Análisis Comparativo de Estrategias de Modelado de Placas para la

Capítulo 5
Placa de Composite Sometida a Presión
Uniforme
5.1.
Solución de Referencia
Las ecuaciones obtenidas en la sección del apéndice B.2 se introducen en el programa de cálculo
numérico Matlab, haciéndo uso de un módulo que permite resolver ecuaciones de forma simbólica, no
numérica, y despejando a posteriori los valores que son conocidos. Los resultados obtenidos se pueden
encontrar en la tabla comparativa del final del capítulo.
Solución analítica, Ensayo de Presión Uniforme, Material Compuesto
Desplazamiento w (mm)
25
20
15
10
5
0
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
Variable x (mm)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Variable y (mm)
Figura 5.1.1: Desplazamiento w. Solución analítica, composite, presión uniforme
39
5.2. ESTRATEGIAS DE MODELADO
Solución Analítica, Ensayo de Presión Uniforme, Material Compuesto
300
250
200
σ11 (MPa)
150
100
50
0
−50
−100
−150
−200
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
Variable x (mm)
60
80
100
120
140
160
180
200
Variable y (mm)
Figura 5.1.2: Tensión σ11 en la lámina 1. Solución analítica, composite, presión uniforme
5.2.
5.2.1.
Estrategias de Modelado
Estudio del tamaño idóneo de malla
Es necesario realizar una consideración inicial, al efectuar un modelo continuum shell o solid, es muy
importante comprobar que no aparezcan incoherencias debido a que la malla y la geometría de los laminados no coincidan. Esto no sucede en los modelos shell, puesto que el espesor va introducido en las
propiedades de la sección y no en la geometría del modelo.
La solución por la que se ha optado, buscando siempre la fácil automatización, consiste en dividir la
geometría sólida en el espesor allí donde haya cambio de láminas, es decir, en este caso particular se divide
en siete partes el espesor, esto se muestra en la figura 5.2.1.
Shell. Las figuras 5.2.2 y 5.2.3 muestran los resultados al variar el tamaño de la malla shell. Al
tratarse de un problema más complejo, y al ser la solución analítica una aproximación propuesta por
Lévy1 , es lógico que el error relativo no tienda exactamente al valor nulo, aún así el error se mantiene por
debajo del 1 % como se exige en la metodología empleada. Nótese que las tensiones están expresadas en
ejes locales, dónde la dirección 1 representa la dirección de la fibra, respecto de la cuál se calcula el error
relativo. Una vez más, las escalas están tomadas en intervalos muy pequeños, así que se aconseja prestar
atención a los ejes y.
1
Se han utilizado los primeros cinco términos del desarrollo de Lévy, dónde se ha considerado que la solución es suficientemente convergente
40
5.2. ESTRATEGIAS DE MODELADO
Figura 5.2.1: Detalle de la división realizada en los modelos solid y continuum shell
Ensayo de Presión, Shell
273
Tensión |σ11|max (MPa)
272
S4R
S4
S4R5
Referencia
271
270
269
268
267
3
4
10
10
Elementos
Figura 5.2.2: Tensión máxima σ11 . Modelo shell, composite, presión uniforme
41
5.2. ESTRATEGIAS DE MODELADO
Ensayo de Presión, Conventional Shell
26.1
(MPa)
26
Tensión |σ |
22 max
25.9
S4R
S4
S4R5
Referencia
25.8
25.7
25.6
25.5
2
10
3
4
10
10
Elementos
Figura 5.2.3: Tensión máxima σ22 . Modelo shell, composite, presión uniforme
Sólido. Ya se ha estudiado la viabilidad de las distintas opciones en el cápitulo 4, por ello, en adelante
solo se hace uso de los elementos sólidos C3D8I y C3D20R. La figuras 5.2.4 y 5.2.5, muestran las tensiones
principales en ejes locales, según la dirección 1 y 2.
