de la función matemática utilizada, no creemos interesante entrar en el análisis
matemático y nos limitaremos a exponer las funciones de transferencia de los tipos más comunes:
Butterworth y Chebyshev.
FILTROS PASIVOS
Filtros pasa-baja
La figura 1 representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-baja utilizando una
resistencia y un condensador. Suponiendo que la impedancia de carga del condensador
el elevada, se puede suponer que i2 ≈0,
R
+
i2
i1
V1
C
V2
-
FILTROS ACTIVOS 59
Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y de salida, se obtienen las
ecuaciones:
V
1
V
2

=  R +

I
=
jω C
1
jω C

 I

La ganancia de tensión introducida por el filtro es:
1
V2
1
jωC
=
=
1
V1
jωC (R + 1)
R+
jωC
1
G( jω ) =
(ωCR )2 + 1
Tomando los valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la
tensión de salida V2 del filtro, figura 2. Como se observa, al crecer f la tensión de salida
disminuye y con ella disminuye la ganancia de tensión del sistema, es decir, la
atenuación introducida por el filtro aumenta.
Se denomina frecuencia de corte del filtro, al valor de f que hace que la tensión de salida
V2
V1
V 2 =Ψ(f)
V1
2
BP
V2 del filtro sea igual a 1
f
fc
0
2
de la tensión de entrada V1.
Por consiguiente, para que el filtro eléctrico actúe como un filtro pasa-baja de banda
pasante:
∆f = f c − 0
es necesario diseñar la resistencia y el condensador de tal manera que cumplan las
ecuaciones:
V2
1
=
V1
2
fc =
1
Hz
2πRC
Ejemplo 1:
Diseñar un filtro pasa-baja de frecuencia de corte fc = 100 Hz.
Solución: Adoptando como resistencia el valor R = 1 k, la
capacidad que debe tener el condensador viene dada por la ecuación
60 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
1
2π 1000C
10
C=
µF
2π
100 =
Ahora presentamos la configuración de un filtro eléctrico pasabaja utilizando como componentes una resistencia y una bobina:
L
+
+
i1
R
V1
i 2 =0
-
Las ecuaciones del filtro son:
V2
-
V1 = I (R + jωL )
V2 = IR
V2
R
=
=
V1 R + jωL
1
jωL
1+
R
La ganancia de tensión introducida por el filtro es:
1
G( jω ) =
 ωL 
1+ 

 R 
2
La frecuencia de corte será aquella que haga G(jω) = 1/√2
ωc =
R
L
Ejemplo 2:
Diseñar un filtro pasa-baja de frecuencia de corte 100 Hz, a base de una
resistencia y una bobina.
Solución: tomando como resistencia el valor R= 1k, el valor de la inductancia de
la bobina viene dada por la ecuación:
100 =
L=
1000
2πL
5
H
π
Filtros pasa-alta disipativos.
La figura siguiente representa el esquema de un filtro eléctrico
pasa-alta utilizando como componentes una resistencia y un
condensador:
FILTROS ACTIVOS 61
C
+
i1
i 2 =0
V1
V2
R
Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y salida, se obtienen
las ecuaciones:

