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Unidad Temática 2
La energía y su conservación
Objetivos de la Unidad Temática
Esperamos que al final de este módulo puedas:
1.- Distinguir las diferentes formas de energía
2.- Analizar los procesos de transformación de energía
3.- Comprender la noción de trabajo como proceso de transferencia de
energía
4.- Aplicar el principio de conservación de la energía en la resolución de
situaciones problemáticas
Contenidos
1.- ¿Qué es el trabajo?
2.- El trabajo y la energía cinética.
3.- Energía potencial. Distintas formas. La energía potencial gravitatoria.
4.- La conservación de la energía.
5.- Algunas actividades integradoras de ambas unidades
1.- ¿Qué es el trabajo?
En la Unidad Temática anterior analizamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y
los cambios que producen sobre su cantidad de movimiento. Veremos ahora
cuándo esas fuerzas producen trabajo y de qué manera ese trabajo se traduce
en un cambio en la energía del cuerpo. Podemos adelantarte, en principio, que si
bien el término “energía” es sumamente utilizado cuando se analizan esfuerzos
físicos, movimiento de objetos, funcionamiento de motores, etc., se trata de una
noción difícil de definir. Simplemente afirmaremos, por ahora, que la energía es
algo que puede transferirse de un cuerpo a otro o que puede transformarse de
una forma en otra. Más adelante volveremos sobre esta primera aproximación al
concepto. Por ahora, esto nos bastará para empezar a analizar cuándo una fuerza
realiza trabajo sobre un cuerpo y sus derivaciones energéticas.
Veamos, por ejemplo, el caso del automóvil que se quedó sin nafta y el esfuerzo que
el joven tiene que hacer para acercarlo a la vereda. Podemos ver, por ejemplo, que
el esfuerzo realizado por el muchacho al aplicar una fuerza para mover al auto es
mayor cuando mayor sea la distancia que debe recorrer.
Esto nos da una idea intuitiva del concepto de trabajo (W ) al que ahora definiremos
⎛r ⎞
formalmente como el producto de la fuerza aplicada ⎜ F j ⎟ por el desplazamiento del
⎝ a⎠
r
cuerpo d
()
r
r
W = Fj ⋅ d
a
Habrás notado que hemos tenido especial cuidado en expresar como vectores a la
fuerza aplicada y al desplazamiento (escritos con la notación vectorial
, tal como establecimos como convención en la Unidad Temática I), a pesar de que
el trabajo es un escalar. Ocurre que el trabajo realizado por una fuerza se calcula
precisamente por intermedio de una clase especial de producto entre dos vectores,
denominado “producto escalar” (también se lo conoce como “producto punto”), que
es igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que
existe entre ellos:
W = F j ⋅ d ⋅ cos α
a
Pero como en este caso estamos analizando el caso más simple, que es cuando la
fuerza aplicada y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, α = 0º ,
luego el cos 0º = 1 , la expresión del trabajo queda simplemente:
W = Fj ⋅ d
a
Calculemos el trabajo realizado por la fuerza aplicada en el ejemplo del muchacho.
Supongamos que éste aplica sobre el automóvil una fuerza F j = 800 N y la mantiene
a
constante mientras el automóvil se desplaza una distancia d = 5m . Entonces, el
trabajo realizado es:
W = F j ⋅ d = 800 N ⋅ 5m = 4000 N ⋅ m
a
Esto es, W = 4000J definiendo como unidad de trabajo al joule (J ) , donde 1J es
equivalente a 1N ⋅ m
¿Es la fuerza aplicada por el joven la única fuerza que actúa sobre el automóvil?
r
Evidentemente no. En la Unidad anterior vimos que también actuaban el peso ⎛⎜ FT ⎞⎟ ,
⎝ a⎠
r
⎛r ⎞
la normal ⎜ F p ⎟ y la fuerza de rozamiento Fr
⎝ a⎠
r
( )
Fp
a
r
Fr
Fj
a
r
FT
a
r
r
r
r
Los trabajos realizados por las fuerzas
FT y Fp son nulos, es decir W = FT ⋅ d = 0
r
a
a
a
Fr
r
r
y W = Fp ⋅ d = 0 ¿Te animas a demostrarlo?
a
r
La fuerza de rozamiento Fr , en cambio, realiza trabajo “contra” el sistema. Veamos
en forma práctica qué significa esto. Supongamos que Fr = 300 N . Como el
desplazamiento sigue siendo d = 5m , el trabajo realizado por esta fuerza es:
W = Fr ⋅ d ⋅ cosα
Como verás, recurrimos aquí a la ecuación completa del trabajo. Esto se debe a que
el ángulo existente entre la fuerza y el desplazamiento ya no es α = 0º , sino
α = 180º , porque tienen la misma dirección pero sentidos opuestos.
r
Fr
v
d
r
Fr
v
d
Como cos180º = −1 , el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento nos queda:
W = Fr ⋅ d ⋅ cos180º = − Fr ⋅ d = −300 N ⋅ 5m = −1500J
¿Tiene sentido la existencia de un trabajo negativo? ¿Qué significado físico tendrá?
Si lo piensas un poco, verás que lo que hace la fuerza de rozamiento es oponerse al
movimiento del cuerpo y, por lo tanto, realiza un trabajo contra el sistema. Esto tiene
fuertes consecuencias cuando empecemos a analizar la energía del sistema y su
conservación, temas que analizaremos más adelante.
