MAXIMA CON WXMAXIMA: “UN ASISTENTE MATEMÁTICO

MAXIMA CON WXMAXIMA: “UN ASISTENTE MATEMÁTICO”
L UIS OYONARTE & PACO V ILLEGAS
ESTALMAT - ANDALUCÍA
Maxima con wxMaxima
Estalmat-Andalucía 07/08
Í NDICE
Parte 1. Introducción
1. Introducción
2. Objetivos
3
4
5
Parte 2. Comenzando con Maxima
3. Introducción a Maxima (wxMaxima)
3.1. Normas y convenios de teclado.
3.2. Normas para ejecutar las órdenes de wxMaxima
4. Comencemos
6
7
7
8
10
Parte 3. Actividades
5. Cálculos aritméticos
6. Resolución de problemas
7. Introducción histórica a la criptología: criptosistemas clásicos
7.1. Criptosistemas clásicos
8. Resolución de ecuaciones
8.1. Ecuaciones de 1º grado.
8.2. Ecuaciones de 2º grado.
9. Sistema lineal de ecuaciones
10. Sistema no lineal de ecuaciones
Tabla de funciones
Referencias
15
16
20
23
23
31
31
31
32
34
35
36
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Luis Oyonarte & Paco Villegas
Parte 1.
Introducción
Maxima con wxMaxima
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1.
I NTRODUCCIÓN
“Pero es posible, y yo diría que muy deseable, que las máquinas se encarguen
en el futuro de tantos desarrollos rutinarios y tantas demostraciones clónicas que
mantienen ocupados a demasiados matemáticos quienes, incansables, publican
obviedad tras obviedad. Llenando sin cesar, con mutuas referencias, el registro
de esa grotesca casa de citas que tiene su sede en Filadelfia. Liberados por las
máquinas, podrían estos artistas, siguiendo el buen ejemplo de Wiles y Hales,
dedicar sus esfuerzos a resolver problemas realmente difíciles e interesantes que
tengan luego cabida en Annals of Mathematics.” Diario El País, 04/01/2006
Para trabajar las matemáticas, el ser humano siempre ha necesitado de herramientas que le faciliten la representación y comprensión de los conceptos o le permitan aumentar la rapidez de
cálculo. El recorrido ha sido largo, desde los calculus de los pastores de la antigüedad, el ábaco,
las regletas o palos de Neper (siglo XVI), la máquina aritmética de Pascal (siglo XVII), la máquina de Leibniz, la analítica de Babbage hasta llegar al ordenador actual basado en la lógica de
Turing y Von Neumann.
Debemos utilizar el potencial de la tecnología de los ordenadores para aumentar la capacidad
de resolver problemas. Ahora que la cuestión ya no es si hay que utilizar o no las calculadoras
o el ordenador en la enseñanza, el reto es cómo utilizarlos. Los conceptos matemáticos siempre
han dependido de los métodos de cálculo y de escritura. La numeración decimal, la escritura
de símbolos, la construcción de tablas numéricas ha precedido a las ideas modernas de número real y de función. Los científicos han calculado integrales mucho antes de que surgieran los
conceptos de integral de Riemann o de Lebesgue. De manera análoga, se puede esperar que los
nuevos métodos de cálculo y de escritura con los ordenadores permitan el surgimiento de nuevos
conceptos matemáticos. El álgebra siempre ha ocupado un lugar importante en el currículo de
matemáticas. Sin embargo, lo importante no es que los alumnos sean expertos en grandes manipulaciones algebraicas sino que aprendan a considerar el álgebra como una herramienta natural
para resolver problemas en situaciones diversas.
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Maxima con wxMaxima
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El software referente a programas de matemática simbólica comenzó con grandes ordenadores
hacia 1970 (MACSYMA, REDUCE, MAPLE, MATHEMATICA). Maxima es un magnífico paquete matemático de cálculo simbólico. La versión actual es un descendiente de DOE Macsyma
que fue desarrollado en los laboratorios del MIT. Está implementada usando COMMON LISP y
mantenida por W ILLIAM F. S CHELTER.
“Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp1.
Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte del
proyecto MAC. El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma.
Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter de
la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. En 1998 Schelter
había obtenido del Departamento de Energía permiso para distribuir el código fuente de DOEMacsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge
con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima.
“ Manual de Maxima
Maxima no necesita muchos requerimientos de ordenador, además, la facilidad de uso que incorporan sus interfaces gráficas (xMaxima y wxMaxima), así como una gran potencia de cálculo,
numérico y simbólico, ha hecho que se haya extendido enormemente.
Podemos utilizar Maxima para la manipulación de expresiones algebraicas que incluyan constantes, variables y funciones. Permite calcular límites, integrales, derivadas, resolver ecuaciones
algebraicas y diferenciales, representar funciones de una y dos variables, etc. Es también un lenguaje de programación, lo que nos permite ampliar sus capacidades. Maxima ha sido sin duda un
programa que ha marcado el camino a otros de estas características como Maple o Mathematica.
La página principal del programa es http://maxima.sourceforge.net/. Desde ella podemos bajarnos una amplia documentación del programa en formato pdf (en inglés). En castellano,
podemos consultar la bibliografía.
2.
O BJETIVOS
1. Capacitar a los alumnos para el uso de sistemas de cálculo simbólico en el contexto de
otras asignaturas.
2. Utilizar sistemas de cálculo simbólico para resolver e investigar problemas.
3. Utilizar sistemas de cálculo simbólico como pizarra electrónica y/o para crear documentos con los que se pueda interactuar.
