lista de trabajos

Taller de Probabilidad y Simulación
Probabilidad I
Departamento de Matemáticas UAM, curso 2007-2008
Pablo Fernández Gallardo ([email protected])
1.
Lista de posibles temas de trabajo
En lo que sigue exponemos una serie de temas que pueden ser elegidos como trabajos de fin de
curso del Laboratorio de Simulación (Probabilidad I, curso 2007-08). Cabe también la posibilidad de
desarrollar alguna cuestión que no aparezca en esta lista (previa consulta con el profesor).
En cada uno de ellos se da una breve descripción que incluye: el objetivo, el modelo y un esquema de
trabajo que recoge, como orientación, algunas posibles preguntas al respecto del problema planteado.
Las descripciones son en ocasiones expresamente vagas, porque uno de los objetivos de estos trabajos
es, justamente, plantearse las preguntas adecuadas. Y, por tanto, cualquier variación o ampliación
interesante sobre lo aquı́ escrito será bienvenida.
1. Simulación del juego del tenis
Objetivo. Simulación del juego del tenis para analizar la relación entre la probabilidad de ganar
puntos sueltos y la probabilidad de ganar partidos. Análisis del efecto que sobre esta relación
tienen posibles cambios de reglas (más sets de menos juegos, por ejemplo).
Modelo. Dos jugadores: A y B. El jugador A gana cada punto con probabilidad p y B lo gana
con probabilidad (1 − p). Los puntos se ganan o pierden independientemente unos de otros.
Esquema de trabajo. Determinar empı́ricamente la relación entre p y la probabilidad de ganar
el partido y el número medio de puntos de que consta cada partido. Repetir el análisis con reglas
distintas: de cuatro sets de cuatro juegos, por ejemplo. O quizás como en el juego del ping-pong:
partidos a un cierto número de puntos (sin sets).
Repetir el análisis con una variación (para hacerlo más realista): ahora A gana los puntos “normales” con probabilidad p y los puntos “comprometidos” (decisivos) con otra probabilidad p∗ .
2. En el casino
Objetivo. Simulación de ruleta americana y europea para analizar las consecuencias de distintas
estrategias de apuestas a Rojo y Negro
Modelo. Las distintas casillas de la ruleta son igualmente probables. En la ruleta europea están
los números del 1 al 36 (la mitad rojos, la mitad negros), además del 0. En la americana, además,
hay un 00. Los números van saliendo de manera independiente.
Esquema de trabajo. Analizamos la cuestión conocida como la ruina del jugador. Partimos de
una cierta fortuna inicial n. Apostamos siembre al rojo 1 euro. Si sale rojo, ganamos uno más, y
si no sale rojo, perdemos el euro apostado. Jugamos hasta que, o bien alcancemos una fortuna
N , o bien nos arruinemos (la fortuna inicial está entre 0 y N ). Se trata de obtener empı́ricamente
la gráfica: probabilidad de arruinarse frente a p (la probabilidad de ganar cada apuesta). Para
distintos valores de p (para p = 1/2, para el p de la ruleta europea, el de la americana, y otros
menores). Calcular duración media de las partidas. Por ejemplo, para valores N = 40, n = 20.
Variación: en la misma situación de antes (fortuna inicial n, objetivo N ), queremos maximizar
la probabilidad de alcanzar el objetivo. La probabilidad p puede ser 1/2 o menor. Se trata de
comparar diversas estrategias de apuestas, como las siguientes:
• Apostar una cantidad fija (no necesariamente 1) siempre a Rojo.
• Apostar siempre toda la fortuna disponible.
• Bold play: en cada jugada apostamos todo el capital disponible, salvo que una apuesta
menor sea suficiente para poder alcanzar el objetivo en la siguiente tirada.
Nota: convendrı́a hacer simulaciones “realistas”, en las que el número de apuestas y el montante
de éstas tengan restricciones.
