Tema 2. Electrocinética Ejemplo 6-3 Ejemplo 6-3 Ejemplo 6

Tema 2. Electrocinética
Objetivos:
• Definir los conceptos intensidad de corriente
eléctrica, velocidad de arrastre, densidad de
corriente y resistencia.
• Establecer la ley de Ohm.
• Definir la resistividad, y conocer su
dependencia con la temperatura.
•
•Calcular
la resistencia equivalente de asociaciones de resistencias.
• Conocer los efectos energéticos de la corriente eléctrica y el efecto
Joule.
• Conocer el generador de fuerza electromotriz y el receptor de fuerza
contraelectromotriz.
• Realizar balances energéticos en circuitos.
• Calcular diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito.
Resolver circuitos simples.
Ejemplo 6-3
Ejemplo 6-3
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
a) Calcula el valor y sentido de la intensidad que circula por el circuito.
b) Diferencia de potencial entre el punto A y el C (VA - VC). Desarrolla el cálculo por el
camino ABC y por el camino ADC.
c) ¿Qué elementos suministran energía al circuito? Calcula el valor de la potencia
suministrada por cada elemento.
d) ¿Qué elementos consumen energía en el circuito? Calcula el valor de la potencia
consumida por cada elemento.
e) ¿Cuál es el rendimiento del motor? ¿Y el de la fuente (2)?
f) Si modificamos la fuerza electromotriz de la fuente (1), ¿cuál debe ser su nuevo valor
para que la diferencia de potencial entre los puntos A y C tenga valor cero? ¿Cuál es la
intensidad del circuito en este caso?
Resolver circuitos
simples
Ejemplo 6-3
Resistencias
Ley de Ohm:
I, intensidad de
corriente eléctrica
V =IR
I
Ejemplo 6-3
Ejemplo 6-3
Generadores
Receptor
Ejemplo 6-3
2. Electrocinética
2.1 Corriente y movimiento de cargas
Velocidad de arrastre
2.2 Intensidad y densidad de corriente
2.3 Ley de Ohm. Resistencia
Motor
Resistencia de un conductor de sección constante y homogéneo
Variación de la resistividad con la temperatura
2.4 Ley de Joule
2.5 Combinaciones de resistencias
Asociaciones en serie y en paralelo
2.6 Generador y receptor lineales
2.7 Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito
2.8 Ecuación del circuito
Corriente continua y
corriente alterna
2.1
Corriente y movimiento
de cargas
Continua, si las distintas magnitudes relacionadas con la
corriente –tensión, intensidad…–, permanecen invariables
en el tiempo.
●
Iones
Alterna, si las distintas magnitudes relacionadas con la
corriente evolucionan periódicamente con el tiempo.
●
V
V
V
t
t
Corriente continua
Corriente alterna
sinusoidal
Corriente
variable
cualquiera
Velocidad de arrastre o
velocidad de deriva
Radio
Electró
n
puntual
E
 E
F=q
t
velocidad media de
equilibrio muy baja
denominada
velocidad de
arrastre o velocidad
de deriva
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
Electrones libres
2.1
Intensidad de corriente
Sn
I=
dQ
dt
v a dt
va
Á
rea
2.1
Sn
I=n∣q∣Sn v a
Ión
reticular
1 C =1 A s
2.2
2.2
Problema 8
8. La carga que pasa por la sección de un hilo metálico está definida por
Q(t) = 6,5 t2 + 3,5 C, para t desde 0,0 s a 8,0 s.
a) ¿Qué expresión tiene la corriente I(t) en este intervalo de
tiempo?
b) ¿Cuánto vale la corriente en t = 3 s?
a)
I t =
b)
dQ
=13t  A
dt
Ejemplo 5-2, página 5-7
Un hilo de cobre de 2,5 mm de diámetro,
transporta una corriente de 15 A.
Suponiendo que cada átomo de cobre
cede en promedio 1,2 electrones a la
conducción, calcula la velocidad de
arrastre de los electrones.
Nota: Son datos conocidos: la carga del
electrón (q = 1,6·10-19 C); la masa molar
del cobre (M = 63,5 g/mol), su densidad
(ρ = 8,9·103 kg/m3) y la constante de
Avogadro (NA=6,02·1023 átomos/mol).
Ejemplo 5-2, página 5-7
2.2
Un hilo de cobre de 2,5 mm de diámetro,
transporta una corriente de 15 A.
Suponiendo que cada átomo de cobre
cede en promedio 1,2 electrones a la
conducción, calcula la velocidad de
arrastre de los electrones.
Nota: Son datos conocidos: la carga del
electrón (q = 1,6·10-19 C); la masa molar
del cobre (M = 63,5 g/mol), su densidad
(ρ = 8,9·103 kg/m3) y la constante de
Avogadro (NA=6,02·1023 átomos/mol).
atomos N A at . /mol
=
g
M g/mol
átomos N A
=
 atomos/g ⋅ρ  g/m3 
M
m3
N A electrones
átomos
=1,2 ⋅ρ
M
m3
m3
I
≈
nqS
15