1
Lenguaje de programación
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Parte 2.
Comenzando con Maxima
Maxima con wxMaxima
3.
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I NTRODUCCIÓN A Maxima (wxMaxima)
Normalmente un programa como wxMaxima se aprende utilizando un mínimo de instrucciones iniciales. No se propone la enseñanza del programa por sí mismo, sino como una herramienta
auxiliar para las matemáticas.
Antes de comenzar con las actividades, se darán un mínimo de instrucciones como las que
vienen a continuación. No obstante, si alguien quiere profundizar en todas las posibilidades de
Maxima, deberá consultar el manual que lo acompaña y/o bibliografía que sobre el programa se
enumera al final del tema
3.1. Normas y convenios de teclado. Una letra, grupo de letras o un símbolo significa que
hay que pulsar dicha tecla.
Ejemplos:
↑ , ↓ , → , ← son los cursores.
Shift ⇑ es la tecla de mayúsculas (hay dos).
→
−
− es la tecla tabulador (encima de Shift ⇑ ).
−
−
→
la barra espaciadora
Esc , Insert , etc. vienen así en el teclado.
A veces hay que pulsar dos teclas simultáneamente (un pequeño truco consiste en mantener
pulsada la primera tecla y pulsar a continuación la segunda). Esto se indicará anidándolas con el
signo +:
Ctrl + a
Shift ⇑ + F1 la tecla de mayúsculas con F1
Hay diversos símbolos en el teclado que se obtienen pulsando dos teclas. Por ejemplo hay
teclas que tienen tres símbolos:
∗
+ ]
pulsando la tecla sola se obtiene el signo de sumar +, con Shift ⇑ y la tecla se obtiene el signo
, se obtiene ]. En estos
de la multiplicación *, y con AltGr , situada a la derecha de la
casos se indicará el resultado final, es decir, * .
Hay otra tecla que vamos a utilizar con frecuencia: es el símbolo ^, que se pone para la potenciación. Si seguimos los pasos del ejemplo anterior este símbolo se obtiene pulsando Shift ⇑ y
la tecla
∧
8 [
pero aparentemente no sale nada. Esto se debe a que es un acento y como tal está esperando
que se pulse una tecla tras de él (si es una vocal saldrá encima de la misma, en cualquier otro
caso sale a la izquierda de la letra, número o símbolo tecleado. Para que salga sólo pulsamos la
y a continuación podemos escribir cualquier carácter).
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3.2. Normas para ejecutar las órdenes de wxMaxima. La pantalla inicial del programa es
similar a la captura que sigue:
Hay varias partes en esta pantalla:
1. En la parte inferior de la pantalla se encuentra el área de botones o atajos, pulsando en
los botones de la barras atajos agilizamos las funciones que realiza el programa.
2. Encima del área de atajos nos encontramos con el área de entrada. Es la zona que usaremos para interactuar con el programa (introducir datos)
3. Colocada encima del área de entrada está el área de salida o ventana de trabajo. En ella
aparecerán las expresiones, resultados y gráficos. Inicialmente aparece en blanco.
4. Encima de la ventana de trabajo están las barras de iconos.
5. Las órdenes se eligen de los menús de opciones. Para ejecutar una orden podemos seleccionarla con el ratón o bien con la combinación de teclas Alt +"Letra Subrayada del
menú”.
El gráfico de abajo es el menú inicial al cargar el programa
En el programa las órdenes se eligen a través de diversos menús de opciones. Hay tres formas
de ejecutarlas.
Una consiste en pulsar con el ratón sobre la opción deseada del menú correspondiente.
Con la combinación de teclas Alt +”Letra Subrayada del menú”. Por ejemplo, Alt
+ a abre el menú de archivo.
Pulsando sobre los iconos que aparecen en el área de botones2 o atajos
2Ya veremos que se puede ampliar el número de botones disponible en este área
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Antes de seguir, un “lugar de obligada visita”, la magnífica ayuda
del programa a la que se accede desde Ayuda . Ayuda de Maxima.
Pero ese menú merece la pena, las opciones a las que permite acceder
hay que analizarlas mejor, ya veremos algunas después. Por ahora,
optaremos por acceder a la ayuda pulsando sobre la tecla de función
F1
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4.
C OMENCEMOS
Dependiendo del sistema operativo con el que trabajamos, podemos acceder a wxMaxima de
diferentes formas, por ejemplo desde Guadalinex se accede desde la cadena de menús: Aplicaciones . Otras . wxMaxima.
Desde entornos Linux, la forma más “genérica” es abrir un terminal y ejecutar el comando:
$ wxmaxima
Desde Windows, en general usaríamos el icono que deberíamos tener en el escritorio y
que permite arrancar el programa.
La primera pantalla que vemos al ejecutar wxMaxima es la siguiente3:
Vamos a introducirnos en este programa. Comencemos escribiendo en el área de entrada 264
3La captura indica con qué versión se ha trabajado en estos apuntes, se trata de:
Sistema: Guadalinex V4.1
Versión de maxima: 5.14.0
Versión de wxMaxima: 0.7.4
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Maxima con wxMaxima
Para obtener el resultado, podemos pulsar sobre el gráfico
cualquier caso obtendremos:
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o pulsar la tecla
←- , en
En menos de una décima de segundo tenemos en la pantalla el astronómico número de veinte
cifras, calculado de forma exacta (esta es una de las virtudes de Maxima, si lo comparamos con
las calculadoras científicas).
