t6. geometría de envases

T6. GEOMETRÍA DE ENVASES
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MATEMÁTICAS PARA 4º ESO
MATH GRADE 10
(=1º BACHILLERATO EN ATLANTIC CANADA)
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CURRÍCULUM MATEMÁTICAS
NOVA SCOTIA
ATLANTIC CANADA
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TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS
T6. GEOMETRÍA DE ENVASES
MAURICIO CONTRERAS
ENVASES




Determinar y aplicar fórmulas para perímetro, área y volumen
Demostrar una comprensión de los conceptos de área y volumen
Determinar la precisión de una medida
FORMAS GEOMÉTRICAS
Los estudiantes, en grupos de tres, deben medir formas geométricas (cilindros, sólidos
rectangulares, esferas, conos, prismas rectos)
Herramientas: reglas, cintas métricas, pie de rey
Procedimiento: Cada forma debe ser medida por al menos tres grupos diferentes. Deben
calcular el volumen de cada forma que hayan elegido. Los resultados se tabularán en la clase
en la pizarra como se indica a continuación:
Forma
Grupo 1
Volumen
Grupo 2
Voilumen
Grupo 3
Volumen
A (cono)
B (cilindro)
C
Discusión: los grupos explicarán cómo han medido. ¿Cuál es la mejor herramienta para medir?
¿Por qué los resultados no son todos iguales? ¿Cuál es correcto? ¿Es un asunto importante?
¿Cuándo es importante?

ALFILERES
Aerospace está haciendo una competición y necesita ascender. Está haciendo ahora
manualmente alfileres cilíndricos de 1 mm de precisión. Con un sistema automático puede
alcanzar una precisión de 0,1 mm. ¿Qué implicaciones tiene esto para diseñar un alfiler que
tenga un diámetro de 3,2 cm y una longitud de 9,5 cm? ¿Qué implicaciones hay si seis de estos
alfileres son componentes críticos de un motor para un avión?
Discusión: ¿Qué porcentaje de error hay cuando construyes alfileres de diámetro comprendido
entre 3,2 cm – 1 mm y 3,2 cm + 1 mm, con incrementos de 0,1 mm? (Los estudiantes necesitan
utilizar hojas de cálculo, calculadoras gráficas, o tablas) ¿Cómo cambia esto si compras el
sistema automático? ¿Qué otras industrias (por ejemplo, cirugía cerebral, cirugía láser,
telescopio Hubble) requieren este grado de precisión?

PELOTAS DE TENIS
Las pelotas de tenis tienen un radio de 4 cm. Una caja (con tapa) está bastante bien ajustada al
contenido de seis pelotas de tenis. La disposición de las bolas en la caja se muestra en la
siguiente figura.
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a)
b)
c)
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g)
Halla el volumen de la caja
Halla el volumen del espacio vacío en la caja cuando las seis pelotas están dentro
Halla el porcentaje de volumen de la caja que están vacío cuando las seis pelotas están en
la caja.
Calcula el área de la caja y la tapa
Calcula el área y el volumen de un tubo cilíndrico (con tapa) que se ajusta perfectamente
al contenido de tres pelotas de tenis.
Halla el porcentaje de volumen del tubo que está vacío cuando las tres pelotas están
dentro del tubo
Comenta las ventajas e inconvenientes de los tubos y cajas para guardar pelotas de tenis.

DETERGENTE
a)
La siguiente figura representa una cuchara de medir usada para medir la cantidad de
detergente en una lavadora. Tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 10 cm. Calcula la
altura que alcanza el detergente (h cm) en la cuchara cuando el radio de la superficie de
detergente es de 3 cm.
b)
Supongamos que la misma cantidad de detergente se ha vertido en un contenedor
cilíndrico con la misma altura (10 cm) y diámetro de la base (8 cm). Calcula el porcentaje
del cilindro que está ocupado por el detergente.


Resolver problemas sobre polígonos y poliedros
Explorar propiedades y hacer y poner a prueba conjeturas sobre figuras bi y
tridimensionales
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas
Determinar y aplicar fórmulas para perímetro, área y volumen
d)
e)
f)