1 
I
V1 =  R +
jωC 

V2 = IR
La ganancia de tensión introducida por el filtro es:
V2
R
jωCR
=
=
1
V1
1 + jωCR
R+
jωC
Dando valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de
salida V2 del filtro, figura 5:
V2
V1
V 2 = Ψ( f )
V1
2
BP
0
f
fc
Como se observa, al crecer la frecuencia, la tensión de salida crece hasta alcanzar el
valor de V1 para f=∞. La frecuencia de corte del filtro eléctrico será aquella que hace que
la tensión de salida V2 sea igual a 1/√2 de la tensión V1. Por consiguiente, para que el
filtro eléctrico actúe como un filtro pasa-alta, de banda pasante
∆f = ∞ − fc
es necesario diseñar la resistencia y el condensador de tal manera que cumpla la
ecuación:
V2
1
=
V1
2
de forma que la frecuencia de corte será:
ωc =
1
RC
Ejemplo 3:
Para diseñar un filtro eléctrico pasa-alta, se han elegido los componentes R=
500Ω, C =
10
µF. Determinar la frecuencia de corte del filtro.
2π
Solución: La frecuencia de corte del filtro pasa-alta es:
62 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
fc =
1
= 200 Hz
10 −6
2π 500
10
2π
Si se adoptan como componentes del filtro una resistencia y una bobina, la composición del filtro pasaalta será la representada en la figura 6.
R
+
+
i1
L
V1
V2
i 2 =0
-
-
Las tensiones del filtro son:
V1 = I (R + jωL )
V2 = IjωL
V2
jωL
=
=
V1 R + jωL
jωL
R
jωL
1+
R
de forma que la frecuencia de corte será:
fc =
R
2πL
EJEMPLO 4:
Supongamos que el filtro de la figura 6 disipa 100 vatios, que el amperímetro
mide una corriente I1= 1 A y que L=1/2π H, determinar la frecuencia de corte y la tensión
v1.
Solución: Como I2 ≈0 e I1= 1ª, el valor de la resistencia viene dado por la
ecuación:
RI 2 = 100
R = 100Ω
Al ser L=1/2π H, la frecuencia de corte será:
fc =
R
100
=
= 100 Hz
1
2πL
2π
2π
El valor eficaz de la tensión v1 es:
2
1 

2
V1 = 1 (100 ) +  2π 100
 = 100 2V
2π 

El valor instantáneo de la tensión v1 a la frecuencia de corte es:
v 1 = 200sen100t
Filtros pasa-banda disipativos.
FILTROS ACTIVOS 63
La figura 7 representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-banda, utilizando una
resistencia, una bobina y un condensador.
L
+
+
i1
R
V1
V2
i 2 =0
-
-
Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y de salida, se obtienen
las ecuaciones:


1
V1 = I  jωL +
+ R 
jωC


V2 = IR
V2
R
=
V1 jωL + 1 + R
jωC
Dando valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la
tensión de salida V2 del filtro, figura 8.
V2
V1
V 2 = Ψ( f )
V1
2
BP
0
f c1
fr
f c2
f
Como se observa, a medida que crece la frecuencia, la tensión de salida crece
hasta alcanzar el valor de V1 para una frecuencia, denominada frecuencia de resonancia,
que haga
2πf r L −
2πf r =
1
=0
2πf r C
1
LC
Para valores de f>fr, la tensión de salida del filtro comienza a disminuir hasta
hacerse cero para f=∞. Se denominan frecuencias de corte inferior fc1 y superior fc2, a los
valores de f que hacen que la tensión de salida sea igual a 1/√2 de la tensión de entrada.
Por consiguiente, para que el filtro actúe como un filtro pasa-baja, de banda pasante
∆f = fc 2 − fc1
es necesario diseñar sus componentes de tal manera que se cumpla la ecuación
64 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
V2
1
=
V1
2
Hora bien, como para fc1<fr
1
> 2πfc1L
2πfc1C
se debe resolver la ecuación
1
 1

R 2 + 
− 2πfc1L 
 2πfc1C

2
=
1
2
La expresión de la frecuencia de corte inferios es:
fc1 = −
2
4
R
  +
LC
L
1
R
+
4πL 4π
ahora bien, como para fc2>fr
1
< 2πf c 2 L
2πfc 2C
La expresión de la frecuencia de corte superior es:
f c1
2
4
R 
  +
LC
L
1
R
=
+
4πL 4π
El ancho de banda del filtro eléctrico pasa-baja es:
∆f = f c 2 − f c1 =
R
2πL
Hz
Al suponer que la corriente i2 es despreciable, el filtro eléctrico pasa-banda se comporta como
un circuito serie resonante RLC. El factor de calidad o de sobretensión del filtro, tiene por valor:
Qs =
ωr L
1
=
R
ω r RC
EJEMPLO 5:
Diseñar un filtro eléctrico pasa-banda que tenga un factor de sobretensión Qs= 50,
entre en resonancia a la frecuencia de 1000 Hz, sabiendo que las lecturas del amperímetro y
del vatímetro en la resonancia son A=0.25 A W=50 W. Determinar las frecuencias de corte, el
ancho de anda y las tensiones de salida a las frecuencias de corte.
Solución:
L
C
+
+
V1
V2
R
A
-
-
De las expresiones
2π 1000L
1
=
2π 1000RC
R
2
50 = R 0.25
50 =
FILTROS ACTIVOS 65
se obtiene:
R = 400 Ω
10
L=
H
π
1
C=
µF
40π
Las frecuencias de corte son:
2
fc1 = −
400
4π
10
π
1
+
4π
 400 

