Circuitos y Sistemas Dinámicos Ejercicios del Tema 1: Respuesta temporal 1.1 El interruptor del circuito de la figura lleva cerrado durante tiempo indefinido y se abre súbitamente. Calcular: a) Valor inicial de la intensidad i. b) Energía almacenada inicialmente por la autoinducción. c) Constante de tiempo después de la apertura del interruptor. d) Expresión de i(t). e) Expresión de la energía almacenada en la autoinducción en función del tiempo. f) ¿Qué porcentaje de la energía se ha disipado en la resistencia de 4 Ω a los 5 ms de abrirse el interruptor? 1Ω 100V t=0 5Ω + - 10mH 20Ω 4Ω i 1.2 Repetir el problema anterior suponiendo que el interruptor se cierra súbitamente para cada una de las hipótesis siguientes: a) El interruptor ha estado abierto por tiempo indefinido. b) La autoinducción tiene una intensidad inicial de 2 A. 1.3 El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado por tiempo indefinido y se abre de forma súbita. Calcular: a) v(t) b) ¿Cuánto tiempo tarda en disiparse la mitad de la energía almacenada + en los condensadores en el 15V instante de la conmutación? - 5µF 15kΩ t=0 20kΩ 40kΩ v 1µF 1.4 Estando el condensador de la figura inicialmente descargado y el conmutador en la posición a, cambia a la posición b en el instante t = 0. Al cabo de 15 ms cambia a la posición c, en la que permanece 5 ms. Calcular: a) Valor de v para t = 15 ms. b) Valor de v para t = 20 ms. c) Expresión de v(t) entre –1 y 20 ms. Representarla gráficamente. d) Suponiendo que se produce un ciclo continuo de conmutación de forma que durante 15ms el conmutador permanece en la posición b y durante 5 ms en la posición c de forma repetitiva, calcular entre qué valores variará la tensión del condensador cuando el ciclo se estabilice. 100kΩ 400V + - b a c 50kΩ 0.1µF v 1.5 Determinar la expresión de la tensión v en función del valor de los elementos del circuito a partir del cierre del interruptor y en el momento inmediatamente anterior. Considerar que el condensador tiene una tensión inicial Vc0. R2 t=0 R1 Vs C + + V 1.6 Calcular la expresión instantánea de la tensión v del circuito RLC paralelo de la figura sabiendo que C = 0.2 µF, L = 50 mH, V0 = 12 V, I0 = 30 mA. Considerar los siguientes casos: a) R = 200 Ω b) R = resistencia crítica c) R = 312.5 Ω d) R = 1000 Ω Io C L v(t) R Vo 1.7 En el circuito del problema anterior y para cada uno de los casos planteados: a) Determinar la expresión instantánea de la intensidad en cada uno de los elementos del circuito a partir de la tensión. b) Comprobar que la suma de todas las intensidades es cero en todo momento. 1.8 En el circuito RLC serie de la figura determinar la expresión de las tensiones e intensidades en cada uno de los elementos. C = 0.1 µF, L = 100 mH, R = 560 Ω, V0 = 100 V, I0 = 0 mA. Io i(t) L C Vo R 1.9 En el circuito de la figura y para cada uno de los valores señalados en la tabla determinar: L (H) 5 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 a) b) R (Ω) 2659 1043 505 251 96.8 31 17 6.4 C(nF) 1 2 5 10 20 50 100 100 Io=0 t=0 100V + - i(t) L C Vo=0 R La expresión de la intensidad a partir del cierre del interruptor suponiendo condiciones iniciales nulas. Representarla gráficamente. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND c) d) e) El valor de la resistencia que habría que añadir en serie para obtener la crítica. La expresión de la intensidad en esas circunstancias. Representarla gráficamente. 