Redes parte 2 - Campus Virtual

20/11/2012
OPTIMIZACION DE REDES
Optimización de Redes
Componentes
Nodos
Rutas
Flujos
Aeropuertos
Líneas Aereas
Aviones
Bodegas
Rutas
Mercancias
Puntos de
comunicacion
Canales ó
cables
Mensajes
Estaciones de
bombeo
Tuberías
Fluidos
Centros de
Trabajo
Rutas de
manejo de
materiales
Trabajos
1
20/11/2012
Ejemplo:
Observe el sistema de caminos de Seervada Park, donde por
facilidad se omiten las curvas. El punto O es la entrada al parque y
T es un gran mirador destino de los visitantes. Las otras letras
representan la localización de las casetas de los guardabosques y
otras instalaciones. Los números son las distancias en millas de
estos caminos sinuosos. Unos cuantos tranvías movilizan los
visitantes desde la entrada hasta la estacion T y de regreso.
7
A
2
2
B
1
4
C
D
4
5
O
1
3
4
7
E
Problemas de Seervada Park
2
B
1
C
4
T
5
D
4
5
O
4
Problema 1:
7
A
2
El administrador del parque se
enfrenta a tres problemas:
T
5
3
1
7
E
Ruta mas Corta
Requiere determinar qué ruta, desde la entrada del parque hasta el mirador T,
es la que tiene la distancia total mas corta para la operación de los tranvías
Problema 2:
Arbol de Expansión Mínima
Deben instalarse líneas telefónicas subterráneas para establecer comunicación
entre las estaciones, incluyendo la entrada. Como la instalación es cara y
perturba la ecología, se instalarán líneas que sigan sólo los caminos necesarios
para establecer comunicación entre cualquier par de estaciones. La pregunta es
dónde deben tenderse las líneas para lograr esto con el mínimo numero total de
millas de cable instalado.
Problema 3:
Redes con Flujo Máximo
Para evitar congestiones se ha establecido un racionamiento estricto de
viajes/dia que deben hacer los tranvías en cada camino. La pregunta es cómo
planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el
numero total de viajes/dia, sin violar los limites impuestos sobre cada camino.
2
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Optimización de Redes
Terminología
Flujo AB
Red con Arcos
Dirigidos
Flujo BA
Flujo Real =
Red con Arcos No
Dirigidos
Ruta ó Trayectoria
∆ de los Flujos
Una Trayectoria entre dos nodos, es una
sucesión de Arcos Dirigidos y/o No
Dirigidos distintos que conectan dichos
nodos. EJM: O-A-B-D-T de Seervada Park
Optimización de Redes
Terminología
Trayectoria que comienza y finaliza en el mismo nodo
Ciclo
Trayectoria
Dirigida
A
D
Trayectoria NoDirigida
Por ejemplo:
BC – CE – ED
Por ejemplo:
AB – BC – CA – AD
C
Ciclo Dirigido
B
Por ejemplo: DE - ED
E
Ciclo No-Dirigido
Por ejemplo:
AB – BC – CA
3
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Optimización de Redes
Terminología
Arbol de
Expansión
Red de “n” nodos conectados que no admite
ciclos, teniendo por tanto (n-1) arcos.
A
D
A
C
B
D
C
E
B
E
Flujo Característico
Tipos de
NODOS
Capacidad de los ARCOS
Origen
Saliente > Entrante
Destino
Entrante > Saliente
Transbordo
Saliente = Entrante
Cap. Max. De Flujo que circula en un arco
dirigido
El Problema de la Ruta mas Corta
Algoritmo de Disjkstra
Permite determinar la ruta mas corta entre el
nodo origen y cualquier otro nodo de la red.
