Unidad 5

“ No hay problemas resueltos. H ay solamente problemas más o menos resueltos.”
H enry Poincaré
Unidad 5
Introduc c ión al álgebra
mat emát ic as 1
Introducción
D
e las matemáticas, el álgebra es una de las ramas más útiles para diversas áreas de la ciencia
y de la vida cotidiana. Es posible distinguir en el lenguaje propio del álgebra, aquellas
operaciones básicas revisadas por ti en la aritmética como son la adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación. Sin embargo, estas operaciones cobran un nuevo
significado a la luz del álgebra.
L a incógnita constituye la base de esta rama de las matemáticas, da origen al estudio de
las ecuaciones y es parte fundamental del lenguaje algebraico. Este último se compone de dos
elementos: la parte numérica y la parte literal: ambas partes conforman un monomio o, en general,
un polinomio.
A lo largo de esta unidad revisaremos los conceptos más importantes del álgebra, utilizaremos las
operaciones más comunes en la solución de problemas algebraicos y retomaremos algunas de
las propiedades indispensables para el manejo de los conjuntos numéricos.
20 7
Unidad 5
5.1. Álgebra
El álgebra fue introducida en Europa por los árabes en la Edad M edia y produjo un cambio
tan sustancial que la matemática creció como pocas veces antes. Tan es así que algunos pensadores
llegaron a decir que la matemática expresaba la verdad máxima de las cosas que componen la
naturaleza y que aquello que no era expresable en lenguaje matemático no era científico.
U no de estos grandes pensadores fue Galileo Galilei. Galileo fue físico, matemático y un
gran escritor. En sus libros se destaca una forma muy clara de expresar ideas complejas y dibujos de
gran delicadeza. N ació en Pisa, Italia, el 15 de febrero de 1564 y murió, ya ciego, en 1642 a los 77
años después de sentar las bases para el trabajo de I saac N ewton y por lo tanto
¿Es la
mat emática
la ciencia
que mejor
descr ibe a la
nat ur aleza?
de la física moderna. Este gran hombre dijo que “ ... Las matemáticas son el
alfabeto con que Dios ha escrito el U niverso...” Esto quiere decir que Galileo
creía que todos los misterios de la naturaleza podían ser develados a partir de
la matemática. Si existe un orden formulado por una divinidad, es cuestión de
buscarlo y ese orden superior debe ser formulado desde una estructura lógica y
no existe una disciplina más lógica que la matemática, por ende la matemática
nos serviría para entender y explicar el Universo.
H oy es difícil aceptar una aseveración tan rotunda, pero es indudable que el álgebra es uno
de los acervos culturales más importantes de la humanidad.
L os antiguos griegos fueron grandes matemáticos y particularmente grandes geómetras,
pero no conocían el álgebra. Por ello tenían que transmitir sus conocimientos a partir de la palabra
escrita que como veremos hace que algunas formulaciones se compliquen. Por todo ello, vamos a
introducirnos en el estudio del álgebra.
Muchasdelaspalabrasqueenespañol comienzan con “al” como álgebray algoritmo, derivan
del árabe de cuando este pueblo invadió la península Ibérica.
5.1.1. ¿Qué es el álgebra?
En los primeros cuatro capítulos estudiamos los conjuntos numéricos más importantes. Su
forma de operar pertenece a la aritmética que es la rama de las matemáticas que estudia al número
en una forma concreta.
Es habitual decir que el álgebra es aritmética con letras. Ésta es una simplificación algo
extrema. Quizás sea posible decir que la aritmética es el álgebra de lo concreto, pero el álgebra es
mucho más que una generalización de la aritmética. El álgebra estudia las relaciones íntimas de las
20 8
mat emát ic as 1
cantidades tomadas de una manera general. Es decir, no sólo dice cómo operar sino que además
estructura los fundamentos de esas operaciones.
L a aritmética tiene sus límites bien marcados. Si decimos, por ejemplo, 2 + 2 = 22 (relación
que es verdadera como puedes verificar, ya que ambas operaciones dan 4), no podemos por ello
inferir que 3 + 3 = 32 que como puedes verificar es falsa ya que la operación del primer miembro
es 6 mientras que la del segundo es 9.
Comencemos entonces un estudio sistemático del álgebra.
En la unidad 2 estudiaste que la suma de 2 y 5 era 7. En realidad no te importaba si lo que
sumabas eran dulces o manzanas.
A continuación estudiaste que la suma era conmutativa y pudiste expresar que: 2+ 5 = 5+ 2
y comprobar que “ el orden de los sumandos no altera la suma” .
El lenguaje algebraico simplifica esta formulación ya que si designamos una de las cantidades
involucradas en la suma como x y a la otra como y, la propiedad conmutativa se expresa
x + y= y+ x
que quiere decir que si al número “ x” le sumamos el “ y” , el resultado será igual que si al número
“ y” le sumamos el “ x” : no importa el orden en que se opere, la suma será igual.
Afirmar que el álgebra es una generalización no explica demasiado lo que entraña esta rama
de las matemáticas. L a aritmética también encierra una generalización implícita, aquella que deja
de lado las cualidades sumables. El paso importante que diste en tu educación matemática fue
concebir que 2 + 3 eran 5, independientemente de que se tratasen de peras, manzanas o vacas.
Pero el número tenía una estructura concreta. El álgebra tomará al número como un ente abstracto,
es decir, es un paso más en la generalización de los conceptos. Ahora decimos que: x + y = y + x,
independientemente de las cantidades que sean representadas por la “x” y la “ y” . Por ello el álgebra
usará letras y números para designar las cantidades involucradas en las situaciones permitiendo un
estudio general de las relaciones de las mismas.
Como recordarás, el área de un triángulo puede calcularse como la mitad del producto de
su base por su altura, lo que en símbolos significa:
2
en donde “ A” designa el área del triángulo, “ b” la base y “ h” su altura.
20 9
Unidad 5
Como puedes notar, para la formulación de la relación entre los elementos relevantes de un
triángulo y su área usamos letras y números para significar la relación más general.
Al establecer esta fórmula no nos fijamos en un triángulo en
particular, sino que es válido para cualquier triángulo.
h
b
h
h
b
h
b
b
Figura 5.1.
