Introducción a los grupos profinitos

Introducción a los grupos profinitos
Taller en Algebra y Topologı́a: Grupos y Grupos topológicos
Cuernavaca UNAM 5. Marzo y 12.–15. Marzo 2008
Wolfgang Herfort∗
Dedicado a mi amigo Peter Plaumann
February 11, 2009
Abstract
Vamos a definir lı́mites proyectivos de conjuntos/grupos finitos. La
teorı́a de Galois ofrece una situación muy natural para describir un grupo
de Galois como un grupo profinito. Los grupos profinitos tienen propiedades
similares a grupos finitos; por ejemplo, todo grupo profinito tiene psubgrupos de Sylow para p un número primo. Todo grupo pro-soluble
(un lı́mite proyectivo de un systema proyectivo de grupos solubles y finitos) tiene subgrupos de Hall para todo conjunto de números primos. Un
grupo (discreto) puede ser considerado como un grupo topológico con la
topologı́a profinita. Una base consiste de los subgrupos normales de ı́ndice
finito. Se puede completar el grupo y obtener su completación profinita.
Un grupo libre profinito es la completación profinita de un grupo libre.
Este es un caso especial de productos amalgamados y de extensión HNN
(Higman-Neumann-Neumann). Desafortunadamente no es posible hablar
sobre cohomologı́a de grupos profinitos en estas breves notas.
[2] es la célebre introducción a la teorı́a de grupos profinitos de Luis
Ribes (Ottawa y Madrid).
Contents
1 Lı́mites proyectivos
2
2 Los grupos profinitos son grupos finitos “grandes”
5
3 La completación profinita de un grupo arbitrario
8
4 Construcciones libres
11
5 Gracias
14
∗ Mis
agradecimientos por la invitación generosa a la Facultad de Ciencias de la UAEM y
al Instituto de Matemáticas de la UNAM. Mis gradecimientos por ayuda a el Außeninstut de
la Universidad Técnica de Viena
1
1
Lı́mites proyectivos
Definición 1 Sea (I, ≤) un conjunto con un orden ‘≤’ parcial y dirigido.
Ası́, ‘≤’ es una relación reflexiva, asimétrica, transitiva y para cualesquiera
ı́ndices i, j ∈ I existe k tal que i ≤ k y j ≤ k. Para toda i ∈ I, sea Xi un
conjunto y supongamos que para toda i ≤ j, φji es una aplicación tal que
para todo ı́ndice k ≤ j ≤ i, el diagrama
Xi SSS
SSS)
φik
φij
Xk
/
kk Xj
ukkkφkjk
conmuta.
El siguiente diagrama muestra un ejemplo muy simple:
?
~~
~~
~~
y
6 o ...
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, . . .)
5 o 5 o ...
~~
4 o 4 o 4 o ...
(1, 2, 3, 4, 5, 5, . . .)
(1, 2, 3, 4, 4, . . .)
3 o 3 o 3 o 3 o ...
~~
2 o 2 o 2 o 2 o 2 o ...
1o 1o
1o
(1, 2, 3, 3, . . .)
(1, 2, 2, . . .)
1 o 1 o 1 o ...
(1, 1, . . .)
En este ejemplo, I = N es el conjunto de los números naturales, ‘≤’ es
el orden habitual. Para cada i ∈ N tenemos que Xi := {1, 2, . . . , i} y las
flechas indican las aplicaciones φi+1i . Por ejemplo φ43 (4) = 3, φ43 (i) = 3
para i ≥ 3 y φ43 (i) = i para i < 4.
Definición 2 Para definir el lı́mite proyectivo del sistema (I, ≤) procedemos de la siguiente manera:
Q
1. Construimos
el producto cartesiano P := i∈I Xi (las aplicaciones
S
f : I → i∈I Xi con f (i) ∈ Xi ).
2. El lı́mite proyectivo X := lim Xi es el subconjunto de P que
←−i∈I
consiste de todods los elementos f tales que para toda j ≤ i se
cumple que φij (f (i)) = f (j).
3. Las aplicaciones φi : P → Xi tales que φij φi = φj para todo ı́ndice
j ≤ i se llaman las proyecciones canónicas.
Teorema 3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes para un conjunto X:
• X es un espacio topológico compacto, totalmente disconexo y T2 .
• X es el lı́mite proyectivo de un sistema de conjuntos finitos.
Q
• X es un subconjunto cerrado del producto cartesiano j∈J Aj de
conjuntos finitos Aj . Aquı́, todo Aj es un espacio discreto.
2
Tal X es un espacio profinito.
