02-2 MODELIZACIÓN UNIVARIANTE ESTACIONAL

MODELIZACIÓN
UNIVARIANTE
ESTACIONAL
Prof. Adriá
Adrián Ferná
Fernández
CURSO METODOS CUANTITATIVOS AVANZADOS Opció
Opción Econometrí
Econometría
Edició
Edición 2009
Contenido
1.
Introducción
2.
Modelos SARIM
3.
AMB
4.
Filtros Lineales
1
Contenido
1. Introducción
•
Componentes
•
Estimació
Estimación de Componentes
•
Modelizació
Modelización paramé
paramétrica
•
Modelizació
Modelización no paramé
paramétrica
Componentes
Una serie de tiempo puede ser caracterizada por los siguientes
componentes:
•
•
•
•
Tendencia de largo plazo.
Variación cíclica.
Variación estacional.
Variación residual.
Series de tiempo de frecuencia menor al añ
año (mensuales,
trimestrales) pueden presentar estacionalidad.
estacionalidad. Es decir, son
series con ciclos u oscilaciones perió
periódicas, donde el perí
período es igual
o inferior al añ
año.
La presencia de este componente se explica por la existencia de las
estaciones y los cambios climá
climáticos (que impactan sobre la
actividad), las costumbres (el fin de añ
año, que es estrictamente
cultural), etc.
2
Estimación de componentes
El interés por el análisis de los componentes de series
de tiempo tiene un fuerte aumento luego de la crisis de
1929, donde surge la preocupación por analizar (fechar)
los ciclos económicos, detectar tempranamente sus
puntos de giro (los picos y los valles, que dan lugar a
recesiones y expansiones) y en general pronosticar sus
movimientos.
En aquellos tempranos años los componentes fueron
generalmente especificados a partir de modelos
determinísticos que podían ser estimados por regresión
simple.
Estimación de componentes
En
el enfoque paramétrico se parte de la
especificación explícita de un modelo estadístico para la
serie de tiempo observada o bien para los componentes.
En algunas aplicaciones se supone la existencia de un
modelo determinístico; mientras que en otras se supone
que los modelos son estocásticos.
Modelos determiní
determinísticos
A cada componente se le asigna una funció
función
determiní
determinística
Modelos estocá
estocásticos
Modelizació
Modelización ARIMA con aná
análisis de intervenció
intervención
(ARIMA(ARIMA-IA)
3
Estimación de componentes
Tomamos la definición de Kaiser y Maravall: los
modelos determinísticos son aquellos que arrojan un
pronóstico con error cero cuando los parámetros del
modelos son conocidos. Los modelos estocásticos
proveerán pronósticos con errores aleatorios no nulos
aún cuando los parámetros fuesen conocidos.
Una vez que los modelos han sido identificados la
estimación de los componentes se realiza utilizando
estimadores óptimos dadas las restricciones impuestas
por el modelo.
Modelización paramétrica
SEATS es la aplicación más reciente del enfoque
paramétrico, también conocido como “basado en
modelos”. Maravall lo define como Model-Based
Approach. En otros artículos se refiere al método
ARIMA-model-based (AMB).
El programa TRAMO realiza los ajustes previos para
poder llevar a cabo el ajuste estacional, el cual está
basado en el trabajo de Gómez y Maravall (1994).
El programa SEATS realiza el proceso de ajuste
estacional. Originalmente desarrollados en el Banco
de España fueron adoptados por Eurostat.
4
Modelización no paramétrica
El enfoque no paramétrico (enfoque empírico)
permite estimar los componentes no observados de una
serie de tiempo sin recurrir a la especificación de un
modelo estadístico para la serie de tiempo analizada .
Usualmente bajo este enfoque, los componentes se
estiman mediante la aplicación sucesiva de filtros
lineales.
La metodología de ajuste estacional utilizada en el
programa X-12-ARIMA es el ejemplo más utilizado de
este tipo de enfoque.
X-12-ARIMA fue desarrollado por la oficina del censo
de los Estados Unidos (U.S. Census Bureau) a partir de
los programas de ajuste estacional Census X-11
(Shishkin et. al., 1967) y X-11-ARIMA (Dagum).