El área de un triángulo es “ base por altura sobre dos” , tanto para uno de base 5 cm y altura
8 cm como para otro de base 45.67 km y altura 38.2 km, e independientemente de que se trate
de un triángulo acutángulo (tres ángulos agudos), de uno rectángulo (un ángulo recto) o de uno
obtusángulo (un ángulo obtuso). Sin embargo, independientemente de la medida de la base y la
altura del triángulo estudiado, el área es la mitad del producto de estas cantidades, por ello a este
producto lo dividiremos entre 2 y no entre otro número cualquiera. La fórmula que nos permite
calcular el área de un triángulo no es
, que querría decir que al producto de la base por la
altura hay que dividirlo por un número “ x” . Este número no es cualquiera, es 2 y no otro. Por
ello decimos que en el álgebra usaremos letras (cuando represente un número cualquiera u otro
desconocido) y números (cuando la cantidad que queremos expresar sea un número definido como
en el caso del 2 en el área del triángulo).
5.1.2. Traducción del lenguaje algebraico al coloquial y viceversa
El álgebra es un lenguaje que nos permite designar relaciones generales entre las cantidades
conocidas y desconocidas por medio de símbolos que al unirse mediante operaciones forman lo
que se conoce como expresiones algebraicas. N osotros somos seres que vivimos en comunidad y
nos relacionamos con el resto de la humanidad en otros lenguajes (español, inglés, náhuatl, etc.)
y por ello es preciso establecer una correspondencia (una traducción) entre estos dos lenguajes, el
algebraico y el coloquial (en nuestro caso el español).
210
mat emát ic as 1
Veamos algunas “ traducciones” elementales de un lenguaje a otro:
Lenguaje algebraico
Lenguaje coloquial
x, y
x diferente de y
x+ y
x+ 5
x–y
L a suma de dos números cualesquiera.
L a suma de un número cualquiera más cinco.
L a diferencia (o resta) de dos números cualesquiera.
x–1
8–x
L a diferencia de un número cualquiera menos uno.
L a diferencia de 8 menos un número cualquiera.
x y ó (x) (y)
El producto de dos números cualesquiera.
2x
El doble de un número cualquiera.
ó x/y
El cociente de dos números cualesquiera.
x
2
L a mitad de un número cualquiera.
Las últimas cuatro equivalencias necesitan un comentario. Estamos acostumbrados a escribir
la suma con el signo “ + ” y la multiplicación con el “ ” . Sin embargo, en el álgebra será habitual
usar la letra equis (x) representando una cantidad por lo que se confundirían los casos en que la
“ x” simbolice la multiplicación y cuando representa una cantidad. Por ello, en la multiplicación no
usaremos ningún símbolo. “ La multiplicación de dos números cualesquiera” se simboliza, por lo
tanto “ x y” y no “ x y” . A veces es conveniente separar de alguna forma los factores que intervienen
en la multiplicación. En ese caso usaremos paréntesis y escribiremos (x) (y) para simbolizar este
producto. Cuando escribimos “ el doble de un número cualquiera” como 2 x, queremos significar
que el 2 multiplica a la x.
D e una manera similar, acostumbramos escribir “ el cociente de dos números cualesquiera”
como x y. Esta escritura no es incorrecta; sin embargo, si recuerdas la noción de fracción y la forma
en que se convierte a decimal, una fracción es una división implícita. Por ejemplo
= 0.5 ya que:
0.5
2
1
Por ello usaremos esta notación para simbolizar la división, escribiendo
. Para ahorrar
espacio a veces usaremos la notación x/y que también simboliza una fracción; sin embargo, esta
última forma a veces entraña alguna dificultad de comprensión como veremos más adelante.
211
Unidad 5
Veamos cómo podemos relacionar en otros casos estos dos lenguajes a partir de ejemplos
y ejercicios.
Ejemplos:
Traduce del lenguaje algebraico al coloquial o viceversa, según corresponda, los siguientes
enunciados:
1. El producto de tres números cualesquiera.
Solución: En este caso el enunciado está dado en lenguaje coloquial, por lo cual debemos
traducirlo al algebraico. Para escribir tres números cualesquiera usaremos tres letras que pueden
ser a, b, c ó j, m, t ó cualquier otra terna de letras. L a costumbre nos hace usar las últimas letras del
alfabeto español, pero la razón de usar letras es para designar un número cualquiera sin especificar
el 2 o el 67, por lo que sería perfectamente válido usar otros símbolos como & , # y $. Aún así, el
producto de tres números cualesquiera lo escribiremos como: x y z.
U n error común al comenzar a estudiar álgebra es confundir la noción de número con dígito.
L os dígitos (palabra que tiene sus raíces en común con la de dedos) son los diez símbolos con que
escribimos cualquier cantidad. L os dígitos son:
D ígitos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7 8, 9}
U n número, en cambio, puede estar formado por uno o más dígitos. Es un número el 5, pero
también lo son el 48, el 539 y el 1 365 098. Cuando decíamos que un número puede ser representado
por una letra, no nos referimos solamente a cantidades expresables por un solo dígito.
2. L a tercera parte de la suma de tres números cualesquiera.
Solución: La tercera parte de cualquier cosa es el cociente (división) por tres; en consecuencia
la tercera parte de la suma de tres números cualesquiera se escribirá en lenguaje algebraico como:
Ahora traduzcamos al revés.
3.
4
Solución: Ahora el enunciado está dado en lenguaje algebraico, por lo que debemos traducirlo
al coloquial como: la cuarta parte de la diferencia de dos números cualesquiera.
4. (x + y) (x – y)
Solución: L a traducción al lenguaje coloquial es: el productodela suma por la diferencia dedos
númeroscualesquiera. Fíjate que en esta relación están involucrados dos números (x, y) y no cuatro
como uno podría pensar en un principio. Esto lo podemos expresar como:
212
mat emát ic as 1
Si en lenguaje algebraico se usa la misma letra en dos o más ocasiones significa que representa
el mismo número.
La afirmación al revés es falsa. Puede suceder que en un principio se usen dos letras diferentes
para designar dos números que en realidad sean el mismo. Por ejemplo, para calcular el área de un
triángulo designamos b y h para representar la base y la altura, pero esta relación es válida para el
caso en que estas dos cantidades sean la misma, es decir, que la utilización de la misma letra en más
de una ocasión en un problema dado implica estar hablando de la misma cantidad. Pero el usar dos
letrasdiferentes no implica que hablemos de cantidades diferentes.
5. El producto de dos números consecutivos.
Solución: Si el enunciado dijera “ el producto de dos números
cualesquiera” , escribiríamos xy; sin embargo, en este caso los números
están relacionados: son consecutivos. Para escribirlos pensemos cuál es
el número consecutivo de 5: es el 6. El número consecutivo de 57 es 58.
Para hallar el número consecutivo de otro, lo que hacemos es sumarle
una unidad al anterior. Por ello, si uno de los números lo designamos
por “ x” , su consecutivo será “ x + 1” .
