Tema 2 Continuidada - Universidad de Jaén

Departamento de Matemáticas. Universidad de Jaén.
Análisis Matemático II. Curso 2009-2010.
Tema 2: Continuidad de funciones de varias variables
1. Describir el dominio y el rango de las siguientes funciones:
p
a) f (x, y) = 9 − x2 − y 2
p
b) f (x, y) = 4 − x2 − 4y 2
c) f (x, y) = arc sen (x + y)
d ) f (x, y) = arc cos (y/x)
e) f (x, y) = ln (2 − x − y)
f ) f (x, y) = ln (xy − 6)
g) f (x, y) = ex/y
h) z =
x+y
xy
i) z =
x+y
x−y
j) z =
√1
xy
√
k ) g(x, y) = x y − 1
2. Calcular el dominio de la función compuesta f ◦ g:
a) f (t) = t2 , f (x, y) = 2x + y 2 .
b) f (t) = 1t , f (x, y) = x2 + y 2 .
c) f (t) =
1
,
4−t
f (x, y) = x2 + y 2 .
3. Dibujar la superficie dada por la función:
a) f (x, y) = 5
b) f (x, y) = y 2
c) f (x, y) = 4 − x2 − y 2
d ) f (x, y) = e−x
e) f (x, y) = 6 − 2x − 3y
4. (Mathematica) Representar gráficamente la superficie dada por la función:
p
5
a) f (x, y) = 12
144 − 16x2 − 9y 2
b) f (x, y) = x2 e−xy/2
c) f (x, y) = x sen y
2 +2y 2
d ) f (x, y) = cos ( x
5
)
e) f (x, y) = ln |y − x2 |
5. Dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones para los valores dados de
c:
a) z = x + y, c = −1, 0, 2, 5
p
b) z = 25 − x2 − y 2 , c = 0, 2, 4, 6
c = −3, −2, −1, 1, 2, 3
c) f (x, y) = xy,
d ) f (x, y) = exy/2 ,
c = 21 , 2, 3, 4
e) f (x, y) = ln(x − y),
c = −2, −1, − 21 , 0, 12 , 1, 2, 3
6. (Mathematica) Representar gráficamente las curvas de nivel de las siguientes
funciones:
a) f (x, y) =
x
x2 +y 2
b) f (x, y) = |xy|
c) f (x, y) = 3 sen(|x| + |y|)
d ) f (x, y) =
7
1+x2 +y 2
e) f (x, y) = e1−x
2 +y 3
7. El potencial eléctrico V en un punto (x, y) es
5
V (x, y) = p
25 + x2 + y 2
.
Dibujar las curvas equipotenciales de V = 1/2, V = 1/3 y V = 1/4.
8. Una caja rectangular abierta por arriba tiene x cm. de longitud, y cm. de ancho
y z cm. de alto. Construir la base cuesta 0.75 euros por cm. cuadrado y construir
los lados 0.40 euros por cm. cuadrado. Expresar el coste de construcción de la
caja en función de x, y, z.
9. ¿Verdadero o falso? (Razona la respuesta):
a) Si f (x0 , y0 ) = f (x1 , y1 ) entonces x0 = x1 y y0 = y1 .
b) Una recta vertical puede cortar la gráfica de z = f (x, y) a lo sumo una vez.
c) Si f es una función entonces f (ax, ay) = a2 f (x, y).
10. Considerar
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
xy
lı́m
a) Determinar el lı́mite (si es posible) a lo largo de cualquier recta de la forma
y = ax.
b) Determinar el lı́mite (si es posible) a lo largo de la parábola y = x2 .
c) ¿Existe el lı́mite? Explicar la respuesta.
11. Dada la función f (x, y) = x−y
obtener los lı́mites cuando (x, y) → (0, 0) siguiendo
x+y
los caminos y = 0, x = 0, y = x, y = x2 , y = mx, m ∈ R. Calcula también los
lı́mites iterados. ¿Existe el lı́mite en dos variables?
