C1-Teoria de circuit..

CAPITULO
1
TEOREMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS
APLICADA A LA ELECTRONICA ANALÓGICA
(3 Hrs)
Objetivo: El alumno repasara los conceptos básicos de circuitos eléctricos: fuentes de voltaje, de
corriente, dependientes e independientes, reales e ideales así como los teoremas de Thevenin, Norton,
Superposición y Máxima transferencia de Potencia, aplicados a la electrónica analógica
1.1 Materiales Eléctricos………………………………(2 Hrs)
1.1.1 Propiedades Eléctricas de los electrones. (También dependen de la temperatura)
a) Carga Eléctrica (q)- Un electrón es considerado una partícula atómica donde está contenida la carga
eléctrica fundamental que se considera es de polaridad negativa y cuya magnitud se especifica por
1.6 X 10-19 Coulombios (C), esta carga es la responsable de la interacción atómica (reacción
química) entre diferentes átomos.
La carga Positiva se considera está en el núcleo atómico; en los protones los cuales tienen la misma
magnitud de carga que los electrones pero con signo positivo.
La carga eléctrica tiene unas reglas de operación:
cargas de igual signo se repelen o rechazan.
cargas de signos contrarios se atraen.
Las fuerzas de atracción y o repulsión de las cargas son función de la magnitud de la carga y de la
distancia entre las mismas.
La fuerza resultante (F) entre cargas es directamente proporcional a la magnitud de las cargas (q1, q2,
qn) en cuestión e inversamente proporcional su distancia.
Ley de Coulomb: F
9 109
n m 2 q1 q2
C2
r2
Donde:
F en Newton (N)
si q1 y q2 están en coulomb (C)
r en metros (m)
Página
b) Símbolo. e−
c) Portador de carga. Al electrón se le considera la partícula atómica por excelencia capaz de portar
carga eléctrica (llevar, transportar), esta propiedad es la más importante para la electricidad y la
electrónica ya que permite el flujo de energía eléctrica entre los sistemas. Al movimiento de
electrones de manera ordenada se le denomina corriente eléctrica.
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Por lo que podemos concluir que la fuerza eléctrica de atracción resultante entre electrones y protones
es muy intensa de la misma manera que la fuerza de rechazo entre los protones del núcleo es todavía
mas intensa y la explicación que se da nos da para que esas partículas no se junten (electrones con
protones) o se separen (protones con protones ó electrones con electrones) es que las fuerzas
nucleares son las encargadas de mantener un equilibrio a semejanza de un sistema planetarios.
Distancia promedio entre el electrón y el protón es de 5.3 x·10-11 m
Distancia promedio entre protones es de 2 x·10-15m
d) Masa del electrón. Como toda partícula atómica el electrón también tiene masa, esta es muy
pequeña y colabora con la propiedad anterior, su masa es de 9.11×10-31 kilogramos, unas 1800
veces menor que la de los neutrones y protones
e) Tamaño del electrón. Radio clásico del electrón, con un valor de 2.8179 × 10−15 m.
La electricidad se considera como el flujo de electrones a través
de materiales que: permiten su paso fácilmente (conductores),
se oponen a su paso (aislantes o dieléctricos) y están entre los
dos anteriores (semiconductores) (también se le llama energía
eléctrica).
La propiedad eléctrica más importante de los materiales es la
que expresa que tan fácilmente permiten el paso de la
corriente eléctrica: la más común se llama “Resistencia eléctrica
(R)”
R expresa la oposición que tiene un material al paso de una
corriente eléctrica, sus unidades están en ohms
( )
volt
Ampere
.
El
mejor
material
conductor
de
electricidad sería aquel cuya R=0 Ω (ohm), dicho material
no se conoce.
Una propiedad que seria la opuesta a la Resistencia eléctrica sería la Conductividad Eléctrica, la cual
también expresa que tan buen conductor eléctrico es un material. Se representa con
(G)
1
R
volt
Ampere
Siemens
S
1.1.2 Conductores y resistores.
Permiten el paso de los electrones de manera fácil, típicamente son metales que disponen de muchos
portadores de carga (electrones libres, es decir que no tienen fuerzas que los detengan).
Sin embargo todos los materiales conductores se oponen al paso de la corriente eléctrica y por
consiguiente presentan resistencia eléctrica.
