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Los “picos” como
extremos en el
cálculo diferencial
de funciones
Pablo García y Colomé
f ( x0 ) = máximo
f ( x0 ) = máximo
relativo
y
f
a
y
f ' ( x0 ) = 0
x0
relativo
f ' ( x0 ) → ∞
f
b
x
a
Pablo García y Colomé
x0
b
x
y
f ( x0 ) = mínimo
y
relativo
f ' ( x0 ) = 0
a
x0
f
b
f ( x0 ) = mínimo
relativo
f ' ( x0 ) → ∞
x
a
Pablo García y Colomé
x0
f
b
x
y
f ' ( x0 ) = 0
y f ' ( x0 ) → ∞
asíntota
f
f
a
x0
b
x
a
x0
b
∴ no hay máximos ni mínimos relativos
Pablo García y Colomé
x
x
DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de
la variable independiente a los valores del eje de
las abscisas donde la derivada es cero o no existe
y
f '( x) = 0
f '( x) = 0
Mr
f '( x) = 0
f '( x) → ∞
f
no hay
no hay
m r (pico )
asíntota
x
Pablo García y Colomé
f ( x) = x + 3x
f ' ( x ) = 1+ 2 x
3
x +2
3
⇒
x
3
−
1
3
f '( x ) =
⇒
=0
x = −2
2
3
⇒
⇒
3
3
x +2
3
x
x +2=0
x = −8
3
x +2
3
x
→∞
⇒
x1 = − 8
3
y
x =0
⇒
x2 = 0
Pablo García y Colomé
x=0
x1 = −8
x = −8
dy
⎧
⎪⎪ x = −9 ⇒ dx = +0.04 > 0
⎨
⎪ x = −1 ⇒ dy = −1 < 0
⎪⎩
dx
;
;
y = −8 + 3 ( − 8 )
2
3
⇒
∴ M r ( −8, 4 )
Pablo García y Colomé
y=4
x2 = 0
;
dy
⎧
⎪⎪ x = −1 ⇒ dx = −1 < 0
⎨
⎪ x = 1 ⇒ dy = +3 > 0
⎪⎩
dx
x=0 ; y=0
∴ m r ( 0,0 )
Pablo García y Colomé
M r ( −8, 4 )
2
3
f ( x) = x + 3x y
x
m r ( 0, 0 )
M r ( −8, 4 )
2
3
f ( x) = x + 3x y
x
m r ( 0, 0 )
M r ( −8, 4 )
2
3
f ( x) = x + 3x y
x
m r ( 0, 0 )
Pablo García y Colomé
2
⎧
x
⎪⎪4 − 2
f ( x) = ⎨
⎪ x +1
⎪⎩ 2
si
x≤2
si
x>2
x<2
f '( x) = −x
; f '( x) = 0 ⇒
x=0
x>2
Pablo García y Colomé
−x=0
Continuidad en x = 2
f ( 2 ) = 2 = lim f ( x )
x →2
Derivabilidad en x = 2
f ( x ) = − x x = 2 = −2 < 0
'
−
;
1
f ( x) = > 0
2
'
+
x1 = 0
x=0
x=2
y
x2 = 2
⇒
dy
⎧
⎪⎪ x = −1 ⇒ dx = 1 > 0
⎨
⎪ x = 1 ⇒ dy = −1 < 0
⎪⎩
dx
∴ M r ( 0,4 )
⇒
dy
⎧
⎪⎪ x = 1 ⇒ dx = −1 < 0
⎨
⎪ x = 3 ⇒ dy = 1 > 0
⎪⎩
dx 2
∴ m r ( 2, 2 )
y
M r ( 0,4 )
⎧
x2
⎪⎪4 −
2
f ( x) = ⎨
⎪ x +1
⎪⎩ 2
si
x≤2
si
x>2
m r ( 2,2 )
x
3 2
y = x −1
4
(
dy 1 2
x −1
=
dx 2
(
dy
=0
dx
dy
→∞
dx
)
⇒
⇒
x1 = −1 ;
−
1
3
⋅ 2x
)
⇒
x
(
(
)
x2 − 1
1
3
x=0
−1 = 0
⇒
x = ±1
)
1
3
1
3
x2 = 0 ;
Pablo García y Colomé
x
⇒
)
(x
dy
=
dx
=0
x2 − 1
2
2
3
x3 = 1
dy
=
dx
x
(x
2
)
−1
1
3
dy
⎧
2
0
x
=
−
⇒
<
⎪⎪
dx
x1 = −1 ⎨
∴ mr ( −1,0 )
⎪ x = −0.5 ⇒ dy > 0
⎪⎩
dx
Pablo García y Colomé
dy
=
dx
x2 = 0
x
(x
2
)
−1
1
3
dy
⎧
0.5
0
x
=
−
⇒
>
⎛ 3⎞
⎪⎪
dx
∴ Mr ⎜ 0, ⎟
⎨
⎝ 4⎠
⎪ x = 0.5 ⇒ dy < 0
⎪⎩
dx
Pablo García y Colomé
dy
=
dx
x
(x
2
)
−1
1
3
dy
⎧
⎪⎪ x = 0.5 ⇒ dx < 0
∴ mr (1,0 )
x3 = 1 ⎨
⎪ x = 2 ⇒ dy > 0
⎪⎩
dx
Pablo García y Colomé
y
2
3 2
y=
x −1 3
4
(
)
⎛ 3⎞
Mr ⎜ 0, ⎟
⎝ 4⎠
mr ( −1,0 )
mr (1,0 )
x
5
3
y = x − 6x
2
3
dy 5
= x − 4x
dx 3
dy
=0
dx
dy
→∞
dx
5 x − 12
⇒
1
3
⇒
−
3x
x1 = 0
dy 5 x − 12
=
1
dx
3x 3
⇒
=0
3x
5 x − 12
1
3
1
3
⇒
→∞
y
2
3
5 x − 12 = 0
⇒
1
3
3x = 0
12
x2 =
5
⇒
12
x=
5
⇒
x=0
dy 5 x − 12
=
1
dx
3x 3
x1 = 0
⇒
12
x2 =
5
⇒
d2 y 10 x − 12
=
2
4
dx
9x 3
dy
⎧
>0
x = −1 ⇒
2
⎪
dy
⎪
dx
→∞ ; ⎨
2
dx
dy
⎪x = 1
⇒
<0
⎪⎩
dx
∴ M r ( 0,0 )
⇒
2
dy
>0
2
dx
⇒
⎞
⎛ 12
mr ⎜ , −6.45 ⎟
⎝ 5
⎠
Pablo García y Colomé
y
M r ( 0,0 )
5
3
y = x − 6x
⎞
⎛ 12
m r ⎜ , −6.45 ⎟
⎝ 5
⎠
2
3
x
Pablo García y Colomé
Cálculo vectorial
Sea una función escalar de variable
vectorial continua z = f ( x , y )
A los puntos donde las primeras
derivadas parciales z x
y
zy
Se anulan o no existen, se les
denomina puntos críticos
2
3
z = f ( x , y ) = ( x − 1) ( y − 4 )
2( y − 4)
2
∂z
=
1
∂x 3 x − 1 3
( )
y
2
∂z
= 2 y ( x − 1)
∂y
{
}
s = (1, y ,0 ) y ∈ \
Pablo García y Colomé
2
3
Pablo García y Colomé