Elementos de lógica matemática.

Elementos de lógica matemática.
1
Lenguaje matemático y valores de verdad.
En matemática se habla de números, de conjuntos, de funciones, de vectores, y
de muchos otros conceptos. Se puede pensar que en matemática existen muchos
“universos”, y que cada cual tiene un lenguaje propio. Por ejemplo, el universo de
los números naturales1 , N, cuenta con sı́mbolos como +, ×, <, =, 0, 1, .., entre otros,
los cuales permiten hacer afirmaciones como 1 + 1 = 3 (notemos de paso que estas
afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas...). El universo de los conjuntos utiliza
los sı́mbolos ∈, ⊂, =, ∅ y más.
Algunos sı́mbolos son compartidos por todos los universos matemáticos. Es el caso
de las variables (la famosa x se usa en cualquier contexto), los cuantificadores, y las
llamadas conectivas lógicas. De ellos vamos a hablar en este capı́tulo. Se les suele
llamar sı́mbolos lógicos.
1.1
Variables y cuantificadores.
Si deseamos expresar que “29 multiplicado por 31 es igual a 899” basta con escribir
29 × 31 = 899. Sin embargo para expresar que “existe un número natural que
multiplicado por 29 da como resultado 899” necesitamos el cuantificador existencial :
∃x ∈ N (29x = 899)
(léase “existe x en N tal que 29 por x es igual a 899; como es usual se escribe 29x en
lugar de 29 × x). El sı́mbolo especial x es una variable. Cualquier otra letra podrı́a
usarse. Ası́, pudimos haber escrito ∃a ∈ N (29a = 899), o aún ∃a(29a = 899) si del
contexto es claro que estamos en el universo N.
Ejemplos:
1. Se puede expresar que la ecuación x2 − 2 = 0 posee solución en el universo de
los números reales, escribiendo ∃x ∈ R (x2 − 2 = 0).
2. La expresión ∃x ∈ N ∃y ∈ N (x + y = 10) significa que existen dos números
naturales que suman 10. Este tipo de expresión suele abreviarse por ∃x, y ∈
N (x + y = 10).
1
Para todos los efectos, consideramos que 0 ∈ N.
1
Eugenio Chinchilla
2
√
√
3. Note que de hecho existen dos números reales tales que x2 − 2 = 0, 2 y − 2,
pero esto no lo expresa la frase ∃x ∈ R (x2 − 2 = 0), la cual dice solamente
que existe al menos un x tal que x2 − 2 = 0. Similarmente, existen varias
parejas de números naturales que sumados dan 10, sin embargo al escribir
∃x, y ∈ N (x + y = 10) solo se afirma que existe al menos una. Note también
que al decir que existen x, y tales que x + y = 10 no se descarta la posibilidad
de que x y y sean iguales, a pesar de que se les designa con letras diferentes.
4. Para expresar que existe un único x que satisface cierta condición, como
2x + 5 = 19, se puede escribir ∃!x (2x + 5 = 19). (léase “existe un único
x tal que...”). Veremos en uno de los ejercicios que se podrı́a prescindir de
este sı́mbolo especial y expresar lo mismo utilizando solamente los dos cuantificadores usuales.
De decir que “existe un número natural que multiplicado por 29 da como resultado
899”, a decir que “todo número natural multiplicado por 29 da como resultado 899”,
hay, por supuesto, una gran diferencia. Esta última afirmación, obviamente falsa,
puede expresarse mediante el cuantificador universal :
∀x ∈ N (29x = 899)
(léase “para todo x en N, 29 por x es igual a 899”. En lugar de “para todo” también
suele decirse “para cualquier” o “para todos y cada uno”).
Ejemplos:
5. “La suma de cualesquiera dos números naturales es un número natural” puede
expresarse mediante ∀x, y ∈ N (x + y ∈ N).
6. “Todo número natural es la mitad de algún otro” quiere decir que “para
cualquier número natural, existe otro del cual es la mitad”. Esto se expresa por ∀x ∈ N ∃y ∈ N (x = y/2). Note de paso que esta afirmación es
verdadera.
7. Note que si se invierte el orden de los cuantificadores en esta última expresión,
∃y ∈ N ∀x ∈ N (x = y/2), estarı́amos diciendo que “exite un número natural
que es el doble de cualquier otro” (convénzase), lo cual es claramente falso.
1.2
Verdadero o falso.
Consideremos las siguientes expresiones en el universo de los números naturales:
∀x (x > 7), ∃x (x > 7), x > 7. Qué podemos decir de su veracidad? La primera
expresa que “todo número natural es mayor que 7”, y por lo tanto es falsa. La
segunda es verdadera pues afirma que “existe un natural mayor que 7”. La tercera
expresa que “x es mayor que 7”. Pero quién es x? Al no estar cuantificada la
x podrı́amos pensar que posee un valor especı́fico, pero no conocemos cual. Y
Eugenio Chinchilla
3
claramente, dependiendo de ese valor, la expresión podrı́a ser verdadera o falsa.
Vemos que hay una ambigüedad en este caso, y no podemos decir que la expresión
es verdadera, ni falsa.
Definición y notación: Se dice que la variable x está libre en una expresión si
no está cuantificada. Llamaremos proposición a toda expresión sin variables libres.
Es decir, una proposición es una expresión sin variables, o donde toda variable
aparece cuantificada. Denotaremos las proposiciones mediante letras mayúsculas
como F, G, . . . etc. Si escribimos F (x), esto indicará que se trata de una expresión
en la cual la variable x es libre. Similarmente, G(x, y) corresponderá a una expresión
en que las variables x, y aparecen libres.
Ejemplos:
1. Expresiones como 4115 × 3 = 12345, ∃x (x > 7) y ∀x∃y(x + y = 10) son
proposiciones, pues no contienen variables libres. Si estamos en N, la primera
y la segunda son verdaderas. La tercera es falsa, pues para x = 11 no existe
y ∈ N tal que x + y = 10. (Note que esta última serı́a verdadera si el universo
al cual nos referimos fuera Z, Q o R.)
2. La expresión x + 2 = 7 no es una proposición pues la variable x está libre.
Note que es verdadera si substituimos x por 5 y falsa si la substituimos por
cualquier otro valor. Si la denotamos por F (x), entonces podemos denotar
por F (5) la expresión 5 + 2 = 7 producto de la substitución de x por 5. Note
que la expresión F (5) es una proposición, y es verdadera. Las expresiones
F (0),F (1), y en general cualquier expresión F (n) para n ∈ N distinto de 5,
son proposiciones falsas.
3. La expresión ∃y(x + y = 10) no es una proposición pues su valor de verdad
(verdadero o falso) depende de x, que aparece libre. Dice que existe un número
que sumado con x es igual a 10. Podemos denotarla por G(x). Vimos en el
primer ejemplo que G(11) es falsa: ∃y(11 + y = 10). Observe que G(10) es
verdadera, y en general G(n) es verdadera para cualquier n ∈ N menor o igual
a 10.
Vemos entonces que únicamente cuando no hay variables libres podremos afirmar
que una expresión es verdadera o falsa. Esto es lo que dice el siguiente principio:
Principio del tercero excluido:
Una proposición es verdadera o falsa, y no puede ser ambas a la vez.