A la forma geométrica del material conductor que presenta oposición a la corriente eléctrica se le llama
RESISTOR y este dispositivo es muy útil porque nos permitirá controlar a la corriente y al voltaje en un
circuito eléctrico
Página
La resistividad (ρ) que presenta cualquier material es función o depende de la temperatura., dicho
coeficiente puede ser positivo PTC, (Positive Temperature Coefficient) o negativo NTC (Negative
Temperature Coefficient).
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La resistencia eléctrica que presenta un resistor es función del material con el que esta hecho el
resistor así como la geometría (forma) del resistor, por ejemplo para un resistor de forma cilíndrica, la
resistencia que presenta este resistor será:
R=ρ(L/S)
L = longitud (m)
S = área (m2)
ρ = resistividad del material con que está
hecha el Reistor (Ω-m)
MATERIALES
Conductores
Semiconductores
Aislantes
Sustancia
ρ (Ω-m)
Resistividad
(α) (1/°K)
Coeficiente de temperatura
Plata
1.59·10-8
3.8·10-3
Cobre
1.67·10-8
3.9·10-3
Oro
2.35·10-8
3.4·10-3
Aluminio
2.65·10-8
3.9·10-3
Wolframio
5.65·10-8
4.5·10-3
Níquel
6.84·10-8
6.0·10-3
Hierro
9.71·10-8
5·10-3
Platino
10.6·10-8
3.93·10-3
Plomo
20.65·10-8
4.3·10-3
Silicio
4300
-7.5·10-2
Germanio
0.46
-4.8·10-2
Vidrio
1010- 1014
Cuarzo
7.5·1017
Azufre
1015
Teflón
1013
Caucho
1013 - 1016
Madera
108 - 1011
Diamante
1011
Resistividad de algunos materiales a 20 °C
En los conductores, aumenta con la temperatura, pudiéndose considerar que para pequeños intervalos de
temperatura una dependencia lineal:
ρ= ρ20(1 +α(t- 20 °C ))
ρ = resistividad de material (Ω-m)
ρ20 = Resistividad del material a 20 °C
α = coeficiente de temperatura
t = temperatura en °C
Página
Aislantes.
Contrario a los conductores presentan una gran
oposición al flujo de electrones es decir alta
resistividad y permiten que en conjunto con los
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Los resistores son dispositivos que se usan para
manipular corrientes y voltajes en los circuitos
eléctricos las más comunes tienen un código de
colores que permite identificar su valor de
resistencia y de tolerancia.
conductores sean los materiales necesarios para poder generar, transmitir, distribuir y usar la energía
eléctrica.
Su propiedad más importante es la “Rigidez dieléctrica” que expresa el máximo voltaje que puede
aplicarse a un aislante antes de que falle (se perfora o destruye eléctricamente) sus unidades son
Kv/mm (KiloVolts/milímetros).
También se les llama dieléctricos y este término se usa mucho en la tecnología de los capacitores ya
que ellos están constituidos por un arreglo especial de conductores y aislantes=dieléctricos.
1.2 Fuentes de Voltaje y Corriente…………………...(1 Hrs)
Son dispositivos o artefactos capaces de proporcionar voltaje y/o corrientes eléctricas a elementos que
las consumirán, generalmente son artefactos que transforman energía de cualquier tipo a energía
eléctrica (mecánicaeléctrica, químicaeléctrica, etc.).
Figura 1.1 Fuente de voltaje y/o corriente o fuente de alimentación
1.2.1 Reales e ideales
Desde el punto de vista de su funcionamiento sabemos que todos los dispositivos pueden ser
analizados como ideales, lo cual facilita su análisis y es una técnica muy usada, pero también suelen
analizarse de manera Real es decir con sus limitaciones, este análisis permite encontrar maneras de
corregir o mejorar esas limitaciones y nos sirve para explicar el diverso funcionamiento de un
dispositivo “Ideal” en el mundo “Real”
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4
Esta diferencia entre los dispositivos Ideales y Reales nos lleva al concepto de “Modelo” que sería una
forma de expresar el funcionamiento de un dispositivo desde un punto de vista diferente.
Figura 1.2 Diferentes modelos para diversos dispositivos eléctricos
Dispositivo
Ideal
Presenta un voltaje en sus
Fuente de Voltaje, de tensión, terminales que no cambia sin
generador
importar el tipo de carga que
alimente
Proporciona
la
corriente
Fuente de Corriente, de deseada a cualquier tipo de
intensidad
carga sin importar la magnitud
de la carga
Real
El voltaje en sus terminales es
función de la carga a alimentar,
típicamente se reduce si la
carga aumenta y viceversa
La corriente proporcionada a la
carga es función de la propia
carga y no solo de la fuente de
corriente
Fuente de tensión ideal
Es una fuente de tensión que produce una tensión de salida constante, es una Fuente de Tensión con
Resistencia interna cero. Toda la tensión va a la carga RL.
