1 introducción a la resistencia de materiales

ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
1
INTRODUCCIÓN A LA
RESISTENCIA DE MATERIALES
1.1.
RESISTENCIA DE MATERIALES
1.1.1. Conceptos
Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de
ESTABILIDAD I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de
cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos
especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del
movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio
de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el
de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las
que la misma puede servir sin tal peligro.
Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos
configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos
simples.
a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como
caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo.
Fig. 1.1: Barra de eje curvo
Fig. 1.2: Barra de eje recto
La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la
barra.
b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras
dimensiones.
Fig. 1.3: Placa
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1
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c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en
comparación con las otras dimensiones.
Fig. 1.4: Bóveda
d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden.
En la Resistencia de Materiales (Estabilidad II) se estudian principalmente, los casos de barras
que tienen sección constante y eje recto.
Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma a la rotura, o
sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del
equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la falla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo.
La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica
Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los
cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha dicho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deformables.
La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos
al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más
exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas.
Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:
a) Dimensionamiento
b) Verificación
En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de
una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido:
§
§
§
Con seguridad
En perfecto estado
Con gastos adecuados
El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes.
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ESTABILIDAD II
1.1.2.
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
Hipótesis fundamentales
a) El material se considera macizo (continuo).
El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta
por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que
los mantienen vinculados, formando una red ordenada.
Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones
continuas.
b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos).
El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra
son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en
esta hipótesis son satisfactorios.
c) El material de la pieza es isótropo.
Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las
direcciones.
d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas.
Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al
cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no
consideramos las fuerzas moleculares que existen en un sólido no sometido a cargas.
Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se
originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón
durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial.
e) Es válido el principio de superposición de efectos.
Ya se ha hecho uso de este principio en la cátedra de ESTABILIDAD I, para el caso de sólidos
indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando:
- Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación
con las dimensiones del sólido.
- Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de
las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”.
Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración inicial, es decir, sin deformaciones.
Lo que hemos enunciado en este último párrafo es válido en la mayoría de los casos, no obstante, cuando analicemos el problema del pandeo de una barra elástica veremos que este criterio no
puede ser aplicado.
f) Es aplicable el principio de Saint – Venant
Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido,
situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo
concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un
sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del
cálculo.
g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas
Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras
que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Las
cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y como veremos en el ca/2004
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ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
pítulo 11, las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o
cuasi-estáticas.
1.1.3.
Método
Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un
esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante
de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos
aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal.
Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del
problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general
éstas son inagotables.
Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca importancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas alturas, la variación de la temperatura con la altura, etc.
Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes,
según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que
interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en
cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle
muchos objetos reales.
Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente
cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una
serie de problemas reales comunes al esquema dado.
Fig. 1.5
Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en:
a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra.
b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales.
c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas F
ig. 1.1
prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones
localizadas en zonas pequeñas.
d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto.
El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica
del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la
Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de
las deformaciones.
Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas
pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamente en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el
sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente
interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real.
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Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera:
1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático).
2) Resolución matemática del problema
3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.
1.2.
CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIONES ESPECÍFICAS
Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 1.6 la función de esta prensa es
la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la
muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el
volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión
axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está
sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión.
Si consideramos los compone ntes de prensa, vemos que los
mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, las que como
ya se ha estudiado en ESTABILIDAD I, generan esfuerzos internos. Por
ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a
momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza.
Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un
corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se
encuentre en equilibrio (ver figura 1.7), en esta sección debe aparecer una
fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada.
Ahora bien, ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en
realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no
parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto
de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que
actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley
matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la
que se indica en la figura 1.7, aunque no lo podemos afirmar rigurosamente si no hacemos un buen estudio del problema.
Fig. 1.6
σ
Fig. 1.7
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=
Fig. 1.8
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Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un momento tordente. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un conjunto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura
1.8. También podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya
que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que ahora las fuerzas son yacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes
A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será
de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente.
Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos
partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un
punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una
fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω
∆
tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o
∆Ω
tensión resultante en el punto P, al siguiente límite.
ρ = lim
∆ Ω→ 0
∆F
∆Ω
(1.1)
Fig. 1.9
La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de
área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2 )
Sistema Internacional de Unidades
Fuerza
Newton
Momento
Newton × metro
Presión
Pascal
1 N ≅ 0,1 Kgf
N.m
Pa = N / m2
τ
ρ
σ
Fig. 1.10
El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la
sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (σ) y tensión tangencial (τ). Ver figura 1.10.
Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante
superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa, así mismo, que la barra se estira
ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento δ.
Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas
uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de
la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica”
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CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
Fig. 1.11
ε=
δ
L
(1.2)
Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si
todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma
deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un
valor distinto de ε.
De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una
tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están
relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem.
Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga – Desplazamiento (F – δ):
Ω
L
δ
Fig. 1.12
F
Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y
longitud; manteniendo las características del material constante.
L1
Ω1
L2
Ω2
Dónde:
Ω 2 > Ω1
L2 > L1
Fig. 1.13
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ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga – Desplazamiento va a variar
si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra.
F
Ω 2 – L1
Ω 2 – L2
Ω 1 – L2
δ
Fig. 1.14
1.3.
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
1.3.1. Elasticidad y Plasticidad
Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F
cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su
longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su
forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera
completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo contrario
se dice que es “parcialmente elástico”.
La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando al
dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada.
En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos
materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados
como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados.
Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos.
1.3.2. Ley de Hooke
La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida
dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta
ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por
σ
debajo de un cierto valor σp , llamado tensión de proporcionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones
son directamente proporcionales.
σ = E .ε
(1.3)
arc tg E
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ε
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Fig. 1.15
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E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o módulo de Young. El valor de E es una característi-ca de cada material.
1.3.3. Diagrama tensión - deformación (σ - ε ) del acero común
Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de
tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para
poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse
experimentalmente. 1
Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los
cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas
especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina
especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra esta
sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales σ calculables a través de la
siguiente expresión:
Ω
P
σ =
Ω
(1.4)
L
Fig. 1.16: Probeta de acero
Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan
desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) para cada escalón de carga, se pueden
graficar los valores (σ ; ε), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas.
Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de
carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente.
En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características:
a) Período elástico
1
Área de "Ensayo de Materiales"
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Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad
se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que pro-
ducida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera
como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %.
Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad), dónde
el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.
En la primer zona :
dσ σ
=
=E
dε
ε
(1.5)
En la segunda zona :
dσ
= f (ε ) = Módulo de elasticida d reducido
dε
(1.6)
En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí.
b) Período elasto-plástico
Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría
su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A medida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye
el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia).
c) Período plástico (fluencia)
Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple,
ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados límites de fluencia superior e inferior, respectivamente.
La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia.
σ p ≅ 0.8 σ F
(1.7)
Las investigaciones demuestran que durante
la fluencia se producen importantes deslizamientos
relativos entre los cristales. Como consecuencia de
estos deslizamientos, en la superficie de la probeta aparecen las llamadas líneas de Chernov - Lüders, que
forman con el eje de la misma un ángulo de 45º.
Fig. 1.18
d) Período de endurecimiento y de estricción
Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la
fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de
incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin
embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión
aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a
partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada deformación de rotura, produciéndose la rotura física.
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Fig. 1.19:
10
Fenómeno de estricción
ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a
carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación es-
pecífica correspondie nte a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado
“estricción”.
Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con
el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en
lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR y
cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura ε R.
Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele
denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre
sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial.
Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “coeficiente de
estricción lateral”, el cual se define según la siguiente expresión:
ϕ=
Ωi − Ωf
σ
Ωf
Diagrama
efectivo
Dónde:
Ω i = área inicial
Ω f = área final
Diagrama
convencional
En los aceros comunes ϕ ≈ 50 %
1.1.1.1.Fi
g. 1.13
ε
ε
R
Fig. 1.20: Diagrama efectivo y convencional
Si al realizar el ensayo de un
acero común, una vez alcanzado un
punto tal como el M de la gráfica de la
figura 1.14, se descarga la probeta, se
llega a una tensión nula a través de una
recta paralela a la que define el
período elástico, quedando una deformación remanente. Si la probeta vuelve a cargarse retoma la curva en el
punto N, pero con un nuevo recorrido
donde ya no existe el período de fluencia. Así mismo, la zona recta se prolonga hasta un valor σ'p > σp.
σ
N
M
σ'p
σp
α
α
ε
Fig. 1.21: Endurecimiento mecánico del acero dulce
El fenómeno anterior de denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también
puede lograrse por laminado en frío, trafilado o torsión. El trafilado se utiliza para endurecer alambres
o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con conformaciones superficiales), para hormigón armado.
Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor
contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama σ - ε resulta ser substancialmente
distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes:
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ESTABILIDAD II
§
§
§
§
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados
que los aceros comunes.
No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de
escurrimiento plástico.
La deformación de rotura se reduce considerablemente.
Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido,
este se determina en forma convencional como la tensión para la
cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %.
Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran
capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan
“dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura física, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan
grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los materiales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce bruscamente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frágiles”.
σ
σR
σF
σp
εp
ε R = 12 %
ε
0,2 %
Fig. 1.22:
Límite Convencional de Fluencia σ 0,2
1.3.4. Diagrama tensión – deformación para otros materiales
Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε es una curva continua
sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo
clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva σ - ε en compresión.
En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres
valores del módulo de elasticidad:
E= tg α
a) Módulo al origen
(1.9)
b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la
pendiente a la curva σ - ε en cada punto:
E=
dσ
= tg α 0
dε
(1.10)
σ
σR
α0
α1
α
ε
εR
Fig. 1.23: Módulos tangentes y secantes
c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α 1 .
Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre
σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre:
σk = E × ε
(1.11)
donde el coeficiente k depende del material (valor medio,ya que depende de muchas variables):
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ESTABILIDAD II
Material
Hormigón
Cobre
Latón
Cuero
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
σ
Coeficiente k
k = 1,15
k = 1,10
k = 1,085
k = 0,70
hormigón
cuero
ε
Fig. 1.24
En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales
presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a
tracción, tal es el caso del hormigón.
1.3.5. Diagramas ideales
Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en
determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resumen las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales.
El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno
inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluencia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan significativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura.
σ
σ
σF
σ
σF = σR
σR
εF
Fig. 1.25.1: Diagrama ideal
para un material dúctil
ε
εR
ε
Fig. 1.25.2: Diagrama ideal
para un material frágil
ε
Fig. 1.25.3: Diagrama ideal
para un material plástico
En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura,
prescindiéndose entonces del tramo curvo.
Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que
sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión.
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13
ESTABILIDAD II
1.4.
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
CONSTANTES ELÁSTICAS
El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o
constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad.
1.4.1. Módulo de elasticidad longitudinal (E)
Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta
pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L.
Ω
P
P
∆L
L
Fig. 1.26
La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε. Admitiendo para el
P
material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión σ = , será proporcional a la deformación ε.
Ω
σ
σ
= E
ε
σ = E ε
tg α =
(1.12)
α
ε
Fig. 1.27
La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo
de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas.
1.4.2. Módulo de elasticidad transversal (G)
Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en
su cara superior.
Ω
γ
γ
Fig. 1.28: Distorsión
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ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al
ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como τ,
siendo:
τ=
P
Ω
τ = tensión tangencial o tensión de corte
(1.13)
De la misma forma que se grafica la relación
σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del
acero común la gráfica representativa, es similar a la ya
vista para las tensiones normales.
Dentro del campo lineal elástico, la constante
que vincula la tensión tangencial con la deformación
angular, es llamada módulo de elasticidad transversal
(G).
τ
tg β = = G
γ
(1.14)
τ = Gγ
τ
τFl
β
γ
Para el acero común τFl ≅ 0,57 σFl
Fig. 1.29: Diagrama Tensión – Distorsión angular
1.4.3. Módulo de elasticidad de volumen (K)
Se define como el módulo de elasticidad de volumen (K), a la constante que permite obtener la
deformación cúbica específica de un paralelepípedo elemental sometido a presión uniforme.
Sea un paralelepípedo inicialmente de lados ∆x, ∆y, ∆z, sometidos a una presión hidrostática
p; cada una de las aristas experimentará un acortamiento, lo cual se traduce en una variación de
volumen ∆V = Vf - Vi.
∆
∆
∆
Fig. 1.30: Elemento diferencial
La deformación específica volumétrica está dada por:
εv =
Vf − Vi
Vi
(1.15)
Esta deformación se vincula a la presión actuante mediante una constante de proporcionalidad,
el módulo K.
p = K εv
(1.16)
/2004
15
ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
Siendo ε v adimensional, la unidad de K será (Kg/cm2 ). Este módulo de elasticidad volumétrica
no es independiente de los dos vistos anteriormente.
1.4.4. Coeficiente de Poisson
Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la
dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella.
L + ∆L
L
a + ∆a
a
P
P
Fig. 1.31
εL =
∆L
L
;
εt =
∆a
a
Llamando con ε L el alargamiento específico en dirección de la fuerza y ε t la deformación específica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre:
ε
µ=− t
(1.17)
εL
o bien:
ε
1
m= =− L
µ
εt
El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para
materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33.
En cualquier caso µ < 0,50
Valores de Constantes Elásticas según el material
Material
Acero
Cobre
Bronce
Hierro fundido
Aluminio
Madera (paralela a la fibra)
Hormigón
Mampostería de ladrillo
Caucho
Corcho
/2004
E (t/cm2 )
2.000 a 2.100
1.160 a 1.300
1.100
750 a 1600
760
80 a 120
150 a 350
< 120
0.01
-
µ
0.22 a 0.33
0.31 a 0.34
0.32 a 0.35
0.23 a 0.27
0.32 a 0.36
0.10 a 0.20
0.47
≈ 0.00
16
ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
1.5. CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD,
CARGA ADMISIBLE
DE
TENSIÓN ADMISIBLE Y DE
En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar
la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases
de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por e-jemplo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha debilitado por la existencia de vicios ocultos.
La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo único que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla.
“La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satisfactoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible”.
Existen numerosas causas de incertidumbres:
§ Las hipótesis de cargas
§ Las hipótesis de cálculo
§ Los errores de cálculos
§ Defectos del material
§ Errores de las dimensiones
§ Errores de ejecución
El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de
la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no
debe superar cierto valor.
σ máx ≤
σL
ν
(1.18)
σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado
ν: un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad”
Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de materiales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación σL / ν recibe el nombre
de “tensión admisible”.
σL
ν
= σadm
(1.19)
La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre
que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general probabilísticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de
Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, la norma CIRSOC (SIREA). Para los
casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer
referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores
que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados
de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su
comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes.
/2004
17
ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad,
es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de
la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros
que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre respecto de ellos.
En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en dicha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke, ya que la tensión de trabajo
resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien
definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de las tensiones, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta.
σ
σ
σFl
σadm
σ
σ0,2
σadm
σR
σadm
ε
σadm =
σF
ν
ε
σadm =
σ 0,2
ν
ε
σ adm =
σR
ν
Fig. 1.32: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales
Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de
tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La
denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo
empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo
elástico, y método de cálculo plástico.
El coeficiente de seguridad a través del criterio plástico se establece en base a relación de
cargas. Entenderemos como máxima carga estructural, el límite del valor de carga que puede soportar
una estructura sin dejar de cumplir satisfactoriamente los fines constructivos a que está destinada. En
este caso el valor del coeficiente de seguridad viene dado por
νp =
Prot
Máxima Carga Estructura l
=
Carga real (Carga Admisible ) Ptrab( Padm )
En la materia nos referiremos al coeficiente ? que compara tensiones.
1.5.1.1 Ejemplos de cálculo del Coeficiente de Seguridad. Interpretación del concepto de tensión
admisible .
Dimensionar las barras de la figura con secciones circulares macizas de acero común.
Condición: Ω 1 = Ω2 .
/2004
18
ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
A
B
X1
X2
α 1 α2
C
C
P
P
D.C.L.
α1 = 45º
α2 = 30º
P = 3 tn.
Material : Acero St 37

σ Fl 2,40

σ
=
=
= 1,40 tn cm 2

υ 1,71

X1 = 1,53 tn
X2 = 2,19 tn
Ω nec =
Xmáx
σadm
=
2,19 t
= 1,56cm 2
t
1, 40 cm 2
Tabla
∅
(mm)
10
12
16
20
Ω
(cm2 )
0,78
1,13
2,01
3,14
De Tabla adopto una barra de ∅ 16 mm y de sección Ω = 2,01 cm2
Tensión de trabajo. Coeficiente de seguridad del sistema:
σT1 =
X1
σT 2 =
X2
Ω1
Ω2
=
1,53 t
= 0,76
2,01 cm 2
t
=
2,19 t
= 1,09
2,01 cm 2
t
cm 2
⇒
ν1 =
2
⇒
ν2 =
cm
σFl
σT1
σFl
σT 2
2,40

= 3,16 
0,76


 νSistema = 2,20

2,40
=
= 2,20
1,09

=
Mediante el ejemplo anterior tratamos de diferenciar el concepto de tensión admisible,
respecto del de tensión de trabajo o de servicio. En el primer caso se determina un valor de referencia,
al cual se llega adoptando un coeficiente de seguridad (1,71), que como proyectistas lo estimamos
razonable. En tanto los de tensión de trabajo corresponderían a los valores reales que tendría el
sistema proyectado, de acuerdo al material utilizado.
/2004
19
ESTABILIDAD II
1.6.
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN
Vamos a analizar el proceso de deformación de un sólido elástico desde el punto de vista
energético. Las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo elástico realizan cierto trabajo que designaremos
W. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del sólido
deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del
sólido, es decir, se transforma en energía cinética K. El balance de la energía, en el supuesto que no
haya pérdidas por fricción, calor, etc., es el siguiente:
W=U+K
(1.20)
Si la carga se aplica lentamente, la velocidad del desplazamiento de las masas del cuerpo será
pequeña, con lo que la energía cinética será despreciable, luego:
W=U
(1.21)
Al descargar el cuerpo, debido a la
energía potencial, se realiza cierto trabajo, el
necesario para devolver al cuerpo su forma original. En este sentido, un sólido es un a-cumulador de energía, comportándose como un
resorte.
Si consideramos, por ejemplo, el caso
de una barra traccionada mediante una fuerza
que varía en forma estática, para un valor de
carga P´ la misma tendrá un desplazamiento
δ´. Si a partir de ese instante se realiza un incremento de la carga, el alargamiento δ´ tendrá un incremento dδ´. La fuerza P realizará
en consecuencia un trabajo, el que producirá
un incremento de la energía de deformación
acumulada.
Ω
P
P
δ
d `δ
δ
δ
δ
Fig. 1.33: Energía de deformación acumulada en una barra
dW = dU = P' dδ ' + ½ dP' dδ '
Como el término ½ dP' dδ' tiende a cero por ser infinitésimo de orden superior, podemos afirmar:
dW = dU ≅ P´ dδ ’
(1.22)
Para un determinado valor de P, la energía acumulada será:
δ
∆
U = ∫ P´ dδ´ = area OAB =
O
1
Pδ
2
(1.23)
Podemos ver que el trabajo de la fuerza se obtiene tomando la mitad del producto de la fuerza
por el desplazamiento correspondiente. Si la relación entre fuerza y desplazamiento no es lineal, el
coeficiente ½ es otro. Si la carga mantiene su valor constante desde el comienzo, el coeficiente se hace
igual a la unidad.
En algunas aplicaciones es de importancia la energía de deformación por unidad de volumen,
también denominada “energía específica de deformación”.
/2004
20
ESTABILIDAD II
CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
δ
U = ∫ P dδ
O
ε
dδ = dε L
U =
∫
u=
ε
U
= ∫O σ dε
Vol
O
P=σΩ
σ
ε
σ Ω L dε = Ω L ∫ σ dε
O
(1.24)
σ
σ`
d ε`
Podemos ver que la energía de deformación por unidad de
volumen resulta ser igual al área encerrada por el diagrama σ - ε.
Si la tensión se encuentra dentro del período lineal elástico:
u=
/2004
1
1 σ2 1
σε =
= Eε 2
2
2 E
2
ε`
ε
ε
(1.25)
21
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
2
SOLICITACION NORMAL
Y CORTE PURO
2.1
SOLICITACION NORMAL
2.1.1 Tracción y compresión, tensiones y deformaciones
El problema que vamos a estudiar a continuación se refiere a las piezas que están sometidas
exclusivamente a esfuerzos internos normales, de tracción o compresión.
Si trazamos sobre la superficie de una barra
prismática una red de líneas rectas, unas paralelas y
otras perpendiculares al eje de la barra, y sometemos
a
b
a la misma a una fuerza de tracción, observaremos
a '
b '
que después de la deformación las rectas de la red
permanecen ortogonales entre sí en toda la superficie,
L
excepto en una zona pequeña próxima al punto de
aplicación de la fuerza y de la que ahora prescind iremos, mientras que las distancias entre las rectas varían. Las rectas horizontales se desplazan hacia abajo,
permaneciendo rectas y horizontales. Es de suponer
que en el interior de la barra tiene lugar el mismo fenómeno, lo cual permite enunciar una hipótesis:
P
δ
“Las secciones transversales de las barra, que eran
planas y perpendiculares a su eje antes de la defo rmación, permanecen planas y normales a éste desP
Fig. 2.1
pués de ocurrir la deformación”.
Esta hipótesis, que tiene suma importancia, se conoce
como “hipótesis de las secciones planas o hipótesis
de Bernoulli – Navier”, y los ensayos confirman las fórmulas que se basan en la misma.
Lo expuesto sobre las deformaciones nos permite suponer que en las secciones transversales
de las barras actúan solamente tensiones normales, distribuidas uniformemente. Por razones de equilibrio debe entonces ocurrir:
P = ∫ σ dΩ = σ ∫ dΩ = σ * Ω → σ =
Ω
Ω
P
Ω
(2.1)
Los ensayos también demuestran que al estirar la barra, su longitud aumenta, mientras que sus
dimensiones transversales disminuyen. Cuando se trata de compresión, el fenómeno se invierte. Si
consideramos que el material tiene un comportamiento elástico lineal podemos calcular analíticame nte el valor de δ.
/2005
1
ESTABILIDAD II
δ = ε *L
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
ε=
δ=
σ*L
P*L
=
E
Ω*E
δ=
P*L
Ω*E
σ
E
Puede verse que el desplazamiento δ es directamente proporcional a la carga P aplicada y a la
longitud inicial L de la barra. Así mismo, δ resulta inversamente proporcional al producto Ω *E, el
cual se denomina “Rigidez Axial”. Efectivamente, este producto representa la oposición de la pieza a
la deformación, para lo cual ésta emplea sus propiedades geométricas y mecánicas.
Recordemos que no solo existe una deformación longitudinal sino que las dimensiones transversales también varían, obteniéndose una deformación ε’.
ε ' = −µ . ε
(2.3)
La suposición anterior sobre la distribución uniforme de las tensio nes internas en la sección
transve rsal es valida siempre y cuando no se analicen las zonas próximas a la aplicación de la carga.
Aquí se obra de acuerdo al principio de Saint- Venant ya enunciado, el que para el caso concreto de
barras establece que la zona de perturbación influye en distancias no superiores a las dimensiones de
la sección transversal.
Es de hacer notar, también, que las fórmulas anteriores son válidas cualquiera sea el signo de
σ, es decir, tanto para solicitaciones de tracción como de compresión. Sin embargo, para estas últ imas
tiene sus limitaciones. En efectos, en los cuerpos sujetos a compresión la fórmula 2.1 pierde validez
cuando la esbeltez de la pieza supera ciertos valores, a partir de los cuales se presenta un fenómeno
denominado “pandeo”, cuyo estudio lo realizaremos en el capítulo 10.
Conociendo la relación existente entre P y δ podemos obtener las siguientes expresiones para
la energía de deformación:
U=
1
1 ΩE 2 1 L 2
Pδ=
δ =
P
2
2 L
2 ΩE
(2.4)
2.1.2 Aplicaciones
En los problemas de dimensiona miento deberán cumplirse dos condiciones básicas, las cuales
surgen de despejar el área de la sección transversal, de las fórmulas anteriormente vistas.
 P
σ
 adm

(2.5)
Ω≥ 
 PL

 E δ adm
En los problemas de verificación deberán cumplirse, también, dos condiciones.
P
≤ σ adm
Ω
/2005
PL
≤ δ adm
ΩE
(2.6)
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
A continuación vamos a desarrollar un ejemplo, para el cual se desea dimensionar las barras
del reticulado de la figura 2.2
4 t n
Para las barras 1 y 2 debe emplearse madera
con:
2.83 t n
σadm = 80 kg/cm
δ adm = L/300
E = 100 t/cm2
2.83 t n
1
2
2
2m
3
2 t n4 m
Fig. 2.2
4m
2 t n
2 t n
Para la barra 3 debe emplearse acero con:
σadm = 2.400 kg/cm2
δ adm = L/500
E = 2.100 kg/cm2
- Barras 1-2
P = 2.83 tn
P
2.83
Ω nec ≥
=
= 35.4 cm 2
σ adm
80
Adoptamos una escuadría de 3" x 2" , siendo 1" = 2,54 cm → Ω = 38.7 cm 2 > Ω nec
PL
2.83 * 283
283
≤ δ adm →
= 0.2 cm <
= 0.94 cm → B.C.
ΩE
38.7 * 100
300
σ trab =
P 2830
=
= 73 kg/cm 2
Ω 38.7
- Barra 3
P = 2 tn
Ω nec ≥
P
σ adm
=
2000
= 0.83 cm 2 →
2400
Adoptamos 1φ 12
Ω = 1.13 cm 2 > Ω nec
PL
2 * 400
400
=
= 0.34 cm <
= 0.8 cm → B.C.
Ω E 1.13 * 2100
500
σ trab =
/2005
P 2000
=
= 1770 kg/cm 2
Ω 1.13
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
En general, cuando existen varias condiciones de dimensionamiento se emplea una de ellas y
se verifican las demás. Si alguna de éstas no es satisfecha se procede a redimensionar.
Cuando se emplean las fórmulas 2.5, por razones de economía se trata de que se cumplan las
igualdades, lo que no siempre es posible ya que debemos adoptar piezas cuyas secciones transversales
existan comercialmente.
Si en el ejemplo anterior quisiésemos saber el valor del descenso de la estructura en el punto
de aplicación de la carga exterior de 4 tn, podríamos calcularlos mediante consideracione s energéticas. En efecto, el trabajo que realiza esa fuerza se convierte en energía de deformación, la cual será
igual a la suma de la energía absorbida por cada barra.
3
1
1 Li
Pδ=∑
Pi2
2
2
Ω
E
i =1
i i
1
283
1
400
1

4 δ = *
* 2.83 2  * 2 + *
* 22
2
2 1.13 * 2.100
 2 38.7 * 100

δ = 0.46 cm
Aunque el cálculo anterior parezca muy simple debemos señalar que pudo realizarse me rced a
que tenemos una sola carga exterior y además calculamos el corrimiento correspondiente a su punto
de aplicación. Para casos mas generales deben aplicarse otros criterios de cálculo, los que no son tratados en este curso.
2.1.3 Influencia del peso propio en la solicitación axial
En el estudio que realizamos en el primer ítem de este capítulo solo hemos tenido en cuenta
las cargas exteriores, sin considerar el efecto que pudiera tener el peso propio de la estructura. Esto
esta permitido cuando esta influencia es despreciable en relación a las tensiones originadas por las
cargas exteriores.
A continuación estudiaremos el caso de barra de sección constante sometida a una carga exterior y a su propio peso.
N (x ) = P + γ * Ω * x
(2.7)
γ = peso específico del material
N (x ) P
σ (x ) =
= +γ x
Ω
Ω
llamando σ o =
P
Ω
L
d x
σ (x ) = σ o + γ x
σ max ( x= L ) = σ o + γ L
σ o ≤ σ adm − γ L
Ω=
/2005
P
σ adm − γ L
≤
σ adm
x
γ Ω x
P
Fig. 2.3
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
Esta última expresión nos permite establecer el límite de utilización de la barra de sección
constante. En efecto, cuando σadm = γ*L, el denominador se anula y Ω adquiere un valor infinito. La
longitud límite resulta ser:
L max ≤
σ adm
(2.9)
γ
A partir de esta longitud es necesario recurrir a las barras de sección variable. Por otra parte,
cuando las dimensiones de las barras son grandes y la influencia del peso propio es considerable, el
proyectar la barra con sección constante es antieconómico.
A continuación vamos a calcular el desplazamiento máximo producido cuando además de una
carga exterior actúa el peso propio.
Si a la distancia x del borde inferior de la figura 2.3 consideramos un elemento de longitud dx,
el mismo tendrá aplicada una carga que viene dada por la ecuación 2.7, la cual le producirá un alargamiento ∆x.
N
σ
P
γ
∆ x = ε dx = dx = ( x ) dx = 
+ x  dx
E
ΩE
Ω E E 
δ=
∫
L
0
∆ x =∫
L
0
γ 
P L γ L2
 P
+
x
dx
=
+
 Ω E E 
ΩE
2E
(2.10)
δ=
PL γΩL
+
L
ΩE 2Ω E
δ=
PL 1 WL
+
ΩE 2 ΩE
γ Ω L = W ( peso total de la barra )
De la última expresión se puede deducir que el alargamiento total resulta ser igual a la suma
de dos términos, uno de ellos corresponde al alargamiento producido por la carga exterior y el otro
corresponde a alargamiento debido el peso propio. Este último puede ser definido como el alargamiento de una barra ideal con su peso concentrado en la mitad de su longitud.
En lo que sigue vamos a ver la forma geométrica que tendría que tener una barra sometida a
carga exterior en su extremo y a su propio peso, para que fuese un sólido de igual resistencia, es decir,
que la tensión fuese constante en todas las secciones.
Supongamos que aislamos un elemento diferencial de longitud dx:
σ
dx
dW
Ω + dΩ
Ω
σ
σ = cte =
σ adm
dW = γ Ω dx
/2005
dx
Ω
Ω + dΩ
x
Ωo
P
Fig.2.4
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
σ(Ω + dΩ ) − σ Ω − dW = 0 ← por equilibrio
σ dΩ − γ Ω dx = 0
dΩ
γ
γ
=
dx
integrado → ln Ω = x + c
Ω
σ
σ
(2.11)
γ

 x +c

Ω ( x) = e  σ
γ 
 x

=eC eσ
para x = 0 → Ω (0 ) = e C =
Ω ( x) =
P
σ adm
e
P
σ adm
 γ


x
σ

 adm 
Fig. 2.5
En la práctica, la ley exponencial de la ecuación última puede aproximarse como se indica el
al figura 2.5.
2.1.4 Deformaciones térmicas
Los cambios de temperatura producen deformación en los materiales. En el caso de materiales
homogéneos e isótropos, un cambio de ∆T grados origina una deformación lineal uniforme en todas
las direcciones.
Las deformaciones térmicas lineales se calculan mediante:
∆l = α . l . ∆T
donde α es el coeficiente de dilatación térmica lineal
Material
Aluminio
Fundición
Cobre
Acero
Hormigón
α (x 10-6 /ºC)
23.2
10.4
16.7
11.7
10.8
2.1.5 Problemas hiperestáticos en tracción y compresión
Como ya sabemos, un sistema resulta hiperestático cuando la cantidad de grados de libertad
(g) del mismo resulta menor que la cantidad de restricciones de vínculo (r) impuestas; las que, por otro lado, no configuran ningún caso crítico.
g<r
∉ caso crítico
La definición anterior nos permite dar un concepto de los sistemas hiperestáticos a través de
consideraciones cinemáticas. Desde el punto de vista estático, la condición de hiperestaticidad viene
dada por el hecho de que la cantidad de ecuaciones (E) que surgen de los planteos de equilibrio de la
Estática es menor que la cantidad de incógnitas reactivas pla nteadas (I).
E<I
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
Para poder resolver estas estructuras es necesario agregar a las ecuacione s mencionadas, (I E) ecuaciones de compatibilidad. Estas reciben este nombre precisamente porque tratan de expresar la
compatibilidad entre las deformaciones y la vinculación existente, que como hemos dicho, resulta superabundante.
A continuación vamos a tratar algunos ejemplos simples donde solamente se involucran deformaciones por esfuerzos normales.
a) Ejemplo 1
En este caso deseamos calcular las solicitaciones
en las barras 1 y 2 de la figura 2.6. A la barra horizontal la
suponemos perfectamente rígida.
Si planteamos las ecuaciones de equilibrio de la
barra rígida tendremos:
∑x = 0 → H
∑y = 0 → R
∑M
A
=0
A
1
a2
a1
= 0 → R 1 a 1 + R 2 a 2 − Pa = 0
2
l1
l2
C
B
P
a
R1
HA
+ R 2 + VA − P = 0
1
R2
P
VA
δB
δC
De estas tres ecuaciones podemos observar que la
primera se cumplen con la nulidad del esfuerzo horizontal
HA, lo cual es obvio, y que las dos ecuacione s restantes no
Fig. 2.6
son suficientes para determinar las tres incógnitas faltantes.
Para poder calcularlas necesitamos una ecuación adicional, la cual puede obtenerse si imaginamos la forma en que se deformará el sistema. En efecto, teniendo en cuenta que la barra inferior es
rígida podemos establecer:
δc
a2
=
δB
δB =
a1
R 1l 1
a 1 Ω 1E 1
=
R 1l 1
Ω 1E 1
δC =
R 2l 2
Ω 2 E2
R2l2
a 2 Ω 2E 2
Luego, resolviendo el siguiente sistema, pueden obtenerse las tres incógnitas restantes.
R 1 + R 2 + VA − P = 0
R 1 a 1 + R 2 a 2 − Pa = 0
R 1l 1
Ω 1E 1a 1
=
R2l2
Ω 2 E 2a 2
Para determinar los corrimientos en los puntos B y C, hemos supuesto que las barras 1 y 2 se
encuentran en el período elástico en el que tiene validez la ley de Hooke. Luego de calculadas las in
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ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
cógnitas deberá verificarse si esto es cierto, en caso contrario deberá tenerse en cuenta la expresión
que verdaderamente correspond a para los corrimientos.
Una observación importante a tener presente es que para poder plantear numéricamente la
ecuación de compatibilidad, las barras tendrán que estar predimensionadas. Esta es una característica
sumamente importante de las estructuras hiperestáticas, donde las solicitaciones dependen de sus características mecánicas y geométricas. Por esta razón el proceso de dimensionamiento suele ser iterativo.
b) Ejemplo 2
Deseamos determinar las relaciones de vínculo de la estructura del esquema de la figura 2.7.
Para resolver este problema en primera instancia vamos a considerar que el vínculo superior no existe.
R
o
A
P1
l
b
c
= P1 + P2
RB
δB
1
δB
P1
Como el extremo B se encuentra libre, en correspondencia con el mismo existirá un corrimiento:
δ oB =
P2
a
P2
P1 (b + c ) + P2 c
1
RA
RA
ΩE
Fig. 2.7
Dado que en la realidad en B tenemos un empotramiento, el desplazamiento en dicho lugar
deberá ser nulo. Para producir esto es que el vínculo genera una reacción RB de manera tal de anular
el desplazamiento total.
δ B = δ oB − δ 1B = 0 → δ 1B − δ oB
δ 1B =
RBl
ΩE
→ RB =
P1 (b + c ) + P2 c
l
R A = R oA − R 1A
R B = R 1A → R A = P1 + P2 −
P1 (b + c ) + P2 c
l
c) Ejemplo 3
Queremos calcular las tensiones produc idas en las
barras 1 y 2 cuando existe un incremento de temperatura
∆t.
En primera instancia supongamos que hemos
eliminado el vínculo en B, con lo que a raíz del incremento de la temperatura el punto B tiene un desplazamiento:
A
1
2
a
B
b
Fig. 2.8
∆l = a α 1∆ t + b α 2 ∆ t
Fig. 2.9
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8
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
Sin el vínculo en B la estructura resulta isostática, lo que significa que la dilatación térmica no
genera solicitaciones. Ahora bien, debido a que el punto B no puede desplazarse, aparece una fuerza
reactiva que tiende a anular el desplazamiento.
δ B = ∆l
R Bb
δB =
R Ba
+
Ω2E2
Ω 1E 1
→ RB =
∆l
 b
a 