!: En Maxima, para terminar la ejecución de un comando tenemos que finalizarlo con ;
y después la tecla ←- . En wxMaxima no es necesario, el caracter “;” lo escribe él.
Podemos observar cómo ha ido variando el área de trabajo y por ejemplo, ahora nos dice que
lo último ejecutado es simplificar la expresión %i1 (la primera entrada, de input en inglés) y
que el resultado obtenido es %o1 (de salida en inglés, es decir de output). Con esos “nombre”
podremos después hacer referencia a los valores que representan. Pero ya veremos esto mejor
después. Con %i2 maxima nos indica que espera nuestra segunda instrucción.
Pero el “número de granos” a calcular es 264 − 1. Vamos a corregir nuestros cálculos.
Para ello, con la expresión remarcada utilizamos la secuencia de menús Editar . Editar Entrada, la combinación de teclas Ctrl + e , pulsamos sobre el botón derecho del ratón y después
sobre
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o mejor, pulsando en la tecla ←- procedemos a editar la expresión, la modificamos a nuestro
antojo, y una vez realizados los cambios pulsamos sobre Ctrl + ←- , el resultado:
Vamos a seguir explorando un poco más las capacidades aritméticas del programa.
¿Cuál sería la descomposición en factores primos del número anterior?. Un problema difícil
de abordar incluso con calculadora. Seleccionamos la expresión ( %i2) hasta que quede en vídeo
inverso. Pulsamos sobre el botón
del área de botones, en pocas décimas de segundo
se obtiene esta sorprendente descomposición en la que un factor tiene 5 dígitos y otro ¡7 dígitos!.
Calculemos el valor del número π. En el área de entrada escribimos %pi y veremos que el
programa no muestra lo que esperábamos:
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Esto se debe que Maxima, por defecto opera de forma exacta, y claro ya sabemos que π no
puede ser “calculado”. Pero supongamos que lo que queremos es obtener algunas cifras decimales del número π, en ese caso podíamos haber escrito
%pi,numer;
el resultado sería:
aparece el número π con 16 cifras. Pero ¿cómo obtener más cifras?. El número de cifras
significativas puede ser elegido pulsando Numérico . Establecer precisión y se abre la ventana:
Vamos a optar porque sean 100, obtendríamos:
Para obtener el resultado, y tras optar por una precisión de 100, pulsamos sobre la salida del
primer comando y, una vez en vídeo inverso, usamos desde el área de menú: Numérico . A real
grande (bigfloat) ...
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Pero no sale como esperamos, y es que los 43 dígitos de en medio salen truncados, para eso,
pulsamos sobre Maxima . Cambiar pantalla 2D y optamos por ascii
Ya sí:
Hay otros valores interesantes de conocer:
Símbolo Maxima
Descripción
π
%pi
área del círculo de radio 1 (aprox. 3.14159...)
e
%e
base de los logaritmos neperianos (2.71828...)
i
%i
unidad imaginaria (raíz cuadrada de -1)
Si queremos salir de wxMaxima pulsamos
y en el menú desplegable que aparece terminamos la sesión con
Salir (o Ctrl + Q , nos preguntará si queremos guardar la sesión
actual y pulsaremos en Aceptar para salir sin guardar nada.
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Parte 3.
Actividades
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5.
C ÁLCULOS ARITMÉTICOS
Veamos cómo realizar las operaciones básicas con wxMaxima. Los operadores aritméticos
usuales son:
Suma Resta Multiplicación División Potencia
+
*
/
^ o **
Por ejemplo:
Como se puede observar, Maxima por defecto no opera de forma aproximada, y si deseamos un valor aproximado, tenemos que indicárselo. Un
aspecto a tener en cuenta es el de la prioridad en las operaciones y el buen
uso de los paréntesis. Otra cosa a tener en cuenta, el carácter % (ya ha
salido) tiene un sentido especial, referencia siempre la última expresión
obtenida, así por ejemplo si:
( %i1) 2+3*5;
( %o1) 17
( %i2) %-7;
( %o2) 10
Recordar que podemos operar las etiquetas que aparecen a la derecha
del área de trabajo, así por ejemplo, si escribimos:
( %i3) %o1* %o2;
( %o3) 170
Pero manos a la obra, es la hora de trabajar con el programa:
Problema 5.1.
1. Halla el valor exacto y aproximado de
2
a) 72 + 3 + 3 ∗ 47
q
2
2
4
b)
7 +3 +3∗ 7
"
#4
−2
4
3
24154384459256550625
2. Comprueba que
+ 32 = 121439531096594251776
. ¿Qué valor aproximado tie2+ 3
4
ne?
Problema 5.2.
1. Para hallar la factorización de un número (o polinomio) solo tenemos que usar el botón
. Factoriza el número 12345678901234567890
2. El factorial de un número natural (se representa con el signo ! después de ese número) es
el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él, por ejemplo:
3! = 3 · 2 · 1 = 6.
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a) wxMaxima usa ! para calcular factoriales, halla 4! y 100!.
b) Factoriza los resultados obtenidos.
3. Con el comando primep podemos saber si el número entero n es o no primo, devolviendo
true o false según el caso. Por ejemplo:
( %i1) primep(3);
( %o1)
true
( %i2) primep(4);
( %o2)
false
¿Es primo? 2305843009213693951 ¿y? 12305843009213693957
Los primos de Mersenne (números primos de la forma 2 p − 1 donde p es un número
primo) se encuentran entre los más grandes primos hallados. Actualmente el primo de
Mersenne más alto encontrado es el cuadragésimo cuarto y es el número 232582657 −
1 que tiene 9.808.358 dígitos y fue descubierto el 4 de septiembre de 2006 gracias al
proyecto de computación distribuida GIMPS en la dirección http: // www. mersenne.
org . http: // es. wikipedia. org/ wiki/ Número_ primo
4. Como no puede ser de otra forma, con wxMaxima podemos obtener el MCD y MCM de
dos números. Por ahora nos conformamos con el MCD, para eso hay que usar Análisis .
