El índice de poder en juegos de votación ponderada

El índice de poder en juegos de
votación ponderada
Un estudio matemático
Carmen SÁNCHEZ DÍEZ
0. Introducción:
En comicios electorales, en conjuntos de propietarios de las acciones de una
empresa, en consejos de dirección de corporaciones, en juntas municipales, etc.,
ocurre en general que los participantes tienen en derecho a un diferente número de
votos
que confiere a cada uno una cuota de poder distinta dentro de la
organización o institución de la que forma parte.
Así, por ejemplo, es el caso de una empresa comercial con cuatro propietarios, P1,
P2, P3 y P4, que tienen un distinto porcentaje de las acciones, pongamos los
porcentajes 49%, 46%, 3%, 2%, respectivamente, y las decisiones se toman por
quien posea como mínimo una cuota del 51% de las acciones. O bien un
ayuntamiento en donde los partidos políticos A, B, C y D, han obtenido número de
concejales dados por 8, 4 , 4 y 1, respectivamente, y en donde la mayoría requiere
de un mínimo de 9 concejales.
Un ejemplo real conocido es la composición del Consejo de Seguridad de las
Naciones Unidas antes del año 1965, el cual estaba formado por 5 miembros
permanentes: China (C), Unión Soviética (R), Estados Unidos (E), Inglaterra (I) y
Francia (F) a los que se les asignó 5 votos a cada uno, y 6 miembros no
permanentes o temporales, a,b,c,d,e,f, que tenían asignado un solo voto cada uno.
La cuota necesaria para tomar decisiones se fijó en 27 votos.
Se denominan juegos de votación ponderados a este tipo de planteamientos y en
general se llaman votantes a los participantes en ellos, dándose situaciones en las
que un votante tiene más poder que otro bien por tener más votos o bien por tener
posibilidad de formar coaliciones con otros votantes del mismo juego uniendo sus
votos para aprobar una determinada moción o propuesta.
Si en un determinado juego de votación ponderada existen n votantes, a1, a2,…,an,
a los que corresponden respectivamente, los números de votos v(a1),
v(a2),…,v(an), necesitándose una cuota mínima de q votos para aprobar una
moción, representaremos la situación con la simbolización
[q : v(a1), v(a 2),..., v(an)]
Así, en los tres ejemplos mencionados anteriormente se tendrá:
En la empresa comercial:
[51% : 49%,46%,3%,2%] .
1
[
]
En los concejales del ayuntamiento: 9 : 8,4,4,1 .
[
]
En el caso de las Naciones Unidas antes de 1965: 27 : 5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1 .
1. Coaliciones:
Cuando en un determinado juego de votación ninguno de los votantes tiene votos
suficientes para al menos igualar la cuota establecida, solo se tiene la salida de la
cooperación entre varios de ellos para que, al unir sus votos, pueda lograrse igualar
o superar la cuota. Es decir, se trata de formar coaliciones que permitan ganar la
votación.
Una coalición es ganadora si la suma de los votos correspondientes a los
integrantes de la coalición permite igualar o superar la cuota. Pueden existir
coaliciones que no permitan alcanzar la cuota, pero que impiden que otra coalición
del mismo juego pueda ser ganadora. Este ultimo tipo de coaliciones se llaman
coaliciones de bloqueo. Una coalición es perdedora si no es ganadora ni tampoco de
bloqueo.
Es obvio que para que una coalición sea de bloqueo el número de sus votos ha de
superar la diferencia entre el número suma de los votos de todos los votantes y la
cuota del juego.
Las reglas para formar coaliciones son muy sencillas. Sea el juego definido por
q : r1,..., rn . Se deben cumplir para el conjunto CW de todas las coaliciones
posibles los siguientes extremos:
[
a)
]
φ ∉ CW
(el vacío no es una coalición).
b) {r1,..., rn}∈ CW (el conjunto de todos los votantes es una coalición).
c) ∀M , N ∈ {r1,..., rn}/ M ⊂ N , N ∈ CW ⇒ M ∈ CW (una parte de una coalición es
también coalición).
De lo anterior deducimos que cada uno de los votantes, individualmente, es
también una coalición: ∀rj ∈ {r1,..., rn} ⇒ rj ∈ CW
Veamos como ejemplo la determinación de las coaliciones posibles en cada uno de
los tres ejemplos indicados antes:
-
Ejemplo de las acciones en la empresa:
Coaliciones posibles: CW={P1, P2, P3, P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P4, P3P4,
P1P2P3, P1P2P4, P1P3P4, P2P3P4 y P1P2P3P4}
Coaliciones ganadoras (sus porcentajes de acciones igualan o superan al 51%):
P1P2, P1P3, P1P4, P1P2P3, P1P2P4, P1P3P4, P2P3P4 y P1P2P3P4.
Coaliciones de bloqueo: No hay.
Coaliciones perdedoras: P1, P2, P3, P4, P2P3,P2P4, P3P4.
2
-
Ejemplo de los concejales del ayuntamiento:
Coaliciones posibles: A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD.
Coaliciones ganadoras (la suma de sus concejales igualan o superan al numero 9):
AB, AC, AD, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD.
Coaliciones de bloqueo: No hay.
Coaliciones perdedoras: A, B, C, D, BC, BD, CD.
-
Ejemplo de las Naciones Unidas:
Coaliciones posibles: C, R, E, I, F, a, b, c, d, e, f, …., CREIFabcdef.