3. Tiempo de espera de autobuses
Objetivo. Analizar la influencia de la dispersión de los intervalos entre llegadas sobre el tiempo
medio de espera.
Modelo. La unidad de tiempo es el minuto. El intervalo de tiempo A entre un autobús y el
siguiente es una variable aleatoria finita positiva (que toma valores enteros) con media m minutos,
mientras que la llegada V del viajero a la parada se modeliza con una variable aleatoria uniforme
entre los minutos de un amplio intervalo de tiempo.
Esquema de trabajo. Estimar el tiempo medio de espera del viajero, y obtener empı́ricamente
una relación entre la media y la varianza de A y la media de V . Obtener empı́ricamente la
distribución de probabilidad del número de autobuses que se observan en un intervalo arbitrario
de tiempo de amplitud 3m.
4. Cartera de inversiones
Objetivo. Analizar el resultado de una estrategia de inversión en acciones en función de la
correlación
Modelo. Normal multidimensional.
Esquema de trabajo. Nuestra cartera consta de α unidades del activo A, y β del activo B.
Su precio hoy es conocido. Queremos analizar sus posibles precios en un cierto horizonte temporal T . Modelamos las variaciones porcentuales de cada activo con una variable normal con
ciertos parámetros. Conjuntamente, las variaciones siguen una normal multidimensional con
correlación ρ. Obtener el histograma (junto con los estadı́sticos adecuados: media, desviación
tı́pica, algún percentil) de los posibles valores de la cartera en función de ρ.
Variación: incorporar a nuestra cartera derivados sobre el precio de las acciones. Es decir, instrumentos financieros cuyo pago depende del precio de la acción en T . Como, por ejemplo, una
call, cuyo pago es máx(X − K, 0), donde X es la cotización en tiempo T de la acción y K es el
strike (un cierto número).
5. Patrones en lanzamientos de cara y cruz
Objetivo. Entender cómo la estructura de los distintos patrones influye en sus tiempos de
aparición o a la hora de “competir” entre ellos.
Modelo. Lanzamientos independientes de moneda (quizás cargada).
Esquema de trabajo. Simulamos del lanzamiento de una moneda hasta que sale un patrón
(una cierta lista) de caras y cruces predeterminado. Calcular tiempos medios de aparición. Ahora
ponemos a competir patrones (por ejemplo, de longitud 3 ó 4) con distintos tiempos medios de
aparición.
6. Ley del arco seno de las rachas en el camino aleatorio
Objetivo. Entender las sutilezas de un objeto tan aparentemente sencillo como el camino aleatorio (suma de sucesivos +1 y −1 con lanzamientos de moneda).
Modelo. Lanzamientos independientes de una moneda (equilibrada).
Esquema de trabajo. Lanzamos una moneda un número N determinado de veces; en cada
lanzamiento, si sale cara, ganamos 1, y si sale cruz perdemos 1. Una racha es una serie consecutiva
de lanzamientos para los que nuestra fortuna está por encima (o por debajo) de la inicial. ¿Cómo
de probable es tener rachas largas? ¿Dónde es más probable que se produzcan, al principio, al
final, o por la mitad de la partida? (en otras palabras, ¿cuándo “conviene” retirarse de una
partida?). Podemos, por ejemplo, fijar la longitud de las partidas, digamos N = 2n, y estudiar
cuándo se produce la última “visita al cero” (volver a tener la fortuna inicial). ¿Cuál es la
distribución de la máxima fortuna conseguida durante la partida?
7. Dados mágicos
Objetivo. Simular la competición entre varios dados.
Modelo. Lanzamiento de dados “especiales”.
Esquema de trabajo. Simulamos el lanzamiento de tres dados: el dado A tiene los números 2,
4, 9; el dado B tiene 3, 5, 7; y C tiene 1, 6, 8. Compiten dos dados: ¿quién gana? ¿Se cumple que
si un dado gana a otro, y éste al tercero, entonces el primero gana al tercero (transitividad)?