29
1,01⋅10 ⋅ 1,6⋅10-19⋅π⋅
15

2,5
1,01⋅10 ⋅ 1,6⋅10 ⋅π⋅
⋅10−3
2
-19
2

2

≈1,89⋅10−4 m/s
2.2
J= dI u
dS n
J=nq v
a

I
L = vat = 1,89·10-4 m = 0,189 mm
2,5
⋅10−3
2
Densidad de corriente
eléctrica
dI
29
I
nqS
6,02⋅1023
n=1,2⋅
⋅ 8,9 ⋅ 103≈1,01⋅ 1029 electrones/m3 
63,5⋅10-3
v a=
I
≈
nqS
v a=
n=1,2
I t =3s=13⋅3=39 A
v a=
2.2
dS

va
dS n
≈1,89⋅10−4 m/s
x=1 m ⇒ t= x /v a=1/1,89⋅10−4=5291 s=1,5 h
Densidad de corriente
eléctrica
dI
I
J= dI u
dS n
J=nq v
a

dS
dS n
I=∫ J⋅d S
S
Si en S, J es
uniforme
I= J S n
2.3
Ley de Ohm
La diferencia de potencial en los
extremos de un conductor es
directamente proporcional a la
intensidad que circula por éste.
[R]=ML2T -3I
a
V
a
V
I
Va – Vb = ∆V = IR

va
2.2
b
ohmio (Ω),
-2
R
I (mA)
b
NO ÓHMICO
I ÓHMICO
R
V (V)
2.3
Ley de Ohm microscópica
Resistencia eléctrica
Vb
J
Va
J=σ E
E
2.3
J
a
σ Conductividad.
V a−V b =I
2.3
Resistencia eléctrica
Resistencia de un conductor
de sección constante y
homogéneo
 
b
dℓ
∫a σ S
b
  d 
E
R=
V a−V b
n
I
b
=∫a
b ρ
dℓ
=∫a dℓ
σ Sn
Sn
Variación de la resistividad
con la temperatura
2.3
20 ºC
Sn
[
ρ=ρ 20 1α  t c−20 ºC 
E
R=
V a −V b
I
=
Movilidad
Coeficiente de proporcionalidad entre la
velocidad de arrastre y el campo eléctrico.

μ=
va
E
En los materiales óhmicos:
]
ρ L
Sn
2.3
Problema 13
¿A qué temperatura será la resistencia de un conductor de cobre el
10% mayor que cuando está a 20 ºC?
ρ = ρ20(1 + α(t - 20))
ρ20 = 1,67·10-8 Ωm
α = 3,9·10-3 K-1
ρ = ρ20(1 + α(20 - 20)) = ρ20

σ
μ=
nq
ρ(t=tx) = ρ20(1 + α(tx - 20)) = 1,10ρ20
1 + α(tx - 20) = 1,10
α(tx - 20) = 0,10
tx - 20 = 0,10/α
tx = 20 + 0,10/α = 20 + 0,10/3,9·10-3 = 45,6 ºC
2.3
Energía de la corriente
eléctrica. Ley de Joule
Combinación de
resistencias
2.4
2.5
Resistencias en serie.

