4. INTERACCCIÓN LUZ

ÓPTICA CRISTALINA
Mario Vendrell
4. INTERACCCIÓN LUZ-MATERIA
Cuando un haz de luz incide sobre un medio puede ser
transmitido (refractado), reflejado, difundido (sobre una
superficie rugosa o por pequeñas partículas), absorbido o puede
provocar la emisión de luz (normalmente en una frecuencia
distinta). El color y el brillo son algunas de las sensaciones que
resultan de estos fenómenos en el rango de frecuencias del
espectro visible, pero existe instrumentación para estudiarlos en
un amplio margen del espectro electromagnético.
De estos fenómenos, la refracción, la reflexión y la
difusión pueden explicarse mediante el modelo ondulatorio de la
luz y su geometría se ha estudiado en un capítulo anterior. Por su
parte, la emisión y la absorción implican transferencia de
energía entre la radiación electromagnética y el medio afectado,
y precisan de una explicación algo más compleja.
4.1. Refracción y reflexión
Cuando un haz luminoso
llega a la superficie que separa dos
medios distintos, parte del mismo
es reflejado hacia el medio de
procedencia, y parte refractado
hacia el otro medio. Si la superficie
que
separa
ambos
completamente
medios
plana
y
es
sin
rugosidades, los fenómenos tienen
lugar
Figura 1. La luz que incide sobre una superficie irregular
sufre reflexión y refracción en cada punto, de tal manera que
los rayos reflejados (en azul) y transmitidos (en naranja)
siguen caminos irregulares. Es lo que se conoce como
reflexión y transmisión difusas.
siguiendo
la
geometría
prevista en las leyes de Descartes.
Si la superficie entre los dos
medios es rugosa, los fenómenos
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que tienen lugar son exactamente los mismos, aunque a escala
macroscópica no siguen la geometría prevista debido a las
reflexiones y refracciones que tienen lugar en las rugosidades,
como se ilustra en la Figura 1. A la escala macroscópica de
observación la luz se dispersa siguiendo diversos caminos de
forma aleatoria, lo que se conoce como reflexión y trasmisión
difusas.
4.2. Difusión por pequeñas partículas
El fenómeno de la difusión (scattering, en inglés) ocurre
cuando un frente de ondas alcanza una partícula de tamaño igual
o inferior a la longitud de onda de la radiación incidente. Para
comprender el fenómeno imagínese un
frente de ondas planas de longitud de onda
igual a la separación entre las líneas que
marcan los sucesivos frentes de ondas de la
Figura 2.
Este frente alcanza la partícula 1, que
se ha dibujado de geometria plana para una
mejor comprensión del proceso, y cuya
dimensión es netamente superior a la
longitud de onda incidente. Aplicando la
Figure 2
construcción de Huygens para la reflexión
sobre la superficie de la partícula, se genera
una onda plana siguiendo las leyes clásicas de la reflexión,
aunque sus bordes son poco definidos debido a los procesos de
difracción que tienen lugar en los extremos de la partícula: en la
figura se ha representado como ondas curvadas asociadas a los
extremos de la onda plana reflejada. En este caso se ha
producido una reflexión sobre la superfície de la partícula.
Cuando el frente de onda alcanza la partícula 2, a causa
de su pequeño tamaño, la onda reflejada no llega a tener una
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superficie plana, y se propaga casi como una onda esférica. Este
fenómeno, que se conoce como difusión de la luz, fué estudiado
para el espectro visible por lord Rayleight , quien demostró que
la intensidad difundida es inversamente proporcional a la cuarta
potencia de la longitud de onda de la luz indicente:
I s = I0 ⋅ k
λ4
donde Is es la intensidad difundida, I0 la
incidente, k una constante, y l la longitud de
onda
de
la
radiación
incidente.
La
distribución espectral de esta intensidad en el
visible se ha representado en la Figura 3, en
la que se puede apreciar que la intensidad
difundida en la zona azul del espectro es más
elevada que en la roja.