 + 4 10 = 900
10 1
 10 
π 40π
 π 
2
fc 2 =
400
4π
10
π
1
+
4π
 400 

 + 4 10 = 1010
10 1
 10 
π 40π
 π 
El ancho de banda es:
∆f = fc 2 − fc11010 − 900 = 20 Hz
A la frecuencia de resonancia
ωr L =
1
ωr C
se tiene
V1 = V2 = RI1 4000.25 = 100 V
Por consiguiente, a las frecuencias de corte tendremos:
V2fc 2 = V2fc 1 =
100
2
= 50 2 V
8.3. RESONANCIA, FACTOR QO Y SELECTIVIDAD.
Utilizando el circuito serie RLC veremos algunos puntos que nos van a ser de utilidad para el
estudio de filtros activos. En dicho circuito la relación (o función de transferencia) entre la tensión en la
resistencia y la de entrada vendrá dada por la expresión :
G( s) =
VR IR R
=
=
Ve IZ Z
(8.1)
Donde Z (impedancia compleja) viene dada por la expresión:
1 

Z i = R + j  wL −


wC 
(8.2)
Se dice que el circuito está en resonancia cuando en al anterior expresión sólo existe parte real, es
decir:
wL −
1
=0 ⇒
wC
w = w0 =
1
(8.3)
LC
y tendremos la máxima corriente en el circuito. En Fig.8.2 se muestra la variación de fase y de ganancia
de este circuito. Nótese que se produce una atenuación de la ganancia por encima y por debajo de la
frecuencia de resonancia w0. Si consideramos los puntos en los que la ganancia a descendido en 0,707 o 3db (pulsaciones de corte), tendremos una banda cuyo ancho viene dado:
66 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
BW = w c 2 − w c1 o BW = f c2 − f c1
(8.4)
Para el cálculo de estos puntos partiremos de :
G( s) =
R
1 

R 2 +  wL −


wC 
2
=
1
2
= 0.707 (8.5)
Fig.8.2: Ganancia y fase del circuito RLC serie.
Se define el factor de calidad para el circuito RLC serie cuando está en resonancia, como
Q0=w0L/R. o Q0=1/(w0CR) Ahora las pulsaciones de corte pueden expresarse en términos de los
elementos del circuito, o de w0 y Q0, de la manera siguiente:


1
1 

wc 2 = w0  1 +
+
2

2
Q
4
Q


0
0



1
1 

−
wc1 = w0  1 +
4Q02 2Q0 


(8.6)
Restando miembro a miembro las anteriores expresiones se tiene:
BW =
w0 2πf 0
=
Q0
Q0
(8.7)
lo que indica que cuando mayor sea el factor de calidad, tanto más estrecho será el ancho de banda, o sea,
mayor será la selectividad del circuito. Adviértase que Q0 es un factor adimensional.
8.4. DISEÑO DE FILTROS.
El diseño o cálculo de filtros consiste en calcular los valores de los componentes que asociados a
un A.O. nos permitirán realizar un filtrado a partir de una frecuencia de corte predeterminada.
Las operaciones para calcular dichos componentes dependerán : de la utilización de células (o
circuitos base) de 1º o 2º orden; que dicha célula sea de Rauch o de Sallen y Key; y por último de las
características que se desea que tenga la respuesta del filtro, por lo que nos encontraremos con filtros :
Butterwoth, Chebyshev, Thomson, elípticos, Cauer, etc.
La célula de 2º orden de un filtro paso bajo posee la siguiente expresión :
FILTROS ACTIVOS 67
H ( s) =
2
donde si consideramos la relación w0
escribir la anterior ecuación del modo :
H ( s) =
H0
s
(8.8)
2
s
+ 2δ
+1
2
w0
w0
= bwc2 (siendo wc la pulsación de corte deseada) podríamos
H0
s
2
bw c2
+ 2δ
s
bw c
(8.9)
+1
El parámetro “b” determinará que el filtro sea Butterworth o Chebyshev si b=1 o b≠1
respectivamente.
En la anterior ecuación el polinomio en “s” del denominador es el que caracteriza a los filtros y
define su comportamiento, operando sobre 8.9 quedaría :
H ( s) =
H 0 bwc2
s 2 + 2δ bwc s + bwc2
(8.10)
Para el punto en que wc=1rad/s el polinomio del denominador queda :
s 2 + 2δ bs + b ≡ s 2 + as + b
(8.11)
polinomio al que se le conoce como polinomio normalizado. Existen tablas de polinomios normalizados
donde se dan para cada orden de filtro los parámetros a y b.
Por otro lado 2δ=1/Q0 que nos relaciona el factor de amortiguamiento y de calidad.
Si deseamos construir un filtro de 3er orden utilizaremos uno de 1º y otro de 2º en serie; para
construir uno de 4º orden conectaremos dos de 2º orden en serie. Esto quiere decir que para el diseño de
un filtro de cualquier orden nos basta conocer dos montajes básicos o células, una de 1º y otra de 2º
orden. Para el cálculo de cada una de estás células deberemos conocer los polinomios de su denominador,
para esto nos serviremos de las tablas 8.1 y 8.2.
Para un filtro Butterworth de 3er orden su denominador sería: [(s+1)(s2+1s+1)]. Si deseamos
construir un filtro Chebyshev de 4º orden y amplitud de rizado de 0.1db, su denominador sería:
[(s2+0.528313s+1.330031)(s2+1.275460s+0.622925)]. Con estos coeficientes podremos calcular los
componentes de cada una de las células.
68 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
Tabla 8.1: Parámetros a
y
b
para
filtros
Butterworth hasta el
octavo orden.
Tabla 8.2: Parámetros a y b para filtros Chebyshev hasta el sexto
orden con rizado de 0.1db, 0.5db, 1db, 2db y 3db de amplitud.
Pueden encontrarse tablas más completas en textos específicos
sobre filtros activos.
n γ
2 0.1
0.5
1.0
2.0
3.0
a
2.372356
1.425625
1.097734
0.803816
0.644900
b
3.314037
1.516203
1.102510
0.823060
0.707948
n γ
5 0.1
3 0.1
0.969406
1/w0
0.626456
1/w0
0.494171
1/w0
0.368911
1/w0
0.298620
1/w0
1.689747
0.969406
1.142448
0.626456
0.994205
0.494171
0.886095
0.368911
0.839174
0.298620
1.0
0.528313
1.275460
0.350706
0.846680
0.279072
0.673739
0.209775
0.506440
0.170341
0.411239
1.330031
0.622925
1.063519
0.356412
0.986505
0.279398
0.928675
0.221568
0.903087
0.195980
n
2
a
1.414214
b
1
3
1
1/w0
1
1
0.765367
1.847759
1
1
0.618034
1.618034
1/w0
1
1
1
0.5
0.517638
1.414214
1.931852
1
1
1
2.0
0.445042
1.246980
1.801938
1/w0
1
1
1
1
0.390181
1.111140
1.662939
1.961571
1
1
1
1
4
5
6
7
8
1.0
3.0
0.5
2.0
3.0
6 0.1
4 0.1
0.5
1.0
2.0
3.0
0.5
1.0
2.0
3.0
8.5. FILTROS DE BUTTERWORTH.
a
0.333067
0.871982
1/w0
0.223926
0.586245
1/w0
0.178917
0.468410
1/w0
0.134922
0.353230
1/w0
0.109720
0.287250
1/w0
b
1.194937
0.635920
0.538914
1.035784
0.476767
0.362320
0.988315
0.429298
0.289493
0.952167
0.393150
0.218308
0.936025
0.377009
0.177530
0.229387
0.626696
0.856083
0.155300
0.424288
0.579588
0.124362
0.339763
0.464125
0.093946
0.256666
0.350613
0.076459
0.208890
0.285349
1.129387
0.696374
0.263361
1.023023
0.590010
0.156997
0.990732
0.557720
0.124707
0.965952
0.532939
0.099926
0.954830
0.521818
0.088805
FILTROS ACTIVOS 69
En general se cumple que el módulo de la función de transferencia de un filtro paso bajo
Butterworth viene dado por :
G0

 G( jw) =
2n
 w

1+  

 wc 

n = 1,2,3,...

