OI116_Luis ALfredo Rodriguez

Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Introducción al cálculo de incertidumbres
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física Laboratorio de Cinemática y Dinámica
en las
INGENIERÍAS
Cordinador: Luís Alfredo Rodríguez Saucedo, M. Sc.
Correo: [email protected]
1
INTRODUCCIÓN
En las ciencias naturales los resultados de las medidas experimentales sirven para verificar
la validez de modelos, leyes y teorías. Por esta razón, el experimento en ciencia juega el
papel de "juez de última instancia" y las mediciones experimentales se constituyen en pilar
fundamental de cualquier enunciado científico.
Sin embargo, como cualquier actividad humana, la medición no puede estar exenta de
imperfecciones. Todas las medidas, aún aquellas que se realizan con los métodos y equipos
más sofisticados poseen algún grado de incertidumbre. Se constituye entonces en deber de
cada experimentador reportar sus medidas junto con una estimación cuantitativa de la
incertidumbre respectiva. En esta práctica se ilustrará, mediante un ejemplo concreto, los
conceptos presentados en la sección 2.2 del Laboratorio Cero relativos a la estimación y
reporte incertidumbres.
2
PROCEDIMIENTO
El sistema que se va a estudiar es un péndulo simple (masa “puntual” pendiente de una
cuerda) y se medirán las siguientes variables (magnitudes por medir):
-
el período de oscilación del péndulo,
la longitud del péndulo,
la aceleración g debida a la gravedad terrestre.
Una vez medida cada variable se procederá a estimar su incertidumbre de acuerdo con lo
establecido en la sección 2.2 del Laboratorio Cero.
2.1
Construya un péndulo de longitud cualquiera l y póngalo a oscilar. Con el cronómetro
mida el tiempo de una oscilación (tiempo de salida y regreso de la masa al mismo
punto). Este tiempo se llama período y se simboliza con la letra T. Registre el valor
obtenido.
NOTA: Se recomienda efectuar la medición después de que el péndulo haya
realizado al menos una oscilación. Ello para evitar el posible efecto
sistemático que generaría cualquier empujón involuntario de la mano en el
momento de soltar la masa.
2.2
Repita la operación anterior hasta completar 50 datos. No es necesario detener y
1
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
soltar el péndulo para cada una de las 50 veces. Una vez oscilando, usted podrá medir
varios períodos del péndulo sin detenerlo, siempre y cuando la oscilación no se haya
distorsionado apreciablemente. Registre sus resultados en la segunda columna de la
tabla 1.
Ahora mida la longitud del péndulo desde el punto de suspensión hasta el “centro” de
la masa. Registre su resultado en la tabla No 4.
2.3
3
ANÁLISIS Y RESULTADOS
3.1
Resultado de Medición pare el Período de Oscilación y su incertidumbre.
3.1.1
MAGNITUD POR MEDIR: En la primera fila de la tabla No. 3 escriba la definición de
la magnitud que está midiendo. En este caso, el período.
3.1.2
RESULTADO DE MEDICIÓN. Al observar los 50 datos registrados en la tabla No. 1 se
ve que no todos son iguales. Sin embargo, es necesario reportar un valor como
resultado de medición. La discusión que sigue le ayudará a decidir cual es el mejor
estimado para el período del péndulo:
Organice los 50 datos escribiéndolos en orden ascendente en la tercera columna
de la tabla No. 1. No omita los datos que se repiten.
o Ahora Construya un histograma de frecuencia tomando un tamaño de intervalo
apropiado (debe haber por lo menos 5 intervalos). Se sugiere que, para determinar el
tamaño de intervalo, al mayor de sus datos se le reste el menor y el resultado se
divida por el número de intervalos escogido. Cuente cuántos datos hay dentro de
cada intervalo (frecuencia) y registre sus resultados en la tabla No. 2.
o
Precaución: Defina los intervalos de tal manera que no corra el riesgo de
contar el mismo dato en dos intervalos contiguos.
o Haga una gráfica de barras (Histograma) con los datos de la tabla No. 2. Utilice
el formato de la figura No. 1.
1
o Calcule el promedio de los datos y escriba su valor al final de la tabla No. 1.
Ubique también este valor sobre el eje horizontal del histograma. Observe cómo se
localiza dicho promedio respecto al resto de datos. ¿Qué puede decir acerca de la
probabilidad de obtener el promedio como resultado de medición, en comparación
con la probabilidad de obtener cualquier otro dato? (Tenga en cuenta en su
discusión cuál(es) intervalos tiene(n) mayor número de datos).