Ensayo de Presión, Composite, Modelo Sólido − C.Shell
275.5
1 Capa ABAQUS C3D8I
2 Capas ABAQUS C3D8I
1 Capa ABAQUS C3D20R
2 Capas ABAQUS C3D20R
1 Capa ABAQUS SC8R
2 Capas ABAQUS SC8R
Referencia analítica
Tensión |σ
|
XX max
(MPa)
275
274.5
274
273.5
273
272.5
272
271.5
271
3
10
Elementos por capa
Figura 5.2.4: Tensión máxima σ11 . Modelo solid, composite, presión uniforme
42
5.2. ESTRATEGIAS DE MODELADO
Ensayo de Presión, Composite, Modelo Sólido − C.Shell
26.8
26.4
Tensión |σ
|
YY max
(MPa)
26.6
26.2
26
1 Capa ABAQUS C3D8I
2 Capas ABAQUS C3D8I
1 Capa ABAQUS C3D20R
2 Capas ABAQUS C3D20R
1 Capa ABAQUS SC8R
2 Capas ABAQUS SC8R
25.8
25.6
2
10
3
10
Elementos por capa
Figura 5.2.5: Tensión máxima σ22 . Modelo solid, composite, presión uniforme
Las tensiones transversales principales se muestran en la gráfica 5.2.6, en la cuál se observa que el
elemento C3D20R converge de forma más rápida. Es necesario comentar que las tensiones σ33 han sido
calculadas en el centro de la placa (x, y) = (0, 0), suficientemente lejos de los bordes, dónde se aplican las
condiciones de contorno.
Ensayo de Presión, Composite, Modelo Sólido − C.Shell
0.2
1 Capa ABAQUS C3D8I
2 Capas ABAQUS C3D8I
1 Capa ABAQUS C3D20R
2 Capas ABAQUS C3D20R
1 Capa ABAQUS SC8R
2 Capas ABAQUS SC8R
Referencia Analítica
Tensión |σ |
ZZ max
(MPa)
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2
10
3
10
Elementos por capa
Figura 5.2.6: Tensión máxima σ33 . Modelo solid, composite, presión uniforme
En cuanto a las tensiones transversales tangenciales, se calculan en un punto arbitrario (x, y) =
(a/4, a/4); ya que al tratarse de un material laminado y existir un borde libre, los resultados de dichas
tensiones se hacen infinitas en dicha zona. Los resultados análiticos son complicados de obtener, por lo que
ha sido necesario comprobar los resultados obtenidos para más de una capa en espesor por cada lámina
de material compuesto, ver figuras 5.2.7, 5.2.8.
43
5.2. ESTRATEGIAS DE MODELADO
Ensayo de Presión, Composite, Modelo Sólido − C.Shell
3
1 Capa ABAQUS C3D8I
2 Capas ABAQUS C3D8I
1 Capa ABAQUS C3D20R
2 Capas ABAQUS C3D20R
1 Capa ABAQUS SC8R
2 Capas ABAQUS SC8R
Tensión τ
13
(MPa)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
3
10
Elementos por capa
Figura 5.2.7: Tensión τ13 . Modelo solid, composite, presión uniforme
Ensayo de Presión, Composite, Modelo Sólido − C.Shell
2
1.8
Tensión τ
23
(MPa)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 Capa ABAQUS C3D8I
2 Capas ABAQUS C3D8I
1 Capa ABAQUS C3D20R
2 Capas ABAQUS C3D20R
1 Capa ABAQUS SC8R
2 Capas ABAQUS SC8R
0
2
10
3
10
Elementos por capa
Figura 5.2.8: Tensión τ23 . Modelo solid, composite, presión uniforme
5.2.2.
Modelo shell-solid-shell
A priori parece más razonable y adecuado hacer uso del modelo shell-solid-shell en este caso, esto se
debe a que la geometría del modelo sólido ya está dividida, basta con modelar una de las láminas con
elementos sólidos, y el resto con elementos shell. De este modo, se obtienen las tensiones transversales en
una de las capas, y se ahorra en tiempo de computación respecto al modelo de elementos sólidos.
El estudio de sensibilidad en este caso concreto se limita a utilizar como capa de sólidos diferentes
láminas, sin variar por tanto el espesor de la capa. Se presentan en las figuras 5.2.9, 5.2.10 y 5.2.11, las
tensiones obtenidas para diferentes configuraciones, en concreto con el modelado de las láminas 2, 3, 4 y
5 con elementos sólidos2 .