2
2
Como analogı́a podemos citar el refrán popular “Es gallo o gallina”. Existen otras “lógicas no
clásicas” que también sirven de fundamento a la matemática, y que no se basan en este pricipio.
Eugenio Chinchilla
1.3
4
La negación.
La negación de una proposición F es la proposición ¬F , que se lee “no F ”. El
sı́mbolo ¬ se llama sı́mbolo de negación. La negación pretende expresar lo contrario:
llueve - no llueve, hay una pulperı́a en este barrio - no hay una pulperı́a en este barrio,
todos los perros ladran - no todos los perros ladran. Entendemos entonces que si F es
verdadera, ¬F será falsa, y si F es falsa entonces ¬F es verdadera. Podemos resumir
esto en la siguiente tabla, donde v y f representan, respectivamente, verdadero y
falso:
F
v
f
¬F
f
v
Como consecuencia tenemos que para cualquier proposición F , alguna entre F y ¬F
será verdadera, y solo una. Observe también que ¬¬F dice que no se da la negación
de F . Se debe dar entonces F . En otras palabras, ¬¬F y F son dos maneras
diferentes de expresar lo mismo. Decimos que son equivalentes 3 y escribimos
¬¬F ∼ F
donde el sı́mbolo ∼ se lee “...es equivalente a...”.
Ejemplo 1:
Es falso que todo número natural sea mayor que 10, ∀x ∈ N (x > 10). Lo que es
cierto entonces es que NO todo número natural es mayor que 10. Esto se expresa
anteponiendo el sı́mbolo de negación a la proposición anterior:
¬∀x ∈ N (x > 10)
(léase “no para todo x en N, x es mayor que 10”). Ahora, decir que no todo número
natural es mayor que 10, es lo mismo que decir que existe alguno que no lo es, o sea
“existe x en N tal que x NO es mayor que 10”. En sı́mbolos, ∃x ∈ N ¬(x > 10).
Podemos entonces decir que las proposiciones ¬∀x ∈ N (x > 10) y ∃x ∈ N ¬(x > 10),
son equivalentes. Si abreviamos por F (x) la condición sobre x que dice que x > 10,
tenemos entonces que son equivalentes ¬∀x ∈ N F (x) y ∃x ∈ N ¬F (x). Esta es una situación general que no depende ni de la condición, ni del universo.
Podemos resumir este resultado en la siguiente regla:
Primera regla de cuantificadores:
¬∀x F (x) ∼ ∃x ¬F (x)
3
Por ahora no es necesario dar una definición precisa de esta noción de equivalencia.
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5
Ejemplos:
2. Decir que no todo número es igual a 5, es equivalente a decir que existe al
menos uno diferente de 5. Usando la regla anterior podemos escribir
¬∀x (x = 5) ∼ ∃x ¬(x = 5)
y esto último lo podemos reescribir como ∃x (x 6= 5).
3. No existe ningún número real que elevado al cuadrado sea igual a -1. Esto es
equivalente a decir que todo número real elevado al cuadrado es distinto a -1.
Tenemos entonces la equivalencia ¬∃x ∈ R (x2 = −1) ∼ ∀x ∈ R (x2 6= −1)
y esta última proposición equivale a ∀x ∈ R ¬(x2 = −1). Esto nos lleva a la
segunda regla de cuantificadores.
Segunda regla de cuantificadores:
¬∃x c(x) ∼ ∀x ¬c(x)
Podemos recordar estas dos reglas pensando que el sı́mbolo de negación “entra”
en la expresión y al pasar sobre el cuantificador le cambia el tipo, de universal a
existencial, o de existencial a universal.
Ejemplo 4:
En el ejemplo 7 de la sección 1.1, vimos que es falsa la proposición ∃y ∈ N ∀x ∈ N (x = y/2).
Entonces es verdadera su negación ¬∃y ∈ N ∀x ∈ N (x = y/2). Por la segunda regla
de cuantificadores, esta última es equivalente a
∀y ∈ N ¬∀x ∈ N (x = y/2).
Ahora usamos la primera regla para obtener la proposición equivalente
∀y ∈ N ∃x ∈ N ¬(x = y/2),
o bien
∀y ∈ N ∃x ∈ N (x 6= y/2).
Observe que efectivamente esta última es verdadera pues afirma que para cualquier
número natural existe alguno que es diferente de su mitad (si y es 6, x podrı́a ser 4
o 5, cualquiera excepto el 3; si y es 5, x podrı́a ser cualquier número natural, etc.).
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1.4
6
Conjunción y disyunción.
En español, si deseamos hacer dos afirmaciones en una sola oración utilizamos la
conjunción “y”: Llueve y todos los perros ladran. Tendremos esta frase por cierta
solamente si cada una de las dos que la conforman son ciertas. En matemática es
igual, pero se usa el sı́mbolo ∧ llamado conjunción y que se lee simplemente y . A
partir de dos proposiciones F y G podemos formar una nueva proposición F ∧ G
que será verdadera únicamente en el caso en que ambas F y G lo sean. Basta con
que alguna sea falsa para que la conjunción sea falsa también. Esto lo resume la
siguiente tabla:
F
v
v
f
f
G
v
f
v
f
F ∧G
v
f
f
f
Ejemplo 1:
“Existe un número natural menor que 5 cuyo cuadrado es mayor que 15” puede
expresarse por ∃x ∈ N (x < 5 ∧ x2 > 15). Si del contexto es claro que se habla de
números naturales, entonces se puede abreviar esta expresión como ∃x < 5 (x2 > 15)
y economizar el uso de la conjunción. La disyunción, cuyo sı́mbolo matemático es ∨ (se lee o), corresponde al o de nuestro
idioma pero con una diferencia: al decir “llueve o todos los perros ladran” se entiende
por lo general que una y solo una de las dos afirmaciones ocurre. Es lo que en
matemática se conoce como el o exclusivo, cuyo sı́mbolo es Y. En matemática se
interpreta como verdadera una disyunción F ∨ G en el caso en que alguna de las
dos, o ambas, sea verdadera. Si ambas son falsas, F ∨ G será falsa. Resumiendo:
F
v
v
f
f
G
v
f
v
f
F ∨G
v
v
v
f
Nota: observe que cada una de las dos tablas anteriores puede resumirse en una
frase sencilla: “la conjunción es verdadera únicamente en el caso en que ambas
componentes lo son”. Se deja al lector la tarea de encontrar una frase similar que
resuma la disyunción.
De que otra manera se puede expresar que una conjunción es falsa? Por un lado,
decir que F ∧ G es falsa equivale a decir que ¬(F ∧ G) es verdadera. Por otro
Eugenio Chinchilla
7
lado, decir que F ∧ G es falsa es decir que alguna de F o G es falsa, quizás ambas.
Esto es lo mismo que decir que alguna de ¬F o ¬G es verdadera, quizás ambas.
Y finalmente esto equivale a decir que la disyunción ¬F ∨ ¬G es verdadera. Por
lo tanto podemos concluir que ¬(F ∧ G) y ¬F ∨ ¬G son equivalentes, pues ambas
expresan lo mismo, la falsedad de F ∧ G.