Es un error muy común suponer que el número consecutivo de
x es y. Fíjate que la y es la letra consecutiva a la x en el alfabeto español
y no designa el número consecutivo de x. En el álgebra la utilización
¿Cómo tr aducimos
“la velocidad de
un aut omóvil que
viaja a velocidad
constant e es
dir ectamente
pr opor cional
a la distancia
r ecor r ida e
inver samente
pr opor cional al
tiempo empleado”?
de una letra u otra es arbitraria, por lo que el número consecutivo de
x podríamos designarlo por la letra p o la f y sería equivalente; no obstante esta formulación no
representaría la propiedad de ser consecutivo. Por todo ello, el producto de dos números consecutivos
se escribe, en lenguaje algebraico, como: x (x + 1)
Ejercicio 1
Traduce del lenguaje algebraico al coloquial y viceversa, según corresponda, los siguientes
enunciados:
1. L a mitad del producto de tres números cualesquiera.___________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________.
213
Unidad 5
2. L a mitad del producto de dos números consecutivos___________________________________
_________________________________________________________________________________.
3. 2x_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________.
4. Pedro tiene el doble de la edad de Juan______________________________________________
_________________________________________________________________________________.
5. 3 ____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________.
6. 2(x + y)________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________.
7. L a fuerza aplicada sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración
producida.________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________.
8. El área de un polígono convexo regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por su
apotema.__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________.
5.2. Valor numérico de una expresión algebraica
5.2.1. Prioridad de operaciones
Antes de iniciar el estudio del valor numérico de una expresión algebraica es preciso hacer
consciente la relación que existe entre las operaciones elementales.
¿Cuál es el resultado de 2 + 3 x 4 ?Posiblemente pienses que es 20 o que es 14. Fíjate que estos
dos resultados provienen, el primero, de sumar 2 y 3 y a ese resultado multiplicarlo por 4, y el otro
de primero multiplicar 3 y 4 y a ese producto sumarle 2. ¿Cuál es el correcto? ¿O debemos asumir
los dos? Evidentemente no. Si aceptáramos los dos resultados, al encadenar muchas operaciones
como las que debemos hacer para calcular la resistencia de un puente, no sabríamos cuál es el peso
que resistiría porque obtendríamos por ejemplo 3 000 kg o 200 kg o 5 kg, etcétera.
Si realizas esta operación con una calculadora científica verás que el resultado correcto es 14
y no 20. Esto es debido a lo que se llama prioridad de operaciones que dice que:
214
mat emát ic as 1
Al encadenar varias operaciones aritméticas tenemos que llevar el siguiente orden:
1°. Potencias y raíces.
2°. M ultiplicaciones y divisiones.
3°. Sumas y restas.
Por ello, la operación precedente da como resultado 14 y no 20, ya que debemos primero
multiplicar (3) (4) (que da como resultado 12) y a este producto sumarle 2.
Pero puede pasar que queramos que estas operaciones den como resultado 20. ¿Podríamos
hacerlo? Claro que sí, para ello usaremos los paréntesis. Si tenemos (2 + 3) (4) los paréntesis nos
indican que debemos sumar 2 y 3 antes de multiplicar por 4. Por ello establecemos que:
L os paréntesis sirven para alterar la prioridad de operaciones.
Ejemplos:
Calcula los resultados de las siguientes operaciones según la prioridad de operaciones:
6. 32 + (4) (2) 3
Solución: Como verás, existen tres tipos de operaciones: potencias, suma y multiplicación.
L a prioridad nos dice que debemos resolver primero las potencias, luego la multiplicación y por
último la suma; por lo tanto:
32 + (4)(2) 3 = 9 + (4)(8) = 9 + 32 = 41
Fíjate que la prioridad de operaciones nos indica que el cubo (exponente 3) de la operación
anterior es solamente del 2 y no del 4. Es decir, es diferente 4 x 23 que (4 x 2) 3.
7.
Solución: Por la prioridad de operaciones, el cuadrado es sólo del 3 y debe operarse primero.
Sin embargo, fíjate que el 7 está dividiendo a la suma, por lo que debe operarse después de realizar
esta operación. Es como si hubiera un paréntesis implícito de esta manera: (5 + 32) : 7
Por lo tanto, la división debe realizarse después de la suma de la manera siguiente:
215
Unidad 5
Ejercicio 2
Calcula los resultados de las siguientes operaciones según la prioridad de operaciones:
1. 52 – (1 + 2) 3 =
=
2.
3. 1 +
=
4. (4)(3 –1) 2 =
5.
=
5.2.2. Fórmulas
Algunas de las principales aplicaciones del álgebra son las fórmulas que tú usaste mucho
antes de saber que existía el álgebra. Por ejemplo, sabemos que el área de un triángulo se calcula
como la mitad del producto de su base por su altura, es decir: A =
D esde primaria aprendiste a calcular el área de un triángulo conociendo el valor de la base
y de la altura del triángulo. Así aprendiste uno de los principios matemáticos más importantes, el
principio de sustitución por el cual si A =
y b= 8, y h= 3 podemos sustituir los valores de
b= 8 y de h= 3 en la fórmula anterior, obteniendo:
216
mat emát ic as 1
El resultado es una expresión aritmética en lugar de algebraica, es decir, una expresión de
números específicos a diferencia de la relación de cantidades generales como era la fórmula original
del área dada en función de la base “ b” y la altura “ h” , y que puede resolverse encontrando un
resultado específico, de la siguiente manera:
A
Por todo lo anterior decimos que hallar el valor numérico de una expresión algebraica
consiste en hallar el valor de dicha expresión para cantidades específicas, usando el principio de
sustitución.
Ejemplos:
Vamos a practicar lo aprendido antes.
8. H alla el valor numérico de F = m a , para m = 5 y a = 2
Solución: como m = 5 y a = 2, entonces F = m a = 5 x 2 = 10 entonces, el valor numérico
de “ F” buscado es de 10.
Si recuerdas de tus cursos de física, esta expresión es conocida como la segunda ley de
N ewton, por la cual la fuerza “ F” aplicada sobre un cuerpo es igual al producto de la masa “m” de
un cuerpo por su aceleración “a” .
9. H alla el valor numérico de
, para B = 15.6, b = 8.3 y h = 3
Solución: como B = 15.6, b = 8.3 y h = 3, entonces
Fíjate que el valor numérico pudo ser calculado a partir del principio de sustitución y la
prioridad de operaciones sin conocer el significado de la expresión. Sin embargo, si recuerdas de
tus cursos de geometría anteriores, la fórmula precedente calcula el área de un trapecio donde “B”
significa la base mayor, “b” la base menor y “ h” la altura.