Veamos ahora cuál es el trabajo neto o resultante (éste es el trabajo hecho por todas
las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo que estemos analizando) que se
realiza sobre el automóvil. Si la fuerza aplicada por el muchacho realiza un trabajo
de 4000 J y la fuerza de roce hace otro trabajo de − 1500J , es lógico interpretar que
el trabajo neto es de:
ΣW = 4000J + (− 1500J ) = 2500J
Esto nos permite extraer como conclusión que el trabajo realizado por una serie de
fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la suma algebraica de los trabajos
realizados por cada fuerza.
Actividades sobre trabajo
1.- Dos hombres levantan un tronco pesado y lo transportan. a) ¿Ejecutan trabajo si
lo llevan siempre sobre sus hombros, sin que cambie la altura del tronco con
respecto al suelo? b) ¿Por qué se cansan?
2.- Una persona levanta un portafolio que pesa 30N y lo sostiene a 1m del piso.
Después camina 5m hasta un escritorio donde lo deposita a 1,20m del piso. Luego
empuja al portafolio (sobre la superficie del escritorio) 1m hacia la izquierda,
aplicando con su mano una fuerza horizontal de 15N, a la que se opone una fuerza
de rozamiento de 6N. Calcular el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas.
(Un consejo: dibuja primero todas las fuerzas que actúan sobre el portafolio en cada
etapa del movimiento, para levantar el portafolio, para llevarlo hasta el escritorio,
para levantarlo hasta su superficie y para correrlo un metro).
3.- Una persona tira horizontalmente mediante una soga (de masa despreciable) de
un objeto de 10kg, que se encuentra sobre una mesa sin rozamiento, ejerciendo
sobre la soga una fuerza de 120N moviéndolo a velocidad constante.
a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza que ejerce la soga sobre el objeto si éste
se desplaza 50cm.
b) ¿Será mayor, menor o igual el trabajo realizado si la persona tira de la soga 30º
hacia arriba de la horizontal? ¿Y si los 30º son hacia abajo? Demuéstralo.
c) ¿Qué pasa con el trabajo realizado por la fuerza que ejerce la soga si la superficie
ejerce una fuerza de rozamiento de 40N sobre el objeto? Justifica tu respuesta.
d) ¿Cuáles son las otras fuerzas que actúan sobre el objeto? ¿Qué trabajo realizan?
Justifica.
e) ¿De cuánto será el trabajo total realizado sobre el objeto?
4.- Un hombre se encuentra remando en un bote, río arriba, aunque observa que no
está avanzando con respecto a la orilla. ¿Realiza algún trabajo? Si deja de remar, la
corriente lo arrastra. ¿Se hace trabajo por alguna fuerza aplicada sobre el bote.
Explica tu respuesta.
5.- Una misma fuerza horizontal es aplicada sobre dos objetos, de los cuales uno
tiene el doble de peso que el otro, para moverlos sobre una mesa horizontal sin
rozamiento. Primero la fuerza se aplica sobre el más liviano, durante un determinado
tiempo, y después se aplica, por el mismo lapso de tiempo, sobre el cuerpo más
pesado. ¿Sobre cuál de los cuerpos habrá realizado más trabajo?
6.- Se empuja un bloque sobre un plano inclinado aplicando la fuerza necesaria en
dirección del plano, para que el bloque suba con velocidad constante.
a) ¿Qué fuerza hará más trabajo? ¿La fuerza aplicada o la fuerza de rozamiento?
Justifica tu respuesta.
b) ¿Alguna de las fuerzas que actúan sobre el bloque hace trabajo negativo mientras
el bloque asciende por el plano inclinado? ¿Alguna de esas fuerzas no hace trabajo?
c) ¿Podrías estimar cuánto valdrá el trabajo total realizado por las distintas fuerzas
que actúan sobre el bloque?
7.- Supongamos que el bloque del problema anterior tiene una masa de 800g y se
encuentra sobre un plano que tiene una inclinación de 30º sobre la horizontal. Y que
la persona ejerce una fuerza de 6N hacia arriba, en la dirección del plano.
a) ¿Qué fuerza hará más trabajo? ¿La fuerza aplicada o la fuerza de rozamiento?
¿Podrías demostrarlo calculando el valor de la fuerza de rozamiento?
b) Calcula el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el
bloque, suponiendo que éste alcanza una altura vertical de 2m.
8.- Una persona arrastra un cuerpo sobre una superficie horizontal, ejerciendo
sobre él una fuerza de 10N que forma 60º con la vertical. Existe una fuerza de
rozamiento entre el cuerpo y la superficie de 2,5N. Sabiendo que el cuerpo se
desplaza una distancia de 4m.
a) ¿Cuál es el trabajo que hace la persona sobre el cuerpo?
b) ¿Qué otras fuerzas actúan sobre el bloque? ¿Qué trabajo realizan esas fuerzas?
c) Calcular el trabajo debido al rozamiento.
d) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el bloque?
9.- Un caballo remolca una barca a lo largo de un canal, la cuerda de remolque
forma un ángulo de 10º con la trayectoria de la barca. Si la tensión de la cuerda es
de 50kg, ¿cuál es el trabajo realizado por el caballo mientras la barca recoore una
distancia de 30m?
10.- Comparar el trabajo necesario para tirar el bloque hacia arriba, por un plano
inclinado a diversos ángulos, con el trabajo requerido para levantar el bloque a la
misma altura en línea recta.
