1618 2010 - Instituto Politécnico Nacional

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD TICOMÁN
“ESTUDIO Y SIMULACIÓN DE LA DINÁMICA DE VUELO DE UN CUERPO
QUE INGRESA A LA ATMÓSFERA TERRESTRE”
T E S I S
QUE PRESENTA EL C. JOSÉ FRANCISCO PAZ SOLDÁN GUERRA
PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN AERONÁUTICA
Asesores:
DR. CARLOS MANUEL RODRÍGUEZ ROMÁN
M. EN C. ALFREDO ARIAS MONTAÑO
México D.F.
Junio de 2010
Resumen
En esta tesis buscamos conocer las características físicas del meteoro que impactó en la
Península de Yucatán hace 65 millones de años y que es considerado la causa de la
extinción masiva. Logramos lo anterior al realizar múltiples simulaciones computacionales
mediante un modelo matemático en dos dimensiones sustentado por los fundamentos de
Entrada Atmosférica. Los sistemas dinámicos incluyen los fenómenos de fragmentación,
ablación y energía depositada en la atmósfera, además del movimiento de punto material.
Desarrollamos el método numérico de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45) en MATLAB para
realizar las simulaciones que tienen lugar de 0 a 100 km de altitud. Despreciamos lo que
ocurre después del impacto. Para modelar el medio planetario utilizamos el modelo de
atmósfera exponencial y para el campo gravitacional, el modelo de masa puntual.
Adicionalmente, adimensionalizamos los sistemas dinámicos y encontramos dos números
adimensionales que describen el comportamiento de la entrada atmosférica de meteoros.
Concluimos que el meteoro con mejor comportamiento es el asteroide de tipo condrito
carbonáceo. La energía al momento del impacto es del orden de 1023 J, tal como lo sugiere
la teoría de Álvarez (1980).
Palabras clave: Evento de Chicxulub, Entrada Atmosférica de Meteoros, Análisis
Dimensional, Método Numérico de Runge-Kutta-Fehlberg.
i
Abstract
In this thesis we seek the physical features of the meteor that struck the Yucatan Peninsula
65 million years ago and which is believed to be the responsible of the mass extinction. We
achieve the latter by performing multiple computer simulations through a 2D mathematical
model supported by the principles of Atmospheric Entry. The dynamical systems include
phenomena such as fragmentation, ablation and energy deposited in the atmosphere, along
with particle translational motion. We develop the Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
numerical method using MATLAB to make simulations that take place in the 0 to 100 km
altitude range. We neglect the motion after the impact. The planetary environment is
modeled with the exponential atmosphere and point mass gravity. In addition, we convert
the dynamical systems into a dimensionless form and found two dimensionless numbers
describing meteor atmospheric entry behavior. We conclude that the best simulation is
carried out by the carbonaceous chondrite asteroid. The impact energy has an order of
magnitud of 1023 J, as suggested by the Alvarez hypothesis (1980).
Keywords: Chicxulub Event, Meteor Atmospheric Entry, Dimensional Analysis, RungeKutta-Fehlberg Numerical Method.
ii
Índice
Agradecimientos
I
Introducción
II
Nomenclatura
IV
Lista de Figuras
VIII
Lista de Tablas
IX
Capítulo 1: El Cráter de Chicxulub
1.1 Reseña de los cráteres de impacto encontrados en la Tierra
1.2 Historia e importancia del evento de Chicxulub
1.3 Modelos computacionales conocidos de la entrada de meteoros
1
6
14
Capítulo 2: Fundamentos de Entrada Atmosférica
2.1 La entrada atmosférica
2.2 Física del vuelo de meteoros
2.3 Aproximaciones para los sistemas dinámicos
2.4 Deducción de los sistemas dinámicos
2.5 Método numérico de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
21
26
29
37
43
Capítulo 3: Modelo Propuesto de Entrada Atmosférica
3.1 Análisis dimensional
3.2 Generalización del método de RKF45 a un sistema de ecuaciones
3.3 Condiciones iniciales
3.4 Resolución numérica
46
51
51
53
Capítulo 4: Discusión de los Resultados
4.1 Método de análisis de los conjuntos de gráficas
4.2 Discusión de los conjuntos de gráficas
55
57
Conclusiones
81
Apéndice A: Eventos Relacionados con la Caída de Meteoros Pequeños
83
Apéndice B: Códigos de la Programación en MATLAB
84
Apéndice C: Segundo Conjunto de Gráficas
97
Bibliografía
103
iii
Agradecimientos
El trabajo realizado para llevar a cabo esta tesis habría sido imposible sin la ayuda de
muchas personas.
Primeramente quisiera agradecer infinitamente a mi asesor de tesis, Carlos Manuel
Rodríguez Román, por darme la oportunidad de trabajar con él en un tema novedoso para
México y por brindarme incontables horas de su tiempo y sabiduría.
Asimismo, mención especial merece mi segundo asesor de tesis, Alfredo Arias Montaño,
quien desde años atrás ha sido un estupendo profesor, además de aconsejarme
concisamente en cuestiones académicas así como en los comentarios sobre el desarrollo de
esta tesis.
A mis sinodales, Javier Roch Soto, Asur Cortés Gómez y Sergio Rivera Vega, por tener la
fina atención de evaluarme en el fascinante mundo de la Dinámica de Vuelo de los cuerpos
que ingresan a la atmósfera de la Tierra.
A toda mi familia, que nombrarla aquí no bastaría para dar el justo y debido reconocimiento
a todos y cada uno de sus miembros. Su cálido apoyo en cualquier ámbito de la vida excede
todas mis expectativas, mismo que ha sido piedra angular para llegar hasta aquí. Muchas
gracias por exigirme ser mejor persona día a día.
A mis amigos, por encontrar en ellos un apoyo paralelo que me ha inspirado a dar lo mejor
de mí, por hacer ver mis errores y por estar disponibles en todo momento.
A mis demás profesores, por saber compartir su conocimiento y buenos consejos sobre las
cuestiones académicas e incluso de la vida en general.
Al mundo, por regalarme el don del asombro.
José Francisco Paz Soldán Guerra
Junio de 2010
I
Introducción
El objetivo de esta tesis es proponer las características físicas de un meteoro que entra a la
atmósfera terrestre. Esto es posible al realizar múltiples simulaciones computacionales
mediante un modelo matemático sustentado por los fundamentos de Entrada Atmosférica.
La aplicación es vertida en el meteoro que impactó en la península de Yucatán hace 65
millones de años y el cual es considerado como la causa principal de la extinción de tres
cuartas partes del total de las especies que habitaban la Tierra en aquel entonces. Este
suceso es mejor conocido como el Evento de Chicxulub. Las simulaciones son una
herramienta esencial para distinguir el comportamiento que existe entre los diferentes tipos
de meteoros y así decidir cuál es el que mejor se adapta a los antecedentes bibliográficos.
El estudio de la entrada a la atmósfera terrestre de cuerpos provenientes del espacio es
prácticamente inexistente en México. A través de los fundamentos de Aerodinámica,
Dinámica de Vuelo y Programación aprendidos en ingeniería aeronáutica, es posible
realizar el análisis de la trayectoria de tales cuerpos.
Al contar los cráteres formados por el impacto de cuerpos naturales provenientes del
espacio, no es difícil estimar el alto riesgo al que están expuestos los habitantes de la Tierra.
Además, los satélites desorbitados debido al fin de su vida útil o que están fuera de control
también representan un peligro. De ahí que sea vital el conocimiento del vuelo de dichos
objetos para determinar los lugares potenciales de colisión.
De esta manera, se abre el campo de estudio relacionado a la Entrada Atmosférica,
complementando la vasta bibliografía en español del vuelo de aviones y helicópteros, ya
disponible en México.
Sólo se analiza el vuelo del meteoro a través de la atmósfera terrestre, esto es, se ignora la
trayectoria que éste siguió en el espacio. Así mismo, se desprecian los efectos que el cuerpo
sufre después del impacto contra la superficie del planeta.
Los meteoros se tratan como un punto material regido por las ecuaciones obtenidas del
análisis teórico de la Entrada Atmosférica. No se toma en cuenta la rotación que pueda
tener en su trayectoria.
El estudio de la Entrada Atmosférica es caracterizado fuertemente por las propiedades de
la atmósfera y del campo gravitacional del planeta. El modelo empleado para la atmósfera
es el exponencial y el del campo gravitacional es el de masa puntual. Además, cada
meteoro simulado tiene sus propias características, como velocidad, ángulo de entrada,
densidad, esfuerzo último del material y calor de ablación.
II
La obtención de las características físicas de un meteoro que ingresa a la atmósfera es
necesaria para saber si se trata de un cometa o asteroide y qué tipo de los anteriores. Para
contestar esta pregunta, primeramente estudiamos la bibliografía referente a los cráteres de
impacto existentes en la Tierra. Así sabremos la clase de cuerpos amenazadores que
frecuentan a nuestro planeta. También analizamos los datos que se tienen del Evento de
Chicxulub para acotar más aún el problema. Luego, para poder estudiar el problema de la
entrada de meteoros, cuantitativa y cualitativamente, en concordancia con los desarrollos de
la comunidad científica internacional, requerimos saber lo que han hecho otras personas y
universidades alrededor del mundo sobre el tema.
Una vez que conocemos los antecedentes de la entrada atmosférica desde una perspectiva
histórica, pasamos a desarrollar la teoría necesaria para entender el problema
matemáticamente. Dado que ingresar a la atmósfera involucra fenómenos sumamente
complejos, indicamos las aproximaciones realizadas en los sistemas dinámicos que rigen el
comportamiento de los meteoros. Tratar de incluir todos los fenómenos que se presentan en
el transcurso del vuelo, sería una tarea extraordinariamente difícil. No obstante, el modelo
bidimensional desarrollado cumple con los estándares de la bibliografía.
Deducimos las ecuaciones de movimiento, considerando la fragmentación del meteoro en
alguna parte de su trayectoria y explicamos el método numérico elegido, a saber, el método
de Runge-Kutta-Fehlberg. Posteriormente, adimensionalizamos los sistemas de ecuaciones
para obtener, entre otras cuestiones, un manejo numérico mucho más cómodo.
En todo problema que involucra ecuaciones diferenciales, es vital el conocimiento de las
condiciones iniciales. Después de establecerlas, indicamos la forma de utilizar el método
numérico para dar solución a los sistemas dinámicos.
El método numérico elaborado en el programa de cómputo MATLAB, presenta las
soluciones en forma gráfica. Para dar respuesta a la pregunta inicial de este trabajo,
requerimos analizar y discutir la gran cantidad de curvas obtenidas. Esto nos lleva a saber el
comportamiento que tiene cada meteoro en vuelo y así escoger aquel que satisface a la
pregunta.
III
Nomenclatura
NEO
Acrónimo inglés de Near Earth Objects
K/T
Transición del período Cretácico al período Terciario
NYT
Periódico estadounidense New York Times
a
Semieje mayor de una órbita
e
Excentricidad de una órbita
i
Inclinación de una órbita
L/D
Razón de sustentación contra resistencia aerodinámica
Coeficiente balístico
Coeficiente de resistencia al avance
Coeficiente de transferencia de calor o número de Stanton
Masa del cuerpo en un instante dado; entidad fundamental de masa
Masa inicial del cuerpo
Masa de la Tierra, 5.98e24 kg
Masa del Sol, 1.98e30 kg
Sección transversal del cuerpo en un instante dado
Sección transversal inicial del cuerpo
Radio de la Tierra esférica, 6.371e6 m
Radio ecuatorial de la Tierra, 6.378e6 m
Radio polar de la Tierra, 6.356e6 m
Radio de la Tierra esférica adimensional
Constante de gravitación universal, 6.67e-11 m3 kg /s2
, 3.98e14 m3/s2
Constante igual al producto
IV
Velocidad inicial del cuerpo
Primera velocidad cósmica, 7.9 km/s
Segunda velocidad cósmica, 11.2 km/s
Tercera velocidad cósmica, 42 km/s
Velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol, 29.7 km/s
Velocidad de corriente libre, también abreviada
Desaceleración debida a la resistencia al avance
Aceleración debida a la gravedad
Velocidad adimensional
Energía cinética
Energía potencial
Energía total del sistema; energía depositada en la atmósfera por el cuerpo
Energía cinética del cuerpo en la atmósfera
Energía cinética del cuerpo en el vacío
Energía adimensional depositada en la atmósfera
UA
Unidad Astronómica, 1.5e11 m
Latitud
Altitud geométrica; tamaño de paso
Altitud absoluta
Altitud adimensional
Entalpía en la superficie aerodinámica
Entalpía de corriente libre
Entalpía total
Aceleración debida a la gravedad local
Aceleración debida a la gravedad a nivel del mar
V
Aceleración adimensional debida a la gravedad
Densidad atmosférica de corriente libre
Densidad base del modelo de atmósfera exponencial, 1.752 kg/m3
Densidad del cuerpo
Densidad adimensional
Temperatura; entidad fundamental de tiempo
R*
Constante específica del aire como gas perfecto, 287 J/(kg K)
H
Altura de escala, 6700 m
Desviación de la vertical hacia el Este; variable en la serie de Taylor
Velocidad angular de la Tierra, 0.7292e-4 rad/s
Tiempo
Tiempo adimensional
Volumen
Radio del cilindro en un instante dado
Radio inicial del cilindro
Radio del cilindro adimensional
Factor de forma
Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67e-8 W/(m2K4)
Calor de ablación; variable auxiliar en la ecuación de ángulo aleatorio
Calor de ablación adimensional
Esfuerzo último del cuerpo
Rnd
Número aleatorio, random
ppm
Partes por millón
Ángulo que forma el cuerpo con la horizontal local en un instante dado
Ángulo inicial de entrada a la atmósfera respecto a la horizontal local
VI
Levantamiento; altura del cilindro; entidad fundamental de longitud
Resistencia al avance
A
Alcance horizontal
Calor específico a presión constate, 1008 J/(kg K)
Presión frontal o de estancamiento
Presión central, también abreviada
Presión central adimensional
Área lateral del cilindro
Variable utilizada en el cambio de variable
RKF
Forma abreviada de Runge-Kutta-Fehlberg
Valor de la iteración en el enésimo paso
Valor de una variable en el k-ésimo paso
Valor del tiempo en el k-ésimo paso
Una mejor aproximación en el método RKF45
Tamaño de paso óptimo
Tolerancia propuesta para controlar el error
Número de pasos
Primer número adimensional
Segundo número adimensional
VII
Lista de Figuras
Fig. 1.1
Cráteres de impacto representativos
Fig. 1.2
Intensidad de la extinción marina a través del tiempo
Fig. 1.3
Localización del cráter de Chicxulub
Fig. 1.4
Capa de iridio, meteoritos y equipo de investigación de la extinción del K/T
Fig. 1.5
Impresión artística del Evento de Chicxulub
Fig. 2.1
Tipos de Entrada Atmosférica
Fig. 2.2
Variación de la temperatura atmosférica con la altitud
Fig. 2.3
Altitud geopotencial contra razón de densidad atmosférica estándar y
eeeeeeeeeeee exponencial
Fig. 2.4
Modelo geopotencial del campo gravitacional terrestre
Fig. 2.5
Cilindro que representa los meteoros de prueba que ingresan a la atmósfera
ooooooooooo terrestre
Fig. 2.6
Geometría de la entrada atmosférica de un meteoro
Fig. 2.7
Comparación del porcentaje de error relativo contra el esfuerzo
ooooooooooo fcomputacional para métodos de RK de primero a quinto orden
VIII
Lista de Tablas
Tabla 3.1
Valores característicos de los meteoros de prueba
Tabla 4.1
Forma de analizar el primer conjunto de gráficas
Tabla 4.2
Forma de analizar el segundo conjunto de gráficas
Tabla 4.3
Altura aproximada de fragmentación para cada meteoro
Tabla 4.4
Tiempo aproximado de impacto para cada meteoro
Tabla 4.5
Energía aproximada de impacto
Tabla 4.6
Radio aproximado del meteoro en el impacto
IX
Capítulo 1
El Cráter de Chicxulub
En este capítulo se presenta una breve reseña de los cráteres de impacto más representativos
encontrados en la Tierra hasta ahora, las estadísticas que llevan a la probabilidad de
impacto de nuevos cuerpos contra nuestro planeta y qué se ha hecho para evitar un desastre.
Después, se estudia la importancia del evento de Chicxulub en la historia, así como el
recuento de su descubrimiento y las consecuencias inmediatas del impacto. Por último,
explicamos los pocos modelos computacionales conocidos que se han hecho al día de hoy
en el tema de la entrada atmosférica de meteoros.
1.1 Reseña de los cráteres de impacto encontrados en la Tierra
Hasta finales del siglo XVIII se consideraban los relatos de la caída de cuerpos
provenientes del espacio fuera del ámbito científico. Progresivamente, la comunidad
científica comenzó a aceptar el origen extraterrestre de los meteoritos. Principalmente, una
carta de Thomas Jefferson a Daniel Solomon, la aceptación de reportes por J.B. Biot de la
Academia Francesa y el libro de Chladni, todos ellos contemporáneos, marcan el inicio de
considerar seriamente la conexión entre el mundo celeste de los astrónomos y el mundo
terrestre de los humanos [REG].
Necesitamos estudiar primeramente las formaciones ocurridas en la Tierra a través del
impacto de cuerpos provenientes del espacio. Esta percepción nos facilitará la comprensión
del grado de magnitud del evento de Chicxulub.
La mayor parte de la información que tenemos sobre meteoros, se basa en los cráteres de
impacto y en los fragmentos que se pueden recuperar. No obstante, es difícil la
identificación y la estimación del tamaño debido a la erosión y al crecimiento de la
vegetación. Sólo hasta después del advenimiento de la tecnología satelital es que se han
podido identificar los cráteres más antiguos.
Un cráter de impacto, a diferencia de un cráter de volcán, es el ocasionado por el impacto
de un cuerpo celeste. Esta definición se mantendrá a lo largo de la presente exposición. Al
referirnos a un cráter, entenderemos que es un cráter de impacto.
1
Investigado ampliamente por Daniel Barringer, el Cráter del Meteorito Barringer, también
conocido como Cráter del Meteoro, fue creado 50,000 años atrás en el norte de Arizona
cuando un pequeño asteroide de níquel y hierro golpeó la Tierra. Se cree que este cuerpo
tenía una masa de 4x109 kg y un radio de 50 m. Remanentes se encuentran dentro y a los
alrededores del propio cráter de 1.2 km de sección transversal y 200 m de profundidad. Por
la forma del cráter, es probable que el asteroide haya entrado a la atmósfera a una velocidad
de 20 km/s, proveniente del norte (Fig. 1.1 a).
Gosses Bluff es un cráter ubicado en el centro de Australia, formado por un impacto
ocurrido hace alrededor de 143 millones de años. El cráter original tenía un diámetro de 22
km, sin embargo, actualmente sólo han sobrevivido 6 km a la erosión desde entonces
(Fig. 1.1 b).
En Quebec, Canadá, hay un par de huellas de impacto, conocidas como los Lagos de
Clearwater. Presentan diámetros de 32 y 22 km y fueron excavados 290 millones de años
atrás, cuando un par de proyectiles, quizá un asteroide en forma de pesa que se separó en su
vecindad con la Tierra, llegaron juntos (Fig. 1.1 c).
En la misma región de Canadá se localiza el cráter Manicougan, evidenciado hoy por un
lago circular de 100 km de diámetro. Esta estructura se formó hace 214 millones de años a
finales del Triásico. Los efectos ambientales del impacto suponen la extinción masiva de
fauna del Triásico Superior ocurrida en ese tiempo (Fig. 1.1 d).
Fig. 1.1: Cráteres de impacto representativos. a) Cráter del Meteoro, Arizona.
b) Gosses Bluff, Australia. c) Lagos de Clearwater, Canadá. d) Manicougan, Canadá.
2
Otro evento de gran interés actual es el sucedido cerca del río Tunguska, el 30 de junio de
1908 a las 7:17 horas, tiempo local. Un meteoro de 30 a 90 m de diámetro explotó sobre
una remota área del norte de Siberia. Varios sismógrafos localizados en distintas partes
registraron la onda de presión del aire, aproximando una energía liberada igual a la de una
bomba de fusión de 100 megatones. Dos mil kilómetros cuadrados de bosque fueron
devastados. La vegetación quemada indicaba una temperatura en la superficie de
aproximadamente 75 °C. Se estima un amplio rango de velocidad de entrada a la atmósfera,
desde 28 hasta 47 km/s.
El evento de Tunguska es un caso único, pues no dejó cráter ni se han encontrado rastros
del meteoro en ninguna parte. Dada la iluminación proveniente de la explosión, a lo largo
de varios días, la gente en Europa era capaz de leer el periódico al aire libre durante la
noche.
El 31 de marzo de 1965, miles de personas en Columbia Británica y Alberta atestiguaron
una espectacular bola de fuego cruzar el cielo nocturno de Canadá. Al igual que el caso de
Tunguska, no se hallaron meteoritos. La mayor parte del cuerpo inicial se evaporó en la
travesía por la atmósfera. Dos semanas después de buscar restos tan sólo se encontraría una
cantidad pequeña como un gramo. Se clasificó como un condrito carbonáceo y sólo 0.2
gramos se encuentran en la Colección de Meteoritos de Canadá. Se conoce mejormente
como el Evento de Revelstoke porque los restos se encontraron a 64 km al norte de
Revelstoke, Columbia Británica.
Otro ejemplo que también trasciende en la historia de los cráteres, es el de Sudbury,
Canadá. Este cráter data de 1900 millones de años y tiene una sección transversal conocida
de 250 km. Se estima que el proyectil era del volumen del Monte Everest.
Finalmente, el cráter más antiguo que se conoce hasta ahora es el hallado en Vredefort,
Sudáfrica. Hace dos mil millones de años fue provocada la huella de 300 km de diámetro.
Si no se encuentran más cráteres o se extiende el tamaño de otros, éste sería el cráter de
mayor envergadura encontrado en la Tierra.
La razón a la que se forman los cráteres en la Tierra y la Luna ha sido frecuentemente
establecida como constante a lo largo de los últimos 3x109 años. Distintas fuentes de
evidencia, sin embargo, sugieren que el flujo de impacto de cuerpos del orden de
kilómetros en tamaño, incrementó por al menos en un factor de dos sobre el promedio a
largo plazo en los últimos 100x106 años. En un reporte publicado en la revista Nature en
2007 por William F. Bottke y equipo [BOT], se indica que la causa probable que aumentó
el flujo de impactos, fue la separación catastrófica de un cuerpo de tipo condrito
carbonáceo del asteroide Baptistina, mismo que tenía un tamaño estimado de 170 km y que
se desprendió del cinturón de asteroides hace 160 millones de años. Los fragmentos
producidos por la separación se distribuyeron lentamente por procesos dinámicos hacia
3
órbitas donde podían coincidir con los planetas interiores. Bottke y sus colegas consideran
que esa lluvia de asteroides es la fuente más probable (>90%) del protagonista del evento
de Chicxulub. Éste se discute a detalle en la siguiente sección.
Una vez que hemos visto algunos eventos importantes en el pasado de la Tierra, surge la
cuestión de determinar qué tan probable es que un objeto impacte nuevamente contra
nuestro planeta. En nuestros tiempos es crucial tener una estimación más justa, ya que
debemos encargarnos de salvaguardar a todos los seres vivos, así como a todo nuestro
patrimonio.
Alrededor de diez millones de asteroides y cometas circundan el espacio conocido. Para
nuestra fortuna, ninguno es suficientemente grande como para causar una extinción global
en el transcurso de nuestras vidas. Por otro lado, eventos como el de Tunguska ocurren
alguna vez cada cientos de años, siendo capaces de borrar una ciudad del mapa. De detectar
alguno de este tipo en un radar, tendría una probabilidad de una en mil de golpear la Tierra.
A diario se queman decenas de toneladas de materia espacial en su ingreso a la atmósfera,
tal como el polvo de cometas y pequeños pedazos de asteroides. Sus restos surcan los cielos
y pueden ser fácilmente visibles en la noche. En la mayoría de los casos, unos cuantos
restos del tamaño de la palma de la mano sobreviven la travesía. Adicionalmente, las
probabilidades de ver un meteoro caer o incluso de ser golpeado por uno son
extremadamente bajas. Por lo pronto, sólo se conoce un caso en el que una persona ha sido
embestida por un cuerpo del espacio exterior [STO]. Alrededor de las 13 horas, el 30 de
noviembre de 1954, un meteoro del tamaño de una pelota de softball traspasó el techo de
una casa cerca de Sylacauga, Alabama. Rebotó contra un radio e hirió la cintura y muñeca
izquierdas de Ann Hodges mientras dormitaba en un sillón. Fue llevada al hospital para
recuperarse del choque.