Coaliciones ganadoras: Aquellas en las que intervienen los 5 miembros
permanentes y al menos dos de los no permanentes, pues el número de votos sería
5+5+5+5+5+2=27
Coaliciones de bloqueo: C, R, E, I, F, abcde, abcdf, abcef, abdef, acdef, bcdef, …
(cada uno de los miembros permanentes, individualmente, es una coalición de
bloqueo, es decir, tiene derecho de veto, pues el resto de los votantes, sumando
los votos, darían 5+5+5+5+6=26, que no alcaza la cuota. Obviamente, cualquier
coalición en la que intervenga uno de ellos, y que no sea ganadora, es de bloqueo.
Cualquier coalición formada solamente por miembros no permanentes será de
bloqueo si la constituyen 5 al menos de ellos, pues la suma de los votos de los
miembros restantes, 5+5+5+5+5+1=26, no alcanza la cuota).
Coaliciones perdedoras: a, b, c, d, e, f, ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf,…, abad, ….
(cualquier coalición que esté formada por un máximo de cuatro miembros no
permanentes es perdedora, pues no es ganadora y tampoco de bloqueo, ya que el
resto de los votantes obtendrían 5+5+5+5+5+2=27 alcanzando por consiguiente,
la cuota)
2. Votante basculante, decisivo o crítico. Coalición ganadora mínima y
coalición de bloqueo mínima.
Como puede observarse, hay coaliciones ganadoras en donde sobran votantes, es
decir, en muchos casos ocurre que si un determinado votante deja de pertenecer a
una coalición ganadora, ésta sigue siendo ganadora. Sin embargo, hay otros
votantes que resultan imprescindibles en la coalición para que siga siendo
ganadora. Lo mismo ocurre con las coaliciones de bloqueo.
Un votante es basculante, crítico o decisivo en una coalición ganadora o de
bloqueo si es un votante tal que si deja de pertenecer a la coalición ésta deja de ser
ganadora o de bloqueo, convirtiéndose en perdedora, o bien, es tal que si se
incluye en una coalición perdedora ésta se convierte en una coalición ganadora o
bien de bloqueo.
Un votante comparsa en una coalición ganadora o de bloqueo dada es aquel
votante tal que si deja de pertenecer a la coalición ésta sigue siendo ganadora o de
bloqueo, o bien, es tal que si se incluye en una coalición perdedora ésta sigue
siendo coalición perdedora.
3
Una coalición ganadora mínima o minimal es aquella coalición ganadora en donde
todos los votantes son críticos. Análogamente, una coalición de bloqueo mínima o
minimal es aquella coalición de bloqueo en donde todos los votantes son críticos.
Un votante basculante se dice que hace un movimiento negativo cuando al
abandonar una coalición ganadora o de bloqueo ésta se convierte en perdedora. Se
dirá, asimismo, que hace un movimiento positivo cuando al incorporarse a una
coalición perdedora la convierte en coalición ganadora o de bloqueo.
Esto quiere decir que en una coalición formada por un único votante, éste no puede
hacer ningún movimiento, pues al abandonar no quedaría una coalición perdedora.
Simplemente, no quedaría coalición alguna, ya que el vacío no es coalición.
Cuando el número de votos que corresponde a un votante alcanza la cuota
establecida en el juego (se dice que tiene una “mayoría absoluta”) tal votante se
denomina dictatorial.
Ejemplo: Veamos la composición del ayuntamiento de Madrid después de las
elecciones del año 2011, en las que obtuvieron concejalías los partidos: PP (31),
PSOE (15), IU (6) y UPD (5). Su descripción en el juego es
[29 : 31,15,6,5]
En este juego existe un votante dictatorial, con mayoría absoluta. Obviamente ese
votante, individualmente, es la coalición ganadora minimal. Todas las coaliciones en
las que no intervenga tal votante son perdedoras. No existen, como es obvio,
coaliciones de bloqueo, ya que una coalición de bloqueo tendría que superar a la
diferencia entre la suma de todos los votos y la cuota, 57-29 =28. Pero una
coalición que supere los 28 votos ya sería ganadora, no de bloqueo.
3. Índice de poder.
Como se observa, pues, existen en el juego de votación, miembros o votantes que
tienen diferente poder. Este poder en general es mayor cuanto mayor sea el
número de votos que el votante posea, pero en general no existe una dependencia
lineal con el número de votos, debido a la posibilidad de que cada votante entre en
coalición con otros votantes del juego.
Para establecer el grado de poder de un miembro o votante del juego es necesario
idear algún criterio o índice que nos lo pueda mostrar y que tenga en cuenta tanto
los votos de los restantes miembros como las posibles coaliciones ganadoras que se
puedan formar y en las que el miembro en estudio pueda participar.
Entre los índices de poder que se han ideado para este cometido podemos señalar
los tres siguientes:
-
Índice de poder de Banzhaf.
Índice de poder de Shapley-Shubik.
Índice de poder de Deegan-Packel.
4
4. El índice de poder de Banzhaf.
Este índice de medición del poder de un votante,
miembro u organización dentro de un juego de
votación ponderada fue establecido inicialmente por
el matemático inglés Lionel Penrose en 1946 y
reformulado
por
el
abogado
y
matemático
norteamericano John F. Banzhaf III en 1965.