Contenido
2. Modelos SARIMA
•
Modelos estacionales puros
•
Modelos estacionales multiplicativos
•
Correlograma
•
Modelos estacionales no estacionarios
•
Notació
Notación
5
Modelos estacionales puros (1)
► Supóngase
un
fenómeno
donde
solamente
existe
relación
entre
observaciones de un mismo mes (trimestre,
etc.) en dos años consecutivos. Por ej., para
datos trimestrales:
yt = C + φ y t − 4 + at
con φ < 1
► El valor corriente de yt se explica por el
ruido contemporáneo y por el valor de y
cuatro trimestres atrás (el mismo trimestre
del año anterior). El modelo recoge factores
estacionales exclusivamente.
Modelos estacionales puros (2)
►
El modelo puede ser escrito como:
y t − φ y t − 4 = C + at
(1 − φL4 ) yt = C + at
Φ ( L ) yt = C + at
donde Φ(L) es el polinomio autoregresivo.
6
Modelos estacionales puros (3)
Designamos como “s” el período
estacional (s=4 para datos trimestrales,
s=12 para mensuales, etc.). El modelo
anterior se nota como SAR(1)s, o modelo
autoregresivo estacional (Seasonal en
inglés) de primer orden.
Es suficiente que φ en valor absoluto sea
menor que 1 para que el modelo sea
estacionario.
Modelos estacionales puros (4)
A
continuación
presentamos
el
correlograma de un modelo AR(1) y de
un modelo SAR(1)4.
0,80
1
0,64
2
0,51
3
0,41
4
0,33
5
0,26
6
0,21
7
0,17
8
0,13
9
0,11
10
0,09
11
0,07
12
13
14
0,05
0,04
1
2
3
0,80
4
5
6
7
0,64
8
9
10
11
0,51
12
13
14
15
15
0,04
16
16
0,41
0,03
7
Modelos estacionales puros (5)
La Función de Auto Correlación (FAC) del
proceso
estacional
puro
SAR(1)4
considerado anteriormente es:
φ ρ
=φk/s
ρk =  k − s

0
para k = s, 2s, 3s, ...
en otro caso
Otro modelo estacional puro - SAR(2)s:
yt = C + φ1 y t − s + φ 2 y t − 2 s + at
Modelos estacionales multiplicativos (1)
Supóngase que se está modelizando el
consumo de refrescos con datos de
frecuencia trimestral. En el proceso de
identificación del modelo se observa que
los choques en el trimestre “t” repercuten
también en el período o trimestre
siguiente, y en el mismo trimestre del año
siguiente. Es decir, provoca cambios en el
componente estacional de la serie.
8
Modelos estacionales multiplicativos (2)
Un modelo de medias móviles podría
reflejar este comportamiento:
yt = C + at −θ 1at −1 − θ 4 at − 4
Es decir, el ruido en “t” influye en “t+1” y en
“t+4”. El modelo planteado tiene la limitación
que no recoge la influencia que tendrá el efecto
en “t+4” sobre el valor de la variable en “t+5”.
Es decir, el efecto “un trimestre después” se
modeliza solamente en “t+1”.
Modelos estacionales multiplicativos (3)
Una manera de salvar este problema es
con
la
formulación
de
modelos
estacionarios multiplicativos estacionales:
yt = C + (1 −θ 1L )(1 − θ 4 L4 )at
Reescribiendo el modelo:
yt = C + at −θ 1at −1 − θ 4 at − 4 + θ1θ 4 at − 5
Es decir, el modelo justamente “captura” la
interacción de los 2 efectos sobre el período “t+5”.
9
Modelos estacionales multiplicativos (4)
Una forma alternativa de escribir el
modelo anterior es como un MA(5):
Yt = C + at −θ 1at −1 − θ 4 at − 4 − θ 5at −5
Esta última es la versión “no restringida”.
Contiene un parámetro más que el modelo
previo ya que justamente no impone la
interacción entre los dos efectos. Si los modelos
tuvieran un poder explicativo similar, siempre es
preferible el primero (más parsimonioso).
Modelos estacionales multiplicativos (5)
La práctica ha llevado a adoptar los
modelos
multiplicativos
como
la
representación
general
de
efectos
ordinarios y estacionales en procesos
estacionarios.
► En todo caso, siempre es posible
estimar ambos modelos y realizar pruebas
de hipótesis para decidir por uno u otro.