En el ejemplo Xi = {1, 2, . . . , i} los elementos de X son los hilos (fi ) tal
que 1 ≤ f (i) ≤ i y lim
X consiste de los hilos (1, 2, 3, 4, . . . , i, i, i, i, . . .)
←−i∈N i
X como
para i ∈ N y el hilo especial (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .). Se ve que lim
←−i∈N i
un conjunto se identifica con N∪{∞}, la compactificación de Alexandrov.
El lı́mite proyectivo lim Xi de un sistema proyectivo (Xi , φij ) satisface
←−i
una propiedad universal: Si Z es un espacio profinito y existen aplicaciones
continuas ψi : Z → Xi tales que para todo ı́ndice i ≤ j los diagramas
Z
ψi
ω∃!
"
lim X
←−k k
φi
!
/ Xi
FF
FF
φij
F
φj FF
F" . Xj
ψj
conmutan. Entonces, existe una flecha universal ω tal que φi ω = ψi para
toda i ∈ I.
Ejercicio 4 Consideremos el diagrama
gg 0000 . . .
sg
o gg 0001 . . .
000
i
tiiiii
00 jUUUUU
0010 . . .
U
so gggg
g
||
|
001
0011 . . .
||
|
}|
0 aB
BB
BB
BB
010 okWWWWW 0100 . . .
iiiii
ti
01 jUUUUU
0101 . . .
U
k WWWW 0110 . . .
011 oW
0111 . . .
Usando el diagrama, ¿cómo definir un sistema proyectivo?
¿Cómo definir φij ?
Ejercicio 5 Sea X = lim Xi tal que ningún Xi es vacı́o. Demuestre las
←−i
siguientes afirmaciones:
1. X no es el conjunto vacı́o.
2. Para todo punto x ∈ X y toda vecindad U de x existe un ı́ndice i ∈ I
tal que φ−1
i (φi (x)) es una vecindad cerrada y abierta de x contenida
en U .
T
3. Para un subconjunto A ⊆ X la cerradura Ā es igual a i∈I φ−1
i φi (A).
Si ψij denota la restricción de φij a φi (A), entonces (φi (Ai ), ψij )
determina un sistema proyectivo. Demuestre que A = lim φi (Ai ).
←−i
3
Ejercicio 6 (Topologı́a de Vietoris) Para un espacio profinito X = lim Xi
←−i
sea C(X) el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacı́os de X.
Para una aplicación continua f : X → Y se define C(f ) : C(X) → C(Y )
dada por C(f )(A) := {f (a) | a ∈ A}. La aplicación C(−) es un functor.
Se obtiene un sistema proyectivo (C(Xi ), C(φij )). Pruebe que C(X) =
lim C(Xi ). Pruebe que los subconjuntos W (U1 , . . . , Un ) de C(X), donde
←−i
Ui son subconjuntos cerrados y abiertos de X, y
W (U1 , . . . , Un ) := {C ∈ C(X) | C ⊆
n
[
Uj ∧ C ∩ Cj 6= ∅, j = 1, . . . n}
j=1
forman una base de la topologı́a de Vietoris.
Ejemplo 7 Sea k un campo y I el conjunto de todas las extensiones de
Galois finitas de k. La relación K ≤ L si k ⊆ K ⊆ L es un orden parcial.
Se sabe que para todas las extensiones de Galois finitas K y L existe una
extensión de Galois finita M con K ≤ M y L ≤ M . Entonces, ≤ es un
orden dirigido.
Lema 8 Si para todo i ∈ I el conjunto Xi es un grupo y todos los φji
son homomorfismos, se puede definir una operación en X tal que X es un
grupo topológico y las proyecciones canónicas son homomorfismos continuos.
Q
Demostración: El producto P := i∈I Xi es un grupo con la operación
(xi )(yi ) := (xi yi ). Se ve que la operación es continua, si P tiene la
topologı́a producto. El lı́mite proyectivo lim Xi es un subgrupo cerrado
←−i
de P .
Ejemplo 9 Como en el ejemplo 7 consideremos todas las extensiones de
Galois finitas de un campo k. Sea G(K|L) el grupo de Galois para K
una extensión de Galois de L. El Teorema de Galois dice que G(L|k) es
isomorfo a G(K|k)/G(K|L).
O
K
O
G(K|L)
LO
k
O
G(K|k)
G(L|k) ∼
= G(K|k)/G(K|L)
Por eso K ≤ L (L ⊆ K) lleva a un homomorfismo canónico φKL :
G(K|k) → G(L|k). El sistema proyectivo
S (G(K|k), φLK ) tiene como
lı́mite proyectivo lim G(K|L). Sea k̂ := K K. Es fácil ver que k̂ es
←−K
un campo, una extensión algebraica y normal de k. El grupo de Galois
G(k̂|k) es exactamente el lı́mite proyectivo lim G(K|L).