Ahora ponemos a competir los tres dados. Podemos también cambiar los pagos del juego: por
ejemplo, (a) el premio es 1 para el que gana; (b) el premio es la diferencia de puntos. ¿Y con
cuatro dados? ¿Y con n dados?
8. Colas en cajeros
Objetivo. Entender cómo se forman colas en las cajas de un supermercado y tomar decisiones
para evitarlo.
Modelo. Simulación aleatoria de las llegadas de los clientes a las cajas y de la atención por
parte de los empleados de las cajas.
Esquema de trabajo. Hay tres cajas en un supermercado. Los clientes llegan (en cada unidad
de tiempo, un minuto, por ejemplo) a las cajas con una cierta distribución (digamos, una Poisson)
y se colocan en ellas aleatoriamente. Los encargados de las cajas atienden m personas (en media)
por minuto. ¿Cuál es la longitud de las colas que se forman? ¿Cómo influye si cambiamos la
velocidad de atención en una caja? El objetivo es conseguir que, a lo largo de un dı́a, las colas
nunca (o al menos no más del 5 % del tiempo) se formen colas mayores que un cierto tope.
Variación: los clientes, al llegar, se sitúan en la caja cuya cola sea más corta.
9. El viaje ¿sin retorno? del borracho en una, dos y tres dimensiones
Objetivo. Estudiar la probabilidad de que las trayectorias del camino aleatorio en una, dos y
tres dimensiones vuelvan al origen.
Modelo. Camino aleatorio en el retı́culo de 1, 2 y 3 dimensiones.
Esquema de trabajo. Un tipo sale de su casa y se mueve aleatoriamente (con probabilidad
1/2) por los enteros de la recta, a derecha e izquierda. ¿Volverá alguna vez a su casa, al punto
de partida? ¿Cuánto tardará, en media?
Las mismas preguntas si se mueve en el retı́culo en dos dimensiones, es decir, por los puntos de
coordenadas (a, b), donde a y b son enteros (el origen (0, 0) es el punto de partida).
¿Qué ocurre si nos movemos en el retı́culo tridimensional?
Plantear un modelo (por ejemplo, en dos dimensiones) en el que no nos restrinjamos al retı́culo.
10. Diseño de ascensores
Objetivo. Tomar una decisión sobre el diseño del funcionamiento de un ascensor en un edificio.
Modelo y esquema de trabajo. Se trata de simular los movimientos de un ascensor, en
función de las llamadas que recibe.
Queremos comparar dos posibles diseños: en uno, el ascensor se queda en el último piso en
el que haya dejado pasajeros. En otro, si durante un cierto tiempo no ha sido llamado, baja
automáticamente a la planta baja.
En un modelo sencillo, el edificio tiene 10 pisos, además de la planta baja, y en el ascensor sólo
cabe una persona. En un cierto paso, el ascensor está en un determinado piso. Sorteamos primero
desde qué piso se le llama (quizás desde ninguno). Y contamos el “tiempo” que tarda en llegar
(medido en número de pisos recorridos). Luego sorteamos en qué piso se queda. Y volvemos a
empezar.
El objetivo es minimizar el tiempo medio de espera hasta que llega el ascensor, comparando las
posibles estrategias: el ascensor se queda en el último piso visitado, va automáticamente a la
planta baja, o quizás hace esto sólo en el caso de no haber sido pedido en el paso anterior.
11. El coleccionista de cromos
Objetivo. Medir el tiempo que se tarda en completar una colección de cromos.
Modelo. Los cromos aparecen con distribución uniforme (e independientemente). Variantes:
algunos cromos son especialmente “difı́ciles”.
Esquema de trabajo. La colección consta de n cromos. Cada mañana se visita el kiosko y se
compra un sobre que contiene un cromo. Visitamos el kiosko hasta completar la colección. Y
medimos el tiempo medio (en número de dı́as) que tardamos en conseguirlo.