PRISMAS Y SIMETRÍAS
El prisma es una forma común en los envases. Los estudiantes deben ser conscientes de que
los prismas se nombran se acuerdo con la forma geométrica de sus bases (que son caras
paralelas)
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Los estudiantes empezarán el estudio de estas caras y explorarán cómo se pueden definir las
formas poligonales usando la simetría. Por ejemplo, pueden definir un triángulo equilátero
como un triángulo con tres ejes de simetría o centro de simetría rotacional de orden 3. Los
estudiantes pueden diferenciar entre cuadrados y rectángulos (usando ejes de simetría) –
cuatro ejes de simetría en el cuadrado, pero solo dos en el rectángulo. Además los cuadrados
tienen centro de simetría de orden 4, mientras que en el rectángulo es de orden 2. Los
estudiantes anotarán la conexión entre eje y centro de simetría en los polígonos regulares.
Los estudiantes anotarán cómo los polígonos regulares y los ejes de simetría están
relacionados. El número de lados de un polígono regular es el mismo que el número de ejes de
simetría. Los ejes de simetría atraviesan los vértices opuestos y los puntos medios opuestos
cuando los polígonos regulares tienen un número de lados par. En cambio, si el número de
lados es impar, los ejes de simetría unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Por
tanto, el orden rotacional de simetría está relacionado con el número de lados del polígono
regular.

ÀREAS
Las áreas se pueden determinar dividiendo el polígono regular en formas conocidas más
pequeñas (por ejemplo, un heptágono se puede dividir en un triángulo isósceles y dos
trapezoides). Los estudiantes pueden dividir cada polígono regular en un número de triángulos
congruentes uniendo los vértices con el centro del polígono.
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
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SIMETRÍAS
Usando simetrías, explica la diferencia entre:
a)
b)
c)
Un paralelogramo y un rectángulo
Un rombo y un cuadrado
Un rombo y un rectángulo
Explica la conexión entre eje y centro de simetría en los polígonos regulares

MÁXIMO VOLUMEN
Mona ha estado explorando los volúmenes, áreas y simetrías de los prismas rectangulares. Ella
conjetura que el volumen se maximiza cuando el prisma rectangular es un cubo. De esto,
conjetura que, para un volumen dado, el prisma rectangular con área mínima debe tener la
máxima simetría. Jack predice que los cilindros con área mínima (para un volumen dado) serán
también las figuras con más simetrías. ¿Por qué crees que piensa así?

PISTA DE BAILE
Cuando intentábamos determinar el área de esta pista de baile, Richard dibujó tres ejes de
simetría uniendo los vértices. Así se formaron seis triángulos de igual área. Explica cómo pudo
Richard determinar el área de cada uno de los triángulos.







Determinar y aplicar fórmulas para perímetro, área y volumen
Resolver problemas sobre polígonos y poliedros
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas
Aplicar funciones trigonométricas para resolver problemas sobre triángulos rectángulos,
incluyendo el uso de ángulos de elevación
Resolver problemas usando las razones trigonométricas
Explorar, determinar y aplicar relaciones entre perímetro y área, y entre área y volumen.
Explorar, descubrir y aplicar propiedades de área máxima y volumen
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
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HEXÁGONO REGULAR
Determina el área de un hexágono regular.
Los estudiantes pueden tomar uno de los seis triángulos formados al juntar los vértices con el
1
centro del hexágono y hallar las medidas angulares <BAC= 360º   60º , por tanto,
6
<B=<C=60º, ya que el triángulo ABC es isósceles. La altura de A a BC biseca al ángulo BAC y a la
base BC (propiedades de simetría)
Si un estudiante toma la longitud del lado del hexágono regular, usando trigonometría, puede
hallar la longitud de la altura. Entonces, usando la fórmula del área del triángulo, puede
obtener el área requerida. Por ejemplo, tomando BC=4 cm, y tan B=tan 60º, entonces 2
tan60º=h. Por tanto, el área del triángulo ABC es: S(ABC)=4 x 2 tan 60º / 2.
Por lo tanto, el área del hexágono regular es: S=6 x S(ABC)=6 x 4 x tan 60º

CONJETURAS
En actividades relacionadas con la anterior y con la simetría, los estudiantes pueden usar
razonamiento inductivo cuando observan conjuntos y hacen conjeturas. Por ejemplo, algunos
pueden conjeturar que, basándose en este ejemplo, que el área de cualquier hexágono se
puede calcular multiplicando su perímetro por tan 60º. ¿Es esto correcto? ¿Por qué?
Averigua si son correctas o no las siguientes conjeturas:
a)
Cuando el número de lados de la base regular de un prisma crece, y el perímetro
permanece constante, el área de la base crece; y si la altura del prisma se mantiene fija, el
volumen también crece.
b)
Si la altura y el perímetro de la base se mantienen constantes, el cilindro es el prisma con
la máxima área de la base y el máximo volumen.
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
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PERÍMETRO CONSTANTE
Bruce explora el área de triángulos con un perímetro fijo. De su investigación, usando varios
triángulos con un perímetro de 45 unidades, conjetura que el triángulo equilátero será el que
tiene mayor área para un perímetro fijado. ¿Qué tiene que decir la simetría de todo esto?

