Fuerza creada por un imán

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Fuerza creada por un imán
1) Introducción
Nos proponemos encontrar la expresión que permite determinar la fuerza creada por un imán, fundamentalmente en nuestro caso, un electroimán. Esto nos dará los medios para realizar el diseño de este dispositivo muy usado en al técnica.
2) Energía almacenada por el campo magnético
Si poseemos un circuito R-L, como lo que ocurre cuando poseemos un electroimán, según lo indicado en
la fig. 2.1, podemos obtener la energía puesta en juego en el circuito del sig. modo
v
e
= R .i + e = R .i +
dφ
N
dt
La anterior representa la tensión como suma de la caída en la resistencia más la fem inducida dada por la
ley de Faraday.
R
L
E
fig.2.1
Si multiplicamos la expresión anterior por la corriente, tendremos la potencia:
p = vi = Ri 2 + N.i .
dΦ
dt
:
Por otra parte, la energía desarrollada en un intervalo de tiempo infinitesimal dt, lo podemos escribir
dW = pdt , que si la aplicamos a la expresión anterior,
dW = p.dt = Ri 2 .dt + N.i.dφ
Energía.
Joule
Magnética.
Recordando la ley de Ampere para los materiales magnéticos
∫ H.dl = Ni , vimos que para el caso más
sencillo HlFe = Ni y que Φ = BSFe , podemos escribir a la expresión de la energía del sig. modo:
dWmag = HlFedΦ = HlFeSFedB y observando que SFelFe = Vol = Volumen , resulta que la energía almace W 
nada por unidad de volumen es d
 = dw = HdB . Por lo tanto, finalmente, si sumamos todas las
 Vol 
contribuciones infinitesimales, esto es integramos a lo largo del ciclo de histéresis, habremos obtenido la
energía total almacenada por unidad de volumen. Es decir w = ∫ HdB ⇒ W = Vol ∫ HdB , donde C repreC
senta el ciclo de histéresis del material.
Gráficamente se observa en la fig. 2.2.
C
2
fig. 2.2
Sin embargo el material al magnetizarse describe un ciclo cerrado (ciclo de histéresis), por lo tanto en
parte del ciclo, mientras se magnetiza absorberá energía, mientras que mientras se desmagnetiza, esa
energía la devolverá al sistema. No obstante el material absorberá una energía neta no nula, por lo que el
generador deberá entregar energía para la magnetización del núcleo, eso es lo que se conoce como pérdidas por histéresis. Esto se observa en las figuras siguientes.
Energía absorbida
Fig. 2.3
Se ve que en la porción del ciclo abc, correspondiente a la mitad del ciclo, el material se está magnetizando (B aumenta) por lo que absorberá energía, por su parte en la fig. 2.4 se ve que en el segmento del
ciclo cd el material se desmagnetiza, de manera que esa energía será devuelta.
Energía devuelta
Fig.2.4
3
Finalmente, si se analiza todo el ciclo, mediante una interpretación como la anterior, queda claro que el
área encerrada por el ciclo representa, en escala, la energía necesaria para magnetizar el material que la
deberá entregar el generador y que define las pérdidas por histéresis, que constituye, junto con las pérdidas por corrientes parásitas, un valor que entrega el fabricante de núcleos y que se llama pérdidas en el
hierro, que se la especifica por unidad de volumen.
Finalizando, si el campo se almacena en el entrehierro, es decir en el aire, la permeabilidad es constante e
igual a µ0.
Por lo tanto la inducción magnética variará linealmente con la intensidad de campo como se ve en la fig.
2.5. En ella puede concluirse que el área del rectángulo rayado representa la energía almacenada debida a
un elemento de inducción, mientras que si queremos el valor de la densidad de energía total estará repre1
sentada por el área total del triángulo, por lo que w = BH y como en el espacio libre
2
2
B
B
B = µ 0H ⇒ H =
y finalmente w =
2µ 0
µ0
fig.2.5
3) Fuerza creada por un electroimán
Analizando un sistema formado por un electroimán y una barra que es la que se desea mover vinculada a
la pared mediante un resorte. Esto se aprecia en la fig. 3.1. Ambas partes están separadas por el aire
fig. 3.1
Primeramente establezcamos la relación entre la energía del sistema y la fuerza. Sabemos que el trabajo o
dW
la energía desarrollada por una fuerza al desplazarse es dW = Fdx ⇒ F =
. En otras palabras, puede
dx
B2
entenderse que la fuerza es proporcional a la variación de la energía. Por lo tanto W = Vol .
y
2µ 0
F=
d 
B2 
 Vol.
 y pensando que el volumen del entrehierro puede escribirse como Vol = SFe.x .
dx 
2µ 0 
4
B2 d
B2
d
B2
. (SFe.x ) =
SFe . (x ) =
SFe , o lo que expresado en términos
2µ 0 dx
2µ 0
dx
2µ 0
B.H
más generales válido para cualquier imán, aún permanente, podemos escribir F =
SFe
2
El sentido de la fuerza es aquél que tiende a disminuir el entrehierro. Si se trata de un electroimán, podemos expresar la fórmula anterior en términos del campo magnético y, consecuentemente de la corriente,
Reemplazando obtenemos F =
2
1 N 2SFe 2
1
1  N .I 
es decir F = µ 0H 2 SFe = µ 0
 SFe . Finalmente F = µ 0 2 I Esta última expresión permite
2
x
2
2  x 
determinar la fuerza de atracción creada en el entrehierro de un electroimán y, por supuesto, los distintos
parámetros para lograr una determinada fuerza.