INSTITUCIÓN EDUCATIVA DOCE DE OCTUBRE GUIA MATEMÁTICA 9º PRIMER PERIODO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DOCE DE OCTUBRE
GUIA MATEMÁTICA 9º
PRIMER PERIODO
DOCENTE: LORENA MENA MENA.
TEMA: CONJUNTOS NUMERICO
COMPETENCIAS: Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos
contextos.
INDICADOR DE DESEMPEÑO: Utiliza las propiedades, relaciones y operaciones entre
los números reales para el análisis de diversos contextos.
SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo se encuentra constituido el sistema numérico?
¿CONJUNTOS NUMERICOS?
NUMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto.
Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para
contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números
naturales.
Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo
general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que
la Teoría
de
Números prefiere
excluirlo.
El conjunto de los números naturales se representa por N y corresponde al siguiente
conjunto numérico:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y
la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un
número perteneciente a N.
NUMEROS ENTEROS
Contando con estos conjuntos numéricos, resolvió operaciones: agregó, quitó, dividió,
multiplicó... Sin embargo, se le presentaron otros problemas: ¿Cómo indicar temperaturas
“SOLO SE FRACASA CUANDO SE DEJA DE INTENTAR”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DOCE DE OCTUBRE
GUIA MATEMÁTICA 9º
PRIMER PERIODO
DOCENTE: LORENA MENA MENA.
TEMA: CONJUNTOS NUMERICO
bajo 0? ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra? ¿Cómo expresar que
quedó debiendo algo?
Para responder a estas interrogantes, nuevamente recurrió a su inteligencia y formó otro
conjunto numérico, en el que podrían expresarse cantidades menores que 0. Es el
llamado conjunto de los números enteros y que se identifica con el símbolo:
Z
El conjunto de los números enteros permite expresar 12° bajo 0 como: -12° y se
lee menos 12. También, si se debe $5 000, decir: - $5 000, que se lee menos $5 000; o
si retrocedemos 49, señalar -49.
De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta
numérica, donde el 0 es el origen.
Ubicaremos los enteros que ya conocemos, por convención, a la derecha del 0, y ahora
los llamaremos enteros positivos. Estos números no necesitan llevar signo + , pero para
identificarlos mejor, los escribiremos con su signo. Así:
Al conjunto de los enteros positivos se le reconoce como
Hacia la izquierda del 0, colocaremos los números enteros negativos. Estos van a la
misma distancia del 0 que los enteros positivos.
A los enteros negativos no les puede faltar el signo - . Los enteros negativos se
simbolizan como
Como los enteros negativos están a la misma distancia del 0 que los positivos, se les
llamaopuestos. Entonces, -5 es el opuesto de +5.
ℚ.
“SOLO SE FRACASA CUANDO SE DEJA DE INTENTAR”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DOCE DE OCTUBRE
GUIA MATEMÁTICA 9º
PRIMER PERIODO
DOCENTE: LORENA MENA MENA.
TEMA: CONJUNTOS NUMERICO
NUMEROS RACIONALES
Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número
racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números
enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que
es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros
también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados
como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero
y el número 1 como denominador.
Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra
anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como
subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es
la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad
mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8,
debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los
números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:
Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número
determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número
ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras
se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras
decimales son infinitas y no-periódicas.
A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo
patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y
los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número
determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
“SOLO SE FRACASA CUANDO SE DEJA DE INTENTAR”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DOCE DE OCTUBRE
GUIA MATEMÁTICA 9º
PRIMER PERIODO
DOCENTE: LORENA MENA MENA.
TEMA: CONJUNTOS NUMERICO
NUMEROS IRRACIONALES
El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la
existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como
fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.
¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son
números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden
ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un
cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número
2√, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato,
cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado,
fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias
raciones o fracciones.
LOS NÚMEROS REALES
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números
reales.
.
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en
un conjunto totalmente ordenado.
,
y
es
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales
con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos
por .
“SOLO SE FRACASA CUANDO SE DEJA DE INTENTAR”
e
son heredadas
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DOCE DE OCTUBRE
GUIA MATEMÁTICA 9º
PRIMER PERIODO
DOCENTE: LORENA MENA MENA.
TEMA: CONJUNTOS NUMERICO
Como ya se ha visto,
es denso en
. También
es denso en
.
Podemos considerar
como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos
términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para
(una demostración).
,
y
, el conjunto de los reales no es numerable.
“SOLO SE FRACASA CUANDO SE DEJA DE INTENTAR”