►
10
Modelos estacionales multiplicativos (6)
Otros
ejemplos
multiplicativos:
de
modelos
(1 −φ 1L )(1 − φ12 L12 ) yt = C + at
(1 −φ 1L )(1 − φ12 L12 ) yt = C + (1 − θ1L )(1 − θ12 L12 )at
El primero se nota como AR(1)xSAR(1)12
El
segundo
como
AR(1)xSAR(1)12
MA(1)xSMA(1)12
Correlograma (1)
Considérese un modelo MA(1)xSMA(1)12.
Por simplicidad se presenta sin constante:
yt = (1 −θ 1L )(1 − θ12 L12 ) at
yt = at −θ 1at −1 − θ12 at −12 + θ1θ12 at −13
Las covarianzas del proceso son:
γ 1 = COV ( yt , yt −1 ) = E [( at −θ 1at −1 − θ12 at −12 + θ1θ12 at −13 )x
x ( at −1 −θ 1at − 2 − θ12 at −13 + θ1θ12 at −14 ) ] =
[
]
2 2
2
= E −θ 1at2−1 − θ1θ12
at −13 = ( −θ1σ a2 )(1 + θ12
)
11
Correlograma (2)
γ 2 = COV ( yt , yt − 2 ) = E [( at −θ 1at −1 − θ12 at −12 + θ1θ12 at −13 )x
x ( at − 2 −θ 1at − 3 − θ12 at −14 + θ1θ12 at −15 ) ] = 0
Y, de la misma forma, se deduce que γ3,
γ4, ..., γ10 = 0
Las autocovarianzas 11, 12 y 13 serán no
nulas, y γk = 0 con k>13.
De esta forma, el correlograma tendrá
valores no nulos para k=1, 11, 12 y 13.
Correlograma (3)
Suponiendo modelos MA de orden bajo, tanto
para la parte ordinaria como para la parte
estacional, el correlograma tendrá coeficientes
no nulos para los primeros retardos (hasta el
orden de la parte ordinaria) y en torno a la
frecuencia estacional: en torno a 12 si es
SMA(1)12, en torno a 12 y 24 si es SMA(2)12,
etc.
12
Correlograma (4)
Correlograma de SARMA (0,1)(0,1)12:
yt = (1-0.3*L) (1-0.5*L12) at
==============================================================
Included observations: 1000
==============================================================
Autocorrelation Partial Correlation AC
PAC Q-Stat Prob
==============================================================
**|
|
**|
| 1-0.261-0.261 68.388 0.000
*|
|
*|
| 2-0.061-0.139 72.171 0.000
.|
|
*|
| 3-0.004-0.064 72.183 0.000
.|
|
.|
| 4 0.047 0.022 74.420 0.000
.|
|
.|
| 5-0.014 0.002 74.613 0.000
.|
|
.|
| 6 0.020 0.028 75.034 0.000
.|
|
.|
| 7-0.042-0.030 76.804 0.000
.|
|
.|
| 8-0.017-0.039 77.111 0.000
.|
|
.|
| 9 0.005-0.021 77.132 0.000
.|
|
.|
| 10 0.035 0.025 78.389 0.000
.|*
|
.|*
| 11 0.092 0.123 87.001 0.000
***|
|
***|
| 12-0.395-0.363 245.35 0.000
.|*
|
*|
| 13 0.113-0.090 258.41 0.000
.|
|
*|
| 14 0.013-0.064 258.60 0.000
.|
|
.|
| 15 0.034 0.014 259.80 0.000
==============================================================
Correlograma (5)
Correlograma de
SARMA (1,0)(1,0)12:
(1-0.5*L)
(1-0.7*L12)yt=at
==============================================================
Included observations: 1000
==============================================================
Autocorrelation Partial Correlation AC
PAC Q-Stat Prob
==============================================================
.|***
|
.|***
| 1 0.459 0.459 210.89 0.000
.|*
|
*|
| 2 0.150-0.077 233.43 0.000
.|*
|
.|
| 3 0.070 0.039 238.29 0.000
.|*
|
.|*
| 4 0.102 0.081 248.75 0.000
.|
|
.|
| 5 0.061-0.026 252.51 0.000
.|*
|
.|*
| 6 0.099 0.098 262.42 0.000
.|*
|
.|
| 7 0.070-0.018 267.31 0.000
.|*
|
.|
| 8 0.078 0.052 273.42 0.000
.|
|
.|
| 9 0.018-0.048 273.76 0.000
.|*
|
.|*
| 10 0.072 0.089 279.06 0.000
.|**
