prof. ing. marquela de cohen presentado por

REPÚBLICA DE PANAMÁ
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO TECNOLÓGICO DE AZUERO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
LICENCIATURA EN INGIENERÍA CIVIL
TAREA #3 DE MÉTODOS NUMÉRICOS
FACILITADORA: PROF. ING. MARQUELA DE COHEN
PRESENTADO POR:
BANISTA, JAVIER
BRANDAO LOURDES
QUINTERO, IVÁN
TELLO, JOSSYBETH
Problema 4.1
Determine las raíces reales de f(x)= -0.874x2+1.75x+2.627
a) Gráficamente
b) Usando la formula cuadrática
c) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz más alta.
Empléense como valores iniciales xi = 2.9 xu = 3.1. Calcúlese el error estimado (Ea)
después de cada iteración.
a)
4
3.5
3
2.5
2
Series1
1.5
1
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
b)
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
x=
−1.75 ± √1.752 − 4(−0.874)(2.627)
2(−0.874)
x=
−1.75 ± 12.20446
−1.748
x1 = −5.9808
x2 = 7.9831
1.5
c)
1. f(xi)*f(xu)<0
(−0.874 ∗ 2.92 + 1.75 ∗ 2.9 + 2.627) ∗ (−0.874 ∗ 3.12 + 1.75 ∗ 3.1 + 2.627) < 0
0.35166*-0.34714<0
-0.122075<0
Primera iteración
2. Xr = (xi + xu)/2
Xr = (2.9 + 3.1)/2
Xr = 3
3. Ea = (Xra – Xrant)*100/Xra
Ea = (3-0)*100/3
Ea = 100%
4. f(xi)*f(Xr)
0.35166*-0.874*32 + 1.75*3 + 2.627
0.35166*0.011
0.00386826 > 0 ; xi = 3
Segunda iteración
2. Xr = (xi + xu)/2
Xr = (3 + 3.1)/2
Xr = 3.05
3. Ea = (3.05 – 3)*100/3.05
Ea = 1.64%
4. f(xi)*f(Xr)
0.011*(-0.874*3.052 + 1.75*3.05 + 2.627)
0.011*-0.165885
.0.001824735 < 0 ; xu = 3.05
Tercera iteración
2. Xr = (xi + xu)/2
Xr = (3 + 3.05)/2
Xr = 3.025
3. Ea = (3.025 - 3.05)*100/3.025
Ea = 0.83%
4. f(xi)*f(Xr)
0.011*(-0.874*3.0252 + 1.75*3.025 + 2.627)
0.011*-0.07689625
-0.000845858
Problema 4.4
Determínense las raíces reales de f(x) = 9.36 – 21.963x + 16.2965x2 – 3.70377x3
a) Gráficamente
b) Usando el método de la regla falsa con un valor de tolerancia correspondiente a 3 cifras
significativas para determinar la raíz más baja.
a)
60
50
40
30
Series1
20
10
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10
b)
Es = 0.5 x102-3
Es = 0.05
Xi = 1
Xu = 0
1.
f(xi)*f(xu) < 0
(9.36 – 21.963*1 + 16.2965*12 – 3.70377*13)*(9.36 – 21.963*0 + 16.2965*02 – 3.70377*03) < 0
-0.01027*9.36 < 0
-0.0961272 < 0
Primera iteración
2. Xr = 0 – ((9.36*1)/(-0.01027 – 9.36))
Xr = -0.99890398
3. Ea = (Xra – Xrant)*100/Xr
Ea = (-0.99890398-0)*100/-0.99890398
Ea = 100%
4. |Ea| > Es
100 > 0.05
f(xi)*f(Xr)
-0.01027*(9.36 – 21.693*-0.99890398 + 16.2965*-0.998903982 – 3.70377*-0.998903983)
-0.01027*50.98162616
-0.05235813 < 0 ; xu = -0.99890398
Segunda iteración
2. Xr = -0.99890398 – ((50.98162616*0.00109602)/(-0.01027+50.98162616))
Xr = -1.000000221
3. Ea = (-1.000000221+0.99890398)*100/-1.000000221
Ea = 0.1096%
4. |Ea| > Es
0.1096 > 0.05
f(xi)*f(Xr)
-0.01027*(9.36 – 21.963*-1.000000221+ 16.2965*-1.0000002212-3.70377*-1.0000002213)
-0.01027*51.32328451
-0.527090131 < 0 ; xu = -1.000000221
Tercera iteración
2. Xr = -1.000000221 – ((51.32328451*0.000000221)/(-0.01027+51.32328451))
Xr = -1.000000442
3. Ea = (-1.000000442 + 1.000000221)*100/-1.000000442
Ea = 2.209 x10-5%
4. |Ea|>Es
2.209 x10-5 > 0.05
termina.