(8.12)
Dicho módulo nos sirve para conocer su representación de Bode, consta de un factor constante G0 que nos
indica la ganancia ante una señal de entrada continua (w=0), el valor wc es la pulsación de corte y n el
orden del filtro (cuanto mayor sea el orden del filtro, más se aproximará a la curva ideal a) de la Fig.8.1).
Si en la ecuación 8.12 w>>wc tendremos:
n

 wc 
 G( jw) ≈ G0  
 w

(8.13)



w

20 log G( jw) ≈ 20 log G0 − 20n log w 
c

donde el segundo término nos permite saber su grado de atenuación en la banda de corte [wc, +∞]. Así un
filtro Butterworth de paso bajo y de primer orden (n=1) tendría una pendiente de atenuación de
20db/década en dicho intervalo; uno de segundo orden de 40db/década, etc.
Otra característica de los filtros que nos ocupa es la forma plana de su banda pasante debido a que
al ser b=1 todas las células colocadas en serie poseen la misma pulsación.
8.6. FILTROS DE CHEBYSHEV.
Un filtro de Butterworth para frecuencias próximas a la de corte comienza a atenuar, pero de modo
progresivo; si deseamos una respuesta que se acerque más a la ideal podemos recurrir a los filtros de
Chebyshev. Este filtro siendo de igual orden que el de Butterworth, posee una respuesta mejor,
presentando una mayor pendiente decreciente. Sin embargo presenta un rizado en la banda pasante.
El módulo de la función de transferencia de un filtro paso bajo Chebyshev es:
G( jw) =
G0
1 + E 2 Cn2
( )
w
wc
n = 1,2,3,...
(8.14)

 ( 0 < E ≤ 1)
donde G0 es la ganancia del filtro paso bajo para señal de entrada continua (w=0), wc es la pulsación de
corte, E es una constante que determina la amplitud del rizado en la banda pasante, n el orden del filtro y
Cn(w/wc) el polinomio de Chebyshev definido de la siguiente forma :
Cn
( )
w
wc
 
