SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

TEMA Nº 6
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
6.1 TEOREMA PRELIMINAR
INTRODUCCIÓN.- Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma
P11 ( D) x1  P12 ( D) x2  ...  P1n ( D) xn  b1 (t )
P21 ( D) x1  P22 ( D) x2  ...  P2 n ( D) xn  b2 (t )

(1)
Pn1 ( D) x1  Pn 2 ( D) x2  ...  Pnn ( D) xn  bn (t )
donde las Pij eran polinomios de varios grados en el operador diferencial D. En este capitulo se
confina el estudio a Sistemas de ED de primer grado que son casos especiales de sistemas que
tienen la forma normal
dx1
 g1 (t , x1 , x2 ,..., xn )
dt
dx1
 g1 (t , x1 , x2 ,..., xn )
dt

dxn
 g n (t , x1 , x2 ,..., xn )
dt
(2)
Un sistema como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer
orden
MATERIAL PARA REPASO: La notación de matrices y propiedades se usan de modo extenso
en este capitulo. Es imperativo que revise el Apéndice II o un texto de Álgebra lineal si
desconoce estos conceptos. En particular en esta sección se espera que sepa como sumar
matrices, multiplicarlas y evaluar el determinante de una matriz.
SISTEMAS LINEALES: Cuando cada una de las funciones g1 , g 2 ,...g n en (2) es lineal en las
variables dependientes x1 , x2 ,...xn , se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones
lineales de primer orden.
88
dx1
 a11 (t ) x1  a12 (t ) x2  ...  a1n (t ) xn  f1t )
dt
dx2
 a21 (t ) x1  a22 (t ) x2  ...  a2 n (t ) xn  f 2 t )
dt

dxn
 an1 (t ) x1  an 2 (t ) x2  ...  ann (t ) xn  f n t )
dt
(3)
Se hace referencia a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal. Se
supone que los coeficientes aij y las funciones f i son continuas en un intervalo común I. Cuando
f i (t ) =0, i = 1,2,..., n, se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no
homogéneo.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL: Si X. A (t) y F(t) denotan matrices
respectivas.
a12 (t )
a1n (t ) 
 a11 (t )
 f1 (t ) 
 x1 (t ) 






a22 (t )
a2 n (t ) 
 a21 (t )
 f 2 (t ) 
 x2 (t ) 






.
.
.
X= 
A(t)= 
F(t)= 

 

  
  












 f (t ) 
 x (t ) 
 a (t )

a
t
a
t
(
)
(
)
n
n
n2
nn




 n1

Entonces el sistema de ecuaciones lineales de primer orden (3) se puede escribir como:
 x1   a11 (t )
  
 x2   a21 (t )
d   
=
dt     
  
  
 xn   an1 (t )
o simplemente,
a12 (t )
a22 (t )
an 2 (t )
a1n (t ) 

a2 n (t ) 





ann (t ) 
 x1   f1 (t ) 

  
 x2   f 2 (t ) 

  +
    

  

  
 xn   f n (t ) 
X’ = AX + F.
Simplemente el sistema es homogéneo, entonces su forma matricial es
X’ = AX.
(4)
(5)
EJEMPLO 1 Sistemas escritos en notación matricial
x
(a) Si X =   , entonces la forma matricial del sistema homogéneo
 y
89
dx
 3x  4 y
3
dt
es X’ = 
dy
5
 5x  7 y
dt
4 
 X.
 7 
x
 
(b) Si X=  y , entonces la forma matricial del sistema homogéneo
z 
 
dx
 6x  y  z  t
dt
dy
 8 x  7 y  z  10t
dt
6 1 1   t 
  

es   8 7  1 x  10t 
 2 9  1  6t 

  
dz
 2 x  9 y  z  6t
dt
DEFINICIÓN 6.1
Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna
 x1 (t ) 


 x2 (t ) 

