Page 1 1.- 2 3 tan sec x x dx ∫ Solución. 2 3 tan sec I x x dx = ∫ 2 2

1.-  tan 2 x sec3 x dx
Solución.
I   tan 2 x sec3 x dx
I   tan 2 x sec x sec 2 x dx   tan 2 x tan 2 x  1sec 2 x dx
Realizando un cambio de variable:
s  tan x


2
ds  sec x dx 
I   s 2 s 2  1 ds

Integrando por partes:

u  s2

du  2 s ds 



s 2
1
2
v
s  1  ln s  s  1 
2
2



dv  
Reemplazando en la integral:


1
s 2
I  s2 
s  1  ln s  s 2  1
2
2

1
s 2
I  s2 
s  1  ln s  s 2  1
2
2
I
s 2  1 ds


  2 s  2s
  2 s  2s

1
s 2  1  ln s  s 2  1
2

 1  ds

1
s 2  1  ds  2  s  ln s  s 2  1

2


 ds

s3 2
s2
s  1  ln s  s 2  1   s 2 s 2  1 ds   s ln s  s 2
2
2


  ds
I
II 
3
s
2
s2  1 
2




s
ln s  s 2  1   s ln s  s 2  1 ds
2

I1
Integrando por partes I1 :


u  ln s  s 2  1 
 dv   s ds 




ds
s2
du 
v



2
2

s 1

2
2
s
1
s
I1  ln s  s 2  1  
ds
2
2
2
s

1





I2
Integrando por sustitución trigonométrica I 2 :
I2  
s 2 ds
s2  1

s  a tan 
tan 2 
tan 2 

s  tan 

I2  
sec 2  d  
sec 2  d

2
2
2
tan   1
sec 
ds  sec  d 
tan 2 
I2  
sec 2  d   tan 2  sec d    sec 2   1 sec d   sec3  d   sec d
sec
I 2   sec3  d   sec d   sec sec2  d  ln  sec  tan  

I3
Integrando por partes:
I 3   sec3  d   sec 2  sec d
u  sec
du  sec tan  d

dv   sec 2  d 

v  tan 



I 3  sec tan    tan 2  sec d  sec tan     sec 2   1 sec d
I 3  sec tan     sec3   sec  d  sec tan    sec3  d   sec d

I3
I 3  I 3  sec tan   ln  sec  tan  
I3 
sec tan  ln  sec  tan  

2
2

ln s 2  1  s
s 2
I3 
s 1 
2
2
Reemplazando I 3 en I 2 :

ln
s 2
I 2  I 3  ln  sec  tan   
s 1 
2

ln
s2
1 s 2
I1  ln s  s 2  1  
s 1 
2
2 2







s2  1  s
2

s2  1  s
2
  ln
  ln
s2  1  s


s 2  1  s 








s3 2
s2
s2
1s 2
1

s  1  ln s  s 2  1  ln s  s 2  1  
s  1  ln s  s 2  1 
2
2
2
2 2
2

3
3
s
1s 2
1
s 2
1
 s
I
s2  1  
s  1  ln s  s 2  1  
s2  1 
s  1  ln s  s 2  1
4
4 2
2
4
8
4

2I 







 s3 s  1
 2s3  s  1
2
I  s 2  1     ln s  s 2  1  s 2  1 
  4 ln s  s  1
4
8
4
8




Reemplazando: s  tan x en la integral
 2s3  s  1
 2 tan 3 x  tan x  1
2
2
2
I  s2  1 

ln
s

s

1

tan
x

1
 4

  4 ln tan x  tan x  1  c
8
8





2.-



cos 4 x
 sin 3 x dx
Solución.
I 
cos 4 x
cos 4 x sin x
cos 4 x
cos 4 x
cos 4 x
dx

dx

sin
x
dx

sin
x
dx

 sin 3 x sin x  sin 4 x
 sin 2 x 2
 1  cos2 x 2 sin x dx
sin 3 x




Realizando un cambio de variable:

u  cos x
 du  sin x dx
I  
u4
1  u 
2 2
du   
u4
du
u 4  2u 2  1
u4
2u 2  1

1

2
2
u 4  2u 2  1
 u  1  u  1
2u 2  1
 u  1  u  1
2
2
2u 2  1
 u  1  u  1
2
2

A
 u  1
2

B
C
D


2
u  1  u  1 u  1
1
3
1
3

4  4 
4  4

2
2
u

1
u

1
u

 
 1 u  1
1
3
1
3

u4
2u 2  1
4  4 
4  4
1
1
2
2
2
2
u

1
u 4  2u 2  1
u

1
u

1
u

1
u

  
 
 1 u  1
u4
1
3
1
3
1



2
2
4
u

1
4
u
u  2u 2  1
  4  u  1
  1
4  u  1
4
Reemplazando en la integral:
I  
u4
1  u 
2 2

1
3
1
3 
du    1 



 du
2
2
4  u  1 4  u  1
4  u  1 
 4  u  1

du
3
du 1
du
3
du



2
2
 u  1 4  u  1 4   u  1 4  u  1
I    du 
1
4
I    du 
2
2
1
 u  1 du  3  du  1   u  1 du  3  du

4
4 u 1 4
4 u 1
1  u  1
3
1  u  1
3
 ln  u  1 
 ln  u  1
4 1
4
4 1
4
1
3
1
3
I  u 
 ln  u  1 
 ln  u  1
4  u  1 4
4  u  1 4
1
1
I  u 
3
1
1
3 u 1
1
1
I  ln  u  1  ln  u  1 

 u  ln


u
4
4  u  1 4  u  1
4 u  1 4  u  1 4  u  1
Reemplazando: u  cos x
3 cos x  1
1
1
I  ln


 cos x  c
4 cos x  1 4  cos x  1 4  cos x  1


3.-  ln x  1  x 2 dx
Solución.
Integrando por partes:


I   ln x  1  x 2 dx





1
x  
du 
1 
 dx 
x  1  x2 
1  x 2  
 1  1  x2  
1
du 

 dx 
x  1  x 2  1  x 2  

dx

du 

1  x2
u  ln x  1  x 2

I  x ln x  1  x
2

x
1  x2
dx
dv   dx 

vx




s2  1  x2
2s ds  2 xdx
s ds  x dx
 s  1  x2






I  x ln  x 
 s dss  x ln  x  1  x    s sds  x ln  x 
1  x   s  x ln  x  1  x   1  x  c
I  x ln x  1  x 2  
2
2
2
2

1  x 2   ds
2
4.-  eax sin bx dx
Solución.
I   e ax sin bx dx
Integrando por partes:

u  e ax

ax
du  ae dx 
I 
dv   sin bx dx 

cos bx
v

b



e ax
a
cos bx   e ax cos bx dx
b
b
Integrando por partes:

u  e ax

ax
du  ae dx 
I 
dv   cos bx dx 

sin bx
v

b




e ax
a  e ax sin bx a
e ax cos bx ae ax sin bx a 2
cos bx  
  e ax sin bx dx   

 2  e ax sin bx dx
2
b
b
b
b
b
b
b 



I
I
a
be sin bx  ae sin bx
I
b2
b2
I
e ax  a sin bx  b cos bx 
c
a 2  b2
2
ax
ax

 a 2  b2
 b2


ae ax sin bx  be ax cos bx
I


b2

5.-  sin 2 x cos 4 x dx
Solución.
2
1
2
 1  cos 2 x  1  cos 2 x 
I   sin 2 x cos 4 x dx   sin 2 x  cos 2 x  dx   