1.10 Se dispone de un circuito RLC paralelo al que se le aplica un escalón de intensidad de 0 a 24 mA. Suponiendo C = 25 nF, L = 25 mH y condiciones iniciales nulas, calcular iL(t) y vL(t) en las siguientes circunstancias y representar gráficamente los resultados: a) R = 400 Ω b) R = 500 Ω c) R = 625 Ω 1.11 Determinar la expresión de la tensión v0 en función del valor de los elementos del circuito a partir del cierre del interruptor y en el momento inmediatamente anterior. Considerar que los condensadores están inicialmente descargados y que R1C1 ≠ R2C2. R1 Ra Vs t=0 R2 C1 + C2 Rb + + Vo Va - 1.12 En el circuito de la figura, se supone que los condensadores están inicialmente descargados. Suponiendo que el interruptor se cierra en el instante t = 0: a) Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la tensión U. b) Comprobar el tipo de respuesta a que corresponde. c) Resolver la ecuación para R1 = 20 kΩ, C1 = 0.1 µF, y R2 = 82 kΩ, C2 = 5.6 nF. d) Comprobar que la tensión U alcanza un máximo. Determinar en qué momento ocurre y su valor. e) Representar gráficamente la evolución de las tensiones Ua y U. t=0 C1 R2 1 1V + Ua - R1 U C2 1.13 El circuito RLC serie de la figura se alimenta con una fuente senoidal. Se supone que el interruptor se cierra en el instante en que la tensión de la fuente pasa por 0 V con pendiente positiva. a) Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de i a partir del cierre del interruptor. b) Calcular la expresión instantánea del régimen permanente de la intensidad i. c) Demostrar que si denominamos ip(t) al régimen permanente y denominamos iq(t) a una función con la misma forma que el régimen natural del circuito (con las constantes sin determinar), se cumple que ip(t)+iq(t) es una solución para la ecuación diferencial escrita en (a). d) Determinar las constantes y obtener la expresión completa de i(t) suponiendo condiciones iniciales nulas y L = 5 H, R = 3000 Ω y C = 5 nF. t=0 + 100V 960Hz - Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas i(t) Io=0 L C Vo=0 R Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.14 (Examen Febrero 99) C Ie L R Io t=0 R = 2083.33Ω L = 50mH C = 8nF vs Circuito 1 Un circuito RLC paralelo con los valores indicados en la figura (circuito 1) se somete a un escalón de intensidad en el instante t = 0. Se pide: a) Suponiendo Ie = 8 mA , I0 = –2 mA y condiciones iniciales nulas en el condensador, obtener la expresión de la tensión vs(t) y representarla de forma aproximada. b) En las mismas condiciones que el apartado a), calcular el instante en que la intensidad por la autoinducción alcanza su valor máximo. c) Determinar cuánto vale la intensidad que atraviesa la autoinducción en dicho instante. d) Determinar el nuevo valor que debería tomar la resistencia si se quisiese obtener un coeficiente de amortiguamiento de 0,5 en la respuesta al escalón. 1.15 En este problema se analizará la analogía entre un circuito y un sistema mecánico, ambos de segundo orden: vL(t) L iL C R K U M x El circuito es un RCL paralelo en respuesta natural en el que se utilizará como variable de estudio la El sistema mecánico consiste en una masa que se puede desplazar horizontalmente, unida a un punto intensidad en la autoinducción. fijo mediante un resorte ideal K, que ejerce una fuerza proporcional y de signo inverso al desplazamiento x. Además existe un amortiguador U que ejerce una fuerza proporcional y de signo contrario a la velocidad. a) b) c) d) e) f) Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de iL en el circuito. Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de x en el sistema mecánico. Comparar ambas ecuaciones e identificar el papel que juegan los distintos componentes. Escribir la expresión de la energía instantánea en el circuito. Escribir la expresión de la energía instantánea en el sistema mecánico. Comparar las expresiones y comprobar que son coherentes con la analogía establecida en c). Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.16 Se pretende estudiar la respuesta temporal del circuito, que en el instante t = 0 queda conectado como se muestra en la figura. IL0 R2 L C R1 E I UC0 Considerando R2 = 0, se pide: a) b) c) Obtener la ecuación diferencial completa de la tensión uC y la corriente iL. Expresar la derivada de la tensión uC y la corriente iL en t = 0+ en función de las condiciones iniciales (UC0 e IL0). Expresar ωn, z y las raíces del polinomio característico. Considerando R2 ≠ 0, se pide: d) e) f) Repetir los apartados 1, 2 y 3. Particularizar la tensión uC para: R1 = 900 Ω, R2 = 100 Ω, L = 9 H, C = 10 µF, E = 10 V, I = 1 mA, UC0 = 1 V e IL0 = 1 mA Obtener la tensión uC en el caso de que E sea un generador senoidal: E·sen(100πt). 1.17 (Examen Febrero 2000) Se pretende estudiar la respuesta temporal del circuito, que en t = 0 queda conectado como se muestra en la figura . E R U C UC0 IL0 L Considerando U = 0, se pide: a) Obtener la ecuación diferencial completa de la tensión uC y la corriente iL. b) Obtener la pulsación propia no amortiguada ωn y el amortiguamiento z. c) Determinar el tipo de respuesta para los siguientes valores: R = 100 Ω, L = 1 H, C = 5 µF y E = 40 V. d) Obtener la ecuación del transitorio de la tensión uC considerando: UC0 = –20 V e IL0 = 0.5 A. e) Repetir el apartado anterior en el caso de que U sea un generador senoidal: U = 50·sen(105 t). 1.18(Examen Septiembre 2000) a) En el circuito de la figura, establecer las condiciones iniciales sobre iL y su derivada en función de las condiciones iniciales en la bobina y el condensador. b) Repetir lo anterior para uC en lugar de iL. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas IL0 E L UC0 R1 R2 I C Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.19 (Examen Febrero 2001) Se estudiará la respuesta temporal del circuito de la figura. El interruptor se cierra en t = 0. t=0 Rg u i R C + _ UC0 IL0 L Se pide: a) Obtener la ecuación diferencial homogénea de la corriente i y de la tensión del condensador uC. Considerando que la tensión del generador es u(t) = 220 2 sen(100πt) V y los valores de los elementos del circuito son Rg = 10 Ω, R = 1 kΩ, L = 1 H y C = 0.91 µF, se pide: b) ¿Qué tipo de respuesta temporal presenta el circuito? c) Expresión general (sin ajustar las condiciones iniciales) de la tensión en el condensador uC en función del tiempo, especificando qué términos corresponden a la respuesta transitoria y cuáles al régimen permanente. Considerando que las condiciones iniciales son UC0 = –20 V e IL0 = 1 A, se pide: d) Expresión de la tensión en el condensador uC en función del tiempo. 1.20 (Examen Febrero 2001) En el circuito de la figura, el interruptor lleva cerrado un tiempo largo y se abre en el instante t = 0. L2 . . L1 Vb M i1 R ve C t=0 a) Determinar el valor de la tensión en el condensador y de las intensidades en las autoinducciones inmediatamente después de la apertura. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND b) Calcular i1(t) a partir de t = 0 particularizando para Vb = 12 V, R = 4 Ω, L 1 = 3mH, C = 0.4 µF, M = 0.3 H, L 2 = 30 H. c) Calcular la tensión máxima en el condensador para los valores del apartado anterior. 