X 
  




 xn (t ) 
cuyos elementos son funciones diferenciales que satisfacen el sistema (4)
en el intervalo.
un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares
x1  1 (t ), x2  2 (t ),...,n (t ) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico como un
conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. Caso importante n = 2, las
ecuaciones x1  1 (t ), x2   2 (t ) representan una curva en el plano x1 x2 es practica común
llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al plano x1 x2 . Se volverá a estos
conceptos y se ilustraran en la siguiente sección.
90
EJEMPLO 2 Comprobación de soluciones
Compruebe que en el intervalo (  ,  )
 e 2t 
1
X 1   e  2t    2t 
  1
 e 
son soluciones de
SOLUCION DE
y
 3e 6t 
 3
X 2   e 6t   6t 
 5
 5e 
 1 3
 X .
X '  
 5 3
  2e 2t 

X '1  
2t 
2
e


(6)
y
18e 6t 
 se ve que
X '2 
6t 
30
e


2 t
  e 2t  3e 2t    2e 2t 
 1 3  e

 
 
 X'

AX 1  
  e 2t    5e 2t  3e 2t    e 2t   1
5
3


 
 

y
6t
6t
6t
6t
 1 3  3e   3e  15e  18e 
  X '2

 6t    6t
AX 2  
6t 
6t 

 

 5 3  5e  15e  15e   30e 
Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden, es similar al de
las ecuaciones de orden n.
PROBLEMA DE VALORES INICIALES. Sea t 0 un punto en un intervalo I y
 x1 (t 0 ) 
1 


 
 x2 (t 0 ) 
 
y
X (t 0 )   2 
X (t 0 )  





 
 
 x (t ) 
 n 
 n 0 
Donde  i , i = 1, 2, ..., n son constantes dadas. Entonces el problema
Resolver
X’=A(t)X+F(t)
(7)
Sujeto a
X( t 0 )= t 0
Es un problema de valores iniciales en el intervalo.
TR
TEOREMA
6.1
Existencia de una solución única
Sean los elementos de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un
intervalo común I que contiene al punto t 0 . Entonces existe una solución
Única del problema de valores iniciales (7) en el intervalo
SISTEMAS HOMOGÉNEOS. En las siguientes definiciones y teoremas se consideran solo
sistemas homogéneos. Sin afirmarlo, siempre se supondrá que aij y las f i son funciones
continuas de t en algún intervalo común I.
91
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. El siguiente resultado es un principio de superposición
para soluciones de sistemas lineales.
Se deduce del teorema 6.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema
homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es también una solución.
EJEMPLO 3 Uso del principio de superposición
Compruebe que los vectores
 cos t



1
1

X 1    cos t  sent 
2
2



cos
t

sent


y
0 
 
X 2   et 
0 
 
son soluciones del sistema
0
1

1


(8)
X '  1
1
0
X .
 2
0
 1

Mediante el principio de superposición la combinación lineal
 cos t

0 


 
1
1


X  c1 X 1  c2 X 2  c1   cos t  sent   c2  et 
2
2
0 


 


cos
t
sent


es otra solución del sistema.
DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Se esta interesado sobre todo en
soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5).
DEFINICIÓN 6.2
Dependencia e independencia lineal
Sea X 1 , X 2 ,......, X k un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5)
en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el
intervalo si existen constantes c1 , c2 ,...., ck , no todas cero, tal que
c1 X 1  c2 X 2  ....  ck X k  0
para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente
dependientes en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
el caso cuando k =2 debe ser claro; dos vectores solución X 1 y X 2 son linealmente dependientes
si uno es un múltiplo constante del otro, y a la inversa. Para k >2 un conjunto de vectores
92
solución es linealmente dependientes si se puede expresar por lo menos un vector solución como
una combinación lineal de los demás vectores.
WRONSKIANO Como en la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación diferencial
ordinaria, se puede introducir el concepto del determinante
wronskiano como prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin
demostración
TEOREMA 6.3
Criterio de soluciones linealmente independientes
 x1n 
 x12 
 x11 
 