Figura 3
Este proceso tiene lugar debido a la presencia de
partículas en suspensión en un medio transparente (el caso del
humo de un cigarrillo, por ejemplo), o por vibraciones de las
moléculas que forman el propio medio, en cuyo caso la
intensidad
de
la
radiación
difundida
depende
de
las
interacciones de estas moléculas entre ellas, y por tanto el
fenómeno suele ser de mayor intensidad en gases que en sólidos.
Ésta es la causa del color azul del cielo durante el día: la
difusión de la luz por las moléculas de los componentes de la
atmósfera, y también en parte, por las partículas en suspensión,
de acuerdo con la fórmula de Raylieght, la difusión es más
intensa en el azul que en la zona de longitudes de onda largas
(rojo), por lo tanto, observando el cielo con el sol a la espalda se
ve azul. Por este mismo motivo, la ausencia de atmósfera es la
causa de que en las fotografías obtenidas en la Luna, el cielo
aparezca de color negro.
Igualmente es posible explicar el color rojo de la zona de
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cielo cercana al sol durante el amanecer y la puesta del sol: la
radiació visible del sol es difundida mayoritariamente en el azul,
por tanto la transmisión de la región espectral de longitudes de
onda largas (rojo) es mayor, y el cielo se ve rojo alrededor del
sol.
4.3. Absorción
La absorción de las ondas electromagnéticas requiere
considerar que los electrones ocupan orbitales con niveles
discretos de energía, separados entre ellos por cantidades
discretas de energía. El principio de exclusión de Pauli limita el
número de electrones que puede ocupar cada orbital, por tanto,
existen orbitales parcialmente ocupados, así como niveles de
energía permitidos sin ningún electrón porque están por encima
de los niveles ocupados por el átomo en reposo. Los electrones
sólo pueden ocupar los niveles de energía permitidos, los niveles
intermedios representan zonas prohibidas.
Cuando
un
medio
es
alcanzado
por
una
onda
electromagnética formada por radiaciones de diversas energías,
alguna de ellas puede coincidir con la de uno de los saltos
energéticos posibles entre un nivel completamente ocupado por
electrones y uno vacío o parcialmente ocupado, entonces un
electrón es excitado al nivel energético superior y la energía de
la frecuencia correspondiente, absorbida. Las radiaciones de
energías superiores o inferiores a los saltos energéticos
permitidos no son absorbidas y, por tanto, atraviesan el medio.
La presencia en un medio de átomos con electrones
potencialmente excitables, o defectos cristalinos que actúen
como trampas energéticas, provocan que éste se comporte como
un filtro que absorbe selectivamente algunas de las radiaciones.
Si esta absorción ocurre en rango visible del espectro, el medio
aparece coloreado.
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Existen, además, otras causas que dan lugar a la
absorción selectiva de ciertas frecuencias del espectro
electromagnético, como vibraciones de la estructura,
vibraciones moleculares, defectos cristalinos (electrones
atrapados en vacancias), transferencia de carga entre cationes,
etc.
En
algunos
elementos
y
compuestos
la
superposición de niveles energéticos asociados a la banda
de
valencia,
produce
una
banda
de
energías
prácticamente continua. Ésto ocurre típicamente en los
enlaces entre metales, así como en algunos sulfuros y
óxidos. En estos casos, gran parte de las energías de las
frecuencias del espectro visible pueden ser casi
completamente absorbidas por los electrones de esta
banda continua de energías, que se conoce como banda
de conducción. Estos cuerpos son fuertemente
absorbentes y de modo práctico, son opacos. La
explicación del comportamiento óptico de los materiales
absorbentes requiere una teoría óptica algo más
compleja, en la cual los materiales transparentes pueden
Figura 4. Espectros de absorción de la
esmeralda y del rubí
ser considerados como un caso particular de absorción
despreciable, como se verá más adelante.
4.4. Emisión
La emisión de luz por parte de un medio puede ocurrir si
cierta energía es absorbida por los electrones de los átomos del
medio considerado, de modo que algunos de éstos son
promovidos a niveles superiores y dejan un hueco en su posición
original. En estas condiciones la configuración del átomo es
inestable y electrones de niveles energéticos superiores pasan a
ocupar el hueco, liberando parte de su energía en forma de
radiación electromagnética de la energía correspondiente al salto
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efectuado.
