Clase 9

Clase 9
CONSTRUCCION DE SNELL
CONSTRUCCION DE SNELL EN
INCIDENCIA EXTERNA
• Indice de refracción del
medio de incidencia
inferior al de transferencia
• Angulo de transmisión
inferior al de incidencia
rayo pegado a la normal
CONSTRUCCION DE SNELL EN
INCIDENCIA EXTERNA
• Las componentes
horizontales del vector de
onda son iguales
• Existe un máximo del
ángulo de transmisión
incidencia igual a 90º
CONSTRUCCION DE SNELL EN
INCIDENCIA INTERNA
• Indice de refracción del
medio de incidencia
SUPERIOR al de
transferencia
• Angulo de transmisión
SUPERIOR al de
incidencia, rayo pegado a
la FRONTERA
• Angulo Crítico, refracción
sobre frontera
• Incidencia mayor ángulo
critico, solo reflexión
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
•
•
•
Propiedad fundamental:
kx = kx’ = kx’’
Por comodidad, debemos
cambiar a representación:
Los vectores de onda quedan
dados por
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• Recordamos que el Vector de Onda en un medio de índice
“n” es dado por:
• Mientras que el vector de onda en el vacío cumple:
• Se tiene que las componentes en dirección del eje X de los
vectores de onda incidente y reflejado son iguales
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• Introduciendo los valores de magnitud de los vectores de
onda tenemos:
• Que se puede reducir a:
Que es la primera de las leyes de reflexión-refracción
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• De igual forma se puede obtener la ley de Snell-Descartes:
– Las componentes de los vectores de onda incidente y transmitido
cumplen
– Esas componentes conducen a la ley de Snell:
• Sea ko la magnitud del vector de onda en el vacío podemos
expresar la magnitud de los vectores de onda como:
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• Se tiene la expresión:
• Y se toman como conocidos en la expresión de los
vectores de onda de la diapositiva anterior a:
ko, kx, ky, n1 y n2
• Se tiene entonces que las componentes “y” de los vectores
de onda son dadas por:
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• La componente horizontal
de los tres vectores es
idéntica
• Las componentes
verticales del vector de
onda incidente y reflejado
son iguales
• Las componentes
verticales cumplen:
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• Las conclusiones para
incidencia externa son
cumplidas en incidencia
interna hasta que
• Mas allá del ángulo crítico
parecería que no hay onda
transmitida
• Para el ángulo crítico el
haz transmitido tiene un
vector de onda paralelo a
la dioptra
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• Angulo de incidencia mayor que
ángulo crítico no hay rayo
refractado
• La componente horizontal del
vector de onda transmitido k’’,
k’’ “no
existe” porque la intersección de la
vertical bajada desde extremo de k’
y el círculo de los vectores k’’ no
existe
• Cuando θο >θc se cumple:
Kx > ko n2
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• Debido a las relaciones
• La tercera ecuación se convierte en un número
evidentemente imaginario, si definimos
• El campo de la onda transmitida es entonces dado como:
El vector de Onda y sus relaciones en una
dioptra plana
• El vector de onda transmitido tiene la forma:
• Considerando el vector de posición como:
• El producto escalar entre el vector de onda y el de
posición, es dado por:
• La onda transmitida es una Onda Evanesante de dirección
de transmisión “x” y amortiguada en dirección”y”
Las ecuaciones de Fresnel en términos del
vector de Onda
• Los coeficientes de Fresnel
• Se expresan en términos del vector de onda sustituyendo
K= ωn/c
• Obteniéndose para rs:
Las ecuaciones de Fresnel en términos del
vector de Onda
• De la misma forma puede obtenerse el coeficiente de
transmisión en amplitud perpendicular:
• Analicemos ahora los coeficientes de reflexión en amplitud
paralelos:
• Usamos ahora el índice de refracción relativo de la dioptra
n = n2 /n1, y las propiedades:
Las ecuaciones de Fresnel en términos del
vector de Onda
• El coeficiente de reflexión en amplitud paralelo es dado
por:
• Mientras que el respectivo en transmisión es dado por:
VECTOR DE ONDA EN
MEDIOS DISPERSIVOS
INDICE DE REFRACCION
COMPLEJO
N= ν+jκ
INDICE DE REFRACCION EN MEDIOS
DIELECTRICOS IMPERFECTOS
• EN MEDIOS DIELECTRICOS IMPERFECTOS, EL
INDICE DE REFRACCION ES DADO POR
• Si el índice de refracción complejo es dado por: n = ν + j κ
tenemos:
INDICE DE REFRACCION EN MEDIOS
CONDUCTORES IMPERFECTOS
• EN MEDIOS CONDUCTORES IMPERFECTOS, EL
INDICE DE REFRACCION ES DADO POR
• Si el índice de refracción complejo es dado por: N = ν + j κ
tenemos:
INDICE COMPLEJO DE
REFRACCION
• PARA CUALQUIERA DE LOS DOS CASOS:
– DIELECTRICO IMPERFECTO
– CONDUCTOR IMPERFECTO
EL INDICE DE REFRACCION ES UN COMPLEJO
• EL VECTOR DE ONDA EN EL MEDIO DISPERSIVO
ES UN “VECTOR COMPLEJO”:
EL VECTOR DE ONDA COMPLEJO
• Nuestro Vector de Onda es el vector complejo:
• El producto escalar de ese vector por si mismo es tal que:
• Si el medio de incidencia es un dieléctrico perfecto o el
vacío y el medio de transmisión es uno dispersivo n1 ε R y
N2 ε C
Factor de propagación para reflexión sobre
medios dispersivos
• El factor de propagación para las ondas incidente, reflejada y
transmitida es dado por:
• Sobre la frontera, suponemos de nueva cuenta (como en la
deducción de las ecuaciones de Fresnel):
CONSECUENCIAS
• A PARTIR DE LA RELACION
• PODEMOS ESCRIBIR
(SUPONIENDO QUE EL VECTOR DE ONDA ESTA EN EL PLANO X-Y
COMO PLANO DE INCIDENCIA)
• SE VUELVE A CUMPLIR LA LEY DE REFLEXIÓN COMO EN
EL CASO DE DOS MEDIOS DIELÉCTRICOS!!!!