 
 
x 
 x22 
 x21 
Sean
X 1   , X 2   , X n   2 n 



 
 
 
x 
x 
x 
 n2 
 n1 
 nn 
n vectores solución del sistema homogéneo (5) en un Intervalo I,
entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I
si y solo si el wronskiano
W ( X , X 2 ,..., X n ) 
 x1n
x11
x12
x21
x22  x2 n

x31

 x3 n
x32
0
(9)
para toda t en el intervalo.
Se puede demostrar que si X 1 , X 2 ,... X n son vectores solución de (5), entonces para toda t ya sea
W ( X , X 2 ,..., X n )  0 o bien W ( X , X 2 ,..., X n )  0 .
Por consiguiente, si se puede mostrar que W  0 para alguna t 0 en I, entonces W  0 para toda t
y, por lo tanto , las soluciones son linealmente independientes en el intervalo.
EJEMPLO 4
soluciones linealmente independientes
 3
1
En el ejemplo 2 se vio que X 1   e 2t y X 2   e 6t son soluciones del sistema (6). Es
 5
  1
evidente que X 1 y X 2 son linealmente independientes es el intervalo (  ,  ) puesto que
ningún vector es múltiplo constante del otro, Además se tiene
W ( X1, X 2 ) 
e 2t
e
para todos los valores reales de t.
2t
3e 6t
5e
6t
 9e 4t  0
93
DEFINICIÓN 6.3
Conjunto fundamental de soluciones
Cualquier conjunto X 1 , X 2 ,..., X n de n vectores solución linealmente
independientes del sistema homogéneo (5) en un intervalo I se dice que es
un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.
TEOREMA 6.4
Existencia de un conjunto fundamental
Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo
(5) en un intervalo I.
TEOREMA 6.5
Solución general, sistemas homogéneos
Sea X 1 , X 2 ,...., X n un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo
(5) en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el intervalo es
X  c1 X 1  c2 X 2  .....  cn X n '
donde las ci 'i  1,2,....., n son constantes arbitrarias.
EJEMPLO 5 Solución general del sistema (6)
 3
1 
Del ejemplo 2 se sabe de que X 1   e  2t y X 2   e 6t son soluciones linealmente
 5
  1
independientes de (6) en  ,   . Por consiguiente, X 1 y X 2 forman un conjunto fundamental
de soluciones en el intervalo. La solución general del sistema en el intervalo es
 3
1 
X  c1 X 1  c2 X 2  c1  e  2t  X 2   e 6t
(10)
 5
  1
EJEMPLO 6
Solución general del sistema (8)
Los vectores
 cos t



1
1

X 1    cos t  sent  ,
2
2


  cos t  sent

 sent



1
1

X 1    sent  cos t 
2
2


  sent  cos t

son soluciones del sistema (8) en el Ejemplo 3. Ahora bien,
 0
 
X 2  1 e t ,
 0
 
94
cos t
0
1
1
W  X 1 , X 2 , X 3    cos t  sent et
2
2
 cos t  sent
0
sent
1
1
 sent  cos t  et  0
2
2
 sent  cos t
para todos los valores reales de t. Se concluye que X 1 , X 2 y X 3 forman un conjunto fundamental
de soluciones en  , . Así que la solución general del sistema en el intervalo es la
combinación lineal X  cX 1  c2 X 2  c3 X 3 ; es decir,
X  c1
 cos t



 0
1
1
  cos t  sent   c 1 et  c
3
 2
 2 
2
 0


 
  cos t  sent

 sent



  1 sent  1 cos t  .
 2

2


  sent  cos t

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución particular X p
en el intervalo I es cualquier vector, libre de parámetros arbitrarios, cuyos elementos son
funciones que satisfacen el sistema(4).
TEOREMA 6.6
Solución general, sistemas no homogéneos
Sea X p una solución dada del sistema no homogéneo (4) en un intervalo I, y sea
X c  c1 X 1  c2 X 2  ....  cn X n
denote la solución general en el sistema homogéneo relacionado (5). Entonces
la solución general del sistema no homogéneo relacionado (5) se llama
función complementaria del sistema no homogéneo (4).
EJEMPLO 7
Solución general, sistema no homogéneo
 3t  4 
 es una solución particular del sistema no homogéneo
El vector X p  
  5t  6 
 1 3
12t  11
 X  

X '  
(11)
 5 3
3

en el intervalo (  ,  ), (Compruebe esto) La función complementaria de (II) en el mismo
 1 3
 X, se vio en (10) del ejemplo 5
intervalo, o la solución general de X ' , 
5
3


1
3
3
4

t
 
 

 2t
e
como X c  c1  e 2t  c2  e 6t  
1
5
5
6



t
 
 


es la solución general de (11) en (  ,  ).
95