El fenómeno recibe diversos nombres según la fuente de
excitación y la frecuencia emitida. Si se excita con radiación
electromagnética de energía elevada (ultravioleta o rayos X, por
ejemplo) y se emite en el rango del visible, se denomina
fotoluminiscencia (fluorescencia si la emisión cesa en el
momento que cesa la excitación, o fosforescencia si persiste tras
cesar la excitación), catodoluminiscencia si la excitación se
produce
mediante
un
haz
acelerado
de
electrones,
termoluminiscencia si se produce por calor, etc.
Figura 5 saltos energéticos permitidos.
4.5. Velocidad de la luz en un medio
Cuando la luz atraviesa un medio transparente, se desplaza
a una velocidad inferior a la del vacío, la relación entre ambas
velocidades es una constante del medioI el índice de refracción
n = cv
Para explicar esta disminución de
la velocidad consideremos los átomos del
medio atravesado como un núcleo rodeado
por
una
distribución
esférica
de
electrones. Si se aplica un campo
eléctrico, los electrones de desplazan, es
decir, se polarizan. Si el campo eléctrico
aplicado es variable y está asociado a una
radiación electromagnética, provoca la
oscilación de los electrones con su misma
frecuencia (Figura 6). El núcleo, a pesar
Figura 6. Cuando una nube electrònica (circular, para
simplificar) es alcanzada por una onda se produce un
desplazamiento de la misma debido al campo eléctrico
variable asociado a la onda.
de estar eléctricamente cargado, no
participa de esta oscilación debido a su
elevada masa, que llega a alcanzar el
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99.9997% de la masa total del átomo.
Los electrones, al vibrar, se convierten
en
un
dipolo
generador
de
ondas
electromagnéticas de la misma frecuencia
que la radiación primaria, cuya emisión está
ligeramente desfasada respecto de la primaria
a causa de la inercia debida a la masa del
electrón. Cada electrón emite ondas de muy
baja amplitud (e intensidad) en todas
direcciones, pero sólo pueden interferir las
que se propagan en su misma dirección
Figura 7. La onda producida por los átomos (en gris)
interfiere con la primaria para dar lugar a una onda (en
naranja) ligeramente desfasada respecto de la primaria,
La onda producida por los osciladores
como se puede apreciar en las zonas marcadas con círculos.
La amplitud de la onda gris se ha exagerado para mejor
del átomo está ligeramente desfasada debido
comprensión.
a la inercia de la masa del electrón, por lo que
la onda resultante de la composición de ambas también tiene
cierto desfase respecto de la primaria (Figura 7). La radiación
alcanza el siguiente átomo con ese desfase y el proceso se repite,
y como esto tiene lugar para cada uno de los átomos alcanzados,
el resultado final es que la onda resultante de las sucesivas
interferencias está desfasada respecto de la primaria, es decir, que
se ha propagado a menor velocidad que en un medio sin átomos
(el vacío).
De manera intuitiva, en una primera aproximación, parece
lógico que la luz viaje a menor velocidad en un medio con más
átomos (más denso) que en un medio menos denso. Por eso en
muchos textos se asocia índice de refracción con densidad,
aunque no es más que una aproximación muy simple y poco
aplicable a cualquier tipo de compuestos.
Otra suposición intuitiva es que este proceso no puede ser
idéntico para distintas frecuencias, y que éstas deben tener un
comportamiento diferencial entre sí. Del mismo modo, es fácil
-91-
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imaginar que las frecuencias más elevadas implican mayor
inercia en la emisión secundaria de los electrones, de forma que
la luz de "retrasa" más para las frecuencias elevadas que para las
bajas. Es decir, el índice de refracción de frecuencias elevadas
(longitudes de onda pequeñas) debe ser mayor que para
frecuencias bajas (longitudes de onda largas). Ésto es verdad para
ciertos tramos del espectro electromagnético, y es lo que se
conoce como dispersión "normal" del índice de refracción.
Y aún es posible obtener otra conclusión de este
fenómeno: si la distribución de los átomos en una estructura
cristalina es anisótropa, también lo debe ser la velocidad de
propagación de la luz. Es decir, en el interior de un cristal, la luz
no se propaga con igual velocidad en distintas direcciones.