2
Al utilizar las demás láminas los resultados divergen apreciablemente
44
5.2. ESTRATEGIAS DE MODELADO
Ensayo de Presión, Composite, modelo Shell−Solid−Shell
276
Tensión |σ11|max (MPa)
274
272
270
268
266
264
262
Lámina 2 C3D8I
Lámina 3 C3D8I
Lámina 4 C3D8I
Lámina 5 C3D8I
Lámina 4 C3D20R
Referencia analítica
260
2
10
3
4
10
10
Elementos por capa
Figura 5.2.9: Tensión máxima σ11 . Modelo shell-solid-shell, composite, presión uniforme
Ensayo de Presión, Composite, modelo Shell−Solid−Shell
27
Tensión |σ |
22 max
(MPa)
26.5
26
25.5
25
24.5
24
2
10
Lámina 2 C3D8I
Lámina 3 C3D8I
Lámina 4 C3D8I
Lámina 5 C3D8I
Lámina 4 C3D20R
Referencia analítica
3
4
10
10
Elementos por capa
Figura 5.2.10: Tensión máxima σ22 . Modelo shell-solid-shell, composite, presión uniforme
45
5.3. RESULTADOS
Ensayo de Presión, Composite, modelo Shell−Solid−Shell
0.01
Tensión σ
Zmin
(MPa)
0.005
0
Lámina 2 C3D8I
Lámina 3 C3D8I
Lámina 4 C3D8I
Lámina 5 C3D8I
Lámina 4 C3D20R
Mínimo absoluto teórico
Máximo absoluto teórico
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
−0.03
2
10
3
4
10
10
Elementos por capa
Figura 5.2.11: Tensión máxima σ33 . Modelo shell-solid-shell, composite, presión uniforme
Tras observar la lenta convergencia que presenta el elemento C3D20R, se ha descartado su utilización,
haciendo uso en el caso multiparte del elemento sólido C3D8I, como ya sucedió con anterioridad. La figura
5.2.11 muestra los resultados de las tensiones transversales normales, la convergencia cuando la capa de
elementos sólidos esta centrada (lámina 4) es más rápida.
5.3.
Resultados
El cuadro 5.1 sirve de comparación de las diferentes estrategias. Deben hacerse ciertas consideraciones,
Una vez más, los resultados entre paréntesis indican que son resultados obtenidos por postprocesado.
Los resultados con asterisco, señalan que los resultados dependen de la lámina seleccionada para
modelarla con elementos sólidos al seguir la estrategia shell-solid-shell. Es por ello que los valores
máximos no coinciden con los obtenidos en el modelo sólido, así por ejemplo los valores máximos de
las tensiones tangenciales transversales τyz se alcanzan en la lámina 5.
46
5.3. RESULTADOS
Estrategia
Analítico
Elemento
Elementos por capa
Capas
Lámina modelada sólido
Elementos totales
Nodos por elemento
G.D.L./Nodo
Ts (seg)
|u|max (mm)
|σx |max (M P a)
|σy |max (M P a)
|τxy |max (M P a)
|τxz (a/4, a/4)|max (M P a)
|τyz (a/4, a/4)|max (M P a)
|σz (0, 0)|max (kP a)
22.567
271.43
25.73
40.94
20
Conventional
Shell
S4R
900
900
4
6
8.64
23.35
269.4
25.98
40.25
(0.201)
(0.540)
(22.57)
Continuum
Shell
SC8R
3600
7
25200
8
3
30.50
22.93
273.35
26.33
41.28
0.461
0.665
51.7
Solid
Shell-Solid-Shell
C3D20R
3600
7
25200
20
3
188.06
22.94
273.49
26.37
41.57
0.510
0.466
20
C3D8I
2500
1
S4R
2500
-
4
3
4
6
4
7500
19.05
23.66
270.8
26.11
42.43
0.480
0.289*
10.6*
Cuadro 5.1: Comparativa de resultados. Composite, presión uniforme
5.3.1.
Evolución de las tensiones en el espesor
Al tratarse de un material compuesto laminado, las tensiones a lo largo del espesor serán discontinuas
en la separación de las láminas con diferentes orientaciones. En las figuras 5.3.1, 5.3.2 y 5.3.3, se exponen
las tensiones obtenidas en diversos puntos de la placa.
Comparación de tensiones a lo largo del espesor, punto x,y=(0,0)
1
Analítico
Modelo Shell
Modelo Sólido
Modelo Continuum Shell
Modelo Shell−Solid−Shell
0.8
0.6
0.4
t (mm)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−300
−200
−100
0
σ11 (MPa)
100
200
Figura 5.3.1: Distribución de σxx en el espesor. Composite, presión uniforme
47
300
5.3. RESULTADOS
Comparación de tensiones a lo largo del espesor, punto x,y=(0,0)
1
Analítico
Modelo Shell
Modelo Sólido
Modelo Continuum Shell
Modelo Shell−Solid−Shell
0.8
0.6
0.4
t (mm)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−30
−20
−10
0
10
σ22 (MPa)
20
30
Figura 5.3.2: Distribución de σyy en el espesor. Composite, presión uniforme
Comparación de tensiones a lo largo del espesor, punto x,y=(a/2,0)
1
Analítico
Modelo Shell
Modelo Sólido
Modelo Continuum Shell
Modelo Shell−Solid−Shell
0.8
0.6
0.4
t (mm)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−50
−40
−30
−20
−10
0
τ12 (MPa)
10
20
30
40
50
Figura 5.3.3: Distribución de τxy en el espesor. Composite, presión uniforme
Y las tensiones transversales a lo largo del espesor, mostradas en las figuras 5.3.4, 5.3.5 y 5.3.6.