Mediante un razonamiento similar, el lector podrá verificar que ¬(F ∨ G) y ¬F ∧ ¬G
son equivalentes. Se trata de dos importantes reglas de la lógica:
Leyes de De Morgan:
¬(F ∧ G) ∼ ¬F ∨ ¬G
¬(F ∨ G) ∼ ¬F ∧ ¬G
Ejemplos:
2. La proposición 1 = 1 ∧ 2 = 3 es falsa pues una de ellas es falsa. Esto equivale
a decir que su negación, ¬(1 = 1 ∧ 2 = 3), es verdadera. Por las leyes de De
Morgan, esto es equivalente a (¬(1 = 1) ∨ ¬(2 = 3)), es decir, (1 6= 1) ∨ (2 6= 3)
lo cual es verdadero pues una de sus componentes es verdadera.
3. La proposición ¬∃x ∈ N (x < 5 ∧ x2 > 15) es falsa pues sı́ existe un número
natural menor que 5 cuyo cuadrado es mayor que 15, a saber, 4. Expresemos
esta proposición de otra manera equivalente. Por la segunda ley de cuantificadores equivale a ∀x ∈ N ¬(x < 5 ∧ x2 > 15) y por las leyes de De Morgan, a
∀x ∈ N (¬(x < 5) ∨ ¬(x2 > 15)). Para simplificar, podemos ahora usar el hecho de que la negación de a < b se puede expresar como a ≥ b, y similarmente
¬(a > b) ∼ a ≤ b. La proposición original es entonces equivalente a
∀x ∈ N (x ≥ 5 ∨ x2 ≤ 15)
que expresa que todo número natural, o es mayor o igual a 5, o su cuadrado
es menor o igual a 15, o ambas. De nuevo esto es falso y un contraejemplo o
excepción es 4 que no satisface ninguna de las dos condiciones.
1.5
La implicación.
Esta conectiva es sin duda la más importante de todas, ya que está presente implı́citamente en cualquier demostración matemática. El sı́mbolo de implicación es
⇒ y la expresión F ⇒ G se lee “F implica G”, o bien, “si F entonces G”. Esta
última manera de leerla sugiere cual es su significado: si F es verdadera, entonces
G es verdadera. Parece claro que si F y G son ambas verdaderas se puede decir que
la implicación se cumple, pero que sucede si alguna de ellas es falsa?
Podemos entender la implicación como una especie de contrato o promesa. Suponga
que su amigo Noel le dice: “El domingo, si gano en la loterı́a te invito a comer”.
Eugenio Chinchilla
8
Claramente esta afirmación posee la forma de una implicación F ⇒ G, donde F
es “ganar en la loterı́a ” y G es “invitar a comer”. La implicación es entonces la
afirmación o promesa de Noel, y puede ser verdadera o falsa según esta promesa se
cumpla o no. En cuales casos Noel cumple la promesa y en cuales incumple? Los
casos posibles son 4 y vienen de los dos casos posibles para F y G: ganar o no en la
loterı́a, invitar o no a comer. Si Noel gana en la loterı́a e invita a comer, la promesa
se cumple. Si gana pero no invita, claramente incumple. Pero que pasa si no gana?
Por su promesa, no está obligado a invitar aunque podrı́a hacerlo. Invite o no, está
claro que no podrı́amos decir que incumple y por lo tanto debemos concluir que la
promesa se cumple4 . En resumen, solo podemos decir que Noel incumple si gana y
no invita. La implicación solo es falsa si F es verdadera y G es falsa. Es el contenido
de la siguiente tabla:
F
v
v
f
f
G
v
f
v
f
F ⇒G
v
f
v
v
En la implicación F ⇒ G se suele llamar a F la premisa y a G la conclusión.
Podemos recordar esta tabla diciendo que una implicación solo es falsa cuando la
premisa es verdadera y la conclusión es falsa.
Ejemplos:
1. Considere la afirmación “cualquier número natural cuyo cuadrado sea mayor que 20, es necesariamente mayor que 2”. Claramente es verdadera. Una
manera informal de escribirla es “n2 > 20 ⇒ n > 2” donde debe entenderse
que n puede ser cualquier número natural. Correctamente podemos escribir
∀x(x2 > 20 ⇒ x > 2). Comprobemos que de acuerdo a nuestras definiciones,
esta proposición efectivamente es verdadera. Lo que expresa es que la implicación x2 > 20 ⇒ x > 2 es verdadera cualquiera que sea el valor de x ∈ N.
Analicemos dos casos posibles para x: x > 2 y x ≤ 2. Si x > 2 entonces la
conclusión de la implicación es cierta y por lo tanto la implicación también,
sea o no cierta la premisa (véase la tabla). Si x ≤ 2 entonces x toma alguno
de los valores 0, 1 o 2. En cualquier caso será falso que x2 > 20. Al ser falsa la
premisa, la implicación es cierta. Por lo tanto la implicación x2 > 20 ⇒ x > 2
es cierta en todos los casos posibles para x ∈ N, es decir, la proposición
∀x(x2 > 20 ⇒ x > 2) es verdadera5 .
4
Estamos usando el principio del tercero excluido al decir que si una proposición no es falsa,
entonces debe ser cierta.
5
Note que en realidad basta con descartar el único caso en que la implicación podrı́a ser falsa:
2
x > 20 verdadero y x > 2 falso.
Eugenio Chinchilla
9
Es útil saber que la implicación puede expresarse de manera equivalente de otras
formas. El amigo Noel pudo haber formulado su promesa en términos menos claros
pero totalmente equivalentes: “El domingo, o no gano la loterı́a, o te invito a comer,
o ambas.” Ası́, si Noel gana la loterı́a deberá invitar a comer, pues él afirmó que
al menos uno de los dos eventos “no ganar” o “invitar” se darı́a, y el primero no se
da. Si denotamos como antes, F es “ganar en la loterı́a ” y G es “invitar a comer”,
entonces esta nueva promesa se expresa como ¬F ∨ G. Si esta promesa se cumple,
y si Noel gana, se tendrá que F es verdadera, ¬F falsa, y por lo tanto G deberá ser
verdadera para que la disyunción ¬F ∨G sea verdadera. Vemos ası́ que si esta nueva
promesa se cumple, también se cumple la promesa original en forma de implicación.
El lector puede verificar también que si esta nueva promesa se incumple, la otra
también. Esto nos lleva a la siguiente equivalencia:
(F ⇒ G) ∼ (¬F ∨ G)
Una tercera forma de formular su promesa es decir: “El domingo, si no te invito
a comer es que no he ganado en la loterı́a”. Vemos que esta forma corresponde a
la implicación ¬G ⇒ ¬F . De nuevo, si Noel gana deberá invitar pues según su
nueva promesa el no invitar implica el no haber ganado. En términos lógicos, si
Noel gana, F es verdadera y ¬F es falsa. Por lo tanto para que ¬G ⇒ ¬F sea
verdadera (es decir, que su promesa se cumpla) deberá suceder que ¬G sea falsa
(véase la tabla de la implicación), y por lo tanto G verdadera. Concluimos que
F ⇒ G es verdadera. Similarmente, el hecho de que ¬G ⇒ ¬F sea falsa tiene como
consecuencia que F ⇒ G sea falsa. Concluimos ası́ con la siguiente equivalencia,
llamada contrapositiva, la cual es de gran utilidad para las demostraciones, como
veremos más adelante.