←−K
Si en el diagrama sustituimos K para k̂ se ve que G(k̂|L) es un subgrupo normal de G(k̂|k) de ı́ndice finito. La topologı́a de Krull tiene a
todos los grupos G(K|L) como vecindades de la unidad. Se puede verificar que G(k̂|k) es un grupo profinito y la presentación como un lı́mite
proyectivo es “adecuada”.
4
Ejercicio 10 Si G es un grupo profinito, consideremos el conjunto N de
todos sus subgrupos normales abiertos y ‘’ el orden dado por N ≤ M si
M es un subgrupo de N . Demuestre:
1. todo N ∈ N es cerrado;
2. (N , ) es un conjunto con un orden dirigido;
3. Si φN : G → G/N denota el homomorfismo canónico, entonces existen homomorfismos inducidos φN M : G/M → G/N si M está
contenido en N . Tenemos G = lim G/N .
←−N
Ejercicio 11 Pruebe que para un grupo profinito G los subgrupos cerrados forman un subconjunto S(G) cerrado de C(G). Para un subgrupo
normal abierto N y un subconjunto finito Y de G sea W (N ) := {S ∈
S(G)|SN = hY iN }. Pruebe que los conjuntos W (Y, N ) forman una base
de la topologı́a inducida de Vietoris sobre S(G).
2 Los grupos profinitos son grupos finitos “grandes”
Un lı́mite proyectivo de un sistema proyectivo (Gi , φij ) de p-grupos finitos
(p un número primo) es un pro-p grupo. Es claro, que un grupo profinitio
G es pro-p si y sólo si G/N es un p-grupo finito para todos los subgrupos
normales abiertos N de G.
Ejercicio 12 Regresamos al Ejercicio 4. Todo número natural n se puede
escribir en la forma
n = a0 20 + a1 21 + a2 22 + . . .
con aj ∈ {0, 1}. Habitualmente, se escribe n = · · · a2 a1 a0 . Por ejemplo,
5 = 1 + 4 = 101. ¿Cómo explicar adición módulo 4 y más general módulo
2k ? ¿Es posible interpretar el diagrama del Ejercicio 4 como un sistema
proyectivo de 2-grupos finitos?
Ejemplo 13 Sea Z2 el conjunto de expresiones
∞
X
aj 2j
j=0
(simplemente pensamos en una sucesión (a0 , a1 , a2 , . . .).) Para definir una
adición de (a0 , a1 , a2 , . . .) y (b0 , b1 , b2 , . . .). usamos el ‘algoritmo’ habitual
de adición binaria: Para iniciar definamos r−1 := 0. Si n = 0, 1, 2, . . .
definimos cn := an + bn + rn−1 (mod 2) y rn := (an + bn + rn−1 − cn )/2.
Se ve, que todo número natural n = a0 + 2a1 + 4a2 + . . . corresponde a
una sucesión finita y la adición en N es la misma adición como en Z2 . El
cálculo formal
∞
X
1
−1 =
=
2j
1−2
j=0
como una serie geométrica indica que es posible interpretar a Z como un
subgrupo de Z2 . Este es un buen momento para explicar Z2 como lı́mite
5
proyectivo. Consideremos el sistema proyectivo (C2i , φij ) donde φi+1i es
el epimorfismo canónico C2i+1 → C2i . El cálcuo en C2i se lee
−1 ≡ 2i − 1 =
i−1
X
2j .
j=0
Por eso la serie geométrica infinita tiene una interpretación en lim C2i .
←−i
Ası́ todo número z ∈ Z obtiene una representación
z=
∞
X
aj 2j
j=0
Pi−1
formal y z (mod 2i ) = j=0 aj 2j . Es fácil ver, que la sucesión (a0 , a1 , a2 , . . .)
es periódica para todo z ∈ Z. Las ‘otras’ sucesiones formales también
tienen una interpretación en lim C2i . Esta es la razón por la que Z2 =
←−i
lim C i .
←−i 2
Más general, si p es un número primo, Zp = lim Cpi cuando φi+1i es
←−i
el epimorfismo canónico de Cpi+1 → Cpi . Zp es un ejemplo de un anillo
pro-p.
Ejemplo 14 (Producto coronal y automorfismos) Para un árbol binario
(en la figura los puntos indican los niveles 1,2, y 3.)
kkk · SSSSSS
q · MMMM
qqq
· DD · @
·
~
~ @
zz
kkk
q · MMMM
qqq
·
~ @
se puede describir el grupo de automorfismos: Si Gn es el grupo de automorfismos del árbol del fondo n las aristas que inician en los vértices del
próximo nivel son permutados y generan un grupo Vn := C2 × C2 . . . × C2
con 2n factores. Se ve, que G1 = {1}, G2 = C2 , G3 = (C2 × C2 )×C2 ,
G4 = (((C2 × C2 )×C2 ) × (C2 × C2 )×C2 )×C2 . Más corto, G3 = C2 o C2 ,
G4 = (C2 o C2 ) o C2 , etc.