CONSECUENCIAS
• LA ONDA TRANSMITIDA TIENE SU FACTOR DE
PROPAGACION DADO POR:
Término de Propagación
•
Término de Amortiguamiento
Sobre la frontera, suponemos de nueva cuenta (como en la
deducción de las ecuaciones de Fresnel):
• De donde se obtiene
CONSECUENCIAS
• La componente tangencial de los vectores de Onda incidente,
reflejado y transmitido son iguales y cumplen la relación:
• Siendo el vector de Onda Complejo
•
además
CONSECUENCIAS
• Por lo tanto sobre la frontera se cumple que
• Obteniéndose:
• Pudiendo concluir que a ’’ y r son perpendiculares:
CONSECUENCIAS
dado lo anterior :
r
r
r
K '' + a '' j ⋅ r = K x''
(
)
evidentemente
r r
a ′′ ⋅ r = 0 sobre la frontera
CONSECUENCIAS
• La parte imaginaria del vector de onda propagado es:
• La onda transmitida se convierte en:
• Por la estructura matemática de esos vectores se puede
escribir
Onda Transmitida con K’’ complejo
• El vector de onda complejo podrá escribirse como el vector:
• por lo tanto podemos escribir ese vector en forma de vector
columna
• Siendo la onda transmitida dada por:
Indice de refracción Complejo
• Recordemos que el índice de refracción complejo y el vector
de onda complejo cumplen:
• Cuando
• Y teniendo que
N= ν+jκ
• Se puede llegar a establecer la ecuación:
Indice de refracción Complejo
• Igualando partes reales y partes imaginarias de estos últimos
números complejos, tenemos el sistema:
• La onda transmitida toma la forma:
• Las componentes que se desean conocer son Ky’’ y a’’ ( se
obtienen resolviendo el sistema anterior) , se conoce Kx
• Derive da la siguiente solución:
Programa en Derive Cálculo de
“vector de onda complejo”
Solución en Derive
Salida del Vector de Onda Complejo
Velocidad de Fase
(medio dispersivo)
• Para un medio dispersivo la velocidad de fase es
dada por:
• Enseguida presentamos el cálculo de la velocidad de
fase para el ejemplo de láser He-Ne y un índice de
refracción complejo N = ν + j κ = 2 + j 0.003
Calculo velocidad de fase medio
dispersivo
Incidencia Normal sobre medio
dispersivo
• A incidencia normal θο = 0, en consecuencia:
K sin θo= 0 =Kx’’
• Y las ecuaciones se convierten en:
• La solución a ellas lleva a:
Incidencia Normal sobre medio
dispersivo
• Las componentes del vector complejo son:
• La expresión de la onda es:
• La velocidad de fase y coeficiente de atenuación son dados
por:
OBSERVACION IMPORTANTE
• Observar que las ondas transmitidas para incidencia oblicua
y normal son diferentes:
• Porque Kx depende del ángulo de incidencia, los parámetros a’’ y Ky``
también lo hacen, recordar
ANALISIS DE INCIDENCIA
NORMAL
Ecuaciones de Helmholtz
• Para la onda
• Se tienen como válidas las analogías operacionales:
• Se deja al alumno su demostración
Ecuaciones de Helmholtz
• A partir de la ley de inducción de Faraday
• Se puede obtener la ecuación:
• Aplicando la definición de impedancia del medio tenemos:
Ecuaciones de Helmholtz
• A partir de la ecuación:
• Podemos escribir:
• De donde obtenemos la relación entre H y E:
Ecuaciones de Fresnel
• La ultima expresión es análoga a la usada en la deducción de
las ecuaciones de Fresnel:
• Por esa razón las ecuaciones de Fresnel cuando el segundo
medio es dispersivo o conductor se convierten en:
Para el caso de rs
Ecuaciones de Fresnel
• Los coeficientes paralelos son:
• Los coeficientes perpendiculares son:
Ecuaciones de Fresnel
• Para el caso del coeficiente de reflección en
amplitud paralelo ( al plano de incidencia),
expresando en términos de los vectores de onda:
Damos enseguida un ejemplo del calculo de este
coeficiente cuando n1= 1
Análisis de rp
Evaluación de rp
Aspecto Complejo de rp
• El resultado anterior nos da un número
complejo para el coeficiente de reflexión en
amplitud, esto significa que la onda
reflejada ( si la onda incidente es rectilínea)
se verá afectada de tal manera que la onda
ya no es lineal sino elíptica en polarización.
polarización
Actividades para el alumno
• Expresar los 4 coeficientes de Fresnel en
términos de los ángulos de incidencia y
transmisión así como en términos de los
vectores de onda.
• Asimismo expresar esos coeficientes
cuando el medio de incidencia tiene índice
de refracción complejo y el de transmisión
es dieléctrico perfecto