J.F. BanzhafIII
El índice de poder de Banzhaf de un determinado participante P en un juego de
votación ponderada es el número de las coaliciones ganadoras g(P) en las que
dicho votante es crítico, más el número de las colisiones de bloqueo b(P) en las
que dicho participante es también crítico o basculante.
I H ( P ) = g ( P ) + b( P )
Se define, asimismo, el índice de poder normalizado de Banzhaf para un
determinado votante, como el cociente de dividir el índice de Banzhaf por la suma N
del total de los índices de todos los votantes del juego:
I HN ( P) =
g ( P ) + b( P )
N
Veamos algunos ejemplos de determinación del índice de poder normalizado de
Banzhaf:
Ejemplo 4.1: Sea el caso visto anteriormente de los concejales de un
ayuntamiento definido por la simbolización q : A, B, C , D = 9 : 8,4,4,1
[
] [
]
Total de coaliciones posibles:
CW={A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD}
- Cálculo del índice de A:
Coaliciones en las que A es basculante y son ganadoras o de bloqueo:
AB, AC, AD, ABC, ABD, ACD (Todas ganadoras, 6 en total), por tanto g(A)=6,
b(A)=0
I H ( A) = g ( A) + b( A) = 6 + 0 = 6
- Cálculo del índice de B:
Coaliciones en las que B es basculante y son ganadoras o de bloqueo:
AB, BCD (Todas ganadoras, 2 en total), por tanto g(B)=2, b(B)=0
I H ( B ) = g ( B ) + b( B ) = 2 + 0 = 2
5
- Cálculo del índice de C:
Coaliciones en las que C es basculante y son ganadoras o de bloqueo:
AC, BCD (Todas ganadoras, 2 en total), por tanto g(C)=2, b(C)=0
I H (C ) = g (C ) + b(C ) = 2 + 0 = 2
- Cálculo del índice de D:
Coaliciones en las que D es basculante y son ganadoras o de bloqueo:
AD, BCD (Todas ganadoras, 2 en total), por tanto g(D)=2, b(D)=0
I H ( D ) = g ( D ) + b( D ) = 2 + 0 = 2
Índices normalizados de Banzhaf:
I HN ( A) =
I B ( A)
6+0 1
=
=
I B ( A) + I B ( B) + I B (C ) + I B ( D) +
12
2
I HN ( B) =
I B ( B)
2+0 1
=
=
12
6
I B ( A) + I B ( B) + I B (C ) + I B ( D) +
I HN (C ) =
I B (C )
2+0 1
=
=
12
6
I B ( A) + I B ( B) + I B (C ) + I B ( D) +
I HN ( D) =
I B ( D)
2+0 1
=
=
12
6
I B ( A) + I B ( B) + I B (C ) + I B ( D) +
En porcentajes:
I HN ( A) = 50.00%, I HN ( B) = 16.6%, I HN (C ) = 16.6%, I HN ( D) = 16.6%
Ejemplo 4.2: Sea el caso de los concejales del ayuntamiento de Madrid en las
últimas elecciones municipales de 2011: q : PP, PSOE , IU ,UPD = 29 : 31,15,6,5
[
] [
]
Total de coaliciones posibles:
CW={PP, PSOE, IU, UPD, PP_PSOE, PP_IU, PP_UPD, PSOE_IU, PSOE_UPD, IU_UPD,
PP_PSOE_IU, PP_PSOE_UPD, PP_IU_UPD, PSOE_IU_UPD, PP_PSOE_IU_UPD}
- Cálculo del índice de PP:
Coaliciones en las que PP es basculante y son ganadoras o de bloqueo:
PP_PSOE,
PP_IU,
PP_UPD,
PP_PSOE_IU,
PP_PSOE_UPD,
PP_IU_UPD,
PP_PSOE_IU_UPD (Todas ganadoras, 7 en total), por tanto g(PP)=7, b(PP)=0
I H ( PP) = g ( PP) + b( PP) = 7 + 0 = 7
6
- Cálculo de los índices de los restantes miembros:
Ninguno de los restantes votantes es critico en ninguna coalición ganadora, por
tanto:
I H ( PSOE ) = g ( PSOE ) + b( PSOE ) = 0 + 0 = 0
I H ( IU ) = g ( IU ) + b( IU ) = 0 + 0 = 0
I H (UPD) = g (UPD) + b(UPD) = 0 + 0 = 0
Índices normalizados de Banzhaf:
g ( PP) + b( PP) 7 + 0 7
=
=
N
7
7
g ( PSOE ) + b( PSOE ) 0 + 0 0
I HN ( PSOE ) =
=
= =0
N
7
7
g ( IU ) + b( IU ) 0 + 0 0
I HN ( IU ) =
=
= =0
N
7
7
g
(
UPD
)
b
(
UPD
)
0
0 0
+
+
I HN (UPD) =
=
= =0
N
7
7
I HN ( PP) =
En porcentajes:
I HN ( A) = 100.00%, I HN ( B) = 0.00%, I HN (C ) = 0.00%, I HN ( D) = 0.00%
El votante que tiene mayoría absoluta tiene todo el poder.
Ejemplo 4.3: La Comunidad Europea, en su fase del Mercado Común, estaba
formada en 1958 por los siguientes países: Alemania (4 votos), Francia (4 votos),
Italia (4 votos), Bélgica (2 votos), Holanda (2 votos) y Luxemburgo (1 voto). La
cuota fijada para aprobar una decisión era de 12 votos. Estudiemos el índice de
poder de Banzhaf.