Permite determinar la ruta mas corta entre
cualquier par de nodos de la red (mas general)
Algoritmo de Floyd
Algoritmo de Disjktra
i
dij
j
[dj, i]
Nodo permanente
previo
Distancia mas corta “hasta j”
desde el origen
Nodos Temporales y
Nodos Permanentes
dj = di + dij
4
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El Problema de la Ruta mas Corta
El Problema de la Ruta mas Corta
5
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El Problema de la Ruta mas Corta
El Problema de la Ruta mas Corta
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El Problema de la Ruta mas Corta
El Problema de la Ruta mas Corta
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El Problema de la Ruta mas Corta
A
2
7
2
5
O
4
B
1
4
T
5
D
1
3
C
7
E
4
Nodo
Permanente
Nodo
Temporal a
conectar
Etiqueta
Nodo
Temporal
Anterior
Etiqueta
Etiqueta Final
Nuevo nodo
Permanente
O
[0; -]
A
B
C
[2; O]
[5; O]
[4; O]
-
[2; O]
[5; O]
[4; O]
A
[2; O]
A
[2; O]
B
D
[4; A]
[9; A]
[5; O]
-
[4; A]
[9; A]
B
[4; A]
B
[4; A]
D
E
C
[8; B]
[7; B]
[5; B]
[9; A]
[4; O]
[8; B]
[7; B]
[4; O]
E
[7; B]
D
T
[8; E]
[14; E]
[8; B]
-
[8; E] y [8; B]
[14; E]
T
[13; D]
[14; E]
[13; D]
E
[7; B]
D
[8; E] y [8; B]
D
[8; E] y [8; B]
T
[13; D]
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Variantes del Problema de la Ruta
mas Corta
En general, el problema de la ruta mas corta busca encontrar la ruta
entre dos nodos especificos que minimice los valores de los arcos
sobre esta ruta.
Los arcos pueden corresponder entonces a costos asociados a
ciertas actividades, y podría resolverse el problema de determinar la
secuencia de actividades que minimice el costo total.
Así mismo, los arcos pueden representar tiempos de ejecucion de
actividades, y se resolvería la secuencia de actividades que
proporciona el minimo tiempo total de ejecución.
El Problema del Arbol de Expansión
Mínima
Las aplicaciones del Arbol de Expansión Mínima están
asociadas al Diseño de Redes, como por ejemplo:
Diseño de Redes de Telecomunicaciones (fibra óptica,
telefónicas)
Diseño de Redes de transporte para minimizar costo
total de suministro de material de construcción (vías
ferroviarias, carreteras).
Diseño de Redes de tuberías para conectar varias
localidades.
Diseño de Red de cables en sistemas de computación
para minimizar la longitud total del cable.
Diseño de Red de líneas de transmisión de energía
eléctrica de alta tensión.
10
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El Problema del Arbol de Expansión
Mínima
Algoritmo de Prim
Se elige nodo inicial arbitrario
Se elige el nodo no conectado más cercano a un nodo o
conjunto de nodos ya conectados. Se conecta este nodo.
Se repite hasta que todos los nodos están interconectados
/en caso de empate se resuelve arbitrariamente).
Se aplicará este algoritmo para resolver el Problema 2 de
Seervada Park.
A
2
7
2
5
O
4
B
1
3
1
4
T
5
D
C
7
E
4
A
7
2
Nodo Inicial
escogido
O
2
5
O
D
4
B
1
3
1
4
T
5
C
7
E
4
A
2
A
2
5
O
4
B
O
C
A
2
2
O
5
2
7
2
D
B
A
O
B
4
C
11
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A
7
2
D
4
5
O
B
1
3
1
4
T
5
2
C
7
E
4
7
A
2
2
O
2
O
B
1
A
2
D
4
C
C
E
7
A
2
D
4
B
1
2
O
3
B
1
4
C
A
2
2
O
B
1
3
4
3
C
E
A
7
2
2
5
O
T
5
D
4
B
1
3
1
4
E
C
7
E
4
7
A
2
2
O
D
4
B
1
3
T
1
7
A
2
C
E
D
2
O
1
B
3
C
5
A
2
D
2
O
1
C
B
3
1
1
E
T
Solución óptima =
14 millas de cable
instalado
E
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El Problema del Flujo Máximo
Las aplicaciones del Problema del Flujo Máximo son por
ejemplo las siguientes :
Maximizar el flujo de mercancías a través de una red
de distribución de fábricas a clientes.