3.1.3
1
CANTIDADES DE ENTRADA. La variabilidad observada en los datos refleja la
precisión del sistema de medición. Según las definiciones del Anexo 1 del
Conserve por ahora todas las cifras significativas que dé la calculadora
2
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
laboratorio cero, la precisión puede corresponder a la repetibilidad o a la
reproducibilidad del sistema, dependiendo de las condiciones en las que se repitió la
medida. Revise su método de medición y diga si en su caso se trabajó bajo
condiciones de repetibilidad o de reproducibilidad. Entre otras, las fuentes de error
que causan esta variabilidad, pueden ser:
o La estimación a simple vista del momento en que inicia la oscilación.
o El tiempo de reacción de la persona en el instante de encender el cronómetro.
(esto es, tiempo de recorrido del estímulo en el trayecto: ojo – cerebro – mano)
o Resolución del cronómetro.
o Etc.
Trate de agregar al menos otras dos causas a esta lista y consígnelas todas en la
columna encabezada con Xi , de la tabla No. 3.
3.1.4
FUNCIÓN. El siguiente paso es establecer la función que relaciona el período con las
cantidades de entrada. Aquí, al resultado reportado deben aplicársele las
correcciones correspondientes a cada una de las fuentes error enumeradas en la
sección anterior. Por ejemplo, el tiempo de reacción de la persona que mide hace
que, algunas veces, el valor que registra el cronómetro exceda al valor verdadero
del tiempo de oscilación y, en otras, sea menor. En cualquier caso, cada valor leído
por el cronómetro debería corregirse2 por el valor correspondiente al exceso o
defecto ocasionado por las diferentes fuentes de error.
De lo anterior se deduce que las cantidades de entrada Xi para la medida de período
son las correcciones debidas a cada fuente de error enumerada en 3.1.3. Así, la
función que relaciona el período con las cantidades de entrada es:
Tcorregido = T + X 1 + X 2 + X 3 ..... + X N
3.1.5
RESULTADO CORREGIDO. Los métodos para calcular incertidumbres establecen que,
como resultado de medición, debe reportarse el resultado corregido, esto es, el
resultado que surge después de aplicar las correcciones pertinentes. Así, para hallar
el resultado corregido los valores x1, x2, ….xN de las cantidades de entrada deben
reemplazarse en la función f(X1, X2, XN).
Ahora, en el caso del período es razonable pensar que en cada una de las 50
repeticiones, cada fuente de error afectó en forma aleatoria (a veces por exceso,
otras por defecto) al resultado registrado por el cronómetro. Entonces,
promediando sobre los 50 datos, el valor xi, de cada corrección Xi, debe ser igual a
cero. Luego
2
Ver def. de corrección en el anexo 1 del laboratorio cero 2007-1
3
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Tcorregido = T + 0 + 0 + 0.... + 0 = T
A partir las conclusiones de ésta y de la sección anterior, termine de diligenciar el
encabezado y la tercera columna de la tabla No. 3.
3.1.6
EVALUACIÓN DE LAS COMPONENTES DE INCERTIDUMBRE. Aunque los valores xi de las
correcciones aplicables a T resultaron ser iguales a cero, no debe olvidarse que
cada uno de ellos proviene de una estimación. Por tanto, como cualquier otro valor
que resulte de medición o estimación, cada uno de estos ceros no se conoce con
absoluta certeza y tiene una incertidumbre ∆xi distinta de cero. A continuación se
estimarán las ∆xi, bien sea por método el tipo A (estadístico) o por el método tipo B
(otro método).
Ahora bien, hay que tener en cuenta que, excepto la resolución del instrumento, las
demás fuentes de variabilidad se confunden indistinguiblemente para dar la
dispersión global de los datos que exhibe el histograma de la figura 1. Por esta
razón, en principio, el efecto individual de cada una de estas fuentes de error no
puede discriminarse estadísticamente. Como consecuencia y para simplicidad, aquí
haremos corresponder esta componentes de incertidumbre con ∆x1,∆x2, …,∆xN-1 y se
resumirán en una sola componente que se llamará Repetibilidad (o reproducibilidad,
si ese fuera el caso) del sistema de medición. Dicha repetibilidad se evaluará
estadísticamente a partir de la desviación estándar de todos los datos. La
componente restante ∆xN se asociará con la incertidumbre debida a la resolución del
instrumento de medida. Entonces:
∆xrepet =∆x1 + ∆x2+…+∆xN-1.
