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“Modelamiento
de Problemas”
Carlos Valle
Vidal
Introducción
“Modelamiento de Problemas”
Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
Carlos Valle Vidal
[email protected]
Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Rancagua, Agosto 2009
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Temario
“Modelamiento
de Problemas”
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Vidal
Introducción
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Introducción
2
Proceso de Modelamiento
3
Sistemas dinámicos
Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
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Introducción
1
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Proceso de Modelamiento
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Sistemas dinámicos
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Introducción
“Modelamiento
de Problemas”
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Introducción
Proceso de
Modelamiento
Se denomina modelamiento a la descripción matemática de
un sistema o fenómeno.
El modelamiento tiene dos pasos relevantes:
Identificar las variables que originan cambios.
Establecer hipótesis razonables.
Sistemas
dinámicos
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Introducción
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Proceso de Modelamiento
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Sistemas dinámicos
Proceso de
Modelamiento
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Proceso de Modelamiento
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Proceso de
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Crecimiento demográfico
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
El economista inglés Thomas Maltus (1798) fue el primero en
modelar matemáticamente el crecimiento demográfico
humano.
Hipótesis: El crecimiento de la población crece en forma
proporcional a la población total.
Sea P(t) la población en un tiempo t.
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Crecimiento demográfico (2)
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Proceso de
Modelamiento
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Matemáticamente:
∂P
= kP
∂t
Esta ecuación predijo con mucha exactitud la población de
EEUU entre 1790 a 1860.
La ecuación anterior es la misma que rige la desintegración
radioactiva, la tasa de capitalización de una inversión
financiera, etc.
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Ley de Newton
“Modelamiento
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La Ley de Newton de enfriamiento se expresa como:
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
∂T
= k(T − Tm )
∂t
Donde T(t) representa la temperatura del objeto en el
instante t y Tm es la temperatura del medio
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Vaciado en un estanque
“Modelamiento
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
∂h
A0 p
=−
2gh
∂t
At
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Caida Libre
“Modelamiento
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
∂2 s
= −g
∂t2
s(0) = s0
s0 (0) = v0
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Caida Libre con resistencia al aire
“Modelamiento
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Introducción
Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
∂2 s
= mg − kv
∂t2
s(0) = s0
m
s0 (0) = v0
mg actúa en la dirección positiva. K es una constante
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Circuitos eléctricos
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
∂i
1
L + Ri +
∂t
C
Z
i∂t
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Introducción
2
Proceso de Modelamiento
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Sistemas dinámicos
Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
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Sistemas dinámicos
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
Los ejemplos anteriores son muestras de los llamados
“Sistemas dinámicos”, es decir, sistemas que cambian a
través del tiempo.
Un sistema dinámico consiste en un conjunto de variables
dependientes del tiempo llamadas variables de estado.
Los sistemas dinámicos se modelan por las llamadas
ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las
derivadas de una o más variables dependientes con respecto
a una o más variables independientes.
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Clasificación de ecuaciones diferenciales
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su:
Tipo: ordinarias o derivadas parciales
Ordinarias: una variable independiente
Orden: derivada de mayor orden.
Linealidad
La siguiente ecuación es ordinaria de grado dos y lineal.
∂2 y
∂y
+ 3 + 2y = 4e−2t − 5
∂t2
∂t
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Resolución de ecuaciones diferenciales
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
Veremos la forma de resolver ecuaciones diferenciales en
MATLAB a través de un ejemplo.
Solucionar la ecuación:
∂2 y
∂y
+ 3 + 2y = 4e−2t − 5
2
∂t
∂t
Sujeta a las siguientes condiciones iniciales:
y(0) = 2, ∂y
∂t = −1
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Primer Paso: Conversión a variables de estado
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Proceso de
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Sistemas
dinámicos
Esto se hace cambiando variables:
x1 = y
∂y
x2 =
∂t
Esto significa escribir la ecuación diferencial original de orden
n como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden
La ecuación original queda:
∂x1
= x2
∂t
∂x2
= −3x2 − 2x1 + 4e−2t − 5
∂t
x1 (0) = 2
x2 (0) = −1
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Segundo paso: Creación de un archivo M para
representar la función
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function dx = ecuacion1(t,x)
% x es el vector de estado
%para minimizar parentesis usamos variables x1 y x2
x1=x(1);
x2=x(2);
% ahora se escriben las ecuaciones de estado
dx1 =x2
dx2= -3*x2 - 2*x1 + 4*exp(-2*t) -5;
% se agrupan las derivadas en un vector columna
dx=[dx1; dx2];
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Tercer paso: Invocar un “ode solver”
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Ode: Ordinary differential equation solvers
MATLAB posee varios “ode solvers” . Usaremos el ode45.
>> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]);
Proceso de
Modelamiento
Se usa el sı́mbolo @ seguido del nombre de la función.
Sistemas
dinámicos
[0 10] es el rango de valores.
[2 ; −1] son las condiciones iniciales
>> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]);
[t, x] es la solución. T almacena el tiempo y x es la solución
donde x(1) es la columna 1 y x(2) la columna 2
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Cuarto paso: Graficar las soluciones
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Para graficar la primera columna de x:
>> plot(t, x(:,1))
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Ejemplo: Demografı́a
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Sistemas
dinámicos
Resolver la ecuación de Maltus
∂P
= kP, k = 0.5, P(0) = 1000
∂t
Como es de orden 1, sólo hay una ecuación: x1 = P y
x1 (0) = 1000.
Se crea el archivo M:
function dx= maltus(t,x)
x=x(1);
dx=0.5*x;
Se invoca el “ode solver”
[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000])
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Ejemplo: Demografı́a (2)
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Proceso de
Modelamiento
Sistemas
dinámicos
Si queremos generalizar k como parámetro
function dx= maltus(t,x,k)
x=x(1);
dx=k*x;
Se invoca el “ode solver”
>>k=0.5;
>>[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000],[],k)
se agregan los parámetros adicionales a la función, pero al
momento se llamar a ode45 se agrega [ ] como cuarto
parámetro antes de ingresar los valores de los demás
parámetros.
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Ejemplo: Demografı́a (3)
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Se grafica el resultado
plot(t,x(:,1))
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Consultas y Comentarios
“Modelamiento
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