1.21 (Examen Septiembre 2001) Las condiciones iniciales de las variables con los sentidos indicados en la figura son iL(0) = 1 A y uC(0) = 0 V. a 5Ω b 0,5 F iL uC 2H 10 V El conmutador va alternando entre las posiciones "a" y "b". La conmutación se realiza de forma instantánea (pasa de una posición a la otra en un tiempo nulo). a) En el instante t = 0, el conmutador se conecta en la posición "a". Calcular la expresión de la intensidad iL y su valor en t = 1s. b) En el instante t = 1s, el conmutador pasa a la posición "b". Calcular la expresión de la intensidad iL y de la tensión uC y sus valores en t = 2s. c) Si en t = 2s, el conmutador vuelve a "a" y en t = 3s vuelve a "b", determinar la expresión de la intensidad iL y de la tensión uC en el intervalo 3s < t < 4s. d) Si el proceso de conmutación prosigue indefinidamente al mismo ritmo, determinar el régimen permanente de iL y de uC. R 1.22 (Examen Febrero 2002) Considerando el circuito de la figura se pide: a) Obtener la ecuación diferencial de la corriente i(t). i(t) b) ¿Cuál es el orden del circuito? Se sabe que la tensión del generador viene dada por la expresión siguiente: vo1(t) + − L M L vi(t) R vc(t) 5 t < 0 vi (t ) = V 10 ⋅ cos(545 ⋅ t ) t ≥ 0 C C Además, los valores de los componentes del circuito son: R = 100 Ω ; L = 1,5 H; C = 2 µF y M = 0,5 H. Conocida toda esta información se pide lo siguiente: c) Calcular las condiciones iniciales de I0 y Vc0 así como el valor inicial de la derivada de la corriente. El circuito llevaba largo tiempo conectado (siendo la tensión del generador 5 V) antes de t = 0. d) ¿Es posible conocer la tensión inicial de los dos condensadores de forma individual? e) Obtener i(t) para t ≥ 0+. Dibujarla de forma somera (interesa sólo la forma). f) ¿De qué tipo de respuesta se trata? Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND vo2(t) iL 1.23 (Examen Septiembre 2002) A 250 Ω Se considera el circuito que se conecta en el instante t = 0 tal y como aparece en la figura, con el conmutador en su posición superior. 0,1 H 9V t = t0 uC uAB 10 µF B Las condiciones iniciales son uC(0) = –3 V e iL(0) = –15 mA (se recomienda mantener los sentidos indicados en la figura). En el instante t = t0, el conmutador pasa a su posición inferior. a) Obtener las ecuaciones diferenciales de uC y de iL para t < t0. Determinar en qué se modifican para t > t0. b) Obtener las expresiones de uC(t) y de iL(t) para t < t0. Comprobar que cumplen las condiciones iniciales. c) Obtener las expresiones de uAB(t) y de iC(t) para t < t0. En el caso en que t0 = 20 ms: d) Obtener las expresiones de uC(t), uAB(t), iC(t) y de iL(t) para t > t0. e) Realizar un boceto de uC(t) y uAB(t) en una gráfica, y de iC(t) e iL(t) en otra. Comprobar la coherencia con los valores iniciales y los resultados obtenidos en apartados anteriores, de las relaciones entre las distintas variables, etc... En el caso en que t0 = 4 ms: f) Obtener las expresiones de uC(t), uAB(t), iC(t) y de iL(t) para t > t0. g) Realizar un boceto de uC(t) y uAB(t) en una gráfica, y de iC(t) e iL(t) en otra. Comprobar la coherencia con los valores iniciales y los resultados obtenidos en apartados anteriores, de las relaciones entre las distintas variables, etc... 1.24 (Examen Febrero 2003) Considerando el circuito de la figura se pide: 400mA L R1 300mA i(t) 200mA P1 A B e(t) + - C u(t) R2 P2 100mA 0A -100mA -200mA 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60ms I(R1) Time a) Completar la