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Fuente de tensión real
Algunos ejemplos de fuentes de tensión reales son:
5
Figura 1.3 Fuente de tensión o voltaje ideal.
Figura 1.4 Fuentes de tensión reales.
Son las fuentes de tensión (figura 1.5) que tenemos en la realidad, como ya hemos dicho no existe una
fuente ideal de tensión, ninguna fuente real de tensión puede producir una corriente infinita, ya que en
toda fuente real tiene cierta resistencia interna.
Figura 1.5 Diagrama eléctrico de una fuente de tensión Real
Veamos que ocurre en 2 casos, cuando RL vale 10 Ω y cuando vale 5 Ω.
Figura 1.6 Efecto de la Resistencia Interna en una carga RL=10Ω
Figura 1.7 Efecto de la Resistencia Interna en una carga RL=5Ω
Figura 1.8 Comparación de fuente real e ideal.
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6
Ahora la tensión en la carga no es horizontal, esto es, no es ideal como en el caso anterior.
Fuente de tensión (aproximadamente) constante
Para que una fuente de tensión sea considerada como una "Fuente de tensión constante" figura 1.9, se
tiene que cumplir que la resistencia interna de la fuente (Rint) no este, esto es que sea despreciable.
Para que despreciemos la Rint se tiene que cumplir:
Figura 1.9 Fuente de tensión aproximadamente constante
Solo se pierde el 1 % en el peor caso, por lo tanto se está aproximando a la fuente de tensión ideal.
Figura 1.10 Fuente de tensión constante
Veamos que ocurre en 2 valores diferentes de RL.
Figura 1.11 Efecto de RL en la fuente
Resumen
Fuente de tensión ideal es la que tiene una Rint= 0 Ω y produce en la salida una VL=constante.
Fuente de tensión real es la que tiene una determinada Rint. En esta Rint. hay una pérdida de
tensión. El resto de tensión va a la carga que es la que se aprovecha.
Fuente de tensión constante es la que tiene una Rint<= RL/100. La caída en la Rint. es como
mucho el 1 %, aproximadamente a la ideal, que es el 0 %.
Si tenemos que comparar dos fuentes de tensión, la mejor será la que tenga una R int. más
pequeña (o sea la que más parecida a la ideal, que tiene una Rint=0 Ω).
Página
Fuente de corriente ideal (figura 1.12)
No existe, es ideal como en el anterior caso de la fuente de tensión ideal
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Fuentes de corriente
En el caso anterior de la fuente de tensión había una resistencia interna muy pequeña, pero una fuente
de corriente es diferente, tiene una resistencia interna muy grande, así una fuente de corriente produce
una corriente de salida que no depende del valor de la resistencia de carga.
Figura 1.12 Fuente de corriente Ideal
Fuente de corriente real
Son las fuentes que existen en la realidad (figura 1.13).
Figura 1.13 Fuente corriente Real
Veamos que ocurre con los diferentes valores de RL.
Figura 1.14 Efecto de RL en la fuente de corriente
Con esto vemos que una fuente de corriente funciona mejor cuando su resistencia interna es muy alta,
mientras que una fuente de tensión funciona mejor cuando su resistencia interna es muy baja. La
intensidad de carga tiene esta forma:
Página
Fuente de corriente (aproximadamente) constante
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Figura 1.15 Comparación entre Fuente de corriente Real e Ideal
Figura 1.16 Fuente de corriente aproximadamente constante.
Solo se pierde el 1 % en el peor caso. Con esto nos aproximamos a la fuente de corriente ideal. Veamos
2 valores diferentes de RL.
Figura 1.17 Efecto de RL en la Fuente de Corriente.
Resumen
Fuente de corriente ideal es la que tiene una Rint=∞ y produce en la salida una IL=constante.
Fuente de corriente real es la que tiene una determinada Rint. En esta hay pérdida de corriente. El resto
de la corriente va a la carga que es la que se aprovecha.
Fuente de corriente constante es la que tiene una Rint >= 100RL. La corriente que se pierde por la Rint es
como mucho el 1 %, aproximadamente a la ideal, que es el 0 %.
Si tenemos que comparar 2 fuentes de corriente, la mejor será la que tenga una Rint más grande (o sea
la más parecida a la ideal, que tiene una Rint = ∞).