Es decir, que Gn+1 = Vn ×Gn es un producto semidirecto. El sistema proyectivo natural consiste de (Gn , φkn ) y φk+1,k es el epimorfismo
canónico Gk+1 → Gk (con núcleo Vk ). El grupo de automorfismos del
arból es el lı́mite proyectivo de ese sistema. Se puede demostrar, que
todo pro-2 grupo con un subgrupo denso y generado no por un conjunto
contable, es un subgrupo de G.
Para un número primo p la construcción es similar y el mismo resultado
es bien conocido.
Teorema 15 (Sylow) Sea p un número primo. Todo grupo profinito G
contiene un pro-p subgrupo maximal. Si H y K son pro-p subgrupos maximales de G, entonces existe g ∈ G tal que K = H g .
Demostración: Observemos que no necesitamos probar nada si G es
un pro-p grupo. Supongamos que G no es un pro-p grupo. Usando el
Ejercicio 11 vemos que el conjunto de todos los subgrupos cerrados de G
es un subconjunto cerrado de C(G). Por lo tanto, el subconjunto Sp (G)
6
de los pro-p subgrupos también es un subconjunto cerrado de C(G). La
hipótesis de que G no es un pro-p grupo dice que existe h ∈ G y un
subgrupo normal abierto N tal que hyiN/N no es un p-grupo finito. Todos
los grupos S ∈ W ({y}, N ) cumplen que SN = hyiN , puesto que SN/N no
es un p-grupo finito. Eso prueba que el complemento de Sp (G) es abierto.
Para probar la existencia de elementos maximales en Sp (G) usamos el
lema de Zorn y el orden ‘⊆’. El conjunto Sp (G) no puede ser vacı́o ya
que contiene a h1i. Supongamos que {Si } es una sucesión ascendente de
grupos en Sp (G) que tiene un punto de acumulación S en Sp (G). Es claro
que Si N = SN para un subconjunto cofinal de I y N un subgrupo normal
abierto y fijo de G. Puesto que SN/N es un p-grupo y S = lim N/N es un
←−S
pro-p grupo, que contiene a Si , se sigue que existen elementos maximales
(p-subgrupos de Sylow).
Para probar que los pro-p subgrupos maximales H y K son conjugados
consideremos para N un subgrupo normal abierto el diagrama conmutativo
Sp (G)
/ Sp (G/N )
/ Sp (G/N )/G/N
Sp (G)/G
Aquı́, Sp (G)/G y Sp (G/N )/G/N son espacios cocientes de la acción de G
inducido por conjugación. Sabemos del teorema de Sylow que Sp (G/N )/G/N
contiene un solo punto correspondiente a una clase de conjugación de psubgrupos de Sylow. Se sigue que Sp (G)/G es un lı́mite proyectivo de
ese sistema y también contiene sólo una clase de conjugación de pro-p
subgrupos maximales.
Ejercicio 16 (Schur-Zassenhaus) Para un grupo finito G y un subgrupo
normal N / G tal que |G/N | y |N | no tienen un divisor común, existe un
complemento H ≤ G, tal que G = N ×H es un producto semidirecto.
(J.Thompson – O.H.Kegel – A.I.Kostrikin) Si para toda h ∈ H \ h1i
y n ∈ N la ecuación nh = n implica que n = 1 (se dice que H actúa por
conjugación sin puntos fijos sobre N ) existe un número c tal que N es
nilpotente de clase a lo más c y c solamente depende de H. Además, si
N tiene un p-subgrupo de Sylow Np 6= h1i existe C(p) con |H| ≤ C(p).
¿Cómo formular y probar esas afirmaciones para grupos profinitos?
Definición 17 Sea G un grupo profinito y Π un conjunto de números
primos. Un sistema de Π-Hall es una coleccı́on {Gp | p ∈ Π} de psubgrupos
Q de Sylow de G tal que Gp Gq = Gq Gp para p, q ∈ Π. Como
GΠ = p∈Π Gp es un subgrupo maximal con orden divisible solamente
por números primos en Π, entonces es un subgrupo Π-Hall de G.
Para un grupo finito soluble hay las siguentes afirmaciones:
• Existe un sistema de Π-Hall;
• Todos los subgrupos Π-Hall son conjugados en G;
• Existe un Π-normalizador, es decir, un subgrupo K 6= {1} de G tal
que para todo subgrupo Π-Hall, Gkp = Gp para todo p ∈ Π y todo
k ∈ K.