El único ser vivo del que se tiene conocimiento [WHI] que ha fallecido en nuestros tiempos
debido a un meteoro, ha sido un perro egipcio, en el año 1911.
El único caso en la historia donde la humanidad ha sido testigo de un impacto de cuerpos
celestes es el del famoso cometa Shoemaker-Levy 9 [BAA]. Este cuerpo impactó contra
Júpiter en julio de 1994, dejando de manera gráfica las consecuencias que podría tener la
Tierra si tuviera el mismo destino. El cometa se fragmentó antes de impactar debido a la
inmensa fuerza gravitacional de Júpiter y los restos cayeron entre el 16 y 22 de julio a una
velocidad aproximada de 60 km/s. Las huellas del impacto que pudieron verse durante
varios meses eran más reconocibles que la propia Gran Mancha Roja.
El cometa fue descubierto el 24 de marzo de 1993 por los astrónomos David Levy y
Carolyn y Eugene M. Shoemaker. Se percataron de su existencia a través de una foto
tomada con el telescopio de 40 cm del Observatorio de Monte Palomar en California. Era el
4
primer cometa observado en orbitar un planeta, que habría sido capturado por Júpiter de 20
a 30 años antes.
Recientes observaciones con el telescopio Spacewatch indican que el flujo de objetos de
menos de 50 metros de diámetro que cruzan la atmósfera terrestre es de 10 a 100 veces
mayor que lo previsto por la población presente en el cinturón de asteroides. Esto implica
que habría un mayor peligro para nosotros respecto a cálculos anteriores. Sin embargo,
Christopher Chyba, actual profesor de Ciencias Astrofísicas y Asuntos Internacionales de la
Universidad de Princeton, ha demostrado en un artículo publicado en la revista Nature que
la explosión de objetos menores a 50 metros ocurre muy alta en la atmósfera como para
causar suficiente daño a la superficie [CH1, CH2]. Únicamente los objetos de composición
férrica, que representan el 2-10% de los asteroides que entran, amenazan la Tierra [BLA].
Los objetos más grandes, con energía mayor a 1 megatón, devastan la superficie sin
importar si están compuestos de hierro, roca o carbón. Los objetos de hierro provocan
cráteres, mientras que los de roca y carbón explotan a suficiente baja altitud como para
derribar árboles y dañar edificios sobre miles de kilómetros cuadrados. Chyba considera a
un objeto como amenaza sustancial si causa alguno de los efectos anteriores.
Un estudio detallado del peligro que representan los impactos de cometas y asteroides de
acuerdo a la distribución de la población y a la escala de tiempo en que ocurren, puede
encontrarse en [LEW] y [STE].
En el Apéndice A se encuentra una tabla que reúne varios eventos relacionados con la caída
de meteoros pequeños.
A partir de la década de los sesenta, y a través de sondas espaciales, comenzó la
exploración del sistema solar, descubriendo la historia de la formación de cráteres en la
Tierra, la Luna y en los demás planetas. Esto impulsó el desarrollo de técnicas para
determinar las propiedades fisicoquímicas de los cuerpos responsables de la formación de
cráteres, así como su tamaño mediante el espectrómetro de masas.
No sólo era necesario conocer las propiedades básicas de los cuerpos, sino saber cuál es el
conjunto potencial de objetos que podrían chocar contra la Tierra. Es por eso que el
Congreso de Estados Unidos ordenó a la NASA en 1998, identificar como mínimo el 90%
de los cometas y asteroides de más de 1 km de diámetro que recorren el sistema solar.
También se planea poner en órbita al Large Synoptic Survey Telescope, que comenzará el
escrutinio a detalle en 2014.
Para abril de 2008, los astrónomos habían catalogado más de 950 cuerpos que orbitan el
sistema solar, considerados potencialmente peligrosos para la Tierra. Estos objetos tienen
más de 140 m de diámetro y pasan a 7.4 millones de km del planeta. Son llamados NEOs
(Near Earth Objects, por sus siglas en inglés) y son objeto de estudio actual por parte de
muchos centros de investigación a nivel mundial. Según los cálculos, se cree que ninguno
5
de ellos colisionará contra nosotros, pero son constantemente monitoreados, recalculando
sus posiciones y el riesgo de impacto que representan. De entre ellos, se encuentra Apofis,
que es un asteroide que pasará a 34 mil km de la Tierra en 2029. Si durante esta travesía,
Apofis pasara por un corredor clave, de acaso unas decenas de metros de ancho, la
gravedad de la Tierra cambiaría el rumbo del asteroide para ponerlo justo en nuestro
camino en la siguiente visita, programada en 2036. La probabilidad de que Apofis pase por
este corredor es de 1 en 45000 [STO, BAI].
Actualmente son extremadamente pocos los centros de investigación que se dedican a
plantear el problema de desviar a un cometa o asteroide en su curso seguro contra la Tierra.
Se han propuesto varios métodos para mitigar la trayectoria de tales cuerpos sidéreos
[AST]. Hasta ahora, el método más efectivo es el de explotar el cuerpo mediante armas
nucleares. No obstante, entra en conflicto con el Tratado del Espacio Exterior, el cual
prohíbe el uso de armas nucleares en el espacio, y más aún, decidir qué nación presiona el
botón se vuelve un gran dilema [CHYBA, NUC]. Así como se considera a Edward Teller el
padre de la bomba de hidrógeno, se ha dado el crédito a Vadim Simonenko de Rusia como
el padre de la bomba de asteroides, propuesta en 1960. Tiene su homólogo en Estados
Unidos, David Dearborn, del Lawrence Livermore National Laboratory, ubicado al norte
de California.
La única misión espacial que ha sido planeada hasta ahora respecto al desvío de objetos
cercanos a la Tierra, ha corrido a cargo de la Agencia Espacial Europea, quien contrató a la
empresa española DEIMOS Space para liderar la misión. Ésta a su vez fue apoyada por
otros centros de investigación y universidades de Europa. El objetivo de la misión llamada
Don Quijote [GAL] consiste en obtener conocimiento acerca de la naturaleza de los
asteroides, que tiene una alta prioridad científica pero es inaccesible para la generación
actual de misiones a asteroides. De misma importancia es la reunión de información para
ser aplicada al caso crítico de tener que desviar a un asteroide fuera del curso de colisión
contra la Tierra. Durante la misión Don Quijote, mientras se impacta una nave (Hidalgo)
sobre un asteroide, otra (Sancho) orbita cerca del asteroide y observa los efectos. Se
pretende comenzar la misión en 2011.
1.2 Historia e importancia del evento de Chicxulub
De acuerdo a la abundante evidencia geológica, un cometa o asteroide de aproximadamente
diez kilómetros de diámetro golpeó la Tierra hace alrededor de 65 millones de años. El
impacto provocó una gran explosión y un cráter de 180 kilómetros. Los restos de la
explosión fueron lanzados hacia la atmósfera, alterando el clima, y en consecuencia, la
extinción de cerca de tres cuartas partes de las especies de aquel entonces, incluidos los
dinosaurios.
6
La importancia del evento de Chicxulub radica en que, según Keller, fue el responsable de
la última de 5 grandes crisis biológicas que han existido en la historia de la Tierra en un
lapso de 450 millones de años [CYT]. Además, visualiza una extinción como una
oportunidad de vida en la Tierra; es el primer paso para adecuar la vida en un planeta en
permanente transformación. Si bien se puede pensar que se propicia la discontinuidad
biológica, los organismos sobrevivientes prosperan y se diversifican, y llegan a veces a
dominar.
Por otro lado, Steel indica que son 9 extinciones masivas en un rango de 260 millones de
años [STE]. Lo increíble del caso es que de acuerdo con una publicación de David Raup y
Jack Sepkoski de la Universidad de Chicago, las extinciones masivas de fauna siguen un
patrón periódico de 26 a 30 millones de años, siendo el mismo lapso de tiempo que el
encontrado en el registro de cráteres por Walter Álvarez y Richard Muller a mediados de
1984 (Fig. 1.2).
Fig. 1.2: Intensidad de la extinción marina a través del tiempo. Las barras azules muestran el
porcentaje relativo de las especies animales extintas durante el rango mostrado. No
representa todas las especies marinas, sólo aquellas fosilizadas. (Adaptación de [RAU])
Los fósiles encontrados en las diferentes capas del suelo correspondientes a distintas eras
geológicas, muestran un registro lento y gradual en las especies: organismos simples que
gradualmente se ven reemplazados por organismos más complejos, aparentemente por
procesos dirigidos por selección natural. Por ejemplo, mil millones de años atrás, los
océanos mantenían únicamente organismos simples como algas, mientras que la tierra se
mantenía relativamente sin vida. Los fósiles de peces aparecen en los estratos sólo después
de 500 a 600 millones de años; los dinosaurios habitaban la tierra cerca de 200 millones
atrás; los mamíferos, poco después de 65 millones de años, y finalmente, las criaturas
semejantes a los humanos aparecieron en el registro fósil sólo en los últimos 4 millones de
7
años [45]. Puede que no se hayan desarrollado los mamíferos, tal como los conocemos hoy
en día, si no es por la crisis biológica causada por el evento de Chicxulub.
Desde que la secuencia de fósiles comenzó a ser registrada alrededor de 1800, los geólogos
se dieron cuenta de que había discontinuidades en la secuencia cuando un grupo de especies
fosilizadas daba lugar a otros grupos durante intervalos cortos de tiempo. Es así como estas
discontinuidades fueron la base para dividir el tiempo geológico en diferentes eras con
nombres distintos. Por ejemplo, la era Paleozoica dio el paso a la era Mesozoica de formas
medianas de vida, la que dio lugar a la presente era Cenozoica. Más aún, las eras se dividen
en períodos, y éstos últimos, en edades. Antes de 1980, las causas de las discontinuidades
eran desconocidas y eran atribuidas al cambio climático o se pasaban por alto en muchos
libros de geología.
Es también en el siglo XIX cuando se comienza el estudio científico de los dinosaurios, y
de esa forma comenzarían las distintas hipótesis del porqué su repentina extinción. Cabe
mencionar que el término dinosaurio proviene del griego deinos, “terrible” y saura,
“lagarto” o “reptil”. Fue propuesto por el paleontólogo británico Richard Owen en 1842
[CYT].
Después de saber las razones para dividir el tiempo en eras geológicas, es importante
introducir el evento de Chicxulub en ese contexto. Se tiene ampliamente asociado el evento
de Chicxulub con la transición del período Cretácico de la era Mesozoica con el período
Terciario de la era Cenozoica. Se acostumbra a escribir la transición o límite anterior
brevemente como K/T, donde la K se refiere a la palabra alemana Kreidezeit, que hace
alusión a una roca rica en fósiles, muy común en ese período. La T se refiere al período
Terciario. El límite K/T ocurrió hace 65.5 millones de años y en él hubo una extinción
masiva de plantas y animales en un lapso de tiempo muy corto. Alrededor del mundo es
posible encontrar una capa delgada de sedimentación correspondiente al límite K/T.
Además, un número muy reducido de fósiles de dinosaurios ha sido encontrado arriba del
este límite, lo que indica que pudieron haber quedado extintos inmediatamente antes o
durante el evento.
En el evento de Chicxulub, el meteoro que golpeó la Tierra dejó un cráter de impacto, hoy
en día sepultado bajo la Península de Yucatán. El cráter recibe el nombre de Chicxulub
porque su centro se encuentra cerca del pueblo de Chicxulub. Una traducción aproximada
del nombre maya sería “la cola del diablo”. El centro del cráter se encuentra unos
kilómetros mar adentro de la costa de Yucatán (Fig. 1.3). Se sabe que el cráter tiene una
edad aproximada de 65 millones de años por la edad de las rocas y por un análisis de
isótopos.
8
Fig. 1.3: Localización del Cráter de Chicxulub. Las coordenadas geográficas del epicentro son
21° 24′ 42″ N, 89° 31′ 18″ W. (David Fuchs, NASA/JPL-Caltech)
Se considera a Glen Penfield el descubridor del cráter de Chicxulub. Penfield trabajaba para
la compañía mexicana Petróleos Mexicanos, como parte de un estudio aéreo del campo
magnético en el norte de la Península de Yucatán. Su labor era utilizar datos geofísicos para
localizar posibles lugares de obtención de petróleo. Dentro de los datos, Penfield encontró
bajo el agua un gran arco de extraordinaria simetría dentro un anillo de 70 kilómetros de
diámetro. Después obtuvo un mapa de la gravedad de Yucatán hecho en 1960. Una década
antes, el mismo mapa sugería al contratista Robert Baltosser una característica de impacto,
pero se le prohibió publicar su conclusión debido a las políticas corporativas de Pemex de
aquel entonces. Posteriormente, Penfield encontró otro arco dentro de la propia Península,
cuyos extremos apuntaban esta vez hacia el norte. Al comparar los dos mapas, visualizó
que los dos arcos formaban un círculo de 180 km de diámetro, centrado cerca del pueblo de
Chicxulub. De ahí aseguró que esa forma había sido creada por un evento catastrófico en la
historia geológica.
En febrero de 2008, un equipo de investigadores dirigidos por Sean Gulick de la Jackson
School of Geosciences de la Universidad de Texas en Austin empleó imágenes sísmicas del
cráter para determinar que el cuerpo cayó más lejos, dirección mar adentro, de lo que se
había supuesto en un principio. Si así fuera, argumentaron que habría resultado en un
incremento en aerosoles de sulfato hacia la atmósfera. De acuerdo a la prensa, “habría
hecho al impacto más mortífero en dos maneras: alterando el clima (loas aerosoles de
sulfato en la alta atmósfera pueden tener un efecto enfriador) y generando lluvia ácida (el
vapor de agua puede ayudar a desalojar la baja atmósfera de aerosoles de sulfato, causando
lluvia ácida)”.
9
Pemex no permitió que se hicieran públicos datos específicos pero dejó a Penfield y a su
compañero Antonio Camargo presentar sus resultados en la conferencia de la Sociedad de
Geofísicos Exploradores de 1981. En ese año, la conferencia no tuvo mucha audiencia y su
reporte no llamó la atención adecuada. Irónicamente, muchos expertos en cráteres de
impacto y el límite K/T estaban presentes en otra conferencia sobre impactos en la Tierra.
Aunque Penfield tenía bastantes datos geofísicos, no tenía núcleos de roca u otra evidencia
física de un impacto.
Al mismo tiempo que Penfield había hecho el descubrimiento de los anillos en el Golfo de
México, Luis y Walter Álvarez elaboraban la hipótesis de que un cuerpo de grandes
dimensiones había golpeado a la Tierra en el límite K/T, siendo el responsable de la
extinción masiva de las especies.
Luis Álvarez, ganador del premio Nobel de Física de 1968, su hijo Walter Álvarez de la
Universidad de California en Berkeley, y los químicos Frank Asaro y Helen Michel,
descubrieron que las capas sedimentarias encontradas alrededor del mundo en la capa del
límite K/T, contienen una concentración de iridio cientos de veces más que lo normal. El
iridio es extremadamente raro en la corteza terrestre por ser muy denso, y es por ello que
todo el que hay, se hundió al núcleo de la Tierra cuando apenas se formaba. Los meteoritos
condríticos y asteroides contienen una concentración de iridio mucho más alta que la que se
encuentra en nuestro planeta (Fig. 1.4). Además, la razón isotópica de iridio en asteroides
es similar a la de la capa del K/T, pero significativamente diferente a la de la corteza
terrestre. Este razonamiento llevó al equipo de Álvarez a elaborar su hipótesis. No obstante,
el lugar donde había impactado el cuerpo era desconocido para el equipo. Poco tiempo
después conocerían el hallazgo de Penfield y reforzarían su hipótesis. Un recuento a fondo
de la historia de la formulación de esta hipótesis puede encontrarse en [ALV].
10
Fig. 1.4: Capa de iridio, meteoritos y equipo de investigación de la extinción del K/T. a) La
capa intermedia de piedra arcillosa del K/T contiene mil veces más iridio que las capas
aledañas. La roca es de Wyoming, EUA. (E. Zimbres/Museo de Historia Natural de San
Diego). b) Tres muestras de meteoritos de tipo condrito carbonáceo (NASA/JSC). c) Equipo
de investigación de la extinción masiva del K/T: Helen Michel, Frank Asaro, Walter Álvarez y
Luis Álvarez en 1980 [ALV].
Al utilizar estimados del total de iridio en la capa del K/T, y asumiendo que el asteroide
contenía el porcentaje normal encontrado en condritos, el equipo de Álvarez calculó el
tamaño del asteroide. La respuesta fue aproximadamente un cuerpo de 10 kilómetros de
diámetro, cerca del tamaño de Manhattan. Un impacto provocado por tal cuerpo habría
liberado 4x1023 J de energía, equivalente a 1x108 megatones de TNT, es decir, cerca de 2
millones de veces la bomba nuclear más poderosa alguna vez probada. Incluso la erupción
volcánica más grande conocida, que liberó 1x1021 J y creó la Caldera de la Garita en el
suroeste de Colorado, fue sustancialmente menos potente que el impacto en Chicxulub.
Entonces, el tamaño inicial del meteoro sugerido no tiene relación con el tamaño del cráter,
sino con la cantidad de iridio presente en la capa de sedimentaria del límite K/T esparcida
por todo el mundo.
No fue el equipo de Álvarez quien propuso por vez primera que el responsable de la
extinción K/T fuera un cuerpo proveniente del espacio. Para 1953, Allan O. Kelly y Frank
Dachille publicaron en la revista Earth Science un artículo llamado “Target: Earth – The
Role of Large Meteors”. Tres años después, W. De Laubenfels escribió el artículo
“Dinosaur Extinction: One More Hypothesis” en Journal of Paleontology, donde sugería la
extinción K/T como consecuencia de un impacto de meteoro. No obstante, la falta de
evidencia dejó sus trabajos sin sustento.
11
Tan sólo han pasado treinta años de la publicación de la teoría de Álvarez, y en ese tiempo
ha suscitado gran conmoción, tanto en la comunidad científica, como en el público en
general. Entre los grupos minoritarios que se oponen a las conclusiones de Álvarez, se
encuentra Gerta Keller de la Universidad de Princeton y su equipo de trabajo. Ella está de
acuerdo con la caída de un meteoro en Chicxulub, mas no que haya sido el causante de la
extinción masiva del K/T. En contra, propone que tal crisis fue provocada por la erupción
masiva de los volcanes de la India, en una región conocida como el Decán [CYT].
Para concluir con el debate, un grupo de 41 expertos de todas partes del mundo, publicó un
artículo en la revista Science del 5 de marzo de 2010 [SCHU]. El trabajo fue dirigido por el
alemán P. Schulte, y da a entender al mundo que, efectivamente, el evento de Chicxulub
fue el responsable de la extinción del K/T (Fig. 1.5). Sin embargo, de su artículo se infiere
que todavía no se sabe ciertamente si fue un asteroide o cometa el responsable del evento.
Tan sólo un par de años a la fecha se ha optado por nombrar al límite K/T como K/P, por
Paleógeno en lugar de Terciario. Esto se debe a que la Comisión Internacional de
Estratigrafía descartó el Terciario como tiempo formal o unidad de roca.
Fig. 1.5: Impresión artística del Evento de Chicxulub [HAR]: a) La Tierra como se veía hace
65 millones de años. América apenas se separaba de Europa y África. b) Un minuto antes del
impacto. c) Dos segundos antes del impacto. d) Un minuto después del impacto. e) La Tierra
está cubierta por una capa de polvo un mes después del impacto. f) Mil años después del
impacto el polvo se ha ido y el cráter es visible.
12
Podemos resumir la evidencia actual que indica la creación de un impacto hace 65 millones
de años:
1. El exceso de iridio en una capa de suelo de hace 65 millones de años ha sido
confirmado en muchos puntos alrededor del mundo.
2. La misma capa de suelo contiene granos de cuarzo que fueron deformados por altas
presiones de choque, como ocurriría en una gran explosión.
3. La misma capa de suelo contiene suficiente hollín para quemar todos los bosques
del mundo. Esto sugiere que incendios masivos se llevaron a cabo al tiempo del
impacto.
4. La misma capa de suelo, específicamente alrededor del Golfo de México, contiene
una cantidad masiva de rocas redondas enormes, que serían generadas en un gran
tsunami. La distribución geográfica de los yacimientos del tsunami sugiere que el
impacto fue en el área del Caribe.
5. Después de años de búsqueda, los científicos identificaron en la década de 1980 el
cráter asociado con el material de los puntos anteriores. Yace bajo los sedimentos de
la costa de Yucatán y solamente es visible a través de mapas que indican la fuerza
del campo de gravedad sobre esa área, y por perforaciones. Se ha fechado en 65
millones de años.
6. Los astrónomos han catalogado numerosos asteroides que cruzan la órbita de la
Tierra. De estudios de la estadística de órbitas, se estima que asteroides del tamaño
de 10 km pueden golpear al planeta aproximadamente cada cien millones de años,
lo que concuerda con la idea de que realmente fuimos embestidos 65 millones de
años atrás por un objeto de ese tamaño. Los impactos más pequeños son mucho más
comunes.
Es difícil predecir cuáles fueron los efectos exactos del impacto. No obstante, se han hecho
experimentos de impactos gigantes en simulaciones por computadora [MEL, ALAMOS].
Durante el impacto, la energía cinética del meteoro es convertida en energía explosiva,
levantando polvo, tierra y rocas del suelo no sólo hacia la atmósfera sino al espacio
exterior, donde regresan al planeta en forma de bolas de fuego surcando el cielo. La energía
radiante de esos aerolitos habría calentado la superficie a temperaturas de ebullición por
algunos minutos, y habría sido suficiente para cobrar la vida de muchos animales y plantas
en la superficie. Por otro lado, en regiones de fuertes lluvias o nevadas, los organismos
habrían sobrevivido unas cuantas horas más. Las creaturas marinas habrían soportado los
efectos en las primeras horas, pero el plancton en la superficie habría muerto tras semanas
de oscuridad, disminuyendo el soporte alimenticio para los peces pequeños, mismos que
afectarían a los grandes y así sucesivamente.
13
Es posible conocer la tremenda cantidad de energía liberada en el impacto mediante el
análisis de vuelo del meteoro a través de la atmósfera. Antes de proceder, primero es
necesario tener en cuenta qué simulaciones relacionadas a la entrada de meteoros han sido
realizadas en la bibliografía conocida.
1.3 Modelos computacionales conocidos de la entrada atmosférica de meteoros
Los autores que han desarrollado modelos de la entrada atmosférica de meteoros son
realmente escasos alrededor del mundo. El número se reduce aún más si consideramos a los
que se han dedicado específicamente al evento de Chicxulub. En este apartado se describen
los elementos más importantes de cada modelo conocido con el fin de tener referencias que
sustenten el desarrollo del modelo presentado en este trabajo.
Máximo Roa y José Portilla de la Universidad Nacional de Colombia [ROA],
desarrollaron un modelo de entrada de asteroides en atmósferas planetarias, basado en el
trabajo de Chyba [CHY]. Solucionaron el modelo numéricamente aplicándolo al caso
Tunguska y después obtuvieron resultados para las atmósferas de Marte y Venus.
Las ecuaciones del modelo no se adimensionalizaron. El tamaño de los objetos se encuentra
en el rango de 20 a 30 metros. La velocidad de entrada es de 15 km/s para los tres tipos de
asteroides, y 25 y 50 km/s para dos tipos de cometas. Optaron por el método numérico de
diferencias finitas para la solución antes de la fragmentación de los cuerpos y el método de
RADAU, ampliamente utilizado en astronomía, para después de la fragmentación.
La disipación de la energía de los meteoros en la atmósfera es visualizada a través de la
energía depositada por unidad de altura dE/dh [SEK]. La geometría de los cuerpos es
representada por un cilindro de base y altura de igual magnitud. Además, emplearon el
modelo de la variación del radio después de la fragmentación mediante una ecuación
diferencial no lineal de segundo orden [CHY, COLL, LYN].
El ángulo de entrada para todos los casos es de 45°, ya que constituye el ángulo de
inclinación más probable para un objeto incidente sobre un planeta. También utilizan el
modelo de la atmósfera exponencial. Por otra parte, la gravedad es modelada con la forma
más conocida de la ley de gravitación universal.
Por su parte, C.R. McInnes, profesor de la Universidad de Glasgow, investigó la dinámica
de un cuerpo que presenta ablación en su paso por la atmósfera terrestre a velocidades
hipersónicas [MCINN]. Para ello empleó el método de las expansiones asintóticas
acopladas. Esta metodología le permitió obtener soluciones analíticas que representan en
forma cerrada la travesía del vuelo exoatmosférico al endoatmosférico.
