guia de ejercicios de intervalo de confianza

Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
Desarrolle cuidadosamente cada ejercicio e interprete cada situación. Prácticamente todos ellos
están en la red, ya resueltos, pero no necesariamente el desarrollo mostrado es el correcto.
Si lo desea busque, pero su trabajo es razonar sus proceso y respuesta.
A trabajar.
1. Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15
estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452,
464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye
Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza
del 95%.
2. En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una
media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el
correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población.
b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos
cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.
3. Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de
confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto
que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.
4. En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al
cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de
universitarios que acude todas las semanas al cine.
5. Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de una Facultad para estimar la calificación
media de los expedientes de los alumnos en la Facultad. Se sabe por otros cursos que la
desviación típica de las puntuaciones en dicha Facultad es de 2.01 puntos. La media de la
muestra fue de 4.9.
 Intervalo de confianza al 90 %.
 Intervalo de confianza al 99 %
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
6. Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una Editorial para estimar el valor
medio de las ventas por trabajador en la Empresa.
La media y varianza de la muestra (en miles de euros) son 5 y 2, respectivamente.


Intervalo de confianza para la venta media por trabajador en la Editorial al 90 %.
Intervalo de confianza para la varianza de las ventas por trabajador en la Editorial al 90 %.
7. Se ha obtenido una muestra al azar de 150 vendedores de una Editorial para estimar la
proporción de vendedores en la Editorial que no alcanza un límite de ventas mínimo
establecido por la dirección. De entre los seleccionados, 50 no han conseguido llegar al
limite de ventas mínimo establecido.



Intervalo de confianza para la proporción de trabajadores en la Editorial que no alcanza el
límite al 80 %.
Intervalo de confianza para la proporción de trabajadores en la Editorial que no alcanza el
límite al 99 %.
Interprete los intervalos obtenidos.
8. Una muestra de 26 personas seleccionadas al azar de una población de un barrio, tiene
una media salarial de 1800 euros y una varianza de 6 10.000 euros. Estime la media
salarial en el barrio a un nivel confianza de 90.
9. Con los datos del ejemplo anterior estime la varianza salarial en el barrio a un nivel de
confianza del 80.
10. Se desea estimar la demanda diaria de un producto que registra una empresa. Para ello se
seleccionan 10 días al azar con los siguientes valores en miles 35, 44, 38, 55, 33, 56, 67, 45,
48, 40 Obtenga el intervalo de confianza para la demanda media diaria a un nivel de
confianza del 90 %. Obtenga el intervalo de confianza para la varianza un nivel de
confianza del 90 %
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
11. Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora
que se producen en un kiosco . Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al
azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas ; muestra cuyos resultados
fueron : ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra 4000 pts al
cuadrado . Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %.
12. Resolver el ejercicio anterior si consideramos los mismos resultados muestrales pero la
muestra ha sido de 26 horas.
13. Obtener el intervalo de confianza para la varianza de una población normal con muestreo
aleatorio simple , y nivel de confianza 1-a .
14. Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la
proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Si se sabe que en una
muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 de afirmaron comprar una vez a la
semana.
15. Estimar el porcentaje de individuos que no lee ningún periódico al día en un pueblo de
1000 habitantes y con un nivel de significación del 1% .Para ello llevamos a cabo una
muestra de tamaño 100 a personas distintas del pueblo, resultando que de éstas 80 no
leen el periódico.
16. En una empresa de 5000 trabajadores desea conocerse si ha variado mucho la valoración
positiva de la gestión de la dirección, que el año pasado se concluyó fehacientemente que
era del 80 % de los trabajadores. Para ello se realiza una muestra de tamaño 200
resultando que la valoración positiva era considerada por el 55% de los trabajadores
encuestados. ¿Podemos afirmar que la valoración ha variado con probabilidad de
equivocarnos del 1%. ?
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
17. El ratio de productividad anual de nuestra empresa es una variable aleatoria de
comportamiento desconocido si bien conocemos que su dispersión relativa es de 2
unidades de medida, desconociendo la media de dicho ratio. Dar un intervalo con
confianza mínima del 90 % , para dicha media, si escogidos 40 días, resultó que la
productividad media se situó en el valor 6.
18. El número de errores diarios que se cometen al intentar conectar con una determinada
red informática se distribuye normalmente con media desconocida. Para intentar conocer
dicha media se realiza un M.A.S. de tamaño 10 días ;resultando : 2,3,4,5,4,3,5,-1.98,1.98,1
errores. Obtener un intervalo de confianza para la media de errores cometidos
diariamente con un nivel de significación del 1%
19. Para la estimación de la proporción de familias con ingresos superiores a 80000 Euros al
año, se han realizado dos muestreos distintos, en ambos el tamaño muestral es el mismo,
así como la forma de muestrear; en ambos, también, el nivel de confianza es idéntico
(95,5%) . En la ficha técnica del muestreo A se nos indica que p=q=0,5. En el muestreo B se
nos indica que se utiliza como p la proporción de familias con ingresos superiores a 80000
euros que se obtuvo en un sondeo anterior. Nos preguntamos por: ¿Cuál de los dos
muestreos nos dará un intervalo para dicha proporción de familias con menor amplitud?