2.- Trabajo y energía
Dijimos al comienzo que el trabajo es un proceso mediante el cual se transfiere
energía de un cuerpo a otro. Si el joven aplica una fuerza sobre el automóvil para
ponerlo en movimiento, podemos pensar entonces que es él quien le transfiere
energía al auto. Como esa energía se traduce en un incremento de su velocidad, la
llamaremos “energía cinética”.
La energía cinética (K ) de un cuerpo, que queda definida matemáticamente por la
expresión
K = 1 m ⋅ v2
2
donde m es la masa del cuerpo y v su velocidad, es entonces la energía que el
cuerpo adquiere por haber cambiado su estado de movimiento. Si gana velocidad,
gana energía cinética. Ese cambio energético puede expresarse también como:
ΣW = ΔK
Esto refleja matemáticamente lo que dijimos al principio: el trabajo realizado por
todas las fuerzas externas que actúan sobre el automóvil le transfiere una
determinada cantidad de energía cinética.
Volviendo a nuestro ejemplo, si el trabajo neto efectuado sobre el cuerpo era
de 2500 J , quiere decir que la variación de la energía cinética del cuerpo también es
de 2500 J
ΣW = ΔK = 2500J
Esto nos permite, también, calcular la velocidad que adquiere el automóvil al término
del desplazamiento de 5m.
La variación de la energía cinética (ΔK ) es la diferencia entre la energía cinética al
final del movimiento (K f ) , menos la energía cinética en el momento en que el joven
empieza a empujar (K i )
ΔK = K f − K i
Pero como en este caso K i = 0 , porque al principio el auto está en reposo (vi = 0 ) ,
en este caso particular, nos queda que:
ΔK = K f
porque
Ki = 0
Entonces, K f = 2500 J y como K f = 1 m ⋅ v 2f
2
v 2f = 2
Kf
m
de donde
vf = 2
Kf
m
Reemplazando por el valor de la energía cinética y suponiendo que el automóvil
tiene una masa m = 1500 kg , resulta:
vf = 2
Kf
m
= 2
2500 J
= 1,82m / s
1500kg
¿Estarán bien las unidades de velocidad? Te desafiamos a que lo demuestres.
Habrás observado que en el cálculo de la diferencia de energía cinética (ΔK ) hemos
considerado el trabajo total que se realizaba sobre el automóvil (2500 J ) . Esto es así
porque en realidad el cuerpo sufre el efecto de la acción de todas las fuerzas que
actúan sobre él, de manera que podríamos escribir:
WFT + WF j + WFp + WFr = ΔK
a
a
a
Donde en este caso los trabajos de las fuerzas FT
a
y Fp
eran nulos, pero puede
a
haber casos en que no lo sean.
La energía cinética es siempre positiva, no importa que la velocidad fuera negativa
ya que al estar al cuadrado nos da un número positivo. También lo es la masa. En
cambio la variación de la energía cinética si puede ser negativa y también nula,
dependiendo de que valores tenga la velocidad final del cuerpo respecto de la inicial.
Cuando arrojamos un cuerpo hacia arriba, por ejemplo, el peso FT
realiza un
c
trabajo en contra del desplazamiento (h ) , por lo que podríamos decir que
r
r
W = FT ⋅ h = FT ⋅ h ⋅ cos 180º = − FT ⋅ h
c
c
c
(recuerda que el signo menos es por el cos180º = −1 ) o, lo que es lo mismo,
W = −m ⋅ g ⋅ h
Entonces para el trabajo de subida Ws es Ws = −m ⋅ g ⋅ h ..
Pero como al caer, el peso hará el mismo trabajo, pero con signo positivo Wb es
Wb = m ⋅ g ⋅ h (las direcciones y sentidos de FT
y h coinciden), entonces el trabajo
c
total, para el ciclo completo de subida y de bajada, será igual a cero.
A las fuerzas que, como el peso, realizan trabajo nulo para un ciclo completo, se las
denomina fuerzas conservativas.
La fuerza de rozamiento, por el contrario, es lo que se conoce como fuerza no
conservativa, ya que si consideramos el roce con el aire en este mismo ejemplo, se
trata de una fuerza que tanto en subida como en bajada actúa en contra del
movimiento. En este caso, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento para el
ciclo completo no sólo no es cero, sino que es el doble del trabajo realizado durante
la subida.
Te desafiamos a que tú mismo demuestres que el trabajo de la fuerza de roce para
un ciclo completo no es nulo.
Cambian también los aspectos cinéticos del movimiento, ya que en el caso de que
actúe sólo la fuerza conservativa peso, la energía cinética y, por ende, la velocidad
del cuerpo, son iguales en el punto de partida y en el momento del regreso a la
mano que lo arrojó.
Cuando actúa la fuerza de rozamiento (no conservativa), la energía cinética y la
velocidad del regreso a la mano son menores a las de la partida.
Podemos decir, para aportar otro argumento a las diferencias entre fuerzas
conservativas y no conservativas, que el trabajo realizado por las primeras depende
sólo de las posiciones inicial y final del cuerpo antes y después de realizado el
trabajo. En las no conservativas, en cambio, depende de la trayectoria del
movimiento seguida por el cuerpo.