Máximo Común Divisor
1. Halla MCD(138844468224, 184624895000)
a) Sabiendo que si a y b son dos números, entonces a · b = MCM(a, b) · MCD(a, b).
Halla el MCD del par de números anteriores.4
4Cargando el paquete adecuado es posible hacerlo de forma automática, se trata de cargar el paquete functs.mac
desde Ayuda . Cargar Paquete.
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Problema 5.3.
Le preguntan a varios especialistas: ¿A qué es igual el número π?
El ingeniero responde: es aproximadamente 3 71
El físico: es 3, 14159
El matemático (después de una corta meditación): es igual a π
En 1873 y tras un trabajo de casi toda la vida el inglés Willian
Sanks publicó las primeras 707 cifras del número π. En 1945,
usando ordenadores se comprobó que ese inmenso trabajo era
erróneo desde la cifra 528. En en 2004 fueron capaces de sacar
1,3511 billones de lugares decimales de π usando algoritmos
ultrarrápidos.
Ahora te toca, halla una aproximación de π con 1000 cifras
decimales.
Problema 5.4. Una hermosa leyenda cuenta que cuando un matemático oriental inventó el juego
de ajedrez, el monarca de Persia quedó tan entusiasmado con el juego que quiso conocer y
premiar al inventor. Y cuenta el árabe Al-Sefadi que el rey ofreció a dicho inventor concederle el
premio que solicitara. El matemático le pidió como premio lo que sigue:
1 grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez,
2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente, siempre
doblando, hasta la última de las 64 casillas. El soberano persa
casi se indignó de una petición que, a su parecer, no había de
hacer honor a su liberalidad.
¿No quieres nada más? preguntó.
Con eso me bastará, le respondió el matemático.
El rey dio la orden a su gran visir de que, inmediatamente,
quedaran satisfechos los deseos del sabio. ¡Pero cuál no sería el
asombro del visir, después de hacer el cálculo, viendo que era
imposible dar cumplimiento a la orden!
1. ¿Cuantos granos de trigo contendría la última casilla?
2. ¿Qué expresión tendría la suma de granos escrita en forma de una suma de potencias de
2?
3. Podemos usar Maxima para que nos calcule el resultado. Usa el menú Análisis . Calcular
la suma...
Necesitas ajustar los campos:
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4. Realiza el mismo cálculo si en la ventana anterior optas por Nosum
5. Si 1000 granos de trigo pesan aproximadamente 35 gramos. ¿Cuántas toneladas de trigo
representa la cantidad anterior?
6. La producción promedio anual de trigo en el mundo asciende a unas 592 millones de
toneladas. Compara esa cifra con la obtenida anteriormente.
Problema 5.5. Con Maxima podemos crear funciones. Por ejemplo podemos prepararnos una
fórmula para obtener el área de un rectángulo:
Crea una “fórmula” que te dé el área de un triángulo y halla el área de los triángulos de base y
altura:
base 6 23 350
altura 3 45 300
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6.
R ESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
Dada una cartulina de tamaño 15 cm por 20 cm,
quitamos cuatro cuadraditos en las esquinas y doblando hacemos una caja sin tapa. ¿Cuánto debe medir el lado del cuadradito para que la caja tenga la
máxima capacidad posible?
Podemos materializar construyendo diversas cajas, quitando cuadraditos de 1, 2, 3, ... cm. de lado.
Y el volumen para cada uno de ellos sería:
x
volumen
1 18·13·1 = 234 cm3
2 16·11·2 = 352 cm3
3 14·9·2 = 378 cm3
Esta tabla podemos hacerla con Maxima de esta forma: Primero introducimos la función volumen (20 − 2x)(15 − 2x)x
f (x) := (20 − 2 ∗ x) ∗ (15 − 2 ∗ x) ∗ x
y después hallamos:
f (1)
f (2)
....
Problema 6.1. Compruébalo y halla hasta f (5)
Problema 6.2. Ahora vamos a hacer una tabla de valores en la que x tomará los valores de 0 a 8
de uno en uno mediante la orden Álgebra . Construir Lista
( %i1) makelist((20-2*x)*(15-2*x)*x, x, 0, 8);
( %o1) [0,234,352,378,336,250,144,42,-32]
Así vemos que el valor de x debe estar entre 2 y 4 cm (para valores enteros sería 3 cm). También
observamos que para x = 8 cm el “volumen” es negativo (no se puede construir dicha caja).
Problema 6.3. Gráfica de la función volumen. Pulsa sobre
obtén como resultado la gráfica
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de la barra de atajos y
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Problema 6.4. Podemos usar las posibilidades que como lenguaje de programación nos brinda
Maxima
( %i2) f(x):=(20-2*x)*(15-2*x)*x;
( %o2)
f(x):=(20-2*x)*(15-2*x)*x
( %i3) for i:0 thru 8 step .1 do display(f(i));
¿Qué se obtiene?
El último comando significa:
Halla los valores de f (x) desde que la variable i toma el valor 0 hasta que llegue a valer 8,
incrementando ese valor de décima en décima.