4.6. Estructura cristalina y propiedades ópticas
Supongamos una estructura cristalina muy
simple constituída por una fila de átomos iguales, que
es atravesada perpendicularmente por una onda
electromagnética (Figura 8a). El vector eléctrico
asociado a la onda es paralelo a la dirección de la fila,
y la polarización de los átomos, a los que se supone
una distribución esférica de los electrones, se hace
como muestra la Figura 8a. En estas condiciones
(polos de signo opuesto cercanos), la polarización se
ve favorecida por la atracción electrostática entre
cargas de signo contrario.
Figura 8.Polarización electrónica de una fila
Si la propagación de la radiación ocurre en la
de átomos alcanzada por una onda que viaja
(a) perpendicular a ella y (b) paralela a la fila dirección de la fila (Figura 8b), y por tanto con el
vector eléctrico perpendicular a la misma, la polarización tiene
lugar como se indica en la figura. Los polos de igual signo están
más cercanos que en el caso a), y esta situación no favorece la
polarización de los átomos.
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Consecuentemente, la velocidad de la luz es menor en el
primer caso que en el segundo, debido a la mayor polarización
eléctrica. Es decir, la velocidad de la luz no es igual en todas las
direcciones y, por tanto, la estructura es anisótropa frente a sus
propiedades ópticas. Se puede intuir que una mayor distancia
entre átomos reduce la polarización de éstos, y la velocidad de la
luz es mayor.
Es posible complicar algo más la situación y suponer un
cristal formado por capas de átomos iguales con una distancia
entre ellos pequeña y una separación entre las capas mucho mayor
(Figura 9), como ocurre en las estructuras de los filosilicatos, por
ejemplo.
Consideremos tres direcciones de los
vectores eléctricos asociados a radiaciones
electromagnéticas E 1, E 2 y E 3. Para E 1,
dirigido perpendicularmente a las capas
estructurales separadas por una distancia
relativamente grande, la polarización es
pequeña, y la luz disminuye poco su
velocidad
respecto
del
vacío
(n 1 será
pequeño). Por el contrario, los vectores
eléctricos E 2 y E3 están en las direcciones en
que
las
distancias
entre
átomos
son
pequeñas, se favorece la polarización, la luz
Figura 9. Posición de los vectores eléctricos asociados a
tres ondas que atraviesan la estructura en direcciones
ortogonales.
Las ondas que viajen en las direcciones paralelas a las
capas, cuyos vectores eléctricos estarán en la dirección de
E1 polarazán poco los orbitales de los átomos, y por tanto
la velocidad de la luz será poco disminuida respecto de la
del vacio.
Las ondas que se desplacen perpendicularmente a las
capas (vectores eléctricos paralelos a las capas) verán
facilitada la polarización electrónica de los átomos, y por
tanto la velocidad de la luz disminuirá significativamente.
viaja a menor velocidad y los índices de
refracción n 2 y n 3 serán mayores que n 1.
Cabe remarcar que la mayor o menor
polarizabilidad de la estructura depende de
la dirección del vector eléctrico asociado a la
radiación,
que
es
perpendicular
a
la
dirección de propagación y, por tanto, se
trata de un fenómeno transversal respecto de la dirección de
-93-
ÓPTICA CRISTALINA
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propagación. Conviene tener en cuenta esta circunstancia para
interpretar y entender otros fenómenos, en que la transversalidad
de la polarización eléctrica y óptica volverá a aparecer.
Se puede intuir que la anisotropía óptica es mayor en
estructuras cristalinas fuertemente anisótropas y que es menos
acusada en estructuras con una distribución más homogénea de
los átomos. Es decir, sin profundizar más en este aspecto, a la luz
de lo expuesto hasta ahora, parece lógico que los tectosilicatos
tengan birrefringencias bajas, mientras que los filosilicatos, o los
carbonatos presenten una fuerte anisotropía óptica.