Hay varios ejemplos de fuerzas conservativas. Podemos mencionar, además de la
gravitatoria, la fuerza elástica de un resorte y las fuerzas electrostáticas. Las fuerzas
aplicadas, en tanto, son todas no conservativas.
Actividades sobre trabajo y energía
1.- En el caso del bloque del último problema sobre trabajo: ¿En cuánto habrá
cambiado la energía cinética del bloque mientras asciende por el plano?
2.- Un automóvil tiene una energía cinética de 10.000J. ¿Cuál será su energía
cinética si se duplica su velocidad?
3.- Cuando una pelota se arroja dentro de un ómnibus en movimiento, ¿su energía
cinética depende de la velocidad que tiene el ómnibus? ¿Por qué?
4.- Compara los cambios que sufren la cantidad de movimiento y la energía cinética
de una partícula si se duplica el valor de su velocidad.
5.- ¿Variará la energía cinética de una partícula que se mueve si la fuerza resultante
que actúa sobre esta es nula? ¿Qué tipo de movimiento tendrá? ¿Por qué?
6.- Si sobre una partícula actúan varias fuerzas, ¿puede ser que el trabajo realizado
por una sola de ellas sea mayor que el cambio que sufre la energía cinética de la
partícula? Explícalo.
7.- Un automóvil que tiene una masa de 1.500Kg y que se desplazaba con una
velocidad de 5km/h, sobre una superficie sin rozamiento, es empujado por un
camión hasta alcanzar una velocidad de 12km/h.
a) Calcular el trabajo realizado por la fuerza que el camión ejerció sobre el
automóvil.
b) Calcular la fuerza aplicada por el camión sobre el auto si estuvieron en contacto a
lo largo de un desplazamiento de 30m.
c) Si hubiera rozamiento, ¿la velocidad final del automóvil sería mayor, menor o igual
a 12km/h? ¿Por qué? ¿Y la energía cinética transferida al automóvil, cómo sería?
8.- Un automóvil se deja deslizar desde lo alto de una loma, por una carretera sin
rozamiento.
a) ¿Se detendrá en algún momento el automóvil si después de bajar la loma la
carretera se mantiene siempre horizontal?
b) ¿Y si a los pocos kilómetros se encuentra con una loma más alta que la anterior?
¿Podrá subirla sin problemas?
9.- El automóvil en cuestión tiene una masa de 700kg y se desliza ahora desde lo
alto de una colina de 50m de longitud y una inclinación de 10º, por una carretera a la
que suponemos sin rozamiento. Calcular:
r
a) El trabajo realizado por la fuerza peso ⎛⎜ FT ⎞⎟ del automóvil.
⎝ a⎠
b) La velocidad del automóvil al llegar al llano.
10.- Una persona traslada una caja de 5,5kg de masa desde un escritorio ubicado a
120cm del suelo. Supongamos que lo sube a velocidad constante hasta colocarlo en
un estante de un placard ubicado a 2m del suelo.
a) ¿Cuál es el trabajo neto efectuado sobre la caja?
b) ¿Cuál es el trabajo que efectúa la persona sobre la caja?
c) Si después baja la caja hasta el suelo, ¿cuál es el trabajo que efectúa la persona
sobre la caja en este caso?
d) Si se la deja caer ¿Qué trabajo hace la Tierra sobre la caja?
11.- Una fuerza de 10N actúa sobre un patín de ruedas que tiene una masa de 2kg
inicialmente en reposo sobre una superficie sin rozamiento. El patín se desplaza 3m
mientras actúa la fuerza. ¿Cuánto varía la energía cinética? ¿Qué velocidad
alcanza?
12.- Un bloque de 2kg de masa se desplaza con una velocidad de 5m/s, calcular:
a) ¿Cuál es la energía cinética del bloque?
b) ¿Cuántas veces menor sería la energía cinética si la masa del bloque hubiera
sido tres veces menor?
c) ¿Cuántas veces mayor se volvería si la velocidad del bloque se triplicara?
d) ¿Qué sucedería con la energía cinética si sólo se cambiara la dirección de la
velocidad? ¿por qué?
13.- Un bloque que pesa 78N es empujado, mediante una fuerza horizontal de 4kg,
sobre una superficie lisa horizontal durante un trayecto de 6m de longitud. El bloque
parte del reposo.
a) ¿Cuánto trabajo se habrá realizado? ¿En qué se habrá convertido ese trabajo?
b) Comprobar la respuesta calculando su aceleración, su velocidad final y su energía
cinética
14.- Comparar en cada caso las energías cinéticas de las personas mencionadas. Si
estas energías no son iguales, indicar cuantas veces es mayor una que la otra:
a) El padre y el hijo trotan con igual velocidad. La masa del padre es 2,5 veces la del
hijo.
b) Dos niños tienen igual masa, uno de ellos corre con una velocidad que es el doble
de la del otro.
c) Dos mujeres tienen igual masa, luego de una discusión entre ellas, una sale
caminando hacia el oeste y la otra hacia el este, ambas moviéndose con la misma
rapidez.
15.- Un bloque se empuja con la fuerza necesaria en dirección hacia arriba a lo largo
de un plano inclinado de manera que se mueve con velocidad constante.
a) ¿Qué fuerza hará más trabajo, la aplicada o la de rozamiento?
b) Alguna de las fuerzas que actúan sobre el bloque, ¿hace trabajo negativo
mientras el bloque asciende por el plano inclinado?
c) ¿Alguna de esas fuerzas no hace trabajo?
d) ¿Podrías estimar cuánto vale el trabajo total realizado por las distintas fuerzas
que actúan sobre el bloque?
e) ¿En cuánto habrá cambiado la energía cinética del bloque mientras asciende por
el plano?