Podemos optar por otros valores límites o modificar el valor del incremento. A partir del
resultado anterior podemos obtener que para x entre 2.8090 y 2.8484 el volumen es 379.0337.
( %i1) f(2.8);
( %o1) 379.008
( %i2) f(2.9);
( %o2) 378.8559999999999
Pero una vez obtenidos estos valores cercanos a la solución podemos alcanzar la precisión deseada haciendo tablas de valores adecuadas. Por ejemplo, para obtener una aproximación hasta las
centésimas, podemos tomar valor inicial de x 2.80, valor final 2.85 y valor del incremento 0.01
(así x tomará los valores 2.80, 2.81, 2.82, 2.83, 2.84 y 2.85) y podemos ver en la figura siguiente
que el valor más alto que toma el volumen es 379.0377 para x = 2,83. De forma análoga se podría
aproximar hasta las milésimas... Pero para el problema “real” de la cartulina una aproximación
de mm (es decir décimas de cm) es más que suficiente, y en este caso sería 2.8 cm.
Problema 6.5. Halla tú las tablas anteriores y comprueba todo lo que se afirma en el párrafo
anterior.
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Problema 6.6. Tenemos la cartulina el doble de larga (15cm x 40cm) y queremos hacer la caja
con tapadera. Halla las dimensiones para que el volumen sea máximo.
Problema 6.7. Determina las dimensiones de un bote cilíndrico de 1 litro de capacidad (1000
cm3 ) para que utilice la menor cantidad de material posible. (Recuerda que la superficie total de
un cilindro es 2πr2 + 2πrh).
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7.
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HISTÓRICA A LA CRIPTOLOGÍA : CRIPTOSISTEMAS CLÁSICOS
La criptología es la ciencia encargada del estudio de los criptosistemas, es
decir, de los sistemas de comunicación que, mediante alguna técnica de cifrado,
permiten la comunicación entre interlocutores de forma que nadie excepto ellos
pueda conocer el contenido de la información que intercambian. Las áreas de
mayor interés en criptología son la criptografía, el criptoanálisis y esteganografía.
La criptografía, arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático,
es el área que estudia métodos de cifrado y descifrado de mensajes que resulten seguros, es decir,
que no sean fácilmente descifrables por personas ajenas a los grupos que se comunican.
El criptoanálisis en cambio es el área encargada de intentar descifrar los mensajes cifrados que
hayan sido interceptados mientras viajaban en el canal de comunicación de dos interlocutores.
La esteganografía estudia las maneras de ocultar el envío de mensajes entre interlocutores de
forma que nadie ajeno a ellos pueda conocer la existencia de tales envíos.
7.1. Criptosistemas clásicos. El primer sistema de cifrado que se conoce, la escítala,
fue utilizado por los lacedemonios en el siglo V A.C. y consiste en enrollar una cinta alrededor
de un bastón y escribir sobre ella, de manera longitudinal, el mensaje que se quiere enviar. Al
desenrollar la cinta, lo que puede leerse es simplemente un conjunto de letras sin ningún sentido
aparente. La llave que abre este sistema es pues el grosor del bastón que se emplea, pero no existe
ningún tipo de modificación en el mensaje, o dicho de otro modo, el texto enviado es el texto en
claro, lo que se traduce en una debilidad muy importante, con el riesgo que eso conlleva.
Posteriormente, a mediados del siglo II A.C., un historiador griego llamado
Polybios inventó el método de cifrado por sustitución (permutación de letras)
más antiguo que se conoce. Este método consiste en sustituir cada letra del
mensaje en claro (mensaje sin cifrar) que se quiere enviar, por el par de letras
que indican la fila y la columna (en ese orden) en que la letra original se
encuentra en una tabla de 5 × 5 caracteres.
Problema 7.1. Según el siguiente ejemplo de tabla de Polybios (adaptada al español)
A
B
C
D
E
Página 23
A
A
F
L
Q
V
B C D E
B C D E
G H IJ K
M NÑ O P
R S T U
W X Y Z
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cifra el mensaje “ATACAMOS MAÑANA".
Unos cincuenta años después, en el siglo I A.C., aparece un cifrador llamado método de César,
que no depende de ninguna tabla, sino que aplica un desplazamiento constante de tres lugares
a cada letra del texto sin cifrar. Por supuesto este método puede fácilmente ser alterado y hacer
cualquier tipo de desplazamiento, no sólo de tres lugares.
Problema 7.2. Utilizando el método de César, cifra el mensaje “TITO LIVIO TE RECIBIRA
MAÑANA".
Problema 7.3. Descifra el siguiente mensaje sabiendo que se ha empleado el criptosistema de
César con un desplazamiento de cinco lugares:
“PFKPTYFXZGQFWNRFJXYFJRQFWIJPHTWFP".
En cualquier caso, el criptoanálisis de este tipo de cifrado resulta elemental. La primera técnica
de criptoanálisis en la que uno piensa resulta ser efectiva, y esta técnica no es otra que aplicar
de la siguiente forma las estadísticas del lenguaje en el que se escribe: estudios estadísticos
demuestran que la letra más empleada en el lenguaje castellano es la E, seguida de la A, la O, la
S, ... Así, si la letra que más se repite en un texto cifrado es la D, parece razonable pensar que se
ha utilizado la correspondencia E → D a la hora de cifrar el mensaje, y proceder de esta manera
haciendo coincidir las estadísticas.
