Función hiperbólica

10/6/2014
Función hiperbólica - Wikipedia, la enciclopedia libre
Función hiperbólica
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Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante
operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas1 . Estas son:
El seno hiperbólico
El coseno hiperbólico
La tangente hiperbólica
Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh y
tanh
y otras líneas:
(cotangente hiperbólica)
(secante hiperbólica)
Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y
coth
(cosecante hiperbólica)
Índice
1 Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares
2 Relaciones
2.1 Ecuación fundamental
2.2 Duplicación del argumento
2.3 Derivación e integración
3 Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas
4 Series de Taylor
5 Relación con la función exponencial
6 Véase también
7 Referencias
Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares
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Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia
unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento
OP, según las siguientes igualdades:
También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0)
y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la
circunferencia unitaria.
De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las
coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera,
centrada en el origen, cuya ecuación es
siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje
positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes
igualdades:
Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente
descripción de la hipérbola:
Animación de la representación del seno hiperbólico.
dado que
De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de
variable real:
Relaciones
Ecuación fundamental
Duplicación del argumento
Tenemos las siguientes fórmulas2 muy similares a sus correspondientes trigonométricas
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que nos lleva a la siguiente relación:
y por otra parte
que nos lleva a:
se tiene esta otra relación
que nos permite tener
Derivación e integración
Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.
La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina
catenaria.
Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas
Las funciones recíprocas y derivadas de las funciones hiperbólicas son:3 4
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Series de Taylor
Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:
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Relación con la función exponencial
De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:
y
Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de
exponenciales complejos.
Véase también
Trigonometría
Funciones trigonométricas
Logaritmo natural
Número e
Hipérbola
Referencias
1. ↑ Cálculo de Granville
2. ↑ Bronshtein, I y otro (1982). Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696.
3. ↑ Purcell, Edwin J. y otro (1987). Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. p. 868. ISBN 0-13111807-2.
4. ↑ wikipedia. «Hiperbolic (http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function)» (en english).
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