ÁREA CONSTANTE
Dos factores que influyen en el coste de la construcción de una casa son el área del suelo yt el
perímetro de la casa. Bruce y Anne quieren construir un chalet en la playa con un área de 64
m2. Abordan su problema dibujando un conjunto de rectánguos de diferentes formasm, pero
todos ellos con área 64 unidades cuadradas.
a)
b)
Completa la tabla
¿Qué perímetro resulta en el diseño menos caro?
Anchura
1
2
c)
d)
Perímetro
130
68
Como una prueba, Anne dibuja un conjunto de rectángulos, cada uno con un perímetro
de 32 unidades. Completa la tabla:
¿Qué rectángulo tiene la máxima área?
Anchura
1
2
e)
f)
Longitud
64
32
Longitud
15
14
Área
15
28
g)
¿Qué tipo de rectángulo se describe en b) y d)?
Haz un diseño de una casa que tenga 81 m2 de área del suelo con el menor perímetro
para esa área.
Conecta la simetría de tus conclusiones en esta actividad

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
Desarrolla una fórmula para hallar el área de cualquier polígono regular, conociendo su
perímetro y el número de lados.
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MAURICIO CONTRERAS
Explorar, determinar y aplicar relaciones entre perímetro y área, y entre área y volumen.
Determinar y aplicar fórmulas para perímetro, área y volumen
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas
Resolver problemas sobre polígonos y poliedros
Explorar propiedades de y hacer y poner a prueba conjeturas sobre figuras bi y
tridimensionales
Aplicar funciones trigonométricas para resolver problemas sobre triángulos rectángulos,
incluyendo el uso de ángulos de elevación
Demostrar una comprensión de los conceptos de área y volumen
PERÍMETRO CONSTANTE Y ÁREA CONSTANTE
Dado un perímetro fijo de 24 unidades para cada uno de los polígonos de la siguiente figura,
calcula las áreas correspondientes y completa la siguiente tabla. Representa gráficamente la
tabla usando una calculadora gráfica y analiza los gráficos de cada dos conjuntos de estos
datos para determinar si hay relaciones entre el perímetro, el número de lados y el área y
cómo son esas relaciones.
Predice el efecto en el perímetro de un polígono regular si su área se mantiene constante y
variamos el número de lados.
¿Cuál es la figura límite de una sucesión de polígonos regulares cuando aumentamos el
número de lados?

DE LOS PRISMAS AL CILINDRO
a)
Compara el volumen de un prisma cuya base sea un triángulo equilátero con el de un
prisma regular hexagonal de la misma altura.
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b)
¿Hacia dónde se acerca el volumen del prisma si aumentamos el número de lados de la
base?
c)
Con un rectángulo de papel podemos construir dos cilindros, según que consideremos
como altura del cilindro la base del rectángulo o su altura. ¿Cuál de los dos cilindros tiene
mayor volumen?

CUBOS DE HIELO
1)
Merle usa 27 cubitos de hielo para construir un bloque grande de 3x3x3. Se pregunta si
este bloque grande se puede derretir más despacio que los 27 cubitos por separado.
a) ¿Cuántas caras hay en 27 cubos por separado?
b) Si estos cubitos están formando un cubo grande, ¿cuántas de esas caras se ven?
c) Merle concluye que un cubo grande se derretirá más lentamente. ¿Piensas que tiene
razón? Explícalo.
2)
Merle ha repartido ocho cubos grandes de hielo en el picnic de su instituto. El motor del
congelador de su camión se ha roto, por ello coloca los ocho bloques de hielo juntos para
minimizar el proceso de licuación. Averigua, con diversas pruebas, cuál es la mejor
manera de colocar los cubos de hielo. Comenta las simetrías que observes en tu
respuesta.
3)
Supongamos que un trozo de hielo contiene 20 litros de agua. Usando la simetría, explica
cómo hallar la mejor forma de colocar el hielo para que se minimice la velocidad de
licuación

CONTENEDORES
Dibuja dos contenedores de distintas formas que tengan aproximadamente la misma
superficie y
a)
b)
c)
Predice cuál puede tener el mayor volumen.
Calcula el volumen de cada uno
Explica por qué tiene sentido que se presente esa forma
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