¿Por qué? ¿Cuál de los dos muestreos es más riguroso ?.
20. Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso que pueden resistir los 300 forjados
(suelos) de una construcción, realizamos 12 pruebas resultando la resistencia media hasta
la rotura de 350kg/cm2 con desviación típica de 20. Si trabajamos con nivel de confianza
de 0,9.
 ¿Ante qué tipo de muestreo nos encontramos? ¿Por qué?
 ¿Entre que valores oscila la resistencia media de los 300 forjados, si por experiencias
anteriores sabemos que dicha resistencia se distribuye normalmente?
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
21. Intentamos conocer el porcentaje con el que se da una determinada característica en una
muy amplia población, para ello decidimos realizar un muestreo aleatorio simple. Cada
encuesta (muestra) que realizamos tiene un coste de 1000 u.m y disponemos de 1000000
de u.m. Si se pretende trabajar con un error del 8 % ¿Cuál será el nivel de confianza con el
que trabajaremos, si conocemos que dicha característica a estudiar es imposible que se de
en más del 35% de la población?
22. De qué depende y en qué sentido la amplitud de un intervalo de confianza.
23. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16
comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes
precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.
Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una normal de varianza
25 y media desconocida:
 ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
 Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.
Solución:
a) La distribución de la media muestral se distribuye según una normal N(104, 1,25).
b) El intervalo es (101,55, 106,45)
24. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de
glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la
desviación típica de la población es de 20 mg/cc.
a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la población.
b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?
Solución:
a) (106,71, 113,29)
b) E = 3,29.
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
25. La altura de los jóvenes andaluces se distribuye según ley normal de media desconocida y
varianza 25 cm2. Se ha una muestra aleatoria, y con una confianza del 95%, se ha
construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es 2,45 cm.
a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?
b) Determina el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra tomada dio una
altura media de 170 cm.
Solución:
a) n=64
b) Límite superior = 171,225, límite inferior = 168,775.
26. Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automóvil recorre anualmente un
promedio de 15200 km con una desviación típica de 2250 km.
 Determine un intervalo de confianza, al 99%, para la cantidad promedio de kilómetros
recorridos.
 ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no sea
superior a 500 km, con igual confianza?
Solución:
a) (14621, 15779)
b) n > 134.
27. Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que
sigue una distribución normal con desviación típica 6 cm. Se toma una muestra aleatoria
de 225 individuos y da una media de 176 cm.
 Obtenga un intervalo de confianza, con un 99% de confianza, para la media de la estatura
de la población.
 Calcule el mínimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media
de los individuos de la población con un error inferior a 1 cm y un nivel de confianza del
95%.
Solución:
a) (174,97, 177, 03)
b) n > 138,3. Luego tamaño mínimo de la muestra debe ser n = 139.
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
28. La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley Normal con desviación típica 7,5
m. En un estudio estadístico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido el intervalo de
confianza (21,06, 26,94) para la longitud media.
 Calcule la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra.
 Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.
Solución:
a) x = 24m
b) 2
Zα = 1,96 el nivel de confianza es del 95%.
29. Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que
fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una
muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido
para la media el intervalo de confianza (372,6, 392,2).
 Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado.
 ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un
nivel de confianza del 86,9 %?
Solución:
a) x = 382,4m , n=144.
b) E=6,04.
30. Se sabe que la desviación típica del peso de las sandías de una plantación es de 750 gr.
Calcular el número mínimo de sandías que se han de elegir para, con un nivel de confianza
del 95%, estimar el peso medio de cada una con un error menor que 300 gr. Explicar los
pasos realizados para obtener el resultado.
Solución: n > 24,05. El número de sandías mínimo debe ser 25.
31. Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución
normal con media µ = 100 meses y desviación típica σ = 12 meses. Determínese el mínimo
tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad del 0,98, que la vida media de los
electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.
Solución: n = 7,81. La muestra debe contener un mínimo de 8 elementos.
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
32. Se desea estudiar el gasto semanal en fotocopias, en pesetas, de los estudiantes de
bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos
estudiantes, resultando los valores siguientes para estos gastos 100 150 90 70 75 105 200
120 80. Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución
normal de media desconocida y desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de
confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.
Solución: (102,16, 117,84), que redondeando queda (102, 118).
33. Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ . Si se
extraen muestras aleatorias simples de tamaño n:
(a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ?
(b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12),
calcúlese P(X > 173,7).
34. Una variable aleatoria X tiene distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
(a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media
muestral?
(b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la
población, con probabilidad de 0,99, ¿cuántos elementos, como mínimo, se deberían tomar en la
muestra?
Solución:
a) La media muestral sigue una distribución N( µ , 3/4).
b) n = 60.