[q : A, F , I , B, H , L] = [12 : 4,4,4,2,2,1]
Total de coaliciones posibles (63):
CW = {A, F, I, B, H, L, AF, AI, AB, AH, AL, FI, FB, FH, FL, IB, IH, IL, BH, BL, HL,
AFI, AFB, AFH, AFL, AIB, AIH, AIL, ABH, ABL, AHL, FIB, FIH, FIL, FBH, FBL, FHL,
IBH, IBL, IHL, BHL, AFIB, AFIH, AFIL, AFBH, AFBL, AFHL, AIBH, AIBL, AIHL, ABHL,
FIBH, FIBL, FIHL, FBHL, IBHL, AFIBH, AFIBL, AFIHL, AFBHL, AIBHL, FIBHL, AFIBHL}
Índice de poder de Banzhaf para Alemania (A), Francia (F) o Italia (I):
Coaliciones ganadoras o de bloqueo en las que A es basculante:
Ganadoras: AFI, AFIB, AFIH, AFIL, AFIBL, AFIHL, AIBH, AFBH, AFBHL, AIBHL.
De bloqueo: AF, AI, AB, AH, AFB, AFH, AFL, AIB, AIH, AIL, ABH, ABL, AHL, AFBL,
AFHL, AIBL, AIHL, ABHL.
g(A)=10, b(A)=18
Índice de Banzhaf para Alemania (por simetría es el mismo que para Francia y para
Italia):
I B ( A) = g ( A) + b( A) = 10 + 18 = 28
7
I B ( F ) = g ( F ) + b( F ) = 10 + 18 = 28
I B ( I ) = g ( I ) + b( I ) = 10 + 18 = 28
Índice de poder de Banzhaf para Bélgica (B) u Holanda (H):
Coaliciones ganadoras o de bloqueo en las que B es basculante:
Ganadoras: AFBH, AIBH, FIBH, AFBHL, AIBHL, FIBHL
De bloqueo: AB, FB, IB, ABL, FBL, IBL
g(A)=6, b(A)=6
Índice de Banzhaf para Bélgica (por simetría es el mismo que para Holanda):
I B ( B) = g ( B) + b( B) = 6 + 6 = 12
I B ( H ) = g ( H ) + b( H ) = 6 + 6 = 12
Índice de poder de Banzhaf para Luxemburgo (L):
Coaliciones ganadoras o de bloqueo en las que L es basculante:
Ganadoras: ninguna
De bloqueo: ninguna
g(A)=0, b(A)=0
Índice de Banzhaf para Luxemburgo: I B ( L) = 0
Índices normalizados de Banzhaf :
I B ( A)
28
=
I B ( A) + I B ( F ) + I B ( I ) + I B ( B ) + I B ( H ) + I B ( L) 108
I B (F )
28
I BN ( F ) =
=
I B ( A) + I B ( F ) + I B ( I ) + I B ( B) + I B ( H ) + I B ( L) 108
I B (I )
28
I BN ( I ) =
=
I B ( A) + I B ( F ) + I B ( I ) + I B ( B) + I B ( H ) + I B ( L) 108
I B ( B)
12
I BN ( B) =
=
I B ( A) + I B ( F ) + I B ( I ) + I B ( B) + I B ( H ) + I B ( L) 108
I B (H )
12
I BN ( H ) =
=
I B ( A) + I B ( F ) + I B ( I ) + I B ( B) + I B ( H ) + I B ( L) 108
I B ( L)
0
=
=0
I BN ( L) =
I B ( A) + I B ( F ) + I B ( I ) + I B ( B) + I B ( H ) + I B ( L) 108
I BN ( A) =
Porcentajes :
I BN ( A) = 25.92%, I BN ( F ) = 25.92%, I BN ( I ) = 25.92%,
I BN ( B ) = 11.11%, I BN ( H ) = 11.11%, I BN ( L) = 0.00%,
Luxemburgo no tenía ningún poder
8
Ejemplo 4.4: Estudiemos el caso de la empresa en la que cuatro accionistas se
reparten el total de las acciones, necesitándose el 51% de las acciones para la
aprobación de una propuesta. Sea esta situación:
[q : E1, E 2, E 3, E 4] = [51% : 27%,26%,25%,22%]
Total de coaliciones posibles:
 E1, E 2, E 3, E 4, E1E 2, E1E 3, E1E 4, E 2 E 3, E 2 E 4, E 3E 4, E1E 2 E 3, E1E 2 E 4,
CW = 

 E1E 3E 4, E 2 E 3E 4, E1E 2 E 3E 4

Coaliciones ganadoras o de bloqueo en donde E1 es crítico: E1E2,E1E3,E1E2E4,
E1E3E4. I B ( E1) = g ( E1) + b( E1) = 4 + 0 = 4
Coaliciones ganadoras o de bloqueo en donde E2 es crítico: E2E1,E2E3,E2E1E4,
E2E3E4. I B ( E 2) = g ( E 2) + b( E 2) = 4 + 0 = 4
Coaliciones ganadoras o de bloqueo en donde E3 es crítico: E3E1,E3E2,E3E1E4,
E3E2E4. I B ( E 3) = g ( E 3) + b( E 3) = 4 + 0 = 4
Coaliciones ganadoras o de bloqueo en donde E4 es crítico: ninguna.