+
Ω E

 2 2 Ω 1 E1 
R A = R B = R (por razones de equilibrio )
P
σ1 =
R
σ2 =
;
Ω1
R
Ω2
1
d) Ejemplo 4
Deseamos determinar las tensiones originadas en la columna del esquema de la figura 2.10. La
misma esta formada por dos materiales distintos, y
la placa superior es infinitamente rígida. Planteando
las ecuaciones de equilibrio tendremos:
l
2
P1 + P2 = P
Dónde P1 Y P2 son las fuerzas que deben
absorber el material 1 y 2 respectivamente. Como
la placa superior es infinitamente rígida, el desplazamiento será igual para ambos ma teriales.
δ1 = δ 2 →
P1 l
Ω 1E 1
llamando η =
E2
E1
P2 l
Ω 2E 2
y
→ P2 =
ϕ=
P2 = n.ϕ.P1 → P1 =
P
(1 + η ϕ)
P2 =
ηϕP
(1 + η ϕ)
σ1 =
σ2 =
/2005
=
P1
Ω1
P2
Ω2
=
=
Ω2
Ω1
E2 Ω 2
E1 Ω 1
Fig. 2.10
P1
(cuantía geométrica)
P
(1 + η ϕ)Ω 1
ηϕ P
ηP
=
= η σ1
(1 + η ϕ) Ω 2 (1 + η ϕ) Ω 1
σ
σ
2
σ
1
ε
ε
Fig. 2.11
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
2.2 ENVOLVENTES CILÍNDRICAS DE PEQUEÑO ESPESOR
Consideremos un tubo de longitud indefinida de radio interior r, de espesor de pared e (pequeño en relación con r), y sometido a una diferencia de presión, p, entre el interior y el exterior.
r
≥ 10
e
(2.12)
En un punto cualquiera del espesor de la pared se originan dos tensiones normales, una radial σr y otra circunferencial σc. Ambas tensiones varían a lo largo del espesor e de la
pared según leyes determinadas.
La tensión σc varía entre el borde interno de la pared y
el externo, pero por ser el espesor e muy pequeño en relación
al radio, esta variación no es muy importante, pudiéndose admitir una distribución uniforme. La tensión σr alcanza en el
borde interno el valor de pi, y de pe en el borde exterior; y
siendo que σc resulta mucho más grande que p, las tensiones
σr pueden ser despreciadas sin cometer mayor error.
Para deducir el valor que adquiere σc consideremos el
equilibrio de una faja de envolvente de largo unitario y que desa-rrolla un arco ds.
ds = r dθ
dθ
dθ
∑ x = 0 → Rc cos 2 −Rc cos 2 = 0
∑y = 0
sen
→ 2 Rc sen
dθ dθ
≅
2
2
2 σ ce
Fig. 2.12
dθ
− Rp = 0
2
Rc = σc e 1
(2.13)
Rp = p ds = p r dθ
dθ
pr
− p r dθ = 0 → σ c =
2
e
De acuerdo con la ley de Hooke, la deformación específica circunferencial será:
εc =
σc
E
=
pr
Ee
(2.14)
El aumento de longitud del desarrollo de la sección del conducto será:
∆ s = 2π r ε c
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10
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
A este aumento de longitud de circunferencia corresponde un aumento del radio:
∆r =
∆s
= r εc
2π
Con lo que la correspondiente deformación específica radial será:
εr =
ε
∆r
= r c = εc
r
r
→ ε r = εc
(2.15)
Si el cilindro se encuentra cerrado en sus
extremos, las expresiones anteriores serán válidas
para secciones alejadas de los extremos, de acuerdo con el principio de Saint-Venant. La existencia
de cierres extremos origina además tensiones lo ngitudinales σL, uniformemente distribuida sobre el
área de la sección transversal del conducto.
La fuerza resultante sobre los extremos es:
p
R
R
p
p
p
R = p πr 2
El área de la sección transversal del conducto puede tomarse aproximadamente como:
Ω = 2π r e
Luego: σ L =
σc
σL
σL
p πr2
p r σc
=
=
(2.16)
2π r e
2e
2
Como consecuencia de la tracción longitudinal, el radio sufre una contracción debido al coeficiente de Poisson:
σL
σc
Fig. 2.13
ε r = εc − µ εL
εL =
εc
2
µ

ε r = 1 −  ε c
2

(2.17)
Recientemente hemos estudiado el problema relativo a tubo de paredes delgadas para lo cual
hemos hecho algunas hipótesis simplificativas. Cuando el espesor de los tubos aumentan ya no es posible ignorar las tensiones radiales σr, y además es necesario considerar la verdadera ley de va riación
para las tensiones circunferenciales σc. El estudio de los tubos de paredes gruesas puede encararse a
través de los desarrollos realizados por Lamé, y puede consultarse la bibliografía que se sita al final
del último capít ulo.
/2005
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
2.3 SOLICITACIÓN POR CORTE PURO
2.3.1 Conceptos generales
Según hemos visto en el capítulo I al definir tensión, el
vector tensión total puede descomponerse en un vector normal a
la sección y en uno yacente en la misma, al cual denominaremos
“tensión tange ncial”.
Así como ya vimos algunos problemas en los que se involucró la presencia de tensiones normales, ahora vamos a tratar
otros donde solamente aparecen tensiones tangenciales.
El problema de corte puro se presenta cuando en una sección de una pieza actúa exclusivamente un esfuerzo de corte. En
este caso puede suponerse que solamente se desarrollan tensiones tangenciales, y que las mismas se distribuyen uniformemente. Luego, por razones de equilibrio deberá ocurrir:
Q = ∫ τ dΩ = τ ∫ dΩ = τ Ω → τ =
Ω
Ω
Q
Ω
ρ
σ
dΩ
Fig. 2.14
(2.18)
Antes de continuar debemos aclarar que la hipótesis anterior es correcta en cuanto a suponer
que el esfuerzo de corte genera tensiones tangenciales; sin embargo, la suposición de que estas son
constantes es irreal; por lo que la fórmula 2.18 debe
solo considerarse como representativa del valor medio de las tensiones tangenciales.
Las hipótesis anteriores son aceptadas en
algunos casos como veremos a continuación, para
facilitar el cálculo, ya que el estado tensional real
Q
suele ser muy complicado. Por otro lado, la aproximación introducida debe ser tenida en cuenta en la
elección del adecuado coeficiente de seguridad.
Fig. 2.15
En los siguientes casos podemos admitir esfuerzos de corte puro:
Fig. 2.16
-
-
Vigas de muy pequeña luz donde la rotura
se produce por corte puro, ya que el efecto
de flexión es despreciable (fig. 2.16).
El corte en una plancha metálica media nte
el empleo de una cizalla.
Punzonamiento, por ejemplo, la perforación de hojas.
Uniones con remaches, bulones, soldadura, pernos, etc.
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12
ESTABILIDAD II
2.3.2
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
γ
Deformación por corte, energía de deformación
Si en una pieza que está sometida a un esfuerzo de
corte puro consideramos una tajada de lo ngitud ∆l, comprobaremos que las dos secciones que la definen se desplazan
una distancia ∆h , como consecuencia del esfuerzo Q.
γ ≅ tg γ =
∆h
∆l
Q
(2.19)
∆h
Q
∆l
Fig. 2.17
El ángulo γ se denomina “ deformación angular o
ángulo de distorsión ”.
Los ensayos demuestran que en el caso de muchos materiales, hasta ciertos límites de solicitación, se verifica una relación lineal entre las tensiones tangenciales y las deformaciones angulares.
Esta relación puede expresarse de la siguiente manera:
τ=G γ
(2.20)
Dónde G recibe el nombre de módulo de elasticidad transversal. La ley anterior resulta ser la
ley de Hooke para el caso de tensiones tangenciales. Los valores de G dependen del material.
Acero
Hormigón
G ≅ 810 tn/cm2
G ≅ 83 tn/cm2
El valor de la tensión tangencial admisible (τadm ) no es único para cada material, sino que depende de varios factores:
-
De la forma en que se manifiesta el esfuerzo de corte dentro de la pieza.
De si está combinado o no con otras solicitaciones
Del tipo de elemento de que se trate.
En cuanto a la energía especifica de deformación, podemos decir que, en forma análoga a lo
estudiado para el caso de tensiones normales, la misma puede calcularse como el área que encierra el
diagrama τ - γ.
Si el material se encuentra en el período elástico lineal, tenemos:
u=
1
1 τ2
1
τγ=
= G γ2
2
2 G
2
(2.21)
Si deseamos obtener el valor de la energía de deformación debemos
multiplicar estas expresiones por el volumen del elemento.
u dv = u Ω ∆l =
U=
/2005
1
1
1
τ γ Ω ∆l = ( τ Ω ) ( γ ∆l) = Q ∆h
2
2
2
1
1 Q 2 ∆l 1 Ω G ∆h 2
Q ∆h =
=
2
2 ΩG
2
∆l
γ
γ
Fig. 2.18
(2.22)
13
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
2.3.3 Aplicaciones al cálculo de elementos de unión
a) Ejemplo 1
Dimensionamiento de la chaveta de unión entre un
eje y una polea
Q
τ=
≤ τ adm
ab
→ ab≥
r
Q
τ adm
Consideremos que el motor que mueve al eje tiene
una potencia P, y que el eje gira a una velocidad angular ω,
el momento tordente originado se calcula como:
MT =
P
ω
Q
b
Al querer arrastrar el eje a la polea, el momento tordente produce un esfuerzo de corte Q en el plano medio de
la chaveta.
MT
P
Por equilibrio: Q =
=
r
ωr
P
ab≥
ω r τ adm
Q
Fig. 2.19
a
Adoptamos una de las dos medidas, a o b, se puede obtener la otra.
b) Ejemplo 2
Dimensionamiento de la unión del
esquema mediante remaches o bulones.
Si llamamos n a la cantidad de bulones a colocar:
P
P1 =
n
τ=
P1
Ω
=
P
π d2
P
≤
τ
→
n
≥
2
adm
πd
4
τadm
n
4
P
P
e
e
a
P
P
Fig. 2.20
Eligiendo el diámetro d puede determinarse la cantidad n de bulones, o viceversa. Luego de elegidos los bulones, dado que tenemos un esfuerzo de tracción, deberá verificarse:
σ=
P
P
=
≤ σ adm
Ω neta e (a - d )
En cuanto a la cantidad de bulones o remaches y diámetro a adoptar existen condiciones reglamentarias a respetar, pero el estudio de las mismas escapa a los alcances de este curso. Por otro lado,
las verificaciones que hemos hecho no son las únicas que deben realizarse para completar el cálculo.
/2005
14
ESTABILIDAD II
CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO
c) Ejemplo 3
En la figura 2.21 está representada una junta soldada de dos planchuelas, unidas por cordones
de soldadura. Se trata de soldaduras en ángulo compuestas por dos cordones laterales y dos frontales.
Fig. 2.21
Al calcular las soldaduras en ángulo, se considera que la sección peligrosa de la costura coincide con el plano de la bisectriz del ángulo recto ABC. Así pues, el área de la sección peligrosa de
una costura frontal es: b x 0.7 k y el de una costura lateral es: l x 0.7 k, siendo k el cateto de la costura.
En el plano representado en la figura, el cateto es igual al espesor de las planchas. Las tensiones tangenciales se consideran distribuidas uniformemente en el área de la sección peligrosa. Tenie ndo en cue nta esta hipótesis, la carga admisible correspondiente a la costura serán:
Tadm frontal = (b 0.7 k).τ adm.
Tadm lateral = (L.0.7 k).τ adm.
Es obvio que para conseguir una junta resistente, será necesario que la resistencia total admisible de la costura no sea inferior a la fuerza que actúa sobre la junta. Es decir:
(2 Tadm frontal + 2 Tadm lat.) ≥ P
Con los ejemplos anteriores se ha pretendido hacer una ejercitación del problema de corte puro. Oportunamente en otras asignaturas se profundizará el estudio para los tipos de uniones más frecuentes.
/2005
15
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
3
ELEMENTOS DE LA TEORIA DE
TENSIONES Y DEFORMACIONES
3.1 DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES
Consideremos el caso de un sólido en equilibrio
bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior
del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de
manera que las cargas pueden orientarse según el sistema de referencia.
Sobre cada una de las caras existirá un vector tensión total de manera tal que el cubo elemental se encuentre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse según los ejes de referencia de manera que en cada una de
las seis caras tendremos en general una tensión normal y
dos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un
estado de tensiones de estas características se dice que es
un “estado triple o espacial”.
En determinadas circunstancias las cargas actua ntes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo
elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este estado se denomina “doble o plano”.
Cuando los vectores tensión son paralelos a un
eje, el estado se denomina “simple o lineal”.
En realidad, la definición de un estado como simple, doble o triple no solo depende de estado de cargas
actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como
veremos mas adelante, el estado simple puede pasar a ser
un estado doble si el elemento diferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirse en un estado triple. El
proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tenemos un estado doble, por ejemplo, es probable que no encontremos, por rotación del elemento, una posición para
el cual el estado sea lineal.
/2005
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
Para poder entendernos con claridad al referirnos a las tensiones, vamos a establecer ciertas
convenciones:
σi : el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tens iones normales son paralelas ( σx, σy , σz ).
Serán positivas cuando produzcan tracción.
τij : el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan las tensiones tangenciales, y el subíndice j indicará el eje al que resultan paralelas ( τ xy , τxz , τyz, τyx, τzx, τzy ).
Tanto las tensiones normales como la tangenciales varían punto a punto en el interior de un
cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensiones quedan expresadas como funciones:
σ = σ(x,y,z)
τ = τ (x,y,z)
3.2 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL
Consideremos, como en la figura 3.3, un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensiones, punto que hacemos coincidir con el origen de coordenadas; y tres planos perpendiculares que pasan por el punto, coincidentes con los planos coordenados. Supongamos además un segundo punto B
del mismo sólido, de coordenadas dx, dy y dz..
Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos del sólido son cont inuas y derivables. Las tensiones que actúan en los planos que pasan por B pueden definirse como las
que actúan en los planos paralelos pasantes por A mas el correspondiente incremento. Así tendremos,
∂s
por ejemplo, σ x y σ x + x dx tomando como incremento el primer término del desarrollo en serie
∂x
de Taylo r.
/2005
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
El prisma elemental estará sometido a fuerzas actuantes en sus caras como consecuencia de las
tensiones, además existirá una fuerza de masa que supondremos aplicada en el baricentro. Llamaremos X, Y, Z a las componentes de dicha fuerza por unidad de volumen.
Si planteamos el equilibrio del prisma elemental tendremos:
∑F
x
∂σ x
∂τ




= 0 →  σx +
dx dy dz − σ x dy dz +  τ zx + zx dz dx dy − τ zx dx dy +
∂x
∂z




∂τ yx


+  τ yx +
dy  dx dz − τ yx dx dz + X dx dy dz = 0
∂y


∂τ yx
 ∂σ

∂τ
→  x + zx +
+ X  dx dy dz = 0
∂z
∂y
 ∂x

∂σ x
+
∂x
∂τ yx
∂y
+
∂τ zx
∂z
+X=0
Por Σ Fy = 0 ; ΣFZ = 0 , se obtiene :
∂τxy
∂x
∂τxz
∂x
+
+
∂σ y
∂y
∂τ yz
∂y
+
+
∂τzy
∂z
∂σ z
∂z
+Y=0
ECUACIONES DIFERENCIALES
DEL EQUILIBRIO
(3.1)
+Z = 0
Continuando con las ecuaciones de momento, para lo cual suponemos trasladada la terna de
ejes al baricentro del elemento, tendremos:
∑ Mx = 0
∂τ yz


dy
dy
→  τ yz +
dy dx dz
+τ yz dx dz
−


∂
y
2
2


∂τ


dz
dz
-  τ zy + zy dz dx dy
− τ zy dx dy
=0


∂z
2
2


Despreciando diferenciales de orden superior nos queda:
τ yz dx dy dz − τ zy dx dy dz = 0 → τ yz = τ zy
(3.2)
Identicame nte
∑
∑
My = 0 → τ xz = τ zx
Mz = 0 → τ xy = τ yx
τ xy = τ yx
/2005
τ xz = τ zx
τ yz = τ zy
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
Estas últimas ecuaciones reciben el nombre de “LEY DE CAUCHY o LEY DE RECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES”, cuyo enunciado es: “En dos planos normales
cualesquiera, cuya intersección define una arista, las compone ntes normales a ésta de las tensiones
tangenciales que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista”.
Las ecuaciones diferenciales del equilibrio tienen nueve incógnitas, las que considerando la
ley de Cauchy se reducen a seis. Ahora bien, siendo que sólo disponemos de tres ecuaciones, el numero de incógnitas excede el número de ecuaciones, con lo que concluimos que este problema resulta
ESTATICAMENTE INDETERMINADO. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse sólo si se estudian las CONDICIONES DE DEFORMACION y se tienen en cuenta las propiedades físicas del
cuerpo dado (por ejemplo la ley de Hooke).
La determinación del estado tensional de un cuerpo siempre resulta indeterminado por cond ición interna e implica la consideración de ecuaciones de compatibilidad, las cuales establecen relaciones entre las deformaciones, en forma similar a como las ecuaciones diferenciales del equilibrio relacionan a las tensiones entre sí.
Hay dos ciencias que tratan de resolver este problema:
-
La Teoría de la Elasticidad
La Resistencia de Materiales
En la primera aparecen otras ecuaciones diferenciales aparte de las de equilibrio, se agregan ecuaciones de contorno y se trata de obtener la solución mediante la integración de las ecuaciones diferenciales. El proceso es complejo y en muchos casos es muy difícil de encontrar la solución rigurosa
del problema, recurriendo a métodos numéricos. En el ámbito de la Resistencia de Materiales, en
cambio, se hacen hipótesis aproximadas, aplicables a distintos casos particulares, y que se verifican
experimentalmente.
Cuando resolvimos el problema de la solicitación normal, sin haberlo mencionado específicamente, hemos utilizado una ecuación de compatibilidad: la Ley de Bernoulli. En efecto, esta ley nos
permitió establecer que las deformaciones especificas debían permanecer constantes, con lo que debido a la Ley de Hooke resultó que las tensiones normales también debían ser constante en la sección
transversal.
σ=
P
→
Ω
P
P
dΩ =
Ω Ω
Ω
∫ σ dΩ = ∫
Ω
∫ dΩ = P
Ω
(3.3)
Si hubiésemos intentado resolver el problema sólo a partir de las tensiones, se podrían haber
encontrado numerosas leyes de variación σ(x,y) cuya integral en el área de la sección transversal diera
como resultado el valor P. Sin embargo, ninguna de estas leyes daría ε= cte., que es lo que se observa
experimentalmente.
Para resolver otros problemas como los de torsión, flexión, etc., deberemos seguir un camino
similar al indicado, ya que como hemos visto, las ecuaciones de la Estática no resultan suficiente para
determinar el estado tensional de un cuerpo.
3.3 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE
La experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento de una barra, el alargamiento
longitudinal va acompañado de acortamientos transversales que son proporcionales al longitudinal. Si
en un cubo diferencial actúa solamente σx tendremos:
εx =
/2005
σx
E
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
si además actúa σy tendremos un valor adicional:
σ
ε´ x = −µ ε y = −µ y
E
y lo mismo si actúa σz. En consecuencia podemos establecer las siguientes leyes:
εx =
[
]
1
σ x − µ (σ y + σ z )
E
[
]
[
]
(3.4)
1
ε y = σ y − µ(σ x + σ z )
E
εz =
1
σ z − µ (σ x + σ y )
E
Puede demostrarse que las tensiones tangenciales no provocan alargamientos ni acortamientos, sólo cambios de forma, de modo tal que puede establecerse:
γ xy =
τ xy
G
γ xz =
τ xz
G
γ yz =
τ yz
G
(3.5)
Más adelante veremos que las tres constantes elásticas E, µ y G no son independie ntes sino
que están relacionadas:
G=
E
2(1 + µ )
(3.6)
Las seis leyes anteriores, que vienen dadas por las ecuaciones 3.4 y 3.5, constituyen la denominada “Ley Generalizada de Hooke”.
3.4 ESTADO DOBLE
3.4.1 Variación de las tensiones en el punto según la orientación del plano.
Un elemento definido por tres planos normales entre sí, esta sometido a un estado plano,
cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas.
Analicemos el elemento de la siguiente figura:
/2005
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
dx = ds . sen α
dy = ds . cos α
Adoptamos las siguientes convenciones de signos:
Tensiones normales: serán positivas cuando produzcan tracción.
Tensiones tangenciales: serán positivas cuando produzcan un giro de momento con sentido horario
respecto a un punto interior del prisma.
Angulo α : El ángulo se mide a partir del plano vertical y se considera positivo cuando es antihorario.
El plano definido mediante el ángulo α es paralelo al eje z. Los tres planos determinados por
los ejes x, y, y el ángulo α pasan por el mismo punto; de allí que no tenemos en cuenta fuerzas de masa sobre dicho elemento.
Recordamos por Cauchy:
τxy= τyx
(3.7)
Tomando en profundidad una distancia unitaria (dz = 1) y planteando proyecciones de fue rzas sobre la dirección 1, por razones de equilibrio tenemos:
∑ F s / direc 1 = 0
σ α ds . 1 − σ x dy cos α . 1 + τ xy dy sen α . 1 + σ y dx sen α . 1 + τ xy dx cos α . 1 = 0
σ α = σ x cos 2 α + σ y sen2 α - 2τ xy sen α cos α =
= σ x cos 2 α + σ y sen2 α +
=
=
σα =
/2005
σx + σy
2
σx + σy
2
σx + σy
2
+
+
+
σx
2
σx
2
σx + σy
2
( 2 cos 2 α − 1) +
σy
2
(cos α − sen α ) +
2
σx − σy
2
2
-
σx + σy
2
- τ xy sen 2α =
( 2sen2 α − 1) − τ xy sen 2α =
σy
2
(cos α − sen α ) − τ xy sen 2α =
cos 2α − τ xy sen 2α
2
2
(3.8)
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
Similar a lo anterior, proyectamos fuerzas sobre la dirección 2:
∑ F s / direc 2 = 0
τ α ds . 1 − σ x dy senα . 1 − τ xy dy cos α . 1 + σ y dx cos α . 1 + τ yx dx senα . 1 = 0
(
)
τ α = σ x − σ y cos α senα + τ xy (cos 2 α − sen2 α
τα =
(σ
x
− σy )
2
)
sen2α + τ xy cos 2α
(3.9)
Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominan tensiones complementarias. Para calcularlas podemos reemplazar en las ecuaciones anteriores, que son válidas para cua lquier
ángulo α, por ( α+90º ).
σ' α =
=
(σ
+ σy
x
2
σx + σy
2
) (σ
+
+
x
− σy
2
σx − σy
2
)
cos 2α `−τ xy sen2α`
(− cos 2α ) − τ xy (− sen2α )
Si analizamos la siguiente suma:
σ α + σ ' α = σ x + σ y = cte.
← Invariante de tensiones
(3.10)
podemos ver que la suma de las tensiones normales correspondientes a dos planos ortogonales se
mantienen constantes, por lo que a esta suma se la denomina invariante de tensiones.
3.4.2 Valores máximos y mínimos
En el ítem anterior hemos visto la manera de poder calc ular el valor de las tensiones cuando el
prisma elemental tiene una rotación; ahora vamos a tratar de determinar la rotación que debería tener
para que las tensiones alcancen valores extremos. Para obtener máximos y
mínimos, derivamos e igualamos a cero.
dσ α
dα
(
)
= − σ x − σ y sen2α − 2 τ xy cos 2α = 0
tg 2α σ = −
(Idem 3.9)
2τ xy
(3.11)
σx − σy
Observando esta última ecuación, podemos ver que la misma
queda satisfecha por dos valores de α, los cuales difieren entre sí 90º. Reemplazando entonces en la ecuación 3.8 por estos valores llegamos a obtener las expresiones correspondientes a las tensiones normales máxima y
mínimas. Para ello nos apoyamos en la construcción gráfica de la figura,
de donde resulta muy simple obtener los valores de cos 2α σ y sen 2α.
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
cos 2α σ =
(σ
±
σx + σy
σασ =
2
σx + σy
σασ =
2
σx − σ y
)
− σy
x
(σ
±
x
+ 4τ xy
2
− σy
)
(σ
x
(σ − σ ) + 4τ
2 (σ − σ ) + 4 τ
±
x
− σy
− σy
x
2
y
)
2
− σy
x
± 2
(σ
±
τ xy
x
− σy
(σ
2
2
− 2 τ xy
)
2
+ 4 τ xy
2
2τ xy
x
− σy
)
2
+ 4τ xy
2
2
xy
y
(σ
1
2
±
)
+ 4τ xy
2
2
σx + σ y
min
2
(σ
2
x
σ max =
sen2α σ =
)
2
xy
+ 4τ xy
2
2
Si calculamos el valor de τα para α σ
τ ασ =
σx − σ y
2
(σ
− 2τ xy
− σ y ) + 4τ xy
2
x
+ τ xy
2
(σ
±
(σ
x
− σy )
− σ y ) + 4τ xy
2
x
2
=0
(3.12)
podemos ver que las tensiones máximas y mínimas, no sólo se producen simultáneamente en planos
ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichos pla nos las tensiones tangenciales son nulas. Las tensiones máximas y mínimas se denominan “tensiones principales” y los ejes perpendiculares a los planos donde actúan, “ejes principales”.
A continuación vamos a tratar de determinar las tensiones tangenciales máximas y mínimas.
dτ α
dα
(
)
= σ x − σ y cos 2α − 2τ xy sen2α = 0
tg 2α τ = +
tg 2α τ = −
σ x − σy
(3.13)
2τ xy
1
tg 2α σ
→
2α σ difiere 90º de 2α τ
Los planos donde se producen las tensiones principales difieren 45º de aquellos donde las tensiones tangenciales son máximas y mínimas.
 σ − σy
τ max =  x

2
min

τ max = ±
min
/2005
1
2
(σ
x
(σ
− σy



±
(σ
x
− σy
)
+ 4τ xy 2
2
x
− σy
)
2
)
+ 4τ xy
2
(+ 2τ )
(σ − σ ) + 4τ
τ xy
+
±
xy
2
x
y
2
xy
(3.14)
8
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
Calculemos el valor de σατ para α τ, siendo tg 2α τ =
σ ατ =
σ ατ =
σx + σy
2
+
(2τ )
(σ − σ ) + 4τ
σx − σ y
xy
2
2
x
y
2
−
xy
σx + σy
σx − σy
2 τ xy α σ
τ xy (σ x − σ y )
(σ
x
− σ y )2 + 4τ xy 2
=
σx + σy
2
(3.15)
2
3.5 CIRCULO DE MOHR PARA TENSIONES
3.5.1 Trazado y justificación en el estado doble
Si consideramos las ecuaciones 3.8 y 3.9, y las reordenamos, elevamos al cuadrado y sumamos miembro a miembro tendremos:
σα −
τα
σx + σy
2
=
σx − σy
=
2
σx − σy
2

 σx + σy
σ α − 
2


cos 2α − τ xy sen2α
sen2α + τ xy cos 2 α
2

 σ − σy
 + τα2 =  x


2
 

2

 + τ xy 2


(3.16)
Esta última expresión resulta ser la ecuación de una circunferencia con centro sobre un eje
asociado a las tensiones normales σ, y de abscisa (σx + σy )/2 . El radio de la circunferencia es:
 σx − σ y

2

/2005
2

 + τ xy 2

=
1
2
(σ
x
− σ y )2 + 4 τ xy 2
(3.17)
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
La propiedad fundamental de esta circunferencia es que cada punto de ella está asociado a un
par de valores (σ, τ) correspondiente a un plano.
Desde el punto de vista práctico el trazado
de la circunferencia es muy simple:
-
Ubicamos los puntos A y B de coordenadas:
A (σx , τxy )
B (σy , τyx )
-
La circunferencia con centro en C, pasante por
A y B define el llamado “Circulo de Mohr”,
cuyo radio coincide con el indicado en la
ecuación 3.17
OC =
σx + σy
2
σ −σ
x
y
RC =
2
2
r = RC + RA
(3.18)
2
 σx − σ y
= 
2

2

 + τ xy 2

Si por el punto A trazamos una paralela a la dirección del τ respectivo y por el punto B trazamos una paralela a la dirección del τ respectivo, dichas rectas se cortan en el punto P, el cual presenta propiedades muy importantes. Este punto P se denomina “punto principal de Mohr”.
Si por el punto principal de Mohr trazamos una recta paralela al plano respecto del cual deseamos evaluar las tensiones actuantes, la misma corta a la circunferencia en el punto M.
/2005
10
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
A continuación vamos a demostrar que las coordenadas de ese punto (OT;MT) se corresponden con los valores de σα y τα.
Para ello, previamente justificaremos las siguientes relaciones trigonométricas entre ángulos
presentes en la Fig. 3.8, que utilizaremos para la referida demostración.
a) ω = θ / 2
∆
}
en DAE : DA = 2. r . cos ω
∆
67
8
en DAA ' :
AA' = DA . sen ω = 2 . r . cos ω . sen ω = r . sen 2 ω
ademas:
∆
67
8
en CAA ' :
AA' = r . sen θ
entonces:
ω =θ/2
b) δ = 2. α
∆
}
en PAC :

al ángulo
tene mos α ⇒ 

 ⇒
∧
}
APC lo denominamo s ( α + γ) + α
∧
}
PAC será : 2α + γ
2 θ + 4 α + 2 γ = 180º
luego
∆
67
8
en PCM
2 θ + δ + 2 α + 2 γ = 180º
2α - δ =0 ⇒ δ = 2α
restando m.a.m.
Una vez demostradas ambas relaciones, definimos el ángulo β
β = 2α + θ
OT = OC + CT = OC + r cos β = OC + r cos(2α + θ )
OT = OC + r (cos 2α cos θ − sen 2α sen θ)
=
OT =
/2005
σx + σy
2
σx + σy
2
+ r cos 2α
+
σx − σy
2
σx − σy
2r
− r sen 2α
τ xy
r
cos 2α − τ xy sen 2α = σ α ≡ Ec.( 3.8)
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
TM = rsenβ = rsen ( 2α + θ ) = rsen 2α cos θ + r cos 2α senθ
TM =
σx − σy
2
sen 2α + τ xy cos 2α = τ α ≡ Ec.( 3.9)
El círculo de Mohr no sólo resulta práctico para determinar las tensiones presentes en un pla no
cualquiera , sino que a partir del mismo pueden obtenerse las tensiones principales y sus planos principales, o las tensiones tangenciales máxima y mínima. En el circulo de la figura 3.9 hemos representado las tensiones recientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuación. En el mismo también puede verse que en correspondencia con las tensiones principales existen tange nciales
nulas.
A través del círculo de Mohr podemos analizar algunos casos particulares que nos interesan.
a) Corte puro
/2005
12
ESTABILIDAD II
CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
En este estado vemos que existe un elemento girado a 45º con respecto al solicitado por corte
puro, tal que sus caras están sometidas a tensiones normales de tracción y compresión, iguales en valor absoluto y numéricamente iguales a la tensión tange ncial.
b) Tracción simple
3.5.2 Trazado en el estado triple
Así como es posible determinar las tensiones
principales en un estado doble, éstas también pueden
calcularse en un estado triple. Si suponemos que estas
tensiones son conocidas, es posible demostrar que el
par de tensiones (σ,τ) correspondiente a un plano inclinado cual-quiera se corresponde con las coordenadas de
cierto punto ubicado dentro del área rayada ind icada en
la figura 3.12, encerrada por los círculos, definidos, en
este caso por las tres tensiones princip ales.
Un hecho importante a destacar es el que
se observa en el circulo de la fig. 3.13. Allí tenemos un estado triple donde σ3 =0, y puede
verse que la tensión tangencial máxima resulta
mayor que la que correspondería al estado plano
correlacionado con las tensiones principales σ1
y σ2 exclusivamente.
/2005
13
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
4
TEORIAS DE FALLAS O
DE COMPARACIÓN
4.1 CONCEPTOS COMPLEMENTARIOS SOBRE ENERGIA ESPECIFICA DE
DEFORMACION
4.1.1 Energía total de deformación
La energía específica de deformación en un punto de un sólido sujeto a un estado de tensión
cualquiera, es una función tanto de las tensiones actuantes como de las deformaciones. En los
capítulos anteriores ya hemos analizado el valor de la energía de deformación por unidad de volumen
para algunos casos simples:
Esfuerzo axial : u =
Corte puro : u =
1
σε
2
1
τγ
2
Las expresiones anteriores surgen de la consideración del comportamiento del material como elástico
lineal, es decir, que vale la Ley de Hooke.
En el caso más general de un estado triple tendremos que considerar la energía específica de
deformación correspondiente a cada tensión.
u=
1
1
1
1
1
1
σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz
2
2
2
2
2
2
u=
1 1
 1 1

σ x  σ x − µ (σ y + σ z )  + σ y  σ y − µ(σ x + σ z )  +
2 E
 2 E

[
]
[
]
(4.1)
+
u=
τ xy 1
τ yz
1 1
τ
1
 1
σ z  σz − µ(σ x + σ y )  + τ xy
+ τ xz xz + τ yz
2 E
G 2
G 2
G
 2
[
[(
]
]
)
[
1
1 2
σ 2x + σ 2y + σ 2z − 2µ (σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z ) +
τ xy + τ 2xz + τ 2yz
2E
2G
]
En el caso particular de un estado doble, la expresión anterior se reduce a la siguiente:
u=
[
]
1 2
1 2
σ x + σ 2y − 2µ σ x σ y +
τ xy
2E
2G
(4.2)
y en el estado lineal
u=
1 2
σx
2E
(4.3)
4.1.2 Relación entre las constantes elásticas
/2005
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
4.1.2.1 Relación entre E y G
Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencial en una determinada
posición, la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente al mismo deberá
mantenerse se la suponemos rotado.
Si tenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45º de esa posición nos
encontraremos en el elemento sometido a tensiones de tracción y compresión, las que en valor
absoluto serán iguales entre sí e iguales e la tensión tangencial. Si evaluamos la energía de
deformación por unidad de volumen en ambos casos obtendremos:
1 τ2
2G
1 2
1
u=
σ1 + σ 22 − 2 µ σ1 σ 2 =
2τ 2 + 2µτ2
2E
2E
1+ µ 2
1 2
1+ µ
1
u=
τ =
τ →
=
E
2G
E
2G
E
G=
2(1 + µ )
σ1
u=
[
]
[
]
σ2
 σ1  = σ2  = τ
Fig. 4.1
(4.4)
De esta manera hemos encontrado la relación existente entre E, G, y µ, relación de la que ya habíamos
hablado anteriormente.
4.1.2.2 Relación entre módulos E y K
Consideramos un cubo inicialmente de lados unitarios, sometido a tensiones normales σx , σy , σz.
Fig. 4.2
La longitud final de cada lado del cubo será:
lx = (1 + ε x)
ly = (1 + ε y )
lz = (1 + ε z )
Volumen final
Vf = (1 + ε x ) (1 + ε y ) (1 + ε z )
Por Ser ε i valores pequeños, se desprecian los términos de productos de 2º y 3º orden:
Vf = 1 + ε x + ε y + ε z
/2005
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
Calculando la deformación específica volumétrica
Vf − Vi
= εx + ε y + ε z
Vi
Reemplazando los ε i en función de las tensiones normales:
εv =
εv =
[
]
1
(σ x + σ y + σ z )(1 − 2µ )
E
Para el caso particular en que σ x = σy = σz = σp (Estado de tensión hidrostática)
εv = 3
σp
(1 − 2µ ) = ctte × σp
E
Anteriormente llamamos K a la constante que vincula a la tensión con la deformación específica
volumétrica.
σp = K ⋅ ε v → K =
E
3(1 − 2µ )
módulo de elasticidad volumétrico
Como ε ≠ 0 , el valor entre paréntesis: (1 – 2µ) > 0 , o sea, µ < 0,5
4.1.3 Energía por variación de volumen y por variación de forma
La energía específica de deformación puede considerarse como respuesta de dos partes:
u = uV + uF
(4.5)
uv = energía necesaria para producir el cambio de volumen del elemento diferencial infinitésimo
considerado.
uF = energía que origina el cambio de forma o distorsión del elemento, también llamada “energía de
distorsión”.
Ya hemos indicado que las distorsiones angulares no provocan cambio de volumen, solo de forma.
Por otro lado, las deformaciones específicas producen cambios de volumen y forma.
De la expresión correspondiente a “u” vamos a separar la parte inherente a las tensiones tangenciales y
la que depende de las tensiones normales.
uτ =
1 2
(1 + µ ) τ 2 + τ 2 + τ 2
τ xy + τ 2xz + τ 2yz =
xy
xz
yz
2G
E
uσ =
1 2
σ x + σ 2y + σ 2z − 2µ σ x σ y + σ xσ z + σ y σ z
2E
[
[
]
[
(
]
(4.6)
)]
(4.7)
Consideramos a continuación un elemento sometido exclusivamente a tensiones normales
y llamemos:
σp =
/2005
σx + σy + σz
3
σx , σy , σz
(4.8)
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
En la figura 4.3 hemos expresado este caso como suma de los dos estados allí indicados.
A
σy-σp
σp
σy
σx
σx
σp
B
σz
σp σx-σp
= σp
σx-σp
+
σp
σz
σz-σp
C
σy
σz-σp
σp
σy-σp
Fig. 4.3
εV = εx + εy + εz
3
3(1 − 2µ )
σ p − 2µ σ p =
σp
E
E
1
1
= (σ x − σ p ) − µ (σ Y + σ Z − 2σp ) + [(σ Y − σ P ) − µ (σ X + σ Z − 2σ P )] +
E
E
[
ε VB = 3ε p =
ε VC
+
]
[
]
(4.9)
1
[(σ − σ P )− µ(σ X + σ Z − 2σ P )] =
E Z
ε VC