4.7. Polarización y campo eléctrico
Hasta aquí se ha supuesto una
distribución electrónica esférica alrededor
del núcleo atómico, lo cual no se ajusta a la
realidad porque muchos de los orbitales
poseen una distribución de la probabilidad
radial de forma lobular. En la distribución
esférica considerada, el vector que
determina la polarización eléctrica siempre
coincide con la dirección del vector
eléctrico E, sin embargo, ésto no es así en
Figura 10. Esquema de un orbital lobular con el
campo eléctrico asociado a la onda electromagnética en todos los casos y direcciones.
diversas posiciones respecto de la zona de mayor
probabilidad electrónica del orbital (esquematizada con
Imaginemos un orbital aislado de
una linie negra). En el caso c) la polarización D tiene
lugar en una dirección intermedia entre el campo
distribución lobular como en la Figura 10,
aplicado E i y la dirección de mayor probabilidad
en el que la zona de máxima probabilidad de
electrónica.
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encontrar un electrón corresponde al segmento negro, alargado en
la dirección del lóbulo. Aplicando un campo eléctrico en la
dirección del orbital (caso a), los electrones se polarizan en la
dirección de zona de mayor probabilidad, el vector de la
polarización D es paralelo a E. Si el campo eléctrico asociado a la
radiación es perpendicular al orbital (caso b), la polarización es
menor, pero también paralela a E.
Pero si el vector E forma cierto ángulo con la dirección de
alargamiento del orbital (caso c), se induce una polarización de
los electrones del orbital, de modo que vibran en una dirección
situada entre la zona de mayor probabilidad y E. En este caso, la
polarización D no coincide con E.
Se puede introducir una nueva dirección, asociada al
producto vectorial entre D y el vector magnético H de la radiación
electromagnética, distinta del vector de Pointing antes
considerado:
r
s=
r
S=
r
D×
r
E×
r
H
r
H
normal de onda (propagación de la fase)
rayo (propagación de la energía)
En este ejemplo se ha considerado un orbital aislado, pero
en un átomo hay que considerar la resultante de la polarización de
todos los orbitales que constituyen sus cubiertas electrónicas, y
en una estructura, la resultante de la polarización de sus átomos,
así como las posibles interacciones debido al tipo de enlace y al
poliedro de coordinación. En resumen, hay que tener en cuenta
que, para ciertas direcciones, la polarización no tiene porqué ser
paralela al vector eléctrico.
4.8. Dispersión
-95-
ÓPTICA CRISTALINA
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Dispersión es la variación de las propiedades ópticas con
la frecuencia. Normalmente se considera la variación del índice
de refracción, y en el visible la dispersión se evalua como la
diferencia entre los índices correspondientes a las frecuencias de
las líneas B y G del espectro de Fraunhofer (longitudes de onda
687.7nm y 430.8nm, respectivamente). En esta sección se
considera la dispersión en un amplio margen del espectro
electromagnético.
Aunque la hipótesis de Maxwell trata la materia como un
medio continuo donde la respuesta a los campos eléctrico y
magnético está condicionada por la constante dieléctrica y la
permeabilidad magnética (en cuya hipótesis no varían con la
frecuencia), la experiencia y lo que se intuye de lo visto hasta
ahora, indican que la luz de distintas frecuencias se propaga a
velocidades distintas. Para tratar de justificar la dispersión hay
que introducir la naturaleza atómica de la materia y explotar
algunos de sus aspectos que dependen de la frecuencia.
Como se ha visto, cuando un material dieléctrico (aislante)
se somete a un campo eléctrico, la distribución de la carga de sus
átomos se ve afectada y se polariza. El momento dipolar
resultante por unidad de volumen vale:
P = (∈ − ∈ 0 ) E
donde ∈ y ∈0 son la permitividad eléctrica del medio y del vacío,
respectivamente.
Se puede aproximar que la polarización puede tener lugar,
básicamente, mediante dos mecanismos:
-
en las moléculas con enlaces polares la distribución de
cargas de enlace no es uniforme, y cuando se aplica un
campo eléctrico, los dipolos se orientan sobre sí mismos y
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ÓPTICA CRISTALINA
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se produce una polarización preferentemente orientada en
la dirección del enlace, normalmente covalente.
-
en los átomos y moléculas no polares, la aplicación del
campo eléctrico provoca una polarización condicionada
por la dirección de E, pero sin coincidir necesariamente
con ella.