3.- Energía potencial. Distintas formas.
Energía potencial gravitatoria.
No siempre el trabajo realizado por un cuerpo deriva en una variación de la energía
cinética. El trabajo mecánico puede también transferir energía potencial, que es una
forma de energía que, como su nombre lo indica, está en potencia. Es decir, que
está almacenada y disponible para ser utilizada para realizar trabajo o para
transformarse en otra forma de energía.
En realidad, hay varias formas de energía potencial. En nuestro ejemplo del
automóvil, el combustible –si lo tuviera- tiene energía potencial química. Es la
energía que se aprovecha después para hacer un trabajo que transmite energía
cinética cuando el auto se pone en marcha y va adquiriendo velocidad. Toda
sustancia capaz de realizar un trabajo a partir de una reacción química tiene energía
potencial: así ocurre con el combustible y con la batería eléctrica del automóvil, y
hasta con los alimentos que nosotros consumimos, ya que de ellos proviene la
energía que después “gasta” nuestro cuerpo. También se almacena energía
potencial en un campo eléctrico o en un resorte.
Hablando de campos, cuando nosotros elevamos un cuerpo cualquiera, lo hacemos
en contra del campo gravitatorio, que tiende a atraer al cuerpo hacia el centro de la
Tierra. Al elevarlo una cierta altura, lo que estamos haciendo es aumentar la energía
potencial gravitatoria del cuerpo. Es decir, la energía potencial que queda
almacenada en el campo gravitatorio en función de la posición en que se encuentra
el cuerpo. Si después el cuerpo se deja caer, es su peso el que produce un trabajo
mediante el cual va adquiriendo energía cinética.
La expresión matemática que nos permite calcular la energía potencial gravitatoria
(U ) es:
U = m⋅g ⋅h
donde m es la masa del cuerpo, g es la intensidad del campo gravitatorio (en
cercanías de la Tierra puede considerárselo constante) y h la altura a la que se
encuentra el cuerpo.
Sin embargo, como h es en realidad la diferencia entre la altura que alcanza el
cuerpo y la altura inicial, a ras del suelo hi = 0 (en este caso), consideraremos que h
es la diferencia entre la altura final y la inicial. De allí que en el análisis que sigue nos
referiremos a la variación de la energía potencial ΔU en vez de simplemente a U :
ΔU = m ⋅ g ⋅ h f − m ⋅ g ⋅ hi = m ⋅ g ⋅ h f
¿Cuál será la relación entre el trabajo realizado por el peso del cuerpo y la energía
potencial que éste gana cuando se eleva una cierta altura (h f = h )?
Cuando analizamos lo que son las fuerzas conservativas vimos que cuando un
cuerpo se arroja hacia arriba su peso realiza un trabajo igual a:
Wc = − m ⋅ g ⋅ h
(donde Wc simboliza al trabajo realizado por una fuerza conservativa)
Pero como ΔU = m ⋅ g ⋅ h , nos queda:
Wc = −ΔU
Donde se establece que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual
a “menos” la variación de la energía potencial.
Hemos obviado a propósito el término gravitatoria, ya que aquí hemos analizado el
caso del trabajo producido por la fuerza conservativa peso. Si se calculara el trabajo
de otra fuerza conservativa, como la de un resorte, lo que varía es la energía
potencial elástica. En definitiva, todo trabajo realizado por una fuerza conservativa
se traduce en una variación de alguna forma de energía potencial.
Es importante tener en cuenta respecto a que lugar se considera la altura h ,
entonces a ese nivel le llamaremos nivel cero de la energía potencial. Si
consideramos un libro que se encuentra sobre un escritorio, y es justamente allí
donde consideramos el nivel cero, entonces respecto a ese nivel, la energía
potencial del libro también es cero. Si el cuerpo estuviera en el suelo, en este caso la
energía potencial es negativa, está por debajo del nivel, y si lo colocamos sobre un
estante, más alto que la mesa, tendrá energía potencial positiva. Por otro lado, el
cambio de energía potencial también al igual que con la energía cinética, puede ser
positivo, negativo o nulo.
Actividades sobre energía potencial
1.- Pensando en el automóvil que se deja deslizar desde una loma.
a) ¿En algún momento su energía potencial es cero? ¿Y la energía cinética?
b) ¿Cuándo tendrá mayor energía cinética? ¿Puede coincidir ese tramo con el de
mayor energía total?
2.- Decir y justificar cuál de estos objetos tiene mayor energía potencial con respecto
al suelo:
a) un auto de 500kg que circula por una ruta horizontal
b) una paloma de 150g que vuela a 0,5m de altura con una velocidad de 20km/h
c) una mariposa de 12g que está posada sobre una flor a 8m de altura? Justifica tu
respuesta.
3.- Calcular la variación de energía potencial en cada uno de los siguientes casos:
a) Una pelota cuya masa es 400g se lanza verticalmente hacia arriba y alcanza una
altura de 6m.
b) Un muchacho que pesa 650N se arroja a una pileta natural de un río, desde una
roca situada a 11m de altura sobre el nivel del agua, se hunde hasta una
profundidad de 2,3m.
c) Un avión DC-10 de 200ton vuela durante 3h con una velocidad de 750km/h
manteniéndose a una altura constante de 10000m.
