La línea recta - Universidad de Tarapacá

1 Univer sidad de Tar apacá Dpto. de Matemática Facultad de Ciencias TEMARIO Tecnología Médica Matemática I Guía de Ejer cicios La línea r ecta
Alumno: ____________________________________________________ Prof.: Ma nuel Pér ez V. TEMARIO LA LINEA RECTA. Intr oducción . Definición de la línea r ecta. Ecuación de una r ecta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Otr as for mas de la ecuación de r ecta. For ma general de la ecuación de la r ecta. Discusión de la for ma gener al. Posiciones r elativas de dos r ectas. For ma nor mal de la ecuación de la r ecta. Reducción de la for ma nor mal de la r ecta. Ar ea de un tr iangulo. Ecuación de la r ecta que pasa por dos puntos, en for ma de determinante. EJ ERCICIOS A).­ SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 1.­ Localizar en el plano coordenado los siguientes pares ordenados: A (4, 3) B ( 3, 4) C (0, 5) D (­6, 2) E (­4, 5) F (­6, 0) G (­2, ­5) H (­4, ­3) I (­3, ­2) J (5, ­6) K (5, 0) L (1, 2) M (­2, 3) N (­4, 1) P (­3, ­2) Q (0, ­4) R (1,­5) S (2, ­1) T (5, ­2) U (4, ­4) 2 2.­ Determinar las coordenadas de los puntos que se indican en la figura: y L J M K D A N C B O G E Q x I
S U H F R T 3.­ Si un punto está sobre el eje x, ¿cuál es su ordenada? 4.­ Si un punto está sobre el eje y, ¿cuál es su abscisa? 5.­ ¿En qué cuadrantes se localizan los siguientes puntos? a) N (­5, 0) d) S (­4.9, ­2.7) b) 0 (­2, ­4) e) U (9/4, ­3/2) c) P (­7, 5) f) W (13/16, ­7/3) 6.­ Representa gráficamente los siguientes puntos: a) A (3, 4), B (­2, I), C (­5, ­2) b) C (1, 3), M (0, ­4), R (­6, 6) c) B (2, 2), G (7, ­4), O (­8, 10) d) L (­9, ­3), F (­5,1), I (4, 0) 7.­ Representa gráficamente los siguientes triángulos formados por las coordenadas de sus vértices: a) A (4, 5), B (­3, 2) y C (2, ­5) b) A (­2, 7), B (­6, ­1) y C(­4, ­3) c) A (6, ­1), B (1, ­4) y C (5, ­7) d) A (0, 8) B (­4, ­2) y C (4, ­2) 3 8.­ Grafica los siguientes polígonos cuyos vértices tienen coordenadas: a) A (­4, 2), B (­2, ­3), C (1, ­6) y D (0, 4) b) A (­2, ­5), B (5, ­2), C (7, 2), D (1, 5) y E (­4, 2) B.­ LA LINEA RECTA 9.­ Encontrar la distancia entre cada par de puntos. a) A (2, 1) y B (7, 2) b) C (­ 4, 4) y D (4, 4) c) E (­8, –5) y F (­3, ­5) d) G (0, ­2) y H (7, ­2) e) I (3, ­4) y J (3, 3) f) K (­6, ­1) y L (­6, 3) g) M (2, ­2) y N (6, 1) h) P (­5, ­2) y Q (­I, ­4) i) R (­5, ­3) y S (3, 3) 10.­ Demostrar que los puntos A. B y C son colineales. a) A (­7, ­1), B (­3, 2), C (5, 8) b) A (­2, 5), B (1, 4), C (7, 2) c) A (5, ­2), B (0, 0), C (­5, 2) d) A (­6, 2), B (2, 4), C (6, 5) e) A (5, 3), B (2, 0). C (­2, ­4) 11.­ Los puntos P, Q y R son vértices de un triángulo. Determinar en cada caso si es equilátero, isósceles o escaleno. a) P (­1, 5), Q (0, ­4), R (8, 4) b) P(4, 0), Q (­3, 4), R (­3, ­4) c) P (­2, ­1), Q (3, 2), R (5, ­5) d) P (­5, 3), Q (6, 6) R (­3, ­I) e) P (­I, 3), Q (6, ­2), R (3, 6) 12.­ Calcular el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: a) A (4, 1), B (1, 4), C (­2, 1), D (I, ­2) b) A (8, ­1) B (7, 4), C (­3, 2), D (2, ­3) c) A (4, 2), B (­2, 6), C (­8, 2), D (­2, ­2) d) A (4, 2), B (­I, 2), C (4, ­2), D (7, ­2) e) A (5, ­2), B (4, 3) C (­2, 5), D (5, ­2) 13.­ Un triángulo equilátero tiene por vértices (­3, 0) y (3, 0). Determinar las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones). 14.­ La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (­1, ­3) y (3, 1). Si la abscisa del tercer vértice es (­4) encuentre su ordenada. 15.­ Los puntos A (­2, ­1), B (4, ­1) y C (6, 3) son los vértices de un paralelogramo. Determinar las coordenadas del vértice D. a) Si BC es una diagonal. b) Si AB es una diagonal. . c) Si AC es una diagonal.