14
Además, las pérdidas de masa por ablación y de energía por resistencia inducida pueden
obtenerse explícitamente de las condiciones exoatmosféricas iniciales (elementos orbitales).
Las variables fueron adimensionalizadas con el fin de obtener un conjunto reducido de
ecuaciones dinámicas. El cambio en la sección transversal del cuerpo es modelado a través
de un parámetro de variación de forma , representado por la ecuación de Weibull. No
considera la explosión de los cuerpos en la atmósfera.
McInnes ensaya su modelo en dos casos. En el primero trata con un cometa de 1 km de
diámetro y densidad de 500 kg/m3, entrando a 30 km/s. En el segundo prueba con un
cuerpo denso de 3580 kg/m3 y 10 cm de diámetro, entrando a 25 km/s. Para ambos casos
utilizó el modelo de atmósfera estándar con
= 1.2 kg/m3 y H = 9.6 km. El recorrido
comienza a 150 km de altura. Al igual que Roa y Portilla, emplea 45° como ángulo de
entrada. El campo gravitacional fue modelado de forma sencilla en función del radio de la
Tierra y de la constante
.
Christopher Chyba, actual profesor de Ciencias Astrofísicas y Asuntos Internacionales de
la Universidad de Princeton, elaboró un código para simular las explosiones de Tunguska y
Revelstoke. De ahí partió para modelar ocho objetos reportados por Rabinowitz et al como
peligrosos. Probó con asteroides constituidos de carbón, piedra o hierro, además de
cometas. El tamaño en todos los casos siempre fue menor a 100 m. Considera la altura de
explosión, velocidad y probabilidad de impacto, la energía en kilotones y los elementos
orbitales a, e e i de cada cuerpo. Argumenta que la baja velocidad promedio de impacto
( 15 km/s) de los asteroides que coinciden con nuestro planeta es el resultado de sus
órbitas heliocéntricas similares a la órbita de la Tierra [CHY].
Utiliza las ecuaciones de Öpik que abarcan la física del vuelo de los meteoros en la
atmósfera. Define la energía de explosión como la que se deposita por el objeto en la
atmósfera, después de que se ha expandido dos veces su radio inicial. Finalmente discute
los posibles efectos catastróficos que pueden tener los impactos en función de su energía de
explosión, ya sea en el momento del impacto o a determinada altura sobre la superficie.
No especifica el modelo de campo gravitacional ni de atmósfera empleados.
Gareth Collins, del Colegio Imperial de Londres, junto con Jay Melosh y Robert Marcus,
de la Universidad de Arizona, desarrollaron una aplicación en Internet que permite estimar
rápidamente las consecuencias medioambientales del impacto de un cometa o asteroide en
la Tierra [COLL]. La aplicación requiere seis entradas: diámetro del proyectil, densidad del
proyectil, velocidad antes de la entrada atmosférica, ángulo de impacto, la distancia desde
el impacto donde los efectos medioambientales se desean calcular, y el tipo de superficie
donde ocurre el impacto (roca sedimentaria, roca cristalina o capa de agua sobre roca).
En un artículo publicado en Meteoritics & Planetary Science, ilustran la utilidad del
programa examinando las consecuencias medioambientales a lo largo de Estados Unidos,
donde el impacto hipotético ocurre en Los Ángeles. Tratan con asteroides de roca con
15
densidad de 2000 a 3000 kg/m3 y de hierro con densidad de 8000 kg/m3. Los asteroides
entran con una velocidad de 12 a 20 km/s [BOTT]. Para los cometas, indican que no se
cuenta con un conocimiento detallado de su composición, sin embargo, los tratan como
esferas de hielo con una densidad de 500 a 1500 kg/m3. La velocidad de entrada se ensaya
para valores entre 30 y 70 km/s.
Además, en el mismo artículo presentan el desarrollo analítico de las ecuaciones que
integran el programa de Internet. La descripción es específica para cuerpos menores a 1 km
de diámetro. Posterior a la fragmentación de los cuerpos, el sistema dinámico involucra una
ecuación diferencial no lineal de orden dos, misma que denominan pancake model.
Construyen una solución analítica para la ecuación anterior, tomando en cuenta una
sustitución de la derivada respecto al tiempo por una derivada respecto a la altura. Utilizan
el modelo de la atmósfera exponencial con = 1 kg/m3 y H = 8 km. La aceleración debida
a la gravedad se ignora, así como la desviación de la trayectoria respecto a la vertical en el
caso de que se alcance la velocidad terminal, como puede suceder con cuerpos pequeños.
Encontraron que los efectos más devastadores que alcanzan lugares lejanos son los sismos.
Cerca del lugar del impacto, la radiación térmica es lo más perjudicial, no obstante, la
curvatura de la Tierra implica que las localidades distantes son protegidas de la radiación
directa porque el fuego se encuentra fuera del horizonte.
La aplicación puede ser visitada en www.lpl.arizona.edu/impacteffects
En el libro de J. Lewis, Comet & Asteroid Impact Hazards on a Populated Earth:
Computer Modeling, se ofrece la primera simulación computacional detallada y realista,
según el autor, del bombardeo de asteroides y cometas sobre una Tierra habitada [LEW]. Se
hace un recuento estimado de las muertes y daños causados por la energía del proyectil. Los
resultados de la simulación son comparados con los registros históricos.
En la simulación hace uso de asteroides de roca, hierro y carbón, además de cometas de
período corto y período largo. La ablación se representa por una distribución de Weibull,
que es similar a la ecuación de Weibull.
Respecto a los valores asociados con la velocidad y densidad de los objetos, fueron
bastantes los utilizados. De ahí que la simulación haya sido desarrollada con el Método de
Montecarlo. Por ejemplo, la velocidad es función de números aleatorios que se asignan con
la función Rnd (random), de acuerdo al tipo de proyectil. Todas las ecuaciones dinámicas
empleadas en la simulación son especificadas en el libro, pero no su deducción. Al igual
que la mayoría de las referencias, utiliza en modelo de atmósfera exponencial con
=
3
1.295 kg/m y H = 5.8 km. Los ángulos de entrada son generados aleatoriamente con una
teoría simple [SHOE]. El diámetro de los meteoros no se especifica, en cambio, se tiene
una idea de su tamaño con la energía cinética total al momento de la entrada.
En la Universidad de Southampton, Nick J. Bailey et al desarrollaron una herramienta de
simulación computacional, llamada NEOSim, capaz de modelar impactos pequeños de
16
NEOs y su efecto en la población global [BAI]. Se basan en el modelo de Collins et al para
el desarrollo de las ecuaciones dinámicas, tanto de trayectoria como de efectos en la
superficie, incluido el pancake model. El estudio se enfoca en dos casos. En el primero
sugieren el daño potencial que sufriría Reino Unido, elaborando un mapa que muestra el
índice de muertes a lo largo de la región. En el segundo caso realizan la simulación del
impacto potencial de Apofis en 2036. Muestran la trayectoria que seguiría en su paso por la
Tierra, visualizando los lugares de posible colisión.
Para la situación de Reino Unido, el objeto que modelan es un NEO con 150 m radio,
velocidad de entrada de 25 km/s, densidad de 2600 kg/m3, esfuerzo último del material de
10 MPa y calor de ablación igual a 8 MJ/kg. La simulación comienza a 106 km de altura.
En el caso de Apofis, que es un asteroide monolítico, los valores iniciales son: 320 m de
radio, densidad de 2600 kg/m3 y velocidad de entrada de 12.65 km/s.
En el programa NEOSim se integran tres modelos para estudiar la fragmentación de los
cuerpos:
Modelo de objeto sencillo para objetos robustos de gran resistencia
Fragmentación catastrófica para objetos débiles
Fragmentación progresiva para objetos prefragmentados
James E. Lyne y Michael E. Tauber de la Universidad de Tennessee en Knoxville y
Richard M. Fought de la Universidad de Stanford han desarrollado un modelo
computacional de la trayectoria de entrada de meteoros, aplicado al evento de Tunguska
[LYN]. Dentro del modelo destacan que una trayectoria precisa debe incluir una evaluación
de la fragmentación mecánica y de la ablación térmica. Esta última se trata con detalles
como el enfriamiento por radiación de la capa de choque de los gases y el efecto del
bloqueo de la radiación por productos de la ablación que se desprenden de la superficie del
meteoro. Los cálculos son aproximados dado que las propiedades de los gases no están bien
establecidas a las presiones y temperaturas a las que entran los meteoros.
Aseguran que mientras la pérdida de masa por ablación no es importante para objetos
extremadamente grandes, se debe estimar con precisión para predecir correctamente las
trayectorias de objetos de decenas de metros de diámetro.
Para los asteroides, las velocidades de entrada se consideran entre 12.5 y 20 km/s, en tanto
que para los cometas se ensayan próximos al límite inferior de 20 km/s. Utilizan una
geometría de elipsoide romo con un CD=1.2, en vez de 1.7 propuesto por Chyba, pues
suponen que los meteoros tienen orillas redondas que disminuyen considerablemente la
17
resistencia al avance. El modelo de deformación mecánica empleado es el sugerido por
Chyba, así como las características físicas de los bólidos.
Concluyen que los condritos carbonáceos de 50 a 100 m de diámetro se fragmentan en el
rango de 6 a 10 km, característico del evento de Tunguska.
K.O. Pope et al del centro Geo Eco Arch Research en California [POP], modelaron el
impacto del asteroide de Chicxulub. Para ello se auxiliaron de un código de dinámica de
fluidos en dos dimensiones, aunque no realzan los datos del objeto ni de la trayectoria. Más
bien, resaltan la importancia del sulfuro liberado a la atmósfera durante el impacto como
probable causa de un invierno nuclear. Sólo se indican cálculos de transferencia de calor
por radiación.
Un equipo de la División de Física Aplicada del Laboratorio Nacional de Los Álamos en
Nuevo México, creó una simulación tridimensional del impacto de Chicxulub en base a
códigos propios. Galen Gisler, Bob Weaver y Charles Mader, trabajando en conjunto con
Michael Gitting de la Science Applications International Corporation (SAI) generaron una
imagen dinámica del impacto. Adicionalmente, colaboraron con Jay Melosh y un equipo de
investigación de la Universidad de Arizona, quienes aconsejaron sobre la simulación física
y los parámetros escogidos.
El modelo se enfoca en los efectos posteriores inmediatos al impacto, desde que el
asteroide entra a la atmósfera terrestre hasta que se sumerge en el agua y en las capas de
calcita, granito, y manto.
El código es de la clase de refinamiento por malla adaptativa continua SAGE (continuous
adaptive mesh refinement). Este es un código de dinámica de fluidos, multicomponente,
multifase, completamente compresible, que emplea un esquema de Godunov con una
exactitud de segundo orden. Ha sido probado extensamente en problemas analíticos y
experimentos a gran escala en laboratorio, además ha sido acondicionado para tratar
eventos geofísicos de gran tamaño, incluyendo erupciones volcánicas y tsunamis.
De su trabajo, se puede rescatar que el material arrojado simétricamente alrededor del cráter
es mayor en la dirección en la que cayó el meteoro, que de sentido opuesto. Tal distribución
puede usarse para determinar la dirección y ángulo de impacto del meteoro. Los restos que
han sido encontrados en el perímetro del cráter son consistentes con una dirección del
meteoro proveniente del sur.
La geometría del cuerpo es modelada como una esfera de 12 km de diámetro. La
simulación se comienza a 78 km de altura. La altura de escala H para la atmósfera
exponencial se ubica en 7 km. La velocidad de entrada es de 20 km/s; la densidad es la del
granito y los ángulos de entrada respecto a la horizontal local son 15°, 30°, 45° y 60°.
Únicamente para el caso de 15°, la simulación comienza a 40 km. En cuanto a las
propiedades de la superficie de impacto, se considera una profundidad de agua de 500 m,
18
una mezcla de calcita sólida y agua en una región de 4.5 km de espesor, estratificada
linealmente desde sólo agua en la superficie hasta sólo calcita en el fondo; después, una
región de granito de 30 km de espesor y finalmente una región de manto de 15 km de
espesor.
Las gran cantidad de ecuaciones utilizadas fueron obtenidas de la biblioteca SESAME,
además de una ecuación tabular especial para el agua que incluye casi todas las transiciones
de fase conocidas del agua, esta última desarrollada por SAI. Todas las ecuaciones están
integradas al código SAGE.
El dominio computacional de la simulación es una caja de 256x256x128 km. Se corren las
simulaciones hasta que prácticamente todo el material arrojado ha alcanzado trayectorias
balísticas o ha sido esparcido localmente.
Elisabetta Pierazzo y Jay Melosh de la Universidad de Arizona, realizaron un modelo
tridimensional en código de dinámica de fluidos del evento de Chicxulub, enfatizando la
importancia de la variación del ángulo de entrada para entender cómo afecta los resultados
de los impactos [PIE].
Se modela un asteroide de 10 km de diámetro con una velocidad de 20 km/s. El blanco
posee las características de la litología de Chicxulub. Los ángulos ensayados son 90°, 60°,
45°, 30° y 15°.
Encontraron que la cantidad de sedimentos o capas de superficie vaporizadas en el impacto
alcanza un máximo para un ángulo de 30° respecto a la superficie, correspondiente a menos
de dos veces la cantidad de vaporización para el caso vertical.
Los mismos dos autores en colaboración con D.A. Kring, construyeron un modelo
numérico del impacto de Chicxulub utilizando el paquete ANalytical Equation of State
(ANEOS). Las simulaciones revisan los efectos de los proyectiles de diferentes tamaños
(10 a 30 km de diámetro) y porosidad (0 a 50%). La velocidad de entrada para asteroides se
fija en 20 km/s y para los cometas, 50 km/s. Los cálculos indican que la masa de vapor de
agua, el dióxido de carbono y el sulfuro en conjunto, fueron los responsables de una
perturbación repentina y significante en el clima de la Tierra.
Tewari y Regan & Anandakrishnan hacen modelos computacionales de entrada
atmosférica, pero son enfocados a vehículos tripulados.
Como hemos visto, los diferentes autores hacen hincapié ya sea en la trayectoria, en las
probabilidades del impacto, en las consecuencias del impacto, o en una combinación de las
anteriores. Nosotros sólo nos enfocaremos en la trayectoria de diferentes tipos de meteoros,
aplicando un modelo de fragmentación mecánica y un modelo sencillo de ablación.
19
Es interesante observar el tipo de consecuencias que trae el impacto de un meteoro de gran
tamaño contra la Tierra. En los diversos trabajos revisados se establecen las posibles
catástrofes de semejante evento, como estampido sónico, luz cegadora intensa, quemaduras
severas causadas por radiación, vientos con velocidades de cientos de kilómetros por hora,
ondas de explosión, bolas de fuego, incendios y tsunamis.
Son pocos los autores que han tratado específicamente con el evento de Chicxulub.
Además, utilizaron programas de dinámica de fluidos computacional avanzados con
bibliotecas de funciones. Esto les permitió enfocarse en fenómenos todavía más complejos,
como modelar la interacción del meteoro con la superficie y la estimación de la cantidad de
material que se aventó a la atmósfera y el que se vaporizó. No explican a detalle la
trayectoria, pero consideramos la mayor cantidad de datos para sustentar nuestro modelo.
En el tercer capítulo se explican los valores elegidos de las variables y las razones para ello.
En el cuarto capítulo se comparan los resultados obtenidos con los de los autores citados
anteriormente, si es el caso.
20
Capítulo 2
Fundamentos de Entrada Atmosférica
La comprensión de los fundamentos de la entrada de cuerpos a la atmósfera de la Tierra es
de vital importancia para entender el desarrollo de este trabajo. Así pues, comenzamos este
capítulo explicando conceptos básicos de la entrada atmosférica. Definimos también
algunos de los fenómenos más representativos del vuelo de meteoros. Después, exponemos
las aproximaciones hechas, así como la deducción de las ecuaciones que rigen el
comportamiento de la entrada de meteoros. Finalmente, justificamos la elección del método
numérico Runge-Kutta-Fehlberg para la resolución de nuestro modelo de entrada
atmosférica, descrito en el próximo capítulo.
2.1 La Entrada Atmosférica
La Entrada Atmosférica puede ser vista como una aplicación de la mecánica racional, rama
más antigua de la física, al movimiento de un cuerpo a velocidades extraordinarias en una
atmósfera planetaria. Los fundamentos de la mecánica de cuerpos rígidos fueron
prácticamente completados a fines del siglo XIX, si bien, otras áreas de la mecánica tales
como la dinámica de fluidos y los cuerpos elásticos siguen actualmente bajo desarrollo.
Asimismo, la dinámica de gases a velocidades hipersónicas es constante objeto de estudio
debido al increíble reto que representa el diseño de vehículos tripulados y no tripulados que
entran a la atmósfera a velocidades que son una fracción significativa de las velocidades
asociadas con el movimiento orbital. Más aún, los cuerpos naturales entran con velocidades
muy superiores.
Se considera a H.J. Allen y A.J. Eggers del NACA’s Ames Laboratory los precursores de la
ingeniería en el campo de la Entrada Atmosférica, gracias a un trabajo publicado en 1953,
donde proponen por vez primera que las condiciones de alta velocidad a la entrada son tales
que se necesita un diseño de cuerpo romo para un descenso aceptable [ALL].
Parece ser que el primer desarrollo de una teoría de entrada de cuerpos naturales fue
llevado a cabo en la primera mitad del siglo XX por Ernst Öpik, astrónomo estoniano que
trabajó en el Observatorio Armagh del Norte de Irlanda [OPI].
21
A grandes rasgos, la Entrada Atmosférica de cuerpos naturales difiere de la de los vehículos
tripulados en que los primeros, debido a su composición fisicoquímica, pierden masa en su
paso por la atmósfera, pudiendo desintegrarse parcial o completamente. Además, debido a
las altas presiones encontradas, muy probablemente se fragmenten. Los vehículos
tripulados, en cambio, están diseñados para soportar altas temperaturas; esto es, no se
evaporan ni deben sufrir daño estructural significante. También es importante destacar que
los vehículos tripulados en su ingreso, suelen venir de órbita baja, la cual proporciona una
velocidad de ingreso mucho menor que la de los cuerpos naturales que provienen de órbitas
externas. En la misma manera, la desaceleración en múltiplos de la aceleración de la
gravedad (g’s), es tomada en cuenta en el diseño de vehículos tripulados con el fin de
conservar la integridad de los pasajeros.
En cuanto al tratamiento matemático de las trayectorias de ambos tipos de cuerpos, se
facilita más el estudio de los cuerpos naturales, pues su orientación respecto a la superficie
de la Tierra no es representativa. Los vehículos tripulados necesitan imperativamente
mantener una orientación adecuada para salvaguardar la integridad de los ocupantes o
instrumentación a bordo.
Se han catalogado tres tipos de entrada dentro del estudio de la entrada atmosférica, de
acuerdo a la trayectoria que siguen los cuerpos (Fig. 2.1):
1) Entrada Balística: está caracterizada por ángulos de entrada suficientemente
grandes donde la fuerza de sustentación es despreciable. Los cuerpos tienen una
razón de sustentación contra resistencia L/D<1, e incluso la mayoría de las veces se
considera L/D=0. La capacidad de controlar la velocidad de entrada, ángulo de la
trayectoria de vuelo y coeficiente balístico determina la precisión de los vehículos
de entrada. La precisión al momento de impacto respecto al blanco pretendido varía
de 20 km para entradas con ángulos pequeños, tal como la cápsula Mercury, a unos
cuantos cientos de metros para ángulos más pronunciados, como es el caso de los
misiles balísticos intercontinentales. Los cuerpos naturales, debido a su origen,
forma y velocidad, entran dentro de esta clasificación.
2) Entrada en Planeo: se caracteriza por una pendiente de planeo más que una
trayectoria de entrada. Durante una entrada en planeo, un vehículo como el
transbordador espacial genera suficiente levantamiento para mantener un planeo
hipersónico largo mediante un ángulo de trayectoria de vuelo pequeño. La razón
L/D es generalmente superior a 4. Al ajustar el cociente L/D del vehículo, es posible
controlar el alcance sobre la superficie. El ángulo de ataque a la entrada debe ser
alto, por lo general mayor a 30°, mismo que se ajusta a través del descenso.
22
3) Entrada a Saltos: Una entrada de este tipo se genera cuando un cuerpo produce
suficiente sustentación que supera las fuerzas gravitacional y centrífuga. Si esta
sustentación se combina con un ángulo de entrada grande, puede producirse una
trayectoria de entrada con 20 o más saltos. Tan pronto como el cuerpo comienza a
entrar, alcanza una altitud donde comienza a ser empujado hacia arriba debido a la
fuerza de sustentación dominante sobre la gravedad. Eventualmente, el cuerpo
saldrá de la atmósfera a una velocidad reducida. Si es posible controlar la velocidad
de salida y el ángulo de la trayectoria, el cuerpo alcanzará una fase orbital breve
seguida de una segunda entrada, más lejos respecto a un punto de referencia en la
superficie. El L/D oscila entre 1 y 4. Por lo pronto, el calentamiento aerodinámico
producido por este tipo de entrada es excesivamente alto y no ha sido utilizado en
los vehículos. Algunos cuerpos naturales que rozan las altas capas de la atmósfera,
generalmente dan un salto y salen de la atmósfera para nunca regresar.
Fig. 2.1: Tipos de Entrada Atmosférica. a) Balística. b) En Planeo. c) A Saltos.
(Adaptación de [CHAP])
Un parámetro muy utilizado en el diseño de vehículos que ingresan a las atmósferas
planetarias es el llamado coeficiente balístico. Éste es constante para determinado vehículo
y está definido por:
(2.1)
Es posible obtener el coeficiente balístico para la entrada de cuerpos naturales, sin
embargo, debido a la propiedad inherente que tienen de perder masa,
disminuye
proporcionalmente, dejando a un lado su utilidad numérica. Por otra parte, no es usual su
interpretación en la Entrada Atmosférica de Meteoros, a pesar de que en el caso de cuerpos
naturales enormes, como lo es el del Evento de Chicxulub, la disminución de la masa no es
significativa.
23
Las entradas tripuladas deben pasar por un “corredor de entrada” para que sean llevadas a
cabo con éxito. Si la trayectoria es muy pronunciada, el descenso es muy rápido, lo que
representa un calentamiento exagerado y brusco. Por otro lado, si la trayectoria tiene un
ángulo de entrada muy bajo, es posible que el vehículo no sea frenado lo suficiente y no sea
capturado por la gravedad del planeta, regresando al espacio.
Las velocidades típicas de entrada de los cuerpos naturales son tan altas que la referencia a
los números de Reynolds, Mach y Knudsen no otorga ayuda significante en la descripción
del comportamiento de cuerpos naturales de gran tamaño. Únicamente encuentran cabida
en el estudio de los cuerpos del orden de centímetros de distancia, o bien, vehículos
tripulados cuyas velocidades suelen ser más bajas.
La velocidad mínima de impacto para colisiones contra la Tierra es de 11.2 km/s; esta es,
por definición, igual a la velocidad de escape para un objeto lanzado al espacio desde la
superficie de la Tierra. La velocidad máxima posible de impacto sobre la Tierra es la suma
de dos velocidades distintas: 1) La velocidad del cuerpo en su órbita alrededor del Sol
(velocidad heliocéntrica). Esta cantidad, que también puede ser interpretada como la
velocidad de escape del sistema solar, es de alrededor de 42 km/s en la órbita de la Tierra.
2) La velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol, que es aproximadamente de 30 km/s.
La velocidad máxima de impacto posible es la suma de estas dos, es decir, 72 km/s. Sin
embargo, las órbitas de la Tierra y del cuerpo que impacta generalmente estarán inclinadas
una respecto a la otra; las dos velocidades se suman geométricamente como una suma de
vectores, produciendo velocidades de encuentro entre los límites de 11.2 y 72 km/s.
Lo anterior se explica al deducir las tres velocidades cósmicas:
Primera velocidad cósmica,
: También conocida como velocidad circular u orbital, es
la velocidad con la que un cuerpo debe ser lanzado desde la superficie de la Tierra para
volverse un satélite de la misma. Esto significa que quedará orbitando a determinada altura,
que puede ser reducida con el tiempo por efectos de resistencia atmosférica, dando lugar a
la caída del cuerpo sobre la superficie. Si consideramos a un cuerpo de masa puntual m
viajando rápidamente en círculo alrededor de la Tierra, podemos establecer que la fuerza
centrípeta del cuerpo es igual a la fuerza de interacción debida a la gravitación entre la
Tierra y el cuerpo:
(2.2)
Al asignar valores,
= 5.98x1024 kg,
= 6.371x106 m y
= 6.67x10-11 m3kg/s2,
obtenemos =7.8 km/s, que es una primera aproximación, pues el modelo considera al
cuerpo rotando al ras del suelo por el ecuador. Normalmente se supone a un cuerpo
orbitando a una altura de entre 100 y 400 km. Al añadir un valor dentro de este rango a R, y
calculando nuevamente, llegamos a
= 7.9 km/s
24
Segunda velocidad cósmica,
: Frecuentemente referida como velocidad de escape, es
la velocidad necesaria que necesita un cuerpo para salir del campo de gravitación terrestre,
alejarse y no volver jamás. Dado este razonamiento, podemos suponer que queremos
alcanzar una distancia infinita desde la superficie Tierra con la menor velocidad posible,
que es cero. Así, la energía total debe ser nula porque la energía cinética final
= 0
además de que la energía potencial gravitatoria
también lo es. Esto se deduce porque el
potencial gravitatorio
tiende a cero cuando
tiende a infinito.