4.- ¿En cuánto aumenta tu energía potencial cuando subes desde la calle hasta el
20º piso de un edificio, situado a una altura de 60m? ¿De dónde proviene esa
energía si realizas la hazaña de subirlo a pie? ¿De dónde proviene esa energía si
subes cómodamente en ascensor?
5.- Un cuerpo de 0,8kg de masa se arroja hacia arriba, alcanzando una altura de
13m.
a) Calcular el trabajo realizado por su peso.
b) ¿Qué relación tiene ese trabajo con la energía potencial gravitatoria del cuerpo en
el punto más alto de su trayectoria?
c) ¿Podrías calcular la velocidad con que el cuerpo fue arrojado hacia arriba?
d) ¿Qué pasará al caer? ¿Tendrá la misma velocidad con la fue arrojado?
6.- El martinete de una piloteadora está siendo utilizado para hincar un pilote en el
suelo. La maza del martinete se deja caer, sucesivamente, desde diferentes alturas.
a) ¿En que caso el pilote penetrará más en el suelo al ser golpeado por la masa del
martinete?
b) Entonces, ¿en qué situación la maza del martinete posee mayor energía potencial
gravitacional?
7.- El martillo de un martinete pesa 1ton y cae desde una altura de 3m sobre pilote al
cual introduce 8cm en el suelo. Calcular a partir de consideraciones energéticas, la
fuerza ejercida sobre el pilote, suponiendo que ésta es constante.
4.- Conservación de la Energía
Al analizar el movimiento del auto empujado por el joven dijimos que el trabajo total
realizado por las fuerzas que actúan sobre éste es igual a la variación de la energía
cinética:
ΣW = ΔK
Expresamos también que ese trabajo total es realizado por distintas fuerzas que
pueden clasificarse en dos categorías: las fuerzas conservativas (el peso, la fuerza
de un resorte, etc.) y las fuerzas no conservativas (el rozamiento y la fuerza
aplicada, entre otras). De manera que la expresión anterior puede ser escrita
también de la siguiente forma:
Wc + Wnc = ΔK
Determinamos también que el trabajo conservativo Wc = −ΔU , por lo que podemos
decir que:
− ΔU + Wnc = ΔK
Ordenando la expresión anterior, nos queda:
ΔK + ΔU = Wnc
Si consideramos que la variación de las energías cinética y potencial es igual a la
variación de la energía mecánica del sistema, resulta:
ΔE = Wnc
donde queda establecido entonces que el cambio en la energía mecánica total
(cinética más potencial) es igual al trabajo realizado por las fuerzas no
conservativas.
En el caso en que no haya trabajos no conservativos (en un sistema ideal sin
trabajos debido al rozamiento y/o a fuerzas aplicadas), es decir, Wnc = 0 , se puede
escribir:
ΔE = 0
Expresión matemática del Principio de Conservación de la Energía Mecánica, que
establece que cuando no hay trabajos no conservativos la energía mecánica del
sistema permanece constante. Esto es:
ΔK + ΔU = 0
Reemplazando,
K f − K i +U f −U i = 0
O sea:
Ki + Ui = K f + U f
donde se establece que la suma de las energías cinética y potencial se mantiene
constante a lo largo de todo el movimiento, si no hay trabajos no conservativos. O, lo
que es lo mismo, que la energía mecánica inicial tiene el mismo valor que la energía
mecánica final:
Ei = E f
Este principio es sumamente importante y, junto al Principio de Conservación de la
Cantidad de Movimiento facilita la resolución de gran cantidad de problemas de la
parte de la Física que estudia lo que se denomina mecánica de la partícula, o sea
distintos tipos de movimientos de traslación de los cuerpos.
Ejemplos de aplicación de la conservación de la energía
1) Supongamos que el automóvil de los problemas anteriores (m = 1000kg ) circula
por una carretera a una velocidad de 20m/s, cuando empieza a ascender por una
colina sin rozamiento. Calcular:
a) La máxima altura a la que puede ascender por la colina.
b) ¿Cuánto habrá ascendido por la colina hasta que su velocidad sea de 5m/s?
Resolución:
a) Aplicando el principio de conservación:
Ki + Ui = K f + U f
Vemos que U i= 0 , porque tomamos como referencia la ruta en el llano (h i = 0) y
K f = 0 , porque en la altura máxima v f = 0 .
Entonces, nos queda:
Ki = U f
1 m ⋅ vi2 = m ⋅ g ⋅ h f
2
Simplificando las masas y despejando h f a la que llamaremos h , resulta:
2
vi2
(
20m / s )
h=
=
= 20,4m
2 g 2 ⋅ 9,8m / s 2
Ki + Ui = K f + U f
b)
donde U i= 0
Ki = K f + U f
1 m ⋅ vi2 = 1 m ⋅ v 2f + m ⋅ g ⋅ h f
2
2
Simplificando las masas y despejando:
(v
h=
2
i
− v 2f
2g
) = (20m / s ) − (5m / s )
2
2 ⋅ 9,8m / s 2
2
= 19,1m
2) Un cuerpo de masa m = 3kg se arroja desde lo alto de un edificio de 40m de
altura con una velocidad hacia debajo de 10m/s. Calcular la velocidad con que llega
al suelo suponiendo que el aire ejerce sobre el cuerpo una fuerza de rozamiento
Fr = 10 N .