Maximizar el flujo a través de una red de suministros de
proveedores a fábricas.
Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de
tuberías.
Maximizar el flujo de vehículos por una red de
transporte.
Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de
acueductos.
El Problema del Flujo Máximo
Problema de Flujo Máximo de Seervada Park
Para evitar congestiones se ha establecido un racionamiento estricto de
viajes/dia que deben hacer los tranvías en cada camino. La pregunta es cómo
planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el
numero total de viajes/dia, sin violar los limites impuestos sobre cada camino.
Para resolver este problema considere la siguiente RED RESIDUAL, donde los
arcos (caminos) están etiquetados con una información inicial de flujos:
La interpretación de
[3;0]
A
[5;0]
[1;0]
O
[7;0]
[4;0]
[4;0]
B
[5;0]
[9;0]
[1;0]
E
[4;0]
Los números en los
Corchetes es la siguiente
D
[2;0]
C
T
[6;0]
Capacidad
de flujo
Disponible
o Residual
Capacidad
de flujo
Utilizada
[4;0]
13
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El Problema del Flujo Máximo
Algoritmo de Flujo Máximo
1. Se identifica CUALQUIER trayectoria desde el Origen
hasta el Destino en la Red Residual, de tal manera que
exista posibilidad de flujo en esa trayectoria (capacidades
residuales mayores que cero en todos los arcos ó CR>0)
2. Se identifica en esa trayectoria la menor CR de los arcos,
y se envía esa cantidad de flujo desde el Origen al Destino.
3. Se actualiza la red residual, considerando el flujo
previamente enviado.
4. Se repite del paso 1 al 3 hasta que no existan trayectorias
con CR>0.
[3;0]
A
[5;0]
[1;0]
Red Residual
Inicial
O
[7;0]
[4;0]
Iteración 0
[4;0]
B
[9;0]
T
D
[1;0]
[5;0]
[6;0]
[2;0]
C
E
[4;0]
Se escoge la Trayectoria O – B – E – T, con CR =
min {7, 5, 6} = 5
Iteración 1
5
[3;0]
A
[5;0]
5
[1;0]
O
[2;5]
[4;0]
[4;0]
B
[0;5]
[9;0]
T
D
[1;0]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
14
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5
[3;0]
A
[5;0]
5
[1;0]
O
[2;5]
[4;0]
D
[4;0]
B
T
[9;0]
[1;0]
[0;5]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
Se escoge la Trayectoria O – A – D – T, con CR =
min {5, 3, 9} = 3
Iteración 2
8
[0;3]
A
[2;3]
8
[1;0]
O
[2;5]
[4;0]
[4;0]
B
[6;3]
T
D
[1;0]
[0;5]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
8
[0;3]
A
[2;3]
8
[1;0]
O
[2;5]
[4;0]
[4;0]
B
[6;3]
T
D
[1;0]
[0;5]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
Se escoge la Trayectoria O – A – B – D – T, con CR
= min {2, 1, 4, 6} = 1
Iteración 3
9
[0;3]
A
[1;4]
9
[0;1]
O
[2;5]
[4;0]
[3;1]
B
[0;5]
[5;4]
T
D
[1;0]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
15
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9