Tenemos pues que:
(2.3)
Se nota claramente que
. Asignando valores, obtenemos
= 11.2 km/s
Tercera velocidad cósmica,
: Es una extensión conceptual de la segunda velocidad
cósmica. Ahora consideramos la velocidad necesaria para salir del sistema solar, esto es,
escapar del campo gravitacional del Sol, partiendo de la Tierra. El razonamiento es el
mismo que para el caso anterior, sólo que los valores numéricos cambian en ser ahora la
masa del Sol y la distancia promedio entre la Tierra al Sol, que es llamada Unidad
Astronómica (UA) y es igual a 1.5x1011 m:
(2.4)
Al utilizar
= 1.98x1030 kg, llegamos a
= 42 km/s
La velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol se calcula con
ligada al Sol:
(2.5)
De donde obtenemos
29.7 km/s
Así comprobamos que la velocidad máxima con la que un cuerpo logra impactar contra
nuestro planeta es
72 km/s y la velocidad mínima de impacto es la dada por
= 11.2 km/s. En general, la velocidad de los cuerpos que impactan en la Tierra se
encuentra dentro de estos límites.
Estrictamente hablando, el término de velocidad cósmica debe ser rapidez cósmica, pues
sólo hace alusión a un valor numérico, independientemente de la dirección de la trayectoria
de los cuerpos. No obstante, el término velocidad está presente en gran parte de la
bibliografía, por lo que hemos optado por esta convención.
25
Si se considera la latitud del lanzamiento sobre la superficie del planeta, se encuentran
ligeras variaciones de los valores antes citados.
Naturalmente, los cálculos anteriores pueden aplicarse a otros planetas y estrellas.
2.2 Física del Vuelo de Meteoros
La teoría física de meteoros considera procesos que toman lugar durante el vuelo de un
meteoro a través de la atmósfera, y para cuerpos grandes, el impacto en la superficie de la
Tierra. El propósito principal es la predicción de la variación de masa, velocidad,
luminosidad e ionización a lo largo de la trayectoria del meteoro. En la Física del Vuelo de
Meteoros, los cálculos son a veces únicamente aproximados, sin embargo, los resultados
cercanos a un orden de magnitud ( 50%) son a menudo suficientes.
Un meteoroide es un objeto de roca o material afín en el espacio; se vuelve meteoro
(estrella fugaz) cuando entra a la atmósfera planetaria, y finalmente es un meteorito cuando
ha llegado a la superficie [WHI].
Meteoro es el nombre común que reciben todos los cuerpos que entran a la atmósfera
terrestre desde el espacio interplanetario, independientemente de su tamaño y origen. Su
comportamiento es determinado por su tamaño, estructura y velocidad.
El término meteoro en un sentido más estrecho se refiere a aquellos cuerpos que son muy
pequeños para penetrar la atmósfera y que llegan a ser observables sólo por medio de sus
trazas luminosas en la alta atmósfera. De acuerdo a su tamaño ascendente son denominados
meteoros telescópicos, meteoros visuales, meteoros fotográficos y bolas de fuego. Se
estima que tienen un tamaño de 0.03 cm a 10 cm de radio [OPI].
Definiremos a un meteoro de grandes dimensiones aquél con mínimo 2 km de diámetro
[CHAPM]. El meteoro de Chicxulub entra entonces dentro de esta definición.
Los micrometeoros son partículas más pequeñas que 0.03 cm de radio equivalente. Los
radios parecen ser más frecuentes en el orden de 10-3 cm, y alcanzan al menos 10-4 cm. Son
muy pequeños para ser observados con medios ópticos. Debido a su menor velocidad (≈12
km/s) y menor tamaño, disipan casi toda su energía a través de radiación, poca vaporización
y son frenados en vuelo con la mayor porción preservada de sus masas.
Los asteroides son objetos rocosos pequeños vistos como fragmentos de otros objetos
llamados planetesimales, que existieron en el sistema solar interior cuando apenas se
formaba, pero que no fueron atraídos por los planetas en desarrollo.
Los cometas también son objetos pequeños, usualmente de decenas de kilómetros de
diámetro. En contraste con los asteroides, los cometas contienen una cantidad significante
26
de hielos volátiles además de material rocoso. La evaporación de estos compuestos cuando
los cometas se acercan al Sol, crea las colas brillantes que hacen a estos cuerpos tan
asombrosos en la historia. Los cometas se dividen en dos tipos, de acuerdo con la geometría
de su órbita y en cuánto tiempo les toma dar una vuelta alrededor del Sol.
Los cometas de período corto (CC), como los cometas Encke y Halley, orbitan el Sol en
≤ 200 años. Sin embargo, la mayoría de los cometas de período corto tienen períodos
orbitales de tan sólo unos cuantos años y viajan en órbitas pequeñas, casi circulares como
las de los planetas y asteroides.
Los cometas de período largo (CL), como el observado recientemente cometa Hale-Bopp,
pueden tardar miles de años en completar una sola revolución y viajan en órbitas altamente
alargadas que los llevan más lejos que Plutón y quizá a 10% la distancia a la estrella más
cercana.
Ablación es un término que generalmente se aplica cuando se remueve material de un
cuerpo, y su calor asociado causado por calentamiento aerodinámico.
La ablación de un meteoro puede ser provocada por una o varias vías: 1) vaporización, 2)
fusión y división en spray del líquido, 3) pulverización catódica, 4) fragmentación y 5) una
combinación de estos procesos.
1) La vaporización es la vía más importante al ser la etapa final de todos los tipos de
ablación. Este fenómeno ocurre principalmente por calentamiento aerodinámico.
2) Fusión y división en spray del líquido: la fusión en una sola gota, o división en
spray en muchas gotas o fragmentos es seguida por su vaporización. Sin embargo,
la división en spray del fluido en pequeñas gotas es un tipo distinto de ablación. La
razón de ablación del meteoro en este caso es determinada por el calor de fusión. El
derretimiento en una sola gota, por otra parte, involucra sólo una transformación de
forma, y no es una etapa de la ablación.
3) Pulverización catódica (sputtering) es un proceso físico en el que se produce la
vaporización de los átomos de un material sólido mediante el bombardeo de éste por
iones energéticos. Como proceso de ablación en la atmósfera terrestre no es
importante excepto para los micrometeoros de gran velocidad.
4) La fragmentación es común entre los meteoros. La característica dominante es la
alta presión de estancamiento en el borde de ataque y la expansión de la onda de
choque alrededor del objeto. Detrás de la onda la alta presión genera altas
temperaturas y estos efectos combinados llevan a una pérdida de masa por ablación
del material de la superficie. Si la diferencia de presión de estancamiento excede la
resistencia interna del objeto, que es determinada por la composición física del
meteoro, éste se fragmentará.
27
En la fragmentación, que es parte importante para nuestro modelo del meteoro de
Chicxulub, encontramos tres modelos para estudiar la fragmentación de los cuerpos [BAI]:
Modelo de un objeto sencillo para objetos robustos de gran resistencia
Fragmentación catastrófica para objetos débiles
Fragmentación progresiva para objetos prefragmentados
El primer modelo asume que el meteoro se mantiene intacto en su paso por la atmósfera
con pérdida de masa sólo por ablación, mientras que el segundo modelo [CHY, COLL],
comúnmente conocido como el modelo del pancake, trata con objetos de baja resistencia
que se desintegran en la atmósfera. Este modelo es el que mejor representa el Evento de
Tunguska de 1908. Por último, el tercer modelo [STUL] es utilizado para objetos
prefragmentados en órbita con relativa resistencia interna. Estos objetos se fragmentan y
separan en la atmósfera pero no se desintegran completamente, resultando en múltiples
impactos en la superficie.
Intuitivamente el primer modelo es el adecuado para modelar el meteoro de Chicxulub, sin
embargo, desconocemos la teoría y aplicaciones de tal modelo, por lo que empleamos el
segundo modelo con las adaptaciones necesarias para los meteoros simulados.
La resistencia de los meteoros es de suma importancia en el modelado de la fragmentación.
El punto de partida para determinar la resistencia, es la medición en laboratorio sobre
muestras de meteoritos de unos cuantos centímetros. No se asume que las escalas
manejadas en laboratorio sean aplicables a cuerpos de kilómetros de distancia. De hecho,
los cuerpos más grandes contienen rupturas en gran cantidad de escalas. A mayor tamaño
del cuerpo, mayor es el rango de escalas que contiene, y más rupturas se encuentran por
unidad de volumen. Así, la resistencia debe disminuir establemente con el incremento en
tamaño para un material uniforme en composición y estructura. Este comportamiento ha
sido ampliamente reconocido por los científicos en materiales. El tratamiento semiempírico
más sencillo de este fenómeno, llamado ley de resistencia de Weibull [LEW, BRO,
MCINN], tiene la forma exponencial:
(2.6)
Cuando un meteoro de masa inicial
pierde masa por ablación, su sección transversal
inicial
también cambia. Si el cuerpo mantiene una forma similar en toda su trayectoria,
entonces = 2/3 [BRO, MCINN].
La explicación a detalle de otros fenómenos, únicamente representativos para el vuelo de
micrometeoros, como rotación, radiación, difusión, turbulencia y luminosidad, se encuentra
en [OPI, BOTT, LOR].
28
2.3 Aproximaciones para los Sistemas Dinámicos
Ahora explicamos las aproximaciones hechas para los sistemas dinámicos de meteoros de
acuerdo a la bibliografía y en el capítulo 3 se indican los detalles para nuestro modelo.
Altura
El término conocido de altitud, que es la distancia medida desde nivel del mar a un punto
localizado verticalmente por encima, también es llamado altitud geométrica .
Se distingue de la altitud absoluta
en que ésta es la distancia medida desde el centro de
la Tierra más la altitud geométrica:
. La altitud absoluta es importante porque la
aceleración local de la gravedad varía con
. De la ley de Newton de la gravitación,
varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra.
En los modelos de entrada atmosférica de meteoros se acostumbra expresar la altitud
absoluta como
, dejando a un lado su equivalente . De esta manera siempre se
tiene el valor de correspondiente a la altura deseada.
Existe otro tipo de altitud, denominada altitud geopotencial, la cual se considera
físicamente compatible con la aproximación de
= constante.
Atmósfera planetaria
La atmósfera puede ser descrita como un medio termodinámico inmerso en un campo
gravitacional y en equilibrio hidrostático determinado por radiación solar. Ya que la
radiación solar debe variar diaria y anualmente, cualquier modelo atmosférico no puede ser
más que una aproximación. También esperamos que las propiedades atmosféricas varíen no
sólo con el tiempo, sino de igual manera con el lugar, esto es, con la latitud y longitud. Más
aún, las variaciones en la radiación solar amenazan el equilibrio hidrostático al crear
circulaciones atmosféricas. Arriba de una altitud de 86 km, el equilibrio hidrostático ya no
es una aproximación válida.
Los modelos de Atmósfera Estándar de Estados Unidos, elaborados en 1962 y 1976, son
los más conocidos y utilizados en la actualidad. Su desarrollo es más complejo pero a la vez
ofrecen mayor precisión en el cálculo de las propiedades atmosféricas. Por otra parte, como
hemos visto en el capítulo anterior, la atmósfera exponencial es la utilizada en la
simulación de los modelos encontrados de Entrada Atmosférica de Meteoros y es por eso
que aquí se explica con mayor amplitud.
Para encontrar una expresión para la variación de la densidad atmosférica con la altitud,
requerimos algún conocimiento de las características de la atmósfera planetaria de interés.
La atmósfera de la Tierra, por ejemplo, se modela como una serie de capas concéntricas; el
número exacto de capas depende en cómo se usará el modelo y puede variar de tres a siete.
29
Respecto a la densidad atmosférica, un modelo muy útil utiliza cuatro capas: la tropósfera,
la estratósfera, la ionósfera y la exósfera. La tropósfera y la estratósfera son las dos capas
más cercanas a la superficie de la Tierra y son de interés principal para la Entrada
Atmosférica; las dos capas restantes son de interés para el decaimiento orbital y la vida de
servicio de los satélites.
Debajo de 100 km la temperatura de la atmósfera tiene una variación relativamente
pequeña alrededor de algún promedio (Fig. 2.2).
Fig. 2.2: Variación de la temperatura atmosférica con la altitud (Adaptación de [SFO]).
Entonces, si el perfil de temperatura en cada capa se modela mediante una temperatura
constante o por un gradiente de temperatura, y se asume el equilibrio hidrostático, la
combinación proporciona una relación exponencial que es función de la densidad base
(no necesariamente a nivel del mar), la aceleración debida a la gravedad , y la temperatura
a una altitud de referencia. Para las capas más bajas, desde el nivel del mar hasta
aproximadamente 120 km, si
se considera constante y se utiliza un valor promedio
apropiado de , la variación de la densidad atmosférica
con puede aproximarse con la
expresión exponencial:
(2.7)
Donde
es la altura de escala, que depende de la temperatura isotérmica
promedio seleccionada.
y se seleccionan de tal manera que se obtenga un buen ajuste
con la atmósfera estándar en un rango de altitudes dado. La curva exponencial es ajustada
30
[REG, TEW págs.230-231] con los valores sugeridos de = 1.752 kg/m2 y = 6700 m
para un rango de altitud de 5 a 40 km, que aún así ofrece una buena aproximación hasta
140 km (Fig. 2.3). Arriba de esta altura, el aire es tan escaso que no tiene influencia
significante en la trayectoria de entrada. Se pueden determinar
y a través de la gráfica
de desaceleración contra altitud en una escala logarítmica. El modelo de atmósfera
exponencial fue utilizado por la NASA y otros laboratorios en los primeros estudios de
entrada a la atmósfera terrestre durante las décadas de 1950 y 1960.
Fig. 2.3: Altitud geopotencial contra razón de densidad
para atmósferas estándar y
exponencial (Adaptación de [REG]).
Campo gravitacional
El campo gravitacional es modelado como una relación de inverso al cuadrado,
considerando a la Tierra como masa puntual:
(2.8)
Existe un modelo más preciso llamado modelo geopotencial [REG, TEW, CHOB]. Este
modelo divide la Tierra en tres conjuntos geográficamente divididos, descritos por latitud y
longitud (Fig. 2.4). Para su correcta interpretación es necesario el conocimiento de los
armónicos esféricos o polinomios asociados de Legendre. La importancia del modelo
geopotencial es su habilidad para describir el campo gravitacional de manera más precisa
que el modelo donde se considera a la Tierra como masa puntual. Sin embargo, el modelo
de masa puntual es mucho más sencillo y otorga una aproximación suficiente para la
entrada de meteoros.
31
Fig. 2.4: Modelo geopotencial del campo gravitacional terrestre [CHOB].
La Tierra es esférica
Se nota claramente que la Tierra no es completamente esférica al revisar las mediciones que
tenemos de sus radios ecuatorial y polar, con valor aproximado de
= 6378 km y
=
6356 km, respectivamente. Es por eso que consideramos a la Tierra como una esfera con el
radio de una esfera con el mismo volumen que la Tierra. Utilizamos este radio de R = 6371
km a lo largo de los cálculos.
La aproximación de simetría esférica es la simplificación más grande en el modelado de
una atmósfera y se logra al asumir que la densidad atmosférica es función únicamente de la
altitud absoluta. Una mejor aproximación es tratar a la densidad como función de la altitud
geométrica. Si la superficie del planeta fuera una esfera, entonces estas aproximaciones
serían idénticas. No obstante, todos los planetas son un esferoide achatado, el cual tiene una
sección transversal elíptica a través de cualquier meridiano. Por ejemplo, la Tierra tiene una
excentricidad en su sección transversal de 0.00335.
La Tierra no gira
La atmósfera con la que se encuentran los cuerpos que ingresan en ella no es estacionaria,
sino rota con el planeta. Para la Tierra y Marte, las fuerzas aerodinámicas tienen efectos
inmediatos sólo a bajas altitudes, muy próximas a la superficie. A este nivel, la atmósfera
rota con aproximadamente la velocidad angular del planeta. Para la Tierra, la rapidez
rotacional máxima (0.7292x10-4 rad/s), localizada en el ecuador, es cerca de 6 % la primera
velocidad cósmica a baja altitud. Entonces, la fuerza aerodinámica debida a la rotación
atmosférica tiene un máximo valor cercano a 12 % de la fuerza aerodinámica debida a la
rapidez del cuerpo que ingresa. En la mayoría de las circunstancias sería un valor mucho
menor que ese. Tratar tal efecto analíticamente obscurecería más que revelar los rasgos
generales de la trayectoria [VINH].
32
Al analizar la ecuación que describe la desviación de la vertical hacia el Este de un punto
en caída bajo la acción de rotación de la Tierra [TARG, MESH…]:
(2.9)
Vemos que el tiempo de caída es una variable predominante. Para el caso de los meteoros,
dada su gran velocidad, y por ende, el tiempo del orden de no más de medio minuto en el
que cruzan la atmósfera antes de llegar al suelo, la desviación que pueden tener por efecto
de rotación de la Tierra es insignificante para el presente estudio. Asimismo, de aquí se
desprende que no se considere la curvatura de la superficie en la trayectoria atmosférica de
los meteoros. Evidentemente, la ecuación anterior estudia el fenómeno en el vacío.
Geometría de los meteoros
Se aproximan con la forma de un cilindro de altura
y diámetro
[ROA]. El
coeficiente de resistencia al avance
respecto a la base en dirección del movimiento se
toma como 1.7 (Fig. 2.5).
Fig. 2.5: Cilindro que representa los meteoros de prueba que ingresan a la atmósfera terrestre
[ROA].
Variación de la superficie del objeto por ablación, antes de la fragmentación
La sección transversal del meteoro en la parte de la trayectoria de vuelo anterior a la
fragmentación es modelada con la ley de resistencia de Weibull (2.6).
La variación de la superficie expresada como una función exponencial del cociente de masa
a determinado momento respecto a la masa inicial, lleva implícita la resistencia del
material.
El radio del meteoro en esta fase, aunque no está escrito explícitamente en las ecuaciones,
se puede calcular en términos de la masa, la densidad y el volumen:
33
El volumen del cilindro de base de radio
Por lo que el radio
y altura
es:
será:
(2.10)
Este radio es constante e igual al radio inicial, pues sólo depende de la masa inicial y de la
densidad del material. La disminución del tamaño de la sección transversal se refleja en la
ecuación de Weibull.
Variación de la superficie del objeto por ablación, después de la fragmentación
Una vez que el meteoro se fragmenta, se utiliza el modelo del pancake, descrito por una
ecuación diferencial no lineal de segundo orden [CHY, COLL, ROA]. Cambiamos el
nombre de modelo del pancake a modelo del radio en expansión, por ser una forma más
familiar al hispanohablante. En esta ecuación se visualiza la expansión del radio del
meteoro en función del tiempo. Dejamos su deducción para la siguiente sección.
El radio obtenido de la solución numérica de esta ecuación a cada instante de tiempo, se
introduce en la sencilla fórmula de área
para obtener el área cambiante después de la
fragmentación.
Factor de forma
El meteoro fragmentado se separa lateralmente hasta que la razón
alcanza cierto
límite. Este límite ha sido descrito dentro del modelo del radio en expansión y es llamado
pancake factor. Sin embargo, nosotros lo llamamos factor de forma:
(2.11)
es el radio que lleva el meteoro justo al momento de la fragmentación. En realidad,
no debe ser mayor que el rango 2 a 4 [IVA], después de lo cual los fragmentos están
suficientemente separados que siguen trayectorias de vuelo independientes y deben ser
estudiados cada uno por separado nuevamente bajo el modelo de radio en expansión. Sin
embargo, [CHY] obtuvo un buen modelo con eventos de la clase de Tunguska utilizando
factores de forma de 5 a 10. [COLL] establece un valor de 7 para determinar la dispersión
de los cuerpos. La altitud a la cual se observa la dispersión es llamada altura de explosión.
34
La energía de explosión se toma como aquella depositada en la atmósfera por el meteoro
después de que se ha deformado dos veces su radio inicial [SEK]. En el capítulo 4
discutimos el factor de forma de nuestro modelo.
Calentamiento aerodinámico: el número de Stanton
Para un análisis cuantitativo del calentamiento aerodinámico, es conveniente introducir un
coeficiente de transferencia de calor adimensional llamado número de Stanton , definido
como [AND]:
(2.12)
Donde
y
son la densidad y velocidad de corriente libre, respectivamente,
es la
entalpía total (definida como la entalpía de un elemento de fluido que es disminuida
adiabáticamente a cero velocidad),
es la entalpía en la superficie aerodinámica (la
velocidad es cero en la superficie debido a la fricción), es la superficie de referencia
(sección transversal del meteoro), y
es la razón de calentamiento (energía por
segundo) que sucede en la superficie. El coeficiente tiene un valor efectivo de
0.1
para alturas superiores de 30 km [ROA].
Radiación térmica
De (2.12) vemos que a medida que el meteoro desciende,
disminuye inversamente con
la densidad atmosférica. Además,
que viene incrementándose, toma un valor
efectivo constante. Este límite superior en
ocurre debido a que los meteoros del
orden de decenas de metros sufren ablación principalmente por la absorción de radiación
térmica emitida por los gases calientes concentrados en la parte frontal del objeto [ROA].
La temperatura alcanzada por los gases en la onda de choque está regulada fuertemente por
ionización térmica en una temperatura de 25000 a 30000 K, con una débil dependencia
de velocidad, tamaño y composición del meteoro. La tasa máxima de ablación está dada
por:
(2.13)
Donde T es la temperatura de los gases ionizados y = 5.67x10-8 W/m2K4 es la constante
de Stefan-Boltzmann. Un cálculo sencillo demuestra que la tasa de ablación debida a la
radiación térmica es mucho menor que la ablación debida al calentamiento aerodinámico en
la entrada de meteoros del orden de kilómetros. Asimismo, [OPI] indica que (2.13) sólo es
importante para micrometeoros.
35
Calor de ablación Q
El calor de ablación Q es una propiedad intrínseca del material del que está formado el
meteoro. Su magnitud es de 106 en los tipos más comunes de meteoros. Es una variable
trascendental en la ecuación de la ablación descrita más adelante. Sus unidades son J/kg.
Esfuerzo último del material
Juega un papel fundamental en la simulación de los meteoros, ya que si es excedido por
la presión aerodinámica formada en ellos, éstos se fragmentan. Sus unidades son el Pascal,
y tiene órdenes de magnitud que van de 106 a 108. Naturalmente se considera un valor
constante por ser inherente al material.
Densidad
La densidad está bien establecida para una amplia variedad de tipos de meteoros. La
incertidumbre principal radica en la forma en que se considera la porosidad en sólidos
pobremente consolidados. Las densidades de los núcleos de cometas son muy poco
conocidas, probablemente cayendo en el rango de 200 a 100 kg/m3 en la mayoría de los
casos. Aún las medidas de porosidad en meteoritos de baja densidad que están disponibles
en laboratorio son prácticamente inexistentes debido al miedo que se tiene de contaminar a
estos especímenes raros y valiosos por el fluido utilizado para medir su volumen. Para
cuerpos macroscópicos, las densidades se consideran similares a las obtenidas de las
muestras de laboratorio de meteoritos de la misma clase. Las densidades de la mayor parte
de meteoritos de níquel-hierro van de 7500 a 8000 kg/m3, y aquellas de los meteoritos
carbonáceos son cercanas a 2400 kg/m3. Típicamente los meteoritos de roca tienen
densidades de alrededor de 3700 kg/m3.
Ángulo de entrada
El ángulo de entrada más probable para cuerpos naturales es de 45°. Este valor se deduce
de una teoría simple [SHOE]. Los resultados son visibles a través de la generación aleatoria
de los ángulos de entrada, dados por las siguientes ecuaciones:
(2.14)
)
Los ángulos ensayados en la simulación oscilan en torno a 45°.
