XVI Olimpíada Nacional de Matemática Pregunta No. 1

XVI Olimpíada Nacional de Matemática
Agosto 2004
Primera Parte. Nivel Menor
Pregunta No. 1
Dos arañas se soportan mutuamente una a la otra solamente si la distancia entre ellas es
mayor a un metro. Determine la cantidad máxima de arañas que pueden convivir sobre la
telaraña representada en la figura, donde el cuadrado es de lado un metro y cada
prolongación mide 0,5 metro.
1 Metro
0,5 Metro
Solución: 4 arañas. Una configuración posible esta representada abajo:
Aquí la distancia entre 2 arañas cualesquiera es mayor a un metro y medio. Para ver que 4
es la cantidad máxima de arañas, veamos los sectores pintados en color azul en el
diagrama abajo.
Cada uno de estos sectores está contenido en un disco de radio 0.5, por lo tanto la
distancia máxima entre dos puntos que pertenecen al mismo sector, no puede superar a 1.
Esto significa que en un sector puede haber solo una araña, y en cuatro sectores puede
haber a lo más 4 arañas.
Pregunta No. 2
Investigue si existe un número entero positivo N tal que si se borra el primer dígito de su
expresión decimal, resulta un número p tal que N es 57 veces p.
Solución: Si, por ejemplo 7125. Sea [xy] el número que satisface las condiciones del
problema. Aquí x es el dígito que se borra, y es la parte restante del número. Ahora basta
estudiar la ecuación x ⋅ 10k + y = 57y, donde k es la cantidad de dígitos en [xy]. Esta
ecuación se transforma en x ⋅ 10k = 7⋅ 8 y, de donde x =7, 8y = 10k.
Pregunta No. 3
Un hombre, para esconder sus 2004 billetes, los distribuye entre sus libros y luego estos
libros los guarda en los casilleros de su biblioteca (un casillero puede contener varios
libros, pero no se permite meter un libro dentro de otro). Se sabe que en cada casillero de
la biblioteca hay más libros que billetes. ¿Será cierto que por lo menos uno de los libros
contiene una cantidad de billetes que no supera el número total de casilleros?.
Solución: Si. Sea p el número total de libros y sea b el número total de casilleros. Puesto
que hay más libros que billetes en cualquiera de los libros, se tiene que pb > 2004. Ahora,
si ninguna de los libros contiene la cantidad de billetes que no supera el número total de
casilleros, entonces cada uno de los libros contiene la cantidad de billetes mayor al
número total de los casilleros. Así pb < 2004. La contradicción prueba la afirmación.
Pregunta No. 4
Pruebe que para todo número entero positivo n, la suma de los cuadrados de todos sus
divisores enteros positivos (incluyendo a 1 y n) es diferente que (n + 1)2.
Solución: (a) Si n es un número primo, entonces los únicos divisores de n son 1,n, con lo
cual 12 +n2 ≠ (n + 1)2. (b) Si n es cuadrado de un número primo p, entonces sus únicos
divisores son 1,p,n. Por lo tanto 12 + p2 +n2 = 1+n+ n2 ≠ (n + 1)2. (c) Si n = xy, con x ≠y,
x,y≠1,n, entonces la suma de los cuadrados de todos los divisores enteros de n es mayor o
igual a 12 +n2+ x2 +(n/x)2> (n + 1)2, puesto que x2 - 2n +(n/x)2= (x-n/x) 2 > 0.
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XVI Olimpíada Nacional de Matemática
Agosto 2004
Segunda Parte. Nivel Menor
Pregunta No. 5
Un tetraedro en el espacio es un conjunto de 4 puntos no coplanares (llamados vértices)
unidos de dos en dos por 6 trazos (llamados aristas). Pruebe que entre los 4 vértices de
cada tetraedro existe por lo menos uno con la propiedad que las tres aristas que salen de
este vértice pueden formar los lados de un triángulo (es decir, la suma de las longitudes
de dos de esas aristas es mayor que la longitud de la tercera).