Comparación de tensiones a lo largo del espesor, punto x,y=(0,0)
1
Modelo Sólido
Modelo Continuum Shell
Modelo Shell−Solid−Shell
0.8
0.6
0.4
t (mm)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.06
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
σ33 (MPa)
0
0.01
0.02
0.03
Figura 5.3.4: Distribución de σzz en el espesor. Composite, presión uniforme
48
0.04
5.3. RESULTADOS
Comparación de tensiones a lo largo del espesor, punto x,y=(a/4,a/4)
1
0.8
0.6
0.4
t (mm)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Modelo Sólido
Modelo Continuum Shell
Modelo Shell−Solid−Shell
−0.8
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
σ13 (MPa)
0
0.2
0.4
0.6
Figura 5.3.5: Distribución de τxz en el espesor. Composite, presión uniforme
Comparación de tensiones a lo largo del espesor, punto x,y=(a/4,a/4)
1
Modelo Sólido
Modelo Continuum Shell
Modelo Shell−Solid−Shell
0.8
0.6
0.4
t (mm)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
σ23 (MPa)
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Figura 5.3.6: Distribución de τyz en el espesor. Composite, presión uniforme
5.3.2.
Conclusiones
Comparado con lo visto en el capítulo 4, en este caso sí que es razonable la utilización de la estrategia
shell-solid-shell, permite resultados suficientemente precisos en la obtención de tensiones, a la vez
que provoca una acusada disminución del tiempo de simulación. Los resultados globales tienden a
empeorar a medida que se descentra la capa de sólido. Esto tiene una consecuencia directa, a más
descentramiento de la capa de sólido, se requiere un mallado más fino para lograr buenos resultados,
es por ello que a partir de ahora se considera que la actuación del modelo shell-solid-shell es óptima
cuando el sólido está centrado.
Las estrategias solid y continuum shell, exigen un tiempo de computación muy alto, obteniendo resultados precisos al hacer uso del modelado solid. En cuanto a la estrategia de modelado conventional
shell, los resultados son buenos y poco costosos, pero como ya se ha comentado requieren tareas de
49
5.3. RESULTADOS
postprocesado.
Se recomendaría la utilización de una estrategia de modelado shell-solid-shell para problemas de
este tipo, placas de material compuesto con un número considerable de láminas. De este modo se
requiere sólo de una capa de elementos sólidos, y dos de elementos conventional shell, para aproximar
las tensiones transversales en alguna lámina concreta. En caso de necesitar las tensiones transversales
en todas las láminas se aconseja el uso de la estrategia de modelado con elementos sólidos.
La estrategia continuum shell no aproxima bien las tensiones transversales al plano σzz , aunque las
tensiones en el plano sí son aproximadas de forma precisa.
50
Capítulo 6
Placa Metálica Sometida a Post-pandeo
6.1.
Solución de Referencia
En este caso no se dispone de solución analítica, aunque existen diversos métodos pseudoanalíticos que
pueden aplicarse bajo determinadas condiciones de contorno [3]. Se tomará como referencia un resultado
del modelado sólido para el cuál el valor del error relativo sea inferior al uno por mil.
En las figuras 6.1.1, 6.1.2 y 6.1.3, se muestran los resultados obtenidos de las simulaciones. Se incluyen
en las gráficas los resultados al utilizar el elemento continuum shell, puesto que así se comparan las
estimaciones obtenidas de las tensiones transversales.
Ensayo de Pandeo, Metálico, Modelo Sólido
400
399
Tensión |σXX| (MPa)
398
397
396
395
394
393
392
391
2 Capas ABAQUS C3D8I
4 Capas ABAQUS C3D8I
2 Capas ABAQUS C3D20R
4 Capas ABAQUS C3D20R
2 Capas ABAQUS SC8R
4 Capas ABAQUS SC8R
390
4
10
Elementos por Capa
Figura 6.1.1: Tensión máxima σxx . Modelo solid, metálico, post-pandeo
51