1 − 2µ 
=
σ x + σy + σ z − 3σ p  = 0 → ε VB = ε VA

4 43
4
E  142
3 σp


(4.9)
De la ecuación 4.9 puede verse que el estado C no presenta cambio de volumen. El estado B, donde
todas las caras están sometidas a la misma tensión, se denomina “estado de tensión hidrostática”.
u V = u VB
uV
1
3(1 − 2µ )  σ x + σ y + σ z 
=
3σp2 − 6µ σ 2p =


2E
2E 
3

[
]
(1 − 2µ ) [σ2 + σ 2 + σ 2 + 2σ
=
x
6E
y
z
x
σ y + 2σ xσ z + 2σ y σ z
2
(4.10)
]
uF = u − uV
[
]
1 2
σ x + σ 2y + σ 2z − 2µ (σ x σ y + σ x σz + σ y σ z ) −
2E
(1 − 2µ ) σ 2 + σ 2 + σ 2 + 2σ σ + 2σ σ + 2σ σ
x
y
z
x y
x z
y z
6E
(1 − 2µ ) σ 2 + σ2 + σ 2 − σ σ − σ σ − σ σ
uF =
x
y
z
x y
x z
y z
3E
uF =
[
[
]
(4.11)
]
Para el caso general donde además de tensiones normales existen tensiones tangenciales, resulta:
uF =
(1 − 2µ )[σ 2 + σ2 + σ 2 − σ
x
3E
y
z
x
(
σ y − σx σ z − σ y σ z + 3 τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz
)]
(4.12)
La importancia de la energía por cambio de forma estriba en que a ella se le atribuye la fluencia, o sea,
el escurrimiento plástico.
En función de las tensiones principales:
uF =
/2005
(1 + µ )
6E
[(σ
1
− σ 2 ) 2 + ( σ1 − σ 3 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2
]
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
4.2 TEORIAS DE COMPARACION – TEORIAS DE FALLA.
4.2.1.1 Introducción.
Componentes ingenieriles pueden estar sujetos a cargas complejas de presión, tracción, compresión,
torsión, flexión, o una combinación de ellas, de forma tal que para un cierto punto del material se
producen tensiones en más de una dirección. Para una determinada relación de valores, tales tensiones
combinadas pueden causar la fluencia o fractura del material, aún cuando individualmente no alcancen
los guarismos de falla.
La predicción de límites seguros para el uso del material bajo tensiones combinadas requiere la
aplicación de un criterio de falla.
Existen gran cantidad de criterios de falla, algunos de los cuales son aptos para predecir la falla por
fractura en un caso, y en otros por fluencia.
A los primeros los llamamos criterio s de fractura y a los segundos, criterios de fluencia.
Todos los criterios de falla considerados en el presente capítulo están basados en valores de tensiones,
de modo que su aplicación involucra el cálculo de valores numérico de tensiones que caracterizan las
tensiones combinadas, y luego la comparación de este valor con la resistencia de fluencia o de fractura
del material.
Un material dado puede fallar tanto por fluencia como por fractura, dependiendo de sus propiedades y
del estado de tensiones, de modo que en general debe ser considerada la posibilidad de que cualquiera
de los dos eventos ocurra primero.
4.2.1.2 Necesidad de un criterio de falla:
La necesidad de la cuidadosa consideración de un criterio de falla es ilustrada por los ejemplos de la
figura 4.13.
σy
σy
σy
σy
σx
σx
σx
σz
Tracción Uniaxial
σx =-σy Tracción con
Compresión Transversal
σy
σy
σy
σx =σx Tracción Biaxial
E
1- µ
1 γ
E
1+µ
E
1
εy
-σy
σy ≅ σf
σy ≅ σf / 2
σf
σx =σy =σz =-p
Compresión Hidrostática
σf
E
1-2 µ
1 γ
εy
εy
-εy
Fig. 4.13
Para estos ejemplos se asume que el material es un metal dúctil, el comportamiento del mismo se
aproxima al lineal elástico, perfectamente plástico. El ensayo de tracción uniaxial proporciona el
módulo de elasticidad E, y la tensión de fluencia σf (ver fig. 4.13a).
Asumamos ahora que aplicamos también una compresión transversal de igual valor que la tracción
(4.13 fig.b) en este caso se observa experimentalmente que la tensión σy necesaria para causar la
fluencia del material es de alrededor de la mitad del va lor del ensayo de tracción uniaxial.
Este resultado es fácilmente verificado realizando un simple ensayo de torsión en un tubo hueco de
pared delgada, dónde el estado de tensiones deseado existe para una orientación de 45º respecto al eje
del tubo.
/2005
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
τ
45º
σ1=τ
σ2=-τ
σ3=0
Fig. 4.14
Consideramos ahora otro ejemplo, la tracción transversal σx de igual magnitud que σy . (4.13 fig.c)
Como la compresión transversal disminuye la resistencia a la fluencia, la intuición sugiere que la
tracción transversal la incrementa.
Pero un experimento demostrará que el efecto de la tracción transversal será pequeña o ausente sobre
la fluencia.
El experimento podría ser realizado presurizando una esfera hueca de pared delgada hasta la fluencia,
o por una combinación de presión y tracción en un tubo de pared delgada.
Si se cambia el material por uno frágil, por ejemplo: fundición de acero gris, ni tensiones trasversales
de tracción ni de compresión tienen mucho efecto en su fractura.
Un hecho experimental adicional de interés es que, es difícil y quizás imposible, hacer llegar a la
fluencia a un material si es ensayado bajo presiones hidrostáticas, dónde σx = σy = σz tanto en tracción
como en compresión. Esto es ilustrado en la figura 4.13.d. La tracción hidrostática es difícil de lograr
experimentalmente, pero la compresión hidrostática consiste en colocar una muestra del material en
una cámara presurizada.
Así, se necesitan criterios de falla que sean capaces de reflejar tales efectos de tensiones combinadas
ya sea para la fluencia o la fractura.
Aunque deberían emplearse, en general, ambos criterios, (fractura y fluencia), los materiales que
típicamente se comportan como dúctiles, generalmente tendrán limitada su utilidad por fluencia, y
aquellos que se comportan típicamente como frágiles están limitados por la fractura.
Una alternativa a los criterios de falla basados en tensiones, es analizar específicamente fisuras en el
material utilizando los métodos especiales de la mecánica de fractura, tema que escapa a la formación
de grado.
En la mayoría de los tratamientos que siguen, se asume que el material es homogéneo e isótropo.
Los criterios de fluencia considerados en este capítulo predicen el comienzo de la deformación
plástica, mas allá de donde la Ley de Hooke cesa de describir completamente el comportamiento
tensión- deformación.
4.2.1.3 Forma general del criterio de falla.
Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado más general que puede presentarse ante
una condición de solicitación. En la práctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear
experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinación de tensiones, atento a las
dificultades para poder concretarlo como al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por tal
razón se necesitan Hipótesis, Teorías o Criterios que permitan evaluar, comparar y relacionar un
estado de tensión cualquiera con los resultados experimentales del ensayo típico de tracción, cuyo
costo es relativamente bajo.
En la materia consideraremos dos posibilidades de falla: a) Falla para materiales Dúctiles. b) Falla
para materiales Frágiles.
En la aplicación de un criterio de fluencia, la resistencia del material está dado por su resistencia de
fluencia.
La resistencia de fluencia más comúnmente disponible es la resistencia a la tracción σ0 , determinada a
partir de un ensayo uniaxial utilizando las deformaciones plásticas ya descriptas.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
σ0
ε
0,002
Fig. 4.15
En la aplicación de un criterio de fractura, se utiliza usualmente la resistencia última a la tracción σu.
Los criterios de fractura para materiales isotrópicos pueden ser expresados en la forma matemática
siguiente:
f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = σ c
en la falla
( 4.13)
Dónde se predice que ocurre la falla (fractura o fluencia), cuando una función matemática específica,
f, de las tensiones normales principales es igual a la resistencia de falla del material, σc, en un ensayo
de tracción uniaxial. La expresión matemática también puede ser presentada en función de
componentes de tensión según un sistema de ejes cartesianos que no sea el de las tensiones
principales.
La resistencia de falla es tanto la resistencia de fluencia, o la resistencia última, dependiendo de si es
de interés la fluencia o la fractura.
Un requerimiento para que sea válido el criterio de falla es que debe dar el mismo resultado sin
importar la elección del sistema de coordenadas original del problema.
Si cualq uier caso particular de la Fig. 4.13, es dibujado en el espacio de tensiones principales, esto es,
en el sistema de coordenadas tridimensional, σ1 ,σ2 ,σ3 , la función f forma una superficie que es
llamada superficie de falla. La superficie de falla puede ser tanto, una superficie de fractura o de
fluencia.
En la discusión de los criterios de falla, procedemos a la consideración de varias funciones específicas
f, de ese modo tendremos varios tipos de superficies de falla.
Consideremos un punto en una pieza dónde las cargas aplicadas resultan en valores particulares de las
tensiones normales principales σ1 σ2 σ3 , y dónde la propiedad del material σc es conocida, y también
donde ha sido elegida una función específica f.
Es entonces útil definir una tensión efectiva σ , la cual es un valor numérico simple que caracteriza el
estado de tensiones aplicadas.
En particular, σ = f (σ1,σ2,σ3 )
( 4.14 )
Dónde f es la misma función que en Ec. 4.13. Así, establece que la falla ocurre cuando:
σ = σc ( en la falla)
No se espera la falla si:
σ < σc
( 4.15)
(4.16)
También el factor de seguridad contra la falla es:
? = σc / σ
(4.17)
En otras palabras, las tensiones aplicadas pueden ser incrementadas por el factor ? antes de que la
falla ocurra.
Por ejemplo, si ? = 2, las tensiones aplicadas pueden ser duplicadas antes de que se produzca la falla.
NOTA: al factor de seguridad es preferible expresarlo en términos de cargas aplicadas. Si cargas y
tensiones son proporcionales, como es frecuente, el factor de seguridad en tensiones es idéntico al
factor en cargas.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
Se debe tener precaución si no existe tal proporcionalidad, como en los problemas de pandeo.
Procederemos ahora a discutir varios criterios de falla, alguno de los cuales son apropiados para
fluencia y otros para fractura. Los subíndices para las tensiones principales se asumirán que están
asignados en cualquier orden particular relativo a sus magnitudes.
4.2.2.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION NORMAL (o Teoría de Rankine)
Quizás el más simple de los criterios es aquel en que se espera la falla cuando la mayor de las
tensiones principales alcanza la resistencia uniaxial del material. Como esta aproximación ha tenido
gran suceso en la predicción de la fractura de materiales frágiles debería ser considerado como un
criterio de fractura distinguiéndolo del criterio de fluencia.
El criterio de fractura de la máxima tensión normal puede ser especificado por una función particular,
f, como sigue:
σR = MAX(|σ1 | ,|σ2 |, |σ3 |) (en la fractura)
(4.18)
Dónde la notación máxima indica que, de los valores separados por comas, el elegido es el mayor de
los mismos.
Se consideran valores absolutos de forma tal que puedan ser considerados tensiones de compresión, y
se asume que la resistencia última σu es la misma en tracción que en compresión.
Un conjunto particular de tensiones aplicadas puede ser caracterizado por la siguiente tensión efectiva:
σ N = MAX(|σ1 | ,|σ2 |, |σ3 |)
(4.19)
Dónde el suscrito N especifica el criterio de la máxima tensión normal. Así, se espera la fractura
cuando σ N = σR, pero no cuando es menor, y el factor de seguridad contra la fractura es:
? = σR / σ N
(4.20)
4.2.2.2 Representación gráfica del criterio de la máxima tensión normal
Para EPT, tal que σ3 = 0, este criterio puede ser representado gráficamente en una gráfica de σ1 versus
σ2 por un cuadrado (Fig. 4.16(a)).
Cualquier combinación de σ1 y σ2 que caiga dentro del área cuadrada es segura y cualquiera en su
perímetro corresponde a la fractura.
Nótese que el cuadrado es la región que satisface:
MAX(|σ1 |,|σ2 |)≤σR
(4.21)
Las ecuaciones para las cuatro líneas rectas que forman los bordes de esta región segura son obtenidas
(ver Fig. 4.16.b)
σ1 =σR,
σ2 =σR,
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σ1 = -σR
σ2 = -σR
(4.22)
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
σ2
σ2
σR
σ2 = σR
fractura
DN
(σ1,
D
σ2 )
σ1
σ1
σR
-σR
σ2 = -σR
-σR
σ1 = -σR
σ1 = -σR
a)
b)
Fig. 4.16: Localización de falla para el criterio de la máxima tensión normal para EPT
Para el caso general, dónde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, la Ec.4.19
indica que la región segura es la acotada por:
σ1 = ± σR,
σ2 = ± σR,
σ3 = ± σR
(4.23)
Cada una de las cantidades de arriba representa un par de planos paralelos normales a uno de los ejes
principales e interceptan cada uno en +σR y -σR . La superficie de falla es asimismo un simple cubo
(ver Fig. 4.17). Si uno de los valores de σ1 , σ2 o σ3 es cero, entonces sólo necesita considerarse la
región bidimensional fo rmada por la intersección del cubo con el plano de las dos restantes tensiones
principales. Tal intersección es mostrada para el caso de σ3 = 0, y el resultado es por supuesto el
cuadrado de la Fig. 4.16.
σ3
(σ1, σ2, σ3 )
DN
σR
D
0
σR
σ2
σR
σ3 =0
σ1
Fig. 4.17 : Superficie de falla tridimensional para el criterio de la máxima tensión normal.
4.2.2.3 Interpretación gráfica del factor de seguridad
Consideremos un punto en la superficie de una pieza o componente, dónde prevalece EPT, de forma
tal que σ 3 = 0. Además, asumamos que incrementando la carga aplicada, dicho incremento de carga
provoca un aumento en las tensiones σ1 y σ2 , manteniéndose constante la relación σ2 /σ1, está situación
se conoce como carga proporcional.
Por ejemplo, para cargas de presión en un tubo de pared delgada, con extremos cerrados, las tensiones
mantienen la relación σ2 /σ1 =0.5, dónde σ1 es la tensión circunferencial y σ2 la longitudinal.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
En tal caso, la interpretación gráfica del factor de seguridad, puede ser hecha como es ilustrada en la
figura 4.16 (a). Sea D la distancia desde el origen al punto correspondiente a las tensiones aplicadas
(σ1 –σ2 ). Luego extendemos la línea recta hasta que toque la línea de fractura, y denotamos la distancia
resultante como DN. El factor de seguridad contra la fractura es la relación entre dichas longitudes.
? = DN / D
(4.24)
Para el caso particular de EPT, y asumiendo por conveniencia que σ1 tiene el mayor valor absoluto y
es positivo, ec. 4.24 puede verificarse como sigue:
σ N = MAX ( σ 1 , σ 2 ) = σ 1
(4.25)
Por semejanza de triángulos en la Fig. 7.16 (a)
σ R DN
=
σ1
D
(4.26)
Como el factor de seguridad es ? =σu / σ N, las dos ecuaciones de arriba se combinan para dar la
(4.24).
Extendiendo el procedimiento, la ecn. 4.24 es fácil de aplicar teniendo en cuenta los signos y
magnitudes relativas de σ1 y σ2 .
Tal representación gráfica del factor de seguridad, y específicamente la de la ecuación 4.24, también
se aplica al caso general tridimensional ilustrado en la figura 4.17. Las distancias D y DN, son medidas
aún sobre una línea recta, pero en este caso la línea puede estar inclinada con respecto a los tres ejes
principales.
Tal interpretación del coeficiente de seguridad en términos de longitudes de líneas para carga
(tensiones) proporcional, es válida para cualquier superficie de falla físicamente razonable, tales
como las discutidas más adelante.
4.2.3.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION DE CORTE
La fluencia de materiales dúctiles, normalmente ocurre cuando la máxima tensión de corte en
cualquier plano alcanza un valor crítico τf ,el cual es una propiedad del material .
τf = τmáx. (en la fluencia)
(4.27)
Esta es la base del criterio de la máxima tensión tangencial, también conocido como CRITERIO DE
GUEST o de TRESCA. Para metales, tal aproximación es lógica, basada en el hecho que los
mecanismos de fluencia en una escala microscópica son deslizamientos de planos de cristales, la cual
es una deformación por corte que se espera sea controlada por las tensiones de corte.
4.2.3.2 Desarrollo del Criterio de Falla de la Máxima Tensión Tangencial
De capítulos anteriores recordemos que la máxima tensión tangencial es la mayor de las tres tensiones
principales de corte, la cual actúa en planos orientados a 45° con respecto a los ejes de tensiones
principales.
A partir de las tensiones normales principales podemos señalar:
τ1 =
σ 2 − σ3
2
, τ2 =
σ1 − σ3
2
, τ3 =
σ1 − σ 2
2
(4.28)
Por lo tanto, este criterio de fluencia puede plantearse como sigue:
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
 σ1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 −σ1
τ f = MAX 
,
,
2
2
2


 en la fluencia


(4.29)
La tensión de fluencia en corte, τf, para un cierto material podría ser obtenida directamente de un
ensayo de corte simple, tal como un tubo cilíndrico hueco sometido a torsión. De cualquier manera,
sólo se dispone en general de resistencia de fluencia σf de ensayos de tracción, de forma que es más
conveniente calcular τf a partir de σf. En un ensayo uniaxial, para las tensiones definidas como
resistencia de fluencia, tenemos,
σ1 = 0 , σ2 = σ3 = 0
(4.30)
Sustituyendo estos valores en el criterio de fluencia (Ec. 4.29) tendremos:
τf = σf / 2
(4.31)
Nótese que en un ensayo uniaxial, la máxima tensión de corte ocurre en planos orientados a 45° con
respecto al eje de la tensión aplicada. Este hecho y la ecn. 4.31 son fácilmente verificables usando el
CIRCULO de MOHR. (Ver Fig.4.18).
σ1
τ
σ1
σ1
45o
(σ´ , t ´)
90o
σ’ = σ1 /2
0
τ’ = σ1 /2
.
σ
(σ1 , 0)
Fig. 4.18: plano de la máxima tensión de corte en un ensayo uniaxial.
La ec. 4.29 puede entonces escribirse en términos de σf.
σf
 σ1 − σ 2 σ 2 −σ 3 σ 3 − σ1
= MAX 
,
,
2
2
2
2

ó

 en la fluencia


σ f = MAX ( σ 1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ 1 ) en la fluencia
(4.32)
(4.33)
La tensión efectiva es definida más convenientemente como en la ec. 4.15, de forma tal que iguale a la
resistencia uniaxial σf en el punto de fluencia.
(
σ S = MAX σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ3 − σ1
)
(4.34)
Dónde el subíndice “s” especifica el criterio de la máxima tensión tangencial. (“S”→ de Shear) El
factor de seguridad contra la fluencia es :
σ
? = 0
(4.35)
σs
4.2.3.3 Representación gráfica del criterio de la máxima tensión tangencial
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
Para EPT, al que σ3 =0, el criterio de la M.T.T. puede ser representado en un gráfico σ1 -σ2
(Ver 4.19 (a)). Los puntos sobre el hexágono distorsionado corresponden a la fluencia, y los puntos
dentro del mismo son seguros. El lugar de falla puede obtenerse sustituyendo σ3 = 0 en el centro de
fluencia de ecuación .
σ f = MAX ( σ 1 − σ 2 , σ 2 , σ 1 )
(4.36)
La región de no fluencia, dónde σ S < σf , es así la región acotada por dos líneas:
σ1 - σ2 = ± σf ;
σ2 = ± σf ;
σ1 = ± σf
(4.37)
Estas líneas son mostradas en la figura 4.19 (b). Nótese que la primera ecuación de arriba da un par
de líneas paralelas con pendiente unitaria, y los otros dos pares dan líneas paralelas a los ejes
coordenados.
Para el caso general, dónde las tres tensiones principales normales son distintas de cero los contorno
de la región de no fluencia son obtenidas de la ecuación 4.33.
σ1 - σ2 = ± σf ,
σ2 - σ3 = ± σf ,
σ1-σ3 = ± σf
(4.38)
Cada uno de los cuales da un par de planos inclinados los cuales son paralelos a la dirección de la
tensión principal que no aparece en la ecuación.
Por ejemplo, la primera ecuación representa un par de planos paralelos a la dirección de σ3
σ2
σ1 - σ2 = - σf
σf
σ2
σ2 = σf
σ1 = σf
σ1
σ1
-σf
σf
0
-σf
σf
0
σ1 = - σf
-σf
-σf
σ1 - σ2 = σf
σ2 = -σf
Fig. 4.19: Localización de la falla para el criterio de la máxima tensión tangencial para EPT.
Estos tres pares de planos forman un tubo con una sección transversal hexagonal (ver Fig. 4.20). El eje
del tubo es la línea:
σ1 = σ2 = σ3
(4.39)
El diagrama de la siguiente figura es particularmente interesante pues permite visualizar a escala un
estado de tensión tridimensional.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
σ3
σ3
eje
D´ S D´
(σ1,σ2,σ3)
σ2
σ3 = 0
σ1
σ1
σ2
(a)
(b)
Fig. 4.20: Superficie de falla tridimensional para el criterio de fluencia de la máxima tensió n
tangencial. a) El límite del principio de fluencia está representado por un prisma hexagonal del cual el
eje es la diagonal (s1 = s2 = s3). b) El sistema de ejes s1, s2, s3 está ilustrado según una proyección
isométrica.
4.2.3.4 Las Tensiones Hidrostáticas y el Criterio de la Máxima Tensión de Corte
Consideremos el caso especial de un estado tensional en el que las tensiones principales son todas
iguales:
σ1 = σ2 = σ3 = σh
(4.40)
De forma tal que es un estado de tensión hidrostática σh .
Por ejemplo , el material podría estar sujeto a una presión P, de forma tal que σh =-p. Este caso
corresponde a un punto sobre el eje del cilindro hexagonal, de fig 4.20. Para tal punto, la tensión
efectiva σ S de ecuación 4.34 es siempre cero, y entonces, el factor de seguridad contra la fluencia es
infinito.
Así, el criterio de la M.T.T. predice que presiones hidrostáticas actuando solas no producirán la falla.
Esto parece ser sorpresivo, pero de hecho concuerda con resultados experimentales en metales bajo
compresión hidrostática. Los ensayos en tracción hidrostática son esencialmente imposibles, pero
probable mente ocurriría la fractura frágil, sin fluencia, para altos niveles de tensiones, aún en
materiales normalmente dúctiles.
La interpretación del factor de seguridad en términos de longitud de líneas desde el origen en un
espacio de tensiones principales es también válida para el criterio de la MTT.
Para los casos tridimensionales, pueden usarse las proyecciones de las longitudes normales al eje. Esto
es debido a que se espera que las tensiones afecten la fluencia sólo en la medida en que ellas se
desvían del eje del tubo hexagonal.
? = D’s /D’
(4.41)
Donde D’s es la distancia proyectada correspondiente a la fluencia, y D’ a las tensiones aplicadas (ver
fig. 4.20 b).
Ejemplo 1:
Un punto de una pieza de material cuyo sf = 3030 kg/cm2, es sometido al siguiente estado de
tensiones: σx = 500; σy = 1000; τ xy = 600 kg/cm2. ¿Cuál es el factor de seguridad contra la fluencia?
Solución: Primero, notemos que estamos en un caso de EPT, determinamos las tensiones principales
normales a partir del círculo de Mohr o de ecuaciones ya conocidas:
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
σ 1 ,σ 2 =
σ x +σ y
2
 σ −σ y
±  x
2

2

 + τ 2 xy

s1 ; s2 = 1400 ; 100 kg/cm2
La tercer tensión principal normal es: s3 = 0
La ecuación 4.34 da entonces la tensión efectiva para el criterio de M.T.T.
σ s = MAX ( σ 1 − σ 2 ; σ 2 − σ 3 ; σ 3 − σ 1 )
σ s = MAX ( σ 1 − σ 2 ; σ 2 ; − σ 1 )
σ s = MAX (1400 − 100 ; 100 ; − 1400 ) = 1400 kg/cm
2
Por lo tanto el factor de seguridad contra la falla es:
ν =
σf
σs
=
3030
= 2,16
1400
Ejemplo 2:
Consideremos un tubo hueco de pared delgada cerrado en sus extremos y con una presión externa P.
El espesor de la pared es “t”, el radio interno es “r”, y el material dúctil tiene una resistencia de
fluencia σf. Encontrar una ecuación para el espesor requerido correspondiente a los valores de r y un
factor de seguridad de ? contra la fluencia.
Solución: De acuerdo a lo que vimos en la materia:
P.r
P.r
dirección tan gencial σ y =
direccion longitudin al
σ z = −P direccion radial
t
2t
Asumiendo que r/t es relativamente grande, σz es pequeña comparada con σx y σy , de forma tal que el
problema puede simplificarse adoptando σz = 0 como una aproximación.
Debido a que no hay tensiones tangenciales aplicadas, las tensiones de arriba son tensiones
principales.
P.r
P.r
σ1 = σ x =
, σ2 = σy =
,
σ3 = σz = 0
t
2t
σx =
De la ecuación 4.34, la tensión efectiva para el criterio de la M.T.T. es:
(
σs = MAX σ1 − σ 2 ; σ2 − σ3 ; σ3 − σ1
)
 P.r P.r P.r
P.r  P.r
σs = MAX
−
;
− 0; 0 −
=
2t 2t
t  t
 t
El factor de seguridad contra la fluencia es:
? =
σf
σs
=
σ f .t
P.r
el cuál da el espesor requerido:
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ESTABILIDAD II
t=
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
X .P.r
σf
4.2.4.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION. (también
conocido como teoría de Hubert-Mises-Hencky)
Este es otro criterio comúnmente empleado para metales dúctiles, y dice que el principio de fluencia
se produce cuando la energía de distorsión alcanza un valor crítico.
De acuerdo a lo visto anteriormente en este capítulo, la energía de distorsión (o energía por variación
de forma) por unidad de volumen en base a las tensiones principales viene dada por:
u = 1 + µ [(s1 – s2) 2 + (s1 – s3) 2 + (s2 – s3) 2 ]
6E
(4.42)
Para el caso de carga uniaxial, y el valor de la tensión de fluencia
u* = 1 + µ [ 2 s 2 f]
(4.43)
6E
Podemos considerar que u* constituye el valor crítico como la cuestión señalada en el enunciado del
criterio de Von Mises para el caso del ensayo uniaxial. De ahí:
s f = 1 [(s1 – s2) 2 + (s1 – s3) 2 + (s2 – s3)2 ]
2
(4.44)
Para el caso de EPT donde s1 ? 0 ; s2 ? 0 ; s3 = 0 , la expresión queda
s 2f = s 21 + s 22 - s 1 s 2
(4.45)
4.2.4.2 Representación gráfica del criterio de máxima energía de distorsión.
La expresión (4.45) es la ecuación de una elipse con su eje mayor a lo largo de la línea σ1 = σ2 la cual
cruza los ejes en los puntos ±σf. Nótese que la elipse tiene inscripto dentro el hexágono distorsionado
del criterio de la máxima tensión tangencial.
σ2
σ1
-σf
σf
0
-σf
Fig. 4.21: Localización de falla para el criterio de fluencia de la máxima energía de distorsión para
EPT y su comparación con el criterio de la máxima tensión de corte.
Para el caso general, dónde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, el contorno de la
región de no falla como la especificada por la ecuación 4.44 representa una superficie cilíndrica
circular con su eje a lo largo de la línea σ1 = σ2 = σ3 . (ver fig. 4.22). La vista a lo largo del eje del
cilindro da un círculo.
Si cualquiera de la tensiones σ1 , σ2 , σ3 , es cero, entonces la intersección de la superficie cilíndrica
con el plano de las dos tensiones principales restantes da la elipse de la fig 4.21
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
σ3
a)
σ2
σ1
eje
σ3
σ3 = 0
b)
eje
γ
D’(σ1 , σ2 , σ3 )
β
α
σ1
σ2
n
D’H
Fig. 4.22: Superficie de falla tridimensional para el criterio
de fluencia de la máxima energía de distorsión.
El factor de seguridad contra la fluencia puede interpretarse similarmente en términos de las distancias
desde el eje del cilindro (ver fig. 4.22 b). La superficie de fluencia de forma de tubo hexagonal del
criterio de la máxima tensión de corte, es de hecho inscripta dentro de la superficie cilíndrica del
criterio de energía de distorsión.
Ejemplo de Aplicación.
Un punto de una pieza está solicitado según el siguiente estado tensional: s x = -500 kg/cm2 ; sy =
+1000kg/cm2 ; txy = +600 kg/cm2 . Si el material tiene una tensión de fluencia s f = 3030 kg/cm2,
determinar el Coeficiente de Seguridad aplicando: a) Criterio de Guest-Tresca (tmáx). b) Criterio de
Von Mises (Energía de distorsión)
Cálculo de tensiones principales:
− 500 + 1000
 − 500 − 1000 
2
σ 1 ,σ 2 =
± 
 + ( 600)
2
2