(F ⇒ G) ∼ (¬G ⇒ ¬F )
El lector encontrará en los ejercicios otra manera de formular la promesa. Cabe
señalar que las posibilidades son infinitas. Podrı́a usted encontrar otras?
1.6
La doble implicación.
La expresión F ⇔ G se lee F si y solo si G, o aún, F es equivalente6 a G. Su
significado es que F y G son ambas verdaderas o ambas falsas, y por lo tanto
F ⇔ G será falsa solo si los valores de verdad (verdadero o falso) de F y G son
distintos:
F
v
v
f
f
G
v
f
v
f
F ⇔G
v
f
f
v
6
La coincidencia con el término que hemos venido usando no es molesta y, por el contrario,
podrı́amos usar este sı́mbolo para definir ese término. En otras palabras, es una sola y misma
noción de equivalencia.
Eugenio Chinchilla
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Por qué se le llama también la doble implicación? Porque F ⇔ G es en efecto
equivalente a (F ⇒ G) ∧ (G ⇒ F ), como el lector podrá verificar.
Vale la pena aquı́ hacer un comentario sobre la expresión si y solo si que tanto se
usa en matemática sin reparar en su significado. Cuando decimos “F si y solo si
G” estamos diciendo “F si G” y “F solo si G”. La frase “F si G” quiere decir “F
se da si se da G”, es decir “si G entonces F ”, y por lo tanto equivale a G ⇒ F . La
frase “F solo si G” dice que “F se da solo si se da G”, es decir, “si no se da G no
se da F ”, lo cual es ¬G ⇒ ¬F . Tenemos entonces que la expresión “F si y solo si
G” es una manera de expresar (G ⇒ F ) ∧ (¬G ⇒ ¬F ), que como sabemos equivale
a la doble implicación (G ⇒ F ) ∧ (F ⇒ G).
1.7
Ejercicios.
1. Exprese las siguientes afirmaciones usando lenguaje matemático:
(a) Existen dos números naturales distintos cuya suma es 2.
(b) La ecuación x2 + 1 = 0 no posee solución en R.
(c) Algún número real elevado al cuadrado es igual a 10.
(d) Ningún número racional elevado al cuadrado es igual a 10.
(e) En R, cualquier suma de cuadrados no es negativa.
(f) En R, ninguna suma de cuadrados es negativa.
(g) En los números racionales siempre existe el promedio de dos números.
En los naturales no.
(h) No existe un número real que sea mayor que todos los demás.
(i) Cualquier número real es negativo, positivo, o 0.
(j) Existe un número natural mayor que 7 y tal que su doble o su cuadrado
es mayor que 20 y menor que 30.
(k) El valor absoluto de x−1 es menor que 2, para algún x ∈ R estrictamente
negativo.
(l) Para cada número racional, si es distinto de 0, existe otro número racional
tal que el producto de ambos es 1.
(m) Para todo número natural cuyo cuadrado sea superior a 17 e inferior a
99, existe otro número natural menor o igual a 10 tal que la suma de
ambos es igual a 15.
(n) Para cada ε estrictamente positivo, existe δ estrictamente positivo, tal
que, si |x − 3| es menor o igual a δ, entonces |x2 − 9| es estrictamente
menor que ε.
Eugenio Chinchilla
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2. Exprese las siguientes afirmaciones usando lenguaje matemático:
(a) El conjunto A no posee elementos (expréselo de dos maneras; no use el
sı́mbolo ∅).
(b) Cualquier elemento de A pertenece a B.
(c) No hay elementos que pertenezcan simultáneamente a A y a B.
(d) Todo elemento de A, o bien pertenece a B y no pertenece a C, o bien
pertenece a C y no pertenece a B.
3. Sea A un conjunto de números reales. Se dice que un número real c es cota
superior de A, si c es mayor o igual a todos los elementos de A. Exprese las
siguientes afirmaciones en lenguaje matemático:
(a) A posee al menos una cota superior.
(b) A no posee cota superior.
(c) A posee al menos dos cotas superiores distintas.
(d) Todas las cotas superiores de A son iguales.
(e) A posee una cota superior que es menor o igual que cualquier otra cota
superior.
4. Exprese las siguientes proposiciones en palabras, de manera concisa:
(a) ∃x∀y(xy = 0)
(b) ∀x, y(x > 5 ∧ y > 5 ⇒ x + y > 11)
(c) ¬∃x∀y(x = y)
(d) ∀x∃y∃z(y ≤ x ≤ z)
(e) ¬∀x(x3 > 0)
5. Para cada expresión F (x) y los valores indicados de x, indique en cada caso si la
expresión que resulta al substituir x por el valor correspondiente es verdadera
o falsa.
(a) ∀y ∈ N (x + y > 10); x = 9, 10, 11.
(b) ∃y ∈ Z (3x − 4y = 8); x = 0, 3, 4.
(c) ∀y ∈ N ∃z ∈ N (z + 1 < x + y); x = 0, 1, 2.
6. Sea F (x) una condición que depende de x.
(a) Exprese que existe al menos un elemento que satisface F (x).
(b) Exprese lo mismo sin usar el cuantificador existencial.
Eugenio Chinchilla
12
(c) Exprese que cualesquiera dos elementos que satisfacen F (x) son iguales.
(d) Exprese que no hay más de un elemento que satisface F (x). (Esto dice
que puede haber uno o ninguno. Convénzase de que esto expresa lo mismo
que (c)!)
(e) Exprese que existe un único elemento que satisface F (x) sin usar el cuantificador especial ∃!. (Note que esto dice dos cosas: que existe al menos
uno, y que no hay más de uno.)
7. Complete la siguiente tabla del o exclusivo:
F
v
v
f
f
G
v
f
v
f
F YG
8. Encuentre una expresión equivalente a F Y G que involucre únicamente las
conectivas ∨, ∧, ¬.
9. Encuentre una frase que resuma la tabla de la disyunción.
10. Usando un razonamiento similar al de la página 5, compruebe la validez de la
segunda ley de De Morgan.
11. Compruebe la validez de las siguientes reglas de distributividad :
F ∧ (G ∨ H) ∼ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
F ∨ (G ∧ H) ∼ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H).
12. Proporcione un ejemplo en N de la equivalencia (F ⇒ G) ∼ ¬(F ∧ ¬G) e
interprete el significado de cada expresión.
13. Muestre que F ∨ G, ¬F ⇒ G y ¬G ⇒ F son equivalentes todas entre sı́.
14. Verifique que si la promesa “El domingo, o no gano la loterı́a, o te invito a
comer, o ambas” se incumple, entonces también la promesa “El domingo, si
gano en la loterı́a te invito a comer”.
15. Verifique que si la promesa “El domingo, si no te invito a comer es que no he
ganado en la loterı́a” se incumple, entonces también la promesa “El domingo,
si gano en la loterı́a te invito a comer”.