36
(2.15)
2.4 Deducción de los Sistemas Dinámicos
En esta sección derivamos las ecuaciones de movimiento bidimensional de la entrada de un
meteoro. Si el meteoro está sujeto únicamente a la resistencia al avance, o vuelo balístico,
la restricción del movimiento en dos dimensiones resulta razonable sin pérdida de
generalidad. Sin embargo, si el meteoro fuera capaz de generar una fuerza de sustentación,
la trayectoria plana sí limitaría la utilidad de los resultados. De esta manera, el análisis de
una trayectoria plana puede llevar a expresiones que logran ser muy útiles en la descripción
del comportamiento de los meteoros.
Primeramente obtenemos el sistema de ecuaciones antes de la fragmentación del meteoro.
En este modelo se incluyen las ecuaciones que representan las derivadas respecto al tiempo
de altitud, velocidad, ángulo de entrada, ablación y energía depositada en la atmósfera.
Si el meteoro se fragmenta, el sistema anterior sustituye la ecuación de Weibull que
considera el cambio de la sección transversal del meteoro como una función exponencial,
por el modelo de radio en expansión. Este cambio lleva a un segundo sistema de
ecuaciones.
Consideramos un marco inercial que contiene al vector velocidad
a través del
movimiento. El ángulo es considerado positivo cuando el vector está debajo de la
horizontal local. Inicialmente tenemos en cuenta la sustentación con el fin de obtener la
derivada del ángulo de entrada
. Al referirnos a la figura 2.6, escribimos las
ecuaciones de movimiento para un punto material en la atmósfera. Utilizamos los ejes
viento (X, Z) a lo largo y normal al vector velocidad, con el origen del marco inercial en el
centro del planeta [ROD, REG, HAL, TEW].
Fig. 2.6: Geometría de la entrada atmosférica de un meteoro.
37
Las ecuaciones dinámicas de movimiento plano, que resultan de aplicar la segunda ley de
movimiento de Newton, son entonces:
(2.16)
(2.17)
Donde
es la fuerza centrífuga,
es la resistencia al avance y
es la sustentación. Después de sustituir las expresiones anteriores en (2.16)
y (2.17), asumir que
= 0 y resolver para
y
, obtenemos:
(2.18)
(2.19)
Adicionalmente, podemos escribir dos ecuaciones basadas en la geometría asociada al
movimiento. Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones cinemáticas y son las componentes
vertical y horizontal del vector velocidad. De la figura 2.6 es evidente que:
(2.20)
(2.21)
En la Entrada Atmosférica de Meteoros sólo es costumbre emplear (2.20). La ecuación
(2.21) sería de interés en algún estudio que requiera hallar el alcance del meteoro como
sigue [REG]:
(2.22)
38
Ecuación de la ablación
Utilizando (2.12) podemos obtener una expresión para el calentamiento de un meteoro en la
entrada.
Al reescribir la ecuación (2.12):
(2.23)
Tomando en cuenta la definición de
, tenemos:
(2.24)
Para condiciones de entrada a alta velocidad,
es muy grande. Además el aire muy por
detrás del meteoro es relativamente frío, entonces
es relativamente pequeño. Así,
de la (2.24):
(2.25)
De la misma forma, la temperatura en la superficie, aunque caliente por estándares
normales, todavía debe mantenerse menor que unos cuantos miles de K, bajo la temperatura
de derretimiento o descomposición de la superficie. Por otro lado, las temperaturas
asociadas con
son grandes. Es por eso que podemos hacer fácilmente la aproximación
de:
(2.26)
Sustituyendo (2.26) y (2.25) en (2.23) obtenemos:
(2.27)
Esta ecuación tiene unidades de J/s en el sistema internacional. Se modifica el lado
izquierdo sabiendo que
[(J/kg) (kg/s)=J/s]. De esta manera se maneja
el calor de ablación como constante y el cambio de masa
debido a la ablación, sin
alterar las dimensiones. Entonces:
(2.28)
Esta ecuación la conocemos como la ecuación de la ablación de un meteoro debida al
calentamiento aerodinámico. Notemos que (2.28) establece que la razón de pérdida de masa
varía con el cubo de la velocidad. Esto contrasta con el arrastre aerodinámico, que varía
solamente con el cuadrado de la velocidad.
39
Por esta razón, a velocidades muy altas, el calentamiento aerodinámico llega a ser un
aspecto dominante, mientras que el arrastre no es tan representativo. Se incluye el signo
menos pues la ablación siempre trata con pérdida de masa.
Modelo de la energía depositada en la atmósfera
A través del modelo de la energía depositada por un cuerpo en la atmósfera [SEK],
podemos determinar la energía que lleva un meteoro en cualquier momento de su
trayectoria. La energía del meteoro al entrar a la atmósfera menos la energía obtenida por
este modelo permite cuantificar la energía del meteoro al momento del impacto contra la
superficie.
El modelo considera la diferencia de la energía cinética del cuerpo en la atmósfera,
menos la energía cinética del mismo cuerpo en ausencia de la atmósfera,
. El cambio
infinitesimal
cuando el cuerpo se desplaza en la atmósfera está dado por:
(2.29)
Donde
es la misma que en (2.28) y la aceleración total del objeto
Designemos
:
es igual a (2.18).
La desaceleración debida al arrastre:
(2.30)
La aceleración debida a la gravedad:
(2.31)
El cambio de energía sin la presencia de una atmósfera es:
(2.32)
La deposición neta de energía
resultante es:
se obtiene al restar (2.29) de (2.32). La ecuación
(2.33)
Ya que
y
, es evidente que
.
Sustituyendo
y , es decir, (2.30) y (2.28) en la ecuación anterior, llegamos a la
ecuación de la energía depositada en la atmósfera por un cuerpo:
(2.34)
40
La ecuación (2.34) constituye la quinta ecuación del sistema dinámico anterior a la
fragmentación. Este es un sistema de cinco ecuaciones diferenciales no lineales con cinco
incógnitas:
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.28)
(2.34)
Recordamos que
es la expresión de atmósfera exponencial y S es la sección transversal del
meteoro, obtenida de la ecuación de Weibull. Si el meteoro se fragmenta, esto es, cuando la
presión aerodinámica generada en el interior del meteoro
sobrepasa la resistencia última
del material , debemos modificar el sistema anterior al establecer que
, siendo el
radio encontrado en el modelo del radio en expansión.
Modelo del radio en expansión
A partir de la fragmentación del objeto, la ecuación de Weibull (2.6) deja de ser un buen
modelo para la variación de la sección transversal. Ahora se asume que el meteoro,
conformado por N partes, se expande lateralmente bajo la presión diferencial entre las
superficies delanteras y traseras. La distribución de la masa sobre un área mayor que la
original produce un aumento en la ablación y en la resistencia aerodinámica encontrada por
el meteoro.
La fragmentación se debe a la presión atmosférica diferencial a través del cuerpo, que en
este caso tomaremos como un cilindro que viaja en dirección de su eje de simetría. El frente
del cuerpo se comprime a la presión de estancamiento
, y la parte trasera
esencialmente se encuentra al vacío con presión prácticamente nula. Las presiones ejercidas
lateralmente son despreciables respecto a la presión frontal. Los esfuerzos al interior del
cilindro disminuyen linealmente desde su valor más alto en , a un valor mucho menor
correspondiente a la cara trasera. Tales esfuerzos incrementan hasta que ocurre la falla
elástica del cuerpo con un valor .
41
La sección transversal efectiva incrementa exponencialmente con el tiempo como
consecuencia del aumento exponencial de
a medida que el cuerpo desciende en la
atmósfera.
Si el cilindro se deforma en su totalidad para volverse una versión comprimida de sí mismo,
se puede aproximar una presión interior promedio como
, por lo que:
(2.35)
Al despreciar la fuerza que pueda ejercer al aire en las paredes laterales, y tomando en
cuenta que la resistencia última del material
se ha sobrepasado, es posible hacer un
balance de fuerzas en las paredes del cilindro:
;
Al simplificar la expresión anterior, se llega a la ecuación diferencial no lineal de segundo
orden que describe el radio cambiante del meteoro en la etapa de la fragmentación:
(2.36)
Integrar esta ecuación en el sistema de ecuaciones resulta complicado, sobre todo si
prevemos la resolución numérica. De esta manera consideramos el cambio de variable:
Que transforma (2.36) en dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
(2.37)
(2.38)
42
El sistema dinámico posterior a la fragmentación resultante es:
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.28)
(2.34)
(2.37)
(2.38)
Como podemos observar, la resolución analítica de los sistemas dinámicos desarrollados es
prácticamente imposible, por lo que nos apoyaremos en un método numérico. Para facilitar
la ejecución del método en computadora, entre otros detalles interesantes, procedemos
antes a adimensionalizar las ecuaciones en el próximo capítulo.
2.5 Método Numérico de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
El método RKF45 tal cual se expone, se utiliza para dar solución a una ecuación diferencial
ordinaria con valor inicial; no obstante, el método se ha adaptado para resolver sistemas
dinámicos autónomos, antes y después de la fragmentación con sus respectivos valores
iniciales. En el Anexo B se presenta el código de los programas.
Se ha elegido este método debido a que incluye un criterio para establecer si en cada
momento se ha utilizado el tamaño de paso h adecuado. En cada paso se calculan dos
aproximaciones distintas de la solución y se comparan: si los dos valores son
suficientemente parecidos, se acepta la aproximación, aumentando el tamaño de paso si
concuerdan en más cifras significativas que las requeridas; por otra parte, si los valores no
tienen la precisión especificada, se disminuye el tamaño de paso. Lo anterior es importante
pues de antemano se desconoce el comportamiento de la solución de los sistemas, pudiendo
dar cambios muy rápidos o muy lentos en la respuesta, mismos que no serían tolerados
eficazmente con un método de paso fijo. Además, la precisión del método de RKF45 es
mayor que la de varios métodos numéricos tradicionales para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias, como por ejemplo, el método de Runge-Kutta de cuarto orden
(véase Fig. 2.7).
43
Fig. 2.7: Comparación del porcentaje de error relativo contra el esfuerzo computacional para
métodos de RK de primero a quinto orden (Adaptación de [CHA]).
El método de RKF45 exige el cálculo de seis valores para cada paso [MATH]:
Posteriormente se calcula una aproximación a la solución del problema de valor inicial
empleando un método de Runge-Kutta de 4° orden:
(2.39)
44
Donde se usan cuatro valores de la función:
. Como puede notarse, el valor
no aparece en la ecuación anterior. Ahora es necesario calcular una aproximación mejor
que (2.39) utilizando un método de Runge-Kutta de 5° orden:
(2.40)
El tamaño de paso óptimo sh se determina al multiplicar el tamaño de paso en uso h por un
escalar s definido por:
(2.41)
Siendo la tolerancia propuesta para controlar el error.
El modelo anterior puede encontrarse en libros de texto avanzados de análisis numérico.
45
Capítulo 3
Modelo Propuesto de Entrada Atmosférica
Una vez que hemos visto los aspectos teóricos necesarios de entrada atmosférica,
procedemos a describir nuestro modelo de entrada atmosférica de meteoros. Para ello
hemos preferido, por varias razones, adimensionalizar las ecuaciones obtenidas en el
capítulo anterior. Después desarrollamos el método de RKF45 para un sistema autónomo
de ecuaciones diferenciales. De aquí sea necesario incluir las condiciones iniciales, que son
imprescindibles para la resolución numérica. Además incluimos una tabla con los meteoros
simulados con sus características representativas. Finalmente explicamos los programas
elaborados en MATLAB y cómo se ingresan los datos para dar solución a los sistemas, así
como el despliegue de las gráficas.
3.1 Análisis Dimensional
El Análisis Dimensional [GRO, REI, RAN, BAR, SZI] se refiere al estudio de las
dimensiones que caracterizan a las entidades físicas, como masa, fuerza y energía. En la
Mecánica Clásica es común encontrar tres entidades fundamentales, a saber: masa ,
longitud y tiempo .
La combinación de estas entidades da como resultado la formación de entidades derivadas,
como volumen, rapidez y fuerza, de dimensiones
respectivamente.
Se acostumbra a escribir entre llaves { } las dimensiones de las entidades físicas.
El Análisis Dimensional es una herramienta muy eficiente para el manejo de problemas
nuevos en los que se desconocen los parámetros representativos. En este estudio de la
entrada atmosférica de meteoros, en particular de aquellos de gran tamaño, como es el del
caso de Chicxulub, es necesario dar un conjunto de valores característicos que sea
completo, es decir, que permita derivar valores característicos para todas las entidades
fundamentales. Durante esta búsqueda, es imprescindible que las variables del problema se
describan a través de órdenes de magnitud coherentes con el modelo planteado.
Una vez que se conocen las variables del problema en términos de los valores
característicos, se procede a adimensionalizarlas y a sustituirlas en los sistemas de
ecuaciones. La adimensionalización de una ecuación permite trabajar con menos variables
46
respecto a la correspondiente ecuación dimensional, de acuerdo con el teorema Pi de
Buckingham. Lo anterior también hace alusión al escalamiento, cuyo objetivo es reducir el
número de parámetros en un modelo dado. Así pues, un prerrequisito de la técnica del
escalamiento es el conocimiento de las ecuaciones que gobiernan al sistema. El
escalamiento no necesariamente arroja cantidades adimensionales.
Además, en primera instancia, no interesa el sistema de unidades con que se trabaja, sea
sistema internacional o inglés, dando un manejo más cómodo en la solución numérica.
Principal ventaja: Al trabajar con números puros, podemos distinguir órdenes de magnitud,
pero sobre todo, el análisis indica inmediatamente qué parámetros de un fenómeno lo
afectan significativamente.
Después de estudiar el orden de magnitud de los parámetros, cualitativa y
cuantitativamente, se escogieron las constantes siguientes para el análisis dimensional de la
presente exposición:
es la constante de gravitación universal,
kg es la masa de la Tierra.
Una vez conocidos estos valores, se adimensionalizan las variables, es decir, se busca
eliminar sus dimensiones. Esto se logra multiplicando y/o dividiendo por otras variables del
problema hasta llegar a la dimensión unidad {1}. Por ejemplo, para la velocidad se tiene:
47
Al utilizar el proceso descrito anteriormente, obtenemos las siguientes variables
adimensionales:
Variables Adimensionales
Consideración para la aceleración :
El análisis dimensional lleva a una nueva expresión para la aceleración debida a la
gravedad:
Por expansión en serie de Taylor:
;
El término cuadrático es despreciable en comparación con los demás y se descarta.
(3.1)
48
Asimismo, en el proceso de adimensionalización de ecuaciones, se crean grupos
adimensionales conformados por variables dimensionales, que ofrecen una manera intuitiva
de visualizar el comportamiento de las variables involucradas en conjunto. A estos grupos
adimensionales también se les conoce como – Parámetros.
Como ejemplo del hallazgo de un
– Parámetro en una ecuación sin dimensiones,
analicemos la ecuación de la presión central.
Primeramente tenemos la ecuación dimensional (2.35):
Sustituyendo variables dimensionales por adimensionales, se obtiene:
Despejando, reduciendo y acomodando términos,
(3.2)
Las constantes agrupadas son elegidas para formar un grupo
adimensional. En este
estudio se le ha asignado el nombre de
al conjunto de constantes entre paréntesis en
(3.2). A pesar de que
siendo
el volumen del meteoro, se conservan
por considerarse trascendentales para el problema.
La ecuación adimensional queda entonces como:
(3.3)
La presión central adimensional depende pues, de entre otros factores, de
.
Intuitivamente podemos observar que el volumen del meteoro y la constante de altura de la
atmósfera terrestre forman un valor constante para un meteoro determinado. Podría
interpretarse
como el volumen de aire que desplaza el meteoro en su paso por la
atmósfera.
El parámetro
se encuentra de manera similar a
, y está presente en las
ecuaciones adimensionales de velocidad, masa y energía antes de la fragmentación. Para el
caso posterior a la fragmentación, notamos que la sección transversal inicial
deja de ser
representativa, y por ende,
es inexistente.
49
En otras palabras, vemos que los - Parámetros propuestos representan la interacción del
meteoro con la atmósfera, esto es, el estudio de la Entrada Atmosférica. El meteoro es
representado por su volumen
y/o sección transversal , y la atmósfera, por su
constante de altura
.
Al utilizar el método descrito, llegamos a dos grupos adimensionales:
- Parámetros
Después de cambiar las variables dimensionales por sus respectivas variables
adimensionales en el sistema de ecuaciones original antes de la fragmentación, y teniendo
en cuenta las consideraciones de los
- Parámetros, se llega al siguiente modelo
adimensional:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Para el modelo que rige el comportamiento del meteoro después de la fragmentación,
tenemos primeramente la ecuación del radio en expansión (2.36) en su versión
adimensional:
(3.9)
Con el respectivo cambio de variable:
(3.10)
(3.11)
50
Y el consiguiente sistema dinámico:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.10)
(3.11)
3.2 Generalización del método de RKF45 a un sistema de ecuaciones
En el capítulo 2 estudiamos el método de RKF45 que sirve para resolver numéricamente
una ecuación diferencial ordinaria no autónoma. En nuestro caso tenemos un sistema de
ecuaciones diferenciales autónomo. Esto es, donde no existe la variable independiente
tiempo, pero sin embargo existen varias ecuaciones y no sólo una. Requerimos entonces
ampliar el método para poder resolver un sistema de ecuaciones. La generalización se
encuentra en el Apéndice B, dentro de los programas RKF.
3.3 Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales para resolver los sistemas dinámicos sin dimensiones están en
función de las variables adimensionales.
51
Donde
,
para el caso propuesto de Chicxulub.
Las condiciones iniciales para en variables dimensionales se toman de la tabla 3.1. Los
valores de las demás variables ( ,
y ) se consideran constantes a lo largo de la
simulación.
y se incluyen con fin expositivo, pues el programa las calcula.
por ser sólo un parámetro que se utiliza en el cambio de variable.
Según las referencias analizadas en el capítulo 1, decidimos seleccionar cinco tipos de
meteoros para las simulaciones: tres tipos de asteroides y dos tipos de cometas. Los
científicos todavía no saben a ciencia cierta si el proyectil fue un cometa o asteroide,
aunque todo apunta hacia un asteroide del tipo condrito carbonáceo como responsable
[SCHU]. Lo que sí aseguran es que medía 10 km de diámetro como mínimo, y que entró a
la Tierra con una velocidad de entre 30 y 70 km/h [ALV]. Nosotros optaremos por 30 km/h
para la entrada de asteroides, así como 25 y 50 km/h para cometas de período corto y
período largo respectivamente. La elección de las magnitudes de
, y
así como la
velocidad de los cometas es influencia de [ROA]. La tabla se ensaya para tres valores del
ángulo de entrada
, en concordancia con varios autores.
Tabla 3.1: Valores característicos de los meteoros de prueba
representa solamente la energía cinética del objeto en el momento inicial de la
simulación:
Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación de
una expresión en función de
de la siguiente forma:
52
, y adimensionalizando, queda
3.4 Resolución numérica
La resolución de los sistemas dinámicos adimensionales es llevada a cabo en MATLAB
versión 7.4.0287 (R2007a). Todos los programas aquí descritos se encuentran en el
Apéndice B.
Primeramente creamos un programa donde están escritas las ecuaciones diferenciales
adimensionales del modelo antes de la fragmentación (3.4-3.8). Las cinco ecuaciones
representan la función pazsoldan, que consta de cinco argumentos:
. Este
programa es llamado pazsoldan.m y es la base con la que trabaja el método de RKF45.
La función pazsoldan es llamada desde el programa RKF.m. Al inicio de este programa
vemos que la función RKF tiene varios argumentos: función a resolver f, tiempo inicial y
tiempo final , condiciones iniciales dimensionales de f, constantes del meteoro
, y
, número de pasos y la tolerancia . Además contiene propiamente las iteraciones del
método RKF, así como las consideraciones de paso, control del error y del incremento.
Naturalmente, al inicio del programa se definen variables, constantes, parámetros
adimensionales y condiciones iniciales adimensionales.
El intervalo de tiempo sobre el cual se integra el sistema es la diferencia entre el tiempo
final y el tiempo inicial. Establecemos el tiempo inicial en cero y el tiempo final como 15
segundos, pues un razonamiento previo nos indica que ningún meteoro simulado pasa más
de ese tiempo en la atmósfera. Elegimos = 40 y = 2x10-5. Además, el tamaño de paso
es
, por lo que = 0.375.
De acuerdo a lo que le suceda al meteoro a lo largo del vuelo, podemos encontrar tres
diferentes mensajes en el transcurso de las iteraciones:
1.- “El meteoro tocó tierra” si la altura adimensional
2.- “El meteoro se evaporó” si la masa adimensional
3.- “El meteoro se fragmentó” si la presión central
Cuando el meteoro es catalogado en cualquiera de los tres casos anteriores, la simulación se
detiene. Si el meteoro se fragmenta, entra el programa RKF2.m el cual utiliza las
condiciones finales de RKF.m como condiciones iniciales de sus argumentos. Básicamente
RKF2 es igual a RKF, sólo que RKF2.m llama a pazsoldan2.m, el cual contiene el sistema
dinámico adimensional posterior a la fragmentación.
Los programas RKF y RKF2 guardan las soluciones de los sistemas en matrices. Estas se
utilizan para realizar las gráficas que sirven para el análisis de los resultados. Elaboramos
un programa especial para las gráficas, llamado Graficas.m. Este programa tiene dos
variantes de código, pues realizamos dos conjuntos de gráficas.
53
El primer conjunto consta de 21 gráficas y el segundo, de 35. En el próximo capítulo
discutimos el primero y dejamos el segundo para el Apéndice C.
Mostramos todas las gráficas en variables dimensionales y el tiempo o altura como variable
independiente. Las variables dependientes pueden ser la altura, el ángulo, la velocidad, la
masa, la presión central, la energía y el radio del meteoro.
Para ejecutar un programa de los anteriormente descritos en la ventana de comandos de
MATLAB, sólo es necesario tener los archivos en la carpeta actual. Después basta con
escribir el nombre de la función RKF seguida por todos sus argumentos entre paréntesis,
aunque esta vez, es necesario que todos sean valores numéricos. La función RKF llama a
pazsoldan, y si es el caso, a RKF2 y a pazsoldan2. En el caso de las gráficas, tenemos que
escribir la palabra Graficas seguida de todos sus argumentos entre paréntesis. Aquí
mostramos un ejemplo:
Para RKF, la función tiene la forma R=RKF(f,t0,tf,h0,v0,r0,ang0,rhm,Q,Ys,N,tol)
En el caso de Graficas, la función es X=Graficas(v0,r0,rhm)
Debemos escribir una función tras otra para que MATLAB guarde las matrices de
resultados y al momento de graficar tengamos varias curvas en una misma gráfica. Esto nos
permite obtener mayor información en una única exposición.
Es trascendental tener todos los programas dentro de una misma carpeta al momento de
ejecutar los comandos en MATLAB, pues como hemos visto, éstos están comunicados
entre sí.
54
Capítulo 4
Discusión de los resultados
El modelo de entrada atmosférica propuesto puede ser verificado sólo a través del análisis
de las gráficas obtenidas. La cantidad de información recabada es inmensa, y sería aún
mucho mayor si consideramos cuerpos de distinto tamaño y velocidad iniciales. En este
análisis partimos de lo particular a lo general, es decir, realizamos un análisis inductivo.
Para facilitar la tarea optamos por elaborar dos conjuntos de gráficas, uno de los cuales se
encuentra en el Apéndice C. No obstante, aquí discutimos toda la información posible del
problema en su totalidad. A pesar de que cada tipo de meteoro tiene un comportamiento
propio, existen tendencias generales que siguen todos los meteoros del evento de
Chicxulub.
4.1 Método de análisis de los conjuntos de gráficas
El primer conjunto consta de 35 gráficas y es el que presentamos en esta sección. El
segundo conjunto contiene 21 gráficas, aquí lo comentamos aunque las gráficas se
encuentran en el Apéndice C, en virtud del espacio y de la fluidez de las ideas. Tener dos
conjuntos de gráficas, que en esencia contienen la misma información, ayuda a visualizar
mejor los resultados y a deducir relaciones que de otra forma no sería evidente.
55
En cuanto al primer conjunto, las gráficas y la forma de analizarlas se muestra a
continuación:
Tabla 4.1 Forma de analizar el primer conjunto de gráficas
La forma en que el programa Graficas.m (primera variante) despliega las gráficas, es
representada por las flechas rojas, es decir, la primera gráfica es la correspondiente a un
Asteroide Ferroso (AF) de altura contra tiempo (h vs t), la segunda es debida al mismo
meteoro para las curvas de ángulo contra altura ( vs h) y así sucesivamente.
Posteriormente obtenemos las siete gráficas para un Asteroide Carbonáceo (AC) en el
orden señalado. El mismo criterio es utilizado para el resto de los meteoros: Asteroide
Rocoso (AR), Cometa de Período Corto (CC) y Cometa de Período Largo (CL). Cada
gráfica contiene tres curvas, las cuales están en correspondencia uno a uno con los tres
ángulos ensayados: 20°, 30° y 45°.