Solución: Considere una pirámide ABCD. Sea AB la arista más larga entre las 6 aristas
de la pirámide. Demostraremos que uno de los vértices A o B satisface las condiciones
del problema. Si esto no fuera cierto, entonces debido a la propiedad de maximalidad de
AB, se tiene que AC + AD ≤ AB y BC + BD ≤ AB. Sumando estas desigualdades,
llegamos a (*) AC + AD + BC + BD ≤ 2AB. De otro lado, considerando los triángulos
ABD y ABC, encontraremos que AB > BC+ AC y AB > AD+ BD. Sumando las últimas
dos desigualdades, obtenemos 2AB > BC+ AC +AD+ BD contradiciendo a (*).
Pregunta No. 6
Dos personas juegan al “2004”, juego que consiste en hacer jugadas de a una por turno,
comenzando con el número 2004. El primer jugador en su jugada debe restar a dicho
número cualquiera de sus divisores enteros; el resultado luego pasa a su adversario quién
también debe restar al resultado recibido en alguno de sus divisores enteros, y así
sucesivamente. El juego lo pierde la persona que obtiene un 0 luego de cumplir con su
turno. Describa una estrategia que permita, a quien la emplea, ganar siempre en este
juego.
Solución: Gana el primer jugador si cada vez resta el numero que obtiene en su divisor 1.
Recordaremos que en la posición inicial el primer jugador obtiene un número par (2004).
Después de restar el divisor 1 del número par, el pasará un número impar al segundo
jugador. El segundo jugador ahora está forzado a restar un divisor impar del número
impar que obtuvo (puesto que un número impar no tiene divisores pares). Así el primer
jugador de nuevo obtendrá un número par para transformarlo en un número impar - que
es distinto a 0. Como este juego no puede tener más de 2004 movidas, en algún momento
el segundo jugador obtendrá 0 y así perderá.
Pregunta No. 7
Todos los puntos de coordenadas enteras (m,n) del plano fueron pintados en colores rojo,
azul y verde, de tal modo que en el dibujo resultante están presentes los tres colores.
Además, se sabe que hay solo 2004 puntos de un cierto color (sin que se sepa cuál es este
color). Pruebe que existe por lo menos un triángulo rectángulo en el plano cuyos vértices
son puntos de coordenadas enteras pintados de colores distintos.
Solución: Observemos primero que hay una recta horizontal que pasa por dos puntos
enteros R y A pintados de colores distintos (por ejemplo, rojo y azul). Después de
encontrarla, fijemos la recta vertical que pasa por el punto entero V pintado por el color
que falta (por ejemplo, verde). Si el punto entero B, que está en la intersección de las
rectas vertical y horizontal encontradas, no es de color verde, la existencia de un triángulo
rectángulo que satisface las condiciones del problema se ve de inmediato (será un
triángulo rectángulo con un cateto horizontal y un cateto vertical). Lo mismo sucede si el
punto intersección B es de color verde y alguno de los puntos enteros pertenecientes a la
recta VB no es de color verde. Así que el caso que nos interesa es cuando todos los
puntos enteros de la recta VB son verdes. Veamos ahora la recta vertical que pasa por el
punto R, si esta recta contiene un punto verde E, entonces el triángulo ERA será la
solución. Si esta recta contiene un punto azul Q, el triangulo QRB será la solución. Así
que el caso que nos interesa ahora es cuando todos los puntos enteros de la recta vertical
que atraviesa R son de color rojo. Un análisis similar muestra que el único caso
interesante que nos queda para investigar ocurre cuando todos los puntos enteros de la
recta vertical que pasa por A son azules, todos los puntos enteros de la recta vertical que
pasa por R son rojos, y la recta vertical VB es de color verde. Pero, por la condición de
la finitud de los puntos de un cierto color, este caso nunca se presentará.
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