4 16.­Resuelve los siguientes problemas. a). Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igua1 a 17 es el punto A (I, ­11); si la ordenada del otro extremo es (4), halla su abcisa (dos soluciones). b). Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 4 es el punto P (2, ­2); si la abcisa del otro extremo es (2), halla su ordenada (dos soluciones). c). Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 10 es el punto B (­3, 6); si la abcisa del otro extremo es (3), halla su ordenada (dos soluciones). d). Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 4 es el punto A (4, 1); si la ordenada del otro extremo es (­2), halla su abscisa (dos soluciones). e) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 18 es el punto A ( ­6 , 2): si la ordenada del otro extremo es ( ­1), Halla su abcisa dos soluciones. 17.­ Encontrar las coordenadas de los puntos medios de los segmentos que unen los siguientes pares de puntos: a) (2, 1), (9, 15) b) (­3,8). (1. ­7) c) (­1, ­8), (1, ­2) d) (a, b), (­a, ­b) 18.­ El punto extremo de un segmento es (2, 4) y su punto medio es (1, ­1). Hallar las ordenadas del otro extremo. 19.­ Los puntos P l , P2 y P son colineales. Encontrar en cada caso el valor de la razón. a) P l (­3, 4), P2 (2, ­6). P (­1, 0) b) P l(l. 4), P2 (3, ­4), P (4, ­8) c) P l (­3, ­2), P2 (5, 6), P (2, 3) d) P l (4, 2), P2 (­2, ­2), P (7, 4) e) P 1 (2, ­1), P2 (6, ­3), P (­4, 2) 20.­ Trazar los puntos P1 y P2 . Después encontrar P(x. y), según la razón dada. a) P l(1, 2), P2 (7, 5), r = 1/2 b) P1(2, 1), P2(9,15), r = 3/4 c) P 1 (1, 2),P2(9, 8), r = ­ 3/5 d) P1(­2, 3), P2 (7, ­8), r = ­ 5/2 e) P I(­3, 8), P2(7, ­7), r = ­ 3/2
5 21.­ El punto (5, ­1) divide al segmento P l P2 en la razón r = 2/3. Si las coordenadas de Pl son (11, ­3). encontrar las coordenadas de P2. 22.­ Los puntos medios de los lados de un triángulo son (3, 2), (­2, 2) y (1, ­3). Hallar las coordenadas de los vértices, el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo paralelo al tercer lado es igual a la mitad de éste. 23.­ Dibujar el triángulo cuyos vértices son P l(x1, y1), P2(x2 , y2) y P 3(x3, y3). Hallar las coordenadas del punto de trisección. de cada mediana. que está más cercano al punto medio del lado correspondiente y demostrar que el punto de trisección es el mismo para cada mediana y que por lo tanto, las medianas concurren en un punto llamado baricentro. 24.­ Halla las coordenadas de un punto p (x, y) que divide al segmento determinado por P1 (­2, 5) y P2 (10, ­2) en la relación r = 2/3 . 25.­ Se sabe que el punto P (8, ­4) divide al segmento que se determina por los puntos Pl (14, ­12) y P2 (x2, y2) en la relación r = 2; halla las coordenadas del p2. 26.­ Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento A (3, ­5) y B (6, 10); determina también su punto medio. 27.­ Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (3, ­2) y B (5, 6); halla las coordenadas del centro. 28.­ Halla las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento determinado por los puntos A (2, ­1) y S en la razón r = ­3. 29.­ El extremo del diámetro de una circunferencia de centro C (6, ­2) es A (2, 4); halla las coordenadas B (x, y) del otro extremo. 30.­ Determina la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y) equidista de los dos puntos A (2, 2) y B (9, 9); halla las coordenadas de dicho punto. 31.­ Los extremos de un segmento son los puntos A (­3. ­1) y B (5, 7); halla el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que BP : PA = ­2 32.­ Determinar el ángulo de inclinación para cada una de las siguientes rectas dirigidas a) El eje x. b) El eje y.