|
.|**
| 11 0.294 0.296 366.80 0.000
.|***** |
.|***** | 12 0.690 0.599 850.04 0.000
.|***
|
**|
| 13 0.335-0.297 963.69 0.000
.|*
|
.|
| 14 0.112 0.020 976.52 0.000
.|
|
.|
| 15 0.048-0.038 978.82 0.000
.|*
|
.|
| 16 0.074-0.011 984.47 0.000
.|
|
.|
| 17 0.042 0.019 986.25 0.000
.|*
|
.|
| 18 0.098 0.024 996.01 0.000
.|*
|
.|
| 19 0.100 0.055 1006.2 0.000
.|*
|
.|
| 20 0.080-0.022 1012.7 0.000
.|
|
.|
| 21-0.012-0.032 1012.9 0.000
.|
|
.|
| 22 0.021-0.001 1013.3 0.000
.|*
|
.|
| 23 0.177-0.019 1045.4 0.000
.|****
|
.|
| 24 0.466 0.000 1268.1 0.000
.|**
|
.|
| 25 0.239 0.005 1326.6 0.000
.|*
|
.|
| 26 0.076-0.017 1332.6 0.000
.|
|
.|
| 27 0.010-0.033 1332.7 0.000
.|
|
.|
| 28 0.043 0.024 1334.5 0.000
.|
|
.|
| 29 0.024 0.000 1335.1 0.000
.|*
|
.|
| 30 0.073-0.029 1340.6 0.000
.|*
|
.|
| 31 0.083-0.025 1347.7 0.000
.|*
|
.|
| 32 0.069 0.021 1352.6 0.000
.|
|
.|
| 33-0.033-0.022 1353.7 0.000
.|
|
.|
| 34 0.000 0.040 1353.7 0.000
.|*
|
.|
| 35 0.101-0.026 1364.4 0.000
.|**
|
.|
| 36 0.305-0.010 1461.3 0.000
==============================================================
13
Modelos no estacionarios (1)
PIB trimestral Uruguay (logaritmo)
5,0
4,9
4,8
4,7
4,6
4,5
4,4
4,3
4,2
4,1
jun-08
jun-07
jun-06
jun-05
jun-04
jun-03
jun-02
jun-01
jun-00
jun-99
jun-98
jun-97
jun-96
jun-95
jun-94
jun-93
jun-92
jun-91
jun-90
jun-89
jun-88
jun-87
jun-86
jun-85
jun-84
jun-83
jun-82
jun-81
4,0
Modelos no estacionarios (2)
Como puede observarse, la serie es claramente
no estacionaria: presenta tendencia pero, como
se comprobará a continuación, existen otros
elementos que determinan la no estacionariedad
de la serie.
Veremos el gráfico de la primera diferencia de
la serie (∆ log PIBt) y de la diferencia cuarta:
∆4 log PIBt = log (PIBt) – log(PIBt-4 )
14
Modelos no estacionarios (3)
∆ log PIB
0,2
0,2
0,1
0,1
jun-08
jun-07
jun-06
jun-05
jun-04
jun-03
jun-02
jun-01
jun-00
jun-99
jun-98
jun-97
jun-96
jun-95
jun-94
jun-93
jun-92
jun-91
jun-90
jun-89
jun-88
jun-87
jun-86
jun-85
jun-84
jun-83
jun-82
jun-81
0,0
-0,1
-0,1
-0,2
-0,2
Modelos no estacionarios (4)
Si bien la serie no parece presentar tendencia, se
observa un “pico” regular en el cuarto trimestre
de cada año, mientras que se produce un “valle”
en el primer trimestre.
Es decir, la media de la serie no es constante,
sino sistemáticamente más alta en el cuarto
trimestre, más baja en el primero, etc.
15
Modelos no estacionarios (5)
∆4 log PIB
0,2
0,2
0,1
0,1
jun-08
jun-07
jun-06
jun-05
jun-04
jun-03
jun-02
jun-01
jun-00
jun-99
jun-98
jun-97
jun-96
jun-95
jun-94
jun-93
jun-92
jun-91
jun-90
jun-89
jun-88
jun-87
jun-86
jun-85
jun-84
jun-83
jun-82
jun-81
0,0
-0,1
-0,1
-0,2
-0,2
-0,3
Modelos no estacionarios (6)
Es posible que la aplicación de la diferencia
estacional no sea suficiente para transformar en
estacionaria a la serie. En el gráfico previo la
serie resultante parece seguir un proceso del
tipo de caminata al azar, aunque serían
necesarios otros elementos de análisis (análisis
del correlograma, por ejemplo) para concluir
sobre la conveniencia de una diferencia
adicional. A continuación el gráfico con ambas
diferencias.