16. Verifique que las tres promesas “El domingo, o no gano la loterı́a, o te invito
a comer, o ambas”, “El domingo, si no te invito a comer es que no he ganado
en la loterı́a” y “El domingo no sucederá que gane en la loterı́a y no te invite
a comer” se cumplen todas o ninguna.
Eugenio Chinchilla
13
17. Compruebe que las expresiones (F ∧ G) ∨ (¬F ∧ ¬G) y (F ⇒ G) ∧ (G ⇒ F )
son verdaderas única y exclusivamente cuando F y G poseen ambas el mismo
valor de verdad. (Como sabemos, este es el caso de la expresión F ⇔ G. Esto
prueba que las tres expresiones son equivalentes.)
18. (a) Use el lenguaje lógico para expresar “Es suficiente que se dé F para que
se dé G”.
(b) Use el lenguaje lógico para expresar “Es necesario que se dé F para que
se dé G”.
(c) A cual conectiva corresponde la expresión “necesario y suficiente”?
19. Compruebe las siguientes equivalencias:
(a) ¬∃x∀y(x > 5 ∧ x + y = 4) ∼ ∀x∃y(x ≤ 5 ∨ x + y 6= 4).
(b) ∀x ∈ N (x < 3 ⇒ x2 < 5) ∼ ¬∃x ∈ N (x < 3 ∧ x2 ≥ 5).
(c) ¬∀x(x < 0 ∨ x > 0) ∼ ∃x(0 ≤ x ≤ 0) ∼ ∃x(x = 0).
(d) ∀x, y((x > 0 ∧ y < 0) ⇒ xy < 0) ∼ ∀x, y(xy ≥ 0 ⇒ (x ≤ 0 ∨ y ≥ 0)).
(e) ∀x(x > 6 ⇔ 2x > 12) ∼ ¬∃x((x > 6 ∧ 2x ≤ 12) ∨ (2x > 12 ∧ x ≤ 6)).
(f) ∀x(∃yF (x, y) ⇒ ∀zG(x, z)) ∼ ∀x(∃z¬G(x, z) ⇒ ∀y¬F (x, y)).
20. (a) Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, y sea F (x) una expresión que depende de x. Encuentre 2 expresiones sin cuantificadores que sean respectivamente equivalentes a ∀x ∈ U F (x) y a ∃x ∈ U F (x).
(b) Es posible resolver el mismo problema si U = N?
21. Mediante una tabla de verdad, muestre que F ∨ ¬F siempre es verdadera y
F ∧ ¬F siempre falsa.
22. Usando tablas de verdad, demuestre las siguientes equivalencias:
(a) ¬¬F ∼ F
(b) ¬(F ∧ G) ∼ (¬F ∨ ¬G)
(c) ¬(F ∨ G) ∼ (¬F ∧ ¬G)
(d) (F ⇒ G) ∼ (¬F ∨ G)
(e) (F ⇒ G) ∼ (¬G ⇒ ¬F )
(f) (F ⇒ G) ∼ ¬(F ∧ ¬G)
(g) (F ⇔ G) ∼ ((F ⇒ G) ∧ (G ⇒ F ))
Eugenio Chinchilla
2
14
Demostraciones.
En esta sección se exhiben algunos métodos básicos con los que se puede abordar
el problema de como demostrar una proposición verdadera, o refutar una falsa. Se
trata únicamente de algunos métodos que pueden servir de guı́a, y no de métodos
infalibles: estos no existen.
2.1
Demostraciones y cuantificadores.
La proposición ∃x ∈ N (x2 − 8x + 15 = 0) dice que esa ecuación posee al menos
una solución en los números naturales. Es verdadera y para demostrarlo basta con
exhibir un ejemplo de número natural que la satisfaga: x = 3. Esto es suficiente.
En este caso existe otra solución y por lo tanto otra posible demostración que dirı́a:
“Note que el número 5 satisface la ecuación”.
Vemos entonces que para demostrar una proposición de la forma ∃xF (x) es suficiente
proporcionar un valor para x que satisfaga F (x). Este método, sin embargo, no
siempre es aplicable, como se ve a continuación.
Ejemplo 4:
La proposición ∃x ∈ R (x7 + x + 1 = 0) dice que la ecuación x7 + x + 1 = 0 posee al
menos una solución en R. Sin embargo, para una ecuación de grado 7 (y en general
para una de grado mayor o igual a 5) no existe un método general para calcular sus
posibles soluciones7 . En este caso no hay una solución evidente y por lo tanto no es
posible demostrar la existencia mediante un ejemplo. Es necesario dar otro tipo de
argumentos (ver ejercicios).
Ejemplo 5:
Para probar que ∃x ∈ N (x2 − 8x + 15 = 0 ∧ x > 4) basta con proporcionar el
ejemplo x = 5, que en este caso es el único natural en satisfacer ambas condiciones
que forman la conjunción. Para probar que ∃x ∈ N (x2 − 8x + 15 = 0 ∨ x > 4), con
una disyunción, sirve también el 5, por supuesto, pero también el 3, que al cumplir
solo la primer condición satisface sin embargo la disyunción.
Similarmente se trata el caso en que aparezcan otras conectivas dentro de una proposición que comienza con ∃. Por ejemplo, para demostrar la proposición
∃x ∈ N(4x + 3 < 17 ⇒ 2x + 50 ≥ 100) basta con encontrar un ejemplo de número
natural x tal que los valores de verdad de 4x + 3 < 17 y 2x + 50 ≥ 100 hagan que la
implicación 4x + 3 < 17 ⇒ 2x + 50 ≥ 100 sea verdadera. Bastarı́a por ejemplo dar
un valor de x que haga falsa la primera, o bien uno que haga verdadera la segunda.
Otro caso importante en el que proporcionar un ejemplo constituye una demostración,
es cuando se desea probar la falsedad de alguna proposición de tipo “para todo x...”.
7
No es que no se conoce un tal método, es que ya se demostró que no existe! Solo existen
métodos para calcular aproximaciones de las soluciones.
Eugenio Chinchilla
15
Por el carácter especial de ese ejemplo, que sirve para refutar una afirmación, se le
suele llamar un contraejemplo.
Ejemplo 6:
“Al tomar un número cualquiera y sumarlo a sı́ mismo, se obtiene un resultado
diferente del número original.” Esta afirmación es falsa pues no se cumple si el
número es 0. El número 0 es un contraejemplo, el único por cierto. Observe que esa
afirmación se puede expresar como ∀x (x + x 6= x). Probar que es falsa es demostrar
su negación ¬∀x (x + x 6= x), la cual equivale, por las reglas de cuantificadores,
a ∃x (x + x = x). Al ser una proposición existencial, es entonces normal que se
demuestre proporcionando un ejemplo.
Veamos ahora el caso de las proposiciones que comienzan con un cuantificador universal. Es claro que no podemos recurrir ahora a ejemplos o casos particulares
para demostrar una proposición de la forma ∀xF (x), ya que lo que debemos probar
es que F (x) se cumple para todos los valores posibles de x, y estos pueden ser una
infinidad dependiendo del universo. Si por ejemplo estamos en N, debemos probar
que se cumple F (0), F (1), F (2), ...etc.