Por otra parte, presentamos las gráficas mediante la lógica de las flechas azules porque
facilita la comparación entre las curvas. La discusión para el subconjunto de las cinco
gráficas (h vs t) se encuentra enseguida a las mismas. Lo mismo ocurre para los seis
subconjuntos siguientes.
56
Para el segundo conjunto procedemos de una manera similar:
Tabla 4.2 Forma de analizar el segundo conjunto de gráficas
La forma de desplegar las gráficas en la segunda variante de Graficas.m es más flexible que
la primera variante a la elección del usuario. Nosotros elegimos la secuencia de las flechas
rojas para el despliegue de las gráficas, así como para el análisis. Cada gráfica muestra
cinco curvas, donde cada una de ellas representa cada meteoro. Esta perspectiva ayuda a
visualizar de manera global las diferencias de las respuestas entre los meteoros. En
ocasiones encontramos que los tres asteroides (A) o los dos cometas (C) tienen
prácticamente la misma respuesta en cierta variable. Los valores de las variables al
momento del impacto pueden obtenerse de las matrices de resultados, simplemente
tomando el último valor de la columna, o bien, aproximando los valores a través de las
gráficas.
4.2 Discusión de los conjuntos de gráficas
A continuación presentamos las gráficas del primer conjunto con la discusión debida a los
dos conjuntos.
57
Altitud contra tiempo
4
10
x 10
Altitud vs Tiempo
8
h (m)
6
4
2
0
30°
45°
-2
0
2
4
Asteroide Ferroso
4
10
x 10
6
20°
8
10
t (s)
12
Altitud vs Tiempo
8
h (m)
6
4
2
0
45°
-2
0
2
4
Asteroide Carbonáceo
30°
6
20°
8
58
10
t (s)
12
4
10
x 10
Altitud vs Tiempo
8
h (m)
6
4
2
0
45°
-2
0
2
4
Asteroide Rocoso
4
10
x 10
30°
6
20°
8
10
t (s)
12
Altitud vs Tiempo
8
h (m)
6
4
2
0
45°
-2
0
2
4
6
Cometa de Período Corto
20°
30°
8
59
10
12
t (s)
14
4
10
Altitud vs Tiempo
x 10
8
h (m)
6
4
2
0
45°
-2
0
30°
1
2
3
Cometa de Período Largo
20°
4
5
6
t (s)
7
Un fenómeno muy interesante dentro de la entrada atmosférica de meteoros es que la altura
de fragmentación
es prácticamente constante para cualquiera de los tres ángulos
ensayados en cada meteoro. Existen ligeras variaciones entre cada ángulo, pero pueden
despreciarse dentro del orden de magnitud analizado. La tabla 4.3 muestra la altura de
fragmentación para cada tipo de meteoro.
Tabla 4.3 Altura aproximada de fragmentación para cada meteoro [km]
AF
AR
AC
CC
CL
12
26
40
53
60
Ordenamos los meteoros de izquierda a derecha en orden descendente respecto a su
densidad y vemos que
es inversamente proporcional a la densidad de los meteoros. El
tiempo en el que alcanzan la superficie disminuye con un ángulo más pronunciado. De
acuerdo a la tabla 4.4 vemos que, en cualquier caso, CL es el que llega más rápido a la
superficie debido a su mayor velocidad. Los asteroides presentan el mismo tiempo de
llegada porque son evaluados bajo la misma velocidad.
60
Tabla 4.4 Tiempo aproximado de impacto para cada meteoro [s]
20°
30°
45°
A
10.2
6.8
4.7
CC
12.4
8
5.8
CL
6.1
4.1
2.8
Ángulo contra altitud
Ángulo vs Altitud
45
40
Ángulo (°)
35
30
25
20
15
-2
0
2
Asteroide Ferroso
4
6
61
8
h (m)
10
4
x 10
Ángulo vs Altitud
45
40
Ángulo (°)
35
30
25
20
15
-2
0
2
Asteroide Carbonáceo
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Ángulo vs Altitud
45
40
Ángulo (°)
35
30
25
20
15
-2
0
2
Asteroide Rocoso
4
6
62
8
h (m)
10
4
x 10
Ángulo vs Altitud
45
40
Ángulo (°)
35
30
25
20
15
-2
0
2
4
Cometa de Período Corto
6
8
h (m)
10
4
x 10
Ángulo vs Altitud
45
40
Ángulo (°)
35
30
25
20
15
-2
0
2
4
Cometa de Período Largo
63
6
8
h (m)
10
4
x 10
Conforme incrementamos el ángulo de entrada, el cambio que se presenta del mismo en el
momento de impacto es menor. Así es el caso para 45°, que es donde se obtiene cambio
máximo de aproximadamente 1° respecto a la condición inicial. Los casos de 20° y 30°
tienen un cambio de 2.5° y 1.5° respectivamente, resultado que se verifica con la
afirmación de [REG], donde se indica que la ecuación diferencial (3.5) puede despreciarse.
Vemos también que en el intervalo de [0,70] km hay una diferencia en la trayectoria de los
meteoros, siendo CC el menos afectado en la condición inicial, seguido por A y por último
CL. La velocidad inicial es la causa de este comportamiento en el orden indicado.
Mientras que el tiempo de entrada de los meteoros del evento de Chicxulub es del orden de
10 segundos, para los vehículos tripulados es del orden de 300 segundos, considerando 100
km de altitud inicial. Además, los vehículos tripulados cambian su ángulo de entrada
significativamente respecto a los meteoros.
Velocidad contra altitud
4
3.003
Velocidad vs Altitud
x 10
45°
3.0025
30°
3.002
v (m/s)
20°
3.0015
3.001
3.0005
3
2.9995
-2
0
2
Asteroide Ferroso
4
6
64
8
h (m)
10
4
x 10
4
3.003
Velocidad vs Altitud
x 10
3.0025
3.002
3.0015
45°
v (m/s)
3.001
3.0005
30°
3
2.9995
2.999
20°
2.9985
2.998
-2
0
2
Asteroide Carbonáceo
4
3.003
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Velocidad vs Altitud
x 10
3.0025
v (m/s)
3.002
45°
3.0015
30°
3.001
3.0005
20°
3
2.9995
-2
0
2
Asteroide Rocoso
4
6
65
8
h (m)
10
4
x 10
4
2.503
Velocidad vs Altitud
x 10
2.502
2.501
45°
v (m/s)
2.5
2.499
30°
2.498
2.497
2.496
20°
2.495
2.494
-2
0
2
4
Cometa de Período Corto
4
5.002
6
8
h (m)
10
4
x 10
Velocidad vs Altitud
x 10
5
4.998
4.996
v (m/s)
4.994
45°
4.992
4.99
30°
4.988
4.986
4.984
20°
4.982
-2
0
2
4
Cometa de Período Largo
6
66
8
h (m)
10
4
x 10
Hemos visto que un ángulo más agudo implica mayor tiempo de vuelo en la atmósfera.
Disminuir el ángulo de entrada representa una curvatura más pronunciada en la gráfica de
velocidad contra altitud. Este fenómeno se debe al modelo de radio en expansión, que
desarrolla una sección transversal cada vez mayor y como consecuencia una resistencia
aerodinámica también superior, similar al efecto de un paracaídas. Este efecto ayuda
entonces a disminuir la velocidad de impacto, mientras ocurra a menor ángulo de entrada y
el cuerpo sea más denso. Una trayectoria más inclinada “rigidiza” el movimiento. En
cuanto al concepto de velocidad terminal, donde la resistencia aerodinámica iguala al peso
del cuerpo, nunca se alcanza. Independientemente de la altura de fragmentación, las
variaciones entre trayectorias de los diferentes ángulos se manifiestan en el intervalo de
[0,20] km, aunque el rango de AF es un poco menor.
Masa contra altitud
15
6.206
Masa vs Altitud
x 10
6.204
6.202
6.2
m (kg)
6.198
45°
6.196
6.194
30°
6.192
6.19
6.188
6.186
-2
20°
0
2
Asteroide Ferroso
4
6
67
8
h (m)
10
4
x 10
15
1.73
Masa vs Altitud
x 10
1.725
m (kg)
1.72
45°
1.715
1.71
30°
1.705
1.7
20°
1.695
-2
0
2
Asteroide Carbonáceo
15
2.75
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Masa vs Altitud
x 10
2.748
2.746
2.744
m (kg)
2.742
45°
2.74
2.738
30°
2.736
2.734
2.732
20°
2.73
-2
0
2
Asteroide Rocoso
4
6
68
8
h (m)
10
4
x 10
14
7.9
Masa vs Altitud
x 10
7.85
7.8
m (kg)
7.75
45°
7.7
7.65
30°
7.6
7.55
7.5
20°
7.45
-2
0
2
4
Cometa de Período Corto
14
8
6
8
h (m)
10
4
x 10
Masa vs Altitud
x 10
7.8
7.6
m (kg)
7.4
7.2
45°
7
6.8
30°
6.6
6.4
6.2
-2
20°
0
2
4
Cometa de Período Largo
6
69
8
h (m)
10
4
x 10
No hay una variación considerable de masa respecto a la inicial, de hecho, nunca excede el
orden de magnitud inicial. Los cometas son los más afectados debido a su baja densidad. Al
igual que en el análisis de velocidad contra altitud, aquí vemos que si el ángulo inicial
disminuye, hay una mayor pérdida de masa, ya que hay más tiempo de ablación, causado
por efecto del modelo de radio en expansión. La diferencia entre las trayectorias comienza
a ser notoria en el intervalo de [0,20] km.
Presión central contra altitud
8
8
Presión Central vs Altitud
x 10
7
6
Pc
Pc (Pa)
5
4
3
2
1
0
-2
Ys
0
2
Asteroide Ferroso
4
6
70
8
h (m)
10
4
x 10
8
8
Presión Central vs Altitud
x 10
7
6
Pc (Pa)
5
Pc
4
3
2
1
Ys
0
-2
0
2
Asteroide Carbonáceo
8
8
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Presión Central vs Altitud
x 10
7
6
Pc
Pc (Pa)
5
4
3
2
1
Ys
0
-2
0
2
Asteroide Rocoso
4
6
71
8
h (m)
10
4
x 10
8
5
Presión Central vs Altitud
x 10
4.5
4
Pc
3.5
Pc (Pa)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Ys
0
-2
0
2
4
Cometa de Período Corto
9
2
6
8
h (m)
10
4
x 10
Presión Central vs Altitud
x 10
1.8
1.6
Pc
1.4
Pc (Pa)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-2
Ys
0
2
4
Cometa de Período Largo
6
72
8
h (m)
10
4
x 10
En las gráficas de presión central contra altitud prácticamente no hay diferencia entre las
curvas de cada meteoro respecto al ángulo de entrada: las tres se sobreponen. Concluimos
entonces que la presión central no depende significativamente del ángulo de entrada.
Incluso, de la ecuación (3.3) vemos que no hay dependencia del ángulo y tampoco está
asociada al sistema dinámico; sólo se utiliza para compararse con y determinar la altura
de fragmentación. Lo que destaca es la presión central final para cada meteoro, pues sale
del orden de magnitud inicial, llegando a
para A,
para CC y
para
CL. Hay mucha diferencia entre CC y CL, y si
y
son iguales para ambos
cometas, tenemos que la velocidad de entrada es el factor que impera en los resultados.
Del análisis de radio contra altitud, veremos que el factor de forma es tal que los meteoros
fragmentados se consideran como uno solo durante todo el vuelo, dando como resultado
una curva de presión continua y exponencial.
Energía contra altitud
24
2.794
Energía vs Altitud
x 10
2.792
2.79
E (J)
2.788
45°
2.786
30°
2.784
2.782
-2
20°
0
2
Asteroide Ferroso
4
6
73
8
h (m)
10
4
x 10
23
7.8
Energía vs Altitud
x 10
7.78
7.76
7.74
E (J)
7.72
45°
7.7
30°
7.68
7.66
7.64
20°
7.62
7.6
-2
0
2
Asteroide Carbonáceo
24
1.24
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Energía vs Altitud
x 10
1.238
1.236
E (J)
1.234
1.232
1.23
45°
30°
1.228
1.226
-2
20°
0
2
Asteroide Rocoso
4
6
74
8
h (m)
10
4
x 10
23
2.46
Energía vs Altitud
x 10
2.44
2.42
E (J)
2.4
45°
2.38
30°
2.36
2.34
2.32
20°
2.3
-2
0
2
4
Cometa de Período Corto
23
10
6
8
h (m)
10
4
x 10
Energía vs Altitud
x 10
9.5
45°
E (J)
9
8.5
30°
8
20°
-2
0
2
4
Cometa de Período Largo
6
75
8
h (m)
10
4
x 10
La ecuación (3.8) indica la fuerte dependencia de la energía con la velocidad ( y ). En
este sentido se ve la influencia del efecto paracaídas. La energía inicial es para todos los
casos constante e igual a únicamente la energía cinética. El ángulo de entrada sólo muestra
su presencia en los cometas. Las variaciones entre las curvas se nota en [0,20] km. Al
comparar la energía de impacto entre los meteoros, observamos que la mayor densidad
implica una mayor energía, excepto para AC y CL, cuyo orden se invierte, debido a la
mayor velocidad del segundo. Asimismo, CL es el que presenta mayor cambio en los 20
km previos al impacto, particularmente por su gran velocidad y baja densidad. En la tabla
4.5 presentamos las energías de impacto.
Tabla 4.5 Energía aproximada de impacto [J]
AF
AR
AC
CC
CL
20°
2.78e24
1.22e24
7.62e23
2.31e23
7.75e23
30°
2.78e24
1.23e24
7.68e23
2.37e23
8.50e23
45°
2.78e24
1.23e24
7.71e23
2.40e23
8.90e23
Obtenemos el mismo orden de magnitud que el propuesto por [ALV] (4.3e23 J). AC y CL
tienen valores muy parecidos, de aquí que reconozcamos la controversia de cometa o
asteroide como responsable del cráter de Chicxulub.
Es usual encontrar semejantes órdenes de magnitud de energía expresados en megatones
(Mt) de TNT. Un megatón es el equivalente en el Sistema Internacional de Unidades de
1x106 toneladas. La energía liberada por la explosión de un megatón de TNT es de
4.18x1015 J. Por ejemplo, para el caso del asteroide carbonáceo entrando a 20°, tenemos
una energía aproximada al momento del impacto de 7.62x1023 J, que es igual a 1.8x108 Mt.
76
Radio contra altitud
Radio vs Altitud
5012
5010
20°
5008
r (m)
5006
5004
30°
5002
45°
5000
4998
-2
0
2
Asteroide Ferroso
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Radio vs Altitud
5070
20°
5060
5050
r (m)
5040
5030
30°
5020
5010
45°
5000
4990
-2
0
2
Asteroide Carbonáceo
4
6
77
8
h (m)
10
4
x 10
Radio vs Altitud
5040
20°
5035
5030
r (m)
5025
5020
5015
30°
5010
5005
45°
5000
4995
-2
0
2
Asteroide Rocoso
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
Radio vs Altitud
5160
5140
20°
5120
r (m)
5100
5080
5060
30°
5040
5020
45°
5000
4980
-2
0
2
4
Cometa de Período Corto
6
78
8
h (m)
10
4
x 10
Radio vs Altitud
5160
5140
20°
5120
r (m)
5100
5080
5060
30°
5040
45°
5020
5000
4980
-2
0
2
4
Cometa de Período Largo
6
8
h (m)
10
4
x 10
El cambio en el radio de los meteoros respecto al inicial no es grande para el problema,
aunque a escala humana, decenas de metros sí significan un tamaño considerable. Este
incremento debido al modelo de radio en expansión aumenta con un ángulo de entrada
pequeño, pues el efecto de paracaídas es mayor. Así vemos que para la curva de 20°, el
radio de determinado meteoro tiene un cambio representativo contra la curva del mismo
para 30° y 45°. El aumento del radio comienza a notarse en el mismo intervalo que en las
gráficas anteriores, esto es, en los 20 km previos al impacto. La tabla 4.6 muestra una
recapitulación de las curvas, exponiendo el radio al momento del impacto para cada caso.
La gráfica de AF muestra una diferencia al momento de acoplar las curvas antes y después
de la fragmentación. La concavidad es justamente opuesta. Acreditamos este fenómeno al
orden de magnitud de la masa de este meteoro en particular, aunado a una posible falla en
la precisión del método numérico.
Tabla 4.6 Radio aproximado del meteoro en el impacto [m]
AF
AR
AC
CC
CL
20°
5010
5040
5068
5145
5145
30°
5004
5016
5028
5058
5060
45°
5002
5007
5012
5028
5028
79
De acuerdo a la definición de altura de explosión, ninguno de los meteoros simulados
explota, pues no se deforman a más de dos veces su radio inicial; tan sólo se fragmentan.
Así, no esperamos un destello luminoso significante como la lluvia de meteoros. La típica
cola visible de los cometas es lo único que puede considerarse, aunque no tomamos en
cuenta los efectos que pueda tener en la trayectoria de los cometas.
La expansión del radio en un meteoro es inversamente proporcional a su densidad. Los
cometas presentan valores de radio de impacto similares porque tienen idéntico .
El factor de forma va de 1.0004 para r = 5002 m a 1.029 para r = 5145 m, siendo valores
sumamente bajos como para considerar una separación considerable entre los fragmentos.
A través de este hecho, las partes viajan juntas después del instante de fragmentación y
podemos tratar al meteoro en cuestión como uno único cuerpo.
80
Conclusiones
De acuerdo al estudio llevado a cabo, el meteoro que impactó en la península de Yucatán
hace 65 millones de años fue un asteroide de tipo condrito carbonáceo, sustentando de esta
manera a los estudios geológicos mediante el análisis de la dinámica de vuelo del meteoro.
La simulación que mostró un mejor comportamiento respecto al estudio bibliográfico fue la
de condrito carbonáceo a 20°. La comparación de los resultados obtenidos del modelo
bidimensional con los realizados por Gisler y Pierazzo en tres dimensiones, muestran una
buena concordancia. Fuera de los autores anteriores, desconocemos más fuentes que
refieran el modelo de meteoros del orden de 10 km. En la figura podemos ver claramente la
similitud de la energía al momento del impacto de un asteroide carbonáceo y un cometa de
período largo. Así comprobamos la dificultad que ha tenido la comunidad científica
internacional en establecer el tipo de proyectil responsable del evento de Chicxulub.
Energía vs Altitud
24
3
x 10
0
= 20°
AF
2.5
E (J)
2
1.5
AR
1
CL
AC
0.5
CC
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
A pesar de la igualdad en el orden de magnitud de la energía de impacto (≈ 7x1023 J), los
cometas tienen una cantidad de iridio (0.3 ppm) menor que la de los asteroides de tipo
condrito carbonáceo (0.5 ppm). Los asteroides ferrosos y rocosos, así como el cometa de
período corto, tienen un orden distinto de energía y salen de ser fuertes candidatos respecto
al marco teórico. El asteroide carbonáceo es entonces el protagonista favorito del evento de
Chicxulub.
81
En cuanto a la bibliografía analizada sobre la entrada atmosférica, encontramos que es
prácticamente inexistente en español. Sólo hay contados apuntes y breves reseñas de
procedencia española. Hasta ahora es necesario interpretar y traducir varios términos
relacionados con la entrada atmosférica, y sobre todo si es aplicada al ingreso de meteoros,
pues su tratamiento es diferente al de los vehículos tripulados.
Un estudio donde se empalman las condiciones finales del vuelo espacial con las
condiciones iniciales del vuelo atmosférico [MCIN] permite determinar una trayectoria
para el meteoro que establezca de qué parte del espacio proviene. Las condiciones iniciales
propuestas en este trabajo son un punto de partida para emprender el estudio del vuelo
espacial del meteoro. Esto ayudaría a determinar la trayectoria que permita predecir si el
meteoro proviene de la familia de asteroides Baptistina. Nuevamente es necesaria la
simulación de situaciones diversas para determinar la que ofrezca un mejor
comportamiento de acuerdo a las condiciones del problema.
La bibliografía revisada sugiere que un programa computacional de dinámica de fluidos
logra realizar simulaciones mucho más complejas que incluyen la interacción del meteoro
con la superficie. Recomendamos el uso de esta herramienta para futuros análisis.
La adimensionalización de las variables y en consecuencia de los sistemas dinámicos, es
una tarea no muy complicada que ayuda principalmente a obtener bastante información del
fenómeno estudiado.
El método numérico de Runge-Kutta-Fehlberg ofrece muy buen comportamiento en casi
todas las simulaciones, mismo que se refleja en el esfuerzo requerido para su programación.
El paso adaptable ayuda grandemente a manipular correctamente las variaciones
desconocidas a priori que puedan tener los sistemas. La solución numérica de un sistema
de ecuaciones diferenciales de varias variables no es común en los libros de texto y ha sido
conveniente incluir su desarrollo.
Adicionalmente a la pregunta principal, esta tesis aporta lo siguiente:
-Introducción al campo de la entrada atmosférica y entrada atmosférica de meteoros en el
archivo de tesis en México, así como la única bibliografía en español sobre el tema.
-Desarrollo de un modelo adimensionalizado bidimensional de la entrada atmosférica de
meteoros, incluyendo los fenómenos de fragmentación y ablación.
-Descubrimiento de dos números adimensionales que representan la entrada de meteoros a
la atmósfera de la Tierra dentro del marco del modelo planteado:
-Generalización del método numérico de Runge-Kutta-Fehlberg (RK de 5° orden de paso
variable) para un sistema autónomo de nxn ecuaciones diferenciales ordinarias.
82
Apéndice A
Eventos Relacionados con la Caída de
Meteoros Pequeños
Este apéndice es una recopilación de eventos interesantes que involucran la caída de
meteoros pequeños en diversos lugares de la Tierra a través de la historia [LEW]. Los
datos se ordenan en una tabla que incluye el nombre del evento, la fecha, el lugar, así como
la fuente de donde se obtiene la información.
Fecha
25/06/588
Lugar
China
14/01/616
China
679
1321-1368
Coldingham, Inglaterra
Distrito de O-chia, China
11/10/1761
Chamblan, Francia
24/07/1790 Barbotan y Agen, Francia
10/11/1823
Waseda, Japón
27/02/1827
Mhow, India
1841
Archip. Chiloe, Chile
07/12/1872
Banbury, Inglaterra
11/03/1897 Virginia Occidental, EUA
16/06/1911
Wisconsin, EUA
09/01/1914
Oeste de Francia
08/12/1929
Zvezvan, Yugoslavia
04/08/1932
Sao Christovao, Brasil
18/02/1934
Sevilla, España
31/03/1938
Kasamatsu, Japón
12/02/1947
Vladivostok, Rusia
14/08/1992
Mbale, Uganda
11/04/1997
13/06/1998
12/07/1998
Chambrey, Francia
Portales, Nuevo México
Kitchener, Ontario
Fuente
Yau et al. (1994)
Evento
Un objeto de color rojo cayó con el sonido
de un trueno, explotó y quemó varias casas
Yau et al. (1994)
Diez muertos reportados a causa de una
lluvia de meteoros; torres destruidas
Crónica Anglosajona
Monasterio destruido por "fuego del cielo"
Yau et al. (1994)
Lluvia de hierro mata a gente, animales
y destruye casas
Mem. Acad. Dijon 1
Casa incendiada por un meteoro
Philos. Mag. [1] 16, 293
Meteoro mata a granjero y cierto ganado
Met. 1, 300
Meteoro impacta contra una casa
Philos. Mag. [4] 25, 447
Hombre herido en el brazo; árbol dañado
C.R. Acad. Sci. 12, 1196
Incendio causado por caída de meteoro
Nature 7, 112
Bola de fuego derriba árboles y pared
NYT 1:4
Hombre derribado y caballo muerto
NYT 8/8/32 17:6
Meteoro impacta contra una granja
NYT 1:7
Explosiones de meteoro rompen ventanas
NYT III 1:2
Meteoro cae en fiesta de novia; 1 muerto
NYT 6:5
Meteoro destruye techo de bodega
Seattle Times 02/23/34
Casa impactada e incendiada
Met. 1, 300
Meteoro perfora techo de un barco
NYT 4/29 14:3
Caída de meteoros de hierro; cráter
Met. 29, 246
48 piedras cayeron; techos dañados;
niño golpeado en la cabeza
Arizona Daily Star, 4/12/97
Meteoro perfora techo de un carro
Arizona Daily Star
Meteoro penetra techo de granja
Sky & Telescope 2/99
Meteoro cae a 1 m de golfista
83
Apéndice B
Códigos de la Programación en MATLAB
Los códigos de la programación en MATLAB, explicados en la sección 3.4, están incluidos
en este apéndice. Dada la gran cantidad de simulaciones, sólo se incluye el código para un
determinado tipo de meteoro. Al conocer el código, fácilmente se puede aplicar a otros
meteoros. Los programas aquí descritos son:
B.1 pazsoldan.m
B.2 RKF.m
B.3 pazsoldan2.m
B.4 RKF2.m
B.5 Graficas.m – primera variante
B.6 Graficas.m – segunda variante
B.1 Sistema dinámico adimensional antes de la fragmentación en pazsoldan.m
function f=pazsoldan(b,va,m,aa,Ea)
global CD CH alfa g P1 Ra Qa
f(1)=-va*sin(aa);
f(2)=-0.5*CD*exp(-b)*m^(alfa-1)*g*P1*va^2+Ra*(1-2*b/Ra)*sin(aa);
f(3)=-0.5*CH*exp(-b)*m^(alfa)*g*(P1/Ra^2)*va^3/Qa;
f(4)=Ra*(1-2*b/Ra)*cos(aa)/va-va*cos(aa)/(Ra+b);
f(5)=0.5*CD*exp(-b)*m^alfa*g*(P1/Ra^2)*va^3+0.25*CH*exp(b)*g*m^alfa*(P1/Ra^4)*(1/Qa)*va^5;
84
B.2 Programa del método de RKF antes de la fragmentación en RKF.m
%Método de Runge-Kutta-Fehlberg para un sistema de ecuaciones
diferenciales
function R=RKF(f,t0,tf,h0,v0,r0,ang0,rhm,Q,Ys,N,tol)
global CD CH alfa g P1 Ra Qa
global Reh1 Rev1 Rem1 Rea1 ReE1 ReP1 Rer1
%Datos
% -f es la función, almacenada como una cadena de caracteres 'f'
% -a y c son los extremos derecho e izquierdo del intervalo
% -y0 es la condición inicial y(a)
% -N es el número de pasos
% -tol es la tolerancia
%Resultado
% -R=[T' Y'] siendo T el vector de las abscisas e Y el vector de las
% ordenadas
%Prueba para un asteroide carbonáceo.