I
U
R1
dqV1
A
R
I
R2
B
C
A
VBC
dqV2
VAC
VAB
C
x
V2
2
P=VI=I R=
R
n
R eq =R1R2R3⋯
Combinación de
resistencias
2.5
R eq =∑ Ri
i=1
2.6
Generadores
Resistencias en paralelo.

I1
R1
1
1 1 1
=   ⋯
Req R1 R2 R3
I
B
A
R2
n
1
1
=∑
Req i=1 Ri
I2
U
ε=
∆U = q∆V
∆U = q∆V
2.6
Generador lineal
V
energía eléctrica
ε=
unidad de carga
q
qV1
q
qV1
2.6
qV2
qV2
U
ε
dU
dq
Generador ideal: VAB =ε
Generador real: VAB =ε - Ir
Pgenerada = εI
qV1
qV2
I
I
∆ U =q (V2 - V1)
Característica tensión-corriente del generador:
Tensión en los bornes V en función de I para un
generador real (línea roja) y para un generador
ideal (línea azul)


[ε] = [V]
(Voltio)
2.6
Generador lineal
Generador lineal
V aV b
En generador real, parte de la potencia generada
se consume en la resistencia interna del
generador, y el resto se “suministra” al circuito.
La diferencia entre la potencia generada y la
potencia disipada por la resistencia interna (por
efecto joule) es la potencia suministrada al
circuito, Psuministrada :
V a−V b =ε−I r
ε
r
ε
A
B
I
Ir
VA
2.6
ε
Psuministrada = Pgenerada - Pdisipada = εI - I2r = I (ε - Ir) = I (Va – Vb)
VB
Generador lineal:
rendimiento
●
Se define el rendimiento de un generador, η, como
el cociente entre la potencia suministrada y la
potencia generada:
η=
●
2.6
P sum
Pgen
=
 V a−V b I
εI
=
V a−V b
ε
●
Receptor lineal
●
●
2.6
+
V
ε’
ε'
M
-
-
:
ε '=
dU
dq
2.6
Receptor lineal
dU
=ε ' I
dt
ε'
e'
unidad en el S.I. es el voltio (V)
Potencia transformada por un receptor:
ε'
fuerza contraelectromotriz
Energía eléctrica consumida
unidad de carga
En esta expresión se ve que el rendimiento
aumenta al disminuir la resistencia interna. En un
generador ideal el rendimiento es la unidad, y para
cualquier generador real, el rendimiento es siempre
menor que uno.
P transf =
Receptores: elementos que disipan energía
por causas diferentes al efecto Joule.
(motores, acumuladores,...)
≤1
Receptor lineal
2.6
Receptor real: VAB = ε’ + Ir’
Receptor ideal: VAB = ε’
I
+
Característica tensión-corriente del receptor:
Tensión en los bornes V en función de I para un
receptor real (línea roja) y para un receptor ideal
(línea azul)