[0;3]
A
[1;4]
9
[0;1]
O
[3;1]
B
[2;5]
[4;0]
T
[5;4]
D
[0;5]
[1;0]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
Se escoge la Trayectoria O – B – D – T, con CR =
min {2, 3, 5} = 2
Iteración 4
11
[0;3]
A
[1;4]
11
[0;1]
O
[1;3]
B
[0;7]
[4;0]
T
[3;6]
D
[1;0]
[0;5]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
11
[0;3]
A
[1;4]
11
[0;1]
O
[1;3]
B
[0;7]
[4;0]
T
[3;6]
[0;5]
D
[1;0]
[1;5]
[2;0]
C
E
[4;0]
Se escoge la Trayectoria O – C – E – D – T, con CR
= min {4, 4, 1, 3} = 1
Iteración 5
12
[0;3]
A
[1;4]
12
[0;1]
O
[0;7]
[3;1]
[1;3]
B
[0;5]
[2;7]
T
D
[0;1]
[1;5]
[2;0]
C
E
[3;1]
16
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12
[0;3]
A
[1;4]
[0;1]
12
O
[1;3]
B
[0;7]
[3;1]
T
[2;7]
D
[0;1]
[0;5]
[1;5]
[2;0]
C
E
[3;1]
Se escoge la Trayectoria O – C – E – T, con CR =
min {3, 3, 1} = 1
Iteración 6
13
[0;3]
A
[1;4]
13
[0;1]
O
[1;3]
B
[0;7]
[2;2]
T
[2;7]
D
[0;1]
[0;5]
[0;6]
[2;0]
C
E
[2;2]
13
[0;3]
A
[1;4]
13
[0;1]
O
[0;7]
[2;2]
D
[1;3]
B
T
[2;7]
[0;1]
[0;5]
[0;6]
[2;0]
C
E
[2;2]
Se escoge la Trayectoria O – C – B – D – T, con CR
= min {2, 2, 1, 2} = 1
Iteración 7
14
[0;3]
A
[1;4]
14
[0;1]
O
[0;7]
[1;3]
[0;4]
B
[0;5]
[1;8]
D
[0;1]
[0;6]
T
Solución Optima =
14 viajes/día
[1;1]
C
E
[2;2]
17
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13
[0;3]
A
[1;4]
13
[0;1]
O
[1;3]
B
[0;7]
[2;2]
T
[2;7]
D
[0;1]
[0;5]
[0;6]
[2;0]
C
E
[2;2]
Se escoge la Trayectoria O – C – E – B – D – T, con
CR = min {2, 2, [0, 1], 2} = 1
Iteración 7
14
[0;3]
A
[1;4]
14
[0;1]
O
[0;7]
[1;3]
[0;4]
B
[1;4]
[1;8]
D
[0;1]
[0;6]
T
Solución Optima =
14 viajes/día
[2;0]
C
E
[1;3]
Problema del Flujo de Costo Mínimo
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Problema del Flujo de Costo Mínimo
Formulación del Modelo
Variables
Xij
Flujo desde el Nodo i al Nodo j
Cij
Costo de envío por unidad desde el Nodo i al Nodo j
uij
Capacidad de Flujo del arco ij
bi
Flujo Neto generado en el Nodo i
Min Z =
n
n
∑ ∑ C ij X ij
i =1 j =1
Sujeta a:
n
n
∑ X −∑ X
ji
0 ≤ X ij ≤ uij
∀ arco ij
j =1
ij
j =1
= bi
, ∀i
Condicion
necesaria
para
soluciones
factibles:
n
∑b
i =1
i
=0
A excepción de los arcos AB y CE, todos los arcos tienen capacidades que
exceden el flujo total generado de 90
19
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Bibliografía
1. Vidal,
Carlos
Julio,
Planeación,
Optimización y Administración De
Cadenas De Abastecimiento,
Abastecimiento, 1ª Edición,
Programa editorial Universidad del Valle,
2009..
2009
2. Bravo, Juan José.
José. Notas de Clase:
Clase:
Optimización de redes.
redes.
3. Hillier
Hillier,, Frederick S. y Gerald J.
Lieberman,
Introducción
a
la
Investigación de Operaciones,
Operaciones, 7ª Edición,
McGraw--Hill, 2002.
McGraw
2002.
20