2
s1 = 1210 kg/cm2
s2 = -710 kg/cm2
Para cada criterio, calculamos el valor de la tensión efectiva s = f(s1 s2 s3), tal como se indica en la
teoría del capítulo. En base a ello el factor de seguridad contra la falla ? = s falla = s f
s
s
a) s/ criterio de tmáx
Para nuestro caso las tensiones principales tienen distinto signo; calculamos s en base a:
s = s1 - s2 = 1210 + 710 = 1920 kg/cm2
? = 3030 = 1,578
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
1920
b) s/ criterio de Von Mises.
En este caso recurrimos a la expresión
s
2
= s 2 1 + s 2 2 – s1 s2
s 2 = (1210)2 + (710)2 + 1210 x 710 ; s = 1681 kg/cm2
? = 3030 = 1,802
1681
Los valores calculados nos indican que el criterio de las tensiones tangenciales máximas es más
conservativo que el de la energía de distorsión.
Ayuda a interpretar el significado de los factores de seguridad, recurrir a los gráficos con los cuales
representamos los criterios de falla.
4.2.5 Discusión y comparación de los criterios de falla básicos.
Los tres criterios de falla discutidos hasta aquí, pueden considerarse como básicos entre la cantidad de
criterios disponibles.
Tanto el criterio de la máxima tensión de corte como el de la máxima energía de distorsión, son
ampliamente utilizados para predecir la fluencia en materiales dúctiles, especialmente metales.
Recordemos que en ambos criterios la presión hidrostática no afecta la fluencia, y que la superficie de
fluencia del tubo hexagonal del criterio de la máxima tensión tangencial esta inscripto dentro de
superficie del cilindro circular del criterio de la energía de distorsión. Por ello estos dos criterios
nunca dan predicciones dramáticamente diferentes para el comportamiento en fluencia bajo tensiones
combinadas, no existiendo estado de tensiones donde las diferencias excedan el 15%. Esto puede
verse en la fig. 4.23, dónde la distancia del eje del cilindro a las dos superficies de fluencia difieren en
su cantidad máxima en los puntos dónde el circulo esta más alejado del hexágono.
σ3
σ0
Máxima tensión de corte
Energía de distorsión
σ0
σ1
D’S
σ0
σ2
D’H
Fig. 4.23
De la geometría, la distancia en esos puntos tiene una relación de 2 /√3 = 1,155. Debido a esto el
factor de seguridad y las tensiones efectivas para un estado de tensiones dado, no puede diferir en más
de esa cantidad.
Para EPT, σ3 = 0, tal desviación máxima ocurre para corte puro, dónde σ1 = -σ2 = t, y también para
σ1 = 2 σ2 , como en la carga de presión de un tubo de pared delgada con sus extremos cerrados.
De cualquier manera nótese que en algunas situaciones el criterio de la máxima tensión tangencial y el
de la energía, dan predicciones sobradamente diferentes que el de la máxima tensión normal.
Comparemos la superficie de fluencia tubular de ambos con el cubo de la fig. 4.17, y consideremos
estados de tensiones cercanas al eje del tubo (σ1 = σ2 = σ3 ) pero bien mas allá de los contornos del
cubo. Para EPT, se comparan los tres criterios en fig. 4.24.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
Dónde ambas tensiones principales tienen el mismo signo, el criterio de la máxima tensión tangencial
es equivalente al de la máxima tensión normal. Así mismo, si las tensiones principales tienen distinto
signo, el criterio de la máxima tensión normal difiere considerablemente de los otros dos.
σ2 /σc
Máx. Egía.Dtsión
distorsiónoctaédricas
1
Máx. tensión de corte
σ1 /σc
-1
1
Al
Acero, Ni, Cr, Mo
Fundición de hierro gris
-1
Fig. 4.24 Localización de falla para EPT para los tres criterios
El método más conveniente para comparar experimentalmente criterios de falla es ensayar tubos
huecos de pared delgada bajo varias combinaciones de esfuerzo axial, torsión y presión, produciendo
así varios estados planos de tensiones. Algunos datos obtenidos de esta manera para fluencia de
material dúctil y fractura de material frágil se muestran en la figura 4.24.
El acero de fundición gris sigue el criterio de la tensión normal, mientras que los datos de fluencia
tienden a caer entre los dos criterios de fluencia, quizás coincidiendo mejor en general con el criterio
de la energía de distorsión máxima.
El criterio de la máxima tensión tangencial es más conservador. Basado en datos experimentales para
metales dúctiles similares a los de la figura 4.24, este criterio parece presentar un límite inferior que es
raramente violado.
La diferencia máxima del 15% entre los dos criterios de fluencia es relativamente pequeña comparado
con los factores de seguridad comúnmente utilizados y las incertidumbres usualmente involucradas en
el diseño mecánico, de esa forma la elección entre los dos carece de mayor importancia. Si se desea
ser conservador, debería elegirse el criterio de la máxima tensión tangencial.
4.2.6 Teoría de Mohr
“Los límites de fluencia y de rotura de un material quedan definidos por las tensiones que desarrollan
en los planos de deslizamientos y fractura. La tensión tangencial en el plano de fractura o
escurrimiento alcanza para el estado límite un valor máximo, que es función de la correspondiente
tensión normal y de las características del material”.
Supongamos un punto sujeto a un determinado estado de tensión y hagamos crecer al s tensiones
principales σ1 y σ2 hasta alcanzar la rotura si se trata de un material frágil, o el comienzo de la
fluencia si es dúctil. Alcanzando el estado de rotura dibujemos la circunferencia de Mohr. Repitiendo
el concepto para otros estados de tensión obtendremos toda una familia de circunferencias que
corresponden a estados de rotura. La curva envolvente se denomina “envolvente de Mohr o curva de
resistencia intrínseca”.
/2005
18
ESTABILIDAD II
CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA
M5
M4
τ
M3
M2
σ
2
σ
1
M1
σ
Fig. 4.25
Dado un estado de tensión, el mismo será determinante de la rotura o fluencia si la circunferencia de
Mohr corta la curva o es tangente a la misma.
La dificultad de esta teoría radica en que la curva intrínseca puede conocerse en forma experimental.
Sin embargo, tiene una ventaja importante en cuanto a que es mas general que las anteriores, siendo
aplicable tanto a materiales dúctiles como frágiles, aunque responde más a las características de
rotura de los últimos.
Una de las aplicaciones más importantes que tiene la teoría de Mohr es en la Mecánica de Suelos, para
el estudio de la capacidad portante de los mismos.
/2005
19
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
5
TORSIÓN
5.1 INTRODUCCION
Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple, cuando la reducción
de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como resultado una cupla que queda
contenida en el plano de la misma.
La solución rigurosa del problema, para cualquier sección sólo puede obtenerse aplicando la
Teoría de la Elasticidad, lo que escapa a los alcances de este curso. Con las herramientas de que disponemos en la Resistencia de Materiales vamos a realizar el estudio para algunas secciones particulares tales como la circular, la anular y los tubos de paredes delgadas, para las cuales la solución se encuentra planteando hipótesis muy sencillas. Para otras secciones tales como las rectangulares o los
perfiles laminados, solamente analizaremos los resultados.
El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que
aplicando el principio de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a otros casos de torsión compuesta.
5.2 SECCION CIRCULAR
Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación
por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma.
Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de
modo que las rectas trazadas sobre ellas cont inúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida.
Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices.
A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la compatibilidad de las defo rmaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su distribución. Supongamos en primera instancia que aparecen tensiones normales σ. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma
variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas ε variaran también punto a punto, y la
sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que
la sección se mantiene plana.
En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente
equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que:
∫ t zx dO = 0
(5.1)
∫τ
(5.2)
Ω
Ω
/2005
zy
dΩ = 0
1
ESTABILIDAD II
∫ (τ
Ω
zx
CAPITULO V: TORSIÓN
)
y + τ zy x dΩ = Mt
(5.3)
Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia con el borde de
la sección, la tensión tangencial τ deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así
existirá una componente de τ radial, la que, por
Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una generatriz del cilindro. Esto que ocurre en el borde puede admitirse que también acontece en el interior, con lo que las tensiones tangenciales beberían ser normales al radio. Además, para que puedan cumplirse las ec. 5.1 y 5.2
debe ocurrir que las tensiones tangenciales sean
antimétricas a lo largo de los diámetros de la sección.
Fig. 5.1
De lo visto podemos obtener algunas conclusiones:
-
sólo existen tensiones tangenciales
su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica
su dirección es normal al radio
A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las tensiones. Para ello cons ideramos que aislamos de una barra torsio nada una tajada de longitud unitaria. El ángulo que giran
ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión ”.
))
γ
AA' = r θ ≅ γ 1 → θ =
r
γ
))
BB' = R θ ≅ γ R 1 → θ = R
R
γ γR
=
r
R
→
γ=
γR
R
(5.4)
r
El ángulo γ resulta ser el “ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener presente que si
el ángulo θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer
γ ≅ tg γ.
De acuerdo a la ley de Hooke:
τ=γG ≅
γR
R
G r = θGr
(5.5)
Fig. 5.2
τ = θG r
/2005
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
De la expresión 5.5 se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el
radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:
τ max = G θ R
Mt =
∫ τ r dΩ = ∫ G θ r
Ω
2
dΩ
Ω
Mt = G θ ∫ r 2 dΩ = G θ I p
Ω
Mt
θ=
G Ip
(5.6)
Mt
r
Ip
(5.7)
τ=
Fig. 5.3
El ángulo de torsión específico θ resulta directamente proporcional al momento torsor e inversamente proporcional al producto G. Ip que recibe el nombre de “Rigidez a la torsión” y que mide la
resistencia a dejarse retorcer.
Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensión tangencial máxima.
τ max =
Mt
Mt
Mt
R=
=
Ip
Ip
Wp
R
(5.8)
WP = módulo o momento resistente polar
τ max =
Mt
Mt
≤ τ adm → Wp ≥
Wp
τ adm
(5.9)
πD 4 32 πD 3
Wp =
=
D/2
16
→
D≥
3
16 Mt
π τ adm
En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las
secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo se denomina “ángulo de torsión”
y resulta ser la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de
la pieza.
Mt
φ = ∫ θ dl = ∫
dl
(5.10)
l
l G Ip
Para el caso particular en que Mt = cte. en todo el cuerpo entonces:
φ=θl=
/2005
Mt l
G Ip
(5.11)
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
Si interesa evaluar la energía de deformación absorbida
en la torsión, su expresión es la siguiente:
τ2
u=
2G
τ2
U = ∫ u τ dVol = ∫
dΩ ⋅ dl
vol
vol 2G
2
U =
 Mt ⋅ r  1
∫l dl ∫Ω  Ip  2G dΩ
Mt 2
U =∫
dl ∫ r 2 dΩ
l 2GIp 2
Ω
U =
; si Ip =
∫r
Ω
2
dΩ
(5.12)
Mt 2
∫l 2GIp dl
Si analizamos un elemento diferencial del interior de
una barra circular torsionada encontraremos un estado de corte
puro. Como ya hemos visto, para este caso las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario e
iguales al valor de las tensiones tangenciales. Además actúan a
45º con respecto a los planos de las secciones, formando superficies helicoidales.
Fig. 5.4
Fig. 5.4
5.3 SECCIÓN ANULAR
El análisis de este tipo de sección se efectúa partiendo de las fórmulas deducidas para la sección circular
llena. La única condición es que debe limitarse la variación de r entre el radio exterior y el interior.
τ max =
16 Mt

D14 
3
πD 2 1 − 4 

D 2 

(5.13)
Vamos a comparar la eficiencia de una sección
anular para absorber torsión con relación a una sección
maciza de igual resistencia.
Fig. 5.5
/2005
4
ESTABILIDAD II
τ max
m
τ max
h
α=
CAPITULO V: TORSIÓN


16 Mt

=
3

πD


D41 
3
3
 τ maxm = τ maxh → D = D 2  1 − 4 
D2 


16 Mt

=
4


D

πD32  1 − 14  
D 2  

D1
D2
→ D = D 2 3 1 − α4
(5.14)
D: diámetro de la sección maciza igualmente resistente a la hueca.


2
(
1 − α4) 3
 Ωm
=ψ=

Ω
1 − α2

h
π
π
Ω h = (D22 − D12 ) = D22 (1 − α 2 )

4
4
Ωm =
πD 2
π
= D22
4
4
3
(1 − α )
4 2
(5.15)
Puede verse que, ψ ≥ 1 , lo que
significa que la sección hueca es más
conveniente que la sección llena ya
que siempre se requiere menor área
para resistir el mismo esfuerzo. No
debemos confundir área con diámetro,
ya que para igual resistencia el diámetro de la sección maciza será meno r
que el exterior de la hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro,
la sección maciza es siempre mas pesada y por ende más cara.
Lo que concluimos recientemente se debe a que las tensiones desarrolladas en la parte central de la secFig. 5.6
ción maciza son muy pequeñas y no tienen un aporte muy significativo, por lo que para resistir a la torsión las secciones más convenientes
son las huecas. En efecto, si considero una sección anular tal que D2 = 2 D1 , o sea α= 0.50, obtendremos ψ= 1.28. vemos entonces que la sección maciza igualmente resistente es un 28% más pesada
que la anular.
5.4 SECCIÓN TUBULAR CERRADA DE PEQUEÑO ESPESOR
Consideremos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muy delgadas con relación a la menor dimensión de la misma (ver Fig. 5.7), sometida a torsión. Admitamos también que el
espesor e del tubo varía en forma cont inua.
Debido al pequeño espesor del tubo es posible suponer que las tensiones tangenciales son
constantes en intensidad y dirección a lo largo del espesor, y que la dirección coincide con la tangente
al contorno medio de la sección en el punto considerado.
/2005
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
Si en una sección s-s tomamos un elemento diferencial de ancho e y longitud ds (ver Fig. 5.8),
sobre el mismo actuará una fuerza elemental dT.
dT = τ e ds
(5.16)
Si elegimos un punto cualquiera
del plano de la sección y llamamos r a la
distancia al mismo de la fuerza dT tendremos:
Mt = ∫ rdT = ∫ r e τ ds
s
s
Fig.5.7
Si separamos del tubo una tajada de longitud unitaria
y luego aislamos una porción secciona ndo al eje del tubo
(Fig. 5.9), tendremos que según la ley de Cauchy aparecen
tensiones verticales que dan dos resultantes T1 y T2 , las cuales deberán ser de igual intensidad por razones de equilibrio.
T1 = τ 1 e 1 1 

 → τ1 e1 = τ 2 e2
T2 = τ 2 e 2 1
Dado que las secciones 1 y 2 son arbitrarias, de lo anterior podemos establecer:
τ e = cte .
(5.18)
luego retomamos la ecuación 5.17 obtenemos:
Mt =
∫ r e τ ds = τ e ∫ r ds
s
s
r ds = 2 dΩ → Mt = 2 τ e ∫ dΩ
Ω
{
Ω
Mt
τ=
2e Ω
Fórmula de Bredt
(5.19)
Ω: área que encierra la línea media de la sección
Puede verse que en este tipo de sección la tensión
tangencial es inversamente proporcional al espesor de la
misma, lo que significa que la tensión tangencial máxima
ocurre en el lugar donde el espesor es mínimo.
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
Si deseamos conocer el ángulo especifico de torsión, podemos calcularlo a través de consideraciones energéticas.
Text = U
Si tomamos una porción del tubo de longitud unitaria, el giro relativo entre las dos secciones
extremas será igual al ángulo específico de torsión.
Mt θ
=
2
∫
V
τ2
Mt 2 1
Mt 2
dV = 1 × ∫
dΩ =
2
2
2
Ω
2G
4 e Ω 2G
8Ω G
∫
Ω
1
e
2
d{
Ω
e ds
(5.20)
Mt θ
Mt
ds
Mt
ds
=
→ θ=
2
∫
2
∫
s
s
2
8Ω G e
4Ω G e
2
5.5 SECCIONES DE OTRA FORMA
5.5.1 SECCIÓN RECTANGULAR
En barras de sección no circular, durante la torsión las secciones no permanecen planas, sino
que se curvan (alabean).
Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales.
Esta torsión se denomina torsión pura o libre.
El cálculo de las tensiones tangenciales
en las barras de sección no circular representa
un problema bastante complicado que se resue lve por los métodos de la Teoría de la Elasticidad.
Exponemos a continuación los resultados fundamentales para barras de sección rectangular cuando a > b.
Si la teoría desarrollada por Coulomb para la
torsión circular fuera válida para la rectangular,
en un punto como el A de la figura 5.10 debería
existir una tensión tangencial τA perpendicular
al radio vector rA, lo que daría componentes τzx
y τzy no nulas, apareciendo tensiones τxz y τyz
exteriores que contradicen la hipótesis de torsión simple. La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular.
La solución exacta del problema, atribuida a Saint Venant, como mencionamos antes, pertenece al dominio de la Teoría de la Elasticidad. En la figura 5.11 hemos indicado la ley de variación de
las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el
centro del lado mayor.
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
Fig. 5.11
Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse mediante las fórmulas 5.21, 5.22 y 5.23 respectivamente. Los coeficientes α, β y ?, que son funciones de
la relación de lados a/b, pueden obtenerse de la tabla 5.1.
τ zy
max
=
Mt
α ab2
τ zx max = γ τ zy
θ=
(5.22)
max
Mt
β a b3 G
1
a/b
(5.21)
1.5
(5.23)
1.75
2
2.5
3
4
6
8
10
∞
j
α
0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β
0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
γ
1.00 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742
Tabla 5.1
/2005
8
ESTABILIDAD II
5.5.2
CAPITULO V: TORSIÓN
SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA
Para encontrar la solución a este
problema se aplica un método denominado de la Analogía de la Membrana, el
cual no lo desarrollaremos en este curso.
Para este tipo de secciones se puede suponer una distribución lineal de tensiones a través del espesor. Además, la teoría mencionada muestra que las tensiones varían muy poco si se suponen enderezados los perfiles de modo de transformarse en rectángulos muy alargados.
Para rectángulos muy alargados
resulta:
Mt
τ max =
θ=
(5.24)
1
ab2
3
Mt
Fig.5.12
(5.25)
1
a b3 G
3
Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben,
cada uno de ellos, una parte del momento tordente Mt. Como estos rectángulos forman parte de una
única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión.
1
Si llamamos:
J ti = a i b 3i
3
M ti = J ti θ G
Entonces:
Donde Mti corresponde al momento torsor que absorbe un rectángulo i cualquiera que constituye la sección.
∑M
tj
= Mt =
M ti = Mt
τ max i
tj
→ Gθ =
Mt
∑ J tj
J ti
∑J
tj
Mt 1 a i b 3i
Mt b i
3
=
=
=
2
1
1 a b
J
J
a i b 2i
3 i i ∑ tj ∑ tj
3
τ max i =
/2005
(∑ J )G θ
Mt i
Mt
1
3
∑a
j
b
3
j
bi
(5.26)
9
ESTABILIDAD II
θ=
CAPITULO V: TORSIÓN
Mt
1
3
∑a
i
(5.27)
3
i
b G
Usualmente el término
1
3
∑a
i
b 3i = Jt
se denomina Momento de inercia torsional.
En el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resulta mayor que el calculado mediante la expresión anterior. Es to se debe a que los contornos redondeados incrementan la rigidez de la sección.
Jt = η
1
3
∑a
b 3i
i
(5.28)
- para perfiles doble T : η ≅1.20 - 1.30
- para perfiles U :
η ≅ 1 < η < 1.30
Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsión. Vamos a tratar de
evidenciar esto comparando las rigideces de dos secciones huecas, una cortada y otra entera.
θ1 =
θ1 =
θ2 =
Mt
4Ω
2
∫
G
2π R m
ds
Mt
=
2
e
4(πR 2m ) G e
Mt
1
G 2πR m3 e
Mt
1
(2πR )e G
3
3
θ1
1 e
= 
θ2
3  R m
e
1
Si
=
R m 10
m




2
(5.29)
Fig. 5.13
→
θ 2 = 300 θ 1
De este ejemplo puede verse que una seción hueca es mucho mas rígida que una sección
abierta. Por esto se debe evitar que las barras de sección abierta trabajen a torsión.
5.5 PROBLEMA HIPERESTATICO
En la torsión, al igual que en los esfuerzos axiales, se encuentran problemas que no pueden ser
resueltos solamente por las ecuaciones de equilibrio. En estos problemas el número de incógnitas es
superior al de las ecuaciones de equilibrio que podemos utilizar. El orden a seguir para la solución de
estos casos coincide con el empleado al resolver los problemas hiperestáticos de la tracción (compresión).
/2005
10
ESTABILIDAD II
CAPITULO V: TORSIÓN
Veamos, en calidad de ejemplo, una barra empotrada en sus extremos, con un momento exterior aplicado en el tramo.
Fig. 5.14
Esta barra es estáticamente indeterminada, puesto que para calcular los dos momentos reactivos en los empotramientos la estática nos propone solamente una ecuación de equilibrio.
Fig. 5.15
Σ Mz = 0 ⇒ MA + MB – M
(5.30)
Retiramos un empotramiento sustituyéndolo por el momento desconocido X.
En el sistema estáticamente determinado, el giro de la sección B es consecuencia del mome nto
exterior M y del momento X. Por condición de deformación, la viga isostática debe tener un comportamiento equivalente al de la pieza original.
ϕ B = ϕB
M
+ ϕB = 0
X
M ⋅ a  X ⋅ a
X⋅b
−
+
G ⋅ I t1  G ⋅ I t1 G ⋅ I t 2
M ⋅a
1
X=
= MB
b
⋅ I t1 a
+
I t1 I t 2
ϕB =
/2005
(5.31)

=0


(5.32)
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
6
FLEXION
6.1. FLEXION EN VIGA DE EJE RECTO - INTRODUCCION
Supongamos una viga de eje recto, de sección constante, con determinadas condiciones de vínculo, sometido a un estado de cargas genérico:
P1
P2
P4
m-m: sección normal al eje de la pieza
m
z
m
x
P3
Fig. 6.1
y
Consideremos una sección m- m y aislamos la porción de la izquierda. Para restablecer el equibrio, trasladamos al baricentro de m- m el efecto de las acciones actuantes a la derecha.
P1
m
R
R: Fuerza resultante
M: Momento resultante
Fig. 6.2
m
M
La fuerza y el momento resultante admiten componentes según la dirección del eje de la pieza,
y componentes en el plano de la sección.
R‘
G
R
R
R
M
G
M’
/2005
Rz → N
R’ → Q
Mz → Mt
M → Mf
Qx
Qy
Mx
My
M
z
M
Fig. 6.3
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Consideramos ahora una viga de eje recto, de sección constante, sometida a un estado de cargas que no produce momento torsor:
Fig. 6.4
η ,ξ : ejes principales de inercia
f : eje de carga ≡ traza del plano de
momento en el plano de la sección.
Veamos los diferentes casos de efectos de flexión que se pueden presentar, según los esfuerzos
existentes en la sección genérica y la ubicación del plano de cargas respecto de los ejes principales de
inercia.
Sección m
M≠0
N≠0
Flexión Compuesta
Sección m
M≠0
N=0
Q≠ 0
Flexión Simple
Sección m
M≠0
N=0
Q=0
Flexión Pura
Si f = Eje principal→ Flexión Compuesta Recta o Normal
Si f ≠Eje principal→ Flexión Compuesta Oblicua
Si f = Eje principal→ Flexión Simple Recta o Normal
Si f ≠Eje principal→ Flexión Simple Oblicua
Si f = Eje principal→ Flexión Pura Recta o Normal
Si f ≠Eje principal→ Flexión Pura Oblicua
6. 2. MOMENTO DE INERCIA
El contenido temático de este punto es dictado en la materia Estabilidad I
6. 3. FLEXION PURA RECTA O NORMAL
6.3.1. Conceptos generales – Diagrama de tensiones
Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porción de viga aledaña a la
sección m - m .
El estado de cargas es simétrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican.
/2005
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes
principales de inercia.
Fig. 6.5
Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento
genérico dΩ en la sección m –m .
x
x
y
G≡z
τzy
τzx
dΩ
z
σz
y
Fig. 6.6
Por condición de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la sección m
- m, se debe cumplir:
∫ σ .dΩ = N = 0
Ω
z
∫ (τ
Ω
zx
;
∫τ
Ω
.dΩ = Qx = 0
zx
;
∫τ
Ω
xy
.dΩ = Qy = 0
.dΩ.y + τxydΩ.x) = Mz = Mt = 0 ; ∫ σz .dΩ.x = My = 0 ; ∫ σz .dΩ.y = Mx = M
Ω
Ω
Para establecer una relación entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse
condiciones de deformación. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z , originalmente recto, experimenta una ligera curvatura, conociéndose a esta ultima con el nombre de elástica.
Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeñas.
Dichos desplazamientos pueden considerárselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su
longitud.
Para el común de las vigas podemos suponer una relación l/h ≈10. Para esta situación es válido
lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones próximas entre si, alejadas de los puntos de apli/2005
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
cación de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados dos
líneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.A medida que se carga la viga, las líneas pintadas continúan siendo rectas, pero ya no paralelas
entre sí; tendrán un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y normales al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pasó de su posición recta original a la forma curva de la elástica.
Fig. 6.7
En base a lo expuesto se admiten como hipótesis:
a) Después de la deformación, cada sección transversal se conserva plana y normal al eje
deformado.( Hipótesis de Bernoulli- Navier).
b) En la deformación, unas fibras del sólido se acortan y otras se alargan, existiendo entre
ambas una capa de fibras que no sufren variación. Dicha capa se conoce como zona o capa
de fibras neutras.
c) Las deformaciones que se producen en las fibras están comprendidas dentro del campo de
validez de la Ley de Hooke.
Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de
la misma, y en consecuencia, por ser τ = G .γ , no existen tensiones tangenciales.Para encontrar una relación entre tensiones normales y el Momento, analizamos el comportamiento de una fibra genérica de la porción definida por las secciones 1-1 y 2-2.
Llamamos:
dϕ: giro relativo entre las secciones 1 y 2.
O: Centro de curvatura de la pieza deformada
ρ: Radio de curvatura de las fibras neutras
m- m: Capa de fibras neutras
n-n: Intersección de capa de fibras neutras con la sección
AB: Fibra en estudio
m
D
E
A
B
dϕ
m
n
n
y
C
Fig. 6.8
/2005
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Trazamos por D una paralela a OE . Comparamos los triángulos OED con DBC:
OE
ρ
BC
AB
Pero
ε =
=
BC
y
;
como
= AB
ED
→
BC
=
AB
y
ρ
= alargamiento de la fibra por unidad de longitud = ε
σz
σz
y
y
; además por Hooke ε =
→
=
→ σ
ρ
E
E
ρ
z
=
E
. y = cte . y (6.1)
ρ
De acuerdo a esta última expresión, la variación de la tensión normal será lineal y directamente
proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la sección por el eje neutro (n- n).
Las deformaciones axiales ε z , se acompañan por deformaciones transversales ε x debidas al efecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento ε z por debajo del eje neutro tienen εx de acortamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformación transversal es despreciable y
no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la sección.- Determinación de la posición y dirección del eje neutro:
por condición
∑
∫σ
∫
Ω
z
.d Ω = 0 =
Ω
Fz = 0
E
E
.y .d Ω =
ρ
ρ
∫ y .d Ω
→ S
Ω
Ω
n
= 0 ∴ el eje neutro es baricéntrico.
por condición
∫σ
Ω
z
∑
.x .d Ω = 0 =
M
∫
Ω
= 0
y
E
E
. y . x .d Ω =
ρ
ρ
∫ y . x .d Ω
Ω
→ I ny = 0 ∴ el eje neutro y
el eje de carga son ejes conjugados → n ≡ x
por condición
∫σ
Ω
→
z
.y .d Ω = M
x
M
=
= 0
x
∫
Ω
E
E
. y 2 .d Ω =
ρ
ρ
∫
Ω
y 2 .d Ω =
E
.I n →
ρ
M x
M x
E
=
=
ρ
In
Ix
Reemplazando,
/2005
∑
tenemos:
(6.2)
σ
z
=
M
Ix
x
.y
ECUACION FUNDAMENTAL
DE LA FLEXION
(6.3)
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Para el caso de la sección trapezoidal:
σ
f
σ2
Y2
(-)
Fig. 6.9
x ≡n
G≡ z
Y1
(+)
σ1
y
A la zona comprimida le asignamos tensiones de signo (-); a las fibras traccionadas signo (+).
M x
1
De (6.2) obtenemos:
=
(6.4)
ρ
E .I
1
resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexión. En la expresión podemos aρ
preciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente proporcional al producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexión.
La rigidez a la flexión mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello
impone las propiedades mecánicas del material (E) y las propiedades geométricas de la sección (I).El valor
6.3.2. Módulo Resistente – Dimensiona miento
De la fórmula de Tensión podemos ver que todos los puntos de la sección con la misma
ordenada “y” tendrán igual tensión, siendo esta máxima y mínima en los extremos, o sea, en las fibras
superiores e inferiores de la sección. En general no suele hablarse de tensión máxima o mínima, sino
de máxima tensión de tracción y máxima tensión de compresión.-
σ2
G
n
x
n
z
y
σ1
y
Fig. 6.10
σ2
M
C2
z
y
M
x
G
C1
σ1
El diagrama de tensiones resulta ser un esquema espacial, pero por simplicidad y atendiendo a
lo anterior, se lo representa usualmente con un plano.
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Las tensiones extremas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:
M
M
M
σ1 =
.c 1 =
=
Ix
Ix
W1
c1
σ
2
=
M
Ix
.c 2 =
M
Ix
=
c2
M
W2
(6.5)
A los valores W1 y W2 , que resultan ser el cociente entre el momento de inercia de la sección
transversal respecto del eje “x” y la distancia desde dicho eje a la fibra mas alejada de la sección, los
llamaremos “módulos de los momentos resistentes”.
En los problemas de dimensionamiento debemos distinguir entre los materiales cuya
resistencia es la misma a tracción que a la compresión, y aquellos en que ambas resistencias son
distintas.
M
M
σ máx =
≤ σ adm → W mín ≥
En el primer caso:
W mín
σ adm
(6.6)
W mín = mín
En el segundo caso:
σ1 =
σ
2
=
M
1
,W2}
≤ σ 1 adm → W 1 ≥
W1
M
W
{W
≤ σ
2 adm
→ W
2
2
≥
M
σ 1 adm
(6.7)
M
σ 2 adm
En el primer caso conviene que la sección sea simétrica, de manera tal que W1 = W2 , con lo
que puede llegarse prácticamente a valores iguales a la tensión admisible tanto en las fibras superiores
como en las inferiores. Si la pieza no es simétrica respecto del eje neutro, un de las dos fibras
extremas no es aprovechada íntegramente.
En el segundo caso vale todo lo opuesto a lo anterior. En general sería recomendable una
sección no simétrica, de manera de aprovechar las tensiones máximas, tanto en las fibras superiores
como en las inferiores.
Módulo resistente de algunas secciones usuales:
a) Rectángulo:
x
x
W
h
x
b
x
x
h
b
W
x
b .h
Ix
12
=
=
h
h
2
2
3
h .b
Ix
12
=
=
b
b
2
2
3
→ W
→ W
x
x
b .h
=
6
2
h .b
6
2
=
Podemos apreciar que el módulo resistente depende del cuadrado de la altura, siendo
conveniente que el mayor lado del rectángulo sea ubicado en forma perpendicular al eje “x”.
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
b) Círculo:
r
W
x
=
π .r
4
r
4
π .r
=
4
π .d
=
32
3
3
c) Triángulo:
2
2/3h
W
1/3h
1
x1
b .h
36
=
h
3
3
=
b .h
12
2
W
x2
b .h 3
b .h
36
=
=
2
24
3 h
2
b
Desde el punto de vista del dimensionamiento, el parámetro geométrico que influye es el
módulo resistente, pero desde el punto de vista económico la pieza cuesta en función del área de la
sección transversal, y no de su módulo resistente. Por razones de economía se trata de buscar
secciones que provean el módulo resistente requerido con la menor área posible.
Para poder realizar una comparación económica entre las distintas secciones vamos a definir el
siguiente coeficiente de rendimiento:
W mín
ψ =
(6.8)
Ω .h
En la medida que este coeficiente aumenta, la sección en mas económica:
ψ =
b .h 2 / 6
1
=
≈ 0 , 167
2
b .h
6
h
ψ =
π . h 3 / 32
π .h 3 / 4
=
1
≈ 0 , 125
8
h
ψ =
b . h 2 / 24
b .h 2 / 2
=
1
12
h
≈ 0 , 083
ψ ≈ 0 , 32
h
6.3.3. Brazo de palanca elástico:
Definiremos como brazo de palanca elástico a la distancia que existe entre la resultante de
compresión y la resultante de tracción del diagrama de tensiones.
/2005
8
ESTABILIDAD II
σ
z
CAPITULO VI: FLEXIÓN
M
=
Ix
∫σ
N =
x
.y
.dΩ =
Ω1
N' =
∫σ
Ω2
M
∫I
Ω1
.dΩ =
.y.dΩ =
x
M
∫I
Ω2
x
.y .dΩ =
M
Ix
∫ y.dΩ =
Ω1
M
Ix
∫ y.dΩ =
Ω2
M
S
I x x1
M
S
I x x2
N = N'
z =
I
I
M
M
=
= x →z= x
M .S x1
N
S x1
S x1
(6.9)
Ix
Numéricamente, el brazo de palanca elástico se calcula como el cociente entre el momento de
inercia con respecto al eje “x”, y el momento estático de media sección con respecto al mismo eje.
Rectángulo:
Círculo:
Triángulo:
b.h 3
8
z = 12 =
.h ≈ 0,67h
b.h h 12
.
2 4
π.r 4
3
3π
12
z =
= .π.r =
.d ≈ 0,57d
2
8
16
π.r 4r
.
2 3π
b .h 3
9
36
z=
=
.h ≈ 0,56h
4
16
2
.b .h
81
6.3.4 Energía de deformación.
Si aislamos de una barra una tajada elemental de ancho ∆l, y suponemos que sobre las
secciones límites actúan dos momentos M que mantienen la porción en equilibrio, entonces
obtendremos:
σ.ε
M
1
σ=
.y
ε = .y
2
I
ρ
1 M
1
u = . y2 .
2 I
ρ
1 M
1
1 M 1
U ∆l = ∫ u.dVol = ∫ . .y 2 .∆l .dΩ = . . .∆l ∫ y 2 .dΩ
ρ
2 I ρ Ω
vol
vol 2 I
1
1
U ∆l = .M . .∆l
2
ρ
u=
/2005
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
La energía de deformación absorbida por toda la pieza es igual a la suma de la que absorbe
cada una de las tajadas.
U ∆l =
1
1
.M . ∆l
2
ρ
Si ponemos la curvatura en función del momento, tendremos:
U =
M.2 l
2.EI
(6.10)
A continuación vamos a ver un ejemplo de aplicación, calculando el giro en los apoyos de la
viga de sección constante de la figura 6.12:
1

Text = 2. M .θ  = M .θ
2

U=
∫
L
 M2 
M2
M2
.
dl
=
dl
=
.l


2EI ∫L
2EI
 2EI 
Text = U
→
M .θ =
M2
.L
2EI
→
θ=
M.L
2EI
(6.11)
6.4. FLEXION RECTA EN SECCIONES DE DOS MATERIALES
Vamos estudiar este problema apoyándonos en el ejemplo de la figura 6.13, que trata de una
viga de sección rectangular de madera que esta reforzada inferiormente mediante un fleje de acero. El
fleje esta unido a la madera de manera tal que se deforma solidariamente con ésta.
En base a la consideración anterior, es posible continuar aceptando como válida la Ley de
Navier- Bernoulli, es decir que la sección plana antes de la deformación se mantiene plana luego de la
deformación.
Fig. 6.13
/2005
10
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
De acuerdo a la Ley de Navier- Bernoulli:
y
ε ( y) =
ρ
y considerando la ley de Hooke:
1
σ ( y ) = Eε ( y ) = E.y
ρ
luego:
dN = σ( y ) .dΩ = σ( y ) .b.dy
dN =
1
E.b.y .dy
ρ
por razones de equilibrio debe ocurrir que:
1
M = ∫ y .dN = ∫ y 2 . .E.b .dy
ρ
Ω
Ω
(6.12)
Al resolver esta integral en toda el área, nos encontraremos con elementos “dy” donde el
material es madera y otros donde es acero.
1
dN 1 = E m .b m .y .dy
ρ
1
dN 2 = E a .b a .y .dy
ρ
resultaría muy práctico si de alguna manera, en forma ficticia, pudiésemos convertir uno de los
materiales en el otro, de manera tal que esto facilite las integraciones.