 w 
w
≤1
cos n arccos   para 0 ≤
wc
 wc  
 
=

 w 
w





para
n
cosh
arccosh
>1

wc
 wc  


(8.15)
70 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
Se puede comprobar fácilmente en la expresión anterior que para una entrada continua (w=0), la
función G(jw) tomará el valor G0 si el orden es impar y en el caso de ser par el valor alcanzado será
G0/ 1 + E 2 .
De la ecuación 8.15 se desprende que en la banda de paso existe un rizado a diferencia de la banda
de paso en los filtros Butterworth que es plano, como ya se ha comentado. Dicho rizado posé los valores
máximos y mínimos indicados en el párrafo anterior, de donde se puede deducir su amplitud en
decibelios :
 G0 
 =
γ (db) = 20 log G0 − 20 log
 1+ E2 
(
)
= 20 log 1 + E 2 ⇒ E = 10
γ
10
(8.16)
−1
Tras estas expresiones se puede concluir que la amplitud del rizado sólo depende del parámetro E;
que el rizado en la banda de paso depende del orden del filtro, y que dicho número de orden indicará el
número de máximos y mínimos que se alcanzan en la banda de paso.
El valor de γ caracteriza al filtro, su valor máximo permitido es de 3db y se da para un valor de
E≈0.99763. El diseño de un filtro Chebyshev tiene la particularidad de que a mayor amplitud del rizado,
mayor atenuación en la banda de corte. Por lo que el diseñador se ve en la necesidad de elegir lo que
mejor se adapte a sus necesidades dependiendo de la repercusión en el circuito de tal amplitud de rizado
en la banda de paso.
La razón de dicho rizado se encuentra en que al tener dos o más valores distintos de “b” en un
filtro, ocasiona que existan dos o más pulsaciones distintas.
El porcentaje de atenuación del filtro Chebyshev en decibelios es, en la mayoría de los casos,
superior a n20db/década. Su valor aproximado viene dado por la expresión:
 w
20 log G( jw) ≈ 20 log G0 − 20 log( E ) − 6(n − 1) − n20 log 
 wc 
(8.17)
FILTROS ACTIVOS 71
72 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
Fig.8.3: Bode de filtros Chebyshev para diferentes ordenes y 1db de rizado. Detalle para n=3.
8.7. CÉLULAS DE 1ER Y 2º ORDEN PARA FILTROS PASO BAJO Y
ALTO.
8.7.1. Célula de 1er orden para filtros paso bajo.
La estructura de la célula, es la representada en la siguiente figura:
Fig.8.4: Filtro de 1er orden, paso-bajo.
Su función de transferencia es :
R3
R2
H ( s) =
R1Cs + 1
1+
(8.18)
de esta expresión se desprende :
• ganancia del circuito:
H0 = 1 +
R3
R2
• pulsación de corte: wc = 2πf c ; w 0 =
1
= bwc . El valor de C deberá de ser fijado por el
R1C
diseñador.
• para anular los efectos de la tensión de offset es necesario que R1 sea igual al paralelo de R2 y
R3: R1
=
R2 R3
R2 + R3
• se puede deducir R2 y R3: R2 =
H 0 R1
; R = H 0 R1 .
H0 − 1 3
En el caso de H0=1 las ecuaciones serían otras: la pulsación de corte sería la misma pero R2 sería
un circuito abierto y R3 sería un cortocircuito.
8.7.2. Células de 2º orden para filtros paso bajo.
Podemos utilizar dos tipos de células, ambas con buena estabilidad, baja impedancia de salida,
facilidad de ajuste de la ganancia y frecuencia, necesidad de pocos componentes externos, etc.
CÉLULA DE RAUCH O DE REALIMENTACIÓN MULTIPLE
FILTROS ACTIVOS 73
Fig.8.5: Filtro de 2º orden paso-bajo (de Rauch).
Con una función de transferencia:
H ( s) = −
R2
R1
 1
1
1
s R2 R3 C1C2 + sR2 R3 C1 
+
+
 +1
 R1 R2 R3 
(8.19)
2
equivalente a
H ( s) = −
H0
2

 s 
 1
1
1   s 
+
+
  +  w0 R2 R3 C1 
   + 1
R
R
R
 w0 

   w0 
1
2
3

(8.20)
de esta expresión se desprende :
• el signo negativo indica que la salida está invertida respecto de la entrada
• ganancia del circuito:
• del
termino
H0 =
R2
R1
independiente
de
8.17
deducimos
que
la
pulsación
de
corte
es :
1
= bwc2 ⇒ wc = 2πf c
w 02 =
R2 R3 C1C2
1
• de la expresión anterior : R3 =
bwc2 C1C2 R2
• para calcular R2 conocemos la relación: 2δ
 1
1
1
b = a = bwc R2 R3 C1 
+
+

 R1 R2 R3 
( H 0 + 1)
 a 
a
± 
 −4
bC1
bC1C2
 bC1 
2
• operando : R2 =
2 wc
• deberá comprobarse que el radicando de R2 es ≥0, de lo contrario deberán variarse los valores que no
deban ser fijos
CÉLULA DE SALLEN Y KEY
74 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
Fig.8.6: Filtro de 2º orden paso-bajo (de Sallen y Key).
Función de transferencia:
H ( s) =
1+
R4
R3


C
R C
R 
R1 R2 C1C2 s 2 + R1C2 1 + 1 + 2 1 −  1 + 4   s + 1
R3  
 C2 R1C2 
(8.21)
equivalente a :
H ( s) =
H0
2
 s 

 s 
C1 R2 C1
+
− H0    + 1
  + w0 R1C2  1 +
C2 R1C2
  w0 

 w0 
(8.22)
de esta expresión se desprende :
• entrada y salida tienen igual signo
• ganancia del circuito: H 0
•
w 02 =
•
R2 =
=1+
R4
R3
1
= bwc2 ⇒ wc = 2πf c
R1 R2 C1C2
1
bwc2 C1C2 R1