217
Unidad 5
b
h
B
Figura 5.2. Un trapecio.
Ejercicio 3
1. H alla el valor numérico de A =
2. H alla el valor numérico de F =
r 2, para = 3.1416 y r = 3
, para m = 3.4, v = 4.2 y r = 2.1
3. H alla el desplazamiento de un móvil que viaja en movimiento rectilíneo uniforme a una
velocidad de 60 km/h durante una hora y media si la relación es d = v t, donde d representa el
desplazamiento (o distancia recorrida), v es la velocidad y t el tiempo.
5.3. Monomios
5.3.1. ¿Qué es un monomio?
Ya estamos en condiciones de comenzar un estudio más sistemático del álgebra. Este estudio
comienza por los monomios.
L lamamos monomio a una expresión algebraica formada por un coeficiente (número
y signo) y una parte literal, de tal suerte que todos los elementos estén relacionados por
multiplicaciones.
Así decimos que 2 x es un monomio donde el coeficiente es 2 y la parte literal es x, ya que
ellos se están multiplicando. Pero también es un monomio 2 x2, donde el coeficiente es 2 y la parte
literal es x2 y ellos están multiplicándose ya que x2 significa x x, o sea que el monomio 2 x2 puede
interpretarse como 2 x x.
218
mat emát ic as 1
Sin embargo
x no es un monomio ya que entre los elementos de esta expresión algebraica
existe una raíz cuadrada que no implica una multiplicación.
Entonces un monomio es una expresión algebraica que consta de un coeficiente y de literales
con sus exponentes. Así, el monomio –5 x3 tiene como coeficiente –5, y por lo tanto el signo del
monomio es negativo, pero el monomio anterior 2 x2, cuyo coeficiente es 2 tiene un signo + , sólo
que este signo se encuentra implícito y vamos a acordar no escribirlo de no ser necesario.
Por otro lado, la parte literal tiene asociado un grado que es la suma de los exponentes de
la parte literal. Así el monomio 8 x2 y3, cuya parte literal es x2 y3 tiene grado 5. El grado de un
monomio será relevante para la división de polinomios.
Resumiendo:
Parte literal
Grado
Suma de los exponentes
Ejemplos:
M onomio
10.
–3 x2 y7
11.
3
4 4
5x y z
6
Coeficiente
–3
5
Signo del
monomio
negativo
positivo
Parte literal
x2 y7
11
6
6
x y z
–0.5 x
–0.5
negativo
x
13.
3/4 x5 y3
3/4
positivo
x5 y3
14.
15.
2a
4
2a b
2
2
positivo
positivo
9
3 4 4
12.
4
Grado
8
4
4
4
5
a
a b
Fíjate en el último ejemplo que la “b” está elevada al exponente 1. L a convención aceptada
es que el exponente 1 no se escribe, así como sucede con el signo + .
219
Unidad 5
Ejercicio 4
Completa el siguiente cuadro.
M onomio
1.
2.
3.
–8 x4 y6
________
–0.25 x3
4.
5.
–3/4 x7 y2
________
Signo del
monomio
Coeficiente
________
25
________
________
2
________
________
________
________
positivo
Parte literal
________
3
2
2
x y z
________
________
Grado
________
________
________
________
g4 h j 2
7
5.3.2. Los monomios son las “palabras” algebraicas
D ecíamos que el álgebra era un lenguaje que nos permite escribir relaciones matemáticas sin
ambigüedad. Si recuerdas la sección de traducción de lenguaje algebraico al coloquial, este último
no es claro para representar las relaciones que nos interesan.
El lenguaje algebraico, como todo lenguaje, se compone de “ unidades de información” que,
combinadas, nos proporcionan la información total. En el álgebra esas unidades son los monomios
que se combinan de diferente manera para darnos una unidad de comprensión mayor.
Por ejemplo, los monomios (2 x2), (3 x) y ( 3.1416 r 2) pueden combinarse dándonos:
(2 x2) + (3 x) – ( 3.1416 r 2) o bien (2 x2) + (3 x) ( 3.1416 r 2)
Fíjate que entre los dos últimos monomios no aparece ningún signo. Recuerda que cuando
suceda esto vamos a acordar que existe una multiplicación, de la misma manera que cuando
escribimos el monomio 3 x, asumíamos que el 3 estaba multiplicando a la x.
L os monomios se pueden combinar de muchas otras formas, extrayéndoles raíz cuadrada,
sumándolos, dividiéndolos, etc. Algunos ejemplos de esto son:
2 x 2 + (3x) – ( 3.1416 r 2)
x
, etcétera.
x
5.3.3. Monomios semejantes
En muchos libros encontraremos que las palabras monomio y término son tomadas como
sinónimos. Sin embargo, nosotros hacemos una distinción que si bien es algo sutil no deja de ser
importante.
220
mat emát ic as 1
U n término es una expresión algebraica donde no intervienen operaciones de suma +
o resta –.
Entonces –2x2,
, son términos, y mientras que la primera expresión (–2 x2) es,
además, un monomio, la segunda
no lo es por la presencia de la raíz cuadrada. Siguiendo
la misma lógica diremos que 4 x5 –6 x2 consta de dos términos (el 4 x5 y el –6 x2 que, además, son
consta de tres términos de los cuales sólo los dos
monomios ambos), y
primeros son, además, monomios, puesto que un monomio es un término en el que no aparecen
raíces ni literales en el denominador.
A partir de esta definición de término, podemos ver que:
Todo monomio es un término, sin embargo, no todo término es un monomio.
El enunci ado ant er i or i mpli ca una i ncl usi ón l ógi ca de suma i mpor t anci a en
matemát icas. Si recuerdas los conjuntos estudiados en las unidades anter iores, podemos
deci r que:
Términos
Figura 5.3. Los monomios son
subconjuntos de los términos.
Monomios
Es decir que los monomios forman un subconjunto de los términos.
Ya que hicimos la distinción entre monomio y término estamos en condiciones de definir
monomios semejantes:
D ecimos que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Por ello, (5 x) y
x son semejantes, mientras que (3 x2 y) y (3 x y2) no lo son ya que en
el primero es la “ x” la que está elevada al cuadrado y en el segundo monomio es la “y” .
Fíjate que para que dos términos sean semejantes no importa el coeficiente sino sólo la parte
literal (con sus respectivos exponentes).
221
Unidad 5
Para el estudio que llevamos adelante en esta unidad vamos a centrar nuestra atención
solamente en los monomios, para más adelante extender esta lógica a cualquier tipo de término.