En este caso, como hay trabajos no conservativos, nos queda:
ΔK + ΔU = Wnc
K f − K i +U f −U i = Wnc
donde U f = 0 porque el cuerpo llega al suelo, donde h f = 0 y llamamos hi = h
K f − K i − U i = Wnc
1 m ⋅ v 2f − 1 m ⋅ vi2 − m ⋅ g ⋅ hi = − Fr ⋅ h
2
2
1 m ⋅ v 2f − 1 m ⋅ vi2 − m ⋅ g ⋅ h = − Fr ⋅ h
2
2
Despejando v f , nos queda
1 m ⋅ vi2 + m ⋅ g ⋅ h − Fr ⋅ h
v f = 2⋅ 2
m
1 3kg ⋅ (10m / s )2 + 3kg ⋅ 9,8m / s 2 ⋅ 40m − 10 N ⋅ 40m
v f = 2⋅ 2
= 29,3m / s 2
3kg
Actividades sobre conservación de la energía
1.- Un auto se mueve a cierta velocidad y de pronto frena y se detiene. ¿Qué ocurrió
con la energía cinética que tenía inicialmente?
2.- Un objeto es arrojado hacia abajo de manera que luego de rebotar contra el piso
llega a una altura que duplica a aquella desde donde fue arrojado. ¿Desafía esta
situación al Principio de Conservación de la Energía?
3.- En base a la lectura complementaria sobre "¿Qué es la energía":
a) ¿Puedes dar una definición precisa acerca de lo que significa el concepto de
energía?
b) ¿Y una definición aproximada, con tus propias palabras, como para hacerle
entender de qué se trata a un compañero de clase?
3.- Tres objetos de igual masa se lanzan desde un mismo punto y con la misma
velocidad, en tres direcciones distintas: uno hacia arriba, otro hacia abajo y un
tercero, hacia un costado. ¿Cuál de ellos llega al suelo con mayor velocidad? ¿Por
qué?
4.- Un automóvil de 1.500kg de masa se desplaza por una carretera con una
velocidad de 80km/h.
a) ¿Qué distancia recorrerá hasta frenarse totalmente si al bloquear las ruedas se
ejerce sobre el automóvil una fuerza de rozamiento de 1000N?
b) Si en vez de frenar se empieza a subir una cuesta ¿hasta qué altura llegará?
5.- Imagínate que, siendo ya todo un ingeniero, te piden que supervises un invento
como el descripto en la lectura complementaria "Máquinas Imposibles". ¿Puedes
explicar, al menos en forma cualitativa (sin hacer ningún cálculo) por qué no podría
funcionar en forma continua?
6.- Se deja caer una maceta de 2.000g desde lo alto de un edificio de 20m de altura.
a) ¿A qué altura tendrá la maceta la mitad de la energía mecánica total? ¿Y la mitad
de su energía cinética máxima?
b) Si el aire ejerciera una fuerza de rozamiento de 0,5N sobre la maceta, ¿cuál sería
la velocidad de la maceta al llegar al suelo?
c) ¿Qué pasa con la energía mecánica de la maceta cuando impacta contra el
suelo?
7.- Una persona arrastra un carrito de 50N por una pendiente cuya inclinación es
30º, ejerciendo sobre él una fuerza de 30N en la dirección del plano. Si se desprecia
el rozamiento entre el carrito y el plano inclinado y considerando que el mismo tiene
una longitud de 4m señalar cuál de las afirmaciones siguientes está equivocada y
justificar en todos los casos:
a) El trabajo realizado por la fuerza normal es nulo.
b) El ángulo formado por la fuerza aplicada con el desplazamiento del carrito es 30º.
c) El trabajo realizado por la componente del peso en la dirección del plano es -100J
d) El ángulo formado por la componente del peso perpendicular al plano con el
desplazamiento del carrito es 90º.
e) El trabajo total realizado sobre el carrito es de 20J.
8.- ¿Gasta un automóvil más combustible cuando está encendido el aire
acondicionado? ¿Y cuando están encendidas las luces? ¿Cuando está encendida la
radio y el auto está detenido en un estacionamiento? Explica tus respuestas.
9.- La energía que necesitamos para vivir proviene de la energía potencial
almacenada químicamente en los alimentos, que se transforma en otros tipos de
energía por medio del proceso de digestión. ¿Qué le ocurrirá a una persona que
realiza menos trabajo que la energía que consume? ¿Qué pasa si el trabajo que
realiza es mayor que la energía que consume? ¿Puede una persona desnutrida
realizar más trabajo sin recibir más alimentos? ¿Por qué?
10.- Señala algunos procesos cotidianos que puedas explicar usando el principio de
conservación de la energía. Pueden ser de lo que a diario ocurre en tu casa, cuando
vas a la universidad, en un paseo por el centro de la ciudad, en un boliche, etcétera.
5.- Algunas actividades integradoras de ambas unidades
1.- Un joven empuja un automóvil, como vimos en los ejemplos de este curso, de
manera que la velocidad se mantiene constante.
a) Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre el automóvil.
b) De repente, apelando a todas sus fuerzas, el joven le da un fuerte empujón al
automóvil. Dibuja las fuerzas que actúan en este caso.
c) Finalmente, el joven deja de empujar el automóvil, el que desliza solo hasta que
se detiene. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el auto cuando el joven ya no lo
empuja.
d) Analiza que ocurre con la cantidad de movimiento y con la energía mecánica del
automóvil en cada caso.