C
R C
2δ b = a = bwc R1C2  1 + 1 + 2 1 − H 0 
C2 R1C2


2
• operando : R1 =

C

a ± a 2 − 4b 1 + 1 − H 0   wc C2
 C2



• para calcular R1 tenemos la relación:
• para anular los efectos de la tensión de offset es necesario que R1 mas R2 sea igual al paralelo de R3 y
R4: R3
•
=
H 0 ( R1 + R2 )
H0 − 1
R4 = H 0 ( R1 + R2 )
(H 0 > 1)
FILTROS ACTIVOS 75
• deberá comprobarse que el radicando de R1 es ≥0, de lo contrario deberán variarse los valores que no
deban ser fijos
Con la combinación de las tres células vistas de filtros paso bajo, se puede construir un filtro paso
bajo de orden cualquiera.
8.7.3. Célula de 1er orden para filtros paso alto.
Su estructura sería la vista en Fig.8.5 pero intercambiando las posiciones de R1 y C, como se
representa a continuación :
Fig.8.7: Filtro paso-alto de 1er orden.
Función de transferencia :
H ( s) =

R3 
 R Cs
1 +
R2  1

R1Cs + 1
(8.23)
Ecuaciones :
H0 = 1 +
R3
R2 R3
H 0 R1
1
1
; w0 = bwc =
; R1 =
=
; R3 = H 0 R1 ; R2 =
( H > 1)
R2
R1C
w0 C R2 + R3
H0 − 1 0
8.7.4. Células de 2º orden para filtros paso alto.
Como en los filtros paso-bajo nos encontramos con dos células posibles, que para el caso de filtros
paso alto se diferenciaran de los de paso bajo: en cambiar las resistencias por condensadores y viceversa,
en la rama de entrada de la señal a filtrar.
Fig.8.8: Filtro de 2º orden paso alto (de Rauch).
76 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
Función de transferencia :
H ( s) = −
s 2 R1 R2 C1C3
s 2 R1 R2 C2 C3 + sR1 ( C1 + C2 + C3 ) + 1
(8.24)
Equivalente a :
H ( s) = −
donde:
H0 = −
C1  s 
 
C 2  w0 
2
2
 s 
 s 
  + w0 R1 (C1 + C2 + C3 )   + 1
 w0 
 w0 
[
]
C1
C + C2 + C3
a
; R1 =
; R2 = 1
; w0 =
C2
aC2 C3 wc
(C1 + C2 + C3 )bwc
(8.25)
1
R1 R2 C2 C3
= bwc
Fig.8.9: Filtro de 2º orden paso alto (de Sallen y Key).
Función de transferencia :
H ( s) =

R 
s 2 R1 R2 C1C2  1 + 4 
R3 

[
]
s 2 R1 R2 C1C2 + s R2 ( C1 + C2 ) + R1C2 (1 − H 0 ) + 1
(8.26)
Equivalente a :
H ( s) =
donde

R  s 
1 + 4   
R3   w0 

2
2
 s 
 s 
  + w0 R2 (C1 + C2 ) + R1C2 (1 − H 0 )   + 1
 w0 
 w0 
[
]
(8.27)
FILTROS ACTIVOS 77

R4
; R1 =
H0 = 1 +
R3




1

=
R
;
2

bwc2 C1C2 R1

2(C1 + C2 )