ecuación diferencial: d 2i (t ) di (t ) 1 1 de(t ) + "" + "" i (t ) = ⋅e + 2 dt dt R2 LC L dt b) En la gráfica anterior se muestra la evolución temporal de la intensidad i cuando la fuente de entrada es un escalón unitario de tensión situado en 10 ms. Se han marcado dos puntos cuyas coordenadas son P1 = (14.496 ms, 142.332 mA) y P2 = (20.46347ms, 62.896 mA). Suponiendo que a los 30 ms ya se puede considerar que ha finalizado el transitorio (5 τ ), estimar la pulsación propia Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND iC amortiguada ( ω d ), el parámetro αy la pulsación propia no amortiguada ( ω n ). [Ec caract.: s + 2 ⋅α ⋅ s + ω = 0 ] 2 c) 2 n Sabiendo que el régimen permanente de la intensidad es 39.84 mA, que R1 = 0.1 Ω y que L = 10 ⋅ C obtener los valores de todos los parámetros del circuito (R1, R2, L y C) indicando las unidades. C 1.25 (Examen Febrero 2003) Para el circuito de la figura, establecer la condición inicial sobre la derivada de uC(t) en función de las condiciones iniciales en la bobina y en el condensador. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas iL uC R2 I E R1 L Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND SOLUCIONES 1.1 a) b) c) d) –16 A 1,28 J 2,5 ms i(t) = −16e −400t A e) e(t) = 1, 28 e −800t J f) 98,17 % 1.2 a) i(t) = −16 + 16 e −239,23t A b) i(t) = −16 + 18 e −239,2t A 1.3 a) v(t) = 4e −10t + 8e−25t V b) 22,4 ms 1.4 a) 310,75 V b) 114,32 V 0 para −1 ≤ t ≤ 0 ms −100t )V para 0 ≤ t ≤ 15 ms c) v(t) = 400 (1 − e 310, 75 e −200(t − 0,015) V para 15 ≤ t ≤ 20 ms d) 124,54 y 338,54 V 1.5 t v(t) = − R − R2 Vs + 2 Vs + Vc0 e R 2 C R1 R1 1.6 a) v(t) = −14 e −5000t + 26 e −20000t V 4 4 b) v(t) = 12 e −1.10 t − 27.104 t e−1.10 t V c) v(t) = 12 e −8000t cos(6000t) − 41 e −8000t sen(6000t) V d) v(t) = 12 e −2500t cos(9682, 4584t) − 18,5903 e −2500t sen(9682, 4584t) V 1.7 a) i R (t) = −0, 07 e −5000t + 0,13 e−20000t A i L (t) = 0, 056 e −5000t − 0, 026 e−20000t A i C (t) = 0, 014 e −5000t − 0,104 e −20000t A 1.8 i(t) = −0,1042 e −2800t sen(9600t) A u R (t) = −58,33 e−2800t sen(9600t) V u L (t) = −100 e −2800t cos(9600t) + 29,1667 e −2800t sen(9600t) V u C (t) = 100 e −2800t cos(9600t) + 29,1667 e−2800t sen(9600t) V 1.9 Son los cálculos previos de la Práctica 4. La solución, en el laboratorio. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.10 a) i L (t) = 24 − 32 e −20000t + 8 e −80000t mA u L (t) = 16 e−20000t − 16 e−80000t V b) i L (t) = 24 − 960000 t e−40000t − 24 e −40000t mA u L (t) = 960 000 t e −40000t V c) i L (t) = 24 − 24 e −32000t cos(24000t) − 32 e −32000t sen(24000t) mA u L (t) = 40 e −32000t sen(24000t) V 1.11 v o (t) = t t − − Vs R1R 2 Vs R1R 2 R .C R .C + R 2 C2 e 2 2 − R1C1e 1 1 RaRb R a R b (R1C1 − R 2 C2 ) 1.12 a) d2u 1 1 + + dt 2 R1C1 R 2 C2 du u =0 + dt R C 1 1R 2 C2 b) Respuesta sobreamortiguada o críticamente amortiguada. c) u(t) = 1, 298 e −500t − 1, 298 e −2177,7 t V d) umax = u(0,877.10–3) = 0,645 V a) d 2 i R di i 1 dvg + + = 2 L dt LC L dt dt 1.13 b) i(t) = 1 Lω − Cω sen ωt − arctg 2 R 1 R 2 + Lω − Cω 2 Vg d) i(t) = 33,34 sen(6031,9 t + 0, 7851) − 23,57 e−300t cos(6317 t) − 23, 64 e −300t s en(6317 t) mA 1.14 a) vs (t) = 31, 25 e−30000t sen 4.104 t V b) 78,54 µs c) 8,947mA d) 2500 Ω 1.15 d 2i L 1 di L i L + + =0 dt 2 RC dt LC d 2 x U dx K + + x=0 b) dt 2 M dt M c) C, R y L son análogos a M, 1/U y 1/K, respectivamente. 