I B ( E 4) = g ( E 4) + b ( E 4) = 0 + 0 = 0
Índices de poder de Banzhaf normalizados:
I B ( E1)
4
=
I B ( E1) + I B ( E 2) + I B ( E 3) + I B ( E 4) 12
I B ( E 2)
4
I BN ( E 2) =
=
I B ( E1) + I B ( E 2) + I B ( E 3) + I B ( E 4) 12
I B ( E 3)
4
=
I BN ( E 3) =
I B ( E1) + I B ( E 2) + I B ( E 3) + I B ( E 4) 12
I B ( E 4)
0
I BN ( E 4) =
= =0
I B ( E1) + I B ( E 2) + I B ( E 3) + I B ( E 4) 12
I BN ( E1) =
Porcentajes:
I BN ( E1) = 33.3%, I BN ( E 2) = 33.3%, I BN ( E 3) = 33.3%, I BN ( E1) = 0.0%,
El accionista poseedor del 22% de las acciones no tiene poder alguno.
9
5. El índice de poder de Shapley-Shubik.
Lloyd Shapley
Shubik Martin
Este índice de poder fue diseñado en 1954 por Lloyd Shapley (1923- ) matemático
y economista norteamericano, actualmente profesor emérito de la Universidad de
California, Los Ángeles, y por Shubik Martin (1926- ) también un economista
americano que es profesor emérito del Instituto de Economía de la Universidad de
Yale.
El método de obtención del índice de poder para un miembro dado, P, consiste en
obtener todas las permutaciones de los miembros o votantes en el juego y, en cada
una de las permutaciones en las que figure P, observar si los partidos que le
preceden en el órden que figura en esa permutación forman coalición no ganadora
que, sin embargo, si se le sumara el votante P entonces tal coalición si pasaría a
ser ganadora. En este caso, tal permutación se denominará un pivote de P.
El índice de poder del miembro P se define como el cociente de dividir el número de
pivotes de P por el número total de permutaciones.
Así, si hay en total n miembros o votantes en el juego, se tiene un número s de
permutaciones dado por s=n! y si en esas s permutaciones el votante P tiene un
número de pivotes igual k(p), el índice Shapley-Shubik se obtiene mediante el
cociente
I sh ( P) =
k ( P)
s
Ejemplo 5.1: Sea el caso ya visto antes de los concejales de un ayuntamiento
definido por la simbolización q : A, B, C , D = 9 : 8,4,4,1
[
] [
]
Número total de permutaciones de los 4 miembros: s=4!=24
Escribamos todas las 24 permutaciones:
10
ABCD
ABDC
ACBD
ACDB
ADBC
ADCB
BACD
BADC
BCAD
BCDA
BDAC
BDCA
CABD
CADB
CBAD
CBDA
CDAB
CDBA
DABC
DACB
DBAC
DBCA
DCAB
DCBA
Veamos las permutaciones que son pivotes de A:
BACD, BADC, BCAD BDAC, CABD, CADB, CBAD, CDAB, DABC, DACB, DBAC,
DCAB
k(A)=12
Ahora las permutaciones que son pivotes de B:
ABCD, ABDC, CDBA, DCBA
k(B)=4
Ahora las permutaciones que son pivotes de B:
ACDB, ACBD, BDCA, DBCA
k(B)=4
Finalmente, veamos los pivotes de D:
ADBC, ADCB, CBDA, BCDA
k(B)=4
Índices de poder de cada uno de los votantes:
k ( A) 12 1
=
=
s
24 2
k ( B) 4 1
I sh ( B) =
=
=
s
24 6
k (C ) 4 1
I sh (C ) =
=
=
s
24 6
k ( D) 4 1
I sh ( D) =
=
=
s
24 6
I sh ( A) =
En porcentajes:
I sh ( A) = 50.0%, I sh ( B) = 16.6%, I sh (C ) = 16.6%, I sh ( D) = 16.6%
Ejemplo 5.2: Sea ahora el caso de los concejales del Ayuntamiento de Madrid en
las elecciones de 2011, en donde uno de los votantes alcanzó mayoría absoluta:
[q : PP.PSOE , IU ,UPD] = [29 : 31,15,6,5]
Total de permutaciones que se pueden formar con los cuatro miembros: s = 4!= 24
Permutaciones que son pivotes de PP: todas
k ( PP) = 24
No hay permutaciones que sean pivotes de PSOE, IU o UPD:
k ( PSOE ) = 0, k ( IU ) = 0, k (UPD) = 0
Índices de poder de Shapley-Shubik:
11
k ( PP) 24
=
=1
24
s
k ( PSOE ) 0
I ss ( PSOE ) =
=
=0
s
24
k ( IU ) 0
I ss ( IU ) =
=
=0
s
24
k (UPD) 0
I ss (UPD) =
=
=0
24
s
I ss ( PP) =
En porcentajes:
I ss ( PP) = 100.0%, I ss ( PSOE ) = 0.0%, I ss ( IU ) = 0.0%, I ss (UPD) = 0.0%
Todo el poder lo tiene, por tanto, el votante PP, por su mayoría absoluta.
Ejemplo 5.3: Determinemos mediante éste índice el poder de los países que
integraban el Mercado Común Europeo antes de 1958. La situación era:
[q : A, F , I , B, H , L] = [12 : 4,4,4,2,2,1]
(A:Alemania, F:Francia, I:Italia, B:Bélgica, H:Holanda, L:Luxemburgo)
Número de permutaciones posibles de los 6 países: s = 6!= 720
Veamos los pivotes que corresponderían a los miembros de más votos, Alemania,
Francia e Italia.