7
Ejercicio 18 Sea G un grupo pro-soluble, es decir, un lı́mite proyectivo
de grupos finitos solubles. Pruebe las afirmaciones correspondientes para
G.
Ejercicio 19 Sea G un grupo prosoluble y sea Π(G) el conjunto de los
números primos p tal que existe un p-subgrupo de Sylow Gp 6= h1i infinito.
Pruebe, que existe un subgrupo abeliano cerrado A de G tal que Π(A) es
infinito. Concluya que para un grupo prosoluble G tal que todo elemento
genera un subgrupo finito, el conjunto Π(G) es finito.
El mismo resultado es conocido para todo grupo profinito (W. Herfort). Una consecuencia de este resultado es, que un grupo compacto G
de torsión tiene Π(G) finito. E. Zelmanov ha demostrado que todo prop grupo de torsión es localmente finito (es decir que todo subconjunto
finito genera un subgrupo finito) y J.S.Wilson usando este resultado ha
demostrado que todo grupo profinito de torsión es localmente finito.
3 La completación profinita de un grupo
arbitrario
Para un grupo G consideremos el conjunto N de todos los subgrupos
normales N de G con ı́ndice |G : N | finito. Claramente, N es un sistema
de vecindades de la unidad de G tal que G es un grupo topológico. Eso es
la topologı́a profinita.
Ejemplo 20 Consideremos unos ejemplos:
1. Sea G = Z el grupo aditivo de los números enteros. Todo subgrupo
N de ı́ndice finito tiene la forma nZ cuando n es un número positivo.
Si x 6= y son elementos en Z hay un número positivo m ∈ Z tal
que x − y no es divisible por m. Entonces x y y posseen vecindades
abiertas x+mZ := {x+km | k ∈ Z} y y+mZ y (x+mZ)∩(y+mZ) =
∅. Ası́ Z es un espacı́o de Hausdorff.
Hay una aplicación divertida de la topologı́a profinita de H. Fürstenberg (1955) para mostrar que el conjunto de los números primos es
infinito:
Sea P el conjunto de todos los números primos y supongamos
que
S
P es finito. Todo conjunto pZ es cerrado y abierto y p∈P pZ =
Z \ {−1, 1} es cerrado, una contradicción.
2. Sea G un grupo residualmente finito, es decir que para todo g ∈
G\h1i existe un subgrupo normal N de G de ı́ndice finito tal que g 6∈
N . Es equivalente decir, que la interseccı́on de todos los subgrupos
normales de G de indice finito es trivial.
Ası́ para un grupo es equivalente decir, que G es residualmente finito
o que la topologı́a profinita es Hausdorff: si x 6= y son elementos de G
y N es un subgrupo normal abierto con xy −1 6∈ N , ası́ xN ∩ yN = ∅.
Ejemplos son Z y más general, grupos libres y grupos policı́clicos.
3. Sea G un grupo simple infinito. Ası́ N = {G}.
8
Ejercicio 21 Para un grupo G sea N el conjunto de todos los subgrupos
normales de ı́ndice finito en G. Podemos definir un orden sobre N : Para
M, N ∈ N definimos M N si N ≤ M . Pruebe, que ≺ es un orden
dirigido.
El ejercicio demuestra que el conjunto {G/N | N ∈ N } define un sistema proyectivo (G/N, φN N 0 ) cuando los epimorfismos canónicos φN N 0 :
G/N → G/N 0 estan definidos por φN N 0 (gN ) := gN 0 y N 0 N (recuerde
que N ≤ N 0 ). El lı́mite proyectivo
Ĝ := lim G/N
←−N
se llama la completación profinita de G y satisface la siguente propiedad
universal: Existe un homomorfismo φ : G → Ĝ tal que φ(G) es denso en
Ĝ y para todo grupo profinito H y todo homomorfismo f : G → H existe
un único homomorfismo continuo fˆ : Ĝ → H tal que el diagrama
G
/ Ĝ
φ
f
fˆ

H
conmuta.
Si H es un grupo compacto arbitrario, existe la compactificación de
Bohr βG del grupo G (por ejemplo p.430 en [1]). Es fácil verificar que Ĝ
es el grupo cociente βG/βG0 cuando βG0 es la componente conexa de 1
en βG.
Ejemplo 22 Regresamos a los Ejemplos 20.
1. La completacı́on profinita Ẑ de Z es llamado los números de Hensel.
2. Un grupo es residualmente finito si y sólo si φ es inyectivo. El grupo
dy) es llamado grupo libro profinito libre generado por {x, y}.