Por supuesto este método no es, ni mucho menos, infalible, y
además hay que tener en cuenta que las diferencias estadísticas
entre algunas letras son mínimas, lo que hace más difícil que las
correspondencias estadísticas se cumplan. Si esto ocurriera, es
decir, si la correspondencia E → D no diera lugar a nada razonable, se podría intentar la correspondencia de la E con la segunda
letra más usada en el texto cifrado, o cualquier otra variante que
se nos ocurra.
En realidad, este tipo de proceso de cifrado corresponde a una
ecuación matemática: podemos sustituir cada letra del mensaje
en claro por un número (A=0, B=1,...), aplicar la ecuación y =
x + 3 (si usamos el método de César) a cada número, y sustituir
el número resultante por la letra que le corresponde. Pero existe
un pequeño problema en este proceso, ¿sabes cuál es?. ¿Cómo
lo solucionarías?. Si después de pensar un rato no encuentras la
solución, puedes utilizar las pistas 2-4 (empezando por la 2), abriendo sólo las que precises para
llegar a la solución.
Una vez formalizado el proceso de cifrado, descifrar debe consistir en aplicar la ecuación
inversa, que en el caso del método de César es x = y − 3.
Como hemos dicho antes, este modelo de criptosistema resulta demasiado vulnerable, pues de
hecho, utilizando las estadísticas del lenguaje, sólo necesitamos acertar con una correspondencia
de letras ya que tenemos una ecuación (y = x + b) con una incógnita (b).
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Podemos intentar complicar el criptosistema un poco más añadiendo una nueva variable, y en
lugar de aplicar un cifrado del tipo y = x + b, aplicar una ecuación de la forma y = ax + b. Pero
claro, hay que tener en cuenta que al igual que codificamos, debemos ser capaces de descodificar,
para lo cual debemos exigir que a no sea múltiplo de 3, siempre bajo la suposición de que los
textos están escritos usando el alfabeto castellano (33 = 27 caracteres). La razón de esta exigencia
es que la ecuación que hay que aplicar para descifrar es x = α · (y − b), en donde α es el único
número entero que verifica:
a) 1 ≤ α ≤ 26,
b) el resto de la división de α · a entre 27 es 1,
y existen razones matemáticas para afirmar que si 3 divide a a entonces no es posible calcular
α.
Por supuesto a nadie le gustaría verse en la situación de utilizar un
criptosistema que ni siquiera él mismo puede romper.
Pese a lo que pueda parecer, el cálculo de este número α es bien
sencillo. De hecho es incluso mecánico, pues existen algoritmos (algoritmo de Euclides) que permiten su cálculo. No obstante no vamos
a entrar en fórmulas toda vez que el programa “Máxima" permite su
cálculo de forma directa sin más que ejecutar el comando inv_mod,
y α será inv_mod(a, 27).
Problema 7.4. Tienes que ayudar a un amigo tuyo corredor de bolsa avisándole de que, contra
todo pronóstico, el precio del valor IBERTEX, del que él tiene numerosas acciones, va a venirse abajo tras la apertura de la sesión de mañana, pero nadie más debe enterarse de esto pues
tu advertencia no serviría para nada. Así, debes hacerle llegar el mensaje: “FUERTE CAIDA
INMINENTE IBERTEX" (tienes que tener en cuenta que en todos los mercados bursátiles, los
teléfonos, correos electrónicos y todos los medios de comunicación están supervisados por administradores de sistemas de más alto rango que tu amigo, por lo que no es posible ponerse en
contacto con él sin que alguien se entere, es decir, aquí no puedes emplear ninguna técnica de
esteganografía).
Como respuesta, tu amigo te hace llegar el siguiente mensaje que ha cifrado utilizando la
fórmula y = 5x + 3:
“QXEANPXÑDRXGMDÑRWQIWÑWBPNPXQ".
Como pudiste comprobar cuando cifraste el texto para tu amigo, lo interesante de todo esto es inventar, elegir la mejor forma de hacer las cosas, pero una
vez hechas, los cálculos, que siempre son los mismos, no enseñan demasiado
cuando ya se han efectuado un par de veces. Por eso, para descifrar el mensaje
que te manda tu amigo puedes usar el programa Máxima de la siguiente forma:
sabes que la fórmula para descifrar cada carácter es x = α · (y − 3), y también
sabes qué es α y cómo se calcula con Máxima. Por eso puedes definir la ecuación de descifrado
como una función f (x) y ejecutar la sentencia
for i:0 thru 26 step 1 do display(f(i))
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Obtendrás inmediatamente la correspondencia numérica que te permitirá descifrar todas las
letras del alfabeto.
El siguiente paso a la hora de complicar el criptoanálisis de cualquier criptosistema consiste en
incluir una clave de la siguiente forma: en primer lugar se realiza la transformación del alfabeto
según el método de cifrado que se haya elegido. Por ejemplo, si ciframos usando la fórmula
y = 4x + 1, el alfabeto de cifrado será el siguiente:
A B C D E F G H I J K L MNÑO P QR S T UVWXY Z
B F J N Q U Y C G K ÑR V Z DHLO S WA E I M P T X
A continuación se escribe la clave, que será una frase, empezando en una posición de letra que
se debe conocer, y sin repetir caracteres. Por ejemplo, si la clave es “LAURA”y debe introducirse
en la posición p = 2, tendríamos la siguiente correspondencia alfabética:
A B C D E F G H I J KLMNÑOPQRSTUVWXYZ
L A U R
Finalmente se escribe, a partir de la última letra de la clave, el resto de los caracteres siguiendo
el orden dado por la transformación alfabética que construimos en el primer paso, y por supuesto
sin repetir los caracteres ya escritos, es decir:
A B C D E F G H I J K L MNÑO P Q R S T U V WX Y Z
T X L A U R B F J N QY C GKÑV Z DHO S W E I M P
¡Ya tenemos nuestro alfabeto de cifrado!.