12. La ruina de una compañı́a
Objetivo. Analizar la estrategia que debe seguir una compañı́a (reservas que debe mantener)
para evitar situaciones de quiebra.
Modelo. Los pagos anuales siguen una cierta distribución, por ejemplo, una Poisson (o quizás
una lognormal; esto es, el pago anual Y se escribe como Y = eX , donde X es una normal con
ciertos parámetros).
Esquema de trabajo. Una compañı́a de seguros tiene unos ingresos fijos anuales C (las primas
que cobra a sus clientes). Los pagos que realiza cada año (por los siniestros sufridos por sus
clientes) son, sin embargo, aleatorios. Tiene, además, una reserva de fondos R. El primer año, el
balance es X1 − C, donde X1 son los pagos efectuados ese primer año. Si esa diferencia es mayor
que R, entonces la compañı́a quiebra. Lo mismo ocurre el segundo año, sólo que ahora hay que
comparar X1 + X2 con 2C. Y ası́, sucesivamente.
Marcamos un horizonte temporal, digamos 10 años, y queremos calcular la probabilidad de que
la compañı́a no quiebre en ese periodo, dado un cierto valor de R. O, mejor, determinar el valor
de R que hace que la probabilidad de quiebra sea menor de, por ejemplo, un 5 %.
13. Recuentos electorales
Objetivo. Analizar la significación que pueden tener las encuestas parciales (por ejemplo, recuento de las cien primeras papeletas) en el resultado final de unas elecciones.
Modelo. Ballot problem, camino aleatorio.
Esquema de trabajo. En una votación, el candidato A obtiene a votos, mientras que el
candidato B obtiene b votos, con a > b. Queremos medir la probabilidad de que el candidato
finalmente ganador, A, vaya siempre en cabeza a lo largo de todo el recuento (éste es el clásico
ballot problem).
Una variación: sabemos que el candidato A ha conseguido, al final del recuento (hay 1000 votos),
un 52 % de los votos, mientras que B ha conseguido un 48 %. ¿Cuál es la probabilidad de que,
en el recuento de los primeros 100 votos, el resultado sea el contrario (esto es, que el candidato
finalmente ganador tenga menos del 48 % de los votos)?
2.
Elección de trabajos. Formación de grupos
Para realizar los trabajos, deberéis formar grupos (de entre 1 y 3 personas). Para poder realizar
el trabajo, será necesario haber asistido a un número suficiente de sesiones del Laboratorio. Una vez
decidida la composición de cada grupo, se comunicará al profesor de la asignatura, para su aprobación.
En esta comunicación constarán los nombres de los integrantes del equipo, ası́ como sus correos
electrónicos.
Cada grupo elegirá un trabajo de la lista anterior1.
Plazo de elección de trabajos y formación de grupos: del 21 de diciembre de 2007 al 18 de
enero de 2008.
3.
Entrega de trabajos
La fecha lı́mite de entrega de trabajos es el jueves 24 de enero de 2008. El trabajo contendrá:
Una memoria de un par de páginas describiendo el problema en cuestión, el modelo utilizado; y
las conclusiones y comentarios sobre los resultados de la simulación.
Las hojas de cálculo de Excel (o ejecutables de Matlab, o de cualquier otro lenguaje de programación que se desee utilizar) que contengan las simulaciones.
La memoria se entregará en papel. Los archivos electrónicos se podrán enviar por correo electrónico a [email protected] o, si fueran excesivamente grandes, se entregarán grabados en
un CD.
La nota obtenida en el trabajo se incorporará, en la manera que se dispuso al comienzo del curso, a
la nota final de la asignatura de Probabilidad I.
Cabe la posibilidad de que, una vez entregados los trabajos, se convoque a los miembros de algún
equipo para que expliquen el trabajo realizado.
Para cualquier duda relacionada con estas instrucciones, o los trabajos en sı́, contáctese con
[email protected].
1 Si
se desea proponer un trabajo que no aparece en la lista, consúltese antes con [email protected].