12. Considerar
x2 y
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lı́m
a) Determinar el lı́mite (si es posible) a lo largo de cualquier recta de la forma
y = ax.
b) Determinar el lı́mite (si es posible) a lo largo de la parábola y = x2 .
c) ¿Existe el lı́mite? Explicar la respuesta.
13. Hallar el lı́mite (si existe). Si el lı́mite no existe explicar el por qué:
x+y
(x,y)→(0,0) x2 + y
xy − 1
b)
lı́m
(x,y)→(1,1) 1 + xy
x
c)
lı́m
2
(x,y)→(0,0) x − y 2
x+y
d)
lı́m
(x,y)→(0,0) x + y 3
a)
lı́m
14. Utilizar coordenadas polares para calcular los siguientes lı́mites:
sen(x2 + y 2 )
a)
lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
b)
xy 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
c)
x3 + y 3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
lı́m
x2 y 2
d)
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
x2 − y 2
p
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
p
sen( x2 + y 2 )
p
f)
lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
e)
g)
lı́m
lı́m
(x,y)→(0,0)
(x2 + y 2 ) ln(x2 + y 2 )
1 − cos(x2 + y 2 )
h)
lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
15. (Mathematica) Representar gráficamente la función y hallar el lı́mite de f (x, y)
(si existe) cuando (x, y) → (0, 0):
a) f (x, y) = sen( x1 ) + cos( x1 )
b) f (x, y) =
x2 y
x4 +4y 2
c) f (x, y) =
10xy
2x2 +3y 2
d)
2xy
x2 +y 2 +1
16. Analizar la continuidad de la función y evaluar el lı́mite de f (x, y) (si existe)
cuando (x, y) → (0, 0).
a) f (x, y) = exy
b) f (x, y) =
x2
(x2 +1)(y 2 +1)
c) f (x, y) = ln(x2 + y 2 )
d ) f (x, y) = 1 −
cos(x2 +y 2 )
x2 +y 2
17. Dada la función
f (x, y) = xy
x2 − y 2
x2 + y 2
definir f (0, 0) de manera que f sea continua en el origen.
18. Determinar si existe el lı́mite de f (x, y) cuando (x, y) → (0, 0) y discutir la
continuidad de la función:
a) f (x, y) =
b) f (x, y) =
xy
x2 +y 2
y
x2 +y 2
2
c) f (x, y) = − x2xy+y4
d ) f (x, y) =
2x−y 2
2x2 +y
19. Analizar la continuidad de las funciones f y g:
(
f (x, y) =
x2 +2xy 2 +y 2
x2 +y 2
0
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0).
(
g(x, y) =
20. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:
a) f (x, y, z) = √
1
x2 +y 2 +z 2
x2 +2xy 2 +y 2
x2 +y 2
1
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0).
b) f (x, y, z) = √
z
x2 +y 2 −9
z
c) f (x, y, z) = e2xsen
+e3y
sen(xy)
xy 6= 0,
xy
d ) f (x, y) =
1
xy = 0.
21. Hallar el siguiente lı́mite
lı́m
arctan
(x,y)→(0,1)
x2 + 1
x2 + (y − 1)2
22. Demostrar que si
lı́m
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = L1
y
lı́m
(x,y)→(a,b)
g(x, y) = L2 ,
entonces
lı́m
(x,y)→(a,b)
[f (x, y) + g(x, y)] = L1 + L2 .
23. Demostrar que si f es continua y f (a, b) > 0, entonces existe un entorno del
punto (a, b) tal que f (x, y) > 0 para todo punto (x, y) en ese entorno.
24. ¿Verdadero o falso? (Razona la respuesta):
a) Si
lı́m
f (x, y) = 0 entonces lı́m f (x, 0) = 0.
(x,y)→(0,0)
b) Si lı́m f (0, y) = 0 entonces
y→0
x→0
lı́m
f (x, y) = 0.
(x,y)→(0,0)
c) Si f es continua para todo (x, y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0 entonces
lı́m
f (x, y) =
(x,y)→(0,0)
0.
d ) Si g(x) y h(y) son funciones continuas de una variable entonces f (x, y) =
g(x) + h(y) es una función continua de dos variables.