Ejemplo 7:
En R es verdadera la proposición ∀x∃y(x + 2y = 20) (convénzase el lector por él
mismo). Si denotamos por F (x) la expresión ∃y(x + 2y = 20), que depende de x,
podemos, por ejemplo, comprobar fácilmente que se cumple F (0), ∃y(0 + 2y = 20),
proporcionando√un valor
√ probar que
√ adecuado para y: 10. Igualmente podemos
20− 2
se satisface F ( 2), ∃y( 2 + 2y = 20) exhibiendo el valor y = 2 . No vamos
sin embargo a hacer esto para cada número real! El método de prueba consiste
en convencer de que para un valor arbitrario de x siempre es posible encontrar un
valor de y adecuado. Si seguimos probando que se cumplen F (−15), F (0.001),
F (π), vemos que la manera de obtener el valor de y es la misma en todos los casos:
despejarlo de la ecuación x + 2y = 20 para cada valor de x (−15, 0.001, π). Esto da
la idea de hacer la demostración de la siguiente manera:
“Sea x un número real cualquiera. Para ese número arbitrario vamos a demostrar
que se cumple F (x), es decir ∃y(x + 2y = 20), exhibiendo un valor de y que satisfaga
, como se puede verificar fácilmente substix + 2y = 20. Ese valor es y = 20−x
2
tuyendo (obviamente, la manera de encontrarlo es despejando). Queda entonces
demostrado.”
Observe que
√ esta demostración hace lo mismo que se hizo para cada uno de los
valores 0, 2, −15, 0.001, π, pero lo hace al mismo tiempo para todos los números
reales, ya que es capaz de hacerlo para uno cualquiera, arbitrario, que denotamos
por x. Este es un método tı́pico para demostrar proposiciones de la forma ∀x F (x).
Se comienza por darse un x arbitrario (Sea x...) y se trata de establecer la validez
Eugenio Chinchilla
16
de la condición F (x) razonando con un x arbitrario pero fijo. Al lograrlo para uno
cualquiera, se concluye que debe valer para todos.
Notemos de paso que la proposición del ejemplo es falsa en N. No es verdad que para
todo número natural x exista otro natural y tal que x + 2y = 20. Un contraejemplo
es x = 1: no existe y ∈ N tal que 1 + 2y = 20.
Ejemplo 8:
Mostrar que en N, ∀x, y ∃z(2x+y+100 < z): Sean x, y ∈ N, cualesquiera. Tome
z = 2x+y+100 + 1. Claramente z cumple la condición requerida. Q.E.D.8 (observe
que hay otros valores posibles para z que también sirven)
Algunas veces no se puede razonar sobre un x arbitrario, sin embargo es posible
hacerlo en casos distintos para x:
Ejemplo 9:
Demostrar que para todo n ∈ N, n2 + n es par. Demostración: Sea n ∈ N arbitrario.
Observe que n2 + n = n(n + 1). Hay dos casos posibles: n es par o n es impar (note
que se trata de dos casos excluyentes y, lo realmente importante, que cubren todas
las posibilidades ). Si n es par, entonces n(n + 1) es par (este hecho también puede
ser demostrado a partir de los axiomas sobre números naturales). Si n es impar,
entonces n + 1 es par (ı́dem) y por lo tanto también lo es n(n + 1). Q.E.D.9
2.2
Demostraciones y conectivas.
En esta sección vamos a analizar los principales métodos de demostración para
proposiciones de la forma ∀x(F (x) ∧ G(x)), ∀x(F (x) ∨ G(x)), ∀x(F (x) ⇒ G(x)) y
∀x(F (x) ⇔ G(x)).
Ejemplo 10:
Demostremos que en R es verdadera la proposición ∀x(x2 + 1 6= 0 ∧ ∃y(x + 2y =
20)): Sea x ∈ R cualquiera. Como debemos mostrar que satisface una conjunción,
mostramos que satisface cada una de sus componentes. Primero, x2 + 1 6= 0 pues
por propiedades de números reales sabemos que x2 es positivo o 0, y al sumarle
1 quedará entonces estrictamente positivo. La segunda parte ya fue demostrada
anteriormente. Q.E.D.
Vemos entonces que la manera más natural de demostrar una conjunción F ∧ G es
demostrando F y luego G10 . Veamos el caso de la disyunción:
8
Q.E.D. abrevia la expresión latina “quod erat demonstrandum” (“lo que se querı́a demostrar”).
Curiosamente coincide con la comúnmente usada “queda entonces demostrado”.
9
Tı́picamente, las proposiciones de la forma ∀n ∈ N F (n) se demuestran usando el principio de
inducción.
10
Por supuesto, también se podrı́a pensar en formas indirectas de hacerlo, como por ejemplo
demostrando la proposición equivalente ¬(¬F ∨¬G) (es decir, “no es posible que no se dé alguna”).
Eugenio Chinchilla
17
Ejemplo 11:
Demostremos que ∀x ∈ N (x < 5 ∨ x2 > 10): Sea x ∈ N cualquiera. Debemos
demostrar que al menos una de las dos condiciones x < 5 o x2 > 10 se da. Si x es un
número menor que 5, se cumple automáticamente la primera. Si no, entonces x ≥ 5
y por lo tanto x2 ≥ 25. En particular x2 será mayor que 20 en ese caso, y se cumple
la segunda condición. En cualquier caso, se cumple alguna de las dos. Q.E.D.
Ejemplo 12:
Demostremos que ∀x ∈ N (2x + 3 < 19 ∨ 7x + 1 > 50): Sea x ∈ N cualquiera. Si x
es un número tal que 2x + 3 < 19, se cumple automáticamente la primera condición
de la disyunción. Si no, entonces 2x + 3 ≥ 19, lo cual implica que 2x ≥ 16 y x ≥ 8.
Entonces 7x ≥ 56 y 7x + 1 ≥ 57 y se cumple la segunda condición. En cualquier
caso, se cumple alguna de las dos. Q.E.D.
Analicemos un poco la lógica de estas dos demostraciones. En un momento se
deseaba probar una condición de la forma F ∨ G. Para ello se dividió en dos casos
posibles: se da F o no se da. Claramente si se da F no hay nada más que hacer pues
en ese caso la disyunción se satisface. El caso interesante es entonces si no se da F ,
es decir, si se da ¬F . En este caso hay que demostrar que entonces se da G, que fue
lo que se hizo en ambos ejemplos. Es decir, en realidad demostramos que ¬F ⇒ G
para poder concluir F ∨ G. Esto no es sorprendente pues estas dos expresiones son
equivalentes. Es un método muy común para demostrar disyunciones. Note que
igualmente se puede probar ¬G ⇒ F y concluir lo mismo (véase los ejercicios). En
el siguiente ejemplo se hace de las dos maneras:
Ejemplo 13:
Demostremos que en N ∀x(∀y(x + y 6= 5) ∨ x2 ≤ 25): Sea x ∈ N cualquiera y
supongamos que no se cumple ∀y(x + y 6= 5). Entonces tenemos ¬∀y(x + y 6= 5) y
por las leyes de cuantificadores ∃y(x + y = 5). De ahı́ se sigue que x debe ser menor
o igual a 5, y de allı́ obtenemos que x2 ≤ 25. Q.E.D. De otra manera: Sea x ∈ N
y supongamos que no se cumple x2 ≤ 25. Entonces se tiene que x2 > 25, y por lo
tanto x > 5. Mostremos que se da ∀y(x + y 6= 5): Sea y ∈ N. Como x > 5, entonces
x + y > 5 también, y por lo tanto x + y 6= 5. Q.E.D.