La polarización afecta a átomos (los electrones de los
átomos) y/o moléculas o grupos iónicos (enlaces entre moléculas
y/o átomos). Normalmente las moléculas y los grupos iónicos
tienen una masa grande y, por lo tanto, una elevada inercia y sólo
pueden polarizarse si la frecuencia del campo eléctrico es muy
baja (longitudes de onda largas). Mientras que para frecuencias
elevadas, sólo los electrones (con muy poca masa e inercia)
pueden seguir las oscilaciones del campo eléctrico, de modo que
éstos aún contribuyen a los valores de la constante dieléctrica
para frecuencias en que ya no lo hacen las moléculas.
Por lo tanto, la variación del índice de refracción con la
frecuencia en función de varios mecanismos de polarización
eléctrica. Se puede deducir pues una expresión para n=f(w)
considerando lo que ocurre en un medio a nivel atómico.
Se puede imaginar cada orbital como una nube electrónica
en equilibrio alrededor del núcleo. Si se desplaza respecto del
mismo, debe existir una fuerza que restaure el equilibrio.
Suponiendo un desplazamiento a lo largo del eje x, la fuerza ha
de ser de la forma F=-kx, de manera que, en la posición de
equilibrio, F = 0. Además, sin la influencia de ningún campo
eléctrico externo, la nube electrónica oscila alrededor de la
posición de equilibrio con una frecuencia natural (o resonante)
w 0.
-97-
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 k
ω0 =  
 me 
1
2
donde m e es la masa del electrón
Se puede imaginar un medio material como un conjunto de
átomos polarizables de pequeño tamaño en relación a la longitud
de onda de la radiación incidente. Cuando en este medio incide
luz, cada átomo se comporta como un oscilador controlado por el
campo eléctrico que varía en función del tiempo E(t). La fuerza
ejercida por este campo sobre un electrón de carga q e es
FE = qe E (t ) = qe E0 cos ωt
la segunda ley de Newton permite deducir la ecuación del
movimiento (la suma de fuerzas es igual al producto de la masa
por la aceleración):
d2x
qe E0 cosωt − meω x = me 2
dt
2
0
(fuerza que conduce la oscilación) – (fuerza que restaura el
equilibrio) =
= (masas electrón) ·( aceleración)
donde x es el desplazamiento
[ -- x ha de ser una función cuya segunda derivada no sea muy
distinta de la propia x --]
El electrón oscila con la misma frecuencia que E(t), por
tanto se puede proponer la siguiente expresión de su oscilación
x (t ) = x0 cosωt , (x o es la amplitud de la oscilación)
substituyendo x en la expresión anterior es posible calcular la
amplitud del oscilador, x o
d 2 ( x0 cosωt )
qe E0 cosωt − meω ( x0 cosωt ) = me
dt 2
2
0
de donde se deduce
-98-
ÓPTICA CRISTALINA
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qe
x (t ) =
qe
me
me
E0 cosωt =
E (t )
2
2
(ω − ω )
(ω0 − ω 2 )
2
0
que es el desplazamiento relativo entre la nube electrónica y el
núcleo positivo. Por tanto, de esta expresión es posible derivar
que:
-
sin un campo eléctrico externo (w=0), el oscilador vibra a
su frecuencia de resonancia w 0.
S
cuando incide una radiación de frecuencia menor que w o,
E(t) y x(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el
oscilador sigue la frecuencia del campo aplicado (están en
fase)
S
si la radiación incidente tiene w>w o, el desplazamiento x(t)
se hace en dirección opuesta a la fuerza aplicada q eE(t)
(están en oposición de fase)
El momento del dipolo es la carga (q e) por su
desplazamiento, y si hay N electrones por unidad de volumen, la
polarización (es decir la densidad de los momentos de los dipolos
vale
P = qe xN
que substituido en la anterior ecuación queda
qe2 NE
P=
me
(ω − ω 2 )
2
0
expresión que substituida en
P = (∈ − ∈0 ) E , da
qe2 N
∈ = ∈0 +
P(t )
me
= ∈0 + 2
E (t )
(ω 0 − ω 2 )
-99-
ÓPTICA CRISTALINA
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y como
n=
ε =
∈
∈0
se puede escribir la ecuación que describe la dispersión de n en
función de la frecuencia w
Nqe2 
1 
n (ω ) = 1 +
 2

∈0 me  ω o − ω 2 
2
-
Según
esta
expresión,
para
frecuencias crecientes,
superiores a la de resonancia (w o2-w 2)<0, el oscilador
oscila en oposición de fase con la fuerza que lo produce.