16
Modelos no estacionarios (7)
∆∆4 log PIB
0,2
0,1
0,1
jun-08
jun-07
jun-06
jun-05
jun-04
jun-03
jun-02
jun-01
jun-00
jun-99
jun-98
jun-97
jun-96
jun-95
jun-94
jun-93
jun-92
jun-91
jun-90
jun-89
jun-88
jun-87
jun-86
jun-85
jun-84
jun-83
jun-82
jun-81
0,0
-0,1
-0,1
-0,2
SARIMA - Notación
►
Un proceso ARIMA(p,d,q) se plantea como:
Φ(L)
(L) (1(1-L)d(yt-µ) = Θ(L)at
►
Un proceso SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s como:
Φ(L)
(L) φ(L)(1(L)(1-L)D(1(1-L)d (yt-µ) = Θ(L)θ
(L)θ(L)at
►En
el caso que el proceso incorpore otros
componentes
determiní
(efectos
determinísticos
calendario, intervenciones por outliers,
outliers, etc.):
Φ(L)
(L) φ(L)(1
(L)(1--L)D(1(1-L)d (yt-Σβj xjt) = Θ(L)θ
(L)θ(L)at
17
El modelo de aerolíneas
Al modelizar los totales mensuales de pasajeros en aerolíneas, Box
y Jenkins en su libro Time Series Analysis (1976) desarrollaron un
modelo de dos coeficientes en forma factorizada que hoy es
conocido como “modelo de aerolíneas” (airline model).
Para una serie de tiempo Zt con s ≥ 2 observaciones por año (por
ejemplo, s = 4 para observaciones trimestrales), el modelo es:
(1-L)(1-Ls) Zt = (1-θ L) (1- Θ Ls)εt
donde L corresponde al operador de retardo (en muchos artículos
aparece como B) y εt un ruido blanco gaussiano.
Los parámetros cumplen -1≤θ, Θ≤1 y para series de tiempo económicas
Θ≥0.
El modelo de aerolíneas es por lejos el modelo más usado para series de
tiempo económicas de frecuencia mensual y trimestral.
AMB
Sea un vector de observaciones y:
y = ( yt1, ... ,ytm ) where 0< t1< … < tm,
El programo TRAMO ajusta el modelo de regresión
yt = zt´β+ xt
donde β= vector de coef. de regresión
z´t – matrix de variables de regresión
xt – sigue un proceso estocástico ARIMA estacional
(SARIMA): φ(L)δ(L)xt = θ(L)at
donde L es el operador de retardos, at se supone una
innovación ruido blanco n.i.i.d. (0,Va)
18
AMB
El enfoque ARIMA Model Based (AMB) será abordado a
partir del método de los programas TRAMO-SEATS.
Sea un vector de observaciones y:
y = ( yt1, ... ,ytm ) where 0< t1< … < tm,
El programo TRAMO ajusta el modelo de regresión
yt = zt´β+ xt
donde β= vector de coef. de regresión
z´t – matrix de variables de regresión
xt – sigue un proceso estocástico ARIMA estacional
(SARIMA): φ(L)δ(L)xt = θ(L)at
donde L es el operador de retardos,
at se supone una innovación ruido blanco
n.i.i.d. (0,Va)
AMB
φ(L), δ(L),θ(L) son polinomios finitos en L que tienen la
forma multiplicativa:
δ(L)=(1-L)d(1 - Ls)D
φ(L) = (1+φ1L+...+φPLP) (1+Φ1Βs)
θ(L) = (1+θ1L+ … +θqLq) (1+Θ1Ls)
donde “s” es el número de obs. por año (frecuencia).
El programa SEATS descompone xt como: xt=pt+st+ct+ut
donde pt , st , ct y ut son los componentes de Tend-Ciclo,
Estacional, Transitorio e Irregular.
19
AMB
El ajuste estacional corresponde al caso particular en que
x t = nt + s t
siendo nt la serie ajustada por estacionalidad.
nt = pt + ct + ut
Obsérvese que la serie ajustada por estacionalidad
conserva el componente irregular. En el análisis de
coyuntura es preferible trabajar con la estimación del
componente de tendencia-ciclo.
