3 - La Biblia de los mineros

INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN PRIMER PARCIAL GRUPOS GTM 25 de marzo de 2014, 9 horas. 1.‐ Tiempo: 90 m. Se considera la función f ( x)  sen(2 x  5), x  [ / 6,  / 3] y el conjunto de puntos: S=  / 6,  / 4,  / 3 . Obtén la mínima cota del error de interpolación en el intervalo [ / 6,  / 3] empleando como soporte los puntos del conjunto S. (2 puntos) Solución: La expresión del error de interpolación de Lagrange es: f '''(c) 
     
 x   x   x   3! 
6 
4 
3
donde f '''(c)  8cos(2 x  5) , por lo tanto, la expresión del error será:  ( x)  f ( x)  p ( x) 
 ( x) 
4
     

cos(2c  5)  x    x    x   3
6 
4 
3

Buscamos ahora la cota de error: |  ( x) || f ( x)  p( x) |
4
     

max | cos(2 x  5) | max  x    x    x   x[ /6, /3]
3 x[ /6, /3]
6 
4 
3

Para ello, comenzamos tratando de obtener max | g ( x) | siendo g ( x)  cos(2 x  5) . El máximo de x[ /6, /3]
dicha función se obtendrá: sup(| g ( / 3) |,| g ( / 6) |,| g ( xi *) |), xi * / g '( xi *)  0 . g ( / 3)  cos(2
g ( / 6)  cos(2

3

6
 5)  0.688.62..
 5)  0.97228...
0
g '( x)  0  2 sen(2 x  5)  0  2 x  5  

De la última expresión obtenemos: 2 x  5  0  x  5 / 2(radianes )  143º  [ / 3,  / 6]
 5
2 x  5    x   (radianes )  233º  [ / 3,  / 6]
2 2
Ninguno de los dos valores de x está dentro del intervalo [ / 3,  / 6] , por lo que no los consideramos. Eso significa que: sup(| g ( / 3) |,| g ( / 6) |,| g ( xi *) |) | g ( / 6) | 0.97228... Por lo tanto, tendremos que max | g ( x ) | 0.97228... x[ /6, /3]
     

q ( x) , siendo q ( x)   x    x    x   , tendremos que el máximo se 6 
4 
3

obtendrá como: sup(| q ( / 3) |,| q ( / 6) |,| q ( xi *) |), xi * / q '( xi *)  0 . Dado que los extremos del intervalo En lo que respecta a max
x[ /6, /3]
son también puntos del soporte, es evidente que q ( / 3)  q ( / 6)  0 , por lo que tan sólo será necesario buscar los puntos para los que q’(x)=0: 3
13
q’(x)= 3 x2 x    2
2
72
Las raíces de dicha función son: x1  0.93654...  q( x1 )  0.0069064...
x2  0.63424...  q ( x2 )  0.0069064...
Por lo tanto max
x[ /6, /3]
q( x)  0.0069064... Así pues, la cota de error será: 4
|  ( x) || f ( x)  p( x) | (0.97228)(0.0069064)  0.00895 3
2.‐ Se considera la función f (x) 
4
 x(x  i ) y el conjunto formado por los puntos 1, 0, 2,3, 6 . Se pide i0
a) Obtén el polinomio interpolador de Lagrange de f(x). (1 punto) b) A partir del resultado del apartado a) obtén una fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio que permita aproximar el valor de f '(0) y compara el resultado obtenido con el valor exacto, obteniendo el error cometido. (1 punto) Solución: a) La función f(x) es un polinomio de 2º grado. Dado que el soporte de interpolación está formado por más de 3 puntos (en particular, 5 puntos) el polinomio interpolador coincide con la función. 4
p( x)  f ( x)   x( x  i )  x( x  0  x  1  x  2  x  3  x  4)  x(5 x  10)  5 x 2  10 x i 0
b) Dado que, tal como se ha indicado en el apartado a), p ( x)  f ( x) , también sucederá que p '( x)  f '( x) y por lo tanto p '(0)  f '(0)  10 y el error cometido sería nulo. 3.‐ A partir de los datos del ejercicio 2 se desea realizar una interpolación a trozos de f  x  en el intervalo [1, 6]
. La función polinómica a trozos está formada por un tramo polinómico de grado 2 en [1, 2] y dos polinomios de grado 1 en [2,3] y [3, 6] . Se pide: a) Calcula y representa gráficamente, los polinomios de base de Lagrange asociados a los puntos x=2 y x=3. (0.5 puntos) b) Obtén, mediante dicha función, el valor interpolado en x  0.25 . (0.5 puntos) c) Obtén la mínima cota del error de interpolación correspondiente al intervalo [1, 2] . (1 punto) Solución: a) Obtenemos los polinomios de base de Lagrange pedidos:  ( x  1) x
 6 , x  [1, 0]

x  [2,3]
2 ( x)  3  x,
0,
x  [3, 6]