6 c) Una recta paralela al eje x dirigida hacia la derecha. d) Una recta paralela al eje x dirigida hacia la izquierda. 33.­ ¿Cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas dirigidas?: a) El eje x. b) Una recta paralela al eje x. c) La recta que pasa por el origen con una inclinación de 45°. d) La recta que pasa por el origen con una inclinación de 135°. 34.­ Determinar la inclinación de una recta cuya pendiente es: a) 1 b) ­1 c) 3 d) ­ 3 e) 3 3 35.­ Hallarla pendiente de la recta que pasa por los dos puntos dados: a) (­4, 2), (8, 1) b) (4, 3), (­5, ­1) c) (­1, 2), (­7, ­3) d) (­2, 3), (8, 3) e) (3. ­7), (8, ­10) f) (2, 0), (5, 1) g) (2, 3), (­8, 3) h) (1/2, 1/3), (­1/4, 1/6) i) (a, 0), (0, b) 36.­ Trazar la recta que pasa por el punto dado con la pendiente indicada: a) (5, 3), m = ¾ b) (5, 3), m = ­ ¾ c) (­3, 4), m = 2/5 d) (­3, ­5}, m = ­1 e) (4, ­3), m = 0 f) (­1, 7), m = 5 g) (0, 0), m = 5/7 h) (­4, ­5), m = 2 i) (0, ­6), m = ­1 37.­ Aplicar la definición de pendiente para determinar en cada caso si las ternas de puntos son. colineales o no: a) (­3, 5), (1, 2), (9,­4) b) (­1, ­1), (1, ­2), (5, ­5) c) (5, ­3), (­1, ­1), (7, ­3) d) (­7, ­4), (­1, ­2), (8, 1) e) (­7, ­4), (­1, ­2) (8, 1) f) (­5, ­1), (­1, 1), (6, 4) 38.­ Resuelve los siguientes problemas. a) Una recta de pendiente (­2/3) pasa por el punto A (­2, 5); la ordenada de otro punto B de la recta es (1), halla su abscisa.
7 b) Una recta de pendiente (­6/5) pasa por el punto P (3, ­5) y por los puntos A y B Si 1a ordenada. de A es (­2) y la abcisa de B es (­2), ¿ cual es la abcisa de A y cual es la ordenada de B?. 39.­ Demostrar que son paralelogramos los siguientes cuadriláteros a) A (6, 4), B (­3, 2), C (­4, ­3), D (5, ­I) b) A (4, 4), B (­2, 2), C (­5, ­5), D (1, ­3) c) A (5, 2), B (­4, 4), C (­1, ­2), D (8, ­4) d) A (3, 5), B (­3, 2), C (2, ­5), D (8, ­2) e) A (5, ­1), B (1, 4), C (­3, ­1), D (1, ­6) 40.­ Demostrar que la recta que pasa por los puntos (­4, ­6) y (6, 4) es perpendicular a la que pasa por (­3, 1) y (2, ­4). 41.­ Demostrar que son triángulos rectángulos los que tienen como vértices: a) (­5, ­1), (­1, 4), (9, ­4) b) (­5, ­1), (4, ­4), (6, 2) c) (­3, ­5), (­2, 2), (5, I) d) (­4, 4), (1, 5), (3, ­5) e) (4, 2), (­5, ­1), (­2, ­4) 42.­ Encontrar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son: a) (6, ­1), (­3, 5), (­1, ­2) b) (­4, ­1), (­1, ­4), (3, ­3) c) (­3, ­1), (1, 5), (3, ­4) d) (­3, 3), (2, 5), (3, ­1) e) (­3, 1), (3, 5), (1, ­6) 43. Encontrar los ángulos interiores para demostrar que son triángulos isósceles los que tienen los siguientes vértices: a) (­2, 5), (5, 4), (­3, ­2) b) (1,3), (­4, ­1), (5, ­2) c) (­3, 1), (3, ­1), (3, 3) d) (2, 4), (­5, ­3), (5, ­6) e) (2, ­5), (­3, 2), (7, 2) 44.­ Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y E, así como las definidas por los puntos M y N; determina si son paralelas o perpendiculares entre sí: a) A (4, 1), B (­2, 5) y M (3, 7), N (­1, 1) b) A (­7, 1), B (1, ­6) y M (­4, ­6), N (3, 2) c) A (2, 2), B (9, 9) y M (6, 5), N (5, 6) 45.­ Demuestra que los puntos dados son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