2.6
Receptor lineal
V aV b
´
a
+
-
ε'
ε
Receptor lineal
la potencia que el receptor transforma en otro tipo de
energía, potencia transformada; la pérdidas por efecto
Joule en la resistencia interna, potencia disipada y la
potencia consumida por el receptor, que es la suma de
las dos anteriores
V a−V b =ε 'I r '
b
2.6
ε‘
r’
B
A
I
VA
Ir’
Pcons=Ptransf + Pcalor = ε’ I + I2r’ = I(ε’ + Ir’) = I (Va – Vb)
ε‘
VB
Receptor lineal:
rendimiento
●
2.6
Se define el rendimiento de un receptor, η, como
el cociente entre la potencia transformada y la
potencia total consumida:
η'=
P transf
P cons
=
Diferencia de potencial entre
dos puntos de un circuito
●
I '
'
'
=
=
≤1
IV a−V b  V a−V b  'Ir '
La diferencia de potencial entre los
extremos será la suma de las ddp en cada
elemento
A I
R
1
ε,r
2
- +
●
el rendimiento aumenta cuando disminuye la
resistencia interna. El rendimiento es la unidad
para el caso de un receptor ideal, y menor que
uno para el caso de un receptor real.
Diferencia de potencial entre
dos puntos de un circuito
●
R
1
ε,r
+ -
2
ε’,r’
B
M
+
-
V A −V B =−I  Rr r '−−'
B
V A −V B =I  Rr r '− −'
Diferencia de potencial entre
dos puntos de un circuito
La diferencia de potencial entre los
extremos será la suma de las ddp en cada
elemento
A I
ε’,r’
+M -
V A −V B =∑ RI−∑ ε
●
A la hora de interpretar esta expresión,
debes utilizar el criterio de signos que se
detalla en la transparencia siguiente.
2.7
Criterio de signos
A ε r
R
-+
ε’ r’ B
I
B
A
I
B
Generador:
A
Receptor:
A
V A −V B =
M
A
I εr
BA
- +ε
Ecuación del circuito
+I
+-ε
B
M
VA = V B
R
B
I ε’ r’ B A I ε’ r’ B
- +ε '
+- ε'
R
- +
∑ RI
-I
I εr
ε,r
A I
ε,r
−∑ 
I
+
-
Ejemplo 6-3
M ε’,r’
I=
∑ε
∑R
Ejemplo 6-3
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
a) Calcula el valor y sentido de la intensidad que circula por el circuito.
b) Diferencia de potencial entre el punto A y el C (VA - VC). Desarrolla el cálculo por el
camino ABC y por el camino ADC.
c) ¿Qué elementos suministran energía al circuito? Calcula el valor de la potencia
suministrada por cada elemento.
d) ¿Qué elementos consumen energía en el circuito? Calcula el valor de la potencia
consumida por cada elemento.
e) ¿Cuál es el rendimiento del motor? ¿Y el de la fuente (2)?
f) Si modificamos la fuerza electromotriz de la fuente (1), ¿cuál debe ser su nuevo valor
para que la diferencia de potencial entre los puntos A y C tenga valor cero? ¿Cuál es la
intensidad del circuito en este caso?
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
a) Calcula el valor y sentido de la intensidad que circula por el circuito.
I=
∑ εi =
−20−10−1010
−30
=
=−0,12 A
∑ Ri 10020101010010 250
I
Ejemplo 6-3
Sentido de la intensidad
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
a) Calcula el valor y sentido de la intensidad que circula por el circuito.
I=
I=
1 Suponer un
sentido
∑ εi =
−20−10−1010
−30
=
=−0,12 A
∑ Ri 10020101010010 250
2
¿ I>0 ?
∑ εi = −1010−1020
10
=
=0,04 A
∑ Ri 10020101010010 250
sí
3
Problema
resuelto
sí
6
Problema
resuelto
no
4
I
Sentido
contrario
5
7
I=0
no
¿ I>0 ?
2.8
Ejemplo 6-3
Ejemplo 6-3
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
b) Diferencia de potencial entre el punto A y el C (VA - VC). Desarrolla el cálculo por el
camino ABC y por el camino ADC.
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
c) ¿Qué elementos suministran energía al circuito? Calcula el valor de la potencia
suministrada por cada elemento.
Generadores (2) y (3). PS = Pg - PJ = εI - rI2
V A −V C =I ∑ R i−∑ εi
ABC  VA - VC = 0,04(10+100+10) - (-10 + 10) = 4,8 V
Generador (2):
ADC VC - VA = 0,04(20+100+10) - (20 - 10) = - 4,8 V
PS = 10·0,04 - 10·0,042 = 0,384 W
Generador (3):
I
PS = 20·0,04 - 20·0,042 =
= 0,768 W
Ejemplo 6-3
I
Ejemplo 6-3
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
d) ¿Qué elementos consumen energía en el circuito? Calcula el valor de la potencia
consumida por cada elemento.
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
c) y d) Balance de potencias:
Potencia total suministrada:
En las resistencia
PJR = RI2 = 100·0,042 = 0,16 W
0,384 + 0,768 = 1,152 W
En el motor
PCM = PT + PJ = e’I + rI2 = 10·0,04 + 10·0,042 = 0,416 W
Potencia consumida en el circuito:
PC = 2PJR + PCM + PCε = 2·0,16 + 0,416 + 0,416 = 1,152 W
Receptor (1):
P Cε = P ε + P J =
= εI + rI 2 =
= 10·0,04 + 10·0,042 =
0,416 W
I
I
Ejemplo 6-3
Ejemplo 6-3
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
e) ¿Cuál es el rendimiento del motor? ¿Y el de la fuente (2)?
η=
PT
PC
M
'
=
εI
0,4
=
=0,962
ε' IrI 2 0,416
η = 96,2 %
Dado el circuito de la figura, responde a las siguientes cuestiones:
f) Si modificamos la fuerza electromotriz de la fuente (1), ¿cuál debe ser su nuevo valor
para que la diferencia de potencial entre los puntos A y C tenga valor cero? ¿Cuál es la
intensidad del circuito en este caso?
VC - VA = 130 I - (20 - 10) = 0
η=
P S ε I−r I 0,384
=
=
=0,96
Pg
εI
0,4
2
η = 96 %
I=
1
A
13
 