2.- ¿Puede un cuerpo tener energía mecánica sin tener cantidad de movimiento?
¿Puede tener cantidad de movimiento sin tener energía mecánica? Explica tus
respuestas.
3.- Tres objetos, A, B y C, parten del reposo y caen desde una misma altura. El
objeto A cae verticalmente, el B se desplaza a lo largo de un plano inclinado sin
fricción, y C por un tobogán también sin rozamiento. Sabemos que sus masas son
tales que mA > mB > mC
a) Colocar en orden creciente las energías potenciales que dichos cuerpos poseían
al inicio de la caída.
b) Colocar en orden creciente las energías cinéticas que poseen al llegar al piso.
c) Sean vA, vB y vC las velocidades de dichos cuerpos al llegar al suelo. El valor de vB
¿es mayor, menor o igual que el de vA? ¿Y el de vC?
d) Colocar en orden creciente la cantidad de movimiento de dichos cuerpos al llegar
al suelo.
4.- Se debe empujar con una fuerza de 200N para deslizar una heladera sobre un
piso a velocidad constante. ¿Por qué no acelera el sistema si se está aplicando una
fuerza? ¿Por qué no aumenta la velocidad? ¿Cuál es la fuerza de rozamiento que
actúa sobre la heladera? ¿Es posible ejercer una fuerza y al mismo tiempo no
transferir energía?
5.- a) Si una bola de acero rueda con una velocidad de 20m/s sin que actúe ninguna
fuerza sobre ella en dirección horizontal,
a.1) Traza un diagrama de cuerpo libre de la pelotita rodando por la mesa.
a.2) ¿Cuál será su velocidad después de 5s?
a.3) ¿Podrías calcular la cantidad de movimiento? ¿Qué pasa con ella, mientras
rueda por la mesa?
b) Si una bola de acero rueda por una mesa horizontal y sale disparada por el borde
a una altura de 1,22m del borde de la mesa horizontalmente.
b.1) ¿Cuál será su velocidad en el momento que salió disparada horizontalmente?
b.2) ¿Qué ocurre con la energía de la bolita en el momento en que sale disparada de
la mesa?
b.3) Cuando está en el aire, ¿qué ocurre con la cantidad de movimiento y la
energía?
b.4) ¿Qué ocurre con la cantidad de movimiento y la energía un instante antes de
impactar contra el suelo?
b.5) Si después de impactar contra el suelo, ¿qué pasó con la energía de la bolita?
5.- a) ¿Desde que altura debería caer un automóvil de 3000kg para ganar la energía
cinética equivalente a la que tendría viajando a 60 km/h? ¿Depende la respuesta del
peso del automóvil?
b) Durante su caída, ¿qué ocurre con la cantidad de movimiento del auto,
permanece constante, aumenta o disminuye?
c) ¿Qué ocurre con la energía mecánica del sistema, permanece constante,
aumenta o disminuye? ¿Y con la energía total del sistema?
6.- Un proyectil con una masa de 0,05kg y que se mueve con una velocidad de
400m/s penetra una profundidad de 0,1m en un bloque de madera que se halla
fuertemente sujeto al suelo. La fuerza desaceleradora se supone que es constante,
calcular: a) la desaceleración experimentada por el proyectil, b) la fuerza
desaceleradota, c) el tiempo que demora en penetrar la madera, d) el impulso
durante el choque.
7.- Un bloque de masa m desliza una distancia d hacia abajo por la superficie de un
plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. El coeficiente de
rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es μ y la velocidad del bloque en el
extremo superior es v1 .
a) Hacer un diagrama de cuerpo libre del bloque.
b) ¿Cuál es la expresión de su velocidad v2 en la parte más baja?
c) Deducir de dicha expresión el ángulo mínimo de inclinación del plano para el cual
el bloque descendería con velocidad constante.
8.- Un niño se desliza en un tobogán (supongamos que no existe rozamiento). Si
parte del reposo en la parte superior:
a) ¿con qué velocidad llegará a la parte más baja del plano? Si ahora suponemos
que hay fricción entre el niño y el tobogán,
b) ¿cuáles son las fuerzas que actúan sobre el niño mientras se desplaza por el
tobogán?
c) ¿qué trabajo realizan dichas fuerzas?
d) ¿cuáles de estas fuerzas son conservativas?, entonces, al llegar al suelo la
energía potencial que el niño poseía en lo alto del tobogán ¿se habrá transformado
íntegramente en energía cinética?
9.- En el problema anterior, supongamos que existe fricción entre el niño y el
tobogán. Supongamos que la altura del tobogán es 8m, la masa del niño es 50kg y
la velocidad con la que llega al punto más bajo es 10m/s, determinar:
a) la energía mecánica total del niño en el punto más alto y en el punto más bajo;
b) De acuerdo al resultado del ítem a) ¿qué conclusiones puede sacar respecto a la
energía?
c) ¿Cuáles de dichas fuerzas realizan trabajo positivo? ¿Cuáles negativo? ¿Y cuál
no realiza trabajo? Justifica en cada caso.
d) ¿Qué cantidad de movimiento tiene el niño el punto más alto y en el punto más
bajo?