∆xres = ∆xN.
La incertidumbre de resolución ∆xres suele estimarse simplemente como la mitad de
la resolución del instrumento de medida utilizado. Establezca la resolución del
cronómetro, divídala por dos y escriba el valor de ∆xres en la casilla respectiva de la
tabla No. 3 (Fila Xres, columna ∆xi)
Ahora bien, para evaluar ∆xrepet, observe que el valor reportado como resultado de
medición es el período promedio. De acuerdo con las leyes de la estadística, el
parámetro que se debe usar para estimar la incertidumbre de un promedio es la
desviación estándar de la media, definida por:
sm =
s
n
donde s representa la desviación estándar del conjunto de datos y n el número de
4
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
datos3. Así:
∆x repet = s m =
s
n
Para evaluar ∆xrepet, termine de llenar la tabla No. 1. Usando las definiciones que
aparecen en esa misma tabla calcule, s2, s y sm. Conserve en sus cálculos todas las
cifras significativas que da la calculadora. Reporte el valor hallado de ∆xrepet en la
casilla respectiva de la tabla No. 3 (con todas las cifras significativas disponibles).
3.1.7
Halle la incertidumbre ∆T del período combinando las dos componentes de
incertidumbre que acaba de evaluar (repetibilidad y resolución). Usando la regla de
combinación apropiada según la sección 2.2.5 del laboratorio cero, la incertidumbre
para el período queda:
∆T = ∆x1 + ∆x2 + ……+∆xN = ∆xrepet + ∆xres
Termine de diligenciar la tabla No. 3 llenando la última columna y las dos últimas
filas. Para la casilla del extremo inferior derecho tenga en cuenta las reglas de
redondeo expresadas sección 2.2.6 del Laboratorio Cero 2006-14.
Evalúe sus resultados y discuta la calidad de su medida.
3.2
Longitud de la cuerda y su Incertidumbre
No siempre se dispone del tiempo, los recursos o la información necesarios para repetir la
medida y evaluar la incertidumbre por el método tipo A. En estos casos se debe recurrir al
método tipo B, el cual se basa en elementos como la intuición, el tanteo, la experiencia, el
conocimiento previo de la magnitud por medir, así como información extraída de otras
fuentes como tablas o manuales, etc. Este es el caso de la longitud del péndulo, cuya
medida se realizó una sola vez.
Tal como lo hizo para el período en la sección 3.1, siga los pasos necesarios para hallar la
incertidumbre de la longitud. Discuta con sus compañeros y reporte sus conclusiones
diligenciando la tabla No.4. Entre otras, tenga en cuenta las siguientes recomendaciones:
-
Identifique cuáles pueden ser las diferentes fuentes de error para la longitud del
péndulo. Nuevamente, las cantidades de entrada X1, X2, XN corresponderán a las
correcciones de estos errores. Escriba la lista de estas cantidades de entrada en la
primera columna de la Tabla 4 (considere en su discusión, el instrumento, el
3
No confunda N y n. En esta guía N representa el número de variables de influencia mientras que n
representa el número de veces que se repitió la medición.
4
como reportar correctamente el resultado de medición con su incertidumbre.
5
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
-
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
procedimiento de medida etc.).
Puesto que es imposible conocer el valor de cada corrección, asígnele a cada una el
valor cero5 aunque, obviamente, la incertidumbre de este valor (cero) no debe ser igual
a cero.
-
Para la medida de la longitud ninguna componente podrá evaluarse por métodos
estadísticos, pues no hubo repeticiones. Estime entonces, según su criterio, un valor
para cada componente de incertidumbre ∆xi. Escriba los valores estimados en la
columna correspondiente de la tabla 4.
-
Halle la incertidumbre combinada ∆l combinando las diferentes componentes ∆xi. Use
la regla de combinación apropiada según la sección 2.2.5 del laboratorio cero.
-
En la casilla respectiva de la tabla No.4, reporte los valores de l y ∆l con el número
correcto de cifras significativas.
Al término de esta sección, la tabla No. 4 debe quedar completamente diligenciada.