E
E
1
1

dN 1 =  E a .b a .dy  .y . m = E m . a .b a  .y .dy
ρ
Em
ρ
 Em
1
424
3
 n 
dN 2 =
1
1
E m .[n .b a ].y .dy = Em .b h .y.dy
123
ρ
ρ
bh
Si en la zona donde tenemos acero cambiamos el ancho verdadero de la sección por uno
ficticio bh = n.b que denominamos “ancho homogeneizado”, en la ecuación del momento no aparecen
los diferentes materiales. Por otro lado sabemos que:
1
(6.13)
∫Ω .dN = 0 → ρ ∫Ω y .E.b.dy = 0
En esta integral no podemos sacar como factor común “E”, ya que éste es función de “y”; sin
embargo, si realizamos la homogeneización, esto sería posible ya que en la zona donde esta el acero
estaríamos tomando el ancho bh .Em
y .b h .dy = 0
(6.14)
ρ ∫Ω
El cumplimiento de esta última ecuación nos hace ver que la ordenada “y” debe medirse a
partir del baricentro de la sección homogeneizada.
/2005
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Como conclusión podemos decir que valen las expresiones generales de la flexión recta, a
condición de que tomemos en lugar de la sección real, la misma homogeneizada.
σ1 =
M
.y
I xh 1
σ2 =
M
.y
I xh 2
(6.15)
la tensión σ1 sería la que correspondería si en la fibra 1 tuviésemos madera. Como el ancho
real es bh /n, luego la tensión real en el acero será:
σ 1 a = n .σ 1
(6.16)
Esto último tal vez pueda ser apreciado mas exactamente si observamos en la fig.6.13 la fibra
3. Si consideramos dos fibras ubicadas infinitamente próximas a ésta, una del lado de la madera y otra
del acero, ambas tienen prácticamente la misma deformación; sin embargo, debido a la diferencia de
módulos de elasticidad las tensiones son distintas,
con lo que el diagrama real de tensiones resulta discontinuo.
Si en lugar de tener dos materiales hay mas,
la homogeneización deberá realizarse sobre la base
de uno de ellos. En la Fig.6.14 se indica el caso de
una sección rectangular compuesta de tres materiales distintos.
6.5. FLEXION OBLICUA
6.5.1. Fórmula de dos términos
Como ya hemos dicho, este caso se presenta cuando la línea de fuerzas no coincide con uno de
los ejes principales de inercia. Dado que los ejes principales de inercia son perpendiculares, y el vector
representativo del momento es perpendicular al eje de fuerzas, también podemos decir que la flexión
oblicua surge cuando el vector momento no coincide con alguno de los ejes principales de inercia.
Esta situación se presenta con mucha frecuencia en los elementos estructurales que forman
parte de los techos inclinados. Las cargas gravitacionales originan un eje de fuerza vertical, el cual no
coincide con los ejes principales, los cuales se orientan según el plano del techo.
η
α
f
ς
n
Mη
θ
M
n
Mς
α
/2005
f
Fig. 6.15
12
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Si analizamos este problema de flexión debemos decir que:
Mζ ≠ 0
Mη ≠ 0
;
N=0
;
M ζ = M . cos α
(6.17)
M η = M.senα
Como podemos aplicar el principio de superposición de efectos, siendo cada uno de los valores
de componentes de momento casos de flexión recta, la tensión normal se obtiene a través de :
Mζ
Mη
σ = σ (M ) + σ (M ) =
.η +
.ζ
ζ
η
Iζ
Iη
(6.18)
Esta expresión recibe el nombre de fórmula de los dos términos en la flexión oblicua simple.
Si queremos encontrar la ecuación del eje neutro, planteamos la condición de tensión normal nula.
σ = 0
→
Mζ
Iζ
.η +
Mη
Iη
.ζ = 0
→
η= −
M η Iζ
.
.ζ
M ξ Iη
La ecuación del eje neutro indica que este resulta baricéntrico pero no coincidente con algunos
de los ejes principales de inercia.
Para:
M ζ = M . cos α 
Iζ
 → η = − .ξ.tgα
M η = M .senα 
Iη
→
Iζ
η
= tgθ = 1. .tgα
ζ
Iη
(6.19)
Fig. 6.16
En la figura anterior podemos ver como el diagrama de tensiones puede obtenerse por
superposición de efectos. Algo importante a tener en cuenta es que las tensiones σ son perpendiculares
a la sección, es decir son tensiones σz. El diagrama se dibuja abatido para poder representarlo con
mayor comodidad.
En el caso de una sección transversal doblemente simétrica como la de la figura 6.16. la
tensión normal máxima puede calc ularse de la siguiente forma:
/2005
13
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
σ máx =
Mζ
Iζ
Mη
.η máx +
Iη
.ζ máx =
Mζ
Iζ
.+
η máx
σ máx =
Mζ
Wζ
+
Mη
Wη
Mη
Iη
=
Mζ
Wζ
+
Mη
Wη
(6.20)
ζ máx
≤ σ adm
Esta formula de dimensionamiento no es directa como la de flexión recta, ya que la misma
depende de dos parámetros geométricos. El proceso de dimensionamiento resulta entonces iterativo,
debiendo proponerse una sección y verificar la ecuación anterior.
Para realizar un procedimiento lo mas acertado posible puede tenerse presente lo siguiente:
Mζ
σ máx =
Wζ ≥
r =
Wζ
+
Mη
Wη
.
Wζ
Wζ


Wζ

1 
1
=
. M ζ +
.M η  =
. M ζ + r .M η
Wζ 
Wη
Wζ

{


r
[
M ζ + r .M η
]
(6.21)
σ adm
Wζ
Wη
r≅7a9
r≅4a
r≅h/b
Proponiendo un valor de “r” puede obtenerse un valor de Wx necesario, y con éste se elige la
sección.
Como el valor de “r” no resulta en general tal como se lo supone, debe siempre verificarse la
ecuación. Si esta ecuación no se cumple, entonces deberá adoptarse otra sección.
Cuando la sección no es doblemente simétrica, los puntos donde se dan la máxima tensión de
compresión y tracción no tienen porqué tener simultáneamente como coordenadas los valo res de xmáx
e ymáx. Por esta razón suele resultar muy práctico dibujar la sección en escala y trazar el eje neutro,
como el diagrama de tensiones resulta perpendicular a dicho eje es posible determinar gráficamente
las posiciones donde las tensiones son máximas, aún sin calcular los valores.
6.5.2. Fórmula de un término.
En virtud de considerar como válidas las hipótesis de Navier- Bernoulli y la Ley de Hooke,
podemos decir que la tensión normal que surge como consecuencia del efecto de flexión será
proporcional a la distancia al eje neutro medida desde el punto de aplicación de la misma.
Hipótesis de Navier- Bernoulli:
/2005
ε=
yn
ρ
14
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
σ = E .ε
Ley de Hooke:
Entonces:
σ ( y ) = Eε ( y ) =
1
E.y n = ψ.y n
ρ
(6.22)
Sobre un elemento diferencial de área, debido a la tensión σ, existirá una fuerza dN:
dN = σ.dΩ
Fig. 6.17
Por razones de equilibrio:
∫
dN =
∫
ψ .y n .dΩ = ψ ∫ y n .dΩ = 0
Ω
Ω
∫ σ.dΩ = 0
Ω
(6.23)
Sn = 0
Ω
para que la condición dada por la ecuación anterior se satisfaga, debe ocurrir que el eje neutro
sea baricéntrico. En la figura 6.17 así lo ubicamos porque ya conocíamos el resultado a partir de lo
desarrollado en el ítem anterior.
También por razones de equilibrio deberá ocurrir:
∫
x f .dN = 0
∫
x f .dN =
∫
x f .y n .dΩ = I nf = 0
Ω
Ω
Ω
∫
Ω
(momento con respecto al eje de fuerzas)
ψ .x f .y n .dΩ = 0
(6.24)
De la última ecuación se obtiene que el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados de inercia. Si desarrollamos la ecuación :
∫
Ω
y n .dN = M .senβ
(momento con respecto al eje neutro)
obtenemos:
∫
Ω
/2005
y n .dN =
∫
Ω
ψ .y n .dΩ = ψ ∫ y n .dΩ = ψ.I n = M .senβ
2
2
Ω
→
ψ=
M .senβ
In
15
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
con lo que:
σ=
M .senβ
yn
In
(6.25)
Esta última fórmula recibe el nombre de fórmula de un término en la flexión oblicua simple, y
para poder utilizarla es necesario tener previamente ubicado en el eje neutro. La posición del mismo
queda definida conociendo el valor del ángulo β. Para calcular el valor de este ángulo, puede
emplearse la siguiente expresión:
tg (ϕ + β) =
I x − I xy . tg ϕ
I xy − I y. tg ϕ
(6.26)
Debido a que también hay que conocer el momento de inercia con respecto al eje neutro, suele
ser conveniente aplicar el círculo de Mohr para inercias (círculo de Mohr- Land).
Usando el círculo de Mohr, en realidad no es necesario medir el ángulo β, ya que puede
medirse directamente In/senβ.
In / sen β = AP x Esc.Inercia.
σ=
M
In
.y n
senβ
La fórmula de un término puede resultar práctica, pero puede ser usada únicamente en verificaciones, es decir, cuando la sección ya ha sido dimensionada.
Luego de las conclusiones obtenidas en este ítem, podemos dar un nuevo concepto de flexión
recta y oblicua. La flexión se dice recta cuando el ángulo que forma el eje de fuerzas y el eje neutro es
un ángulo recto, es decir, que ambos ejes son perpendiculares. Como el eje neutro y el eje de fuerzas
son conjugados, esto solo puede darse cuando el eje de fuerzas coincide con un eje principal de
inercia. Cuando la flexión no es recta se dice que es oblicua.
/2005
16
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
6.6.FLEXION EN VIGA DE EJE CURVO
Para estudiar el efecto de la flexión en una viga de eje curvo, se considerarán solamente
secciones que tengan un eje de simetría y el plano de acción del Momento Flector conteniendo a dicho
eje de simetría y al eje de la pieza. Analizaremos, como en temas anteriores, solo el caso de relación
lineal entre solicitación y deformación y de que el módulo de elasticidad es el mismo a tracción que a
compresión.
Consideremos un elemento curvo como el que se muestra en la figura. El punto O define la
posición del centro de curvatura; la pieza esta sometida únicamente a Momento.
De todo el sector curvo estudiaremos el comportamiento de la porción definida por el ángulo
ϕ, determinándose dos secciones próximas entre si, la AB y la CD. Ambas secciones tienen su baricentro a distancia R de c.c.
Debido a M, la porción en estudio se va a deformar; hay fibras que se acortan, fibras que se alargan y fibras neutras. Como hipótesis suponemos que las secciones perpendiculares al eje de la pieza, permanecen planas luego de deformadas.
La sección CD permanece plana luego de deformarse y ocupa una posición C’D’ con un giro
relativo dϕ, suponiendo que la sección AB se mantiene en su posición primitiva.
Aunque la hipótesis básica de deformación es la misma que para vigas rectas, y por Ley de
Hooke, la tensión normal σ = E.ε acá tenemos una variante. La longitud inicial de una fibra como la
EF depende de la distancia al centro de curvatura ρ . por lo tanto, aunque la deformación total de las
fibras de (descriptas por el pequeño ángulo una viga dϕ) sigue una ley lineal, con las deformaciones
específicas no sucede esto. El alargamiento de una fibra genérica, EF es (r-ρ). dϕ, donde r es la distancia desde el punto O hasta la superficie neutra (no conocida todavía), siendo su longitud inicial igual a ρ x ϕ.
La deformación ε de nuestra fibra arbitraria es:
∆l (r − ρ) × dϕ
y × dϕ
ε=
=
=
l
ρ×ϕ
(r − y ) × ϕ
siendo “y” la distancia de la fibra genérica respecto de la superficie neutra.
Para el elemento dΩ , la tensión normal:
σ = E.ε =
E.dϕ
y
.
ϕ
(r − y )
En esta ultima ecuación, para la misma sección E, dϕ, ϕ, r son constantes∴ σ =
(6.27)
(6.28)
A×y
,
(B − y )
expresión que representa una función hiperbólica.
En (6.28 ) tenemos dos incógnitas, que son la ubicación de las fibras neutras ”r” y el giro relativo dϕ. Para definirlas utilizaremos dos condiciones de la estática.
/2005
17
ESTABILIDAD II
CAPITULO VI: FLEXIÓN
Teniendo en cuenta que sobre la sección, solo se ha aplicado M, debe cumplirse que la suma de
las fuerzas que actúan perpendicularmente a la sección tome valor 0.
∑F
N
=0→
∫ σ.dΩ = ∫ E.
Ω
Ω
.dϕ
y
.E.dϕ
y
.E.dϕ r − ρ
.
.dΩ =
.dΩ =.
.dΩ .
∫
ϕ (r − y )
ϕ Ω (r − y )
ϕ ∫Ω ρ
Siendo E, dϕ, ϕ, constantes, deberá ser nula la integral
r −ρ
Ω
(6.29)
∫Ω ρ .dΩ. = 0 → r = dΩ
∫Ω ρ .
Observando que el eje así definido difiere de la posición del baricentro (G).
Una vez conocida la posición del eje neutro, la expresión para la distribución de esfuerzos se
obtiene igualando el momento externo aplicado, al momento interno resistente.
Tomamos momento en la sección respecto del eje “n” determinado por las fibras neutras:
.dϕ
y2
.E.dϕ
y2
∑ M n = 0 → M = ∫ σ.dΩ.y = ∫ E. ϕ . (r − y ) .dΩ = ϕ ∫ (r − y ) .dΩ.
Ω
Ω
Ω
 y2

.E.dϕ 
r .y 
∫Ω  (r − y ) + y − y  .dΩ = ϕ ∫Ω  − y + r − y  .dΩ
 .E.dϕ 

.E.dϕ 
y
M=
− y .dΩ + r ∫
.dΩ  =
− y .dΩ + 0


∫
∫
ϕ Ω
(r − y )
ϕ Ω


Ω
M=
.E.dϕ
ϕ
(6.30)
∫ − y .dΩ = − ∫ y .dΩ
Ω
Ω
donde la integral representa el momento estático del área de la sección recta respecto de la línea neutra. Siendo “e” la separación entre le baricentro y la línea neutra, se debe cumplir:
∫ − y.dΩ = Ω.e
siendo e = R − r
(6.31)
Ω
La distancia “e” se mide en sentido contrario al considerado como positivo para “y”.
Finalmente:
.E.dϕ
M=
.Ω .e
ϕ
M y
σ=
.
Ω .e ρ
σD
M yD
=
.
Ω .e ρ D
σC =
→
σsuperior = σD
.E.dϕ
M
=
ϕ
Ω .e
n
*G
n
σinferior = σC
(6.32)
Fig. 6.20
M yC
.
Ω.e ρ C
A diferencia del caso de viga de eje recto, donde la variación de tensión es lineal , en el caso de
eje curvo, la variación es hiperbólica. El eje neutro no coincide con el baricentro geométrico de la
sección, trasladándose hacia el Centro de Curvatura.
/2005
18
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
7
TENSIONES DE CORTE
EN LA FLEXIÓN
7.1 FORMULA DE JOURAVSKI - COLIGNON
En el capítulo 6 hemos estudiado la distribución de tensiones en la sección recta de una pieza
sometida a flexión pura. En este capítulo abordaremos el estudio del estado tensional cuando tenemos
una sección de una pieza sometida a flexión y corte. La presencia de Q origina en la sección tensiones
tangenciales: estas tensiones, variables a lo largo de la altura, producen distorsión entre los elementos
de la pieza, lo que hace que las secciones originalmente planas, al deformarse por la suma de los efectos de flexión y corte ya no sigan siendo planas. Sin embargo este alabeo del plano de las secciones
transversales no influye sensiblemente sobre el valor de las tensiones normales para el caso de las relaciones l/h habituales. Es decir, podemos seguir calculando σ como si fuera un caso de flexión pura.
El tema ya tiene un pequeño antecedente, visto en capítulo 2, “el problema de corte puro”. Para
ese caso se concluyó que el esfuerzo de corte no era sino la fuerza resultante de un conjunto de tensiones tangenciales que podían admitirse distribuidas uniformemente, y cuyo valor se calculaba mediante
la expresión:
τ=
Q
Ω
(7.1)
En la práctica el problema de corte puro no existe, puesto que en general aparece conjuntame nte con la flexión. En estas circunstancias, como veremos seguidamente, la hipótesis de tensiones tangenciales uniformes resulta incorrecta, de manera que el valor de τ obtenido con la expresión 7.1 solamente representa el valor medio de la tensión.
No obstante lo recientemente expuesto, existen algunos problemas, especialmente en lo que se
refiere a elementos de unión, donde los esfuerzos de flexión pueden considerarse como secundarios,
siendo aplicable la expresión anterior dada la simplicidad que representa.
En algunas estructuras como las vigas, que están predominantemente flexadas, es muy importante considerar la distribución real de tensiones, para lo cual nos basaremos en la denominada “Teoría de Jouravski”, quien desarrolló en un trabajo sobre pue ntes, publicado en 1856, una teoría sobre la
resistencia de secciones rectangulares constituidas por laminas superpuestas vinculadas entre sí. Jouravski calculó los esfuerzos rasantes que veremos luego, sin preocuparse de las tensiones que ocurren
en el plano de la sección, cuya expresión se debe a Colignon.
Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 7.1, la
que supondremos de sección constante. Aislemos un trozo de
la misma delimitado por las secciones 1 y 2, separadas éstas
por dz.
En la sección 1-1 actúa un momento flector M y un
esfuerzo de corte Q. En la 2-2, el momento será distinto al de
la 1-1, pero lo expresaremos en función de M como M+dM,
mientras que el esfuerzo de corte mantiene su valor Q.
/2005
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Fig. 7.2
Como consecuencia de la flexión, en una fibra situada a una distancia “y” del eje neutro, se
originarán en 1-1 tensiones:
σ =
M
y
In
(7.2)
y en la 2-2
( M + dM ) y
σ + dσ =
In
(7.3)
Supongamos ahora separada una parte del
prisma de longitud dz por una superficie cilíndrica como se muestra en la fig.7.3. En la parte rayada actúan tensiones normales que originan una
fuerza N.
M
N =∫
y dΩ
(7.4)
Ω In
En la sección 2-2 ocurre algo similar:
N + dN =
∫
(M
Ω
+ dM )
y dΩ
In
(7.5)
Fig. 7.3
Ambas fuerzas son coaxiales y su resultante vale:
dN =
∫
Ω
dM
y dΩ
In
(7.6)
Esta fuerza elemental tiende a hacer deslizar la parte superior del prisma ubicado por enc ima
de la superficie cilíndrica, con respecto al resto del mismo. A esta acción se oponen tensiones tange nciales τ que actúan en la superficie curva de separación.
Para estas tensiones longitudinales admitiremos:
a) que su dirección es paralela al eje de la pieza
b) que varían en forma continua sobre la superficie curva.
Si llamamos s a la longitud de la curva de intersección de la superficie con el plano de la sección recta, tendremos:
dT = dz ∫ τ ds
s
/2005
(7.7)
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
por equilibrio: dT = dN
∫
ΩS
(7.8)
dM
ydΩ = dz ∫ τds
S
In
dM
In
∫
ΩS
ydΩ = dz ∫ τds →
S
dM 1 s
S =
dz In n
∫ τds = τ
S
m
S
τ m = valor medio de τ
τm =
Q S sn
Fórmula de Jouravski-Colignon
In S
(7.9)
De acuerdo con la ley de Cauchy, las
tensiones τ de resbalamiento longitudinal dan origen en el plano de la
sección a tensiones tangenciales,
normales en cada punto de la curva
s a su correspondiente tangente, y
cuyo valor medio está dado por la
expresión 7.9.
Fig. 7.4
7.2 DISTRIBUCION DE TENSIONES EN SECCIONES USUALES
7.2.1 Sección rectangular
Analicemos una sección rectangular de ancho b y altura h. Si consideramos una traza s – s paralela al eje x, las tensiones tangenciales pueden suponerse constantes en todo el ancho b.
τ zy =
Q Sns
In s
In =
b h3
12
s=b
h
  h
1
S sn = b − y   − y  +
2
2

 
2
/2005
S sn =
1 h
 h
b  − y  +
2 2
 2
S sn =
1  h2

b
− y2 
2  4


y


y

Fig. 7.5
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
1 h2   2y  
Q b 1 − 
 
2 4   h  
=
b h3
b
12
2
τ zy
3 Q
τ zy =
2 bh
  2 y 2 
 
1 − 
h

 

(7.10)
La distribución de las tensiones tangenciales es parabólica, alcanzando el valor máximo en correspondencia con el eje neutro.
τ max =
3 Q
Q
= 1 .5
2 bh
Ω
(7.11)
Acá podemos apreciar lo que habíamos expuesto anteriormente en cuanto a que la distribución real de tensiones tangenciales difiere bastante de la hipótesis de corte puro. También
se observa que las tensiones tangenciales se anulan en las fibras
superiores e inferiores. Esto es lógico, por cuanto si en esos lugares τzy≠0, de acuerdo con la ley de Cauchy aparecerían en la cara
superior e inferior de la pieza prismática tensiones tangenciales
longitudinales, las cuales se transformarían en cargas exteriores
actuantes, cuya existencia no hemos considerado.
La fórmula de Jouravski – Colignon nos permite calcular
el valor de las tensiones tangenciales verticales τzy, pero debemos
aclarar que también aparecen tensiones tangenciales τzx, cuya ley
de distribución puede conocerse si se trata el problema desde el
punto de vista de la teoría de la elasticidad. Cuando el rectángulo
en muy ancho, estas tensiones alcanzan valores significativos, en
caso contrario pueden despreciarse.
Obviamente, en cualquier caso las tensiones τzx constituyen un sistema autoequilibrado, con resultante Rx=0.
Fig. 7.6
7.2.2 Sección circular
En secciones simétricas de contorno curvilíneo no es posible considerar la existencia de tensiones tangenciales τzy solamente. En efecto, en los puntos del contorno la tensión tangencial debe tener una
dirección coincidente con la tangente a la curva que
define la sección, ya que de no ser así existiría una
componente de la tensión perpendicular a esta tangente, lo que por Cauchy generaría una tensión tangencial longitudinal externa. En la figura 7.7 se ilustra lo que sucedería si τA fuese vertical.
Fig. 7.7
/2005
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Si admitimos entonces que las tensiones en un punto
como el A son tangentes al contorno, resulta evidente que
aparecen tensiones τzy y τzx.
Para las tensiones tangenciales τzy admitimos la validez de la formula de Colignon, sie ndo constantes en todo el
ancho AB. Para las tensiones τzx se considera una ley de variación lineal.
τ zx = τ zx
τ zx =
A
x
xA
A
τ zy
=
A
tg α
τ z x = τz y
τ zy
(y)
tgα
Fig.7.8
x
x A tg α
(7.12)
Según la ecuación 7.12, para una ordenada “y” cua lquiera, todas las tensiones tangenciales actuantes en el ancho
correspondiente conc urren a un punto M.
x A tgα = CM
τ zx
τ zy
=
→
τ zx = τ zy
x
CM
1
x
=
tgα x
CM
Para el caso particular de una sección circular, apliQ S yx
cando Colignon : τ zy =
b yI x
τ zy
4 (R 2 − y 2 )
= Q
3
π R4
x A tgα =
y
=
Fig. 7.9
R 2 − y2
y
xy
4 Q
xy
=
(
R2 − y2) 2
2
4
3 πR
R −y
R − y2
4 Q
=
xy
(7.14)
3 πR4
τ zx = τ zy
τ zx
x 2A
(7.13)
2
Fig. 7.10
En cualquier punto la tensión tangencial τ puede obtenerse por composición de τzy y τzx.
/2005
5
ESTABILIDAD II
τ=
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
τ 2zy + τ 2zx
(7.15)
El valor de τzy máximo se produce para y = 0, donde τzx = 0 para todo valor de x.
τ max = −
4
R2
4 Q
4Q
Q
Q
=
=
≅ 1.33
4
2
3 πR
3 πR
3Ω
Ω
(7.16)
En la ultima ecuación podemos ver el valor de la tensión tangencial máxima es 33% mayor
que el valor correspondiente al caso de corte puro.
7.2.3 Sección doble T
En la figura 7.11 hemos tratado de idealizar un perfil laminado doble T. Para un corte s1-s1 situado en el ala tendremos según la formula de Colignon:
τ zy
1  h2

b 
− y 2 
Q 2  4
Q  h2


=
=

− y 2 
I
b
2I  4

(7.17)
Para un corte s2-s2 situado en el alma tendremos:
τ zy
2


bt
(h - t ) + e   h − t  − y 2 
2  2

Q 2

=
I
e
(7.18)
τ zy
Q
=
2I
 b t
 (h - t ) +
 e
2
 h


2 
 − t  − y  

 2
 
Fig. 7.11
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Puede verse que la variación de τzy según las ecuaciones 7.17 y 7.18 resulta ser parabólica.
En una sección como la s3-s3 aparece una discontinuidad, lo cual se debe a que en la fórmula
de Colignon la tensión tangencial es inversamente proporcional al ancho de la pieza a la altura de la
fibra considerada, y la sección tiene un cambio brusco de ancho.
Lo que hemos indicado recientemente es incongruente. En efecto, si el diagrama (a) de la figura 7.11 fuese totalmente valido, en un elemento como el k tendría mos una tensión tange ncial τzy no
nula, lo que significaría que según Cauchy debería aparecer tensiones rasantes longitudinales en las
caras interiores de las alas, donde, por tratarse de una superficie libre de solicitaciones exteriores, no
puede haber tensiones.
La situación real es la siguiente: en un punto tal como M, de la superficie de una de las alas
existen tensiones τzy y τzx. Las primeras, salvo en la zona ABC de unión de ala y alma, varían según
diagramas parabólicos que se anulan en correspondencia con los bordes superior e inferior del ala
(ver diagramas (c) en la fig. 7.11), y su valor máximo es muy pequeño, por lo que pueden despreciarse. Para la zona ABC puede suponerse que varían linealmente desde el valor correspondiente a la sección s3-s3 en el alma, hasta anularse en el borde del perfil (ver diagramas (b) en la fig. 7.11).
En cuanto a las tensiones τzx, su magnitud es tal que no siempre son despreciables. Tienen un
papel importante en las secciones para las que la línea de fuerzas coincide con un eje principal de inercia que no es eje de simetría de la sección.
A continuación vamos a desarrollar las expresiones que nos permiten establecer la ley de variación de las tensiones tangenciales τzx a lo largo de las alas.
Supongamos el mismo perfil de la figura 7.11 al que le efectuamos un corte vertical en una de
las alas. Si el perfil está solicitado por flexión, sobre la parte separada existirán tensiones normales.
Siguiendo un razonamiento similar al aplicado el deducir la fórmula de Jouravski – Colignon podemos establecer la siguiente:
σ =
N =
M
y
I
∫
h
2
h
−t
2
σ + dσ =
σ dΩ =
∫
h
2
h
−t
2
M + dM
y
I
M
yxdy
I
(7.19)
N + dN =
dN =
∫
h
2
h
−t
2
(M + dM )
yxdy
I
dM
dM h2
dM t
dM
yxdy
=
x ∫h ydy =
x (h − t) =
Sx
∫h2 − t I
−
t
I
2
I
2
I
h
2
Sx: momento estático respecto del eje ne utro del área en la figura 7.12
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Fig. 7.12
Por razones de equilibrio debe resultar dN= dT
dT = τ xz t dz =
τ xz =
dM S x
=
dz It
dM
Sx
I
QS x
It
(7.20)
(7.21)
Por Cauchy, en el área rayada antes mencionada aparecen tensiones tangenciales horizontales
τzx = τxz.
τ zx =
Q t (h - t )
x
I 2t
(7.22)
τ zx =
Q (h - t )
x
2I
Según la ecuación 7.22 las tensiones τzx varían linealmente desde
cero en el extremo del ala hasta un máximo en correspondencia con el
borde del alma donde
x =(b-e)/2.
En la figura 7.13 se muestran los diagramas correspondientes a
las cuatro semialas del perfil. Puede a-preciarse que el conjunto de las
tensiones tangenciales determina un flujo de tensiones en el sentido de la
fuerza de corte. Por otro lado, razones de simetría hacen que para cada
una de las alas los esfuerzos horizontales derivados de las tensiones τzx se
anulen entre sí.
/2005
Fig. 7.13
8
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Salvo en casos muy especiales las perfiles I no trabajan bajo tensiones tangenciales muy altas
en relación con las tensiones normales de flexión. Siendo además que τzx max << τzy max , usualmen-te
las tensiones τzx son ignoradas en el dimensionamiento.
τ zx max ≅ 0.25 τ zy
en PN I
max
(7.23)
Del diagrama de distribución de las tensiones τzy se observa que éstas son prácticamente constantes en el alma.
τ zy
max
≅ 1.17
Q
eh
en PN I
(7.24)
7.3 CURVAS ISOSTÁTICAS
Consideramos una viga como la de la figura y aplicado un cierto estado de cargas; una sección
genérica m-m, está solicitada por momento flector y por esfuerzo de corte. Para una fibra ub icada a una distancia yo el elemento está sometido a tensión normal (σ yo ) y a tensión tangencial (τ yo ) en caras o
planos determinados por la dirección del eje de la pieza; los valores que toman ambas tensiones pueden ser calculados utilizando ecuaciones vistas con anterioridad. Aislando el elemento podemos concluir que tenemos un estado plano de tensiones. El círculo de Mohr permite encontrar las direcciones
y el valor de las tensiones principales.
Fig. 7.14
Fig. 7.15
/2005
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Manteniéndonos en la misma sección pero cambiando la ubicación de la fibra (es decir para
distintos yo ), varían los valores de σyo y de τyo ; esto conlleva que también varíen las direcciones y los
valores de las tensiones principales. A lo largo de m-m en los diferentes elementos, obtendríamos direcciones de tensiones σ 1 y σ2 tales como se indica más abajo.
Fig. 7.16
Si tomamos secciones m- m lo suficientemente próximas entre sí y en cada una de ellas tomamos elementos muy cercanos, prolongando las rectas que definen las direcciones principales hasta
cortarse, obtendremos poligonales, cuyas envolventes constituyen las curvas denominadas isostáticas
o también trayectorias de tensiones principales, cuya propiedad fundamental reside en el hecho de
que, en cualquier punto de las mismas la tangente nos dá la dirección de una de las tensiones principales, siendo la segunda de dirección ortogonal. En consecuencia por el punto considerado pasará una
segunda cur va isostática, resultando así dos familias de curvas, ortogonales.
En los bordes libres, sin solicitación exterior, el mismo borde constituye la isostática de una de
las familias, mientras que las de la segunda familia son normales al borde. Ello puede observarse en la
siguiente figura, donde se reproducen las isostáticas de una viga rectangular simplemente apoyada, solicitada por carga repartida.
Fig. 7.17
/2005
10
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
7.4 DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN TRANSVERSAL
Considerando el caso de una sección sujeta a flexión recta transversal, es decir que actúan
simultáneamente un momento flector y un esfuerzo de corte.
Como ya sabemos, debido al momento flector existen tensiones normales cuya ley de distribución es lineal, alcanzando los valores máximos el las fibras mas alejadas del eje neutro. Debido al
esfuerzo de corte se generan tensiones tangenciales, con una ley de distribución que depende de la
forma de la sección, pero que en general es parabólica y con un máximo en el eje ne utro.
Fig. 7.18
Como consecuencia de la actuación simultánea de estos esfuerzos existen puntos con tensiones normales solamente, con tensiones tangenciales solamente y con tensiones normales y tangenciales simultáneas.
Los requerimientos de seguridad de la pieza son:
- σ solamente:
σ < σadm
- τ solamente
τ < τ adm
- σ y τ simultáneamente
σc < σadm
Este último caso corresponde a un estado doble, por ello debe verificarse aplicando una teoría
de falla.
En la figura 7.18 se muestra lo que sucede cuando la sección es rectangular. En este caso la
verificación de un punto como el 2 no es necesaria pues puede demostrarse que está en mejores condiciones que cualquiera de los otros tres. Sin embargo, en el caso de una sección doble T (Fig.7.19),
un punto en correspondencia con el cuello del perfil puede estar en peores condiciones que un punto
como el 1 o el 3. Esto se debe a que si bien σ2 < σmáx y τ2 < τ máx , ambos valores son próximos a los
máximos y actúan simultáneamente.
Verificaciones:
σ 1 = σ max < σ adm
σ 3 = τ max < τ adm
/2005
11
ESTABILIDAD II
σ 22 + 3τ 22 < σ adm
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
(expresión a utilizar por corresponder el perfil a material dúctil)
Fig. 7.19
7.5 ABSORCIÓN DE ESFUERZOS RASANTES LONGITUDINALES EN VIGAS
Al estudiar la fórmula de Jouravski – Colignon hemos visto que en una sección transversal de
una viga sometida a flexión y corte aparecen tensiones tangenciales. La existencia de estas tensiones
está relacionada a la aparición de esfuerzos rasantes longitudinales, los cuales se absorben internamente por la propia continuidad de la pieza.
Veamos que sucede con estos esfuerzos en los casos de vigas compuestas, es decir, vigas cuya
sección transversal queda conformada mediante diferentes elementos unidos entre sí, como por ejemplo, una sección cajón de una viga de madera formada por cuatro tablones unidos mediante clavos o
tornillos, o una sección doble T de acero formada por perfiles angulares y planchuela unidos mediante
remaches o bulones.
Fig. 7.20
Para poder conformar la pieza se utilizan elementos de unión. Estos elementos deben cumplir
la misión de transmitir los esfuerzos rasantes longitudinales entre los distintos elementos constitutivos
de la pieza de manera tal que funcionen en conjunto.
/2005
12
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Para comprender esto analicemos el siguiente ejemplo, que se trata de una ménsula
con una carga concentrada en el extremo. Primeramente supongamos que la viga está constituida por una única pieza:
σ max =
Pl
6Pl
=
Wx
b h2
(7.25)
Fig. 7.21
En segunda instancia consideremos que la
viga está formada por cuatro láminas superpuestas, las cuales no están vinculadas entre sí. Como
las laminas no tienen fricción entre si, cada una de
ellas se flexiona independientemente. La fuerza
exterior que corresponde a cada lámina es P/4,
con lo que la tensión máxima en cada una de ellas
será:
σ max
P
l
6Pl
4
=
=
4
2
b h2
b h
 
6 4
(7.26)
Fig. 7.22
En el segundo caso la tensión resulta mayor, lo mismo
que la flecha. Esto se debe a que como no se pudieron absorber
los esfuerzos rasantes en las superficies de contacto de las
láminas, se pierde rigidez.
Si las laminas se unen, por ejemplo, con pernos rígidos, se observa que la barra trabajará como una unidad, en
forma similar a la primera situación. Lo que ocurre es que los
pernos, trabajando al corte, absorben los esfuerzos rasantes
longitud inales.
El esfuerzo rasante se define como el producto de las
tensiones tangenciales por el ancho b de la sección en la superficie de deslizamiento.
H = τb =
Q S sn
bI
b=
Q S sn
I
Fig. 7.23
(7.27)
El esfuerzo rasante resulta ser un esfue rzo por unidad de longitud de eje de la pieza y depende
del esfuerzo de corte (Q), del momento de inercia de la sección (I) y del momento estático con respecto al eje neutro de la parte de la sección que tiende a separarse del conjunto (Sn s). Siendo que H de
/2005
13
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
pende de Q, varía a lo largo del eje de la pieza según lo hace éste. En el caso del voladizo del ejemplo
Q=cte, por lo que H=cte.
H 1 = τ1 b =
H 2 = τ2 b =
Q S 1n
I
Q S 2n
I
Fig. 7.24
Cada elemento de unión que se coloca debe absorber el esfuerzo rasante que le corresponde
según su zona de influencia.
T=He
(7.28)
Si se usan bulones, por ejemplo:
T = H e ≤ τadm bul Ω bul n
n: cantidad de bulones en paralelo en una misma
sección.
π d2
He ≤
τ
n
4 admbul
(7.29)
Fig. 7.25
Si se elige el diámetro de los bulones puede calcularse la separación a que deben colocarse, o
bien, si se establece esta separación puede determinarse el diámetro necesario.
7.6 CENTRO DE CORTE
Consideramos un perfil U como el de la figura 7.26, sometido a flexión y corte, y en el que
el eje de fuerza coincide con el eje principal de inercia “y”. Supongamos en primera instancia que es
valida la teoría de Jouravski.
/2005
14
ESTABILIDAD II
S yn =
τ zy =
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
e  h2

t

− y 2  + (b - e ) ( h - t )
2  4
2

Q S yn
eI
S x = x (h - t )
τ zx =
τ zx
max
=
H = τ zx
t
2
Q Sx
It
Q (h − t ) (b - e )
2I
(b - e ) t
max
2
Q (h − t )(b - e ) t
4I
2
=
Fig. 7.26
(7.30)
(7.31)
Las fuerzas horizontales H, iguales en valor absoluto para ambas pero de signo contrario, forman un par MH.
Q (h − t ) (b - e ) t
= H (h - t ) =
4I
2
MH
2
(7.32)
La resultante de las tensiones tangenciales τzy da como resultado el esfuerzo de corte Q’, pero
aplicado en el eje del alma.
Vemos entonces que no se cumplen las condiciones de equivalencia entre esfuerzos externos e
internos de la sección. En efecto, al admitir la teoría de Jouravski aparece un esfuerzo de corte mas un
momento torsor.
Mt = MH
 (h − t ) 2 (b - e )2 t

+ Q δ = Q
+ δ
4I


(7.33)
Por hipótesis sólo teníamos flexión y corte, por lo tanto en este caso no es aplicable esta teoría, no siendo posible admitir la hipótesis de Navier – Bernoulli de la conservación de las secciones
planas. Para que haya equilibrio interno deben existir tensiones que generen la anulación del par que
aparecería según Jouravski, quedando la sección sometida a un par torsor. Cuando esto ocurre, como
ya se ha visto, la sección se alabea.
Si el plano de fuerzas en lugar de pasar por el baricentro G de la sección, lo hace por el punto
O situado sobre el eje de simetría y desplazado de la recta de acción Q’, una distancia et =MH/Q, entonces existiría un momento torsor externo que lograría la equivalencia con los esfuerzos internos
originados según la teoría de Jouravski. El punto O determinado en la forma indicada recibe el no mbre de “centro de corte”.
/2005
15
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Fig. 7.27
En secciones como la que estamos estudiando la flexión se produce sin que aparezca torsión y
sin alabeo, si el eje de fuerzas pasa por el centro de corte.
En el caso de un perfil ángulo de alas iguales el centro de corte se encuentra en el punto de
concurrencia de los ejes de ambas alas.
7.7 ENERGIA DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZO DE CORTE
Consideramo s una viga de sección constante de la cual aislamos un elemento de longitud dz.
uτ =
τγ
2
U( dz )
τγ
τ2
= ∫Vol
dVol = ∫Ω
dΩ dz
2
2G
(7.35)
(7.36)
U( dz ) =
dz
τ 2 dΩ
∫
Ω
2G
Fig. 7.28
A los efectos se simplificar los cálculos energéticos hacemos el siguiente reemplazo:
τ = η τ medio
Q
=η
Ω
→
Q2
∫Ω τ dΩ = η Ω 2
2
2
∫
Ω
Q2
dΩ = η
Ω
2
llamando:
k = η2
(7.37)
resulta
k Q2
U (dz ) =
dz
2ΩG
/2005
→
k Q2
UQ = ∫
dz
z2 Ω G
(7.38)
16
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
El coeficiente k recibe el nombre de “coeficiente de corte”. Veamos, por ejemplo, el valor del
mismo para una sección rectangular.
τ=

Q  h2

− y 2 
2I  4

Q2
2
τ
d
Ω
=
∫Ω
4 I2
2
 h2
Q2
2


−
y
d
Ω
=
∫Ω  4

4 I2

h
 h4 h2 2
4 
∫h  16 − 2 y + y b dy
−
2
2
3
5
Q 2  h4
h2  h 
2 h 
Q 2 bh 5
Q2
∫Ω τ dΩ = 4 I 2 b  16 h − 3  2  + 5  2   = b 2 h 6 = 1.2 Ω