Ejemplos:
Primer monomio
Segundo monomio
¿Son semejantes?
16.
4xy
3xy
sí
17.
4 a b2
4 a b2
sí
18.
–2 x
–2 y
no
19.
2
2
–0.42 b j
4j b
no
Ejercicio 5
1. D ecide si los siguientes monomios son semejantes o no.
Primer monomio
a)
Segundo monomio
4 x2 y
¿Son semejantes?
3xy
2
b)
2.3 a b
4 a b2
c)
–2xy
–2yx
d)
2x 3x2
7 x3
5.3.4. Polinomios
Ya estamos en condiciones de definir los polinomios.
U n polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de dos o más
monomios.
¿Qué
Entonces 2x2 + 5x es un polinomio ya que es la suma de dos monomios,
la palabr a
polinomio?
x, también es un
el 2x2 y el 5x. D e la misma manera 5x5 y + 4x y 4 +
polinomio.
¿La expresión 3x2 – 7x es un polinomio?Sí, ya que es la suma de los monomios
3x2 y – 7x, es decir que:
222
mat emát ic as 1
3 x2 – 7 x = (3 x2) + (– 7 x)
Por ello llamamos suma algebraica a la suma o resta de expresiones algebraicas.
Como te habrás dado cuenta, la palabra “ polinomio” quiere decir varios monomios. Por
ello se acostumbra especificar la cantidad de monomios que componen un polinomio con algunas
palabras más específicas. Así, a un polinomio que consta de dos monomios lo llamamos binomio,
a uno de tres monomios lo llamamos trinomio, a uno de cuatro cuatrinomio, etcétera. Para los
polinomios de cinco o más monomios acostumbramos llamarlos polinomios solamente, aunque
serían válidos vocablos como “ pentanomios” , “ hexanomios” , etcétera.
Ejemplo:
Clasifica los siguientes polinomios en binomios, trinomios, etcétera.
20.
5 a5 + 4 a
Binomio.
2
21.
x +4x+4
Trinomio.
22.
b5
Monomio.
23.
5 x5 + 4 x –3 y + z – xy
Pentanomio
que, sin embargo, sería correcto).
24.
6
3
7.5 x + 8 x – 7 x + 1
Cuatrinomio.
Ejercicio 6
Clasifica los siguientes polinomios en binomios, trinomios, etcétera.
1. 4 x
_____________________.
2. 4.5 x + 24
_____________________.
3. 2/3 y3 + 1/2 y – 8
_____________________.
4. x3 – 3 x2 + 3 x + 1
_____________________.
5. x5 + 5 x4 + 10 x3 + 10 x2 + 5 x + 1
_____________________.
223
Unidad 5
5.4. Incógnitas
U no de los si gnos más i mpor t antes de la matemát ica es el igual (= ). Estamos
acost umbrados a usarlo, pero lo más probable es que no hayas reparado en todas las
implicaciones que esta relación t iene.
Generalmente usamos el signo para simbolizar “ es el resultado de” . Por ejemplo, cuando
escribimos 2 + 3 = 5, queremos simbolizar que 5 es el resultado de la suma de 2 y 3 lo cual es
evidentemente verdadero. Pero para poder comprender cabalmente el álgebra, debemos asegurarnos
que entendemos bien su significado.
El signo igual en matemáticas es usado en al menos tres afirmaciones o relaciones diferentes:
U na igualdad es una afirmación de que lo que se encuentra a la izquierda del signo igual
(llamado primer miembro) es efectivamente igual a lo que se encuentra a la derecha del mismo
(segundo miembro).
Primer miembro = segundo miembro
U na igualdad es, por ejemplo, 7 – 4 = 3.
U na ecuación es una relación de igualdad entre dos miembros que es verdadera para algún
o algunos valores de una o más cantidades desconocidas.
U n ejemplo de ecuación es x + 5 = 7 que es verdadera solamente para x = 2.
Fíjate que la ecuación anterior es la formulación algebraica del problema: “ hallar el número
que sumado a 5 da 7” .
U na identidad es una relación de igualdad que se verifica verdadera para todo valor de las
cantidades involucradas habitualmente llamadas variables.
U na identidad de la que ya hemos hablado es x + y = y + x que es conocida como propiedad
conmutativa de la suma y que es evidentemente verdadera para cualquier valor de x y de y.
224
mat emát ic as 1
Para comprender mejor lo dicho, veamos un error común que
implica la no comprensión de esta relación. Supongamos un “ problema”
común en nuestra educación primaria: Juan fue a la panadería y gastó
$5, luego compró fruta por $7 y de regreso a su casa compró unos
dulces por $2, ¿cuánto dinero gastó en total? Por una simple inspección
podemos decir que su gasto total fue de $14, pero es común establecer
¿Qué r elaciones
de inclusión
se pueden
est ablecer entr e
las igualdades,
las ecuaciones y
las identidades?
la siguiente respuesta:
5 + 7 = 12 + 2 = 14
L o que quiere decir que ¡ 5 + 7 = 14 !, ya que
5+7
=
12 + 2
12
=
14
=
14
Aquí, el signo igual está usado como “ da como resultado ...” ya que entonces podemos
afirmar que: 5 más 7 “ da como resultado” 12 que sumado a 2 “ da como resultado” 14, que es
evidentemente correcto.
Este error en la utilización del signo posiblemente más utilizado en matemáticas puede
ser caracterizado de “ ortográfico” . L a ortografía en el español no es un capricho de unos cuantos
para distinguirse del “ vulgo” . N os permite comunicarnos de una manera eficaz en la medida de
que favorece que la persona que lee el escrito entienda efectivamente lo que se quiere decir. L a
comunicación es en sí un fenómeno sumamente complejo, tanto como la propia mente humana.
Por ello el hombre ha estructurado reglas de comunicación. Sin embargo, existen diferencias entre
los errores ortográficos. Por ejemplo, el error de escribir Sanchez en lugar de Sánchez, puede
significar que no manejemos bien las reglas de acentuación. Sin embargo, escribir “ hací” por “ así”
puede implicar la suposición de que este vocablo se derive del verbo hacer, lo que significa un
error ortográfico que implica incomprensión del discurso. D e la misma manera cuando se escribe
el famoso: “ masiosare” en el himno nacional mexicano en lugar del correcto “ ...más si osare...” . Si
ahora leyeras “ uebo” posiblemente tardes un rato en reconocer que se quiso escribir “ huevo” .