MAURICIO CONTRERAS
Explorar, determinar y aplicar relaciones entre perímetro y área, y entre área y volumen.
Explorar propiedades de y hacer y poner a prueba conjeturas sobre figuras bi y
tridimensionales
Resolver problemas sobre polígonos y poliedros
Determinar y aplicar fórmulas para perímetro, área y volumen
Explorar, descubrir, y aplicar propiedades de área y volumen máximos
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas
Demostrar una comprensión del papel de los números irracionales en las aplicaciones
RAZÓN VOLUMEN – ÁREA
Una parte importante del coste de un contenedor es el gasto del material necesario para su
fabricación. El mínimo material necesario para contener un producto es el más económico
para el contenedor.
1)
Explora y determina las áreas y volúmenes de varios poliedros y busca una relación entre
área y volumen que te ayude a comprender algunas decisiones que se toman sobre el
envasado de productos. En particular, explora y determina áreas y volúmenes de prismas,
cilindros y esferas.
2)
Investiga áreas de prismas rectangulares y de cilindros con un volumen fijo para ver si hay
una relación entre ellos. Averigua si, para un volumen fijo, el área se minimiza cuando la
forma del objeto es similar a la de un cubo.
Determina la forma más económica para cualquier volumen de contenedor, comparando
Volumen
área y volumen. Calcula la razón volumen-área (VA), que es el cociente
, para
Área
varios contenedores. Comprueba que el contenedor más económico es aquél que tiene la
razón VA más alta.
3)
4)
Un factor importante respecto del diseño de contenedores es que deben ser fácilmente
construidos, manipulados y almacenados. Fijados el volumen y una de las dimensiones
(por ejemplo, la altura) de un contenedor con forma de prisma rectangular, calcula la
razón VE para varias formas geométricas y averigua cuál es el contenedor más económico.

DESARROLLOS PLANOS
Se facilitará a los estudiantes desarrollos planos (recortables) de poliedros, con objeto de que
a)
b)
c)
d)
Determinen el área de varias formas tridimensionales
Conjeturen qué poliedro corresponde a cada desarrollo plano
Construyan los poliedros en cartulina
Tomen las medidas necesarias y calculen el área, comprobando si la conjetura era buena.

LATA DE ATÚN
Averigua si la típica forma de una lata de atún, que contiene alrededor de 210 ml, es la que
tiene dimensiones mejores para maximizar la razón VA.
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
MAURICIO CONTRERAS
PANAL DE MIEL
¿Por qué las abejas construyen sus paneles usando celdillas hexagonales? ¿Cuál crees que es la
causa?

ALTURA CONSTANTE
Explica qué ocurre con el área y la razón VA de un prisma poligonal con altura constante,
cuando el número de lados de la base regular crece. Usa diagramas y/o tablas para ayudarte
en tu explicación.

ENVASAR CEREAL
Si una empresa manufactura cereal y te pide desarrollar un nuevo tipo de envase para su
cereal, ¿qué consejo le darías?

LATA DE REFRESCO
Una empresa quiere diseñar una lata de refresco que sea lio más ecológica posible, con la
menor cantidad posible de aluminio para su fabricación. Debe contener 355 ml de refresco.
Diseña un modelo de lata que cumpla las condiciones de la citada empresa.

EL EDIFICIO
Este edificio tiene la forma de un prisma octogonal regular con una pirámide en el tejado.
Dibuja un desarrollo plano del tejado.
a)
¿Cuántas caras tiene el edificio (no olvides el tejado)? ¿Cuánto9s vértices? ¿Cuántas
aristas?
b)
Cada lado del octógono mide aproximadamente 12 m, la altura del prisma octogonal mide
15 m y la altura del tejado piramidal es de 4,5 m. Calcula, aproximadamente, su superficie
y su capacidad.
c)
Calcula aproximadamente el máximo número de contenedores con forma de prisma
hexagonal que pueden colocarse en el suelo de este edificio. Los contenedores miden 8,5
cm de lado y 20 cm de altura.
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


MAURICIO CONTRERAS
Determinar y aplicar relaciones entre los perímetros y áreas de figuras semejantes y entre
superficie y volumen de sólidos semejantes
Aplicar transformaciones cuando se resuelven problemas
Aplicar las propiedades de los triángulos semejantes

LA CAJA DE CEREALES
1)
Un prisma rectangular se usa como caja de cereales y tiene medidas 3 cm por 10 cm por
28 cm. Para aumentar su capacidad, la anchura y la altura de la caja se hacen el doble. ¿Se
obtienen así dos prismas semejantes? ¿Por qué?
2)
Aumentar el tamaño de un contenedor (para producir un contenedor semejante) afecta a
su volumen, área y razón VA. Anota el efecto de los factores de escala en el volumen, área
y razón VA.
3)
Para la caja de cereales anterior, ¿cómo puede verse afectada la capacidad de la caja, si
cada una de las medidas se hacen el doble?