%Variables dimensionales
H=6700;
mu=3.98E14;
R=6.371E6;
rho=1.752;
alfa=2/3;
CD=1.7;
CH=0.1;
a=t0*sqrt(mu/R^3);
c=tf*sqrt(mu/R^3);
b0=h0/H;
va0=(v0/H)*sqrt(R^3/mu);
aa0=ang0*pi/180;
M0=rhm*2*pi*r0^3;
S=pi*(M0/(2*pi*rhm))^(2/3);
ra=r0/H;
%Constantes adimensionales
Ra=R/H;
Qa=Q*R/mu;
g=rho/rhm;
%Parámetros adimensionales
P1=rhm*S*H/M0;
P2=rhm*H^3/M0;
% Coeficientes necesarios para calcular las aproximaciones RKF
a2=1/4;b2=1/4;a3=3/8;b3=3/32;c3=9/32;a4=12/13;
b4=1932/2197;c4=-7200/2197;d4=7296/2197;a5=1;
b5=439/216;c5=-8;d5=3680/513;e5=-845/4104;a6=1/2;
b6=-8/27;c6=2;d6=-3544/2565;e6=1859/4104;
f6=-11/40;r1=1/360;r3=-128/4275;r4=-2197/75240;r5=1/50;
r6=2/55;n1=25/216;n3=1408/2565;n4=2197/4104;n5=-1/5;
85
big=1e15;
z=(c-a)/N;
hmin=z/64;
hmax=64*z;
max1=200;
b(1)=b0;
va(1)=va0;
m(1)=1;
aa(1)=aa0;
ta(1)=a;
Ea(1)=0;
%v0^2*R/(2*mu);
P(1)=0.25*CD*exp(-b0)*g*P2*(va0)^2;
j=1;
cr=c-0.00001*abs(c);
while (ta(j)<c)
if ((ta(j)+z)>cr)
z=c-ta(j);
end
%Cálculo de las aproximaciones RKF
k1=z*feval(f,b(j),va(j),m(j),aa(j),Ea(j));
yb2=b(j)+b2*k1(1);
yva2=va(j)+b2*k1(2);
ym2=m(j)+b2*k1(3);
yaa2=aa(j)+b2*k1(4);
Ea2=Ea(j)+b2*k1(5);
if big<min(abs([yb2,yva2,ym2,yaa2,Ea2])),break,end
k2=z*feval(f,yb2,yva2,ym2,yaa2,Ea2);
yb3=b(j)+b3*k1(1)+c3*k2(1);
yva3=va(j)+b3*k1(2)+c3*k2(2);
ym3=m(j)+b3*k1(3)+c3*k2(3);
yaa3=aa(j)+b3*k1(4)+c3*k2(4);
Ea3=Ea(j)+b3*k1(5)+c3*k2(5);
if big<min(abs([yb3,yva3,ym3,yaa3,Ea3])),break,end
k3=z*feval(f,yb3,yva3,ym3,yaa3,Ea3);
yb4=b(j)+b4*k1(1)+c4*k2(1)+d4*k3(1);
yva4=va(j)+b4*k1(2)+c4*k2(2)+d4*k3(2);
ym4=m(j)+b4*k1(3)+c4*k2(3)+d4*k3(3);
yaa4=aa(j)+b4*k1(4)+c4*k2(4)+d4*k3(4);
Ea4=Ea(j)+b4*k1(5)+c4*k2(5)+d4*k3(5);
if big<min(abs([yb4,yva4,ym4,yaa4,Ea4])),break,end
k4=z*feval(f,yb4,yva4,ym4,yaa4,Ea4);
yb5=b(j)+b5*k1(1)+c5*k2(1)+d5*k3(1)+e5*k4(1);
yva5=va(j)+b5*k1(2)+c5*k2(2)+d5*k3(2)+e5*k4(2);
ym5=m(j)+b5*k1(3)+c5*k2(3)+d5*k3(3)+e5*k4(3);
yaa5=aa(j)+b5*k1(4)+c5*k2(4)+d5*k3(4)+e5*k4(4);
Ea5=Ea(j)+b5*k1(5)+c5*k2(5)+d5*k3(5)+e5*k4(5);
if big<min(abs([yb5,yva5,ym5,yaa5,Ea5])),break,end
k5=z*feval(f,yb5,yva5,ym5,yaa5,Ea5);
yb6=b(j)+b6*k1(1)+c6*k2(1)+d6*k3(1)+e6*k4(1)+f6*k5(1);
yva6=va(j)+b6*k1(2)+c6*k2(2)+d6*k3(2)+e6*k4(2)+f6*k5(2);
ym6=m(j)+b6*k1(3)+c6*k2(3)+d6*k3(3)+e6*k4(3)+f6*k5(3);
yaa6=aa(j)+b6*k1(4)+c6*k2(4)+d6*k3(4)+e6*k4(4)+f6*k5(4);
Ea6=Ea(j)+b6*k1(5)+c6*k2(5)+d6*k3(5)+e6*k4(5)+f6*k5(5);
if big<min(abs([yb6,yva6,ym6,yaa6,Ea6])),break,end
k6=z*feval(f,yb6,yva6,ym6,yaa6,Ea6);
86
if b(j)<0, disp('El meteoro tocó tierra'); break,end
if m(j)<0.01, disp('El meteoro se evaporó'); break,end
if P(j)>Ys*R^3*H/(mu*M0), disp('El meteoro se fragmentó'),
break,
end;
errb=abs(r1*k1(1)+r3*k3(1)+r4*k4(1)+r5*k5(1)+r6*k6(1));
errva=abs(r1*k1(2)+r3*k3(2)+r4*k4(2)+r5*k5(2)+r6*k6(2));
errm=abs(r1*k1(3)+r3*k3(3)+r4*k4(3)+r5*k5(3)+r6*k6(3));
erraa=abs(r1*k1(4)+r3*k3(4)+r4*k4(4)+r5*k5(4)+r6*k6(4));
errEa=abs(r1*k1(5)+r3*k3(5)+r4*k4(5)+r5*k5(5)+r6*k6(5));
fnewb=b(j)+n1*k1(1)+n3*k3(1)+n4*k4(1)+n5*k5(1);
fnewva=va(j)+n1*k1(2)+n3*k3(2)+n4*k4(2)+n5*k5(2);
fnewm=m(j)+n1*k1(3)+n3*k3(3)+n4*k4(3)+n5*k5(3);
fnewaa=aa(j)+n1*k1(4)+n3*k3(4)+n4*k4(4)+n5*k5(4);
fnewEa=Ea(j)+n1*k1(5)+n3*k3(5)+n4*k4(5)+n5*k5(5);
%Control del error y del incremento
if(((min([errb,errva,errm,erraa,errEa]))<tol)||(z<2*hmin))
b(j+1)=fnewb;
va(j+1)=fnewva;
m(j+1)=fnewm;
aa(j+1)=fnewaa;
Ea(j+1)=fnewEa;
P(j+1)=0.25*CD*exp(-b(j+1))*g*P2*(va(j+1))^2;
if((ta(j)+z)>cr)
ta(j+1)=c;
else
ta(j+1)=ta(j)+z;
end
j=j+1;
end
if (errb==0), sb=0; else sb=0.84*(tol*z/errb(:,1))^(0.25); end;
if (errva==0), sva=0; else sva=0.84*(tol*z/errva(:,1))^(0.25); end;
if (errm==0), sm=0; else sm=0.84*(tol*z/errm(:,1))^(0.25); end;
if (erraa==0), saa=0; else saa=0.84*(tol*z/erraa(:,1))^(0.25); end;
if (errEa==0), sEa=0; else sEa=0.84*(tol*z/errEa(:,1))^(0.25); end;
if((min([sb,sva,sm,saa,sEa])<0.75)&&(z>2*hmin))
z=z/2;
end
if((min([sb,sva,sm,saa,sEa])>1.50)&&(2*z<hmax))
z=2*z;
end
if((big<min(abs([b(j),va(j),m(j),aa(j),Ea(j)])))||(max1==j)),break,end
end
%Matrices de resultados
Reh1=[(ta*sqrt(R^3/mu))' (b*H)'];
Rev1=[(ta*sqrt(R^3/mu))' (va*H*sqrt(mu/R^3))'];
Rem1=[(ta*sqrt(R^3/mu))' (m*M0)'];
Rea1=[(b*H)' (aa*180/pi)'];
Rer1=[((m*M0/(2*pi*rhm)).^(1/3))' (b*H)'];
87
ReE1=[(b*H)' (Ea*M0*mu/R)'];
ReP1=[(b*H)' (P*mu*M0/(H*R^3))'];
RKF2('pazsoldan2',ta(1,end),c,b(1,end),va(1,end),m(1,end),aa(1,end),Ea(1,
end),ra,0,rhm,Q,Ys,40,2*10^-5);
%RKF2(
f
,a
, c,
b0 ,
va0 ,
m0
,
aa0 ,
Ea0 ,ra0,u0, rhm, Q, Ys, N, tol)
B.3 Sistema dinámico adimensional posterior de la fragmentación en pazsoldan2.m
function f=pazsoldan2(b,va,m,aa,Ea,ra,u)
global CD CH g P2 Ra Qa
f(1)=-va*sin(aa);
f(2)=-0.5*CD*exp(-b)*m^(-1)*g*pi*P2*ra^2*va^2+Ra*(1-2*b/Ra)*sin(aa);
f(3)=-0.5*CH*exp(-b)*g*pi*P2/Qa*(ra/Ra)^2*va^3;
f(4)=Ra*(1-2*b/Ra)*cos(aa)/va-va*cos(aa)/(Ra+b);
f(5)=0.5*CD*exp(-b)*g*pi*P2*(ra/Ra)^2*va^3+0.25*CH*exp(b)*g*pi*(P2/Qa)*(ra/Ra^2)^2*va^5;
f(6)=u;
f(7)=0.5*CD*exp(-b)*g*va^2/ra;
B.4 Programa del método de RKF posterior a la fragmentación en RKF2.m
%Método de Runge-Kutta-Fehlberg para un sistema de ecuaciones
diferenciales
function R=RKF2(f,a,c,b0,va0,m0,aa0,Ea0,ra0,u0,rhm,Q,Ys,N,tol)
global CD CH g P2 Ra Qa
global Reh2 Rev2 Rem2 Rea2 ReE2 ReP2 Rer2 ReY2
%Datos
% -f es la función, almacenada como una cadena de caracteres 'f'
% -a y c son los extremos derecho e izquierdo del intervalo
% -y0 es la condición inicial y(a)
% -N es el número de pasos
% -tol es la tolerancia
%Resultado
% -R=[T' Y'] siendo T el vector de las abscisas e Y el vector de las
% ordenadas
%Prueba para un asteroide carbonáceo.
%Constantes dimensionales
H=6700;
mu=3.98E14;
R=6.371E6;
rho=1.752;
CD=1.7;
CH=0.1;
88
M0=rhm*2*pi*(ra0*H)^3;
%Constantes adimensionales
Qa=Q*R/mu;
g=rho/rhm;
Ra=R/H;
%Parámetros adimensionales
P2=rhm*H^3/M0;
% Coeficientes necesarios para calcular las aproximaciones RKF
a2=1/4;b2=1/4;a3=3/8;b3=3/32;c3=9/32;a4=12/13;
b4=1932/2197;c4=-7200/2197;d4=7296/2197;a5=1;
b5=439/216;c5=-8;d5=3680/513;e5=-845/4104;a6=1/2;
b6=-8/27;c6=2;d6=-3544/2565;e6=1859/4104;
f6=-11/40;r1=1/360;r3=-128/4275;r4=-2197/75240;r5=1/50;
r6=2/55;n1=25/216;n3=1408/2565;n4=2197/4104;n5=-1/5;
big=1e15;
z=(c-a)/N;
hmin=z/64;
hmax=64*z;
max1=200;
b(1)=b0;
va(1)=va0;
m(1)=m0;
aa(1)=aa0;
ta(1)=a;
Ea(1)=Ea0;
ra(1)=ra0;
u(1)=u0;
P(1)=0.25*CD*exp(-b0)*g*P2*(va0)^2;
j=1;
cr=c-0.00001*abs(c);
while (ta(j)<c)
if ((ta(j)+z)>cr)
z=c-ta(j);
end
89
%Cálculo de las aproximaciones RKF
k1=z*feval(f,b(j),va(j),m(j),aa(j),Ea(j),ra(j),u(j));
yb2=b(j)+b2*k1(1);
yva2=va(j)+b2*k1(2);
ym2=m(j)+b2*k1(3);
yaa2=aa(j)+b2*k1(4);
Ea2=Ea(j)+b2*k1(5);
ra2=ra(j)+b2*k1(6);
u2=u(j)+b2*k1(7);
if big<min(abs([yb2,yva2,ym2,yaa2,Ea2,ra2,u2])),break,end
k2=z*feval(f,yb2,yva2,ym2,yaa2,Ea2,ra2,u2);
yb3=b(j)+b3*k1(1)+c3*k2(1);
yva3=va(j)+b3*k1(2)+c3*k2(2);
ym3=m(j)+b3*k1(3)+c3*k2(3);
yaa3=aa(j)+b3*k1(4)+c3*k2(4);
Ea3=Ea(j)+b3*k1(5)+c3*k2(5);
ra3=ra(j)+b3*k1(6)+c3*k2(6);
u3=u(j)+b3*k1(7)+c3*k2(7);
if big<min(abs([yb3,yva3,ym3,yaa3,Ea3,ra3,u3])),break,end
k3=z*feval(f,yb3,yva3,ym3,yaa3,Ea3,ra3,u3);
yb4=b(j)+b4*k1(1)+c4*k2(1)+d4*k3(1);
yva4=va(j)+b4*k1(2)+c4*k2(2)+d4*k3(2);
ym4=m(j)+b4*k1(3)+c4*k2(3)+d4*k3(3);
yaa4=aa(j)+b4*k1(4)+c4*k2(4)+d4*k3(4);
Ea4=Ea(j)+b4*k1(5)+c4*k2(5)+d4*k3(5);
ra4=ra(j)+b4*k1(6)+c4*k2(6)+d4*k3(6);
u4=u(j)+b4*k1(7)+c4*k2(7)+d4*k3(7);
if big<min(abs([yb4,yva4,ym4,yaa4,Ea4,ra4,u4])),break,end
k4=z*feval(f,yb4,yva4,ym4,yaa4,Ea4,ra4,u4);
yb5=b(j)+b5*k1(1)+c5*k2(1)+d5*k3(1)+e5*k4(1);
yva5=va(j)+b5*k1(2)+c5*k2(2)+d5*k3(2)+e5*k4(2);
ym5=m(j)+b5*k1(3)+c5*k2(3)+d5*k3(3)+e5*k4(3);
yaa5=aa(j)+b5*k1(4)+c5*k2(4)+d5*k3(4)+e5*k4(4);
Ea5=Ea(j)+b5*k1(5)+c5*k2(5)+d5*k3(5)+e5*k4(5);
ra5=ra(j)+b5*k1(6)+c5*k2(6)+d5*k3(6)+e5*k4(6);
u5=u(j)+b5*k1(7)+c5*k2(7)+d5*k3(7)+e5*k4(7);
if big<min(abs([yb5,yva5,ym5,yaa5,Ea5,ra5,u5])),break,end
k5=z*feval(f,yb5,yva5,ym5,yaa5,Ea5,ra5,u5);
yb6=b(j)+b6*k1(1)+c6*k2(1)+d6*k3(1)+e6*k4(1)+f6*k5(1);
yva6=va(j)+b6*k1(2)+c6*k2(2)+d6*k3(2)+e6*k4(2)+f6*k5(2);
ym6=m(j)+b6*k1(3)+c6*k2(3)+d6*k3(3)+e6*k4(3)+f6*k5(3);
yaa6=aa(j)+b6*k1(4)+c6*k2(4)+d6*k3(4)+e6*k4(4)+f6*k5(4);
Ea6=Ea(j)+b6*k1(5)+c6*k2(5)+d6*k3(5)+e6*k4(5)+f6*k5(5);
ra6=ra(j)+b6*k1(6)+c6*k2(6)+d6*k3(6)+e6*k4(6)+f6*k5(6);
u6=u(j)+b6*k1(7)+c6*k2(7)+d6*k3(7)+e6*k4(7)+f6*k5(7);
if big<min(abs([yb6,yva6,ym6,yaa6,Ea6,ra6,u6])),break,end
k6=z*feval(f,yb6,yva6,ym6,yaa6,Ea6,ra6,u6);
if b(j)<0, disp('El meteoro tocó tierra'); break,end
if m(j)<0.01, disp('El meteoro se evaporó'); break,end
90
errb=abs(r1*k1(1)+r3*k3(1)+r4*k4(1)+r5*k5(1)+r6*k6(1));
errva=abs(r1*k1(2)+r3*k3(2)+r4*k4(2)+r5*k5(2)+r6*k6(2));
errm=abs(r1*k1(3)+r3*k3(3)+r4*k4(3)+r5*k5(3)+r6*k6(3));
erraa=abs(r1*k1(4)+r3*k3(4)+r4*k4(4)+r5*k5(4)+r6*k6(4));
errEa=abs(r1*k1(5)+r3*k3(5)+r4*k4(5)+r5*k5(5)+r6*k6(5));
errra=abs(r1*k1(6)+r3*k3(6)+r4*k4(6)+r5*k5(6)+r6*k6(6));
erru=abs(r1*k1(7)+r3*k3(7)+r4*k4(7)+r5*k5(7)+r6*k6(7));
fnewb=b(j)+n1*k1(1)+n3*k3(1)+n4*k4(1)+n5*k5(1);
fnewva=va(j)+n1*k1(2)+n3*k3(2)+n4*k4(2)+n5*k5(2);
fnewm=m(j)+n1*k1(3)+n3*k3(3)+n4*k4(3)+n5*k5(3);
fnewaa=aa(j)+n1*k1(4)+n3*k3(4)+n4*k4(4)+n5*k5(4);
fnewEa=Ea(j)+n1*k1(5)+n3*k3(5)+n4*k4(5)+n5*k5(5);
fnewra=ra(j)+n1*k1(6)+n3*k3(6)+n4*k4(6)+n5*k5(6);
fnewu=u(j)+n1*k1(7)+n3*k3(7)+n4*k4(7)+n5*k5(7);
%Control del error y del incremento
if(((min([errb,errva,errm,erraa,errEa,errra,erru]))<tol)||(z<2*hmin))
b(j+1)=fnewb;
va(j+1)=fnewva;
m(j+1)=fnewm;
aa(j+1)=fnewaa;
Ea(j+1)=fnewEa;
ra(j+1)=fnewra;
u(j+1)=fnewu;
P(j+1)=0.25*CD*exp(-b(j+1))*g*P2*(va(j+1))^2;
if((ta(j)+z)>cr)
ta(j+1)=c;
else
ta(j+1)=ta(j)+z;
end
j=j+1;
end
if (errb==0), sb=0; else sb=0.84*(tol*z/errb(:,1))^(0.25); end;
if (errva==0), sva=0; else sva=0.84*(tol*z/errva(:,1))^(0.25); end;
if (errm==0), sm=0; else sm=0.84*(tol*z/errm(:,1))^(0.25); end;
if (erraa==0), saa=0; else saa=0.84*(tol*z/erraa(:,1))^(0.25); end;
if (errEa==0), sEa=0; else sEa=0.84*(tol*z/errEa(:,1))^(0.25); end;
if (errra==0), sra=0; else sra=0.84*(tol*z/errra(:,1))^(0.25); end;
if (erru==0), su=0; else su=0.84*(tol*z/erru(:,1))^(0.25); end;
if((min([sb,sva,sm,saa,sEa,sra,su])<0.75)&&(z>2*hmin))
z=z/2;
end
if((min([sb,sva,sm,saa,sEa,sra,su])>1.50)&&(2*z<hmax))
z=2*z;
end
if((big<min(abs([b(j),va(j),m(j),aa(j),Ea(j),ra(j),u(j)])))||(max1==j)),
break,end
end
91
%Matrices de resultados
Reh2=[(ta*sqrt(R^3/mu))' (b*H)'];
Rev2=[(ta*sqrt(R^3/mu))' (va*H*sqrt(mu/R^3))'];
Rem2=[(ta*sqrt(R^3/mu))' (m*M0)'];
Rea2=[(b*H)' (aa*180/pi)'];
ReE2=[(b*H)' (Ea*M0*mu/R)'];
Rer2=[(ra*H)' (b*H)'];
ReP2=[(b*H)' (P*mu*M0/(H*R^3))'];
ReY2=[(b*H)' ones(size(b'))*Ys];
B.5 Código para las 35 gráficas en Graficas.m – primera variante
function X=Graficas(v0,r0,rhm)
global Reh1 Rev1 Rem1 Rea1 ReE1 ReP1 Rer1
global Reh2 Rev2 Rem2 Rea2 ReE2 ReP2 Rer2 ReY2
%Gráficas
mu=3.98E14;
R=6.371E6;
M0=rhm*2*pi*r0^3;
txtang='45°';
%Altitud contra Tiempo
figure(1)
hold on
%plot(Reh1(:,1),Reh1(:,2),'ob')
%plot(Reh2(:,1),Reh2(:,2),'or')
plot(Reh1(:,1),Reh1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(Reh2(:,1),Reh2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Altitud vs Tiempo'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('h (m)')
grid on
set(1,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,1),Reh2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Ángulo contra Altitud
figure(2)
hold on
%plot(Reh1(:,2),Rea1(:,2),'ob')
%plot(Reh2(:,2),Rea2(:,2),'or')
plot(Reh1(:,2),Rea1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(Reh2(:,2),Rea2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Ángulo vs Altitud'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('Ángulo (°)')
grid on
set(2,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rea2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
92
h (m)')
h (m)')
%Velocidad contra Altitud
figure(3)
hold on
%plot(ReE1(:,1),Rev1(:,2),'ob')
%plot(ReE2(:,1),Rev2(:,2),'or')
plot(ReE1(:,1),Rev1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReE2(:,1),Rev2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Velocidad vs Altitud'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('v (m/s)')
grid on
set(3,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rev2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Masa contra Altitud
figure(4)
hold on
%plot(ReE1(:,1),Rem1(:,2),'ob')
%plot(ReE2(:,1),Rem2(:,2),'or')
plot(ReE1(:,1),Rem1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReE2(:,1),Rem2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Masa vs Altitud'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('m (kg)')
grid on
set(4,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rem2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Presión Central contra Altitud
figure(5)
hold on
%plot(ReP1(:,1),ReP1(:,2),'ob')
%plot(ReP2(:,1),ReP2(:,2),'or')
plot(ReP1(:,1),ReP1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReP2(:,1),ReP2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Presión Central vs Altitud'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('Pc (Pa)')
plot(ReY2(:,1),ReY2(:,2),'-g','LineWidth',2)
hold on
%plot(ReY2(:,1),ReY2(:,2),'og')
grid on
set(5,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),ReP2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Energía contra Altitud
figure(6)
hold on
%plot(ReE1(:,1),ReE1(:,2),'ob')
%plot(ReE2(:,1),ReE2(:,2),'or')
93
h (m)')
h (m)')
h (m)')
plot(ReE1(:,1),0.5*M0*v0^2-ReE1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReE2(:,1),0.5*M0*v0^2-ReE2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Energía vs Altitud'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('E (J)')
grid on
set(6,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),0.5*M0*v0^2-ReE2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Radio del meteoro contra Altitud
figure(7)
hold on
%plot(Rer1(:,2),Rer1(:,1),'ob')
%plot(Rer2(:,2),Rer2(:,1),'or')
plot(Rer1(:,2),Rer1(:,1),'-b','LineWidth',2)
plot(Rer2(:,2),Rer2(:,1),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Radio vs Altitud'))
xlabel('Cometa de Período Largo
ylabel('r (m)')
grid on
set(7,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rer2(end,1),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
h (m)')
h (m)')
B.6 Código para las 21 gráficas en Graficas.m – segunda variante
function X=Graficas(v0,r0,rhm)
global Reh1 Rev1 Rem1 Rea1 ReE1 ReP1 Rer1
global Reh2 Rev2 Rem2 Rea2 ReE2 ReP2 Rer2 ReY2
%Gráficas
mu=3.98E14;
R=6.371E6;
M0=rhm*2*pi*r0^3;
txtang='CL';
%Altitud contra Tiempo
figure(1)
hold on
%plot(Reh1(:,1),Reh1(:,2),'ob')
%plot(Reh2(:,1),Reh2(:,2),'or')
plot(Reh1(:,1),Reh1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(Reh2(:,1),Reh2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Altitud vs Tiempo
xlabel('
ylabel('h (m)')
grid on
set(1,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,1),Reh2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
94
theta0 = 45°'))
t (s)')
%Ángulo contra Altitud
figure(2)
hold on
%plot(Reh1(:,2),Rea1(:,2),'ob')
%plot(Reh2(:,2),Rea2(:,2),'or')
plot(Reh1(:,2),Rea1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(Reh2(:,2),Rea2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Ángulo vs Altitud
xlabel('
ylabel('Ángulo (°)')
grid on
set(2,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rea2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Velocidad contra Altitud
figure(3)
hold on
%plot(ReE1(:,1),Rev1(:,2),'ob')
%plot(ReE2(:,1),Rev2(:,2),'or')
plot(ReE1(:,1),Rev1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReE2(:,1),Rev2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Velocidad vs Altitud
xlabel('
ylabel('v (m/s)')
grid on
set(3,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rev2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Masa contra Altitud
figure(4)
hold on
%plot(ReE1(:,1),Rem1(:,2),'ob')
%plot(ReE2(:,1),Rem2(:,2),'or')
plot(ReE1(:,1),Rem1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReE2(:,1),Rem2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Masa vs Altitud
xlabel('
ylabel('m (kg)')
grid on
set(4,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rem2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
95
theta0 = 45°'))
h (m)')
theta0 = 45°'))
h (m)')
theta0 = 45°'))
h (m)')
%Presión Central contra Altitud
figure(5)
hold on
%plot(ReP1(:,1),ReP1(:,2),'ob')
%plot(ReP2(:,1),ReP2(:,2),'or')
plot(ReP1(:,1),ReP1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReP2(:,1),ReP2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Presión Central vs Altitud
xlabel('
ylabel('Pc (Pa)')
plot(ReY2(:,1),ReY2(:,2),'-g','LineWidth',2)
hold on
%plot(ReY2(:,1),ReY2(:,2),'og')
grid on
set(5,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),ReP2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Energía contra Altitud
figure(6)
hold on
%plot(ReE1(:,1),ReE1(:,2),'ob')
%plot(ReE2(:,1),ReE2(:,2),'or')
plot(ReE1(:,1),0.5*M0*v0^2-ReE1(:,2),'-b','LineWidth',2)
plot(ReE2(:,1),0.5*M0*v0^2-ReE2(:,2),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Energía vs Altitud
xlabel('
ylabel('E (J)')
grid on
set(6,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),0.5*M0*v0^2-ReE2(end,2),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
%Radio del meteoro contra Altitud
figure(7)
hold on
%plot(Rer1(:,2),Rer1(:,1),'ob')
%plot(Rer2(:,2),Rer2(:,1),'or')
plot(Rer1(:,2),Rer1(:,1),'-b','LineWidth',2)
plot(Rer2(:,2),Rer2(:,1),'-r','LineWidth',2)
title(texlabel('Radio vs Altitud
xlabel('
ylabel('r (m)')
grid on
set(7,'Color',[1 1 1])
txthnd=text(Reh2(end,2),Rer2(end,1),txtang);
set(txthnd,'HorizontalAlignment','right')
hold off
96
theta0 = 45°'))
h (m)')
theta0 = 45°'))
h (m)')
theta0 = 45°'))
h (m)')
Apéndice C
Segundo Conjunto de Gráficas
El segundo conjunto de gráficas del modelo de entrada atmosférica del meteoro de
Chicxulub está conformado por las gráficas obtenidas a través de la segunda variante del
programa Graficas.m, expuesta en la sección B.6 del Apéndice B.