F (x,
3. En el tercer ejemplo Ĝ = h1i.
Una categoria C de grupos finitos que admite pullbacks (producto subdirecto) y contiene a H/K para todo H ∈ C y K es un subgrupo normal de
H es llama una formación.
Por ejemplo los p-grupos (o grupos solubles) constityuen una formación.
Para una formacı́on C de grupos finitos podemos repetir las construcctiones precedentes y definir una completacı́on pro-C:
Sea G un grupo arbitrario y NC el conjunto de todos los subgrupos
normales N de G tal es que G/N ∈ C.
9
Sean M , N subgrupos normales de G en NC . Existe el pullback P
(producto subdirecto)
G
ω
!
#
P
/ G/N
/ h1i
G/M
es decir, que P = G/M ∩ N ∈ C y entonces M ∩ N ∈ N . Definimos un
orden ≺ sobre NC por M ≺ N si N ≤ M . Obtenemos un orden dirigido
y por eso podemos construir la completación pro-C ĜC de G.
Ejemplo 23 Algunos ejemplos de formaciones:
• Si p es un número primo los p-grupos constituyen una formación.
Para un grupo G obtenemos el completación pro-p.
La pro-2 completación de Z fue construı́do en el Ejemplo 13.
• Si Π es un conjunto de números primos, los grupos finitos G con
Π(G) ⊆ Π constituyen una formación.
• Todos los grupos solubles constituyen una formación. Se obtiene la
completación prosoluble.
Ejercicio 24 (Completación profinita) Para G y C determinar la pro-C
completación:
1. G = Q (los números racionales) y C todos los grupos finitos.
2. G = C2 y C son todos los 3-grupos finitos.
3. G = C2 ∗ C4 (producto libre) y C son todos los 5-grupos finitos.
4. G = F (x, y) (grupo libre generado por el conjunto {x, y}) y C todos
los grupos nilpotentes finitos.
5. G = hx, t | t−1 x2 t = x4 i y C todos los 2-grupos finitos.
Ejercicio 25 Problema de W. Burnside (1902): Si n ∈ N y G es un
grupo finitamente generado tal que todo elemente g ∈ G cumple g n = 1
(es decir que G tiene un exponente finito) ¿es G un grupo finito? Eso es
falso como I.Adian ha demostrado. Una variante de esa pregunta es el
problema de Burnside restringido: ¿Tiene G un cociente finito maximal?
G.Higman para G soluble y J.S.Wilson en general han hallado que es
suficiente buscar una solución para exponentes pk cuando p es un número
primo. La solución para pk la ha hallado E.Zelmanov.
¿Cómo se puede formular el problema de Burnside restringido y su
solución en el lenguaje de completaciones profinitas?
La topologı́a de Krull en un grupo de Galois de un campo es más
gruesa que la topologı́a profinita. Para un grupo profinito G que contiene
un subgrupo denso y generado por un subconjunto finito N.Nikolov &
D.Segal han demostrado que todo subgrupo de ı́ndice finito es abierto. Es
decir, que la topologı́a del G coincide con la topologı́a profinita.
10
4
Construcciones libres
Sea C una formación de grupos finitos. Todo lı́mite proyectivo de grupos
en C es un pro-C grupo. Esta noción generaliza el concepto de pro-p grupo
(2) cuando C consiste de todos los p-grupos finitos.
Sea X un conjunto y F0 (X) el grupo libre con base X. El grupo libre
pro-C se denota por FC (X) y está definido por una propiedad universal:
X está contenido en FC (X). Toda aplicación f : X → H, donde H es un
grupo pro-C cualquiera, determina un único homomorfismo continuo fˆ tal
que el siguiente diagrama conmuta:
/ FC (X)
FF f
FF
FF fˆ∃!
F" X F
F
H
Ejemplo 26 Unos ejemplos:
1. Si |X| = 1, entonces FC (X) es pro-ciclı́co. El grupo Z2 en el Ejemplo
13 es un pro-2 grupo libre. No es un grupo libre cuando C consiste
de todos los grupos finitos.
En el Ejemplo 12 1, el grupo Ẑ es el grupo libre pro-ciclı́co cuando
C consiste de todos los grupos (solubles) finitos. Se ve que Ẑ2 es un
subgrupo de Ẑ pero no es libre.
2. En el Ejemplo 12 2, entonces tenemos X = {x, y} y C consiste de
todos los grupos.
3. Si X es finito, entonces FC (X) es la completación pro-C del grupo
libre F0 (X).