Veamos, por ejemplo, Alemania (A):
Permutaciones de la forma: - - - - - A
Permutaciones de la forma: - - - - A B
Permutaciones de la forma: - - - - A H
Permutaciones de la forma: - - - - A F
Permutaciones de la forma: - - - - A I
Permutaciones de la forma: - - - - A L
Permutaciones de la forma: - - - A I L
Permutaciones de la forma: - - - A F L
Permutaciones de la forma: - - - A I F
Permutaciones de la forma: - - - A B H
Permutaciones de la forma: - - - A L B
Permutaciones de la forma: - - - A L H
Permutaciones de la forma: I F A - - Permutaciones de la forma: - A - - - Permutaciones de la forma: A - - - - -
pivotes: no hay
pivotes: 24
pivotes: 24
pivotes: 24
pivotes: 24
pivotes: no hay
pivotes: 12
pivotes: 12
pivotes: no hay
pivotes: 12
pivotes: 12
pivotes: 12
pivotes: 12
pivotes: no hay
pivotes: no hay
En total son 24+24+24+24+12+12+12+12+12+12=168
Entonces, por analogía, Francia e Italia tienen el mismo número de pivotes, pues
tienen los mismos votos:
k ( A) = k ( F ) = k ( I ) = 168
Veamos ahora los pivotes de los miembros que solo tienen 2 votos, Bélgica y
Holanda.
Veamos, por ejemplo, Bélgica (B):
12
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
Permutaciones
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
forma:
-----B
----BA
----BF
----BI
----BH
----BL
---BAI
---BHA
---BHL
---BLA
---BLF
---BLI
--B---B---B-----
pivotes: no hay
pivotes: 24
pivotes: 24
pivotes: 24
pivotes: no hay
pivotes: no hay
pivotes: no hay
pivotes: no hay
pivotes: no hay
pivotes: 12
pivotes: 12
pivotes: 12
pivotes: no hay
pivotes: no hay
pivotes: no hay
En total son 24+24+24+12+12+12=108
Entonces, por analogía, Holanda tiene el mismo número de pivotes, pues tienen los
mismos votos:
k ( B) = k ( H ) = 108
Pivotes del miembro que solo tiene un voto (Luxemburgo): no hay.
k ( L) = 0
Índices de Sapley-Shubik:
k ( A) 168
=
s
720
k ( B) 108
I ss ( B) =
=
s
720
I ss ( A) =
Porcentajes:
k ( F ) 168
=
s
720
k ( H ) 108
I ss ( H ) =
=
s
720
I ss ( F ) =
k ( I ) 168
=
s
720
k ( L)
0
I ss ( L) =
=
=0
s
720
I ss ( I ) =
I ss ( A) = 23.33%, I ss ( F ) = 23.33%, I ss ( I ) = 23.33%,
I ss ( B) = 15.0%, I ss ( H ) = 15.0%, I ss ( L) = 0.0%
Ejemplo 5.4: Veamos la determinación del poder de cada uno de los 4 accionistas
propietarios de las acciones de una empresa, en los porcentajes que se indican,
teniendo en cuenta que las decisiones se aprueban con el 51% de las acciones:
[q : E1, E 2, E 3, E 4] = [51% : 27%,26%,25%,22%]
Total de las permutaciones de los cuatro miembros: s = 4!= 24
E1E2E3E4
E1E2E4E3
E1E3E2E4
E1E3E4E2
E1E4E2E3
E1E4E3E2
Pivotes de E1 (8 pivotes):
E2E1E3E4
E2E1E4E3
E2E1E3E4
E2E1E4E3
E2E3E1E4
E2E3E4E1
E2E4E1E3
E2E4E3E1
E3E1E2E4
E3E1E4E2
E3E2E1E4
E3E2E4E1
E3E4E1E2
E3E4E2E1
E4E1E2E3
E4E1E3E2
E4E2E1E3
E4E2E3E1
E4E3E1E2
E4E3E2E1
E3E1E2E4
E3E1E4E2
E2E4E1E3
E4E2E1E3
E4E3E1E2
E3E4E1E2
13
Pivotes de E2 (8 pivotes):
E1E2E3E4
E1E2E4E3
E3E2E1E4
E3E2E4E1
E1E4E2E3
E4E1E2E3
E3E4E2E1
E4E3E2E1
Pivotes de E3 (8 pivotes):
E1E3E2E4
E1E3E4E2
E2E3E1E4
E2E3E4E1
E1E4E3E2
E4E1E3E2
E2E4E3E2
E4E2E3E1
Pivotes de E4: No hay (0 pivotes)
Índices de poder:
I ss ( E1) = I ss ( E 2) = I ss ( E 3) =
En porcentajes:
8
, I ss ( E 4) = 0
24
I ss ( E1) = 33.3%, I ss ( E 2) = 33.3%, I ss ( E 3) = 33.3%, I ss ( E 4) = 0.0%,
6. El índice de poder de Deegan-Packel.
Jim Deegan
Edward W Packel
Ideado en 1978 por Jim Deegan, profesor del Departamento de Economía de la
Universidad de Limerick, Irlanda, y por Edward W Packel, profesor de matemática
e informática en el Lake Forest College de Chicago.
El índice de poder correspondiente a un miembro P del juego se obtiene
encontrando en primer lugar el número total g de coaliciones ganadoras mínimales,
es decir, de coaliciones ganadoras en las que todos los votantes son críticos.