Problema 7.5. Un compañero de tu equipo de fútbol del colegio te ha hecho llegar el mensaje
“MKVZYVKOYXTKEQWKQÑBTYEMKEYCKX” que ha cifrado utilizando la llave 2x + 2 y
la clave “PARTIDO”. No conoces en qué posición hay que introducir la clave pero sabes que la
I se ha cifrado como T.
Para calcular el alfabeto de cifrado previo a la introducción de la clave, puedes ayudarte con
el programa Máxima (ya lo has hecho antes), pero ten en cuenta que la función que debes definir
ahora es la de cifrado, no la de descifrado.
Como dijimos antes, el criptoanálisis de un criptosistema de este tipo es más complicado, pues
requiere utilizar las estadísticas del lenguaje de una forma mucho más exhaustiva y eficiente (ya
no basta conocer la correspondencia de dos pares de letras del alfabeto).
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Por supuesto todos los métodos explicados responden sólo a una introducción muy superficial
de la criptografía, toda vez que la potencia de cálculo que hoy en día poseen los ordenadores
rompería cualquiera de estos criptosistemas en cuestión de segundos. En cualquier caso, el objetivo de este tema no era otro que hacer entender las bases de la criptografía. Más profundidad
se alcanzará en la sesión dedicada específicamente a la criptografía. No obstante, y sólo como
adelanto que sirva para aumentar la curiosidad del que esté interesado, cabe resaltar que los criptosistemas que destacan hoy en día (sobretodo cuando se trata de enviar información confidencial
entre personas y administraciones) son los de llave pública, es decir, sistemas que cifran a partir
de llaves que puede conocer cualquier persona, pero que sólo permiten descifrar al que cifra el
mensaje. De entre estos criptosistemas el más extendido es el RSA.
Trabajo en grupo
Cinco grupos. Cada uno debe descifrar el mensaje
AUZHINHZHRVHIEQTH,
que ha sido cifrado con la llave y = 5x + 7. Gana el equipo que termine antes.
A continuación deben cifrar otra vez el mensaje que han obtenido pero utilizando la llave y = 7x + 5. Gana el equipo que termine antes.
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Pista 1
Ninguna de las estadísticas que razonablemente se puede ocurrir funciona, pero si pensamos
un poco podemos decir que una letra por la que es muy fácil que empiece una frase es la L.
Esto ayuda además a aprender que a la hora de cifrar no sólo hay que buscar buenos métodos,
sino que hay que ser lo menos previsible posible.
Pista 2
El problema es que no podemos hacer las operaciones aritméticas tal y como estamos acostumbrados, o al menos, tras hacerlas, hay que trabajar un poco más, y la razón es que, dado que
el alfabeto castellano tiene 27 letras y empezamos a contar por el 0, tras el número 26 no existe
nada... aparentemente; efectivamente, si queremos codificar por el método de César, la X (número 24) debería escribirse como una A (número 0). Sin embargo, según la ecuación y = x + 3, la X
debería ser codificada por la letra cuyo número sea el 24 + 3 = 27, que no existe.
Pista 3
Efectivamente la idea es construir un bucle de la Z a la A de forma que la sustitución de letras
se convierta en un ciclo. Pero matemáticamente, >qué significa esto? O mejor dicho, hacer un
ciclo de 27 números significa que dos números a y b representan a la misma letra siempre que
el número de letras que sobren cuando pasamos la Z por última vez (pensemos que si a o b son
grandes puede que haya que pasar la Z varias veces) sea el mismo para a y para b. >cómo se
lleva esto a la práctica con números?
Pista 4
Cuando el resto de la división de a entre 27 sea el mismo que el resto de la división de b entre
27. Cuando esto ocurre decimos que a y b son congruentes módulo 27 y lo escribimos como
a ≡ b (mod 27) ó a ≡27 b.
En definitiva, para conocer qué letra corresponde a la M (número 12) mediante el criptosistema
de llave 13x + 6, tenemos que calcular el resto de la división de 13 · 12 + 6 = 162 entre 27, que
es 0, así que le corresponde la A.
Pista 5
La letra A se repite bastante en el texto.
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8.
R ESOLUCIÓN DE ECUACIONES
8.1. Ecuaciones de 1º grado. Resolvamos la siguiente ecuación:
45x − 65 + 346 − 21x = 497 + 8x
Para ello
Maxima
45*x-65+356-21*x=497+8*x
y tras marcarla pulsar sobre
.
Problema 8.1. Resolver la ecuación
1. 17x − 21(4 − x) + 5x − 33 = 220 − 32x
8.2.
Ecuaciones de 2º grado. Resolvamos la ecuación x2 − 5x + 6 = 0 pulsando sobre el botón
( %i1) solve([x^2-5*x+6], [x]);
( %o1) [x=3,x=2]
Veamos ahora las soluciones gráficamente. Seleccionamos la expresión (x2 − 5x + 6 = 0) y tras
pulsar sobre
representemos gráficamente la función.
Problema 8.2. Veamos como Maxima obtiene la fórmula que nos da las soluciones de la ecuación de 2º grado: a*x^2+b*x+c=0 y
.