Dependientes e independientes
Independiente: la salida es independiente del resto del circuito.
Dependiente o controlada: la salida se determina o controla mediante un voltaje o corriente
existente en otra parte del circuito. Son de gran utilidad para modelar dispositivos físicos tales
como amplificadores operacionales y transistores.
SÍMBOLOS
Fuente de
VOLTAJE
CORRIENTE
Independiente
Tabla 1.2 Símbolos de diferentes fuentes de voltaje y corriente
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Dependiente de corriente
9
Dependiente de voltaje
Observaciones:
La tabla 1.2 muestra los símbolos de las fuentes de continua. Para las fuentes de alterna, a los círculos y
rombos, agregar el símbolo ~.
Sobre los parámetros de las fuentes dependientes:
µ
es un parámetro adimensional denominado factor de amplificación de la fuente de
voltaje dependiente de voltaje;
r
es un parámetro en unidades de ohms en la fuente de voltaje dependiente de corriente;
g
es un parámetro en unidades de siemens en la fuente de corriente dependiente de
voltaje; y
ß
es la ganancia de corriente de la fuente de corriente dependiente de corriente.
Teoremas de Circuitos Eléctricos………………(3 Hrs)
Teorema de Thevenin
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un
generador ideal de tensión en serie con una resistencia, tales que:
La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito
abierto en dichos terminales
La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestión, cortocircuitando los
generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente
Para aplicar el teorema de Thevenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 1.18, elegimos los puntos X e Y
y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir,
estamos suponiendo que las resistencias R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito
original) y miramos atrás, hacia la izquierda.
Figura 1.18
En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos la tensión
equivalente Thevenin (Vth) que coincide con la tensión en bornes de la resistencia R2 y cuyo valor es:
El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda
otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los
generadores de tensión son unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en
el caso de nuestro circuito original, sólo hay un generador de tensión que, para el cálculo que debemos
hacer lo supondremos en cortocircuito y ¿que es lo que vemos?
Página
Por lo que la resistencia equivalente Thevenin, también llamada impedancia equivalente, Zth vale:
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Pues si observamos la figura 1.18, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en paralelo.
Teorema de Norton
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un
generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, tales que:
La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestión.
La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los
generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia
equivalente Thévenin)
Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 1.18, nos quedará el siguiente circuito:
Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 1.18. La corriente que circula por entre estos
dos puntos la llamaremos Ith y lógicamente es igual a la tensión V del generador de tensión dividido
por la resistencia R1 (Ley de OHM)
la resistencia Thevenin es la misma que la calculada
anteriormente, que era el paralelo de R1 y R2.
EQUIVALENCIA ENTRE THEVENIN Y NORTON
dos o más fuentes independientes, cualquier voltaje o corriente del circuito puede calcularse como la
Página
Teorema de Superposición
El teorema de superposición dice formalmente que: En cualquier circuito resistivo lineal que contenga
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Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin más que aplicar el
teorema correspondiente, así por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thévenin
de un circuito y hemos obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente:
Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos
la corriente que pasa entre ellos que será la corriente :Ith= 10/20 = 0,5 A.y la resistencia Norton es 20
Ω por lo que nos quedará el circuito equivalente Norton de la derecha
suma algebraica de todos los voltajes o corrientes individuales originados por cada fuente independiente
actuando por sí sola, es decir, con todas las demás fuentes independientes eliminadas.
Hasta ahora todos los circuitos que se han manejado son lineales, por lo tanto este teorema puede ser
aplicado a cualquier circuito anteriormente explicado.
Se puede decir que linealidad y superposición son conceptos que significan lo mismo; solo que
linealidad es un concepto más matemático y superposición es mas físico.
Normalmente se define superposición como: "La respuesta de un sistema lineal a varios estímulos es la
suma de las respuestas a cada uno de los estímulos".
Esto se puede ver más claro con el siguiente diagrama de
bloques:
En la parte (a) de la figura, se tiene un sistema lineal al que se le
aplican dos estímulos diferentes (E1 y E2) y se obtiene una
respuesta (R1), el resultado seria de la forma:
R1
f1 ( E1 )
f 2 ( E2 )
Donde f1(E1) y f2(E2) son funciones lineales de E1 y E2
respectivamente, en la parte (b) se tiene el mismo sistema lineal
pero aplicando otro dos estímulos (Ea y Eb) y se obtiene como
resultado una respuesta (R2) , de la forma: R2 f1 ( Ea ) f 2 ( Eb )
La respuesta total (R) del sistema lineal seria de la forma:
R
R1 R2
f1 ( E1 Ea )
f 2 ( E2
Eb )
Es de notar que para sumar dos estímulos estos deben tener las
mismas características y ser del mismo tipo. Este concepto se
aplica a los circuitos eléctricos, por medio del teorema de
superposición.