EXTENSIONES
Explica con tus palabras cómo se ven afectadas las relaciones entre los perímetros y las áreas
de figuras semejantes cuando extendemos el área y volumen de sólidos semejantes.
Usa dilataciones para mostrar cómo se puede determinar la relación entre el área y el
volumen.

LAS CAJAS
a)
b)
c)
Usando una regla graduada, averigua si el contenedor B es semejante al contenedor A
Explica cómo has hallado tu respuesta al apartado a)
Suponiendo que son semejantes, halla el cociente entre las razones VA de ambos
contenedores.
Haz un contenedor C que tenga la misma anchura y profundidad que B, pero una altura
igual a la altura de A.
Halla la razón VA para el contendor C y explica qué significa con respecto a los
contenedores A y B.
¿Cuál de los contenedores A, B o C prefieres usar para un desayuno de cereales? Explícalo
con detalle.
d)
e)
f)
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


MAURICIO CONTRERAS
Explorar propiedades de y hacer y poner a prueba conjeturas sobre figuras bi y
tridimensionales
Resolver problemas sobre polígonos y poliedros
Construir y aplicar alturas, medianas, bisectrices, y mediatrices para examinar sus puntos
de intersección
Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan conjuntos, se desarrollan
propiedades y se formulan conjeturas
Usar razonamiento deductivo, construir argumentos lógicos y ser capaz de averiguar
cuando un argumento lógico es válido
RIGIDEZ
Investiga qué factores pueden afectar a la rigidez y resistencia. Usa varillas de mecano que
puedes unir por los vértices y puedes alterar fácilmente su forma. Por ejemplo, tres varillas
unidas por los vértices forman un triángulo que no puede ser deformado para formar
diferentes triángulos. Por otra parte, cuatro varillas unidas producen una forma rectangular,
pero puede ser alterada para producir un paralelogramo que no sea rectángulo. Prueba a
conectar dos vértices opuestos y comprueba cómo afecta esto a la rigidez de la figura.

LINEAS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS
Construye varios triángulos de diferentes formas y, para cada uno, construye las alturas, las
medianas y las bisectrices. Investiga para qué tipo de triángulos coinciden las tres cosas (altura,
mediana y bisectriz). Explica el caso especial del triángulo equilátero y del triángulo isósceles.
Demuestra tus conjeturas.
Por ejemplo, si el triángulo RST es isósceles y RS=RT, entonces si RM es una bisectriz, los
ángulos <SRM y <TRM son iguales, por tanto los triángulos SRM y TRM son iguales.
Luego SM=MT; por tanto RM es una mediana. Es decir, RM es, a la vez, altura, bisectriz y
mediana.

PUENTES
Se forman grupos de cuatro estudiantes para construir puentes, hechos solamente con pajitas
y alfileres estrechos. Cada puente debe ser construido con el mínimo coste y debe soportar un
borrador. La tarea debe finalizar en 20 minutos.
Materiales:
 5 pajitas (gratis)
 10 alfileres (gratis)
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T6. GEOMETRÍA DE ENVASES
MAURICIO CONTRERAS
Condiciones / Costes:
 Cada puente debe tener al menos 10 pajitas de anchura y 1,5 pajitas de longitud
 Cada pajita adicional cuesta 100000 euros
 Cada alfiler adicional cuesta 10000 euros
 Tiempo de penalización: si no está acabado en 20 minutos, añadir un coste de 250000
euros por minuto

BISECTRICES
a)
b)
Demuestra que cualquier punto P de la bisectriz de un ángulo es equidistante de los lados
del ángulo.
Usa el teorema anterior para demostrar que un punto P que sea intersección de dos
bisectrices es el incentro del triángulo, es decir, es el centro de la circunferencia inscrita al
triángulo.

CENTRO DE GRAVEDAD
a)
Explica con tus palabras por qué la intersección de las tres medianas de un triángulo es el
centro de gravedad del triángulo.
¿Cómo puede ser útil el centro de gravedad cuando se diseñan contenedores?
b)









Aplicación de fórmulas para hallar perímetros, áreas y volúmenes
Precisión de medidas
Razonamiento inductivo y deductivo
Resolución de problemas sobre triángulos rectángulos usando funciones trigonométricas
Relaciones entre perímetro y área, entre área y volumen y resolución de problemas sobre
área máxima y volumen máximo
Relaciones entre perímetros, áreas y volúmenes de sólidos semejantes
Resolución de problemas mediante transformaciones
Propiedades de los números irracionales
Construcción de alturas, medianas, bisectrices y mediatrices
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