El álgebra es un lenguaje que tiene su significado específico y que garantiza que todos
entendamos lo mismo. U na utilización con significado particular de algún símbolo implicaría por
un lado la imposibilidad de que otra persona entienda lo que queremos decir o que nosotros no
entendamos lo que otro dice, y por el otro la subyacente posibilidad de que nosotros no entendamos
lo que nosotros mismos decimos, que es aún mucho más grave.
225
Unidad 5
5.4.2. Incógnitas, número “desconocido”
¿Cuál es el número que sumado a 5 da como resultado 9? Este problema nos resulta muy
sencillo para el nivel de estudios en que nos encontramos; sin embargo, nos sirve para plantear una
situación importante. Si quisiéramos escribir la relación planteada necesitamos poder escribir un
número que nos es desconocido en principio. Si recuerdas el apartado de traducción de lenguaje
coloquial al algebraico, verás que ese número puede ser escrito con algún símbolo en particular (la
costumbre es escribirlo con alguna de la últimas letras del alfabeto, x, y , etc.). Por ello, a este número
lo vamos a designar por la letra x. L a relación planteada queda entonces como: x + 5 = 9.
Fíjate que si bien en el enunciado de la situación planteada hablamos de “ da como resultado” ,
debemos retomar el significado preciso de la igualdad discutido en el apartado anterior. Esta situación
es como una operación en la que un número se ha “ perdido” o nos es desconocido y queremos
encontrar su valor. Este número desconocido en una relación matemática se denomina incógnita,
de tal suerte que:
U na incógnita es una cantidad o número que es desconocido en una situación determinada
y que habitualmente queremos hallar su valor.
Ejemplos:
H alla el “ número desconocido” de las siguientes ecuaciones
25. x + 5 = 15
26. 2 x – 9 = 13
Solución: x = 10
Solución: x = 11
27. 2 x + 5 = 15
28. 3 x + 9 = 21
Solución: x = 5
Solución: x = 4
Ejercicio 7
H alla el “ número desconocido” de las siguientes ecuaciones
226
1. x – 5 = 15
____________________.
2. 2 x + 9 = 13
____________________.
mat emát ic as 1
3. 2 x – 5 = 15
____________________.
4. 3 x – 9 = 21
____________________.
5. 3 x + 4 = 2 x + 8
____________________.
6.
____________________.
7.
8.
x
x
____________________.
x
____________________.
H abrás reconocido que las ecuaciones anteriores son de resolución inmediata. Este tipo de
relación puede necesitar un esfuerzo más grande que la simple inspección. Sin embargo, la teoría
general para resolver ecuaciones la estudiarás en un curso posterior.
U na ecuación, entonces, es una relación de igualdad con una o más incógnitas. Esta
relación se vuelve verdadera para uno o más valores de las incógnitas. Estos números o valores de
las incógnitas que vuelven verdadera la igualdad establecida por la ecuación se llaman soluciones
de la ecuación, de tal suerte que:
Se llama solución o soluciones de una ecuación al valor o valores que la convierten en
una igualdad.
El proceso de comprobar una ecuación es de suma importancia. Veamos algunos
ejemplos:
Ejemplos:
D ecide si los siguientes valores de las incógnitas son soluciones de las ecuaciones
correspondientes:
29. x2 + 5 = 15
Solución: Si x =
Para x =
, entonces si sustituimos este valor en la ecuación vemos que:
+ 5 = 10 + 5 = 15
sí es solución de la ecuación. Fíjate que el cuadrado está aplicado a la
Por lo que
incógnita que en este caso asume un valor negativo y, por ello, al elevarlo al cuadrado queda positivo.
Es importante ver que aunque un valor de la variable sea solución de una ecuación, no quiere decir
que sea la única. En este caso el valor x =
, también es solución de esta misma ecuación.
227
Unidad 5
30.
x
Para x = 1
x
Solución: Si x = 1, se establece una relación prohibida, ¡la división por cero!, por ello, x= 1
no es solución de la ecuación. D e hecho, la única solución de esta ecuación es x = 0.
31.
x
x
x
x
Para x = 3
Solución: Si x = 3 y sustituimos, entonces:
=
como
, entonces x = 3 no es solución de esta ecuación.
Ejercicio 8
D eci de si los si gui ent es val ores de l as i ncógni t as son sol uci ones de l as ecuaci ones
correspondientes:
x
x
1.
2.
x
3. x
x
x
x
x
x
x
Para
x = –7
Para
x = 12 y x = –12
Para
x= 0
5.4.3. Variables
El uso de letras para designar cantidades es muy habitual en álgebra; sin embargo, existe
una diferencia interesante entre el concepto de incógnita y el de variable. Para comprender este
último concepto y su diferencia con el de incógnita, analicemos el siguiente ejemplo: Tú sabes
bien que un cuadrado de 3 centímetros de lado tiene un perímetro de 12 centímetros, ya que para
228
mat emát ic as 1
hallar el perímetro de un cuadrado multiplicamos por 4 la medida de uno
¿Qué
de sus lados. En general, podemos decir que si designamos el perímetro
difer encia
con la letra “ P” y la medida del lado con “ l” , entonces: P = 4l.
exist e ent r e
var iable e
Esta relación es válida para cualquier cuadrado y nos permite conocer
incógnit
a?
el valor de su perímetro conociendo la medida del lado. Fíjate que no existe
un valor determinado del perímetro, sino que éste depende del valor de “ l” ,
es decir, que para cada valor de “l” , “P” asumirá un valor consistente con la
relación P = 4 l. Esta relación es una ecuación con dos incógnitas que habitualmente llamamos
variables. L a diferencia entre variable e incógnita es sutil pero no poco importante. La noción de
variable implica una relación de causalidad, o como nos gusta decir a los matemáticos, una relación
entre dos o más cantidades.
Entonces:
Se llama variables a las cantidades involucradas en una relación matemática, de tal suerte
que los valores que tomen unas determinen los que asumen las otras.
En el caso anterior, el perímetro y el lado de un cuadrado están relacionados porque el
primero es el cuádruplo (cuatro veces) del segundo y a cada valor de l le corresponde un valor de
P. Entonces, l y P cumplen la función de variables en esta relación, mientras que el 4 no es una
variable ya que no puede asumir otro valor que no sea ése. A las cantidades que toman un valor
específico en una relación matemática se les llama constantes.
Si hacemos una tabla, podremos observar esta relación:
l
P
1
4
Ya que P = 4 l = (4)(1) = 4
7
28
Ya que P = 4 l = (4)(7) = 28
0.3
1.2
Ya que P = 4 l = (4)(0.3) = 1.2
Fíjate que el valor de P depende del valor de l, pero una vez asignado un valor a esta variable,
la relación se convierte en una ecuación de una sola incógnita, en este caso P.