Ejemplo:
En este circuito se tiene dos fuentes independientes de voltaje (V1 y
V2) y una red de tres resistencias (R1, R2 y R3), el objetivo del
ejercicio es encontrar el valor del voltaje sobre la resistencia R3, el
cual se llama VX.
Ahora bien, utilizando el principio de superposición de fuentes se
realizaría lo siguiente:
Como primer paso se analizaría el
circuito solo utilizando la fuente V1 y la fuente V2 seria eliminada o
igualada a cero (corto-circuito) como en la siguiente figura:
Como se observa R3 y R2 se encuentran en paralelo y al mismo valor de
voltaje, por lo tanto Vx seria igual al divisor de tensión entre R1 y el
paralelo entre R2 y R3, de la siguiente manera:
R1
V1
R2 || R3
R2 || R3
Como segundo paso se analizaría el circuito solo utilizando la fuente
V2 y la fuente V1 seria eliminada o igualada a cero (corto-circuito)
como en la siguiente figura:
VX ' ' I X
R1 || R3
R2
V1
R1 || R3
R1 || R3
12
R2 || R3
Página
VX ' I X
Por lo que finalmente: VX
VX ' VX ' '
R1
V1
R2 || R3
R2 || R3
R2
V1
R1 || R3
R1 || R3
Teorema de máxima transferencia de potencia
Muchas aplicaciones de circuitos requieren que la máxima potencia
disponible de una fuente se transfiera a un resistor de carga Rc como ya se
sabe un circuito A puede reducirse a su equivalente de Thevenin.
El problema general de la transferencia de potencia puede examinarse en
términos de la eficiencia y la economía. Los sistemas eléctricos se diseñan
para llevar la potencia a la carga con la mayor eficiencia, al reducir las
pérdidas en las líneas de potencia. Por ello, el esfuerzo se centra en reducir
RTH que representaría la resistencia de la fuente más la de la línea. Por eso resulta atractiva la idea de
usar líneas superconductoras que no ofrezcan resistencia para transmitir potencia.
El circuito A es un circuito que contiene resistencias, fuentes independientes, fuentes dependientes. La
resistencia Rc representa la carga.
Un equivalente Thevenin sustituye al circuito A. Donde Vf(t) es la fuente de tensión de Thevenin.
Por lo tanto tendremos:
Ecuación
p(t ) i (t )
i (t )
p(t )
2
Análisis de Unidades
( w) ( A2 ) ( )
RC
v f (t )
RC
( A)
RTH
v f (t )
RC
RTH
2
( w)
RC
(v )
( )
(v ) 2
( )2
(v ) 2
( )
Suponiendo que vf(t) y RTH son constantes para una fuente dada, la potencia máxima será función de
Rc. Para calcular el valor de Rc que maximiza la potencia, se usa el cálculo diferencial para determinar
el valor de Rc para el que la derivada es igual a cero.
v f (t )
dp
dRC RC RTH
2
RC
2
dp (v f (t )) RC
dRC ( RC RTH ) 2
u
v
Ecuación. 2.1
(RC
RTH ) 2 , dv 2(RC
RTH ) y du (v f (t ))2
Página
u dv v du
v2
Si hacemos: u (v f (t ))2 RC , v
d
13
Aplicando la fórmula para el tipo de derivada
Para encontrar el máximo ó el mínimo de la función se iguala a cero y sustituimos los valores de u, v, du
y dv en la Ecuación 2.1
d
u
v
((v f (t ))2 RC ) (2( RC
RTH )) ((RC
((RC
RTH ) 2 ) ((v f (t ))2 )
RTH ) 2 ) 2
0
Reduciendo la ecuación para encontrar la condición donde la derivada se hace cero
((RC
((v f (t ))2 ( RC
(2 Rc RC
RTH ) )
RTH )) ((2 Rc) ( RC
RTH )
0
RTH ))
2 2
RC
La máxima potencia se dará: pmàx (t )
RTH
0
0
RTH )) 0
RC
RTH
(v f (t ))2
(v f (t ))2
(v f (t ))2
(2RTH ) 2
4RTH
4RC
14
RTH )) ((2 Rc) ( RC
Página
((v f (t ))2 ( RC