Encontrar a continuación entre todas estas g coaliciones minimales aquellas
coaliciones x(P) que contengan al votante P y calcular en cada una de ellas el
inverso del número total de votantes n(x(P)) que la componen, 1/n(x(P)). El índice
se obtiene dividiendo la suma de estos inversos por el número total g de coaliciones
minimales.
Así, si hay g coaliciones mínimas, y de ellas hay h en las cuales aparece el votante
P, obtendríamos el número de votantes que componen cada una de estas
14
coaliciones, incluyendo a P: n1(x(P)), …, nh(x(P))
correspondientes inversos, 1 n1 ( x ( P )),...,1 nh ( x ( P )) .
y
a
continuación
sus
El índice de poder vendrá dado por la expresión:
h
I dp ( P) =
∑n
j =1
1
j ( x ( P ))
g
Ejemplo 6.1: Sea el caso de los concejales de un ayuntamiento definido por la
simbolización q : A, B, C , D = 9 : 8,4,4,1
[
] [
]
Coaliciones posibles: CW={A,B,C,D,AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD,
BCD, ABCD}
Coaliciones ganadoras: AB, AC, AD, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD
Coaliciones ganadoras minimales: AB, AC, AD, BCD, o sea, g = 4
-
Cálculo del índice de poder del votante A:
Coaliciones minimales que contienen a A: AB, AC, AD. Es decir, h=3. Cada
una de ellas de dos miembros, por lo que n1 ( x( A)) = n2 ( x ( A)) = n3 ( x ( A)) = 2
Índice de poder:
3
I dp ( A) =
-
1
∑ n ( x( A))
j =1
j
g
1 1 1
+ +
3
3
2
2
2
=
= 2=
4
4 8
Cálculo del índice de poder del votante B:
Coaliciones minimales que contienen a B: AB, BCD. Es decir, h=2. Una de
ellas con dos miembros y la otra con tres, por lo que se tendrá que
n1 ( x( B)) = 2, n2 ( x( B)) = 3
Índice de poder:
2
I dp ( B) =
-
1
∑ n ( x( B))
j =1
j
g
1 1
5
+
5
=2 3= 6=
4
4
24
Cálculo del índice de poder del votante C:
Coaliciones minimales que contienen a C: AC, BCD. Es decir, h=2. Una de
ellas con dos miembros y la otra con tres, por lo que se tendrá que
n1 ( x(C )) = 2, n2 ( x(C )) = 3
Índice de poder:
2
I dp (C ) =
1
∑ n ( x(C ))
j =1
j
g
1 1
5
+
5
2
3
=
= 6=
4
4
24
15
-
Cálculo del índice de poder del votante D:
Coaliciones minimales que contienen a D: AD, BCD. Es decir, h=2. Una de
ellas con dos miembros y la otra con tres, por lo que se tendrá que
n1 ( x( D)) = 2, n2 ( x( D)) = 3
Índice de poder:
2
I dp ( D) =
1
∑ n ( x( D))
j =1
j
g
1 1
5
+
5
2
3
=
= 6=
4
4
24
En porcentajes:
I dp ( A) = 37.5%, I dp ( B) = 20.83%, I dp (C ) = 20.83%, I dp ( D) = 20.83%
Ejemplo 6.2: Sea el caso de los concejales del ayuntamiento de Madrid en las
últimas elecciones municipales de 2011, en los que uno de los miembros tiene
mayoría absoluta (votante dictatorial): q : PP, PSOE , IU ,UPD = 29 : 31,15,6,5
[
] [
]
Total de coaliciones posibles:
CW={PP, PSOE, IU, UPD, PP_PSOE, PP_IU, PP_UPD, PSOE_IU, PSOE_UPD, IU_UPD,
PP_PSOE_IU, PP_PSOE_UPD, PP_IU_UPD, PSOE_IU_UPD, PP_PSOE_IU_UPD}
Coaliciones ganadoras minimales: PP, por tanto g=1
-
Cálculo del índice de poder del votante PP:
Coaliciones minimales que contienen a PP: PP. Es decir, h=1. De un solo
miembro n1 ( x ( PP)) = 1
Índice de poder:
1
I dp ( PP ) =
-
1
∑ n ( x( PP))
j =1
j
g
1
= 1 =1
1
Cálculo del índice de poder de los demás votantes:
Coaliciones minimales que contienen por ejemplo a PSOE: ninguna. Es decir,
h=0.
Índice de poder:
01
I dp ( PSOE ) =
Análogamente:
1
∑ n ( x( PSOE ))
j =0
j
1
=
0
=0
1
I dp ( IU ) = 0, I DP (UPD) = 0
En porcentajes:
I dp ( PP) = 100.0%, I dp ( PSOE ) = 0.0%, I dp ( IU ) = 0.0%, I dp (UPD) = 0.0%
16
Todo el poder lo tiene, por tanto, el votante dictatorial.