8 a) A (6, 5), B (9, 9), C (5, 6) y D (2, 2) b) K (5, 0), L (0, 2), M (­5, 0) y N (0, ­2) 46.­ Demuestra que el punto A (­5, 3) está sobre la mediatriz del segmento cuyos extremos son P (2, 5) y Q (­3, ­4). 47.­ Obtener la ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto P. a) P(3, 1), m =2 b) P(2, 3), m = 3 c) P(­3, ­5), m = 1 d) P(3, ­I), m = 3 e) P(­3, ­6), m = ­1/2 f) P(6, 2), m = ­3/8 g) P(0, 3), m = 0 h) P(3, 0), m = 0 i) P(­7,­5), m = ­ ¼ j) P (­2, 2), m = ­1 48.­ Hallar la. Ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es de 45" y pasa por el punto (­2, 3). . 49.­Encontrar la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos P y Q. a) P(3, 2), Q(7, 4) b) P(2, 1), Q(8, ­3) c) P(1, 4), Q(­6, 2) d) P(­2, ­7), Q(8, ­4) e) P(4, ­6), Q(­10,0) f) P(0, ­7), Q(8,­3) g) P(8, 3), Q(­4, 3) h) P(2, 3), Q(2, ­11) i) P (0, 0), Q (0, b) j) P (0, 0), Q (a, b) 50.­ Obtener la ecuación de la recta determinada por cada par de puntos. a) (2, 1), (5, 6) b) (1, 5), (4, 1) c) (3, 5), (­1, ­2) d) (­2, ­4), (3, 3) e) (­5, 4), (­1, 2) f) (0, 0), (3, ­4) g) (­1, ­2),(­3, ­4) h) (1/2, 5), (3/4,­1) i) (4, 3), (4, ­9) j) (0, 1), (0, 0) 51.­ Hallar las coordenadas al origen y las intersecciones con los ejes de cada recta. a) 2x ­ 3y + 3 = 0 b) 3x ­ 4y – 8 = 0 c) x + 3y +15 = 0 d) 2x + 3y – 9 = 0 e) 7x ­ 2y + 8 = 0 f) 2x + 5y + l0 = 0 g) x + 5y ­ 15 = 0 h) 3x ­ 2y – 8 = 0 i) 3x + 2y ­ 2 = 0 j) 4x ­ 5y – 15 = 0 k) 4x ­ y – 12 = 0 ¡) 3x ­ 2y ­ 12 = 0 m) x – y – 7 =0 n) x ­ 5y + 20 = 0 o) 4x + 9y – 36 = 0 52.­ Expresar en la forma pendiente ordenada al origen cada una de las rectas del ejercicio 52. 53.­ Determinar la pendiente y la ordenada al origen de cada recta del ejercicio 52. 54.­ Expresar en forma normal la ecuación de la recta para la cual ω y P son:
9 a) ω =45°, P = 4 b) ω = 60°, P = 5 c) ω = 90°, P = 3 d) ω = 150°, P = 10 e) ω = 180°, P = 7 f) ω = 225°, P = 6 55.­ Expresar en su forma general las ecuaciones del ejercicio 54. 56.­ Expresar en su forma normal cada una de las ecuaciones siguientes: a) 3x ­ 4y + 30 = 0 b) 2x + 3y + 12 = 0 c) 8x ­ 15y + 34 = 0 d) y = 3x + 2 e) 5x ­ 12y =0 57.­ Expresar las siguientes ecuaciones en la forma simétrica. a) 2x ­3y + 3 = 0 b) 3x ­ 4y ­ 8 = 0 c) x + 3y + 15 = 0 d) 2x + 3y – 9 = 0 e) 7x ­ 2y + 8 = 0 f) 2x + 5y + 10 = 0 g) x + 5y ­ 15 = 0 h) 3x ­ 2y ­ 8 = 0 i) 3x + 2y – 2 = 0 j) 4x ­ 5y ­ I5 = 0 k) 4x – y – 12 = 0 1) 3x ­ 2y – 12 = 0 m) x ­ y ­ 7 = 0 n) x ­ 5y + 20 = 0 o) 4x + 9y – 36 = 0 58.­ A partir de los puntos dados, encuentra la ecuación de la recta en su forma general, común y simétrica. a) A(–8, 5), B(0, 2) b) P(6, 0), Q(­3, 3) c) K(­2, 4), L(6, ­3) d) R(­2, ­5/3), S(0, 2/3) 59.­ Reduce las ecuaciones siguientes a la forma normal y obtén los valores de P y ω: a) x – y – 4 = 0 b) 5x – 4y + 19 = 0 d) 2x – y – 5 = 0 e) 3x – 2y – 6 = 0 60.­ Obtén la distancia de las siguientes rectas dadas al punto indicado: a) 4x – 5y – 13 = 0 al punto A( 7, ­1) d) 2x + 3y – 5 = 0 al punto D(2, ­4) b) 2x + 5y + 10 = 0 al punto B( 1, 3) e) 6x – y – 25 = 0 al punto E( 1, 6) c) 3x – 4y + 2 = 0 al punto C( 5, ­2)