Para demostrar que una implicación es verdadera basta con suponer que la premisa
es verdadera y probar que en ese caso la conclusión también es verdadera. En efecto,
si la premisa fuese falsa, entonces no habrı́a nada más que probar pues como sabemos
la implicación es verdadera en ese caso.
Ejemplo 14:
Demostremos que ∀x ∈ N (3x < 20 ⇒ x2 + 3 < 40): Sea x ∈ N cualquiera y supongamos que se cumple 3x < 20 (de lo contrario la implicación es automáticamente
Eugenio Chinchilla
18
verdadera). Entonces tenemos que necesariamente x ≤ 6. De allı́ x2 ≤ 36 y entonces
x2 + 3 ≤ 39. Por lo tanto x2 + 3 < 40. Q.E.D.
Observación: En este ejemplo deducimos x ≤ 6 a partir de 3x < 20, es decir,
afirmamos que 3x < 20 ⇒ x ≤ 6. Esto se puede justificar de la siguiente manera: si x no fuera menor o igual a 6 (¬(x ≤ 6)), serı́a estrictamente mayor, y
entonces 3x serı́a estrictamente mayor a 21. No se tendrı́a 3x < 20, se tendrı́a
¬(3x < 20). Ası́, justificamos una implicación demostrando en realidad su contrapositiva ¬(x ≤ 6) ⇒ ¬(3x < 20). También se puede justificar como una pequeña
demostración por contradicción (ver más adelante).
Ejemplo 15:
“Si la suma de los cuadrados de dos números reales es 0, entonces ambos números son
0”. Esto se escribe ∀x, y ∈ R (x2 + y 2 = 0 ⇒ (x = 0 ∧ y = 0)). Demostración: sean
x, y ∈ R cualesquiera. En lugar de demostrar la implicación, vamos a demostrar
su contrapositiva: ¬(x = 0 ∧ y = 0) ⇒ ¬(x2 + y 2 = 0). Esta es equivalente a
(x 6= 0 ∨ y 6= 0) ⇒ x2 + y 2 6= 0. Supongamos entonces que se da x 6= 0 ∨ y 6= 0 y
supongamos, sin pérdida de generalidad, que es x quien es distinto de 0 (si fuera y el
razonamiento es el mismo). Entonces x2 es un número real estrictamente positivo,
y como y 2 ≥ 0 siempre, tenemos que x2 + y 2 > 0, en particular x2 + y 2 6= 0. Q.E.D.
Para demostrar una doble implicación F ⇔ G se suele demostrar las dos implicaciones F ⇒ G y G ⇒ F . También puede demostrarse F ⇒ G y ¬F ⇒ ¬G, o aún
G ⇒ F y ¬G ⇒ ¬F .
Ejemplo 16:
∀x ∈ R (x > 3 ⇔ 2x − 1 > 5). Demostración: sea x ∈ R. Para demostrar la primera
implicación suponemos x > 3. Entonces 2x > 6 y de allı́ 2x − 1 > 5. Para la otra
implicación, en la dirección opuesta, suponemos 2x − 1 > 5. Sumando 1 a ambos
lados obtenemos 2x > 6 y dividiendo entre 2 llegamos a x > 3. Q.E.D. Se observa
que las dos direcciones de la doble implicación se demuestran en este ejemplo de
manera similar, son las mismas demostraciones escritas en orden inverso. Esto pasa
porque cada paso es “reversible”. Por ejemplo, x > 3 implica 2x > 6 y viceversa.
Esto no siempre sucede, pero cuando es ası́, es posible abreviar la prueba escribiendo:
Sea x ∈ R. Entonces x > 3 si y solo si 2x > 6 si y solo si 2x − 1 > 5. Q.E.D.
Ejemplo 17:
En R, ∀x(x = 0 ⇔ ∀y(xy = 0)). Demostración: sea x ∈ R. Si x = 0, entonces
claramente xy = 0 para cualquier y. Esto prueba la primera dirección, de izquierda
a derecha. Ahora en lugar de probar ∀y(xy = 0) ⇒ x = 0 probaremos su contrapositiva, es decir x 6= 0 ⇒ ∃y(xy 6= 0). Suponemos entonces que x 6= 0. Hay que
probar que existe y tal que xy 6= 0. Basta con tomar y = 1. Q.E.D. Note que se
demostró F ⇔ G demostrando la forma equivalente (F ⇒ G) ∧ (¬F ⇒ ¬G).
Eugenio Chinchilla
2.3
19
La demostración por contradicción.
Este es un método de demostración muy importante y ampliamente utilizado. También se llama demostración por reducción al absurdo. En ocasiones no es el único
método posible, pero sı́ resulta ser el más natural.
Ejemplo 18:
“No existe ningún número real distinto de 0, cuyo producto con cualquier otro real
sea 0” (¬∃x(x 6= 0 ∧ ∀y(xy = 0))). Demostración: Supongamos lo contrario, es
decir, que existe un número real x distinto de 0, tal que xy = 0 para todo real
y. En particular podemos tomar y = 1. Entonces tenemos que x.1 = 0, es decir
x = 0, lo cual contradice el hecho de que x es distinto de 0. Debemos entonces
concluir que nuestra suposición es falsa (pues nos lleva a un absurdo) y por lo tanto
no existe ningún número real distinto de 0, cuyo producto con cualquier otro real
sea 0. Q.E.D.
Observación: Una alternativa es transformar la expresión ¬∃x(x 6= 0 ∧ ∀y(xy =
0)) en la equivalente ∀x(x = 0∨∃y(xy 6= 0)) y demostrarla “directamente” (es decir,
no por contradicción) probando la disyunción como vimos antes.
Ejemplo 19:
“Dos rectas diferentes en el plano se intersecan en a lo sumo un punto”. Esto quiere
decir que, o bien no se intersecan, o bien se intersecan en un único punto (“a lo sumo”
quiere decir “como máximo”) Demostración: Supongamos que es falsa la afirmación
y tratemos de obtener una contradicción, un absurdo. Decir que la proposición es
falsa, es decir que existe al menos un par de rectas distintas que se intersecan en
más de un punto (convénzase el lector). Llamemos l y m a las rectas, y tomemos
dos puntos distintos P y Q en los cuales se intersequen. Tenemos entonces que cada
una de las dos rectas pasan por los puntos P y Q. Pero esto está en contradicción
con uno de los axiomas de la geometrı́a clásica que dice que por dos puntos pasa
una recta y solo una. Concluimos que la suposición inicial es falsa y por lo tanto la
proposición es verdadera. Q.E.D.