4. Si X es infinito, entonces F0 (X) obtiene una topologı́a restringida
pro-C: Sea X ∪ {1} la compactificación de Alexandrov y N el conjunto de los subgrupos abiertos normales de F0 (X) para todo N ∈ N
hay un subconjunto finito S de X tal que X \ S está contenido en
N y F0 (X)/N ∈ C. Es posible probar que F0 (X) con esa topologı́a
es un grupo topológico y su completación es un grupo profinito –
FC (X).
Teorema 27 Sea C una formación que contiene a todo subgrupo de un
grupo en C. Todo subgrupo abierto H de un grupo pro-C libre FC (X) es
libre.
Demostración para X finito: El grupo libre F0 (X) es un subgrupo
denso de FC (X) y H ∩ F (X) un subgrupo de F0 (X) con ı́ndice finito. El
teorema de Nielsen-Schreier para grupos libres (discretos) nos dice que
F0 (X) ∩ H es un grupo libre. Si la topologı́a profinita de F (X) induce la
topologı́a profinita en F ∩ H el teorema está probado. Sabemos que para
todo subgrupo L de ı́ndice finito de F (X) existe un subgrupo normal
N ≤ H de F (X) con F (X)/N ∈ C. Por eso L/N ∈ C. Demuestre,
que todo subgrupo de ı́ndice finito en H ∩ F (X) contiene un subgrupo
normal N de F (X) con ı́ndice finito. Es decir, que la topologı́a profinita
en H ∩ F (X) es la inducida y la cerradura F (X) ∩ H es libre pro-C. Por
densidad, H = F (X) ∩ H.
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Definición 28 En el mismo espı́ritu se puede definir el producto libre
de grupos pro-C A y B: Sea A ∗ B el producto libre y consideremos el
conjunto N de todos los subgrupos N normales con A ∗ B/N ∈ C tal que
A ∩ N y B ∩ N son subgrupos cerrados de A y B respectivamente. N es
una base de vecindades de la unidad de A ∗ B. La completación se denota
A q B y se llama producto libre pro-C de A y B.
Ejemplo 29 Unos ejemplos:
• Si A = B = Ẑ obtenemos A q B = F (x, y) tomando generadores x
y y de A y B.
• Si A = C2 = B obtenemos C2 ∗ C2 , el grupo diédrico y C2 q C2
el grupo diedral pro-C. Es claro que C2 q C2 es también la pro-C
completación de C2 ∗ C2 .
• Más general, si A y B son grupos en C, el producto libre pro-C es la
pro-C completación de A ∗ B.
Teorema 30 (Kurosh para 2 factores) Sea C una formación que contiene
a todo subgrupo de un grupo en C. Sea G = A q B el producto libre pro-C
de grupos pro-C A y B. Todo grupo abierto H de G es un producto libre
pro-C
m
n
a
a
H=
Agi ∩ H q
B kj ∩ H q U
i=1
j=1
y U es un grupo libre pro-C.
(Kurosh para n factores) Si G = A1 q A2 q . . . q An y H es un grupo
abierto
n
a
a
H=
Agi ir ∩ H q U
i=1 r∈Ai \G/H
donde Ai \G/H es el sistema de clases dobles y gir ∈ G. Se puede usar
gi1 = 1.
La demostración para A y B finitos es similar a la del teorema 27.
Una aplicación es:
Corolario 31 Sea G = A1 q A2 q . . . q An con Ai 6= h1i finitos. Entonces
Ai ∩Axi 6= h1i si y solo si x ∈ Ai . Si 1 6= a ∈ Ai tenemos CG (a) = CAi (a).
Demostración (P.A.Zalesskii): Supongamos que x 6∈ Ai y Ai ∩ Axi 6=
h1i. Por eso existe un subgrupo normal y abierto N con x 6∈ Ai N . H :=
Ai N es un subgrupo abierto de G y por eso podemos usar el teorema de
Kurosh
n
a
a
Ai N =
Agi ir ∩ (Ai N ) q U.
i=1 r∈Ai \G/Ai N
En esta decomposition Ai ≤ Ai N tiene el “exponente” gir = 1. Existen
ai , a0i ∈ Ai , gir y n ∈ N tales que x = ai gir a0i n. Pero gir = 1, ya que
x ∈ Ai N lo cual es una contradicción.
La segunda afirmación es una consecuencia de la primera .
Ejercicio 32
1. Muestre que el teorema 27 se puede derivar del teorema de Kurosh.
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2. Sea G = C2 q C2 = ha, bi. Explique el teorema de Kurosh para el
subgrupo H = habi
3. Sea G = C2 q C2 q C2 = ha, b, ci. Explique el teorema de Kurosh
para el subgrupo H = hab, bc, cai.
4. Sean A, B, C, D grupos en C y G = A q B = C q D. Muestre que
existe g ∈ G tal que C = Ag o D = Ag .