En estas condiciones (w o2-w 2)<0 el segundo término de la
expresión de la dispersión es negativo y el índice de
refracción es menor que la unidad
-
Para frecuencias inferiores a w o (w o2-w 2)>0 la polarización
eléctrica está en fase con la fuerza que la produce, y por
tanto n>1.
De hecho, lo que realmente ocurre es que cada compuesto
tiene varias de estas transiciones de n<1 a n>1 para frecuencias
crecientes, por tanto, en lugar de una única frecuencia de
resonancia w o, deben existir varias, y consecuentemente, parece
lógico generalizar la expresión suponiendo que en un medio que
contiene N unidades de fórmula por unidad de volumen, cada una
con f j osciladores que tienen frecuencias de resonancia w oj (donde
j =1, 2, 3, 4...)

fj 
Nqe2


n (ω ) = 1 +
∑
∈0 me j  ω oj2 − ω 2 
2
Esta expresión es similar a la que se obtendría mediante la
mecánica cuántica, pero hay que interpretar algunos de los
términos
-100-
ÓPTICA CRISTALINA
S
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w oj deben ser frecuencias características a las cuales un
átomo puede absorber o emitir radiación
S
fj son términos en que
∑f
j
= 1 por tanto, son factores de
j
proporcionalidad
Es de notar, además, que cuando
w=w oj, n es discontinuo (se produce un
término con un cero en el denominador),
y para valores muy cercanos a w oj, n
adopta un valor casi infinito (Figura
11). Este hecho es contrario a los datos
experimentales, para los que n aumenta
para frecuencias w=w oj, pero no se hace
infinito, ni discontinuo
Ello se debe a que no se ha
Figura 11. El valor de n se hace discontinuo para ω0i, aunque
en realidad adquiere la forma de la curva gris. La anomalía
corresponde a lo que se conoce como una banda de absorción.
considerado el efecto de amortiguación
del oscilador debido a la proximidad de
otros átomos, cuya presencia implica cierta fricción que provoca
que parte de la energía se convierta en calor. La fuerza de
amortiguación debe incluirse en el denominador del segundo
término de la ecuación, y si se considera proporcional a la
velocidad y a la masa (m e · dx/dt), la ecuación queda

fj
Nqe2 


n (ω ) = 1 +
∑
∈0 me j  ω oj2 − ω 2 + iγ jω 
2
expresión en la cual del denominador no
llega a ser nunca cero, aunque w oj=w
Figura 12. Curva de dispersión en el espectro visible
calculada a partir de constantes A, B, C.. arbitrarias en la
ecuación de Cauchy.
Entre las zonas donde w oj=w, para
w crecientes, mientras se acerca a w oj, el
término (w oj2-w 2) decrece, y por tanto n
-101-
ÓPTICA CRISTALINA
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crece gradualmente de forma continua con la frecuencia. Es lo
que de denomina dispersión normal
Para un compuesto transparente en el visible, el índice de
refracción sigue una curva como la que se muestra en la Figura
12. Existe una ecuación empírica (ecuación de Cauchy) que
expresa esta variación con una serie
n = A+
-
B C D
+
+ ...
λ2 λ4 λ6
Cuando w se acerca a una frecuencia de resonancia w oj, los
osciladores entran en resonancia, sus amplitudes crecen
significativamente y esto se traduce en una amortiguación
de la radiación incidente y una fuerte absorción de la
misma. Para w=w oj el factor de amortiguación es
claramente dominante, por esto a las regiones del espectro
cercanas a w oj se les llama bandas de absorción. Es la
llamada dispersión anómala, por contraposición a la que se
ha denominado normal.
-102-