Todas las fórmulas que has aprendido a lo largo de estos años, ya sean en geometría, en
física, en geografía, etc., son relaciones de variables que se convierten en ecuaciones de una sola
incógnita cuando sustituyes los valores correspondientes al problema tratado.
El concepto de variables es de suma importancia en matemáticas y otras ciencias y lo verás
en detalle en tus próximos cursos. Por ahora analicemos otros casos:
229
Unidad 5
Ejemplos:
32. ¿Recuerdas cómo se calcula el promedio entre tres cantidades? Si llamamos “P” al
promedio, y “ a” , “ b” y “ c” a las tres cantidades, el promedio es:
3
Que es una ecuación con 4 variables: P, a, b y c. Esta ecuación puede ser vista como la relación
entre estas cuatro cantidades tomadas como variables, ya que el valor del promedio depende de los
valores que asuman las variables a, b y c.
En general, el promedio de “ n” números llamados x1, x2, x3,..., xn, es:
P=
33. ¿Cómo se relacionan la distancia recorrida y el tiempo empleado para el movimiento
de un automóvil que viaja a 60 km/h?
Como recordarás de tus cursos de física, si este automóvil viaja durante una hora recorrerá
60 km, si viaja durante dos horas recorrerá 120 km, si viaja durante 2.5 horas recorrerá 150 km.
Esto puede ser expresado más fácilmente usando la expresión: d = (60) t. D onde “ d” representa
la distancia recorrida y “ t” el tiempo empleado en recorrer esa distancia. L a relación de estas dos
cantidades (variables) está dada, en este caso, por una constante (60 km/h) que representa la
velocidad del automóvil.
34. ¿Qué variables son relevantes para analizar el área de un triángulo?
Esta pregunta puede parecer inocente a primera vista. Sabemos desde hace mucho tiempo
que “ el área de un triángulo es igual a la base por la altura sobre dos” . Es decir que:
A=
2
Ésta es una relación entre tres variables, que nos proporciona el valor del área cuando son
conocidas la base y la altura.
Pero si analizamos un poco más esta relación, vemos que nos dice algunas cosas más. Por un
lado nos permite también conocer el valor de la altura, conociendo el área y la base. Por ejemplo,
un triángulo de 4 centímetros de base y 16 centímetros cuadrados de área debe tener una altura de
8 centímetros independientemente de la forma de ese triángulo, es decir, que esta relación dice que
¡todos los triángulos de 4 cm de base y 8 cm de altura tendrán 16 cm2 de área!
230
mat emát ic as 1
C
D
E
F
G
8 cm
A
B
4 cm
Figura 5.4. Diversos triángulos de la misma base y altura.
L os triángulos ABC, ABD , ABE, ABF y ABG tienen la misma área: 16 cm2.
El analizar las cantidades de una relación como variables, permite comprender la relación que
existe entre ellas independientemente de las cantidades específicas que representen en un problema
determinado. Por ejemplo, a partir de lo que hemos analizado arriba, podemos concluir que:
Todos los triángulos que tengan la misma base y la misma altura, tienen la misma área,
independientemente de la forma del triángulo (acutángulo, rectángulo, obtusángulo, isósceles,
etcétera).
Si ahora volvemos a la pregunta original sobre cuáles variables son relevantes para el área
de un triángulo, podemos decir que son la base y la altura. Esto quiere decir que no son relevantes
ni la forma, ni, por ejemplo, el color del triángulo.
En el caso anterior fijamos el valor de la base y del área de un triángulo y nos preguntamos
por la altura del mismo. Si ahora fijamos solamente el valor del área, por ejemplo en 60 m2, podemos
preguntarnos cómo se relacionan la base y la altura de un triángulo de área 60 m2. En otra palabras,
tenemos: 60 =
o lo que es lo mismo: bh = 120
2
Fíjate que al variar los valores que puede tomar, por ejemplo la base, variarán los valores de
la altura. Si la base es de 30 m, la altura será de 4 m, pero si la base toma el valor de 10 m, la altura
será de 12 m. H agamos una tabla.
b
h
30
4
10
12
1
120
5
24
60
2
231
Unidad 5
Que es una relación de proporcionalidad inversa (¿recuerdas los problemas de “ regla de tres
inversa” ?) donde el incremento de la base implica una disminución de la altura y viceversa.
Ejercicio 9
Realiza un cuadro donde se muestre cómo se relacionan las variables siguientes:
1. L a diagonal de un cuadrado y su área.
2. L a medición de la temperatura en grados centígrados (°C) y grados Fahrenheit (°F).
3. L a medida de un volumen en litros y en centímetros cúbicos.
4. L a masa de un cuerpo, su volumen y su densidad.
232
mat emát ic as 1
Nota histórica
Es difícil decidir quién fue el más grande matemático de todos los tiempos, pero seguro que
Carl Gauss es uno de los candidatos más serios a este título.
Gauss es uno de los matemáticos arquetípicos del siglo XV II I. Cuentan que la genialidad
del joven Gauss sólo era comparable con su inquietud. Un día en que su maestro de matemáticas
se encontraba calificando trabajos en su escritorio, decidió llamar a Carl y ponerle un problema que
lo tuviera entretenido un buen rato. L e dijo: “ suma todos los números del 1 al 100” .
Al cabo de unos pocos minutos, Gauss dejó su pizarra sobre el escritorio de su maestro y
siguió “ dando lata” . El maestro, seguro de que por fin había encontrado un problema demasiado
difícil para Carl, siguió en su tarea. Al terminarla, volteó la pizarra y leyó.
Intrigado, el profesor hizo la cuenta y descubrió con sorpresa que era correcta. Al preguntarle
cómo lo había hecho Gauss le explicó que como la suma pedida era:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 98 + 99 + 100
Él había colocado la misma suma, pero invertida abajo de ella de tal suerte que cada término
sumado a su correspondiente en la columna daba el mismo resultado: 101. Es decir
+
1
100
+ 2 + 3 + 4 + 5 + ...
+ 99 + 98 + 97 + 96 + ...
+ 96 + 97 + 98 + 99
+ 5 + 4 + 3 + 2
+ 100
+ 1
101
101
101
101
101
101
101
101
101
101
H ay 100 de estas sumas. Pero hemos sumado dos veces lo que queríamos, por lo que la
suma buscada es:
Entonces, cuando queremos sumar los números del 1 a otro número n cualquiera, tenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =
n n
y en general, si quieres sumar los n números consecutivos a partir de x, tenemos:
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n –1) =
¿Funciona?