Este ejemplo nos muestra que Maxima puede resolver ecuaciones con parámetros y esto puede
ser muy útil para introducir fórmulas.
Problema 8.3. Maxima resuelve de forma exacta ecuaciones de 3º y 4º grado. (Para las de grado
mayor sabemos que no hay fórmula posible).
1. Por ejemplo, si en Maxima introducimos
a*x^3+b*x^2+c*x+d=0
Al cabo de unos momentos veremos tres soluciones enormes en la pantalla.
2. Como ejemplo de una de cuarto podemos escribir:
3*x^4+7*x^3-3*x^2+25*x-7=0
Veremos las cuatro soluciones, dos reales y dos complejas, que podemos aproximar.
3. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2x3 − x2 − 4x + 2 = 0
b) 3x4 + 2x3 − 16x2 − 10x + 5 = 0
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9.
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S ISTEMA LINEAL DE ECUACIONES
3x + y = 7
2x + 7y = 12
Para resolver sistemas utilizamos Ecuaciones . Resolver Sistema Lineal... e introducimos el
número de ecuaciones. Inicialmente será un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Después
escribimos:
Resolvamos el sistema de ecuaciones:
el resultado:
( %i1) linsolve([3*x+y=7, 2*x+7*y=12], [x,y]);
( %o1) [x=37/19,y=22/19]
Problema 9.1. Hallar las soluciones de los sistemas:
3x + 2y = 2
5x − y = 2

 2x + y + z = 7
x+z = 4

3x − 2y + z = 2
Problema 9.2. Resuelve el sistema
3x + 5y = 7
2x + 7y = 12
La interpretación gráfica puede ser útil, por ello se propone la siguiente actividad.
Hacer la gráfica de las dos rectas y comprobar que el punto de corte es (-1 , 2).
Problema 9.3. En Economía la función que relaciona el precio de un producto con la cantidad
de este producto que los consumidores están dispuestos a comprar se llama curva de demanda.
La función que relaciona el precio a que se pagaría un producto con la cantidad del mismo que
están dispuestos a ofertar fabricantes y vendedores se llama curva de oferta. El punto de corte de
ambas curvas es un punto de equilibrio al que se aproxima el mercado.
Por ejemplo: Las curvas de oferta y de demanda de un cierto tipo de ordenadores son, respectivamente:
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y = 2x − 950
y = −0,5x + 2000
en donde x es el precio en euros de los ordenadores e y es el número de ordenadores ofertados
(en el primer caso) o demandados (en el segundo).
¿cuál será el punto de equilibrio de esta mercancía?
Hacer una gráfica de las dos funciones y hallar el punto de intersección.
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10.
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S ISTEMA NO LINEAL DE ECUACIONES
Por el mismo método anterior Maxima nos va a resolver cualquier sistema. Pero si no son
lineales tendremos que optar por Ecuaciones . Resolver sistema algebraico... Por ejemplo, si
introducimos:
se obtiene:
( %i1) algsys([x^2+y^2=25, x*y=12], [x,y]);
( %o1) [[x=-3,y=-4],[x=-4,y=-3],[x=4,y=3],[x=3,y=4]]
Que corresponden a 4 soluciones.
Problema 10.1. Resuelve el sistema no lineal:
x2 + y2 = 25
2x − y = 2
Problema 10.2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:
2
x − y2 = 9
3x − 2y = 7
Haz la gráfica de ambas ecuaciones y comprueba gráficamente las soluciones.
Problema 10.3. Las funciones de oferta y de demanda de un televisor de alta resolución son:
y = −0,2x2 + 42000
y = 0,08x2
siendo x el precio de una televisión de alta resolución e y la cantidad de las mismas que se
demandan o se ofrecen en un año.
Hallar el punto de equilibrio y hacer una gráfica.
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TABLA DE FUNCIONES
F UNCIÓN
abs(x)
acos(x)
acosh(x)
asin(x)
asinh(x)
atan(x)
atanh(x)
binomial(m,n)
csc(x)
cos(x)
cosh(x)
cot(x)
exp(x)
floor(x)
log(x)
max(x1,x2,x3,...)
min(x1,x2,x3,...)
signum(x)
sin(x)
sinh(x)
sqrt(x)
tan(x)
tanh(x)
x!
Página 35
D ESCRIPCIÓN
Valor absoluto de x
Arco coseno de x
Arco coseno hiperbólico de x
Arco seno de x
Arco seno hiperbólico de x
Arco tangente de x
Arco tangente hierbólica de x
m!
Número combinatorio mn = n!(m−n)!
Cosecante de x
Coseno de x
Coseno hiperbólico de x
Cotangente de x
Función exponencial, ex
Parte entera de x
Logaritmo Neperiano de x
Máximo de x1 , x2 , x3 ...
Mínimo de x1 , x2 , x3 ...
Signo de x (1 si x > 0, −1 si x < 0, 0 si x = 0)
Seno de x
Seno hiperbólico de x
Raíz cuadrada de x
Tangente de x
Tangente hiperbólica de x
Factorial de x
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R EFERENCIAS
[1] Manual de Introducción a la aplicación matemática Máxima. Miguel Arsuaga Franco y Rosa Ramos Palanco.
http://www.guadalinex.org/mas-programas/descargas/contribuciones-de-usuario/
introduccion_a_maxima.pdf/view
[2] Página de Mario Rodríguez Riotorto http://www.telefonica.net/web2/biomates/
[3] Libro sobre Maxima con wxMaxima, Rafa Rodríguez Galván http://softwarelibre.uca.es/node/788
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