T2Sep06

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2005/2006)
EXAMEN FINAL. Convocatoria de Septiembre. 5/Septiembre/2006
MECÁNICA (Primer Cuatrimestre)
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJERCICIO 2.
D IN ÁMICA
Duración: 40 minutos.
DEL PUNTO
Valor: 2 puntos.
(T EOR ÍA ).
Responda con concisión a las siguientes cuestiones relativas a la dinámica de un punto material:
O de una partı́cula P con respecto a un punto fijo O.
a) Defina el momento cinético L
b) Deduzca el teorema del momento cinético para una partı́cula en su expresión:
O
dL
−
→
= MO
dt
−
→
y diga qué representa M O tanto en el caso de que la partı́cula sea libre como en el caso de que sea vinculada.
c) Enuncie y justifique el teorema de conservación del momento cinético de una partı́cula.
d) ¿Guarda alguna relación la conservación del momento cinético de una partı́cula con la conservación de su velocidad
areolar? (Razone la respuesta).
Solución-Apartado (a)
(Valor máximo : 0,5 puntos)
O , de una partı́cula móvil P respecto a un punto
Dado un sistema de referencia inercial (S.R.I.), se define el momento cinético, L
geométrico O (fijo o móvil) como el producto vectorial:
−→
O = −
L
OP ∧ mv
donde mv es el vector cantidad de movimiento de la partı́cula P en el citado S.R.I.
Solución-Apartado (b)
(Valor máximo : 0,5 puntos)
Si el punto O (respecto al que se mide el momento cinético) es un punto fijo en el S.R.I., entonces derivando respecto al tiempo
la expresión del momento cinético y teniendo presente el teorema de la cantidad de movimiento, se deduce el siguiente teorema
del momento cinético (T.M.C.):
−−→
O
−−
→ dp −
−−→ d(mv )
−→
→
d OP
dL
= −
=
∧ mv + OP ∧
= v ∧ mv + OP ∧
= OP ∧ F
MO
dt
dt
dt
dt
= 0
el cual establece que la derivada temporal del momento cinético de un punto material respecto a un punto fijo O es igual al
−
→
momento, MO , respecto a dicho punto O, de la fuerza neta F que actúa sobre el punto material P .
Si la partı́cula P es libre, la citada fuerza neta F corresponderá únicamente a la suma de fuerzas activas; mientras que si la
partı́cula P es vinculada, la fuerza neta incluirá, además de las fuerzas activas, las fuerzas de reacción vincular (introducidas por
aplicación del principio de liberación).
(continúa por detrás)
Solución-Apartado (c)
(Valor máximo : 0,5 puntos)
A partir del T.M.C., se puede deducir el siguiente teorema de conservación del momento cinético:
Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material P es nula o es central con centro en un punto fijo O, su momento cinético
respecto al punto O permanece constante a lo largo del tiempo.
Demostración:
= 0,
si F
−→
−
o bien, F
OP
Solución-Apartado (d)
−→
−
→
−−
→ MO = OP ∧ F
= 0
=⇒
O
dL
= 0
dt
=⇒
O = cte
L
(Valor máximo : 0,5 puntos)
Teniendo presente la segunda ley de Newton, resulta obvio que una fuerza central produce un movimiento central, y que, por
tanto, la conservación del momento cinético guarda estrecha relación con la conservación del vector velocidad areolar. De
hecho, se puede comprobar, a partir de sus propias definiciones, que ambas magnitudes se relacionan entre sı́ mediante un factor
constante (el doble de la masa de la partı́cula) y que, en consecuencia, si se conserva la una se conserva la otra.
En efecto:
−
→
−
a F
OP
=⇒
→
O = 2m−
VA = cte
L