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
35. Se supone que el peso de las sandías de cierta variedad sigue una distribución normal con
desviación típica de 1 kg. Se toma una muestra aleatoria de 100 sandías y se observa que
el peso medio es de 6 kg..
(a) Calcúlese un intervalo de confianza al 95% para el peso medio de esa variedad de sandía.
(b) ¿Puede aceptarse la hipótesis de que el verdadero peso medio de las sandías es de 5 kg, frente
a que sea diferente, con un nivel de confianza de 0,05?
Solución:
a) (5,804, 6,196)
b) Como 5∉ (5,804, 6,196) se rechaza la hipótesis de que el peso medio de las sandías sea de 5 kg.
36. El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye
normalmente con desviación típica 0,6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado
un peso medio de 7,4 kg.
(a) Calcúlese un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta
raza.
(b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95 % de que la
media muestral no se diferencie en más de 0,3 kg de la media de la población?
Solución:
a) (7,118, 7,682)
b) n ≥ 16. El tamaño mínimo debe ser 16.
37. Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto tiene
una distribución normal con desviación típica 0,05 segundos. Si se quiere conseguir que el
error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos con un nivel de confianza del
99 %, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción?
Solución: El tamaño muestral mínimo debe ser 166.
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
38. El tiempo de conexión a Internet de los alumnos de cierta universidad, sigue una
distribución normal con desviación típica 15 minutos. Para estimar la media del tiempo de
conexión, se quiere calcular un intervalo de confianza que tenga una amplitud menor o
igual que 6 minutos, con un nivel de confianza del 95 %. Determinar cuál es el tamaño
mínimo de la muestra que es necesario observar.
Solución: El tamaño muestral mínimo debe ser 97.
39. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una
variable normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras
aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no
supere los 9 minutos?
(b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes?
Especificar sus parámetros.
Solución:
a) 0,0062
b) La distribución de medias muestrales de tamaño 64 se distribuye según la normal N(10, 0,25) de
media 10 y desviación típica 0,25.
40. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos
88 90 90 86 87 88 91 92 89. Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la media de la
población, sabiendo que el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con una
desviación típica de 1,8 gramos.
Solución: (87,824, 90,176)
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
41. En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de
probabilidad. A partir de una muestra de 81 escolares de dicha población se ha calculado
una estatura media de 159 cm y una cuasivarianza de 169 cm2. Teniendo en cuenta esta
información:
a) Determinar el error máximo que cometeríamos, con una confianza de 99 %, si estimamos en
159 cm la estatura media de la población escolar.
b) ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5 %, la hipótesis de que la estatura media
en esa población es de 160 cm? Justificar las respuestas.
Solución:
a) 3,697.
b) No.
42. Queremos obtener la media de una variable aleatoria que se distribuye normalmente con
una desviación típica de 3,2. Para ello, se toma una muestra de 64 individuos
obteniéndose una media de 32,5. ¿Con qué nivel de confianza se puede afirmar que la
media de la población está entre 31,5 y 33,5?
43. Si la desviación típica de la población fuera 3. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debería
tener la muestra con la cual estimamos la media poblacional si queremos que el nivel de
confianza sea del 99% y el error admisible no supere el valor de 0,75?
Solución:
a) La confianza es del 98,76%.
b) n = 107.
44. Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por
su entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un
intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de confianza,
suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este nadador es
de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de
este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
45. La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al
azar, para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica
muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Se
sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal)
46. Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza, la fuerza
máxima de los músculos cuadriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue
una distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas, para la que
obtuvo una media de 85 Nw y una cuasivarianza de 144. Determinar un intervalo de
confianza para la media y otro para la varianza de la fuerza máxima de estos músculos.
47. En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100
votantes elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el
alcalde actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la
proporción de votantes favorables al alcalde actual.
48. ¿Cuáles deben ser los tamaños muestrales en el sondeo del problema anterior para tener,
con los mismos niveles de confianza, la certeza de que el alcalde actual salga reelegido por
mayoría absoluta, en el caso de arrojar la encuesta los mismos resultados?
49. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la
política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%,
para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?
50. Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza
para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?
51. Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta
cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos
días volvemos a pescar otro montón y observamos qué proporción están marcadas con la
anilla. Es esta última pesca obtenemos 100 ranas de las que 7 están marcadas. Calcular un
intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas marcadas.
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Ejercicios de intervalo de confianza ( recopilación)
52. Calcula un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total, N, de ranas del
estanque del problema anterior, teniendo en cuenta que la proporción de ranas marcadas
es p= 30/N
53. De una muestra elegida al azar de 10 alumnos de la clase, se obtuvieron los siguientes
datos para el peso (en Kg) y la estatura (en cm.)
Peso 74 79 85 49 83 78 74 54 63 68
Estatura 176 178 180 165 182 177 179 165 172 170
Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecúan a una distribución normal, un
intervalo de confianza para cada variable, con un nivel de confianza del 95%, tanto para las medias
como para las varianzas
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