11. La conservación del momento cinético I

La conservación del momento cinético I
R. Castilla y P.J. Gamez-Montero
Curso 2011-2012
Índice
Índice
1. Ecuación integral de la conservación del momento cinético
1
2. Cálculo de momentos en un VC
2
1.
Ecuación integral de la conservación del momento cinético
Ecuación integral de la conservación del momento cinético
Es posible aplicar la forma general de conservación de una magnitud fı́sica al momento cinético.
Recordemos que para una partı́cula, su momento cinético respecto de un punto O se define como
~ 0 = ~r0 × m~v
L
y la fı́sica de partı́culas dice que la derivada de esta magnitud es igual a la suma de los momentos de las fuerzas que actúan
sobre la partı́cula
X
~0
dL
~T
=
~r0 × F~ = M
dt
es
Apliquemos esto a un Volumen de Control relacionado con un fluido. Para un Sistema de Control, el momento cinético
ˆ
~0 =
L
(~r0 × ~v ) ρdV
Sist C
y, aplicando el teorema de transporte de Reynolds, con
F = ~r0 × m~v
y
f = ~r0 × ~v ,
la variación de esta magnitud para un Volumen de Control, es
ˆ
˛
~
∂ (~r0 × ρ~v )
~ T = dL0 =
~
M
dV +
(~r0 × ~v ) ρ~vr · dS
dt
∂t
VC
SC
Importante : no olvidar, igual que en la conservación de la cantidad de movimiento, el caracter vectorial de esta relación.
Omitiendo el subı́ndice 0, en componentes esta relación es
ˆ
˛
∂ρ (yvz − zvy )
~
MT x =
dV +
ρ (yvz − zvy ) ~vr · dS
∂t
VC
SC
ˆ
˛
∂ρ (zvx − xvz )
~
MT y =
dV +
ρ (zvx − xvz ) ~vr · dS
∂t
VC
SC
ˆ
˛
∂ρ (xvy − yvx )
~
MT x =
dV +
ρ (xvy − yvx ) ~vr · dS
∂t
VC
SC
~ T es el producido por todas las fuerzas externas, másicas y superficiales.
El momento total M
1
2.
Cálculo de momentos en un VC
Cálculo de momentos en un VC
Sistema de referencia inercial
Supongamos como caso más simple un Volumen de Control no deformable y inercial, tal que todas las propiedades del
fluido (densidad, velocidad, posición,. . . ) pueden ser consideradas uniformes en las secciones de entrada y salida (es decir,
el flujo puede ser considerado unidimensional).
En este caso, la conservación del momento cinético se expresa como
ˆ
X
X
∂ (~r0 × ρ~v )
~T =
dV +
(~r × ~v ) ṁsal −
(~r × ~v ) ṁent
M
∂t
VC
salidas
entradas
Ejemplo 1:
1k
A
h1
l
#l
~v1
# #l
@
# #
#
h2
@ @##
@ @
@ @
2k ~v
@ @
2
@ @
@
Queremos calcular el momento sobre el punto A, usando el Volumen de Control mostrado en la siguiente figura.
A
~r1
l
l
~v1
#
# AA ~r
@#
2
#
θ1
@ @
A
A
y
@ @
~v
A 2
@
θ2
VC
z `b
x
Suponemos que las propiedades del fluido (velocidad, densidad, presión) son uniformes en la entrada y en la salida, que
el flujo es estacionario y que el peso del fluido y la tuberı́a son menospreciables, asi como los efectos del rozamiento. Con
estas hipótesis, la conservación del momento cinético es
h
i h
i
~T = M
~ A + ~r1 × −p1 S
~1 + ~r2 × −p2 S
~2
M
= (~r2 × ~v2 ) ṁ2 − (~r1 × ~v1 ) ṁ1
~ A es el momento realizado por la tuberı́a sobre el fluido y transmitido a través del brazo al empotramiento en A.
M
Dado que el flujo es unidimensional y los vectores de posición solo tienen componentes en x y en y, los momentos son
en la dirección z.
Los módulos de los momentos que hacen las presiones son
~1 = r1 p1 S1 sin θ1 = p1 S1 h1
~r1 × −p1 S
~2 = −r2 p2 S2 sin θ2 = −p2 S2 h2
~r2 × −p2 S
La variación de momento cinético del fluido es
(~r2 × ~v2 ) ṁ2 − (~r1 × ~v1 ) ṁ1 = (r2 v2 sin θ2 − r1 v1 sin θ1 ) ṁ
2
= (h2 v2 − h1 v1 ) ṁ
Combinando todo, obtenemos MA ,
MA = (h2 v2 − h1 v1 ) ṁ − p1 S1 h1 + p2 S2 h2
= h2 (v2 ṁ + p2 S2 ) − h1 (v1 ṁ + p1 S1 )
Ejemplo 2:
Un irrigador por aspersion de radio R da vueltas con una velocidad angular ω
~ = ω~k y expulsa un caudal Q por una tuberı́a
~
~
de sección S. El rozamiento sobre el eje es Mr = −Mr k. Queremos encontrar en el equilibrio una expresión para ω.
~v
R
y
ω
i
Mr
x
Suponemos que el flujo es estacionario e incompresible, y que el peso del fluido y del irrigador son menospreciables.
Despreciamos tambien los efectos de la fricción en el fluido. El brazo del irrigador no es estacionario, pero sı́ lo es el VC,
de forma que la velocidad v2 que pasa a través de la SC en la salida no es v = Q
S , sino
v2 = v − ωR
En el equilibrio, se cumple que
~ T = −Mr~k = (~r2 × ~v2 ) ṁ2 − (~r1 × ~v1 ) ṁ1
M
Dado que r1 = 0, tenemos
−Mr~k = (R~ × v2~ı) ṁ = −Rv2 ṁ~k
Mr = ρQR (v − ωR)
ω=
Mr
Q
Mr
v
−
=
−
R ρQR2
RS
ρQR2
Sistema de referencia no inercial
La única diferencia es que hay que añadir a los momentos realizados por las fuerzas externas, los momentos de las
aceleraciones ficticias,
ˆ
ˆ
˛
∂ (~r0 × ρ~v )
~T −
~
M
ρ (~r0 × ~a0 ) dV =
dV +
(~r0 × ~v ) ρ~vr · dS
∂t
VC
VC
SC
donde, tal y como vimos en el tema de conservación de la cantidad de movimiento,
~a0 =
~
d2 R
2
|dt
{z }
ac. lineal del SR
+
~
dΩ
× ~r
|dt{z }
ac. angular del SR
~ × ~v + Ω
~ × Ω
~ × ~r
+ 2 Ω
| {z } |
{z
}
ac. de Coriolis
ac. centrı́fuga
Actividad 1:
Resolver el ejemplo 2, pero con un VC no inercial.
Ahora el VC rota solidario con el irrigador, con una velocidad angular ω. Se debe obtener el mismo resultado.
Bibliografı́a
Bibliografı́a
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Referencias
[1] Frank M. White. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, México, 1988.
[2] V. L. Streeter, E. B. Wylie, and K. W. Bedford. Mecánica de los Fluidos. McGraw-Hill, México, 2000.
[3] I. H. Shames. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, Colombia, 1995.
[4] L. Virto. Mecànica de Fluids. Fonaments I. Edicions UPC, Barcelona, 1993.
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