Definición 33 Sean A, B, C grupos pro-C y G := A ∗C B el producto
libre con amalgamación. Sea N el sistema de subgrupos normales de G
tal que G/N ∈ C y A ∩ N , B ∩ N y C ∩ N son subgrupos abiertos de
A,B y C respectivamente. N es una base de vecindades de la unidad y la
completación es el producto pro-C libre con amalgamación denotado por
A qC B.
Sea φ : A → B un homomorfismo continuo y G = HNN(A, B, φ, t) la
HNN-extensión. Formar N como se explicó. La completación es la pro-C
HNN-extensión. A es el grupo basico, B el grupo asociado y t la simbolo
estable.
Recuerde que, dado un homomorfismo φ : B → A de grupos, entonces
HNN(A, B, t) es el grupo cociente del producto libre A∗hti por el subgrupo
normal más pequeño que contega el subconjunto {φ(b)tbt−1 | b ∈ B} de
A ∗ hti.
Como en la situación discreta A qC B y HNN(A, B, φ, t) tienen propiedades universales. Sean A, B grupos (finitos) y C → A, C → B
inyecciones (la lı́nea media). Las flechas que señalan hacia arriba son las
aplicaciones naturales en el producto libre con amalgamación. Dado un
grupo H, las lı́neas segunda y tercera forman un diagrama conmutativo
puesto que existe la flecha universal.
Aq
C OC[7B
777
77
7
/B
C
A 8o
88
88
88 t
∃!
H
Usando el diagrama siguiente vamos a explicar la propiedad universal de
HNN(A, B, φ, t):
{t} / HNN(A, B, φ, t)
λ
y<
yy φ
y
yy
yy
BF
FF
FF
FF
FF
β
#
2H
aCC
CC
CC
CC
(
6A
z
z
zz
zz α
z
rz|
ω∃!
Dado un grupo H, homomorfismos α : A → H y β : B → H, y un element
de H (consideramos esto element como un imagen de una aplicación λ :
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{t} → H), tal que β(φ(b)) = φ(b)λ(t) para todos las b ∈ B. En esta
situación existe un homomorphismo único ω : HNN(A, B, φ, t) → H tal
que ω(t) = λ(t), ω(a) = α(a) para todos los elementos a ∈ A y ω(b) = β(b)
para todos los elementos b ∈ B.
Ejercicio 34
1. Sea φ : C4 → C4 el automorfismo φ(x) := x−1 y
A = B = C4 . Explique HNN(A, B, φ, t).
2. ¿ Es posible interpretar 23.5 como HNN(A, B, φ, t)?
Estas construcciones tienen aplicaciones estupendas: Todo grupo profinito generado por un conjunto enumerable se encaja en un grupo generado por dos elementos.
Un resultado nuevo es, que todo grupo profinito con un subgrupo
abierto sin torsión puede ser encajado en un grupo profinito tal que todos
los elementos del mismo orden finito sean conjugados.
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Gracias
Mis agradecemientos a las organizadores del congreso y por la hospitalidad
maravillosa a Peter Plaumann (UAEM), Liudmila Sabinina (UAEM) y
Rolando Jiménez (UNAM). 1
Gracias a S. Ferraz-Leite (TU-Viena) y M.L. Diaz Sosa (UNAM) por
corrigir pruebas de este manuscrito. Particularamente quiero agradacer
M. Cruz López (UG) por corrigir el texto y sus propuestas de formulación
de gran valor para mejorar esta exposición.
References
[1] Hewitt E. and Ross K., Abstract and harmonic analysis, Springer
1963
[2] Ribes L., Grupos profinitos, grupos libres y productos libres,
Monografias del Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional
Autónoma de México
[3] Ribes L., Grupos libres profinitos y grafos topologicos, Universidad
Autónoma de Barcelona, 1977
http://www.raco.cat/index.php/PublicacionsSeccioMatematiques/article/viewFile/37162/37036
[4] Ribes L. and Zalesskii P.A., Profinite Groups, Springer 2000.
[5] Ribes L. and Zalesskii P.A., Pro-p Trees, (2000), Chapter,
Ser. Progress in Mathematics, Birkhäuser Boston (2000), Ed. Shalev
A., Segal D..
[6] Wilson J.S., Profinite Groups, London Mathematical Society Monographs New Series 19, Oxford 1998
1
Mein Dank gebührt auch A. Körner und M. Kleinert für Vertretung an der TU Wien.
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Wolfgang Herfort,
Institut für Analysis und Scientific Computing
Technische Universität
Wiedner Hauptstraßw 8-10/101
A-1040 Wien, Österreich
email: w.herfort @ tuwien.ac.at
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