2 1 1 di (t) d) e(t) = L i 2L (t) + C L L 2 2 dt a) e) e(t) = 1 1 dx(t) K x 2 (t) + M 2 2 dt 2 Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.16 a) LC LC b) d 2 u C L du C + + uC = E dt 2 R1 dt d 2 i L L di L E + + iL = −I dt 2 R1 dt R1 du C dt t =0 di L dt t = 0+ U C0 1 I + I L0 − C R1 1 = ( E − U C0 ) L = + 1 c) ωn = LC ; z= 1 2R1 L C 2 s1,2 = − 1 1 1 ± − 2R1C 2R C LC 1 R + R 2 d2uC L du d) LC 1 + + R 2C C + uC = E + R 2I 2 R dt R 1 1 dt R + R 2 d 2i L L di E LC 1 + R 2 C L + iL = −I 2 + R1 R1 dt R1 dt du C dt di L dt = U C0 R1 1 − I + I L0 C R1 + R 2 R1 + R 2 = R1R 2 R1 1 − U C0 E − I L0 L R1 + R 2 R1 + R 2 t = 0+ t = 0+ ωn = s1,2 = − R1 R1 + R 2 1 LC z= L + R1R 2 C ± 2LC ( R1 + R 2 ) e) u C (t) = 10,1 − 9,1 e −55t L + R1R 2 C 2 R1LC ( R1 + R 2 ) ( L + R1R 2 C ) 2 − 4R1LC ( R1 + R 2 ) 2LC ( R1 + R 2 ) cos(83,516 t) − 4,915 e −55t sen(83,516 t) V f) u C (t) = 1, 0505 sen(100πt − 2, 77) + 0,1 + 5, 7482 e−55t cos(83'516 t − 1,346) V 1.17 a) LC d 2 u C L du C + + uC = E R dt dt 2 1 L 2R C LC c) Respuesta sobreamortiguada. d) u C (t) = 40 − 97,114 e−106t + 37,114 e−1894t V b) ωn = 1 ; z= e) u C (t) = 40 − 97, 2 e −106t + 38, 2 e −1894t + sen(105 t − 1,55) V 1.18 a) i L (0) = I L0 b) u C (0) = U C0 E − R1I L0 − U C0 i L′ (0) = L U 1 u C′ (0) = I + I L0 − C0 C R2 Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.19 L R LC d u C g du C + + uC = 0 a) R dt 2 R dt 1+ 1+ Rg Rg RC + 2 b) Respuesta sobreamortiguada. c) u C (t) = A1 e −1010t + A 2 e −109880t + 2 218, 016 sen(100πt) V Régimen Permanente Re spuesta Transitoria d) u C (t) = −10,98 e −1010t − 9, 018 e −109880t + 2 218, 016 sen(100πt) V 1.20 Vb ; IL2 = 0 A; R b) i1 (t) = 3 e −666.67 t [ cos(28860t) + 0, 0231 sen(28860t)] A a) vC = 0 V; IL1 = c) v C (t * ) = 262, 43 V t * = 55, 22 µs 1.21 a) i L (t) = e−2,5t i L (1) = 0, 082 A b) i L (t) = 3,306 e −0,5(t −1) − 3, 224 e−2(t −1) u C (t) = 10 − 13, 224 e c) i L (t) = 2, 485 e −0,5(t − 3) u C (t) = 10 − 9,94 e −0,5(t −1) + 3, 224 e − 2,356 e −0,5(t − 3) −2(t − 3) + 2,356 e i L (2) = 1,569 A −2(t −1) u C (2) = 2, 416 V A −2(t − 3) V d) i L∞ = 0 A u C∞ = 10 V 1.22 dv (t) d2i di 2 d 2i di 1 + 2R + i = i i = −5450 ⋅ sen(545 ⋅ t) -> 4 2 + 200 + 2 dt C dt dt 1 ⋅10−6 dt dt b) El orden del circuito es claramente 2. c) I0 = 0 A a) 2(L + M) Vco = 5 V di 5 A = = 1, 25 dt t = 0 L s d) No, no es posible conocer la tensión inicial de los condensadores de forma individual. e) i(t) = 0, 0251 ⋅ cos(545 ⋅ t − 59,91ρ) − 0, 0126 ⋅ e−25t cos(500t) − 0, 0218 ⋅ e−25t sen(500t) A ; t ≥ 0+ f) La respuesta es subamortiguada. 1.23 d2uC du d 2iL di L + RC + i = 0 y LC + RC C + u C = 9 . Para t > t0, se cambia el "9" por "–9". L 2 2 dt dt dt dt −500t −2000t b) u C (t) = 9 − 17 e +5e V ; i L (t) = 85 e −500t − 100 e −2000t mA para t < t 0 a) LC c) u AB (t) = u C (t) ; i C (t) = i L (t) para t < t 0 d) u C (t) = −9 + 24 e10 − 500t − 6 e40 − 2000t V ; u AB (t) = − u C (t) para t > t 0 = 20 ms e) i L (t) = 120 e10 −500t − 120 e 40 − 2000t mA ; i C (t) = −i L (t) para t > t 0 = 20 ms f) u C (t) = −9 + 20,17 e 2 − 500t − 4, 47 e8− 2000t V ; u AB (t) = − u C (t) para t > t 0 = 4 ms i L (t) = 100,8 e 2 − 500t − 89, 4 e8 − 2000t mA ; i C (t) = −i L (t) para t > t 0 = 4 ms Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND 1.24 2 a) d i (t ) + dt 2 R1 R2C + L di (t ) R1 + R2 1 1 de(t ) + ⋅e + i (t ) = R CL dt R CL R LC L dt 2 2 2 b) ωd = 3158,72 rad/s; α = 250 s-1; ωn = 3168,56 rad/s c) R2 = 25 Ω ; C = 100 µF; L = 1 mH. 1.25 a) u ' (0) = C R1 ( R1 + R 2 ) C i L (0) − 1 ( R1 + R 2 ) C Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas u C (0) + 1 ( R1 + R 2 ) C E− R1 ( R1 + R 2 ) C I Circuitos y Sistemas Dinámicos 3º IIND