Determinación de la aceleración gravitacional g
3.3
Empleando las leyes de la mecánica newtoniana, puede probarse teóricamente que el
período de un péndulo que oscila con pequeñas oscilaciones está dado por la expresión:
T = 2π
l
g
3.3.1
Con los resultados de medición de T y de l obtenidos en las secciones anteriores
calcule el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio de física. (De
nuevo, use y conserve todas las cifras significativas que da la calculadora. Redondee
únicamente al final, al reportar el resultado con su incertidumbre).
3.3.2
De manera semejante a como lo hizo para el período y la longitud, siga los pasos
necesarios para hallar la incertidumbre ∆g. Diligencie la tabla No. 5 a medida que
sigue el procedimiento. Para facilitar sus cálculos exprese la función g = f(X1, X2)
como un producto de potencias. (Cuáles son, en este caso, X1 y X2?).
Sugerencia: Para combinar las componentes de incertidumbre de g utilice la expresión para la
incertidumbre relativa de un productos de potencias que aparece al final de la sección 2.2.5 del
laboratorio cero 2007-1.
5
Se asume de nuevo que los errores considerados se deben a efecto aleatorios, esto es, que en caso de que se
repitiera la medida el error tiene la misma probabilidad de ser positivo o negativo, oscilando su valor
alrededor de cero. Por tanto, el valor más probable para la corrección debida a ese efecto es cero.
6
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
3.3.3
Termine de diligenciar la tabla No. 5 expresando g y su incertidumbre con el
número correcto de cifras significativas.
3.3.4
Mediciones más confiables que la de esta práctica han establecido que la gravedad
en Cali es g = 9,77 m/s2 + 0,10 m/s2. A partir de este valor halle el error y el
porcentaje de error de su resultado de medición.
3.3.5
Compare sus resultados, discuta acuerdos y diferencias y haga sus conclusiones.
7
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Tabla No. 1
Medida Nº
T i (s)
Ti (s)
(ordenado)
(Ti - T )(s)
(Ti - T )2(s2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
8
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
n=50
n
n
n
∑ (Ti ) =
∑ (Ti − T ) =
∑ (Ti − T )
i =1
i =1
i =1
1 n
T = ∑ Ti =
n i=1
1 n
2
s2 =
∑ ( Ti − T ) =
n − 1 i =1
sm =
2
=
s
n
=
9
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Figura No1.
Frecuencia
T (s)
Tabla No 2
Intervalo
frecuencia
10
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Tabla No. 3
Magnitud por medir (Definición de T, en palabras):
Resultado de Medición ( mejor estimado de T)
Función (Relación de T con las cantidades de entrada):
T=
T=
Xi
xi
Nombre de la cantidad de entrada
Valor de la cantidad
de entrada
Corrección debida a la Resolución
del cronómetro
0
∆ xi
Incertidumbre estimada
para el valor de cada
cantidad de entrada
Método de
estimación
(A o B)
X1
X2
X3
Xres
Expresión para calcular la incertidumbre combinada de la magnitud por medir:
∆T =
Valor de la incertidumbre combinada
Reporte del resultado de medición con su incertidumbre:
∆T =
T=
+
11
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Tabla No. 4
Magnitud por medir (Definición de l, en palabras):
Resultado de Medición ( mejor estimado de l)
Función (Relación de l con las cantidades de entrada):
l=
l=
Xi
Nombre de la cantidad de entrada
xi
Valor de la cantidad
de entrada
∆ xi
Incertidumbre estimada
para el valor de cada
cantidad de entrada
Método de
estimación
(A o B)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Expresión para calcular la incertidumbre combinada de la magnitud por medir:
∆l =
Valor de la incertidumbre combinada
Reporte del resultado de medición con su incertidumbre:
∆l =
l=
+
12
Pontificia Universidad Javeriana-Cali
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Naturales y Matemática – Área de Física
Laboratorio de Cinemática y Dinámica
Tabla No. 5
Magnitud por medir (Definición g, en palabras):
Resultado de Medición ( mejor estimado de g)
g=
Xi
Nombre de la cantidad de entrada
Función (Relación de g con las cantidades de entrada):
g=
xi
Valor de la cantidad
de entrada
∆ xi
Incertidumbre estimada
para el valor de cada
cantidad de entrada
Método de
estimación
(A o B)
X1
X2
Expresión para calcular la incertidumbre combinada de la magnitud por medir (deducir en casa):
∆g =
Valor de la incertidumbre combinada
Reporte del resultado de medición con su incertidumbre:
∆g =
g=
+
Revisión 2006.8.01
13