(C + C2 )( H 0 − 1) 
a ± a 2 + 4b 1
 wc C1C2
C1




H R
R3 = 0 1 ( H 0 > 1); R4 = H 0 R1 ; w0 =
H0 − 1
;
1
R1 R2 C1C2
= bwc
8.8. FILTROS PASO-BANDA.
Este tipo de filtro se obtendrá colocando
en cascada un filtro paso bajo de orden n y un
filtro paso alto de igual orden. Sus frecuencias
de corte deberán guardar la siguiente relación:
f c2
filtro
paso − bajo
> f c1
filtro
paso − alto
8.9. FILTROS RECHAZO DE
BANDA.
Este tipo de filtro se
obtendrá colocando en paralelo un
filtro paso bajo de orden n y un
filtro paso alto de igual orden. Las
frecuencias de corte de dichos
filtros deberán guardar la siguiente
relación:
f c1
filtro
paso − bajo
< f c2
filtro
paso − alto
8.10.
RECOMENDACIONE
S.
Pasamos a dar una serie de recomendaciones para el diseño de filtros:
• En cada una de las células descritas, el valor de uno de los condensadores debe de ser fijado por el
proyectista, una norma práctica aconseja que el valor elegido sea próximo a 10/fc(Hz), siendo dicho
valor en µF.
• En filtros de orden superior a dos, cada célula se proyectará individualmente atendiendo a los valores
de a y b para dicho orden.
• Las células a conexionar podrán ser MFB o de Sallen y Key pero evitando mezclarlas entre sí.
• En un filtro de m etapas, la ganancia es el resultado de multiplicar las ganancias parciales de cada una
de las células que lo componen. Es conveniente que dicha ganancia esté repartida por igual entre ellas.
Por ello si la ganancia del filtro final es de KT, la ganancia parcial de cada etapa será: K
8.11. EJERCICIO EXPERIMENTAL.
8.11.1. Material.
=
m
KT
78 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
- Fuente de alimentación- Osciloscopio
- 1 LM741
- 1 resistencia de 1KΩ
- 1 resistencia de 10KΩ
- 2 condensadores de 10nF
8.11.2. Proceso I.
1.- Se desea diseñar un filtro paso alto con célula de Sallen y Key de 2º orden y ganancia 1. Banda
de paso plana y frecuencia de corte de 5KHz. Escribir polinomio, calcular componentes y dibujar el filtro
indicando los valores calculados.
2.- Montarlo y representar su diagrama de Bode utilizando la siguiente tabla :
f
Ve
Vs
G=
Vs
Ve
20Log|G|
θ
FILTROS ACTIVOS 79
8.11.3. Proceso II.
1.- Se desea construir un filtro de 5º orden paso bajo para una fc=6.6KHz, una H0=8 repartida por
igual entre las distintas células, dichas células darán una banda pasante lo más plana posible y no
originarán inversión del signo. Indicar el número, tipo, ganancia (en db) y pulsación de corte de cada
etapa o célula.
2.- Escribir los polinomios de los denominadores de las distintas células que componen el filtro, así
como la función de transferencia total del filtro de 5º orden.
1er polinomio:
2º polinomio:
3er polinomio:
80 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
3.- Calcular los componentes de la primera célula sabiendo que sólo se dispone del siguiente
material : 1 condensador de 10nF y resistencias de 1.5KΩ, 1.8KΩ, 2.2KΩ, 3.9KΩ, 4.7KΩ. Indicar su
pulsación de corte real.
4.- Calcular los componentes de la segunda célula con las mismas consideraciones que en el
apartado 3. Indicar su pulsación de corte real.
5.- Calcular los componentes de la tercera célula con las mismas consideraciones que en el
apartado 3. Indicar su pulsación de corte real.
6.- Con ayuda de los aparados anteriores dibujar el esquema completo del filtro, indicando el valor
de los componentes.
7.- A continuación representar el Bode ideal de este filtro. Señalar la escala en db.
FILTROS ACTIVOS 81
8.11.4. Proceso III.
1.- Se desea construir un filtro rechazo de banda de 3º orden Chebyshev, para aproximadamente
fc1=1KHz y fc2=30KHz, con ganancia 1, amplitud de rizado de 1db y con células de Rauch. Indicar el
número y características de las etapas que compondrán el filtro, la ganancia de cada una de ellas.
2.- Escribir los polinomios de los denominadores de las distintas células que componen el filtro, así
como la función de transferencia total del filtro.
filtro paso bajo
1er polinomio:
2º polinomio:
filtro paso alto
1er polinomio:
2º polinomio:
3.- Calcular las células que componen el filtro de paso bajo sabiendo que se dispone para el
montaje total del filtro de : 5 condensadores de 470pF y otros dos de 47nF, la resistencia R1 de la célula
de primer orden del filtro paso bajo (fig.8.4) debe ser igual a 6.8KΩ.
82 AMPLIFICADORES OPERACIONALES
4.- Calcular las células que componen el filtro de paso alto con el material que reste del apartado
anterior.
5.- Con ayuda de los apartados anteriores dibujar el esquema completo del filtro, indicando los
valores de los componentes. Representar su respuesta frecuencial aproximada:
6.- Si se desea un filtro de rechazo de banda de 2º orden, de ganancia 4db, ¿cuál será la ganancia
de cada una de las células ?
¿ Por qué?
FILTROS ACTIVOS 83