Ejemplo 6.3: Estudiemos mediante este índice el poder de los países integrantes
de la Comunidad Europea (Mercado Común) antes de 1958. La situación estaba
definida por:
[q : A, F , I , B, H , L] = [12 : 4,4,4,2,2,1]
(A:Alemania, F:Francia, I:Italia, B:Bélgica, H:Holanda, L:Luxemburgo)
Coaliciones ganadoras minimales: AFI, AFBH, AIBH, FIBH
g=4
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a A: AFI, AFBH, AIBH, miembros
componentes de cada una de ellas: n1 ( X ( A)) = 3, n2 ( X ( A)) = 4, n3 ( X ( A)) = 4,
1 1 1 10
+ +
10
I dp ( A) = 3 4 4 = 12 =
4 48
4
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a F: AFI, AIBH, FIBH, miembros
componentes de cada una de ellas: n1 ( X ( F )) = 3, n2 ( X ( F )) = 4, n3 ( X ( F )) = 4,
1 1 1 10
+ +
3
4 4 = 12 = 10
I dp ( F ) =
4
4 48
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a I: AFI, AFBH, AIBH, miembros
componentes de cada una de ellas: n1 ( X ( I )) = 3, n2 ( X ( I )) = 4, n3 ( X ( I )) = 4,
1 1 1 10
+ +
3
4 4 = 12 = 10
I dp ( I ) =
4 48
4
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a B: AFBH, AIBH, FIBH, miembros
componentes de cada una de ellas: n1 ( X ( B )) = 4, n2 ( X ( B )) = 4, n3 ( X ( B )) = 4,
1 1 1 3
+ +
4
4 4=4= 3
I dp ( B) =
4
4 16
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a H: AFBH, AIBH, FIBH, miembros
componentes de cada una de ellas: n1 ( X ( H )) = 4, n2 ( X ( H )) = 4, n3 ( X ( H )) = 4,
1 1 1 3
+ +
3
I dp ( H ) = 4 4 4 = 4 =
4 16
4
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a L: Ninguna
I dp ( L) = 0
Porcentajes:
I dp ( A) = I dp ( F ) = I dp ( I ) = 20.83%, I dp ( B) = I dp ( H ) = 18.75%, I dp ( L) = 0.0%
Que nos indica el nulo poder del votante Luxemburgo.
17
Ejemplo 6.4: Calculemos mediante este índice el poder de los votantes en la
situación de los cuatro propietarios de las acciones de la empresa en donde la cuota
es del 51% de las acciones. Esta es la situación:
[q : E1, E 2, E 3, E 4] = [51% : 27%,26%,25%,22%]
Coaliciones ganadoras mínimas: E1E2, E1E3, E2E3
con lo cual
g=3.
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a E1: E1E2, E1E3, con n1 ( X ( E1)) = 2
y n2 ( X ( E1)) = 2 .
Índice de poder:
1 1
+
2
2 =1
I dp ( E1) =
3
3
Coaliciones
ganadoras
mínimas
n1 ( X ( E 2)) = 2 y n2 ( X ( E 2)) = 2 .
que
contienen
a
E2:
E1E2,
E2E3,
con
Índice de poder:
1 1
+
2
2 =1
I dp ( E 2) =
3
3
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a E3: E1E3, E2E3, con n1 ( X ( E 3)) = 2
y n2 ( X ( E 3)) = 2 .
Índice de poder:
1 1
+
1
I dp ( E 3) = 2 2 =
3
3
Coaliciones ganadoras mínimas que contienen a E4: Ninguna
Índice de poder:
I dp ( E1) = 0
En porcentajes:
I ss ( E1) = 33.3%, I ss ( E 2) = 33.3%, I ss ( E 3) = 33.3%, I ss ( E 4) = 0.0%,
A pesar de que el votante E4 posee un número de acciones similar al resto de los
votantes, en este caso no tiene poder alguno, ya que es comparsa en todas las
coaliciones a las que pueda pertenecer.
18
7. Comparación de los diferentes índices de poder de los votantes en los
cuatro casos estudiados
Veamos en la siguiente tabla un resumen de los resultados que obtenidos al aplicar
cada uno de los índices en los cuatro ejemplos de este estudio. Se muestran los
porcentajes de poder de los votantes.
Índice de Banzhaf
Concejales de un
Ayuntamiento dado
Elecciones 2011.
Ayuntamiento de Madrid
Comunidad
Económica Europea
antes de 1965
Caso de cuatro
propietarios de las
acciones de una
empresa
50.00%,
16.6%,
16.6%,
16.6%,
100.00%, 0.00%,
0.00%,
0.00%,
25.92%,
25.92%
11.11%
25.92%,
11.11%,
0.0%
33.3%, 33.3%
33.3%, 0.0%
Índice
Shubik
de
Shapley-
50.00%,
16.6%,
16.6%,
16.6%,
100.00%, 0.00%,
0.00%,
0.00%,
23.33%,
23.33%
15.00%
23.33%,
15.00%,
0.0%
33.3%, 33.3%
33.3%, 0.0%
Índice
Packel
de
Deegan-
37.50%,
20.83%,
20.83%,
20.83%,
100.00%, 0.00%,
0.00%,
0.00%,
20.83%,
20.83%
18.75%
20.83%,
18.75%,
0.0%
33.3%, 33.3%
33.3%, 0.0%
8. Bibliografía recomendada:
Banzhaf III, J.F.; “Wighted Voting Doesn’t Work: A
Rutgers Law Review 19, 317-343. 1965
Mathematical Analysis”.
Shapley, L.S., Shubik, M.; “A Method for evaluating the distribution of power in a
committee system”. American Political Science Review 48, 787-792. 1954
Deegan, J. y Packel, EW.; “A new index of power for simple n-person Games”. Int J
Game Theory 7, 113-123. 1978
19