Máquinas de CD y de Inducción (1131075)
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Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Máquinas de CD y de Inducción (1131075) Dr. Irvin López Garcı́a e Hiram Alberto Canseco Garcı́a Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco Departamento de Energı́a, Área de Ingenierı́a Energética y 2 Electromagnética∇ Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Contenido 1 Máquinas de CD 2 Componentes básicos 3 Posición neutra de las escobillas 4 Reacción de armadura 5 Análisis de las Máquinas de CD en estado estable 6 Conexiones de las máquinas de CD 7 Pérdidas en una máquina de CD 8 Referencias Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Máquina de CD Las máquinas de CD se han caracterizado, debido a la facilidad con la que se pueden controlar, por su gran variedad de aplicaciones y su versatilidad en campos donde se requiere de un amplio rango de velocidades. Mediante diversas combinaciones de sus devanados se puede hacer que exhiban una amplia variedad de curvas caracterı́sticas volt-ampere y velocidad-par, tanto para funcionamiento dinámico como para estado estable. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Componentes básicos En la Figura 1, se muestra una máquina elemental de dos polos. Figura: Esquema básico de una máquina de CD. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Estator y rotor En términos generales, se puede decir que una máquina eléctrica rotatoria se compone de dos partes fundamentales: estator y rotor. El estator es la parte fija y en cuya cavidad se coloca el rotor, que como su nombre lo indica, es la parte giratoria de la máquina. Entre el estator y rotor existe un espacio de aire denominado entrehierro, el cual los separa y permite que la máquina gire. El campo magnético existente en el entrehierro es el que constituye el medio de acoplamiento entre los sistemas eléctrico y mecánico. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Devanado de campo El devanado de campo en una máquina de CD está en el estator y se excita con CD. El devanado de campo tiene por misión crear flujo magnético en el entrehierro. No obstante, en las máquinas pequeñas se pueden emplear imanes permanentes que realicen la función del devanado de campo produciendo el flujo en el entrehierro. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Devanado de armadura El devanado de armadura en una máquina de CD se encuentra en el rotor y recibe el flujo del devanado de campo induciéndose en él corrientes que se cierran por el circuito exterior. Un extremo de dos bobinas del devanado de armadura está conectado eléctricamente a un segmento de cobre del conmutador y a un par de escobillas. Es importante mencionar que, la necesidad de conmutación es la razón por la cual el devanado de armadura en las máquinas de CD se coloca en el rotor. La forma en que cada bobina se conecta al segmento del conmutador define el tipo de devanado de la armadura. Básicamente existen dos tipos de devanados de la armadura: devanado imbricado y devanado ondulado. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conmutador Está montado sobre la flecha de la máquina y se conforma por segmentos o delgas de cobre aislados entre sı́. Cada terminal del devanado de armadura se conecta a un segmento del conmutador [1]. El conmutador juega un papel importante en una máquina de CD. Cuando la máquina opera como generador, el conmutador rectifica el voltaje generado de AC a CD. Si la máquina opera como motor, el conmutador modifica las conexiones del devanado de armadura de tal forma que los polos magnéticos de la armadura no se muevan conforme gira el rotor. A medida que gira la armadura el polo norte gira con ella hasta que la escobilla contacta el siguiente segmento del conmutador, por lo que el polo regresa a su lugar Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Escobillas Están fabricadas de carbón para evitar el rozamiento y reducir el calentamiento. Se colocan sobre los segmentos de cobre de manera que el circuito del rotor quede conectado a un circuito estacionario [1]. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Posición neutra de las escobillas La posición neutra, conocida también zona neutra o plano neutro, es un concepto de gran importancia en el estudio de las máquinas de CD. Se dice que las escobillas están en la posición neutra cuando se encuentran colocadas sobre el conmutador de modo que pongan en cortocircuito aquellas bobinas cuyo voltaje inducido sea momentáneamente cero. Siempre se debe ajustar las escobillas de modo que estén en contacto con las bobinas que se encuentran momentáneamente en la posición neutra. Si las escobillas se mueven de la posición neutra, se reduce el voltaje generado y se producen chispas que, a largo plazo conllevan a la reducción significativa de la vida útil de la escobilla, al deterioro de los segmentos de conmutación, a un gran incremento en los costos de mantenimiento y a la perturbación del buen funcionamiento de la máquina. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Reacción de armadura Cuando se conecta una carga a las terminales de la máquina fluye corriente en el devanado de armadura. Esta corriente produce su propio campo magnético que distorsiona el campo magnético original producido por los polos de la máquina. Esta distorsión de flujo en la máquina, al incrementarse la carga, se conoce como reacción de armadura. Este fenómeno causa dos problemas severos en las máquinas de CD: desplazamiento de la posición neutra y debilitamiento de campo [2, 3]. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Reacción de armadura En la Figura 2, se muestra el ejemplo del debilitamiento del flujo, el cual es la disminución del flujo promedio total bajo la cara polar completa. Figura: Debilitamiento del flujo promedio total debido a la reacción de armadura [3]. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Análisis de las Máquinas de CD en estado estable La distribución de flujo magnético en el entrehierro que crea el devanado de campo es simétrica con respecto a la lı́nea de centro de los polos de campo, a la que se le llama eje de campo o eje directo. Como se mencionó anteriormente, la combinación conmutador-escobillas forma un rectificador mecánico que origina un voltaje de CD en las terminales del devanado de armadura, ası́ como una onda de fuerza magnetomotriz (fmm, por sus siglas en inglés) que está fija en el espacio. El eje de la onda de f mm de la armadura, llamado eje de cuadratura, está a 90◦ eléctricos del eje directo. En la Figura 3 se muestra la representación esquemática de una máquina de CD. M Campo Armadura Figura: Representación esquemática de una máquina de CD. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Onda de fuerza magnetomotriz del devanado de armadura La onda de fuerza magnetomotriz del devanado de armadura de una máquina de CD se aproxima a la forma de una onda diente de sierra. Su valor máximo es [2]: Fa = Na ia P (1) Ca 2m (2) Na = donde: Ca = número total de conductores en el devanado de armadura P = número de polos ia = corriente en el devanado de armadura m= número de trayectorias paralelas por el devanado de armadura Mediante el desarrollo de la serie de Fourier de la onda diente de sierra, el valor máximo fundamental espacial es [2]: Fa,max = 8 Na ia π2 P (3) Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Par en una máquina de CD El par en una máquina de CD, considerando que sus ejes magnéticos están a 90◦ , se puede expresar en términos de la interacción del flujo por polo φd en el eje directo del entrehierro y de la componente fundamental espacial de la onda de f mm en la armadura Fa,max . Se tiene entonces: T = π 2 P 2 2 φd Fa,max (4) Sustituyendo la Ec. 3 en 4, se tiene lo siguiente: T = P Ca φd ia = Ka φd ia 2πm (5) donde: P Ca 2πm Ka es una constante fijada por el diseño del devanado. Ka = (6) Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Voltaje generado en la armadura La forma de onda del voltaje rectificado ea que se genera en el devanado de armadura para una bobina única se muestra en la Figura 4. En la misma Figura 4 se muestra el efecto de distribuir el devanado en varias ranuras, en las que cada una de las ondas senoidales rectificadas corresponde al voltaje que se genera en una de las bobinas y la conmutación se efectúa en el momento en el que los lados de la bobina están en la posición neutra. Voltaje [V] Voltajes rectificados y resultante entre escobillas Voltajes rectificados ea Tiempo t [s] Figura: Voltajes rectificados de bobina y voltaje resultante entre escobillas en una máquina de CD. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Voltaje generado en la armadura El voltaje que se genera desde el punto de vista de las escobillas, es la suma de los voltajes rectificados de todas las bobinas en serie. El voltaje rectificado ea entre escobillas, conocido también como voltaje por velocidad, es: P Ca φd ωm = Ka φd ωm (7) 2πm De acuerdo con la Ec. 5 y multiplicando a ea por ia , se tiene lo siguiente: ea = ea ia = T ωm (8) La Ec. 8 indica que la potencia eléctrica instantánea asociada con el voltaje por velocidad es igual a la potencia mecánica instantánea relacionada con el par magnético. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Curva de Magnetización Es común expresar la curva de magnetización en términos del voltaje generado en la armadura ea0 a una velocidad constante ωm0 , debido a que la corriente de campo es proporcional a la f mm y el voltaje generado es directamente proporcional al flujo por la velocidad. El voltaje ea para un flujo dado a cualquier otra velocidad ωm es proporcional a la velocidad, es decir: ea ea0 = Ka φd = ωm ωm0 (9) o bien: ea = ωm ea0 ωm0 (10) Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexiones de las máquinas de CD Las ventajas de las máquinas de CD se deben a la amplia variedad de caracterı́sticas de funcionamiento que se pueden obtener mediante la selección del método de excitación de los devanados de campo, el cual influye de manera significativa en las caracterı́sticas de estado estable y en el comportamiento dinámico de la máquina de CD. Los devanados de campo pueden ser de excitación separada o bien pueden ser autoexcitados. Es importante mencionar que cualquiera de los métodos de excitación del devanado de campo se pueden emplear tanto para generadores como para motores. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión excitación separada Una máquina de CD de excitación separada es aquella cuya corriente de campo es suministrada por una fuente externa de voltaje de CD. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 5. Motor Armadura Generador Lf Rf If + Vf - Ra + Ia=Il + G Ea Vt - Campo Figura: Conexión excitación separada. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión excitación separada Las ecuaciones que rigen el comportamiento de la conexión excitación separada como motor y generador son las siguientes: Ia = Il (11) Vt = Ea ± Ia Ra (12) Vf = If Rf (13) En la Ec. 12 se utiliza el signo + cuando la máquina opera como motor. Por el contrario, cuando opera como generador se utiliza el signo -. donde: If = corriente en el devanado de campo. Ia = corriente en el devanado de armadura. Il = corriente en la carga. Vf = voltaje del devanado de campo. Rf = resistencia del devanado de campo. Lf = inductancia del devanado de campo. Ra = resistencia del devanado de armadura. Ea = voltaje generado en el devanado de armadura. Vt = voltaje en terminales del devanado de armadura. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión serie Se llama serie porque el devanado de campo está conectado en serie con el devanado de armadura. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 6. Motor Armadura Generador Ra Campo Serie Rs Ls + + G - Ea Ia=Is=Il Figura: Conexión serie. Vt - Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión serie Las ecuaciones que rigen el comportamiento de la conexión en serie como motor y generador son las siguientes: Ia = Is = Il (14) Vt = Ea ± Ia (Ra + Rs ) (15) En la Ec. 15 se utiliza el signo + cuando la máquina opera como motor. Por el contrario, cuando opera como generador se utiliza el signo -. donde: Is = corriente en el devanado de campo serie. Ia = corriente en el devanado de armadura. Il = corriente en la carga. Rs = resistencia del devanado de campo serie. Ls = inductancia del devanado de campo serie. Ra = resistencia del devanado de armadura. Ea = voltaje generado en el devanado de armadura. Vt = voltaje en terminales del devanado de armadura. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión en paralelo Se llama en paralelo porque el devanado de campo está conectado en paralelo con el devanado de armadura. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 7. Ra Motor + Ia Rf + G Ea If - Lf Campo Shunt Armadura Generador Il Vt - Figura: Conexión en paralelo. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión en paralelo Las ecuaciones que rigen el comportamiento de la conexión en paralelo, como motor y generador, son las siguientes: Ia = Il ± If (16) Vt = Ea ± Ia Ra (17) Vt = If Rf (18) En la Ec. 16 se utiliza el signo - cuando la máquina opera como motor. Por el contrario, cuando opera como generador se utiliza el signo +. Por su parte, en la Ec. 17 se utiliza el signo + cuando la máquina opera como motor. Si opera como generador se utiliza el signo -. donde: If = corriente en el devanado de campo en paralelo o shunt. Ia = corriente en el devanado de armadura. Il = corriente en la carga. Rf = resistencia del devanado de campo en paralelo o shunt. Lf = inductancia del devanado de campo en paralelo o shunt. Ra = resistencia del devanado de armadura. Ea = voltaje generado en el devanado de armadura. Vt = voltaje en terminales del devanado de armadura. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta Una máquina de CD compuesta o compound es una máquina que cuenta con campo serie y campo en paralelo conectados de tal manera que las f mm de los dos campos se sumen o se resten. Comúnmente se conectan para que se sumen las f mm. Además, la forma en que se conectan estos devanados de campo al devanado de armadura permite clasificar a la conexión compuesta de la manera siguiente: 1 Compuesta corta acumulativa. 2 Compuesta corta diferencial. 3 Compuesta larga acumulativa. 4 Compuesta larga diferencial. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta corta acumulativa En esta conexión las f mm de los devanados de campo serie y en paralelo se suman. El devanado de campo en paralelo se conecta directamente al devanado de armadura. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 8. Campo Serie Rs Ls Motor Generador Ra Ia Rf + G Ea If - Lf Campo Shunt Armadura + Il=Is Vt - Figura: Conexión compuesta corta acumulativa. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta corta diferencial En esta conexión las f mm de los devanados de campo serie y en paralelo se restan. El devanado de campo en paralelo se conecta directamente al devanado de armadura. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 9. Campo Serie Rs Ls Motor Generador Ra Ia Rf + G Ea If - Lf Campo Shunt Armadura + Il=Is Vt - Figura: Conexión compuesta corta diferencial. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta larga acumulativa En esta conexión las f mm de los devanados de campo serie y en paralelo se suman. El devanado de campo en paralelo se conecta en paralelo con la carga. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 10. Motor Ra Generador Campo Serie Rs Ls Rf Ia=Is + G - Ea If Lf Campo Shunt Armadura + Il Vt - Figura: Conexión compuesta larga acumulativa. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta larga diferencial En esta conexión las f mm de los devanados de campo serie y en paralelo se restan. El devanado de campo en paralelo se conecta en paralelo con la carga. El circuito equivalente de esta conexión, cuando la máquina opera como motor o generador, se muestra en la Figura 11. Motor Ra Generador Campo Serie Rs Ls Rf Ia=Is + G - Ea If Lf Campo Shunt Armadura + Il Vt - Figura: Conexión compuesta larga diferencial. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta Existen dos diferencias fundamentales en los circuitos equivalentes. La primera, y como se mencionó anteriormente, es la ubicación del devanado de campo paralelo. La segunda, es la ubicación de los puntos en las bobinas de cada devanado que tienen que ver con la regla del punto en los circuitos acoplados magnéticamente [4, 5]. En los casos acumulativos, la corriente entra por la terminal marcada con punto de la bobina de campo serie y de la bobina de campo paralelo. En los casos diferenciales, la corriente entra por la terminal marcada con punto de la bobina de campo serie y sale de la terminal marcada con punto de la bobina de campo paralelo. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta En las máquinas de CD de conexión compuesta, operando como generador o motor, la f mm neta está dada por: Fneta = Ff ± Fs − Fa r De donde se obtiene la corriente equivalente efectiva del campo lelo: If⋆ = If ± Ns Fa r Ia − Nf Nf (19) If⋆ en para- (20) El signo positivo de la Ec. 19 y 20 está asociado con una conexión acumulativa. Mientras que, el signo negativo se asocia con una conexión diferencial. donde: Fneta = es la f mm neta de la máquina. Fa = es la f mm de la reacción de armadura. Ff = es la f mm del devanado de campo en paralelo. Fs = es la f mm del devanado de campo en serie. If = corriente en el devanado de campo en paralelo. Ia = corriente en el devanado de armadura. Nf = número de vueltas del devanado de campo en paralelo. Ns = número de vueltas del devanado de campo en serie. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta Las ecuaciones que rigen el comportamiento de la conexión compuesta larga, como motor y generador, son las siguientes: Ia = Is (21) Ia = Il ± If (22) Vt = Ea ± Ia (Ra + Rs ) (23) Vt = If Rf (24) En la Ec. 22 se utiliza el signo - cuando la máquina opera como motor. Por el contrario, cuando opera como generador se utiliza el signo +. Por su parte, en la Ec. 23 se utiliza el signo + cuando la máquina opera como motor. Si opera como generador se utiliza el signo -. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Conexión compuesta Las ecuaciones que rigen el comportamiento de la conexión compuesta corta, como motor y generador, son las siguientes: Il = Is (25) Ia = Il ± If (26) Ea = If Rf ± Ia Ra (27) Vt = If Rf ± Is Rs (28) En la Ec. 26 y 27 se utiliza el signo - cuando la máquina opera como motor. Por el contrario, cuando opera como generador se utiliza el signo +. Por su parte, en la Ec. 28 se utiliza el signo + cuando la máquina opera como motor y el signo - cuando opera como generador. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Pérdidas en una máquina de CD La ley de la conservación de la energı́a establece que la potencia de entrada debe ser siempre igual a la potencia de salida más las pérdidas en la máquina. A continuación se enlistan las pérdidas en una máquina de CD. Pérdidas mecánicas: son resultado de la fricción entre los cojinetes y el eje, entre las escobillas y el conmutador, y la pérdida por viento. Pérdidas magnéticas: son resultado de las pérdidas por histéresis y por corrientes de Eddy. Pérdidas por rotación: es la suma de las pérdidas mecánicas y magnéticas. Pérdidas en el cobre: son resultado de que una corriente fluya a través de un conductor. Se conocen también como pérdidas eléctricas o por efecto Joule. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Diagrama de flujo de potencia para un generador de CD autoexcitado Pr Pin=Tinwm Pco Po=VtIl Pd=EaIa=Tdwm Figura: Diagrama de flujo de potencia para generador. donde: Pin = potencia de entrada. Po = potencia de salida. Pd = potencia desarrollada. Peléc = potencia eléctrica. Pmec = potencia mecánica. Pr = pérdidas por rotación. Pf = potencia en el devanado de campo. Pco = pérdidas en el cobre. Pcof = pérdidas en el cobre del devanado de campo. Tin = par de entrada. To = par de salida. Td = par desarrollado. ωm = velocidad angular. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Diagrama de flujo de potencia para un motor de CD autoexcitado Pco Pin=VtIl Pr Po=Towm Pd=EaIa=Tdwm Figura: Diagrama de flujo de potencia para motor. donde: Pin = potencia de entrada. Po = potencia de salida. Pd = potencia desarrollada. Peléc = potencia eléctrica. Pmec = potencia mecánica. Pr = pérdidas por rotación. Pf = potencia en el devanado de campo. Pco = pérdidas en el cobre. Pcof = pérdidas en el cobre del devanado de campo. Tin = par de entrada. To = par de salida. Td = par desarrollado. ωm = velocidad angular. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Diagrama de flujo de potencia para un generador de CD con excitación separada Pf=VfIf Pin=Pf + Pmec Pmec=Tinwm Pr Pd=EaIa=Tdwm Pco Po=VtIl Figura: Diagrama de flujo de potencia para generador. donde: Pin = potencia de entrada. Po = potencia de salida. Pd = potencia desarrollada. Peléc = potencia eléctrica. Pmec = potencia mecánica. Pr = pérdidas por rotación. Pf = potencia en el devanado de campo. Pco = pérdidas en el cobre. Pcof = pérdidas en el cobre del devanado de campo. Tin = par de entrada. To = par de salida. Td = par desarrollado. ωm = velocidad angular. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Diagrama de flujo de potencia para un motor de CD con excitación separada Pcof+ Pco Pin=Pf + Peléc Pd=EaIa=Tdwm Pr Po=Towm Figura: Diagrama de flujo de potencia para motor. donde: Pin = potencia de entrada. Po = potencia de salida. Pd = potencia desarrollada. Peléc = potencia eléctrica. Pmec = potencia mecánica. Pr = pérdidas por rotación. Pf = potencia en el devanado de campo. Pco = pérdidas en el cobre. Pcof = pérdidas en el cobre del devanado de campo. Tin = par de entrada. To = par de salida. Td = par desarrollado. ωm = velocidad angular. Máquinas de CD Componentes básicos Posición neutra de las escobillas Reacción de armadura Análisis de las Máqui Referencias P. C. Krause, O. Wasynczuk, S. D. Sudhoff, and S. Pekarek, Analysis of electric machinery and drive systems. John Wiley & Sons, 2013, vol. 75. A. E. Fitzgerald, C. Kingsley, S. D. Umans, J. Y. Milanés, and R. N. 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