AMB
Con el enfoque AMB se obtienen las raíces de los
polinomios AR y se asignan a st o nt de acuerdo con su
frecuencia (espectral) asociada. Es decir, de acuerdo con
su valor.
De esta forma δ(L) y φ(L) pueden ser factorizados como:
δ(L) = δs(L) . δn(L)
φ(L) = φs(L) . φn(L)
Por ejemplo, si δ(L) = ∆ ∆12 = ∆2 S
donde S = 1+L+ L2 +... +L11 contiene las raíces unitarias
estacionales, entonces δs(L) = S y δn(L) = ∆2
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AMB
A partir de SEATS pueden derivarse modelos para los
componentes no observados:
φs(L)δs(L)st = θs(L)ast
φn(L)δn(L)nt = θn(L)ant
donde ast y ant son innovaciones incorrelacionadas.
Los polinomios MA θs(L), θn(L) cumplen que
θ(L) at = θs(L) φn(L) δn(L) ast + θn(L) φs(L) δs(L) ant
lo que asegura la consistencia entre el modelo de la serie
observada y los correspondientes a los componentes.
Filtros Lineales
El temprano reconocimiento que en una serie de tiempo
los componentes (y en particular la estacionalidad)
pueden modificar su patrón de comportamiento, condujo
a desarrollar modelos más “flexibles” que los
determinísticos originalmente utilizados.
Un filtro lineal simplemente corresponde a una
combinación lineal de las observaciones de la serie xt:
yt = c−k1 xt −k1 + ... + c−1 xt −1 + c0 xt + c1 xt +1 + ... + ck 2 xt + k 2
(I)
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Filtros Lineales
Los pesos cj se definen de manera que la serie yt filtrada
capture los componentes de interés. Asi, un filtro para la
tendencia deberá capturar la variación asociada con la
variación asociada con el movimiento de largo plazo de la
serie.
Un filtro diseñado de esa forma, con pesos a priori, es un
filtro fijo ad-hoc, en el sentido que es independiente de la
serie particular a la que es aplicado.
Tanto el filtro Hodrick-Prescott (HP) como los
correspondientes al X-11 pueden ser caracterizados como
filtros fijos ad-hoc, aunque estrictamente los coeficientes no
son constantes).
Filtros Lineales
Pese a algunas ventajas, como su sencillez, la aplicación de
estos filtros mostró algunas limitaciones relevantes.
Debido a su carácter fijo, pueden ser obtenidos resultados
espurios, por lo que para algunas series el componente en
cuestión puede quedar sub o sobre-estimado.
Volviendo a la expresión (I), ésta puede plantearse como:
yt = C ( B, F ) xt
donde
k1
k2
C ( B , F ) = ∑ c− j B + ∑ c j F j
j
j =1
j =1
B – operador de rezago (Bxt = xt-1) y F de adelanto (Fxt=xt+1)
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Filtros Lineales
Si k1=k2 y cj=c-j ∀j el filtro se denomina centrado y
simétrico. El filtro se transforma en:
k
C ( B, F ) = c0 + ∑ c j ( B j + F j )
j =1
Si k1≠k2 o cj≠c-j ∀j el filtro será no centrado o asimétrico y su
aplicación generará un efecto de fase en el resultado (la serie
filtrada) en el sentido de que se produce una distorsión
sistemática en la fecha de los eventos entre el input y el
output (por ejemplo, en puntos de giro).
Filtros Lineales
Uno de los problemas que se presenta con los filtros
centrados y simétricos es su aplicación en los extremos de la
serie.
Si una serie tiene T observaciones, cuando el filtro se aplica a
la observación t, si T≥t+k no hay problema para su
aplicación, pero si T<t+k el filtro no puede ser aplicado.
El problema se presenta también al comienzo de la serie,
pero el interés generalmente se encuentra en la extracción
correcta de señales sobre el final de la serie.
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Filtros Lineales
El procedimiento X-11 (y el X-12) incorpora un conjunto de
filtros asimétricos no-centrados para su aplicación en los
extremos de la serie.
Por otro lado, E. B. Dagum incorporó una extrapolación
ARIMA (generando el X-11-ARIMA) para “aumentar” el
tamaño de muestra y continuar utilizando los filtros centrados
simétricos, principio que luego se recoge en el X-12-ARIMA.
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