 4
30
144
2
k = 1.20
(7.39)
En perfiles doble T y U el coeficiente de corte resulta ser aproximadamente igual al cociente
entre el área de la sección transversal y el área del alma calculada para la altura total del perfil.
k≅
Ω
eh
(7.40)
7.8 INFLUENCIA DEL CORTE EN ELASTICAS DE VIGAS
Al deducir ecuaciones de elástica hemos de tener en cuenta solamente las deformaciones producidas por momento flector. El hecho de no considerar las deformaciones por corte, se debe a que
usualmente estas no inciden en la elástica.
Vamos a apreciar lo que hemos dicho recientemente calculando en el siguiente ejemplo la flecha máxima, tomando en cuenta tanto la que es originada por flexión como la producida por corte.
Text = U M + U Q
Text =
Pf
2
UM =
∫
L
0
M2
dx
2EI
M (x) = Px
Fig. 7.29
P2 2
P2 3
x
dx
=
L
∫0 2EI
6EI
2
L kQ
P2
U Q = ∫0
dx = k
L
2Ω G
2Ω G
Pf
P 2L3 kP 2 L
=
+
2
6EI
2ΩG
UM =
f =
/2005
L
PL3 kPL
+
3EI
ΩG
con f M =
PL3
kPL
y fQ =
3EI
ΩG
17
ESTABILIDAD II
CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN
Supongamos ahora que el material es acero y que la sección es rectangular. Vamos a comparar
fM con fQ.
PL3
fM
Ω G L2
= 3EI =
k PL
fQ
3 EI k
ΩG
E
E
G=
≅
2(1 + µ ) 2.6
fM
=
fQ
bh EL2
(3 * 2.6 * 1.2)E bh
3
L
= 1.3 
h
2
12
(7.42)
Para una relación frecuente L/h= 10 resulta fM = 130 fQ, de lo que puede verse que el hecho de
despreciar el efecto de corte implica un error menor que el uno por ciento.
Cuando la relación L/h es baja, por ejemplo L/h = 1 donde fM = 1.30 fQ, el error que se comete
es muy grande. En este caso el error es del orden del 40 %.
/2005
18
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
8
DEFORMACIONES EN LA
FLEXIÓN
8.1 ANALISIS DE DEFORMACIONES
8.1.1 Generalidades
Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante para
garantizar el buen comportamiento estructural como la verificación de la resistencia.
Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte
de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo. No sólo esto es muy significativo sino
que también pueden aparecer problemas colaterales tales como fisuración en tabiques de mampostería
que apoyen sobre la estructura y en cielorrasos.
Los elementos de máquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematuros u originar efectos vibratorios inadecuados.
El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante desde el punto
de vista constructivo. En efecto, si se conoce por ejemplo, la flecha máxima que tendrá una viga de
hormigón armado sometida a las cargas permanentes, cuando se la construye puede contraflecharse el
encofrado de manera tal de compensar esa deformación, de modo que la pieza quede para ese estado
de cargas sin deformación aparente.
Por otro lado, no es posible conocer las características dinámicas y vibratorias de un elemento
estructural sino se analizan deformaciones. Así mismo, y atendiendo a lo que hemos demostrado en el
artículo 3.2, el análisis de las deflexiones resulta imprescindible para la resolución estática de piezas
flexadas hiperestáticas.
Todo esto ha motivado la existencia de nume rosos métodos de cálculo de deformaciones, algunos aplicables a cualquier tipo de estructuras y otros solamente a estructuras lineales. A continuación
analizaremos algunos de estos métodos.
8.1.2 Línea elástica
8.1.2.1 Ecuación
Llamaremos “Línea elástica” a la forma que adopta el eje de una viga al producirse la deformación de la misma por acción de las cargas exteriores.
Para deducir la ecuación de la elástica vamos a suponer que las deformaciones son pequeñas.
Además solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores. (ver art. 7.8)
/2005
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
c
El ángulo que forma la tangente a la elástica en un punto con respecto a la horizontal, es el mismo que habrá girado la
sección recta en dicho punto con respecto a la vertical.
Si consideramo s otra sección ubicada a una distancia dz
con respecto a la anterior, entre ambas habrá un giro relativo
dθ.
1 dθ
=
ρ ds
ds ≅ dz = →
1 dθ
=
ρ dz
d
θ
(8.1)
ρ
ds = ρ dθ →
cc
Por ser θ un ángulo pequeño:
θ ≅ tgθ =
dy
dθ dy 2 1
→
=
=
dz
dz dz 2
ρ
(8.2)
θ
Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores
crecientes de z corresponden valores decrecientes de θ. En
consecuencia, en la ecuación 8.2 debemos afectar al primer término de un signo menos.
−
dy 2
1 M
= =
2
dz
ρ EI
y´´ = −
M(z)
dy
P
ds
θ
Fig. 8.2
(8.3)
Ecuación diferencial de la línea Elástica
EI
dz
z
(8.4)
Cuando la barra es muy flexible y los desplazamientos no son pequeños debe utilizarse para la
curvatura la expresión rigurosa:
dy 2
1
dz 2
=−
3
ρ
  dy  2  2
1 +   
  dz  
(8.5)
Conocida en cada caso la función que define la variación del momento flector, por integración
de la ecuación diferencial 8.4 se determina la correspondiente ecuación de la línea elástica, la que
permite obtener el corrimiento máximo o “flecha”.
En la práctica usualmente se acotan los valores relativos flecha – luz (f/L). Cuando las vigas
tienen luces muy grandes y cargas de poca consideración, son frecuentemente determinantes en el
dimensionamiento las condiciones relativas a las flechas.
1
1
f 
=
a
 
500
 l  max 300
/2005
(8.6)
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Para la deducción de la ecuación de la elástica, en algunas circunstancias resulta mas práctico
partir de la ecuación del corte o de la carga. Eso no es ningún inconveniente ya que conocemos la siguiente relación:
d 2 M dQ
=
= − q( z )
dz 2
dz
(8.7)
luego:
M (z)
y ll = −
y lll = −
y lV =
EI
Q(z)
(8.8)
EI
q (z)
EI
8.1.2.2. Ejemplos de aplicación
a) Elástica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente repartida.
qL
q z2
z−
2
2
M (z) =
EI y ll = −M (z)
EI y l =
qLz 2 q z 3
−
+ C1
4
6
EI y = −
Fig. 8.3
qLz 3 q z 4
+
+ C 1z + C 2
12
24
Para encontrar las constantes de integración debemos considerar las siguientes condiciones de
borde:
y ( z = 0) = 0
→
C2 = 0
y (z=L) = 0
→
−
qL4 q L4
+
+ C 1L = 0
12
24
→
C1 =
q L3
24
(8.9)
/2005
 qL 3 q z 4 qL3
z +
+
−
24
24
 12
y (z) =
1
EI
y (z) =
qL4
24 EI

z

3
  z 4
z
 z 
−
−
2
  +  
  
L
 L  
  L 
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Por razones de simetría la flecha máxima se produce para z = L/2
f =
qL4  1
1 1
5 qL4
−
+
=
24 EI  16 4 2  384 EI
(8.10)
f =
5 qL4
384 EI
b) Elástica de una ménsula con carga uniformemente repartida
M (z ) = −
EI y ll =
EI y l =
EI y =
q z2
2
q z3
6
q z4
z =L
q
2
2
q z
24
→
fmax
z
+ C1
+ C1z + C2
y´ = 0
y =0
y (z)
y (z)
f =
L
→
→
Fig. 8.4
q L3
6
4
qL
q L4
−
+ C2 = 0
24
6
C1 = −
→
q L4
C2 =
8
 q z 4 q L3
q L4 
 24 − 6 z + 8 


4
4
qL  1  z 
4z 
=
   −   + 1
8EI  3  L 
3 L 
(8.11)
q L4
8EI
(8.12)
1
=
EI
c) Elástica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada
Pb
z
L
Pb
a < z ≤ L M (z) =
z − P(z − a)
L
Pb
z≤a
EI y´´ = −
z
L
Pb
a < z ≤ L EI y´´= −
z + P( z − a )
L
z≤a
/2005
M (z) =
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Dado que la función momento no queda
expresada mediante una única ley debemos integrar en dos campos distintos.
Pb 2
z + C1
2L
2
Pb 2 P( z − a )
EI y´ d = −
z +
+ C2
2L
2
Pb 3
EI y i = −
z + C1 z + C3
6L
EI y´ i = −
Pb 3 P(z − a )
z +
+ C2 z + C4
6L
2
2
EI y d = −
z=a
z=0
→
→
y´ i = y´ d
→
y i = yd
→
yi = 0
→
z = L → yd = 0
→
C2 =
Pb 2
(
L − b 2 ) = C1
6L
z≤a
y (z) =
a<z≤L
y(z)
C1 = C2
C3 = C4
C3 = 0
−
⇒
C4 = 0
PbL 2 Pb 3
+
+ C2L = 0
6
6
Pb
[− z 3 + (L2 − b 2 )z]
6 L EI
P  bz 3
(L2 − b 2 ) z 
3
=
−
+
(
z
−
a
)
+
b


6 EI  L
L

(8.13)
En el caso particular en que la carga se encuentra en la mitad de la luz:
f =
P L3
48EI
(8.14)
8.1.3 Método del área del diagrama de mome ntos
8.1.3.1 Teoremas del área del diagrama de momentos reducidos
Si relacionamos las ecuaciones 8.1 y 8.3 analizadas precedentemente llegamos a la siguiente
expresión:
dθ M
=
ds
EI
/2005
(8.15)
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
y siendo ds ≅ dz obtenemos:
dθ =
M
dz
EI
(8.16)
Consideremos una porción de línea elástica
comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B, tal
como se indica en la figura 8.6. Las tangentes a la línea
elástica en los puntos extremos, indicadas a través de
las segmentos AB´ y A´B, forman entre si un ángulo θ
que suponemos pequeño.
Supongamos que el diagrama entre los puntos
A1 y B1 es el diagrama de momentos flectores dividido
por EI correspondiente a la estructura que presenta la
elástica supuesta. A este diagrama lo denominaremos
“diagrama de momentos reduc idos”.
Si consideramos dos secciones de la elástica
muy próximas, separadas entre si ds, ambas secciones
presentan un giro relativo dθ. En virtud de la ecuación
8.16 ese valor resulta ser igual al área de la franja rayada del diagrama
de momentos reducidos. Luego, si integramos la ecuación 8.16 obtenemos el ángulo θ que forman las tangentes externas.
θ=
B
M
∫ EI dz
Fig. 8.6
(8.17)
A
El resultado de la integral dada por la ecuación 8.17 no es sino el área del diagrama de momentos reducidos, con lo cual puede enunciarse el siguiente teorema:
TEOREMA I: El ángulo θ comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.
Consideramos nuevamente la figura 8.6 y observemos el segmento BB’. Podemos apreciar
que cada segmento ds de la elástica contribuye a la longitud f en una cantidad z*dθ. Luego, integrando estas distancias podemos obtener el valor de f.
f =
B
B
A
A
∫ z dθ =
M
∫ EI z dz
(8.18)
M
dz es el área de la franja rayada del diagrama de momentos reduc iEI
dos, la integral de la ecuación 8.18 resulta ser el momento estático con respecto a B del área del diagrama de momentos reducidos. Esto último permite enunciar el siguiente teorema:
Dado que el producto
TEOREMA II: Dado dos puntos A y B pertenecie ntes a una línea elástica, la ordenada de B respecto a
la tangente en A es igual al momento estático con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia
a su centro de gravedad. Por otro lado,si la figura que representa el diagrama puede descomponerse
en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total
resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.
Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que
cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo,
en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.
Usualmente los dos teoremas anteriores se conocen como Teoremas de Mohr, sin embargo éstos fueron presentados por Green en 1873, Mohr había presentado en 1868 un artículo donde desarrollaba las bases del método conocido como “Método de la viga conjugada”, el que veremos luego.
8.1.3.2 Aplicaciones
a) Ejemplo 1
En este caso vamos a determinar la flecha δ
y el ángulo θ en el borde libre de la estructura en
voladizo de la figura 8.7.
Dado que la tangente a la elástica en B coincide con el eje no flexado de la viga, la flecha δ δ
resulta ser el desplazamiento de A respecto a la
tangente en B. Aplicando entonces el teorema II
tenemos:
PL L 2
PL3
δ=
L=
(8.18)
EI 2 3
3EI
P
EI=cte.
B
θ
A
L
2 L
3
PL
EI
Idénticamente, la pendiente en A es el ángulo
que forma las tangentes en A y B, por lo que según
el teorema I tenemos:
G´
Fig. 8.7
θ=
2
PL L PL
=
EI 2
2EI
(8.19)
b) Ejemplo 2
A continuación vamos a determinar el valor de
la flecha máxima que se produce en la viga simplemente apoyada de la figura 8.8.
La flecha máxima tiene lugar en el punto C
donde la tangente a la elástica es horizontal. El ángulo
entre las tangentes en A y C resulta igual a θA. Este ángulo podemos calcularlo de la siguiente manera:
Aplicando el teorema II podemos calcular la
distancia BB’.
Fig. 8.8
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
BB' =
Pab a  a
 Pab b 2
b
 + b +
EI L 2  3
 EI L 2 3
BB' =
Pab
(L + b )
6EI
La distancia anterior también puede calcularse como:
BB' = θ A L
Con lo que tenemos:
θA =
P ab(L + b )
EI
6L
(8.20)
Por otro lado, el área rayada en el diagrama de momentos reducidos también debe darnos el
valor de θA. Siendo que ya conocemos el valor de este ángulo podemos calcular z, que es la distancia
desde A hasta el punto donde la flecha es máxima.
θA =
Pb
z
P ab(L + b )
z =
→ z=
EI L 2 EI
6L
a(L + b )
3
(8.21)
Si aplicamos el teorema II podemos determinar la distancia CC’, a partir de la cual determinamos δ max .
CC' =
Pb
z z
Pb z 3
z
=
EI L 2 3 6 EI L
δ max = θ A z − CC' =
δ max =
Pb
9 3L
P ab( L + b )
Pb
z−
z3
EI
6L
6 EI L
a 3 (L + b )
3
(8.22)
c) Ejemplo 3
En este ejemplo vamos a determinar el descenso del punto D de la viga Gerber de la figura
8.9.
/2005
8
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Fig. 8.9
δ D = DD' = D' ' ' D'− D' ' ' D' '− D' ' D
D' ' D = B' B
D' ' ' D' ' = θ 3 4a
C' C B' B (C' C − B' B )
−
=
3a
3a
3a
4a
= D' ' ' D'−
(C' C − B' B ) − B' B
3a
4
1
= D' ' ' D'− C' C + B' B
3
3
θ 3 = θ 2 − θ1 =
δD
δD
δ D = D' ' ' D' −
4
1
C' C + B' B
3
3
(8.23)
Las distancias D’’’D’, C’C y B’B pueden calculase utilizando el teorema II. La distancia
D’’’D’ resulta ser igual al momento estático respecto del punto D del diagrama de momentos reduc idos comprendido entre los puntos B1 Y D1 , la distancia C’C puede calcularse como el momento estática respecto del punto C del diagrama de momentos reducidos comprendido entre los puntos B1 y C1 ,
y la distancia B’B se calcula como el momento estático respecto del punto B de la parte del diagrama
de momentos reducidos comprendidos entre los puntos A1 y B1 .
/2005
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Pa 3
Pa a 2
10 Pa 3
a 2a +
a=
EI 2
EI 2 3
3 EI
3
Pa 3a
3 Pa
C' C =
a=
EI 2
2 EI
D' ' ' D' =
Pa a 2
Pa 3
a=
3EI 2 3
9EI
3
3
10 Pa
Pa
1 Pa 3
37 Pa 3
=
−2
+
=
3 EI
EI
27 EI
27 EI
B' B =
δD
δD =
37 Pa 3
27 EI
(8.24)
8.1.4. Método de la viga conjugada
Recordemos dos ecuaciones diferenciales ya conocidas:
d 2M
= −q
d 2z
(8.25)
d 2y
M
=−
2
d z
EI
(8.26)
Como ya sabemos, la ecuación 8.25 relaciona el momento flector con la carga aplicada, mientras que la ecuación 8.26 da la relación existente entre la elástica y el momento flector reducido, tal
como denominamos a la relación M/(EI) en el ítem anterior.
Si consideramos al diagrama de momentos reducidos o diagrama de curvaturas, como un diagrama de cargas ficticias q* = M/(EI) aplicado sobre una viga también ficticia y que llamaremos “viga
conjugada”, de la identidad formal entre las dos ecuaciones anteriores surge que la línea elástica de
una viga coincide con el diagrama de momentos ficticios M* producido en todas las secciones de su
viga conjugada cargada con la carga q* . En otras palabras:
y = M*
(8.27)
Esta última conclusión se conoce como Teorema de Mohr sobre la linea elástica, y al diagrama de momentos reducidos utilizando como carga se lo denomina “carga elástica”.
Si la viga es homogénea y de sección constante (EI= cte), la viga conjugada puede cargarse directamente con el diagrama de momentos, siempre que luego los resultados sean divididos por EI.
Si derivamos la ecuación 8.27 obtenemos:
y ' = tg θ =
dM *
= Q∗
dz
(8.28)
siendo Q* el esfuerzo de corte ficticio originado en la viga conjugada por la carga q* .
La ecuación 8.28 nos muestra que el diagrama de esfuerzos de corte Q* nos da, para cualquier
sección de la viga real, el valor de la tangente de la línea elástica. Dado que el esfuerzo de corte Q* en
los extremos de la viga conjugada se corresponde con las reacciones de vínculo, éstas representan
numéricamente los giros de la elástica de la viga real en correspondencia con sus apoyos.
/2005
10
ESTABILIDAD II
R ∗A = θ A
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
R ∗B = θ B
(8.29)
En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas
elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real,
sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas.
Fig. 8.10
Fig. 8.10
Consideremos el ejemplo de la figura 8.10. En el punto A no tenemos flecha ni pendiente, en
el punto B hay un descenso y además la pendiente a la derecha es distinta que a la izquierda, en el
punto C no hay descenso pero sí existe un giro, y en el punto D tenemos flecha y pendie nte.
No hay flecha
→
No hay pendiente
→
(A )
∗
M =0 

 La viga conjugada debe tener un extremo libre
∗
Q = 0 
→ M ≠ 0



∗
(B) Hay pendiente y resulta → Q i ≠ 0  La viga conjugada debe tener un apoyo móvil intermedio

distinta a derecha que a
Q ∗d ≠ 0 

izquierda

Hay flecha
∗




(C) Hay pendiente y resulta
 La viga conjugada debe tener una articulaci ón simple
∗
∗
igual a derecha que a → Q i = Qd ≠ 0 

izquierda
No hay flecha
/2005
→ M∗ = 0
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
∗
Hay flecha
→
M ≠0
Hay pendiente
→
Q∗ ≠ 0
(D )


 La viga conjugada debe tener un empotramie nto


Las conclusiones que hemos obtenido apoyándonos en el ejemplo citado pueden generalizarse
de la siguiente manera:
VIGA CONJUGADA
VIGA REAL
En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente indeterminadas, la viga
conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente queda resuelto cuando se carga a la misma, ya
que el propio estado de cargas le confiere estabilidad.
8.2 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADA
8.2.1 Resolución por superposición
Consideremos la estructura de la figura
8.11, que consiste en una viga sustentada en A
mediante un apoyo fijo y en B y C mediante dos
apoyos móviles. Debido a las cargas actuantes,
en los vínculos mencionados aparecen reacciones. Si realizamos el diagrama de cuerpo libre y
planteamos las condiciones de equilibrio podemos ver que por tratarse de una chapa plana, sólo pueden formularse tres ecuaciones de equilibrio linealmente independientes, mientras que
tenemos cuatro incógnitas.
∑X= 0
/2005
∑Y = 0
∑M =0
(8.30)
Fig. 8.11
12
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Dado que las ecuaciones 8.30 no son suficientes para determinar las cuatro reacciones, decimos que la viga resulta “estáticamente indeterminada” o “hiperestática”. En lo que respecta a la Estática, no hay manera alguna de determinar las reacciones en los apoyos tratando al cuerpo como rígido; éstas solamente pueden calcularse si analizamos las deformaciones de la estructura.
Una forma de resolver estáticamente la
estructura planteada es la siguiente:
a- En primera instancia quitamos el apoyo en B. Dado que a pesar
de ello la estructura sigue siendo estable, decimos que este
apoyo es “superabundante”. Algo semejante hubiese ocurrido
si en lugar de eliminar el apoyo en B hubiésemos quitado el
apoyo en C.
b- A continuación estudiamos la estructura simplemente apoyada
que nos queda, la cual se denomina “sistema primario o fundamental”.
Este sistema se deforma, y su elástica presenta un corrimiento
vertical δ’B en correspondencia con el apoyo eliminado. Si suponemos la existencia de una carga concentrada RB, ésta actuando independiente
produce una elástica que genera en correspondencia
con B un desplazamiento δ 'B' .
c- Finalmente, dado que el desplazamiento δ B = 0 tenemos:
δ B = δ 'B − δ 'B' = 0
(8.31)
Fig. 8.12
Esta ultima ecuación nos permite obtener el valor de RB, y conociendo su valor, con las ecuaciones de la Estática determinamos las reacciones faltantes.
Para clarificar estas ideas a continuación vamos a resolver el ejemplo de la figura 8.13.
En el sistema primario, bajo la acción de la carga repartida tenemos:
5 q(2L )
384 EI
4
δ 'B =
(ver ec. 8.10)
Bajo la acción de RB tenemos:
δ 'B' =
R B (2L) 3
48 EI
(ver ec. 8.14)
4
R B (2L )3
5 q(2L )
→
=
48 EI
384 EI
5
5
R B = q(2L) = qL
8
4
δ 'B'
= δ 'B
Por simetría:
1
5

 q2L − qL 
2
4

3
VA = R C = qL
8
VA = R C =
/2005
13
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Fig. 8.13
Para resolver este tipo de viga nos basamos en el Método o Principio de superposición”.
8.2.2 Vigas hiperestáticas de un solo tramo
En lo que sigue resolveremos algunos ejemplos de las vigas hiperestáticas de un solo tramo,
aplicando el método de superposición.
a) Viga empotrada – empotrada sometida a una carga concentrada
Elegimos como sistema primario la viga simplemente apoyada indicada en la figura 8.14 En este caso tenemos dos incógnitas
hiperestáticas por calcular, MA y MB, ya que al no existir cargas
horizontales las reacciones HA y HB son nulas.
Los giros en los extremos A y B pueden determinarse por superposición de efectos de la siguiente manera:
P
a
A
b
B
C
P
MA
MB
L
P
θ A = θ Ao + θ A1 + θ A2 = 0
θ B = θ Bo + θ B1 + θ B 2 = 0
El ángulo θAo ya fue determinado en el art. 8.1.3.2 (ver ec.
8.20)
P ab
L
MA
θ Ao =
P ab (L + b )
EI
6L
MA
En forma semejante a lo realizado oportunamente, puede
demostrarse que:
θ Bo = −
P ab (L + a )
EI
6L
θB1
θA1
θB2
θA2
MA
Fig. 8.14
/2005
θBo
θAo
RA
MB
MC
MB
RB
14
ESTABILIDAD II
CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN
Los ángulos θA1 y θB1 pueden ser calculados aplicando el teorema II del área del diagrama de
momentos reducidos.
MA L 2
θ A1 L =
L
EI 2 3
M AL
θ A1 =
3EI
M L L
θ B1 L = − A
EI 2 3
M L
θ B1 = − A
6EI
En forma idéntica obtenemos los giros θA2 y θ B2
M L
θA 2 = B
6EI
M L
θB2 = − B
3EI
Luego resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones podemos determinar los valores de las
incógnitas hiperestáticas.
L
L
P ab (L + b )
MA +
MB = −
3EI
6EI
EI
6L
L
L
P ab (L + a )
MA +
MB = −
6EI
3EI
EI
6L
ab 2
L2
a2 b
M B = −P 2
L
M A = −P
(8.32)
(8.33)
P
a
Una vez conocidos los valores correspondientes a MA y
MB es muy simple calcular las reacciones verticales y si interesa, el momento máximo MC.
A
C
b
B
P
b) Viga empotrada – articulada sometida a una carga concenMA
trada
Este caso es semejante al anterior pero mucho más
simple ya que tenemos sólo una incógnita hiperestática por determinar.
P ab(L + b )
θ Ao =
EI
6L
M L
θ A1 = A
3EI
MA
θ A = θ Ao + θ A1 = 0
MA = −
/2005
Pab (L + b)
2 L2
(8.34)
L
P
θAo
θA1
Fig. 8.15
15
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
9
SOLICITACIONES COMPUESTAS
9.1 – FLEXION RECTA COMPUESTA
Esta situación se presenta cuando en una sección
tenemos N ≠ 0, Mx ≠ 0,(o My ≠ 0), de modo que puede
aplicarse la ecuación general de la flexión:
σ=
Mx
N
+
y
Ω
Ix
(9.1)
(9.1)
Puede verse que el diagrama de tensiones es lineal,
pero aparece una situación diferente en lo que respecta a la
flexión recta simple, el eje neutro deja de ser baricéntrico. Si
queremos determinar su posición debemos hacer σ = 0
σ=
N Mx
+
y=0
Ω
Ix
yo = −
N Ix
Mx Ω
(9.2)
El problema de la sección compuesta puede ser
considerado como resultado de la acción de una fuerza
normal a la sección actuando en forme excéntrica con
respecto al centro de gravedad.
Para que la flexión sea recta es necesario que la
carga este ubicada sobre alguno de los ejes principales de
inercia. La fuerza N aplicada en el punto a de la figura
resulta equivalente a los esfuerzos indicados actuantes en
(9.2)
9.2
G.
Mx = N ⋅ e
/2005
σ=
N Mx
N N ⋅e
+
Y=
+
y
Ω
Ix
Ω
Ix
σ=
N
Ω
Ω

1 + e Ix

y

1
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
Ix =
Si
σ=
N
Ω
1
i 2X

e 
1 + 2 y 
i X 

(9.3)
Si determinamos que a partir de esta ultima ecuación la posición del eje neutro tendremos:
yo = −
i 2X
(9.4)
e
Podremos ver que Yo tiene signo contrario al de e, lo que significa que el eje neutro se desplaza del eje x en sentido contrario al de la ubicación de la carga. Analicemos a continuación algunos
casos particulares:
e → 0 ⇒ yo → ∞
Esto es lógico pues estamos ante un caso de solicitación axial
e → ∞ ⇒ yo → 0
Este sería un caso de flexión simple
El diagrama de tensiones también puede ser obtenido por superposición de efectos:
σ1 =
N M
N
M
+
c1 =
+
< σ adm
Ω
I
Ω W1
σ2 =
(9.5)
(9.6)
N
M
N
M
−
c2 =
−
< σ adm
Ω
I
Ω
W2
σ2M
σ2
M
c2
c1
= y0
+
Z
G
N
σ1M
σ=M y
Ι
σ= N
Ω
σ1
Fig.9.3
En este tipo de problema el dimensionamiento no es directo ya que hay mas parámetros
geométricos incógnitas que ecuaciones. El procedimiento usual es el siguiente:
1) Se desprecia el termino N/Ω, que suele ser el de menor incidencia en el valor de la tensión.
(
2) Se adopta un valor de tensión admisible minorado σ *adm ≅ 0 ,8σ adm
W1 ≥
/2005
M
σ*adm
)
(9.7)
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
3) Con el valor de W1 (o de W2 según el caso) se elige la sección y luego se verifican las
ecuaciones 9.5 y 9.6. Si la sección no se encuentra en buenas condiciones debe elegirse
otra.
Ya hemos visto que el eje neutro no resulta baricéntrico y que la posición del mismo es
función de la excentricidad de la carga. Si pensamos originalmente en un esfuerzo normal centrado
que puede desplazarse sobre el eje “y”, podemos encontrar una posición de la carga para la cual el
diagrama de tensiones resulta triangular, y que el eje neutro coincida con la fibra superior o inferior de
la sección.
n1
2
c2
N2
K2
n1
yo = c2
k2
c1
k1
z
N1
yo = c1
K1
n2
1
n2
Fig. 9.4
Llamaremos “distancia nuclear” a la excentricidad de la carga con respecto al baricentro que
hace que el eje neutro se coloque tangente a la sección. El punto de aplicación de la carga se denomina
“punto nuclear”. Las expresiones correspondientes a las distancias nucleares pueden obtenerse de la
expresión de yo , la cual tomaremos en valor absoluto.
i 2x
n
n
e=
yo
σ2
2
ix
Ix
W2
(9.8)
k1 =
=
=
c2
Ω ⋅ c2
Ω
K2
2
i
Ix
W
G
(9.9)
k2 = x =
= 1
e
z
c1
Ω ⋅ c1
Ω
K1
N
σ1
Si la carga se ubica en cualquier punto dentro de
Fig. 9.5
los puntos nucleares, el diagrama de tensiones tendrá un
solo signo, es decir, el eje no cortará la sección.
Todo lo que hemos desarrollado hasta este momento es válido para el caso de flexión recta
compuesta transversal o pura.
En lo que respecta al esfuerzo de corte vamos a realizar una aclaración muy importante. En la
fórmula de Colignon se calculan momentos estáticos y de inercia respecto al eje de inercia correspondiente a un caso de “flexión simple. Las tensiones rasantes que dan origen a la presencia de tensiones
tangenciales aparecen como consecuencia de la variación de momento flector en dos secciones muy
próximas. El esfuerzo normal no produce tensiones rasantes. Por lo tanto, aun en la flexión compuesta, el eje neutro a que se hace referencia en la formula de Colignon es el que correspondería si la
flexión fuese simple.
9.2 – FLEXION OBLICUA COMPUESTA
Como ya lo habíamos dicho en el capítulo 6, este es el caso más general de flexión. Ocurre
cuando tene mos un momento flector cuyo plano de actuación no coincide con un eje principal de
inercia y un esfuerzo normal.
/2005
3
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
N ≠ 0 ; Mx ≠ 0 ; My ≠ 0
σ=
N Mx
My
+
y+
x
Ω
Ix
Iy
(9.10)
También se presenta este caso cuando existe una carga excéntrica normal a la sección, cuyo
punto de aplicación no coincide con ningún eje principal de inercia.
Mx = N ⋅ ey
My = N ⋅ ex


N Mey
Mex
N
ey
ex 
σ=
+
y+
x=
1+
y+
x

Ix
Iy
Ω
Ix
Iy
Ω

Ω
Ω 
N
ey
ex 
σ=
1 + 2 y + 2 x 
Ω 
ix
i y 
(9.11)
Si deseamos encontrar la posición del eje neutro debemos plantear σ = 0.
1+
ey
ex
y+ 2 x=0
2
ix
iy
Si x = 0 → yo = −
Si y = 0 → xo = −
(9.12)
i 2x
ey
i 2y
ex
Los valores de xo e yo pueden obtenerse gráficamente.
tgα =
ix
ey
=
yo
ix
ey
i 2x = yo ⋅ ey
yo = −
i
2
x
ey
α
90º
x
(9.13)
y0
x
α
ix
/2005
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
El signo menos que debería aparecer en la ecuación 9.13 queda implícito en la construcción
gráfica al ubicarse yo del otro lado del eje x.
En la construcción de la figura 9.7 podemos ver que, como en el caso de la fle xión oblicua
simple, el eje neutro resulta no ortogonal con el eje de las fuerzas, aunque en estas circunstancias no
resulta baricéntrico.
En cuanto al problema de dimensionamiento deberíamos decir que salvo para el caso de secciones con dos ejes de simetría, la aplicación de la formula 9.10 no permite obtener fácilmente los parámetros geométricos requerido, por lo que generalmente se adopta la sección y luego se verifica. Si
estamos en el caso donde la sección a adoptar es doblemente simétrica, como por ejemplo un rectángulo, la tensión máxima se va a producir en alguno de los cuatro vértices, donde los tres términos se
suman valor absoluto.
N Mx My N Mx My
+
+
=
+
+
= σ adm
Ω Wx Wy Ω bh 2
hb 2
6
6
h
si se adopta una cierta relación
= η → h = η⋅b
b
σ max =
σ adm =
N
6Mx 6My
+ 2 3 +
2
η⋅b
η b
η ⋅ b3
σ adm b 3 −
→
σ adm b 3 =
N⋅b
 Mx My 
+ 6 2 +

η
η 
η
N⋅b
 Mx My 
− 6 2 +
=0
η
η 
 η
(9.14)
Resolviendo la ecuación cúbica anterior se obtiene b y luego h.
Otra forma de plantear el problema de la flexión oblicua compuesta es aplicar superposición de
efectos. Podemos pensar en la actuación independiente del momento flector M y de la fuerza normal
N. La actuación exclusiva del momento flector M da origen a un problema de flexión oblicua simple
donde las tensiones normales pueden expresarse a través de la fórmula de un termino:
/2005
5
ESTABILIDAD II
σ=
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
Msenβ
y no
I no
(9.15)
La combinación de ambos efectos da origen a la
expresión que sigue, conocida como “formula de dos
términos” en la flexión oblicua compuesta:
σ=
N M .senβ
+
y no
Ω
Im
(9.16)
La posición del eje neutro puede expresarse de la
siguiente manera:

N
e .senβ

M =N⋅e →
σ = 1 +
y
m 
Ω 
i 2m

σ =0
→
e.senβ
1+
y m0 = 0
i 2m
→
y mo = −
i 2m
e.senβ
(9.17)
El eje neutro resulta paralelo al que correspondería a la flexión oblicua simple (no ), separada de
este una distancia yn , y ubicado con respeto al baricentro en forma opuesta a la excentricidad de la
carga N.
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
9.3 – NUCLEO CENTRAL
Ya hemos visto que la flexión oblicua compuesta es resultado de la acción de una fuerza
normal excéntrica. El punto de paso de esa fuerza se denomina “centro de presión”.
Si el centro de presión coincide con el baricentro de la sección, el diagrama de tensiones normales es uniforme. En la medida que la carga se aleja del baricentro, el diagrama se va inclinando,
hasta cambiar de signo dentro de la propia pieza. Se denomina “núcleo central” de una sección al lugar geométrico de los infinitos puntos que, tomados como centro de presión, originan en esta tensiones de un mismo signo.
El conocimiento del núcleo central de una sección tiene mucha importancia para el estudio de
la flexión compuesta en materiales que, como la mampostería o e Hormigón simple, no trabajan adecuadamente a la tracción. En estos, para obtener un óptimo funcionamiento es necesario que la carga
normal se ubique dentro del núcleo central.
n5
n1
n2
n3
A
n1
B
K4
C
K5
G
K3
K2
K1
D
n3
n4
n5
E
n4
n2
Para la ubicación del núcleo central es necesario encontrar todos los centros de presiones que
determinan su contorno, lo cual ocurre cuando estos
coinciden con los “puntos nucleares”, es decir, son tales
que originan ejes neutros que son tangentes a la sección
y además no la cortan en ningún punto.
En la figura 9.10 se muestran los ejes neu-tros
que dan el contorno del núcleo central para la sección
indicada. En los puntos A, B, C, D y E exis-ten
infinitos ejes neutros, los que pivotando sobre ellos
giran desde una posición extrema hasta otra. Cuando
esto ocurre es posible demostrar que los centros de
presiones relacionados a cada eje neutro se emplazan
sobre una recta. Esto último es suma- mente importante
ya que si se conocen los centros de presiones
correspondientes a dos ejes neutros tales como en n1 y el n5 , por ejemplo, el segmento que
se obtiene al unir ambos puntos define una parte del
contorno del núcleo central.
Fig. 9.10
Dado un eje neutro, si se desea saber la posición del centro de presiones correspondiente, sus
coordenadas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:
xk =
yk =
I y ( y A − y B ) − I yx ( x A − x B )
Ω( y B x A − y A x B )
I xy ( y A − y B ) − I x ( x A − x B )
Ω(y B x A − y A x B )
donde: Ix, Iy e Ixy son momentos de inercia y producto de inercia de la sección, y Ω es el área.
(xA, yA) e (xB, yB( son coordenadas de dos puntos, A y B pertenecientes al eje neutro.
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
r
h
3
h
r/4
b
3
b
Fig. 9.11
Para las figuras elementales el núcleo central puede definirse directamente considerando las
distancias nucleares tal como las definimos en el ítem 9.1.
9.4 – FLEXOCOMPRESION SIN TRACCION ADMISIBLE
Existen materiales como el hormigón simple y la mampostería de
ladrillos, que si bien trabajan perfectamente a la compresión, en cambio
resisten muy poco a la tracción. En estos casos, al verificar secciones sujetas
a flexión compuesta es necesario desarrollar una teoría partiendo del hecho
que, para tales secciones las condiciones de equivalencia deben satisfacer
teniendo en cuenta solamente tensiones de compresión y prescindiendo por
completo de las de tracción.
Esta situación se presenta también es la sección de contacto entre
dos cuerpos como en el caso de una base de hormigón apoyada sobre el
suelo. Es evidente que entre ambos materiales podrán existir presiones pero
no tracciones.
Por simplicidad solamente vamos a tratar el problema cuando la
carga normal presenta excentricidad sobre un eje de simetría.
La carga está ubicada fuera del núcleo central, de manera tal que si el
material fuese capaz de absorber tracción se tendría un diagrama de
tensiones como el (a) en la figura 9.12. Siendo que no es posible absor-ber
tracción el diagrama de tensiones que origina el equilibrio interno es como
el (b).
Por razones de equilibrio:
N = N’
y el punto de paso de la resultante N’ debe coincidir con la recta de acción
de N.
Supondremos que tiene validez la Ley de Hooke y la hipótesis de Navier-Bernouilli de las
secciones planas.
σ = ψ ⋅ yn
N' =
∫ σ ⋅ dΩ = ∫ ψ ⋅ y
Ae
n
⋅ dΩ
Ae
N' = ψ ⋅ S en = N
/2005
8
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
N
(9.21)
S en
El área rayada en la figura 9.12, que es la parte de la sección
que realmente trabaja, se denomina “sección eficaz”.
S en : momento estático respecto del eje neutro de la sección
eficaz.
ψ=
Si llamamos eo a la excentricidad de la carga exterior respecto
del eje neutro tenemos:
N ⋅ eo =
∫ψ ⋅y
Ωe
2
n
⋅ d Ω = ψ ∫ y n ⋅ dΩ
N ⋅ e o = ψ ⋅ I en = N
2
Ωe
I
e
n
e
n
S
I en : momento de inercia de la sección eficaz con respecto al
eje neutro.
eo =
I en
(9.22)
S en
he = e o + c
(9.23)
σ max = ψ ⋅ he =
N
he
S en
(9.24)
Es evidente que conociendo la posición del eje neutro el problema está resuelto, en especial en
secciones que no son simples. Si consideramos el caso de una sección rectangular tenemos:
e>
h
6
3
b ⋅ he 
b ⋅ he 3
In =

2
3
3
e o =
= he
2
2
b ⋅ he
3
b ⋅ he 
S en =

2
2 
e
he = e o + c =
σ max =
2
he + c → he = 3c
3
N
N
2 N
he =
=
2
b ⋅ ( 3c) 3 bc
b ⋅ he
2
2
En este caso los resultados obtenidos podrían haber sido anticipados; en efecto, siendo el
ancho constante, la resultante debe estar a un tercio de he
/2005
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
9.5 – TORSION COMPUESTA
9.5.1 - Concepto
Este problema se presenta cuando la reducción de fuerzas que solicitan un sólido, al baricentro
de una sección cualquiera del mismo, origina un momento torsor más otros tipos de esfuerzos
internos, usualmente de flexión y corte, y en algunos casos también esfuerzo normal.
Este caso sería el más general que puede presentarse en un problema de análisis de tensiones
en la Resistencia de Materiales. La herramienta más poderosa que utilizaremos para resolverlo es la
aplicación del principio de superposición de efectos. Así, todo lo que ya hemos estudiado nos resulta
de mucha utilidad.
Los estados tensionales se obtienen como superposición de los correspondientes a cada uno de
los esfuerzos por separado. En la verificación de piezas deberá comprobarse que en los puntos donde
aparecen estados tensionales simples (Normal o corte puro), las tensiones estén por debajo de los
valores admisibles; y en aquellos lugares donde los estados sean múltiples, deberá comprobarse la
teoría de rotura que corresponda.
9.5.2 – Ejes sometidos a Flexo-torsión
Si consideramos el siguiente ejemplo y analizamos la sección del empotramiento tenemos el
estado de tensiones indicado en la figura 9.14.
Si tomamos un elemento ubicado en un punto como el 1, podemos ver que el mismo está
solicitado por un estado doble de tensiones.
σ1 =
/2005
Mf
Mf
=
Wf
πD 3
32
(9.25)
10
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
σ1
τ1
σ1 =
Mt
Mf
Mt
=
=
3
Wt
πD
2Wf
16
(9.26)
Fig. 9.15
Si el material tiene un comportamiento frágil deberá utilizarse para su dimensionamiento la
Teoría de falla de Rankine (σmax).
σ c = σ princ
1
2Wf
σc =
Wf ≥
σ1
2
1
Mf
1  Mf 
 Mt 
=
±
σ12 + 4τ 21 =
±

 + 4

2
2
2Wf
2  Wf 
 2 Wf 
2
 Mf ± Mf 2 + 4Mt 2  ≤ σ
adm


1
2σ adm
Mf ±

Mf 2 + 4Mt 2 

Para dimensionamiento el diámetro necesario sería:
D=
3
32
2π σadm
Mf ±

1
Mf 2 + 4Mt 2  = 1,723

σ adm
 Mf ± Mf 2 + 4Mt 2 


Si el material tiene un comportamiento dúctil, debería aplicarse la Teoría de falla de HuberHencky-Von Mises (también podría utilizarse la teoría de Guest).
2
2
1
 Mf 
 Mt 
σc = σ + 3τ = 
Mf 2 + 0,75Mt2
 + 3
 =
Wf
 Wf 
 2Wf 
2
1
2
1
Para dimensionar, el diámetro necesario:
D=
3
32
1
Mf 2 + 0,75Mt 2 = 2.173
π σadm
σadm
Mf 2 + 0,75Mt 2
Si consideramos un elemento ubicado en la posición del punto 4 (o el 2 según el sentido del
Mt), veremos que en el mismo aparece aumentado el corte puro:
τ 4 = τ Mt max + τQ max
τ4 =
τ4
Mt
4 Mt
+
3
πD
3 πD 2
16
4
Fig. 9.16
/2005
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS
Si conocemo s el valor de τ adm, planteamos que τ ≤ τ adm. De no ser así, aplicamos las Teorías
de falla acorde con el material; se calcula la tensión de comparación σc y luego hacemos que σc ≤
σadm .
En un elemento como el 3 la situación es similar a la del elemento ub icado en el punto 1.
En el caso de que en una sección circular actúen simultáneamente momentos flectores Mx,
My y momento torsor Mz, se calcula el momento flector resultante Mf = Mx 2 + My 2 , con este
Mf R
valor se determina la tensión normal máxima σmax =
. Dicha tensión corresponde a los
Wf
elementos ubicados en la periferia, los que a su vez están sometidos a las tensiones tangenciales
máximas por torsión.
Fig.9.17
Para el dimensionamiento y verificación, se calcula la tensión de comparación sobre la base
de los valores de σmáx y τMtmáx señalados.
/2005
12
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
10
PANDEO
10.1. CONSIDERACIONES GENERALES
10.1.1. INTRODUCCIÓN
Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales y de máquinas se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis
de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se
tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben
hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de deformación dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquier otro de los vistos
anteriormente.
Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza
axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D, no surgiría ninguna
cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por
otra parte, la misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial
aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable, presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se somete a compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no
es suficiente para predecir el comportamiento de tal miembro.
El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de
compresión. Placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas, sin arriostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío, así como cascos de submarinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión
externa y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión1 . Durante algunas etapas de su encendido, las delgadas cubiertas de los cohetes o proyectiles autopropulsados se cargan críticamente a compresión. Estos son problemas de primordial importancia en el diseño de ingeniería. Además, por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en
miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas.
El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista
anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna. Utilizándolo como ejemplo, sin embargo se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno
de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis.
10.1.2. EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE
Sabemos que es condición necesaria pero no suficiente, para que la configuración tomada por
un cuerpo sometido a fuerzas sea permanente, que todas las fuerzas que actúen estén en equilibrio
1
Como ejemplo, ver Figura 14.1 del libro “Introducción a la mecánica de sólidos” – E. Popov – Ed. Limusa. 1992.
/2005
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
entre sí; y sabemos también que esta condición es suficiente si el equilibrio de las fuerzas es estable.
Si el equilibrio es inestable, la configuración es extremadamente precaria, de modo que si existe una
causa perturbadora, el sistema se aparta de esta configuración y ya no la vuelve a tomar. En el caso
límite en que el equilibrio es indiferente el sistema puede mantenerse en su configuración o pasar a
otras configuraciones muy próximas a la primera, deteniéndose en alguna cualquiera de éstas.
Una forma clásica de determinar si el equilibrio es estable consiste en desviar muy poco el
sistema de su configuración mediante una causa perturbadora cualquiera y ver que sucede cuando ésta
cesa. Si el sistema retoma la configuración inicial el equilibrio es estable, si se aleja aún más de ella el
equilibrio es inestable; y por último, si el sistema permanece en la posición final el equilibrio es
indiferente.
Vamos a tratar de clarificar más aún estos conceptos
estudiando el comportamiento de las tres esferas del esquema de
la figura 10.1. Si en el caso (a) hacemos mover la esfera sobre la
superficie y luego la soltamos, intuitivamente podemos
reconocer que la esfera volverá a su posición inicial. Este es un
caso de equilibrio estable. Si en la situación (b) cambiamos
levemente a la esfera de posición, ésta ya no retomará la posición
inicial sino que seguirá rodando, ésta es entonces una situación
de equilibrio inestable. Si en el caso (c) movemos la esfera, ésta
permanecerá en el nuevo lugar o próximo a éste, constituyendo
entonces un estado de equilibrio indiferente.
Todo esto que puede ser comprendido intuitivamente
puede ser explicado más científicamente si lo analizamos desde
un punto de vista energético.
En el caso (a), para mover la esfera y llevarla a una
posición distinta debe realizarse un trabajo, el cual se transforma
en energía potencial gravitatoria. Si la causa perturbadora cesa,
esta energía potencial acumulada tenderá a transformarse en
Fig. 10.1
energía cinética y la esfera rodará, llegará hasta el fondo y
probablemente subirá por la otra ladera, oscilando en torno del
fondo hasta que por fricción, el trabajo entregado originalmente se haya transformado totalmente en
calor, permaneciendo la esfera en el lugar donde la energía potencial es mínima. Por esta razón el
equilibrio es estable.
En el caso (b), al moverse un poco la esfera pierde energía potencial, la cual se transforma en
energía cinética, de esta forma adquiere velocidad y continúa con el movimiento iniciado. Resulta
evidente entonces que el equilibrio es inestable.
Finalmente para mover la esfera de la situación (c) debe realizarse un
cierto trabajo, el cual se transfo rma fundamentalmente en energía cinética. La
esfera adquiere velocidad y cambia de posición, pero cuando la perturbación
termina, la energía adquirida se transforma en calor por fricción, con lo que la
esfera se detiene, si bien no en la última posición, en una muy próxima a ésta.
Este es entonces un caso de equilibrio indiferente.
A continuación vamos a analizar la estabilidad de una configuración de
equilibrio en una estructura simple. Se trata de una barra rígida, recta, vertical,
empotrada elásticamente en su extremo inferior mediante un resorte que
reacciona proporcionalmente al giro de la barra, y sometida en su extremo
superior a una carga vertical P de compresión.
La posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la
cual deseamos averiguar si es estable. Es posible demostrar que el equilibrio
puede ser estable o inestable, dependiendo ello de la carga P. La carga a partir de
Fig. 10.2
/2005
2
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
la cual el equilibrio se transforma en inestable recibe el nombre de “Carga crítica”.
Para justificar lo que hemos dicho vamos a aplicar en el borde superior
de la barra una carga horizontal infinitesimal de modo que la barra se aparte
de su posición original y luego eliminamos la fuerza perturbadora.
Supongamos que la posición última también es una configuración de
equilibrio, con lo que deberá verificarse la correspondiente igualdad entre el
momento exterior el momento elástico interno.
P . A' A" = P . l . sen ϕ = m . ϕ
→
P=
m ϕ
.
l sen ϕ
(10.1)
Si tomamos en cuenta que cuando P → Pcrít debe ocurrir que ϕ → 0 y
como:
lim
ϕ→ 0
ϕ
=1
sen ϕ
;
entonces:
Fig. 10.3
Pcrít =
m
l
(10.2)
Como sabemos la función ϕ / sen ϕ ≥ 1, con lo que la expresión [10.1] nos da la relación entre P y ϕ
para P ≥ Pcrít .
Observando la gráfica de la función dada por la expresión [10.1] podemos ver que para valores
de la carga inferiores a Pcrít existe una sola configuración de equilibrio, la vertical por lo tanto el equilibrio es estable. En efecto, consideremos por ejemplo una carga:
/2005
3
ESTABILIDAD II
P=
CAPITULO X: PANDEO
1
1m
Pcrít =
2
2 l
y supongamos que existe otra configuración de equilibrio distinta de la vertical, entonces debería cumplirse la ecuación de equilibrio anterior para ϕ ≠ 0.
P .l .senϕ = m .ϕ
1 m
. . l . sen ϕ = m . ϕ
2 l
→
1
sen ϕ = ϕ
2
(10.3)
La ecuación última se cumple solamente para ϕ = 0, es decir, para la barra en posición vertical,
con lo que bajo cualquier perturbación horizontal, la barra volvería a su posición original.
Para los valores de la carga superiores a Pcrít podemos ver que existen dos configuraciones de
equilibrio posibles. En efecto, supongamos una carga P = 1,275 Pcrít , de la gráfica de la figura 10.4
podemos ver que ϕ = 38 π satisface la relación [10.1], luego, la barra vertical o girada un ángulo ϕ como el indicado constituyen dos configuraciones de equilibrio posib les para carga indicada.
Se acostumbra a decir, con cierta impropiedad, que para la carga crítica el equilibrio es indiferente. En rigor, la configuración de equilibrio vertical pasa sin solución de continuidad de la condición
de estable a la condición de inestable siendo la carga crítica la última carga para la cual la configuración es estable.
Para P > Pcrít se produce la llamada “bifurcación del equilibrio” porque existen dos formas de
equilibrio posibles, una inestable (la vertical), y otra estable con una cierta rotación ϕ que depende del
valor de la carga.
10.2 PANDEO EN EL CAMPO ELÁSTICO
10.2.1. COLUMNA DE EULER
Los primeros problemas de estabilidad elástica relativos al pandeo de barras
comprimidas fueron resueltos por Euler. El problema planteado por éste y que nosotros vamos a estudiar a continuación es similar al analizado en ítem anterior, bajo
las siguientes condiciones:
§ La barra es de un material perfectamente homogéneo y elástico, es decir que
verifica la Ley de Hooke y en el estado de tensiones alcanzado no se supera
la tensión de proporcionalidad.
§ Su eje es idealmente recto.
§ La carga está exactamente centrada.
§ Los vínculos son ideales, sin rozamiento, de los tipos indicados en la Figura
10.5
En las condiciones que hemos enunciado precedentemente la posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos saber si es
estable.
Para determinar esto comenzamos por hacer actuar una fuerza perturbadora
horizontal infinitésima, y suponemos además que el equilibrio vertical es indiferente, de modo tal que la barra pasa a otra configuración de equilibrio curvada como la que se indica en la Figura 10.6.
Para una sección genérica ubicada a una abscisa “x” la barra tiene un des/2005
Fig. 10.5
Fig. 10.6
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
plazamiento “y”. Si planteamos el equilibrio entre el momento externo y el momento elástico interno
tendremos:
P .y = −E.I.y"
(10.4)
P .y + E.I.y" = 0
P
.y = 0
E .I
P
Si llamamos α 2 =
E.I
y" +
llegamos a la siguiente ecuación diferencial:
y"+ α 2 .y = 0
(10.5)
cuya solución general es la siguiente:
y = A . sen α . x + B . cos α . x
(10.6)
Imponiendo condiciones de borde tenemos:
x=0
→
y =0
→
B=0
(10.7)
x= l
→
y =0
→
A . sen α . l = 0
(10.8)
Para que se cumpla la nulidad de la ecuación [10.8] pueden ocurrir dos situaciones:
a) A = 0
En este caso obtenemos como ecuación de la elástica la función idénticamente nula, que estaría
representando a la configuración vertical de la barra. Lógicamente este caso no es el que nos interesa
pues estamos buscando otras configuraciones de equilibrio.
n .π
b) sen α . l = 0
→
α=
(donde n: número entero)
l
Si recordamos:
P
n 2 .π 2
α2 =
→
P = E.I. 2
(10.9)
E .I
l
Para valores de la carga P que verifique la ecuación [10.9] se obtienen
distintas elásticas que corresponden a configuraciones de equilibrio de la barra. La
menor de todas las cargas que genera la situación indicada en el último párrafo
corresponde a n = 1. Dicha carga es la “Carga crítica”.
Pcrít = π 2 .
E.I
l2
(10.10)
Vemos que la expresión de la elástica correspondiente a ella es:
y = A .sen
π .x
l
Fig. 10.7
la cual queda indeterminada, ya que no hemos encontrado el valor de A puesto que siendo α = π / 2,
la condición de borde A . sen α.l = 0 implica A . 0 = 0, de donde no es posible despejar la constante.
/2005
5
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Esto en realidad ocurre porque hemos usado como valor de la curvatura 1 / ρ = y”, en lugar de la
expresión exacta:
1
y"
=
ρ (1 + y' 2 ) 3 / 2
(10.11)
La aproximación anterior es válida cuando las deformaciones son pequeñas, por lo que debemos concluir que la solución encontrada para la carga crítica es el límite de las cargas P cuando la
configuración de equilibrio curvada se acerca tanto como se quiere a la vertical.
Finalmente podemos analizar el significado que tienen las cargas críticas correspondientes a
n = 2, 3, 4, etc. Si consideramos, por ejemplo el caso de n = 2, podemos ver que P = 2 . Pcrít y que la
elástica sinusoidal in-determinada queda constituida por una doble semionda. Esta carga tiene solamente un interés teórico y corresponde a la carga crítica en el caso que la barra se fijase en la mitad de
su luz mediante un apoyo móvil.
10.2.2. DISTINTAS FORMAS DE SUSTENTACIÓN
Así como en el ítem anterior hemos estudiado el pandeo de una barra biarticulada bajo ciertas
hipótesis, es posible realizar un estudio semejante para otras condiciones de vínculo, pudiendo establecer para cada caso la correspondiente carga crítica.
A continuación vamos a indicar los valores obtenidos en los casos más comunes, los que podremos comparar con el valor para la barra biarticulada.
/2005
6
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Si observamos detenidamente los esquemas anteriores podremos apreciar que las expresiones
correspondientes a las cargas críticas para los distintos casos son muy similares a la de la barra biarticulada, difiriendo solamente en una constante.
Desde el punto de vista práctico resulta muy conveniente poder tratar cualquier caso de sustentación mediante una expresión única para la carga crítica. Esto se logra transformando a la pieza en
una barra ficticia biarticulada con una luz ideal que depende la luz real y de las condiciones reales de
vinculación. Esta luz ficticia recibe el nombre de “Luz de pandeo” ó “Longitud de pandeo”.
π 2 .E.I
S 2k
Pcrít =
Sk : Longitud de pandeo
(10.12)
Barra biarticulada:
Sk = l
Barra empotrada – libre:
Sk = 2 . l
Barra empotrada – empotrada:
Sk = 0,5 . l
Barra empotrada – articulada:
Sk = 0,7 . l
Para otros elementos estructurales tales como patas de pórticos o barras con sección variable
existen tablas de donde se puede determinar la correspondiente longitud de pandeo.
10.2.3. TENSIÓN CRÍTICA DE EULER. LIMITACIÓN DE LA TEORÍA DE EULER.
La tensión crítica de Euler se calcula como el cociente entre la carga crítica de pandeo de Euler
y el área de la sección transversal de la barra:
Pcrit
σ ki =
σ ki
σ ki
A
π 2 .E.I π 2 .E.i 2
π 2 .E
= 2
=
=
2
S k .A
S 2k
 Sk 
 
 i 
π 2 .E
= 2
λ
(10.13)
llamando λ a la relación:
λ=
Sk
i
(10.14)
λ: esbeltez de la pieza
La esbeltez de la pieza se define como la relación entre la luz de pandeo y el radio de giro mínimo de la sección transversal de la pieza correspondiente a la luz de pandeo considerada. Este
parámetro es sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más esbelta es
una barra mayor es el riesgo de pandeo, y ello puede verse en la fórmula de la tensión crítica de Euler
(10.15) que depende inversamente de la esbeltez.
/2005
7
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Podemos representar la función σki = ƒ (λ), y al hacerlo vemos que cuando λ tiende a cero, la
tensión crítica de Euler tiende a infinito.
La fórmula de Euler fue deducida bajo la hipótesis de la validez ilimitada de la Ley de Hooke
por lo tanto la misma solamente es válida si σki ≤ σP .
La esbeltez límite para la cual tiene validez la Ley de Euler será:
σ ki =
π 2 .E
= σp
λ2
Para el acero común:
→
λ p = π.
λ P = 103,9
∴
E
σp
(10.15)
σ ki =
π 2 .E
λ2
∀ λ ≥ 103,9
En la zona comprendida entre esbeltez cero y σP, la fórmula de Euler debe ser reemplazada por
otra ley que contemple el comportamiento elasto-plástico del material.
10.3. PANDEO ANELÁSTICO
Como se ha mencionado, para esbelteces menores que
λP no es válida la Teoría de Euler. Engesser estudió el
comportamiento teórico de piezas comprimidas de acero bajo
tensiones superiores al límite de proporcionalidad; partió de
iguales hipótesis que las establecidas por Euler para la
deducción de la carga crítica, excepto la constancia del módulo
de elasticidad E. Para esto último, en diferentes años propuso
dos hipótesis para su determinación:
a) teoría basada en el módulo tangente;
b) teoría del doble módulo.
En los resultados no existen diferencias apreciables por el uso
de una u otra teoría.
/2005
Fig. 10.10
8
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Recordemos el diagrama tensión – deformación del acero (σ - ε) para valores de tensiones
menores a la de fluencia:
El punto A representa el estado correspondiente a la tensión conocida como límite de
proporcionalidad σP. Para valores superiores de tensión, por ejemplo el punto B, la rigidez del material ya no depende del módulo inicial E.
Engesser primeramente (1889) presentó una teoría tomando en cuenta sólo el módulo tangente
Et. Si para un cierto valor de carga el estado tensional se representa con un punto como el B en el diagrama de tenso-deformación, y a través de un incremento ∆P la carga llega a su valor crítico, la
rigidez del material en ese momento está dada instantáneamente por la tangente a la gráfica, Et. En
función de ello propuso la expresión siguiente:
σk =
π 2 .E t
λ2
(10.16)
Como las tensiones correspondientes a los módulos referidos a al tangente se pueden obtener a
partir del diagrama σ – ε, la relación λ = Sk / i a la cual pandeará la columna, se puede calcular a partir
de la ecuación [10.16].
Con posterioridad, en 1895, Engesser propone una expresión similar pero con un módulo de
elasticidad diferente. Con ello estableció la llamada teoría del doble módulo o teoría del módulo reducido, algunos de cuyos aspectos se estudian a continuación.
Suponiendo la permanencia de las secciones planas durante la flexión, la ecuación de la
elástica será la misma que para los materiale s que siguen la Ley de Hooke, con la excepción de que el
módulo de elasticidad E se reemplaza por un módulo de elasticidad reducido T que depende la tensión
σk originada por la carga Pk .
Suponiendo que el diagrama tenso – deformación del acero fuese el del esquema de la figura
10.11, y que se somete la pieza a una compresión que origina la tensión σk , si se descarga la pieza hasta cero, el módulo de elasticidad en descarga queda representado por la recta BO’ casi paralela a OA.
La carga Pk origina la tensión de compresión σk uniformemente repartida mientras la pieza permanezca recta, pero en cuanto el eje pasa a la posición curva, el momento flector origina compresiones σ2 que se suman a las σk y tensiones de tracción σ1 en el lado convexo que se restan a las tensiones σk .
La carga crítica Pk es aquella capaz de mantener a la pieza en la posición curva del esquema
(b) de la Figura 10.12, alejada de la vertical valores “y” que se suponen infinitésimos.
/2005
9
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Si consideramos una tajada de la barra como la indicada en la figura 10.12, de longitud unitaria, se producen acortamientos suplementarios ε 2 en el lado derecho y alargamientos ε 1 en el lado izquierdo.
Admitiendo que la hipótesis de Navier – Bernoulli de las secciones planas podemos establecer:
ε2
h2
=
ε1
h1
=
1
ρ
(10.17)
Como las deformaciones ε 2 son infinitésimas, las tensiones σ2 son poco superiores a las que
corresponde al punto B en el diagrama σ - ε de la figura 10.10, pudiendo calcularse como:
σ2 = E2 . ε 2
(10.18)
Donde E2 = tg β (módulo tangente)
Mientras que para σ1 es válida la aplicación de la Ley de Hooke:
σ1 = E . ε 1
(10.19)
Donde E = tg α ≅ E1
Luego:
σ1 =
/2005
E.h 1
ρ
σ2 =
E 2 .h 2
ρ
10
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Supongamos ahora que la sección transversal es rectangular y de ancho “b”. Al igualar la
resultante de tracción con la de compresión tenemos:
b.∫ σ 1 .dy =b. ∫ σ 2 .dy
h1
h1
0
0
1
1
σ 1 .h 1 = σ 2 .h 2
2
2
→
E.h 21
2.ρ
=
E 2 .h 22
→
2.ρ
E.h 12 = E 2 .h 22
(10.20)
Siendo h = h1 + h2 se obtiene:
h. E 2
h1 =
(10.21)
E + E2
h2 =
h. E
(10.22)
E + E2
El momento flector M de las fuerzas exteriores debe ser igual al de las interiores, luego:
E.h 1 b.h 1 2
b .h 3
M=
.
. h=
.
ρ
2 3
12.ρ
llamando:
4 .E .E 2
T=
E + E2
(
4.E.E 2
( E+
)
2
E2
=
I
.
ρ
4.E.E 2
( E+
)
2
E2
)
2
(10.23)
(10.24)
la ecuación de la elástica en la zona elastoplástica resulta:
y"+ζ 2 .y = 0
donde ζ 2 =
(10.25)
P
T .I
(10.26)
Integrando la ecuación (10.26) se llega a:
π 2 .T.I
Pk =
l2
π 2 .T
σk =
Tensión crítica de Engesser
λ2
(10.27)
(10.28)
En el caso de secciones de forma cualquiera se demuestra que:
T = E.
I1
I
+ E2 .
I2
I
(10.29)
Donde I1 es el momento de inercia de la zona traccionada, I2 es el momento de inercia de la zona comprimida e I es el momento de inercia de la sección total, todos ellos calculado respecto del eje
neutro. Si se comparan los valores de T para distintas formas de sección se concluye que T es poco
/2005
11
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
sensible a los cambios de sección. Por ello cuando es necesario definir una sección se toma la rectangular ya que es más fácil la formulación matemática en el desarrollo del tema.
A fin de disponer de una base general para calcular la tensión crítica, los reglamentos definen
la función que relaciona σk con la esbeltez λ.
Existen manuales con tablas donde se hallan tabulados los valores correspondientes a σk para
distintas esbelteces y diferentes calidades de acero. En las mismas también se indica el valor de σki.
En la Figura 10.9, además de graficarse σki, se dibujó la curva correspondiente a σk .
10.4. PANDEO REAL
Una barra real no responde nunca a
las condiciones ideales que hemos supuesto
anteriormente, es decir, el eje de la barra no
es rigurosamente recto, el material no resulta homogéneo, la línea de acción de la fuerza de compresión no coincide con el eje de
la pieza, etc.
A continuación va mos a ver las consecuencias de estas imperfecciones. Al hacerlo veremos que en la barra real no se produce una “bifurcación del equilibrio”, sino
una “divergencia del equilibrio”.
Consideremos el caso de la barra de
la Figura 10.13 sometida a flexión compuesta. La excentricidad “e” debe interpretarse como una excentricidad no prevista
pero inevitable, consecuente con lo expresado en el primer párrafo.
Por tratarse de una barra esbelta, el momento flector debe calcularse sobre la configuración deformada.
M e = P .(δ + e − y )
(10.30)
M i = E.I .y"
(10.31)
Me = Mi
llamando
→
α2 =
E.I.y"+ P.y = P.( δ + e)
(10.32)
P
E.I
(10.33)
y"+α 2 .y = α 2 (δ + e)
(10.34)
La solución general de la ecuación diferencial (10.33) es:
y = A .senα x + B . cos α x + e + δ
(10.35)
Para satisfacer las condiciones de borde debe cumplirse:
/2005
12
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
y (x = 0) = 0
→
B + e +δ =0 →
B = – (e + δ )
(10.36)
y’ (x = 0) = 0
→
α.A=0
A=0
(10.37)
→
y = (e + δ ) . (1 – cos α.x)
δ
(10.38)
es el valor correspondiente a la elástica para x = l.
y = (e + δ ) . (1 – cos α.l)
y =
→
δ=
e .(1 − cos α l )
cos α l
e .(1 − cos α x )
cos α l
(10.39)
(10.40)
Vemos que a diferencia de lo que ocurre con el pandeo ideal, desde el comienzo, es decir, desde P = 0 se tiene una configuración curvada de la barra, no apareciendo el fenómeno de bifurcación
del equilibrio.
Otra observación importante es que la flecha no resulta directamente proporcional a la carga P.
Esto es debido a que la condición final de equilibrio fue planteada sobre la configuración deformada
de la pieza que depende de P.
Como consecuencia de lo recientemente mencionado resulta que NO ES APLICABLE EL
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS.
La flecha aumenta más rápidamente que la carga y este efecto se acentúa en la medida que α . l
se aproxima al valor π / 2. Para α . l = π /2
⇒ δ → ∞. En este caso:
α .l =
π
2
→
α2 =
π2
P
=
2
E.I
4.l
→
P=
π2
.E.I = PE
( 2l ) 2
PE: valor de la carga crítica de Euler o del pandeo ideal para el caso considerado. También podemos
observar que este último resultado es independiente de la excentricidad inicial “e”.
Para comprender un poco mejor el problema vamos a graficar la relación P / PE versus δ / l
para distintas relaciones e / l.
P PE
P π 2 .E.I 1
π2 P
π P
2
α =
.
=
.
.
=
.
→
α .l =
2
2
E.I PE E.I 4.l
PE
2 PE
4.l PE
δ=
e.(1 − cos α.l )
cos α .l
→





δ e 
1
= .
− 1
l
l 
π P

cos


2 PE


(10.41)
En el diagrama de la Figura 10.14 podemos apreciar que las curvas se aproximan tanto más al
eje vertical a medida que la excentricidad relativa disminuye. En el límite, cuando e = 0 tendríamos la
/2005
13
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
curva quebrada punteada, con lo que el pandeo ideal de Euler resulta ser un caso particular del pandeo
real.
Se ve además que las flechas aumentan muy rápidamente cuando la carga P se aproxima a su
valor crítico, y todas las curvas tienen por asíntota la línea horizontal P / PE = 1 independientemente
de “e”.
Fig. 10.14
Una aclaración importante que debemos realizar es que las curvas anteriores no son totalmente
exactas ya que cuando la flecha δ toma valores muy grandes, la ecuación diferencial planteada pierde
validez porque “y” ya no representa a la curvatura. No obstante podemos considerar que para el caso
de barras de cierta rigidez tales como las usuales en la construcción de estructuras las deformaciones
se-rán pequeñas y la simplificación de considerar:
1
y"
=
≅ y"
ρ (1 + y ' 2 )
si bien no es exacta matemáticamente es más que suficiente para pequeñas deformaciones.
La consideración de la fórmula completa de la curvatura será indispensable en el caso de análisis de dispositivos de máquinas, por ejemplo. No obstante, el resultado obtenido nos está indicando
que cuando la carga se acerca a la de Euler, debido a las grandes deformaciones alcanzadas, el material llega a la fluencia en la sección más exigida. A partir de ese instante el momento interno permanece constante y ya no se equilibra con el externo, que sigue creciendo.
Si el material presenta en su curva tenso – deformación un período de refortalecimiento, cuando las tensiones alcanzan esta zona el momento interno vuelve a incrementarse, pero lo hace en forma
más lenta que el exterior y ya no lo puede equilibrar.
Finalmente podemos decir que es posible demostrar que las conclusiones anteriores son
independientes de la forma de sustentación. Por ello, en la práctica, la rotura siempre sobreviene para
una carga P < PE, y esto se debe a la existencia de imperfecciones como las ya indicadas. Ocurre entonces que en lugar de existir un fenómeno de bifurcación del equilibrio aparece un problema de
flexocompresión.
/2005
14
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Si realizamos un ensayo de laboratorio de una pieza comprimida axialmente, y fuese posible
respetar todas las hipótesis de Euler, encontraríamos que la carga se va incrementando paulatinamente
sin que se observen flechas, hasta alcanzar el valor de Pcrít, en cuyo caso la barra pandea (se flexa) en
forma repentina. Dado que las hipótesis de Euler son muy difíciles de lograr, en la medida en que la
carga se incrementa van apareciendo flechas, las que aumentan cada vez más violentamente, produciéndose finalmente el agotamiento de la capacidad resistente de la sección más exigida y el colapso
de la pieza.
Por reglamento se determinan las tensiones críticas reales bajo las siguientes hipótesis:
1. La sección constante de la barra tiene la forma representada en la Figura 10.15, con el
punto de paso de la carga según se indica.
2. La compresión actúa en los extremos articulados de la barra y conserva su dirección
durante el pandeo. La magnitud “e” que representa la excentricidad no prevista se
determina arbitrariamente mediante la siguiente expresión:
e=
i
S
+
20 500
(10.42)
i: radio de giro mínimo de la sección
S: longitud teórica de la pieza
3. Es válida la hipótesis de Navier – Bernoulli.
4. El acero verifica el diagrama tensión – deformación de la Figura 10.15.
5. La elástica se supone constituida por una semionda senoid al.
Fig. 10.15
De acuerdo con las hipótesis anteriores se deduce a partir de los puntos 1 a 5 la siguiente
expresión para vincular la tensión crítica real con la esbeltez:
m.σ kr
 m .σ kr
π 2 .E 
λ =
. 1 −
+ 0,25.
σ −σ
σ kr 
σ F − σ kr
 F
kr

2
2

 m .σ kr
 − 0,005.