Las 21 gráficas aquí presentadas complementan la explicación del Capítulo 4.
C.1 Altitud contra tiempo
Altitud vs Tiempo
4
10
x 10
0
= 20°
8
h (m)
6
4
2
0
CL
-2
0
2
4
6
A
8
10
12
t (s)
97
CC
14
Altitud vs Tiempo
4
10
x 10
0
= 30°
8
h (m)
6
4
2
0
-2
0
1
2
4
5
6
Altitud vs Tiempo
4
10
3
x 10
CC
A
CL
7
t (s)
0
8
9
= 45°
8
h (m)
6
4
2
0
CL
-2
0
1
2
A
3
4
5
t (s)
98
CC
6
C.2 Ángulo contra altitud
Ángulo vs Altitud
0
= 20°
20
19.5
Ángulo (°)
19
18.5
18
17.5
CC
A
CL
17
-2
0
2
4
6
8
h (m)
Ángulo vs Altitud
0
10
4
x 10
= 30°
30.2
30
29.8
Ángulo (°)
29.6
29.4
29.2
29
28.8
CC
28.6
A
28.4
-2
CL
0
2
4
6
8
h (m)
99
10
4
x 10
Ángulo vs Altitud
0
= 45°
45
44.9
44.8
Ángulo (°)
44.7
44.6
44.5
44.4
44.3
CC
44.2
A
44.1
-2
CL
0
2
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
C.3 Velocidad contra altitud
Velocidad vs Altitud
4
5.5
x 10
5
0
= 20°
CL
v (m/s)
4.5
4
3.5
3
2.5
2
-2
A
CC
0
2
4
6
8
h (m)
100
10
4
x 10
Velocidad vs Altitud
4
5.5
x 10
0
= 30°
CL
5
v (m/s)
4.5
4
3.5
A
3
CC
2.5
2
-2
0
2
4
6
8
h (m)
Velocidad vs Altitud
4
5.5
x 10
5
0
10
4
x 10
= 45°
CL
v (m/s)
4.5
4
3.5
3
2.5
-2
A
CC
0
2
4
6
8
h (m)
101
10
4
x 10
C.4 Masa contra altitud
Masa vs Altitud
15
7
x 10
0
= 20°
AF
6
m (kg)
5
4
3
AR
2
AC
1
CC
CL
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
Masa vs Altitud
15
7
x 10
6
0
10
4
x 10
= 30°
AF
m (kg)
5
4
3
AR
2
AC
1
CC
CL
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
102
10
4
x 10
Masa vs Altitud
15
7
x 10
0
= 45°
AF
6
m (kg)
5
4
3
AR
2
AC
1
C
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
C.5 Presión central contra altitud
Presión Central vs Altitud
9
2
x 10
1.8
0
= 20°
CL
1.6
1.4
Pc (Pa)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
A
CC
0.2
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
103
10
4
x 10
Presión Central vs Altitud
9
2
x 10
0
= 30°
CL
1.8
1.6
1.4
Pc (Pa)
1.2
1
0.8
A
0.6
CC
0.4
0.2
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
Presión Central vs Altitud
9
2
x 10
1.8
0
10
4
x 10
= 45°
CL
1.6
1.4
Pc (Pa)
1.2
1
0.8
A
0.6
0.4
CC
0.2
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
104
10
4
x 10
C.6 Energía contra altitud
Energía vs Altitud
24
3
x 10
0
= 20°
AF
2.5
E (J)
2
1.5
AR
1
CL
AC
0.5
CC
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
Energía vs Altitud
24
3
x 10
0
10
4
x 10
= 30°
AF
2.5
E (J)
2
1.5
AR
1
CL
AC
0.5
CC
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
105
10
4
x 10
Energía vs Altitud
24
3
x 10
0
= 45°
AF
2.5
E (J)
2
1.5
AR
1
CL
AC
0.5
CC
0
-2
0
2
4
6
8
h (m)
10
4
x 10
C.7 Radio contra altitud
Radio vs Altitud
0
= 20°
5160
5140
C
5120
r (m)
5100
5080
5060
AC
5040
AR
5020
5000
4980
-2
AF
0
2
4
6
8
h (m)
106
10
4
x 10
Radio vs Altitud
0
= 30°
5070
5060
C
5050
r (m)
5040
5030
AC
5020
AR
5010
5000
AF
4990
-2
0
2
4
6
8
h (m)
Radio vs Altitud
0
10
4
x 10
= 45°
5030
C
5025
5020
r (m)
5015
AC
5010
AR
5005
5000
4995
-2
AF
0
2
4
6
8
h (m)
107
10
4
x 10
Bibliografía
[1] ANDERSON Jr., J.D. 2000 Introduction to Flight, 4th Ed. McGraw-Hill, pp. 527-592.
[2] ROA, M.A. y PORTILLA, J.G. 2003 Entrada de Asteroides en Atmósferas Planetarias, Rev. Acad.
Colomb. Cienc. 27(105): 477-484.
[3] ALVAREZ, L. W. 1983 Experimental Evidence that an Asteroid Impact led to the Extinction of Many
Species 65 Million Years Ago, Proc. Nat. Acad. Sci. 80: 627-642.
[4] NEUENFELDT, B.D. and HENDERSON, W.K. 1993 A survey of uncontrolled satellite reentry and
impact prediction, Master Thesis, Naval Postgraduate School, Monterey, California.
[5] OLDS, J.R. and WAY, D. 2001 Uncertainty Optimization Applied to the Monte Carlo Analysis of
Planetary Entry Trajectories, Final Report NGT-1-52163, NASA Langley Research Center.
[6] GÓMEZ TIERNO, M.A.1984 Utilización de los Algoritmos Genéticos para la resolución numérica de los
problemas de optimización en Mecánica de Vuelo, Tesis Doctoral, ETSIA, UPM.
[7] SÓBOL, I.M. 1983 Método de Montecarlo, 2ª Ed. Editorial MIR MOSCÚ.
[8] HALE, F.J. 1994 Introduction to Space Flight, Prentice Hall, New Jersey.
[9] REGAN, F.J. and ANANDAKRISHNAN, S.M. 1993 Dynamics of Atmospheric Re-Entry, AIAA
Education Series.
[10] VINH, N.X.; BUSEMANN, A. and CULP, R.D. 1983 Hypersonic and Planetary Entry Flight
Mechanics, The University of Michigan.
[11] ÖPIK, E.J. 1958 Physics of Meteor Flight in the Atmosphere, Interscience Publishers, New York.
[12] LEWIS, J.S. 1999 Comet & Asteroid Impact Hazards on a Populated Earth: Computer Modeling,
Academic Press.
[13] CHYBA, C. 1993 Explosions of Small Spacewatch Objects in the Earth’s Atmosphere, Nature, 363:701703.
[14] CHAPMAN, D.R. 1959 An Approximate Analytical Method for Studying Entry into Planetary
Atmospheres, NASA Technical Report R-11, NASA.
[15] STONE, R. 2008 Target Earth, in National Geographic Magazine, August 2008, Vol. 214, No. 2:134149.
[16] ALLEN, H.J. and EGGERS, Jr., A.J. 1953 A Study of the Motion and Aerodynamic Heating of Ballistic
Missiles Entering the Earth’s Atmosphere at High Supersonic Speeds, NACA Report 1381.
[17] DOMINGOS, R.C. and WINTER, O.C. 2005 Possibility of Collision between Co-Orbital Asteroids and
the Earth, Computational and Applied Mathematics, Vol. 24, N.1: 99-107, Brazil.
108
[18] CHYBA, C.F. 1993 Collisions of Small Spacewatch Asteroids with the Earth, Lunar and Planetary
Institute, LPSC XXIV.
[19] COLLINS, G.S. et al 2005 Earth Impact Effects Program: A Web-Based Computer Program for
Calculating the Regional Environmental Consequences of a Meteoroid Impact on Earth, Meteoritics &
Planetary Science 40, Nr. 6: 817-840.
[20] McINNES, C. 1995 Trans-Atmospheric Dynamics of an Ablating Hypervelocity Body, Mon. Not. R.
Astron. Soc., 274:110-114.
[21] CHAPRA, S.C. & CANALE, R.P. 2001 Numerical Methods for Engineers: With Software and
Programming Applications, 4th Ed. McGraw-Hill, pp. 707-723.
[22] MATHEWS, J.H. and FINK, K.D. 2000 Métodos Numéricos con MATLAB, 3ª Ed. Prentice Hall, pp.
505-531.
[23] TEWARI, A. 2007 Atmospheric and Space Flight Dynamics: Modeling and Simulation with MATLAB
and Simulink, Birkhäuser.
[24] ZIPFEL, P.H. 2007 Modeling and Simulation of Aerospace Vehicle Dynamics, 2nd Ed. AIAA Education
Series.
[25] STEEL, D. 1995 Rogue Asteroids and Doomsday Comets, John Wiley & Sons, Inc.
[26] GROESEN, E. and MOLENAAR, J. 2007 Continuum Modeling in the Physical Sciences, SIAM,
pp.1-29.
[27] REICHARDT, K.; BACCHI, O.O.S. and TIMM, L.C. 2003 Dimensional Analysis and Scaling, Soil
Physics Laboratory, CENA, USP, Brazil.
[28] RANDALL, D.A. 2008 Dimensional Analysis, Scale Analysis and Similarity Analysis, Selected Notes of
David A. Randall, Department of Atmospheric Science, Colorado State University, pp. 77-83.
[29] RUBINSTEIN, R.Y. and KROESE, D.P. Simulation and the Monte Carlo Method, 2nd Ed. John Wiley &
Sons.
[30] LYNE, J.E.; TAUBER, M.E., and FOUGHT, R.M. 1996 An Analytical Model of the Atmospheric Entry
of Large Meteors and its Application to the Tunguska Event, The Journal of Geophysical Research, Vol. 101,
No. E10: 23207-23212.
[31] LYNE, J.E. and TAUBER, M.E. 1995 The Tunguska Event, Nature, Vol. 375, No. 6533, pp. 638-639.
[32] LYNE, J.E.; TAUBER, M.E., and FOUGHT, R.M. 1998 A Computer Model of the Atmospheric
Trajectory of the Tunguska Object, Planetary and Space Science, Volume 46, Number 2: 245-252(8)
[33] TARG, S.M. 1976 Curso Breve de Mecánica Teórica, 2ª Ed. Editorial MIR MOSCÚ, pp. 336-351.
[34] MESHERSKI, I. 1974 Problemas de Mecánica Teórica, Editorial MIR MOSCÚ, pp. 490-502.
[35] BATH, M.; DZHANELIDZE, G. y KELZÓN, A. 1990 Mecánica Teórica en Ejercicios y Problemas,
Tomo II, Editorial MIR MOSCÚ, pp. 558-574.
[36] BARENBLATT, G.I. 1987 Dimensional Analysis, Routledge.
109
[37] ELICES, T. 1991 Introducción a la Dinámica Espacial, INTA, España.
[38] BOTTKE, W.F.; VOKROUHLICKÝ, D. and NESVORNÝ, D. 2007 An asteroid breakup 160 Myr ago
as the probable source of the K/T impactor, Nature 449: 48-53 (6 September 2007).
[39] CHAPMAN, C.R. and MORRISON, D. 1994 Impacts on the Earth by Asteroids and Comets, Nature
367: 33-40 (6 January 1994).
[40] HUT, P. et al 1987 Comet Showers as a Cause of Mass Extinctions, Nature 329: 118-126 (10 September
1987).
[41] AHRENS, T.J. and HARRIS A.W. 1992 Deflection and Fragmentation of Near-Earth Asteroids, Nature
360: 429-433 (3 December 1992).
[42] BARENBLATT, G.I. 2003 Scaling, Cambridge University Press.
[43] PARDO, A.; KELLER, G. & ADATTE, T. 2009 Del Impacto en Chicxulub a los Traps de la India, en
Ciencia y Desarrollo, Conacyt, Noviembre 2009, Vol. 35, No. 237: 32-57.
[44] SCHULTE, P. et al 2010 The Chicxulub Asteroid Impact and Mass Extinction at the CretaceousPaleogene Boundary, Science 5 March 2010: Vol.327.No.5970, pp.1214-1218.
[45] VERSCHUUR, G.L. 1997 Impact! : The Threat of Comets and Asteroids, Oxford University Press.
[46] ZANDA, B. and ROTARU, M. 2001 Meteorites: Their Impact on Science and History, Cambridge
University Press.
[47] LEWIS, J.S. 1997 Rain of Iron and Ice: The Very Real Threat of Comet and Asteroid Bombardment,
Basic Books.
[48] PALMER, A.C. 2008 Dimensional Analysis and Intelligent Experimentation, World Scientific
Publishing Company.
[49] SZIRTES, T. 2006 Applied Dimensional Analysis and Modeling, 2nd Ed. Butterworth-Heinemann.
[50] GALLAIS, P. 2009 Atmospheric Re-Entry Vehicle Mechanics, Springer Berlin Heidelberg.
[51] MOULTON, F.R. 1970 An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd Revised Ed. Dover Publications,
pp. 45-49.
[52] RYABOV, Y. 1961 An Elementary Survey of Celestial Mechanics, Dover Publications.
[53] GISLER, G.R. et al 2006 Energy Partitions in Three-Dimensional Simulations of the Chicxulub Meteor
Impact, Lunar and Planetary Science XXXVII.
[54] OAKES, M. 2007-8 Modeling an Asteroid Impact. Did it Kill the Dinosaurs? Los Alamos National
Security, LLC, Los Alamos, New Mexico. http://www.lanl.gov/quarterly/q_spring03/asteroid_text.shtml
[55] PIERAZZO, E. and MELOSH, H. J. 1999 Hydrocode modeling of Chicxulub as an Oblique Impact
Event, Lunar and Planetary Laboratory, University of Arizona, Tucson, Arizona.
[56] BAILEY, N.J. et al 2006 Near Earth Object Impact Simulation Tool for Supporting the NEO Mitigation
Decision Making Process, Proceedings IAU Symposium No. 236
110
[57] ASTEROID DEFLECTION RESEARCH CENTER 2008 Asteroid Deflection Research Symposium,
Department of Aerospace Engineering, Iowa State University, October 23-24, Ames, Iowa.
[58] WHITE, J. and SPRAY, J.G. 2003 Meteorite Falls in Canada: The Role of the Meteorites and Impacts
Advisory Committee (MIAC/CCMI) to the Canadian Space Agency, MIAC Poster, Planetary and Space
Science Centre, University of New Brunswick, Canada.
[59] HARTMANN, W.K. 2002 The KT-Boundary Impact: The Impact that Wiped Out the Dinosaurs,
Planetary Science Institute, Tucson, Arizona. http://www.psi.edu/projects/ktimpact/ktimpact.html
[60] BRONSHTEN, V.A. 1983 Physics of Meteoric Phenomena, Geophysics and Astrophysics Monographs,
D. Reidel Publishing Company, Dordrecht.
[61] SEKANINA, Z. 1983 The Tunguska Event: No Cometary Signature in Evidence, Astron. J., 88:13821414
[62] ÖPIK, E.J. 1976 Interplanetary Encounters, Elsevier, New York.
[63] POPE, K.O.; BAINES, K.H.; OCAMPO, A.C. and IVANOV, B.A. 1994 Impact winter and the
Cretaceous/Tertiary extinctions: results of a Chicxulub asteroid impact model, Earth Planet Sci Lett 128: 71925.
[64] PIERAZZO, E.; KRING, D.A. and MELOSH, H.J. 1998 Hydrocode simulations of the Chicxulub impact
event and the production of climatically active gases, J. Geophys. Res. 103, 28607-28625.
[65] SHOEMAKER, E.H. 1962 Interpretation of Lunar Craters, In “Physics and Astronomy of the Moon”
(Z. Kopal, ed.), pp. 341-343.
[66] BAALKE, R. 2001 Comet Shoemaker-Levy Homepage, JPL, NASA. http://www2.jpl.nasa.gov/sl9/
[67] LOH, W.H.T. 1968 Re-entry and Planetary Physics and Technology, Springer-Verlag NY Inc., NY.
[68] BUNN, G. and CHYBA, C.F. 2006 U.S. Nuclear Weapons Policy: Confronting Today’s Threats,
Brookings Institution Press, Virginia.
[69] GÁLVEZ, A. 2003 Near Earth Objects, Space Mission Preparation: Don Quijote Mission Executive
Summary, DEIMOS Space S.L. under ESA contract no. 26252/02/F/IZ, Madrid, Spain.
[70] TOON, O.B. et al. 1994 Hazards due to Comets and Asteroids, ed. T. Gehrels, University of Arizona
Press, Tucson, Arizona.
[71] THOMAS, P.J. et al 2006 Comets and the Origin and Evolution of Life, 2nd Ed. Springer-Verlag, The
Netherlands, pp. 35-37.
[72] ADUSHKIN, V. and NEMCHINOV, I. 2008 Catastrophic Events Caused by Cosmic Objects, Springer,
The Netherlands.
[73] BLAND, P.A. and ARTEMIEVA, N.A. 2003 Efficient disruption of small asteroids by the Earth’s
Atmosphere, Nature 424: 288-291.
[74] HILLS, J.G. and GODA, M.P. 1993 The Fragmentation of Small Asteroids in the Atmosphere, Astron. J.,
105:1114-1144.
111
[75] RAUP, D. and SEPKOSKI, J. 1982 Mass extinctions in the marine fossil record, Science 215: 1501–
1503.
[76] PECHEV, A. 2009 Reentry Dynamics, in Launch Vehicle and Propulsion lecture slides, University of
Surrey, UK.
[77] KITTEL, C. et al 1968 Mecánica - Berkeley Physics Course Vol. 1, Editorial Reverté, España, pp. 156157.
[78] CHOBOTOV, V.A. 1991 Orbital Mechanics, AIAA, Washington, D.C.
[79] RODRÍGUEZ ROMÁN, C.M. 2007 Dinámica de Vehículos Autónomos, Apuntes del Curso, Instituto
Politécnico Nacional, versión provisional electrónica, México, D.F.
[80] SFORZA, P.M. 2009 Reentry Dynamics, in EAS 4710 Aerospace Design 2: Space Access Vehicle
Design lecture slides, University of Florida.
[81] IVANOV, B.A.; DENIEM, D. and NEUKUM, G. 1997 Implementation of Dynamic Strength Models
into 2D Hydrocodes: Applications for Atmospheric Breakup and Impact Cratering, International Journal of
Impact Engineering 20:411-430.
[82] BOTTKE Jr., W.F. et al 2006 The Yarkovsky and YORP Effects: Implications for Asteroid Dynamics,
Annu. Rev. Earth Planet. Sci. 34:157-91.
[83] LORENZ, R.D. 2006 Spinning Flight: Dynamics of Frisbees, Boomerangs, Samaras, and Skipping
Stones, Springer New York, pp. 115-139.
[84] STULOV, V.P. 2008 Meteoroid Destruction and Fragmentation in the Atmosphere, Doklady Physics,
Vol. 53, No. 8, pp.458-461.
[85] GULICK, S. et al. 2008 Seismic Images Show Dinosaur-Killing Meteor Made Bigger Splash, Austin,
Texas. http://www.jsg.utexas.edu/news/rels/011708.html
[86] YAU, K.; WEISSMAN, P. and YEOMANS, D. 1994 Meteorite Falls in China and Some Related
Human Casualty Events, Meteoritics 29, 864-871.
112