; el error aproximado es menor que la tolerancia por lo tanto
Problema 5.1
Use el método de Newton-Raphson para determinar la raíz mayor de:
F(x)= -0.875x2+1.75x+2.625
si
F(x)= -0.875x2+1.75x+2.625
F`(x)= -1.75x+1.75
F´´(x)= -1.75
Term. 1
Xi+1=3.1
Term.2
Xi+1=3.1-
(−0.35875)
−3.675
= 3.002380952
xi=3.1; Es= 0.01%
Term.3
Xi+1= 3.002380952-
(−0.00833829431)
−3.504166666
= 3.000001415
Term.4
Xi+1= 3.000001415-
Término
1
2
3
4
(−4.9525𝑥10^−6)
−3.500002476
=3
Xi+1
3.1
3.002380952
3.000001415
3
Es
0
3.25
0.08
4.7x10-5
Et,i
0.1
0.002380952
0.000001415
Eti+1
2.5x10-3
1.417233107x10-6
5.0055625x10-13
6.5 Supóngase que se desea comprar un automóvil y está limitado a dos opciones. El costo
anual neto de poseer cualquiera de los 2 vehículos está compuesto por el costo de la
compra, costo de mantenimiento y de las ganancias.
Modelo de lujo Modelo económico
Costo de compra, $
-15, 000
-5000
Costo de mantenimiento, $/año/año
-400
-200
Ganancias anuales y beneficios,$
7500
300
Si la tasa de interés del 12.5% (i=0.125).Calcular el punto de equilibrio(n) para los
automóviles.
Calculo de f(n1) para modelo de lujo:
f(n1)= ganancias-costos de mantenimiento-costo de compra
f(n1)= G-Am-Ap
1
(1+0.125)𝑛
𝑛
= 7500-400(0.125 - (1+0.125)𝑛 −1 - 15000(0.125( (1+0.125)𝑛 −1 ))
400
𝑛
(1+0.125)𝑛
= 7500- 0.125 + 1.125𝑛−1 - 1875((1+0.125)𝑛 −1)
400𝑛
(1+0.125)𝑛
=7500 – 3200 + 1.125𝑛−1 - 1875((1+0.125)𝑛 −1)
(1+0.125)𝑛
400𝑛
= 4300 + 1.125𝑛−1 - 1875((1+0.125)𝑛 −1)
f(n2)= G-Ap-Am
(1+0.125)𝑛
1
𝑛
= 3000 - 5000 0.125( (1+0.125)𝑛 −1) – 200(0.125 - (1+0.125)𝑛 −1)
(1.125)𝑛
200𝑛
= 3000 - 625((1.125)𝑛 −1) – 1600 + 1.125𝑛−1
= 1400 +
200𝑛
1.125𝑛 −1
- 625(
(1.125)𝑛
)
(1.125)𝑛 −1
Igualando f(n1) y f(n2) para encontrar el punto de equilibrio:
(1+0.125)𝑛
400𝑛
200𝑛
(1.125)𝑛
4300 + 1.125𝑛−1 - 1875((1+0.125)𝑛 −1) = 1400 + 1.125𝑛−1 - 625((1.125)𝑛 −1)
400𝑛
200𝑛
(1+0.125)𝑛
(1.125)𝑛
4300 – 1400 + 1.125𝑛−1 - 1.125𝑛−1 - 1875((1+0.125)𝑛 −1) + 625((1.125)𝑛 −1) = 0
𝟐𝟎𝟎𝒏
(𝟏.𝟏𝟐𝟓)𝒏
4300 + 𝟏.𝟏𝟐𝟓𝒏 −𝟏 - 1250((𝟏.𝟏𝟐𝟓)𝒏 −𝟏) = 0 Punto de equilibrio n.
Problema 6.6
Si se compra una pieza de equipo en $20 000 en abonos, pagando $5 000 durante 5 años.
¿Qué tasa de interés se está pagando? La fórmula que relaciona el costo actual (P), los
pagos anuales (A), el número de años (n) y la tasa de interés es:
A=P
𝑖(1+𝑖)𝑛
(1+𝑖)𝑛
Si tenemos que:
P = 20 000
n = 5 años
A = 5000
Entonces, reduciendo la fórmula obtenemos:
A = P*i
𝐴
I=𝑃=
5000
20 000
* 100 = 25%