0,
x  [1, 2]

2 ( x)   x  2, x  [2,3] 
x
2  , x  [3, 6]
 2
b) El punto x=‐0.25 pertenece al intervalo [‐1,2]. Dado que la función a interpolar es un polinomio de segundo grado: f ( x)  5 x 2  10 x y en el intervalo [‐1,2] se está realizando una interpolación con un soporte de 3 puntos, el tramo polinómico correspondiente a dicho intervalo, p (1) ( x) , coincide con la función que se interpola: p (1) ( x)  5 x 2  10 x . Por lo p (0.25)  5(0.25)  10(0.25)  2.1875 . (1)
2
tanto, el valor buscado es: c) Dado que en el intervalo [‐1,2] la interpolación es exacta (ver solución del apartado anterior) el error cometido será nulo. 4.‐ Supuestos conocidos los valores que una función f  x  toma en los puntos  x * 3h, x *  h, x * 2h , con h>0, se desea: a) Obtener una fórmula de derivación numérica que, utilizando el mencionado soporte, permita aproximar el valor de f   x * . (1.5 puntos) b) Determinar el error de derivación numérica de la fórmula hallada en el apartado a). (1.5 puntos) Solución: a) Comenzamos obteniendo el polinomio interpolador, aplicando la fórmula de Newton: p ( x)  f ( x * 3h)  f [ x * 3h, x *  h]( x  x * 3h) 
 f [ x * 3h, x *  h, x * 2h]( x  x * 3h)( x  x *  h)
Derivamos el polinomio interpolador: p '( x)  f [ x * 3h, x *  h]  f [ x * 3h, x *  h, x * 2h](2 x  2 x * 2h) Particularizamos ahora la expresión en x=x* resultando: p '( x*)  f [ x * 3h, x *  h]  f [ x * 3h, x *  h, x * 2h]  2h Dado que las diferencias divididas que aparecen en la expresión anterior son: f ( x *  h)  f ( x * 3h)
4h
f ( x * 2h)  f ( x *  h) f ( x *  h)  f ( x * 3h)

h
4h
f [ x * 3h, x *  h, x * 2h] 
 5h
4 f ( x * 2h)  5 f ( x *  h)  f ( x * 3h)

20h 2
f [ x * 3h, x *  h] 
resulta: p '( x*) 
f ( x *  h)  f ( x * 3h) 4 f ( x * 2h)  5 f ( x *  h)  f ( x * 3h)

 2h 4h
20h 2
y, simplificando la última expresión, la fórmula buscada será, finalmente: f '( x*)  p '( x*) 
8 f ( x * 2h)  5 f ( x *  h)  3 f ( x * 3h)
20h
b) Para estimar el error, partimos de la fórmula obtenida en el apartado anterior y desarrollamos en serie de Taylor alrededor del punto x*: 8 f ( x * 2h)  5 f ( x *  h)  3 f ( x * 3h)

20h
1
4h 2
8h 3
f ''( x*) 
f '''( x * 1h))
[8( f ( x*)  2hf '( x*) 

20h
2
6
h2
h3
f ''( x*) 
f '''( x *  2 h))
5( f ( x*)  hf '( x*) 
2
6
9h 2
27 h3
f ''( x*) 
f '''( x * 3 h))]
3( f ( x*)  3hf '( x*) 
2
6
con
1  [0, 2]; 2  [0,1];3  [3, 0]
Despejamos ahora f '( x*) resultando: 8 f ( x * 2h)  5 f ( x *  h)  3 f ( x * 3h)
 R( f )
20h
siendo el error de la fórmula:
f '( x*) 
R( f )  
2
h
(8 f '''( x * 1h)  5 f '''( x *  2 h)  81 f '''( x * 3 h)), 1  [0, 2]; 2  [0,1];3  [ 3, 0]
120
Así pues, es una fórmula de orden 2. Nota: también se puede expresar el error, de forma más compacta, como: R( f )  
7h 2
f '''( );   [ x * 3h, x * 2h] 10
5.‐ Dada la función el polinomio interpolador de Lagrange de dicha función. , calcular la tabla de diferencias divididas para el soporte [ ‐2, ‐1, 0.,1, 2] y calcular (1 punto) Solución: Comenzamos construyendo la tabla de diferencias divididas: 2
1
0
1
2
32
1
0
1
32
31 15 5 0
1 0
5
1 15
31
Aplicamos ahora la fórmula de Newton para obtener el polinomio interpolador de Lagrange: p( x)  32  31( x  2)  15( x  1)  5 x  p ( x)  5 x 3  4 x