233
Unidad 5
Respuestas a los ejercicios
Ej. 1
1.
2.
x x
3. El doble de un número cualquiera.
4. P = 2 J
5. El triple del cociente de dos números cualesquiera.
6. El doble de la suma de dos números cualesquiera.
7. F = m a. Donde F representa la fuerza aplicada, m la masa del cuerpo y a la aceleración
producida. Esta relación es conocida en física como la segunda ley de N ewton.
8. A =
2
D onde A representa el área, P el perímetro y a la apotema.
Ej. 2
1. 52 – (1 + 2) 3 = –2
2.
= 4
3.
4. (4) (3 –1) 2 = 16
5.
= 9
Ej. 3
1. A = 28.2744
234
mat emát ic as 1
2. F = 28.56
3. d = 90 km
Ej. 4
M onomio
1.
–8 x4 y6
2.
25 x3 y2 z2
3.
–0.25 x3
Coeficiente
Parte literal
Grado
negativo
x4 y6
10
25
positivo
x3 y2 z2
7
–0.25
negativo
x3
3
negativo
x7 y2
9
positivo
g4 h j 2
7
–8
4.
5.
Signo del
monomio
2 g4 h j 2
2
Ej. 5
1.
Primer monomio
4 x2 y
a)
3xy
2
b)
c)
d)
Segundo monomio
2.3 a b
–2 x y
2 x 3x2
¿Son semejantes?
no
2
4 ab
sí
–2 y x
7 x3
sí
sí
Ej. 6
1. 4 x
M onomio.
2. 4.5 x + 24
Binomio.
y3 +
Trinomio.
3.
y–8
4. x3 – 3 x2 + 3 x + 1
Cuatrinomio.
5. x5 + 5 x4 + 10 x3 + 10 x2 + 5 x + 1 Polinomio.
Ej. 7
1. x = 20
2. x = 2
235
Unidad 5
3. x =
4. x =
5. x =
6. x =
7. x =
8. x =
10
10
4
9
5
8
Ej. 8
1. x = –7 N o es solución de la ecuación.
2. x = 12 Sí es solución de la ecuación, pero x = –12, no lo es.
3. x = 0 N o es solución de la ecuación
Ej. 9
1. L a diagonal de un cuadrado y su área.
L lamemos “ d” a la diagonal del cuadrado y “x” al lado.
Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa (d2) es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (x2). Como los dos catetos son iguales por ser un cuadrado:
d2 = x2 + x2
Pero x2 es el área del cuadrado que llamaremos A, entonces d2 = A + A, es decir que
d2 es el doble del área d2 = 2 A, o bien:
d2
2
U n cuadro que muestre la relación sería el siguiente:
A=
d
A
1
0.5
½
0.125
2
2
4
8
D onde los valores de la diagonal “ d” fueron tomados arbitrariamente, es decir, que
pudimos haber tomado cualquier otro mayor que cero (¿por qué negativos no?).
2. Aunque posiblemente lo hayas visto en química o en física, es posible que hayas tenido
que consultar algún libro para hallar la relación. Si llamamos “ C” a la temperatura en
grados centígrados y “ F” a la dada en grados Fahrenheit, la relación pedida es:
236
mat emát ic as 1
F=
C + 32
U n cuadro que muestre la relación sería el siguiente:
C
0
F
32
5
41
20
100
68
212
Aquí expresamos la temperatura en grados Fahrenheit a partir de la temperatura en
centígrados, pero hubiese sido equivalente expresarla al revés como:
C=
(F – 32)
3. Si llamamos V a la medida en litros y v a la misma medida en centímetros cúbicos,
la relación es: v = 1 000 V
V
1
v
1 000
5
5 000
0.5
0.25
500
250
4. Si llamamos “ m” a la masa, “ v” a su volumen y “ d” a su densidad, la relación es:
d=
donde tenemos tres variables, por lo que es preciso asignarle valores a dos de ellas para
obtener la tercera. D emos valores a “ m” y “ v” :
m
v
d
1
1
1
5
0.5
2
4
2.5
0.125
2
0.25
8
237
Matemáticas 1 (Álgebra 1)
Unidad 5. Introducción al álgebra
Nombre:
Grupo:
Número de cuenta:
Profesor:
Campus:
Autoevaluación
1. L a traducción al lenguaje algebraico de “ el cuadrado de la suma de dos números cualesquiera es
igual a la suma del cuadrado del primer número más el doble producto del primer número por el
segundo más el cuadrado del segundo” es:
a) ( x + y ) 2 = x2 + y2
b) ( x – y ) 2 = x2 + y2
c) ( x + y ) 2 = x2 + 2xy + y2
d) ( x + y ) 2 = 2 x2 + 2 y2
2. L a traducción al lenguaje coloquial de (x y) 3 = x3 y3 es:
a) El cubo del producto de dos números cualesquiera es igual al producto de sus cubos.
b) El cuadrado del producto de dos números cualesquiera es igual al producto de sus cubos.
c) El cubo de la suma de dos números cualesquiera es igual al cubo de su suma.
d) El cubo del producto de dos números cualesquiera es igual a su multiplicación al cubo.
3. El valor numérico de “ x” en la expresión x = x0 + v (t – t 0) cuando x0 = 5, v = 7, t = 4 y t 0 = 2, es:
a) 24
b) 19
c) 31
d) 14
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un binomio?
a) x + y + z
b) 2 x4
c) 3 x2 + 5 x7 – 4
d) x + 3
5. ¿Cuáles son el coeficiente y el grado del monomio –3 x?
a) –3 y 0
b) –3 y 1
c) 3 y 1
d) 3 y 0
239
Unidad 5
6. D os monomios son semejantes si:
a) Sus coeficientes son iguales.
b) Sus grados son iguales.
c) Sus partes literales son iguales.
d) Sus signos son iguales.
7. L a expresión 2x + 3 = 5 es una:
a) I gualdad.
b) Ecuación.
c) I dentidad.
d) D esigualdad.
8. ¿En cuál de las siguientes expresiones está bien usado el signo igual?
a) x (y + z) = xy + xz
b) 2 + 3 = 5 –2 = 3
c) x + y = x – y
d) 5–3 (7–5)= 4
9. El valor de “ x” en
x
es:
a) x= 10
b) x = 9
c) x = 8
d) x = 7
10. ¿Cuál valor de x cumple con la ecuación: (x + 5) (x – 3) (x2 + 4) = 0
a) x= 3
b) x = 4
c) x = – 4
d) x = 5
240