Observación: En este ejemplo se entró en contradicción con un axioma, que
es un principio que se asume como verdadero, no se demuestra, y más bien sirve
para demostrar nuevas proposiciones. Un ejemplo de axioma de los números reales es
∀x, y(x+y = y+x), la conmutatividad de la suma. En el ejemplo 18, la contradicción
se produjo no con un axioma pero con la suposición inicial. En otros casos, como
en el siguiente ejemplo, la contradicción puede darse con otras conclusiones que a lo
largo de la prueba se vayan deduciendo. En cualquier caso, se produce contradicción
o absurdo, y eso es lo que permite afirmar que la suposición inicial es falsa.
Eugenio Chinchilla
20
Ejemplo 20:
Veamos ahora una demostración clásica, debida a los pitagóricos, de que la raı́z
cuadrada
de 2 es un número irracional. Supongamos√lo contrario. Entonces, al
√
ser 2 racional, existen dos enteros A, B tales que 2 = A/B. Simplificando
eventualmente la fracción A/B al máximo, obtenemos una fracción equivalente a/b
donde
a y b no poseen factores en común (son primos relativos). Como a/b =
√
2, elevando al cuadrado a ambos lados obtenemos a2 /b2 = 2, y de allı́ a2 =
2b2 , de donde se deduce que a2 es par. Esto implica que a también debe ser par
(este punto amerita una demostración aparte que el lector puede intentar hacer por
contradicción! Si a fuera impar, tendrı́a la forma 2k + 1...etc.). Como a es par, es
igual a 2c para algún entero c, y entonces 2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2 . Pero 2b2 = 4c2
implica b2 = 2c2 , de donde obtenemos que b2 es par, y, como antes, b también debe
ser par. Pero esto contradice el hecho de que a y b no poseen factores en común, pues
apareció
√ que comparten el factor 2 al ser ambos pares. Debemos concluir entonces
que 2 no es racional. Q.E.D.
2.4
Ejercicios.
1. Demuestre las siguientes proposiciones en los casos en que α es sucesivamente
cada una de las conectivas ∧, ∨, ⇒, ⇔:
∃x ∈ N (x2 − 5x + 6 = 0 α x2 − 7x + 12 = 0).
2. Cuales de las proposiciones anteriores siguen siendo verdaderas si se cambia ∃
por ∀? Para aquellas que son falsas, refútelas.
3. Demuestre que ∃x ∈ R (x7 + x + 1 = 0) usando los siguientes principios:
(a) La gráfica de todo polinomio es un “trazo continuo”.
(b) Todo trazo continuo que une dos puntos, uno situado encima del eje x y
el otro debajo, corta necesariamente ese eje.
4. Demuestre las siguientes proposiciones, verdaderas en R:
√
(a) ∀x∃y(πx − 3y = 7).
√
(b) ∀y∃x(πx − 3y = 7).
5. Demuestre que para todo n ∈ N, n2 + 3n + 2 es par (ver ejemplo 9).
6. Demuestre que para todo n ∈ N, n3 + 3n2 + 2n es múltiplo de 6.(Sugerencia:
use el ejercicio anterior para ver que es par. Luego, para probar que es múltiplo
de 3, analice tres casos posibles, según el resto de la división de n entre 3 sea
0,1 o 2.)
7. Exprese en lenguaje matemático y demuestre las siguientes proposiciones:
Eugenio Chinchilla
21
(a) Todo número real es la mitad de algún otro.
(b) No todo número natural es el doble de algún otro.
(c) No existe un número natural que sea mayor que todos los demás.
(d) Toda recta de ecuación y = mx + b, con pendiente distinta de cero, corta
el eje x.
(e) Cualquier ecuación de segundo grado, con discriminante mayor o igual a
cero, posee al menos una solución.
8. Considere la siguiente afirmación:“En R, algún número es mayor o igual a
todos demás”.
(a) Exprésela en lenguaje matemático.
(b) Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con
el sı́mbolo de negación seguido por un cuantificador.
(c) Demuestre que es falsa.
9. Considere la siguiente afirmación: “Para cualesquiera números reales a, b, si a
es diferente de 0, entonces la ecuación ax + b = 0 posee solución”.
(a) Exprésela en lenguaje matemático.
(b) Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con
el sı́mbolo de negación seguido por un cuantificador.
(c) Demuéstrela de dos maneras: por contradicción y de alguna otra forma.
10. Demuestre la siguiente proposición en R:
∀x(∃y(y 3 = x) ∧ ∀z∃w(w2 − (x + z)w + xz = 0)).
11. Sea x ∈ N. Demuestre que 2x + 3 < 19 ∨ 7x + 1 > 50 suponiendo que no se
cumple 7x + 1 > 50 (ver ejemplo 12).
12. Demuestre en R, ∀x(x = 0 ∨ ∃y(xy 6= 0)).
13. Demuestre de dos maneras que, en N, ∀x(¬∃y(x + y = 7) ∨ 2x2 + 1 < 100).
14. Demuestre las siguientes proposiciones de dos maneras: demostrando la implicación directamente, y usando la contrapositiva.
(a) ∀x ∈ N (3x + 2 < 17 ⇒ x2 < 17).
(b) ∀x ∈ N (5x + 1 ≥ 20 ⇒ 2x2 > 17).
(c) ∀x ∈ N (∃y(x + y = 5) ⇒ 7x + 4 < 40).
(d) ∀x ∈ N (x3 > 65 ⇒ ∀y(2x + y 6= 8)).
Eugenio Chinchilla
22
15. Las proposiciones del ejercicio anterior son todas de la forma ∀x(F (x) ⇒
G(x)). Determine en cuales casos es verdadera la proposición ∀x(F (x) ⇔
G(x)) obtenida al substituir ⇒ por ⇔. En caso de ser esta falsa, es porque falla
la doble implicación. Demuestre entonces la proposición ¬∀x(G(x) ⇒ F (x)).
16. Demuestre las siguientes proposiciones :
(a) ∀x ∈ N (6x + 1 > 42 ⇔ 2x + 3 ≥ 17).
(b) ∀x ∈ N (5 < 2x < 15 ⇔ 10 ≤ x2 + 1 ≤ 50).
(c) ∀x ∈ N (∀y(3x + y 6= 8) ⇔ x3 + 3 ≥ 30).
(d) ∀x ∈ N (x5 > 31 ⇔ ¬∃y(x + y = 1)).
(e) ∀x ∈ N (x2 + 2x es par ⇔ x2 + 1 es impar ).
17. Demuestre las siguientes proposiciones por reducción al absurdo:
(a) No existe un número real distinto de 1 que también sea neutro de la
multiplicación (es decir, en R, ¬∃x(x 6= 1 ∧ ∀y(xy = y))).
(b) Dado un número real distinto de 0, no existen dos números reales distintos
que sean inversos multiplicativos suyos.
(c) La proposición del ejercicio 12.
(d) Las proposiciones del ejercicio 14 (NO es usando la contrapositiva).
√
(e) 3 es irracional.
√
(f) 3 2 es irracional.
18. Si alguien sostiene que “todo ejemplo es un contraejemplo”, que serı́a un contraejemplo a esta afirmación?
19. Hay una “regla” que dice lo siguiente: Toda regla tiene su excepción. Si esto es
cierto, esta misma regla tiene también su excepción. Que serı́a esta excepción?
Que se puede concluir?