σ −σ

 F
kr




3




(10.43)
donde:
λ 

m = 2, 317. 0,05 +

500 

/2005
15
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
10.5. CALCULO DE PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN AXIAL
10.5.1. INTRODUCCIÓN
Los Reglamentos contienen los fundamentos de cálculo para diferentes casos de inestabilidad
en la construcción metálica. En ellos se distinguen tres tipos de carga de agotamiento:
§ La carga crítica de Euler
Pki
§ La carga crítica usual de Engesser
Pk
§ La carga crítica real
Pkr
La dificultad de la determinación teórica de éstas cargas crece en el orden indicado, por esta
razón, en la construcción metálica se utilizan para el dimensionamiento:
§ La carga crítica real sólo en los casos más sencillos,
§ La de Engesser en general,
§ La de Euler en los casos de mayor dificultad.
Según la carga crítica que se utilice en el dimensionamiento deberá realizarse alguna de las
siguientes comprobaciones:
P≤
Pki
P≤
γ ki
Pk
γk
P≤
Pkr
γ kr
(10.44)
Donde P: carga que actúa sobre la pieza
γki, γk , γkr: coeficientes de seguridad de Euler, Engesser o real respectivamente.
Los coeficientes de seguridad recientemente mencionados deben estar comprendidos dentro
de los límites que por razones de seguridad y economía, así como por los de experiencia y conocimiento teórico, se establecen, y tanto mayores han de fijarse cuanto más se aparten de la realidad las
hipótesis fundamentales admitidas para el cálculo.
Desde el punto de vista práctico es sumamente importante tratar de simplificar al máximo las
verificaciones a realizar en los problemas de pandeo. En este sentido, la introducción del concepto de
longitud de pandeo permite reducir la mayoría de los problemas de pandeo a la determinación de la
carga crítica de una barra recta biarticulada de sección constante y esfuerzo axial constante (barra de
Euler)
Por otro lado resulta conveniente que el cálculo de pandeo se realice en forma semejante a otros tipos de cálculos donde usualmente se comparan tensiones.
Consecuentemente, las comprobaciones indicadas anteriormente pueden transformarse de la siguiente manera:
Pki
Ω
Pk
Ω
Pkr
Ω
σ ki 

γ ki 
σ k 
→
 = σ c adm
γk 
σ kr 

→
γ kr 
= σ ki →
= σk
= σ kr
(10.45)
σc adm : tensión admisible a la compresión
/2005
16
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Esta σc adm se diferencia del σadm ya que éste es sólo función del tipo de material (Acero aleado,
acero común, acero de fundición, cobre, aluminio, hormigón, madera, etc.). En cambio el σc adm es
función del tipo de material en primer lugar y luego de las dimensiones geométricas de la barra y su
forma de sustentación.
Por ejemplo: una barra de acero común de sección rectangular de 0,10 m × 0,15 m, longitud de
3,00 m y con un extremo empotrado y otro libre, tendrá una σc adm distinto del que corresponde a una
barra de sección doble T 200, longitud 5,20 m y con ambos extremos articulados.
O sea que para hallar la carga admisible de una barra debemos conocer previamente su sección, longitud y forma de vinculación además del tipo de material y ver si la tensión actuante no supera el valor del σc adm de esta barra.
σ=
P
≤ σ c adm
Ω
(10.46)
Esta última comprobación parece muy simple pero no lo es. En efecto, la tensión σc adm no
resulta constante como la tensión admisible a la tracción (σadm ).
Para no tener que comparar con tensiones que son variables se ha recurrido al siguiente artificio:
σ
P
≤ σ c adm . adm
Ω
σ adm
llamando:
ω=
σ adm
σ c adm
→
σ adm
P
≤
Ω  σ adm

σ
 c adm




(coeficiente de pandeo)
ω.P
≤ σ adm
Ω
(10.47)
(10.48)
El coeficiente de pandeo depende de la calidad del material y de la esbeltez de la barra. Sus
valores pueden obtenerse de tablas incluidas en los Reglamentos. Para la construcción de estas tablas
se tomó como norma la doble verificación:
P σ ki
≤
Ω γ ki
P σ kr
≤
Ω γ kr
(10.49)
Esto tiene sentido dado que si bien σkr < σki resulta γkr < γki, con lo que no queda establecido
que sea determinante alguna de las dos verificaciones. Para la tensión σki se ha empleado la fórmula
de Euler [10.14], y para las tensiones críticas reales se adoptaron las hipótesis indicadas en el artículo
anterior.
La ecuación [10.49] es la que se utiliza en las verificaciones prácticas, y aunque resulta muy
sencilla, no es una fórmula de dimensionamiento directo. En efecto, dado que el coeficiente ω
depende de la esbeltez, y consecuentemente del área de la sección, ésta no puede ser despejada. Por
este motivo el dimensionamiento de piezas comprimidas siempre es iterativo.
En la Figura 10.16 y en la Tabla 1, se dan las Tensiones de Pandeo Ideales (de Euler) σki y las
Tensiones Reales σkr para diferentes valores de la esbeltez λ. Dividiendo σki por νki = 2,50 y σkr por
ν kr = 1,50, el MENOR de los dos valores de la tensión obtenidos representa en cada caso, la tensión de
/2005
17
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
compresión admisible σc adm en la hipótesis de carga 1 (fuerzas principales); en la hipótesis de carga 2
(fuerzas principales y secundarias) hay que aumentar este valor en relación con las tensiones a
tracción admisibles 2 . De los valores σc adm se deducen los coeficientes de pandeo mediante la relación
ω = σadm /σc adm .
Fig. 10.16
Tabla 1
λ
σKr
St 37
St 52
20
2023
2975
30
1941
2832
40
1845
50
60
σKi
σc adm (hipót. carga 1)
St 37
St 52
–
1349
1983
–
1294
1888
2659
–
1230
1773
1737
2456
–
1158
1637
1617
2231
–
1078
1487
70
1489
1995
4230
993
1330
80
1358
1762
3238
905
1175
90
1229
1546
2559
819
1024
100
1107
1354
2073
738
829
110
994
1186
1713
663
685
120
892
1043
1439
576
576
130
–
–
1226
490
490
140
–
–
1057
423
423
150
–
–
921
368
368
10.5.2. MÉTODOS DE PREDIMENSIONAMIENTO
Para dimensionar una pieza sometida a pandeo, primero se predimensiona y luego se verifica
que:
P≤
Ω .σ adm
ω
(10.49)
Para predimensionar se adopta primeramente la forma de la sección, en base a consideraciones
técnicas, económicas y comerciales.
2
En asignaturas posteriores se estudian las Hipótesis de Carga 1 y 2.
/2005
18
ESTABILIDAD II
a)
b)
c)
d)
CAPITULO X: PANDEO
Alternativas para el predimensionamiento:
Iteraciones sucesivas
Método Dömke
Método Directo de la DIN 4114.
Método Variante de la DIN 4114.
a) Iteraciones sucesivas:
Consiste en adoptar una sección Ω que como mínimo sea:
P
Ω≥
σ adm
Con dicho valor se recurre a tabla y se elige una sección con lo cual además del área se tiene el
radio de inercia (i), que permite calcular λ = Sk / i y de tabla λ – ω , obtener un valor del coeficiente
de pandeo. Se debe verificar que:
σ=
ω .P
≤ σ adm
Ω
Si σ > σadm , o bien si σ es bastante inferior a σadm , se debe reiniciar el proceso iterativo.
b) Método Dömke:
Para el caso de secciones geométricamente semejantes se cumple la siguiente relación:
λ . ω = cte . = λ 0
Existen tablas λ – λ0 (pág. 297 del “El Acero en la construcción”) que para el caso de los
aceros St37 y St52 vinculan la esbeltez con la relación λ0 .
El procedimiento consiste en adoptar un valor inicial para ω ; por ejemplo ω = 1. Con este
valor se calcula una sección:
1.P
Ω0 =
σ adm
Con este dato se va a tabla de perfiles, y se elige el que satisface esta sección, obteniendo un
valor de i0 , para luego calcular:
S
λ0 = k
i0
operando
λ 0 . ω0 = λ0 . 1 = λ 0
valor que corresponde en la tabla de pág. 297 del Acero en la construcción a un valor de λ real; con
este λ real vamos a tabla λ - ω y se obtiene ω. Con este dato del coeficiente de pandeo, se calcula:
ω.P
Ω nec =
σ adm
Con este valor entramos en tabla de perfiles y adoptamos uno (Ω’, i’)
/2005
19
ESTABILIDAD II
CAPITULO X: PANDEO
Corresponde verificar, para ello se determina λ’ = Sk / i’ ; se recurre a la tabla λ - ω, se obtiene un ω’.
Se calcula:
ω'.P
σ=
≤ σ adm
Ω'
Si σ > σadm , conviene probar con el perfil inmediato superior. También se puede reiniciar el
proceso, tomando como valor inicial el valor ω’ y calcular λ0 = λ'. ω' . Si σ ≤ σadm , ese sería el perfil
que satisface al problema.
c) Método Directo de la DIN 4114:
Para el caso de secciones semejantes, además de que la expresión λ ω = cte ., también lo es la
relación:
Ω / i2 = cte. = z
ζ = λ. ω =
(coeficiente de forma)
Sk
σ adm .Ω
i
P
=
2
Ω σ adm .(S k )
.
=
P
i2
z .σ adm .(S k
)
2
P
ζ : característica de la barra
En manuales existen tablas ζ - ω - λ.
Atento a la forma de la sección, en publicaciones específicas figura el valor del coeficiente z
(también puede determinarse haciendo el cálculo de la relación z = Ω / i2 )
Conocido el coeficiente ζ, de la tabla respectiva sacamos un valor para ω. Se calcula:
ω.P
Ω nec =
σ adm
Con la sección necesaria adoptamos un perfil (Ω’, i’). Se calcula λ’ = Sk / i’ y de tabla λ - ω se
obtiene un valor de ω’; se verifica entonces que:
ω'.P
σ=
≤ σ adm
Ω'
d) Método Variante de la DIN 4114:
Si los perfiles considerados para el dimensionado, por ejemplo los perfiles laminados de una
serie, no son semejantes geométricamente de manera exacta, el procedimiento indicado en el punto c)
sólo es aproximado, y su utilidad depende de la correcta evaluación del coeficiente de forma z. En
lugar de estimar un valor para z, puede también estimarse directamente el coeficiente de pandeo y en
base a este valor (que lo identificaremos como ω*), calcular una superficie:
ω.P
Ω nec =
σ adm
De una tabla de perfiles se toma un radio de giro i*, con el cual se determina la característica
de la barra:
S
ζ = k . ω*
i*
A este ζ corresponderá en la tabla ζ - ω un valor de coeficiente de pandeo ω, que, en caso de
diferir notablemente de ω*, puede servir como nuevo valor estimado, corregido; pero que, en caso
contrario puede emplearse ya para el cálculo de la sección buscada
/2005
20
ESTABILIDAD II
Ω nec =
CAPITULO X: PANDEO
ω.P
σ adm
De tabla de perfiles se obtiene (Ω’, i’). Se calcula λ’ = Sk = i’ y de tabla λ - ω se obtiene un
valor de ω’; con el cual debemos verificar:
σ =
/2005
ω' . P
≤ σ adm
Ω'
21
ESTABILIDAD II
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
11
CARGAS DINAMICAS Y FATIGA
11.1 CARGAS DINAMICAS
11.1.1 Concepto
Hasta este momento nos hemos ocupado de estudiar las tensiones y deformaciones producidas
por las cargas estáticas, es decir, cargas que insumen un tiempo considerable en aplicarse. Las cargas
estáticas varían su magnitud de cero a los valores definitivos tan lentamente, que las aceleraciones que
en estas condiciones reciben los elementos de las estructuras son despreciablemente pequeñas. Un
ejemplo claro de este tipo de carga es la que soporta una columna de un edificio de viviendas, la cual
tarda en recibir el total de las cargas gravitacionales aproximadamente dos años, que es el tiempo que
usualmente media entre la construcción de la propia columna y la habilitación del edificio.
Cuando una carga se aplica en un período relativamente corto recibe el nombre de “carga
dinámica”. Las cargas dinámicas se distinguen de las estáticas por el hecho de originar modificaciones
tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que dan lugar, afectando también la
forma y límite de rotura de los materiales.
En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de rotura se reduce en forma
considerable. Asimismo, las experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de fluencia y
de la tensión de rotura. Muchos materiales que frente a cargas estáticas tienen un comportamiento
dúctil, en el caso de cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil.
Las cargas dinámicas producidas por el impacto de un cuerpo en movimiento pueden originar
en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios. Si la carga dinámica se repite en forma
periódica, y su frecuencia coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en
resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes que conducen al colapso de la
estructura.
La determinación en forma rigurosa de las tensiones que se originan como consecuencia de las
cargas dinámicas resulta compleja y en cierto modo, un tanto indefinida. En el caso de solicitaciones
estáticas las cargas actuantes pueden determinarse en forma mucho más cierta que en el caso de
solicitaciones dinámicas, dónde ocurre una transferencia de una cierta cantidad de energía cinética, la
cual en la práctica es muy difícil de cuantificar.
La determinación del estado tensional también depende de la zona de contacto en el impacto y
del proceso de variación, en función del tiempo, de las fuerzas de contacto. Un ejemplo de esta
situación se presenta en el caso de la colocación de material granular en una tolva, En el instante
inicial de contacto la masa granular tiene una forma bastante diferente de la que adquiere cuando ha
terminado de caer.
Otro efecto que juega un papel importante en el proceso de choque es la dispersión
(disipación) de la energía, lo que es muy difícil de cuantificar. En este sentido, el amortiguamiento
que pudieran proveer los vínculos es sumamente importante.
En base a lo que hemos dicho, en la mayoría de los casos se tratan de cuantificar los efectos
dinámicos en forma experimental. Para que los cálculos de solicitaciones resulten sencillos se utilizan
“cargas estáticas equivalentes”, que no son sino cargas ficticias que actuando estáticamente producen
el mismo efecto que las cargas verdaderas actuando en forma dinámica.
/2005
1
ESTABILIDAD II
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
Las cargas estáticas equivalentes se obtienen multiplicando las cargas verdaderas por un
“coeficiente de impacto o dinámico”. Este coeficiente depende de numerosas variables, y según ya
hemos visto, en la mayoría de los casos se determina en forma experimental. Para ciertos problemas
tipo quedan establecidos por los correspondientes reglamentos de cálculo en función de las variables
más significativas.
A continuación estudiaremos algunos problemas simples dónde podrá determinarse analíticamente el coeficiente de impacto, pero para ello deberemos realizar varias hipótesis simplificativas.
11.1.2 Solicitación dinámica axial
Consideremos el caso de una barra de sección Ω y longitud L, suspendida de un extremo, y
que soporta en el opuesto el impacto de un peso Q que cae desde una altura h.
Como consecuencia del impacto, el trabajo desarrollado por Q será:
W1 = Q( h + δ)
(11.1)
Consideremos una carga estática P que origina la misma
deformación δ. P sería una carga “estáticamente equivalente”.
El trabajo desarrollado por esta carga será:
L
1
W2 = Pδ
2
Q
(11.2)
h
El trabajo producido en ambos casos deberá ser el mismo, con lo que:
W1 = W2
δ
(11.3)
Si admitimos que el material no supera el límite de proporcionalidad, resulta válida la Ley de Hooke, con lo que:
Fig. 11.1
Pδ ΩEδ 2
ΩE 2
=
= Q (h + δ) →
δ − Qδ − Qh = 0
2
2L
2L
2
QL
2QL
 QL 
δ=
+ 
h
 +
ΩE
ΩE
 ΩE 
(11.4)
QL
= δ EST
ΩE
(11.5)
v = 2gh
(11.6)
v2
2g
(11.7)
h=
/2005
2
ESTABILIDAD II
δ=
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
QL 
1+
ΩE 


 v 2 ΩE  
v 2 


1
+
=
δ
1
+
1
+


EST
gQL  
gδ EST 





(11.8)
ϕ = coeficiente de impacto
Consideremos a continuación algunos casos particulares:
a) h à 0
è
v2 à 0
δ = 2δ EST
(11.9)
Este caso corresponde a una carga instantánea, es decir, que no crece paulatinamente en el
tiempo. Según la expresión anterior la deformación originada resulta ser el doble de la que
correspondería a una carga estática.
b) h>> δ EST è δ EST à0
Ecinética = E C =
mv 2 Q 2
=
v
2
2g
δ = δ EST + δ 2EST +
δ=
2LE C
QLv 2
=δ EST + δ 2EST +
gΩE
ΩE
2LE C
ΩE
σ = Eε = E
σ=
(11.10)
(11.11)
δ E
=
L L
2L
EC =
ΩE
2E
EC
ΩL
2E
EC
vol
(11.12)
En este caso puede verse que la tensión disminuye no solamente si se aumenta el área de la
sección transversal sino cuando se aumenta la longitud de la barra.
11.1.3 Solicitación Dinámica por Flexión
Consideremos una viga simplemente apoyada de luz L, que recibe en la mitad de su luz el
impacto de una carga concentrada Q que cae desde una altura h.
Para este problema realizaremos un análisis similar al efectuado en el ítem anterior.
W1 = Q( h + f d )
Q
(11.13)
h
W2 =
1
Pf d
2
fd
(11.14)
L/2
L/2
Fig. 11.2
/2005
3
ESTABILIDAD II
fd =
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
PL3
48EI
→ P = 3 fd
48EI
L
W1 = W2 → Q( h + f d ) =
P: carga estática equivalente
48EI
3
2L
f d2 →
24EI
3
L
(11.15)
f d2 − Qf d − Qh = 0 (11.3)
2
·
 QL 3 
QL 3
QL 3
v2
2
 +
fd =
+ 
h = f EST + f EST + f EST
 48EI 
48EI
24EI
g



v2
f d = f EST 1 + 1 +
gf EST


 = f EST .ϕ

(11.16)
ϕ = coeficiente de impacto
En este caso se llega a una expresión para el coeficiente de impacto muy similar al problema
anterior, y las conclusiones que se obtienen son semejantes.
a) h à 0
è
và 0
è fd = 2.fEST
(11.17)
b) h>> δ EST
fEST
v2
f
=
f
EST
à0 è d
g
fd =
QL 3
h
24EI
σ máx =
M máx
PL
y máx =
y máx
I
4I
P=
48EI
3
L
σ máx =
fd →
12E
L2
(11.18)
(11.19)
PL 12E
12E
= 2 f d → σ máx = 2 y máxf d
4I
L
L
y máx
QL 3
h=
24EI
6EQh 2
y máx
LI
(11.20)
(11.21)
Supongamos que la sección transversal es rectangular de base b y altura d.
y 2máx
bd 3 (bd )d 2
d
Ω4 2
Ω 2
3
I=
=
; donde y máx = ⇒ I =
y máx = y máx →
=
12
12
2
12
3
I
Ω
/2005
4
ESTABILIDAD II
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
σ máx =
18E
18E
. Qh =
. Qh
LΩ
Vol
(11.22)
Podemos ver que en este caso la tensión disminuye cuando aumenta el volumen de la pieza
11.1.4 Solicitación dinámica por Torsión.
Esta forma de solicitación se presenta en diversos problemas de la técnica.
Uno de los más frecuentes es el de los árboles que transmiten potencia, cuando el par motor es
aplicado bruscamente. Un ejemplo de ello lo constituye el acoplamiento de un eje al mecanismo motor
mediante un embrague. Cuando el embrague se acciona en forma brusca, la potencia actúa en forma
dinámica.
La energía cinética transmitida podemos expresarla como el producto del par torsor Mt por el
ángulo de giro φ.
Si θ es el ángulo de torsión específico producido en la pieza
Mt
entonces el trabajo desarrollado será:
L
W1 = M t (φ + θL)
(11.23)
Fig. 11.3
Supongamos ahora un momento torsor Mt’ que actuando en forma estática produce un trabajo
igual al anterior
W2 =
M 't θ L
(11.24)
2
Si la sección es circular maciza y el material no supera el período elástico tendremos:
M' t = GI P θ →
M L
θL = t +
GI P
θS =
Mt
GI P
2
 Mt L
2M t Lφ

 +
GI P
 GI P 
(11.25)
(ángulo específico de torsión si Mt fuese estático)
θL = θ S L +
θ = θS +
GI P L 2
θ − M t Lθ − M t φ = 0
2
(θ S L )2 + 2θ S φL

(θ S )2 + 2θ S φ / L = θ S 1 +

1+
2φ 

θ S L 
(11.26)
ϕ = coeficiente de impacto
Si el par torsor actúa en forma instantánea φà0 con lo que:θ = 2θ S. Vemos entonces que en
forma análoga a lo que ocurre con flexión y esfuerzo axial, la aplicación instantánea del esfuerzo
duplica las deformaciones y consecuentemente las tensiones.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
11.2 SOLICITACIONES POR FATIGA
11.2.1 Cargas repetidas
En algunas estructuras, y especialmente en eleP
mentos de máquinas, los esfuerzos actuantes no son estáticos sino que actúan en forma dinámica, variable con
el tiempo.
En algunos casos particulares de piezas de
máquina, si bien las cargas no varían, el movimiento de
la pieza hace que las tensiones varíen a través del tiempo.
Ejemplo clásico de esto último es el eje de un
vagón de ferrocarril el cual por su rotación produce la
inversión del signo de las tensiones internas.
Consideremos el caso de un eje de dicho vagón
que soporta dos cargas iguales en los extremos, según
se indica en la figura 11.4. Estas cargas son transmitidas a la tierra mediante dos ruedas.
Una sección como la a-a soporta un momento
flector M y para un cierto instante, un punto como el
A, ubicado en el borde superior de la sección, tendrá una tensión normal que será máxima:
σ máx =
M
r
I
P
d
a
a
M
σmax
A
ωt
o
A’
y
r
σmax
Fig.11.4
(11.27)
Transcurrido un cierto tiempo, si el eje gira con una velocidad angular ω, el punto A pasará a
la posición A’ de ordenada y = rsen(90-ωt). La tensión será entonces:
σ=
M
r sen( 90 − ωt ) = σ máx sen( 90 − ωt )
I
σ = σmáx cos ωt
(11.28)
La ecuación 11.28 nos muestra que la tensión en el punto A varía cíclicamente según una
función cosenoidal de amplitud σ máx .
Otro ejemplo de solicitación cíclica corresponde al mecanismo biela- manivela, donde la biela
está sujeta a solicitaciones alternadas de tracción y compresión.
En determinados casos las solicitaciones alternadas ocurren en forma continuada durante
períodos largos de tiempo, como en el caso de ejes de locomotoras, cigüeñales, bielas, dientes de
engranajes, resortes de válvulas, etc. En otras circunstancias, como en los puentes ferroviarios, la
variación de tensiones ocurre en períodos de tiempo cortos y el aumento de las tensiones por sobre el
valor de las correspondientes a las cargas estáticas es relativamente reducido.
Cuando sobre un elemento estructural actúan sistemáticamente cargas repetidas o cíclicas, en
los lugares dónde existen fuertes concentraciones de tensiones, cuyo origen obedece a irregularidades
superficiales, a cambios bruscos de forma, a la existencia de fisuras internas microscópicas o a
inclusiones también microscópicas ( granos de escoria en el caso de los metales ), pueden aparecer
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CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
grietas que conducen a la destrucción frágil del elemento, aún cuando el material tenga un
comportamiento dúctil bajo cargas estáticas. Por ejemplo para el caso del eje de la fig. 11.4, si en función del momento actuante en la sección y las características del material dimensionáramos el eje en
base a la tensión admisible correspondiente a las cargas estáticas, al someter la pieza a un ensayo
veríamos que esta rompe al cabo de un cierto número de ciclos.
La existencia de una discontinuidad en una pieza, sea ésta un orificio, una entalladura, etc.,
hechos muy comunes en la práctica, da origen a perturbaciones en la distribución de tensiones.
Aparecen así las denominadas concentraciones de tensiones, y sus correspondientes diagramas
presentan los llamados picos de tensión, originados por grandes deformaciones localizadas en
pequeñas zonas de la sección.
σmedio
σpico
Fig. 11.5
El proceso de surgimiento y desarrollo de las grietas en el material sólido, originado por las
cargas cíclicas, se denomina “fatiga del material”.
El análisis teórico de la resistencia a la fatiga presenta grandes dificultades. La naturaleza de la
destrucción por fatiga se determina por las particularidades de la estructura molecular y cristalina de la
materia. Por lo tanto, el esquema de la materia continua que se aplicó en los temas que hasta ahora se
analizaron, en este caso concreto no puede servir de base satisfactoria para la investigación.
Es por esto que resulta necesario, manteniendo todas las suposiciones de la mecánica del
cuerpo continuo, ir por el camino de la acumulación de datos experimentales que, permitan elaborar
las reglas pertinentes para orientar los cálculos. La agrupación y sistematización de los datos
experimentales constituye en la actualidad el contenido de la teoría de la resistencia a la fatiga.
11.2.2 Tipos de tensión en la solicitación por fatiga – Definiciones
Las solicitaciones repetidas pueden clasificarse dentro de dos categorías:
a) Pulsatorias (las tensiones varían entre dos extremos sin cambiar de signo)
b) Cargas oscilantes (los valores extremos de las tensiones son de distinto signo)
A su vez, las cargas pulsatorias se denominan intermitentes si una de las tensiones extremas es
nula, y las cargas oscilantes se dicen alternadas si las tensiones extremas son opuestas. En la figura
11.6 podemos ver ejemplos gráficos de los distintos tipos de cargas recientemente definidas.
Llamaremos σ máx , o tensión superior a la máxima tensión en valor absoluto, y σ mín a la
mínima tensión tamb ién en valor absoluto.
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ESTABILIDAD II
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
Definiremos como tensión media al siguiente valor:
σ
σ
σmáx
σm
σmín
σmáx
σm
t
σmín
t
Carga pulsatoria
Carga Oscilante
σ
σ
σmáx
Carga pulsatoria
Intermitente
σm
σmín = 0
t
σmáx
σm = 0
σmín
t
Carga pulsatoria
Alternada
Fig. 11.6
σm =
σ máx + σ mín
2
(11.29)
y definiremos como amplitud de la tensión dinámica a:
σa =
σ máx − σ mín
2
(11.30)
Esta última también se conoce como tensión variable o revertida.
σ
Llamaremos coeficiente de ciclo a:
r = mín
σ máx
Los ciclos con igual valor de r se denominan ciclos semejantes.
Para ciclo intermitente
à
r=0
Para ciclo alterno simétrico à r = -1
Cualquiera de las cargas que hemos mencionado recientemente puede ser considerada como
resultante de la superposición de dos tensiones: una constante de valor σm y otra alternada de amplitud
σ a.
σ
La experiencia indica que la resistencia a
la fatiga depende sólo de la amplitud de la tensión
dinámica σa y del valor de la tensión media, influyendo muy poco la ley de variación entre las
tensiones extremas. Para un cierto material dado,
t
la resistencia a la rotura será la misma para cualquiera de las leyes de variación de la figura 11.7
Fig. 11.7
Quiere decir que para juzgar sobre la resistencia a la fatiga en el caso del ciclo dado, es
suficiente conocer los valores de σ máx y σ mín o bien σ m y σ a
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11.2.3 Resistencia a la fatiga. Curva de Wöhler
Definiremos como “resistencia a la fatiga” a la máxima amplitud de la tensión dinámica que
superpuesta en ambos sentidos a la tensión media puede actuar un número ilimitado de reiteraciones,
sin provocar la rotura del material ni una deformación plástica superior a la admisible.
Existen algunos casos particulares de resistencia a la fatiga:
a) Resistencia de oscilación. Corresponde al caso de σm = 0 y σmáx = σmín , La designaremos σA.
Resistencia de pulsación. En este caso una de las tensiones extremas es nula. La designaremos
con σU.
La determinación de la resistencia a la fatiga se efectúa experimentalmente, y resulta ser
siempre inferior a la resistencia determinada en un ensayo estático.
Para obtener la resistencia a la fatiga se realiza el trazado del denominado Diagrama de
Wöhler. Para ello se somete una probeta del material a una carga variable de amplitud σa y tensión σm
prefijadas, determinándose el número N de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga. El
ensayo se repite para otros valores de σa . Para cada caso se representa en un diagrama el valor de N
que ha conducido a la rotura (en escala logarítmica) y la tensión máxima correspondiente al mismo. Se
obtiene así una curva asintótica a un valor de σmáx que es precisamente la resistencia de fatiga.
Para N=0 el valor de la resistencia a la fatiga coincide con el valor de la resistencia estática σR.
Debido a que algunos materiales son capaces de resistir un número ilimitado de ciclos, se
adopta una resistencia de fatiga convencional, que corresponde a la tensión para la cual el material
resiste una cantidad determinada de ciclos, por ejemplo 108 .
Hay numerosos factores que influyen en la resistencia a la fatiga. Ya hemos visto que la
influencia de los cic los de carga es muy importante, otros factores significativos son la posibilidad de
corrosión, la temperatura de trabajo, el endurecimiento en frío, los tratamientos térmicos, la forma de
las probetas que se utilizan en los ensayos, etc.
Un resultado importante a tener en cuenta es el siguiente:
σR ≥ σU ≥ σA
11.2.4 Diagramas de fatiga
La mayor parte de los valores experimentales obtenidos en ensayos de flexión corresponden a
cargas oscilantes alternadas, para las cuales σm = 0, pero en realidad, para una mejor interpretación de
los resultados interesa conocer la influencia de σm. Para ello deben disponerse de numerosos resultados experimentales que contemplen la mayor cantidad posible de combinaciones.
Numerosos investigadores han realizado estos ensayos y han obtenido diferentes interpretaciones. Las interpretaciones gráficas de los resultados han dado lugar a la definición de los denominados diagramas de fatiga, de los cuales uno muy difundido es el Diagrama de Smith.
Para su construcción se procede de la forma siguiente: sobre un par de ejes coordenados ortogonales se llevan en abscisas las tensiones medias σm y en ordenadas las tensiones σmáx y σmín .
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CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
correspondientes a las respectivas tensiones medias. Las ordenadas definidas por una recta a
45º que pasa por el origen corresponden, lo mismo que las respectivas abscisas, a las tensiones medias
σm, y dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud σa. Es decir, que la distancia de cada
curva límite a la recta mencionada corresponde al valor de la tensión variable σa, que es la que define
a las distintas resistencias de fatiga.
En la figura 11.9 hemos reproducido un diagrama de Smith que obedece a las características de
un acero de límite de rotura estática σR = 47 kN/cm2 , límite de fluencia σF = 26 kN/cm2 y resistencia
de fatiga bajo carga oscilante alternada σA = 19 kN/cm2 .
Carga pulsatoria
intermitente
σt
M
C
Carga oscilante
alternada
σ* a
Co
C´
σA=σmáx
σu =σmáx
A
σA=σmáx
Carga
oscilante
σ* máx
σ* min
σ*m
O
A'
σ* a
σmáx =σmín =σm =σR
B
Carga
Estática
σt
σR
σm
Carga pulsatoria
K
σF
σA
σm
K'
Fig. 11.9
Para un material como el indicado, el
diagrama es simétrico, para el tercer cuadrante en
relación al primero, por lo que sólo hemos
graficado una parte. En la figura además hemos
ubicado las cargas tipos ya estudiadas y se
indicaron las zonas de validez para cada una.
Si se entra en el diagrama con un valor de
la tensión media σm , del mismo se puede obtener
el valor de la resistencia a la fatiga σa . En el
diagrama puede verse que en la medida que σm
crece, disminuye la resistencia a la fatiga, hasta
σm = σR dónde no se admite ninguna carga repetida.
Para el dimensionamiento de elementos
estructurales sometidos a fatiga, la experiencia indica que no es conveniente superar el valor del límite de fluencia del material, así es que el diagrama de Smith queda limitado a la zona rayada del
dibujo. La corrección se realiza en base a lo anterior y manteniendo la simetría debida.
N
σA
Fig. 11.10
σt
K
σF
N
B
Ko
A
Bo
σA
K'
σm
O
B'
σA
A'
0.8σA
Fig. 11.11
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CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
Finalmente podemos ver que el diagrama queda definido entre dos rectas y dos curvas de
reducida curvatura, las cuales pueden ser reemplazadas sin error, por dos rectas. Esto simplifica el trazado del diagrama.
Admitiendo que σa correspondiente a la resistencia pulsatoria intermitente es del orden del
80% de la resistencia σA, bastará conocer σF y σA para poder trazar el diagrama aproximado, el cual
queda definido como en el esquema de la figura 11.11.
BB 0 = B 0B ' = 0.8σ A
KK 0 = K 0 K '
Otros investigadores han propuesto ciertas leyes que establecen la variación de la tensión
variable σa en función de la tensión media σm.
Ley de Goodman:
σa
σ
= 1− m
σA
σR
(11.32)
Ley de Gerber:
σ
σa
= 1 −  m
σA
σR
Ley de Soderberg:
σa
σ
= 1− K m
σA
σR
K=
Dónde



2
(11.33)
(11.34)
σR
σF
1
0.9
0.8
0.7
σa/σA
0.6
0.5
0.4
0.3
Gerber
Soderberg
Goodman
0.2
0.1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
σm/σR
Fig. 11.12 Representación gráfica de las tres teorías
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CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA
11.2.5 Dimensionamiento de piezas sometidas a fatiga
11.2.5.1 Concepto
Para realizar el dimensionamiento vamos a considerar válida la Ley de Soderberg, a partir de la
cual obtendremos la expresión correspondiente a la tensión σmáx.
σ máx = σ m + σ a
σ máx = σ m + σ A −
σA
σ
σ m = σ A + (1 − A )σ m
σF
σF
llamando β = σA / σF tenemos:
σ máx = σ A + (1 − β)σ m
(11.35)
La expresión de σmáx depende de σA , que es una tensión de rotura, la que por razones de
seguridad deberá ser afectada del correspondiente coeficiente de seguridad.
σA
+ (1 − β)σ m
ν
 σ
σ 
σ
σ
σ adm fat =  A + (1 − β)σ m  adm =  A + (1 − β) m  σ adm
σ adm 
 ν
 σadm  νσadm
σ
σ adm = F
ν
σ
σ 

σ 
σ adm fat =  A + (1 − β) m  σ adm = β + (1 − β) m  σ adm
σ adm 
σ adm 
 σF

σ adm fat =
σadm fat =
σadm
ψ
(11.36)
ψ = coeficiente de fatiga
Vemos finalmente que un problema de fatiga puede resolverse como un problema de cargas
estáticas, afectando la tensión admisible de un coeficiente que depende de las características del
material y de la tensión media.
A continuación analizaremos algunos casos simples de dimensionamiento.
11.2.5.2 Fatiga por solicitación axial
Consideremos una pieza sometida a una carga axial P variable entre Pmáx y Pmín.
σ máx =
Pm =
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Pmáx
Ω
P
1
(Pmáx + Pmín ) → σ m = m
2
Ω
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ESTABILIDAD II
CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA

Pm 
≤ β + (1 − β )
σ
Ω
Ω σ adm  adm

Pm
P
(1 − β ) Pm
− (1 − β )
≤ β → Ω ≥ máx −
Ω σ adm
β σadm
β σ adm
σ máx trabajo =
Pmáx
Ωσ adm
Pmáx
Pmáx  1 1
P 
− ( − 1) m 

σ adm  β β
Pmáx 
Ω≥
(11.37)
Consideremos el caso de un material con σF = 24 kN/cm2 y σA = 12 kN/cm2
β=
σ A 12 1
=
=
σ F 24 2
Ω≥
Pmáx
σ adm

Pm 
2 − P

máx 

(11.38)
Para el caso en que Pmáx = - Pmín à Pm = 0 à ψ = 2 . Esta situación más desfavorable y
corresponde a una carga oscilante alternada.
Para el caso en que Pmín = 0 à Pm = Pmáx / 2 à ψ = 1.5.
Si la carga es estática resulta Pmáx = Pmín = Pm à ψ = 1
11.2.4.3 Fatiga por flexión
Supongamos una pieza con momento de inercia constante y una sección de ella solicitada por
un momento flector variable entre dos valores límites, Mmáx y Mmín.
Mm =
1
(M máx + M mín )
2
σ máx =
M máx
W
Haciendo un desarrollo semejante al caso del ítem anterior se llega a la siguiente expresión de
dimensionamiento:
W≥
M máx  1
1
Mm 
− ( − 1)

σ adm  β β
M máx 
(11.39)
Si suponemos un material con β = 0.75 entonces:
1 1
Mm  4 1 Mm
ψ =  − ( − 1)
= −
β
M máx  3 3 M máx
β
Carga estática:
Carga intermitente:
Carga alternada:
/2005
ψ = 1.0
ψ = 1.17
ψ = 4/3 ≅ 1.33
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