1
V C −V A=120 −
-  ε -10  =0
13
I
ε=10−
120 10
=
V
13 13
I
Problema 25
Problema 27
En la figura se representa la característica tensión corriente de un
generador. Representa en la misma figura la gráfica correspondiente
a: a) tres generadores idénticos al anterior dispuestos en paralelo, b)
ídem en serie.
Si a un generador de fuerza electromotriz ε y resistencia interna r se
conecta una resistencia R, determina cuál debe ser su valor para que
la potencia disipada en R sea máxima.
P=I2 R
P=I2 R=
V (V)
ε, r
ε
r R
I=
9
8
7
6
ε2R
 r R 
5
2
4
3
2
ε2  rR  −2ε2 R  rR 
dP
=0=
4
dR
 r R 
2
R
1
1
2
ε2  r R  −2ε2 R  r R =0
ε
r
r R=2R ⇒ R=r
Problema 27
5
I=
4
3
3ε
R3r
ε
ε
r
9
I (A)
r
b)
6
5
4
3
2
a)
1
1
r
2
3
ε
r
ε
r
ε
r
4
5
ε
r
6
ε
r
7
ε
a)
8
9
1
I (A)
En los circuitos de la figura, la
resistencia interna del voltímetro
es de RV=15 k, y la resistencia del
r
ε
b)
Montaje largo
A
R
amperímetro de RA=0,005 .
Calcula la intensidad medida en el
amperímetro, y la diferencia de
potencial medida en el voltímetro
para los valores de la resistencia R
indicados en la tabla. Completa la
tabla:
V
7V
Montaje corto
RA
RV
Montaje largo
Montaje corto
V
V
I
A
R
RV
1
εeq =3ε ; r eq =3r
Problema 35
R
r
a)
8
7
6
ε
ε
7
8
2
εeq =ε
r
r eq =
3
r
6
9
b)
7
3
r
ε
5
b)V (V)
V (V)
8
ε
r
R
ε
4
En la figura se representa la característica tensión corriente de un
generador. Representa en la misma figura la gráfica correspondiente
a: a) tres generadores idénticos al anterior dispuestos en paralelo, b)
ídem en serie.
9
Ir
V A −V B =ε− =RI ⇒ I=
3
3
r
Problema 27
En la figura se representa la característica tensión corriente de un
generador. Representa en la misma figura la gráfica correspondiente
a: a) tres generadores idénticos al anterior dispuestos en paralelo, b)
ídem en serie.
a)
2
ε
V
RA
7V
I
500 Ω
6000 Ω
12000 Ω
20000 Ω
Repite el cálculo para un voltímetro con una resistencia interna de 1 M. ¿Qué diferencias
observas en ambos casos? ¿A qué se debe dicha diferencia? Razona la respuesta.
r
2
3
ε
r
ε
r
ε
r
4
ε
a)
5
r
ε
6
r
7
ε
r
b)
8
9
I (A)