 dx   1  cos 2 x 1  cos 2 x  dx
2
2
8



1
1
2
I   1  cos 2 x 1  cos 2 x  dx   1  cos 2 x  cos 2 2 x  cos3 2 x  dx
8
8


1

2
3
I    dx   cos 2 x dx   cos 2 x dx   cos 2 x dx 
8
  
I1
I2


1  cos 4 x
1
1
sin 4 x  x sin 4 x
2
I1   cos 2 x dx  
dx   1  cos 4 x  dx   x 
 
2
2
2
4  2
8
2
I2  
I2  


u  sin 2 x

cos3 2 x dx   cos 2 2 x cos 2 x dx   1  sin 2 2 x  cos 2 x dx
 du  2cos 2 x dx 

du
 cos 2 x dx 
2

3
3
3
1  u 2  du2  12  1  u 2  du  12 u  u3   12 sin 2 x  sin3 2 x   sin22 x  sin6 2 x




Reemplazando I1 y I 2 en I
1
sin 2 x 1
1
1
1
I  x
 x  sin 4 x  sin 2 x  sin 3 2 x  c
8
16
16
64
16
48
6.-  x 2 arccos x dx
Solución.
I   x 2 arccos x dx
Integrando por partes
u  arccos x
dx
du  
1  x2
I




dv   x 2 dx 


x3
v

3



x3
1
x3
arccos x  
dx
2
3
3
1

x



I1
I1  
x
3
1  x2
dx
Integrando por sustitución:

u 2  1  x2

2u du  2 x dx 
u du  x dx 
I1  
x3
1 x
2
dx  

x 2  1  u 2 

u  1  x 2 
1 x
1  u  u du   1  u  u du  
2
x2 x
2
dx   
u
2

2
u
 1  u  du
2
3
u
  1  x 2  1  x 2 
3
3
x
1
x3
Reemplazando en: I  arccos x  
dx
3
3
1
 x2 


I1    du   u 2 du  u 
3
I1
I
x
1
arccos x    1  x 2 
3
3
7.-
x3  1
 x3  5 x 2  6 x dx
3
1
1
 x3
2
  3 arccos x  3 1  x  3

1  x 
2 3
1  x 
2 3
Solución.
Dividiendo
x3  1
5x2  6 x  1

1

x3  5 x 2  6 x
x3  5 x 2  6 x
Descomponiendo en fracciones parciales.
5x2  6 x  1
5x2  6x  1
5x2  6x  1
A
B
C


 

3
2
2
x  5 x  6 x x  x  5 x  6  x  x  2  x  3 x x  2 x  3
1
9

B
6
2
x3  1
5x2  6 x  1
1 3
x3  5 x 2  6 x
x  5x2  6 x
A

C

28
3
x3  1
A
B
C
1 

3
2
x  5x  6 x
x x2 x3
c
A
B
C 
dx
dx
dx

I   1  

 B
 C
dx   dx  A
x x  2 x 3
x
x2
x3

I  x  A ln x  B ln  x  2   C ln  x  3
Reemplazando las constantes:
1
9
28
I  x  ln x  ln  x  2   ln  x  3  c
6
2
3
ax
8.-  e cos bx dx
Solución.
I   e ax cos bx dx
Integrando por partes:

u  e ax

du  ae ax dx 
I

dv   cos bx dx 

sin bx
v

b


e ax sin bx a
  e ax sin bx dx
b
b
Integrando por partes:

u  e ax

du  ae ax dx 

dv   sin bx dx 

cos bx
v

b


I

e ax sin bx a  e ax cos bx a
 
  e ax cos bx dx 
b
b
b
b

I
e ax sin bx a ax
a2
 2 e cos bx  2  e ax cos bx dx
b
b
b 

I
2
ax
I
a
e sin bx a ax
I
 2 e cos bx
2
b
b
b
I
e ax
 beax sin bx  aeax cos bx   c
a 2  b2

 a 2  b2 
e ax
ax
ax
 b 2  I  b 2  be sin bx  ae cos bx 


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